Sujet Bac Ancien Exercices études des fonctions PDF terminale S n° 2

études des fonctions PDF terminale S

Sujet Bac Ancien Exercices études des fonctions
terminale S  n° 2

? Groupe II bis 1997 
Dans tout le problème, 
on se place dans un repère orthonormal ( O;i→,j→ ). 
L’unité graphique est 2cm.
Partie I : Etude d’une fonction g. 
Soit g la fonction définie sur ]0;+∞[ par:
g(x)=xlnx−x+1
et C sa représentation graphique 
dans le repère (O;i→,j→)
1. Etudier les limites de g en 0 et +∞.
2. Etudier les variations de g. 
En déduire le signe de g(x) en fonction de x.
3. On note C‘ la représentation graphique de la fonction x➝lnx 
dans le repère (O;i→,j→).
Montrer que C et C‘ ont deux points communs 
d’abscisses respectives 1 et e. 
et que pour tout x élément de [1,e], 
on a : xlnx-x+1≤lnx.
On ne demande pas de représenter C et C‘
4. a) Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale:
J=∫1e(x−1)lnxdx
b) Soit Δ le domaine plan défini par:
Δ={M(x, y) ; 1≤x≤e et g(x)≤y≤lnx}
Déterminer, en cm², l’aire de Δ. 
Donner une valeur décimale approchée à 10−2 prés de cette aire.
Partie II : Etude d »une fonction f.
Soit f la fonction définie sur ]1;+∞[ par:
f(x)=1x−1lnx.
1. Etudier les limites de f en +∞ et en 1.
Pour l’étude de la limite en 1, on pourra utiliser un taux d’accroissement.
2. Déterminer le tableau de variation de f.
On pourra remarquer que:
f‘(x) s’écrit facilement en fonction de g(x).
3. Tracer la courbe représentative de f
dans le repère (O;i→,j→).
Partie III:
Etude de l’équation f(x)=12
1. Montrer que l’équation f(x)=12 
admet une unique solution notée a et que 3,5<α<3,6.
2. Soit h la fonction définie sur ]1;+∞[ par:
h(x)=lnx+12x+12.
(a) Montrer que a est solution de l’équation h(x)=x.
(b) Etudier le sens de variation de h.
(c) On pose I=[3,4] .
Montrer que:
pour tout x élément de I on a h(x) ∈ I 
et |h‘(x)|≤56.
3. On définit la suite (un) par:
u0=3 et pour tout n≥0 un+1=h(un)
Justifier successivement les trois propriétés suivantes:
a) Pour tout entier naturel n:
|un+1−α|≤56|un−α|
b) Pour tout entier naturel n:
|un−α|≤56)n.
c) La suite (un) converge vers α.
4. Donner un entier naturel p, tel que des majorations précédentes 
on puisse déduire que up est une valeur approchée de α à 10−3 près. 
Indiquer une valeur décimale approchée à 10−3 près de α.

? Antilles 1997 
Partie I
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par:
f(x)=ln(x+1x)−1x+1
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f
et étudier le sens de variation de f.
2. Calculer la limite de f(x) lorsque x tend vers 0.
et lorsque x tend vers +∞.
3. Donner le tableau de variations de la fonction f 
et en déduire le signe de f(x) pour tout x appartenant à ]0,+∞[.
4. Le plan étant rapporté à un repère orthonormal direct
(O,i→,j→ ), l’unité graphique est 5cm.
Tracer la courbe C représentative de la fonction f
Partie II 
On considère la fonction g définie sur l’intervalle]0,+∞[ par:
g(x)=xln(x+1x)
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g.
Déduire de la partie I le sens de variation de n  sur ] 0,+∞[ 
2. Vérifier que g=hok 
avec h et k les fonctions définies sur ]0,+∞[ par:
h(x)=ln⁡(1+x)x et k(x)=1x
En déduire la limite de g en +∞ et en 0 .
3. Donner le tableau des variations de g sur ]0,+∞[.
Partie III
1. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 1. 
On note A(λ) l’aire en cm² 
du domaine ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient: 1≤x≤λ et 0≤y≤f(x).
En utilisant les résultats de la partie II,
a) Calculer A(λ) en fonction de λ.
b) Déterminer la limite de A(λ) lorsque λ tend vers +∞.
c) Justifier l’affirmation:
« L’équation A(λ)=5 admet une solution unique notée λ0 » 
Puis donner un encadrement de λ0 d’amplitude 10−2.
Soit (un) la suite numérique définie sur IN* par:
un=(n+1n)n
Montrer, en remarquant que ln(un)=g(n), que:
a) La suite (un) est une suite croissante.
b) La suite (un) est convergente, et préciser sa limite.

? Polynésie 1997 
Soit f la fonction définie sur IR par:
f(x)=x−1+(x2+2)e−x
On note (C) la courbe représentative de f
dans un repère orthonormal (O;i→,j→)
(unité graphique 2cm). 
Partie I: Etude d’une fonction auxiliaire. 
Soit g la fonction définie sur IR par:
g(x)=1−(x2−2x+2)e−x
1. Etudier les limites de g en -∞ et en +∞.
2. Calculer la dérivée de g et déterminer son signe.
3. En déduire le tableau de variation de g.
Démontrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution α dans IR
puis justifier que 0,35≤α≤0,36.
En déduire le signe de g.

Partie II:Etude de f
1. Etudier les limites de f en -∞ et en +∞.
2. Déterminer f‘(x) pour tout x réel.
3. En déduire, à l’aide de la partie I, les variations de f 
et donner son tableau de variation.
4. a) Démontrer que: f(α)=α(1+2e−α)
b) A l’aide de l’encadrement de a déterminer un encadrement de f(α) d’amplitude 4×10−2
Démontrer que la droite Δ d’équation y=x−1 est asymptote à (C) en +∞. Préciser la position de (C) par rapport à Δ.
6. Donner une équation de la tangente T à (C) au point d’abscisse 0.
7. Tracer Δ,T puis (C)
8. a) Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction P définie sur IR par:
P(x)=(ax2+bx+c)c−x
soit une primitive sur IR de la fonction x➝(x^{2}+2) e^{-x}\)
b) Calculer en fonction de a l’aire A en cm²
de la partie du plan limitée par (C) Δ et les droites d’équations x=-a et x=0.
c) Justifier que: A=4e2n+8ea−16.

Partie III: Etude d’une suite
1. Démontrer que pour tout x de [1 ; 2]: 1≤f(x)≤2
2. Démontrer que pour tout x de [1 ; 2]: 0≤f’ ‘(x)≤34.
3. En utilisant le sens de variation de la fonction h
définie sur [1;2] par: h(x)=f(x)-x
démontrer que l’équation f(x)=x admet une solution unique β dans [1;2]
4. Soit (un) la suite numérique définie par u0=1 
et pour tout entier naturel n, un+1=f(un)
a) Démontrer que pour tout entier naturel n:
1≤un≤2
(b) Démontrer que pour tout entier naturel n:
|un+1−β|≤34|un−3|
c) Démontrer que pour tout entier naturel n:
|un−β|≤(34)n
d) En déduire que:
la suite (un) est convergente et donner sa limite.
e) Trouver un entier n0
tel que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à n0, 
on ait: |un−β|≤10−2.
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