Sujet maths Bac Série C PDF 2018

Sujet maths Bac Série C
Sujet maths Bac Série C PDF 2018

 Exercice 1
L’unité graphique est le centimètre.
Dans le plan orienté, on considère un losange OABC tel que:
\(OA =7 \text { et } \operatorname{Mes}(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OC})=\frac{\pi}{3}\)
E est le point du segment [OB] tel que : OE = OA.
\(F\) est le point de la demi-droite [OC) tel que : \(C F=E B\) et \(C∊[OF]\)
On désigne par I, J, K et L les milieux respectifs des côtés [OA], [AB], [BC] et [OC].
On désigne par \((\Delta)\) la médiatrice du segment [OA] et par ( \(\Delta\) ‘) celle de [BC].
1. Fais une figure.
2. \(a\) ) Justifie que les droites \((\Delta)\) et \((\Delta ‘)\) sont parallèles.
b) Justifie que le triangle OAC est équilatéral.
c) Justifie que : \(OB = OF\)
3. Soit \(R_{1}\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{6}\)
et \(R_{2}\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(-\frac{2 \pi}{3}\)
On pose \(: f= R _{1} o R _{2}\)
a) Détermine \(f( O )\) et \(f( A )\)
b) Démontre que \(f\) est une rotation d’angle \(-\frac{\pi}{2}\)
c) Déduis de ce qui précède que : (EF) \(\perp( OA )\) et EF = OA.
d) Construis le centre \(\Omega\) de \(f\)
4. a) Justifie qu’il existe une isométrie \(g\) et une seule telle que :
\(g(O)=A, g(A)=C\) et \(g(C)=B\)
b) Justifie que \(g\) est un antidéplacement.
c) Démontre que \(g\) est une symétrie glissée.
5. Dans cette partie, on se propose de caractériser la symétrie glissée \(g\).
Soit \(R\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(-\frac{\pi}{3}\)
et \(S\) la symétrie orthogonale d’axe \((\Delta)\)
a) Démontre que : \(g=\) RoS.
b) Détermine l’axe de la symétrie orthogonale \(S _{1}\) telle que :
\(R = S _{( AB )} O S _{1}\)
c) Déduis de ce qui précède que:
\(g= S _{( AB )}\) o \(t_{\vec{u}}\) où \(\vec{u}\) est un vecteur que l’on caractérisera.
d) En utilisant la relation \(\overrightarrow{ CB }=\overrightarrow{ CJ }+\overrightarrow{ JB },\)
détermine les éléments caractéristiques de \(g\).

 Exercice 2
Dans tout cet exercice, \(n\) est un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2
1. Démontre que \(n\) et \(2 n+1\) sont premiers entre eux.
2. On pose : \(A=n+3, B=2 n+1\) et \(d=P G C D(A ; B)\)
a) Calcule \(2 A – B\) et déduis-en les valeurs possibles de \(d\)
b) Démontre que:
\(A\) et \(B\) sont multiples de 5 si et seulement si \(n-2\) est multiple de 5
c) Soient \(S =n^{3}+2 n^{2}-3 n\) et \(P =2 n^{2}-n-1\)
Justifie que \(S\) et \(P\) sont divisibles par \(n-1\)
3. On pose : \(\delta= PGCD (n(n+3) ; 2 n+1)\)
a) Démontre que \(d\) divise \(\delta\)
b) Démontre que \(\delta\) et \(n\) sont premiers entre eux.
c) Déduis des questions \(3-a\) ) et \(3-b\) ) que \(\delta\) est égal à \(d\)
d) Détermine le \(PGCD ( S ; P )\) en fonction de \(n\)
4. Détermine \(PGCD ( S ; P )\) pour \(n=2016\) puis pour \(n=2017\)


 Problème
Soit n un entier naturel non nul et \( g_{n}\) la fonction numérique
définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : \(g_{n}(t)=(-\frac{2}{t}+\ln t)^{n}\)
On note \(( C _{n})\) la courbe représentative de \(g_{n}\) dans le plan

muni d’un repère orthogonal (O, I, J). 
Unités graphiques : \(OI =2 cm\) et \(OJ =0,5 cm\)

Partie A
1. \(a\) ) Calcule la limite de \(g_{1}\) en 0 .
b) Interprète graphiquement ce résultat.
2. \(a\) ) Calcule la limite de \(g_{1}\) en \(+∞\).
b) Justifie que \(( C _{1})\) 
admet une branche parabolique de direction celle de (OI) en \(+∞\)
3. On suppose que \(.g_{1} \text { est dérivable sur }] 0 ;+∞[\)
a) Démontre que \(g_{1\) est strictement croissante sur }] 0 ;+∞[ 
On admet que l’équation t∊] 0 ;+∞[\(g_{1}(t)=0\):
admet une solution α telle que \(2,3<α<2,4\)
b) Justifie que l’équation t∊] 0 ;+∞c[, \(g_{1}(t)=1\)
admet une solution unique β telle que : \(4,3<β<4,4
4. Soit \(t\) un nombre réel strictement positif. Démontre que:
a) \(.g_{1}(t)<0 ⇔ t∊] 0 ; α[\)
b) \(.g_{1}(t)>0 ⇔  t∊] α ;+∞[\)

Partie B
Dans cette partie, on suppose que \(n\) est supérieur ou égal à 2
1. \(a\) ) Calcule \(\lim _{t➝+∞} g_{n}(t)\)

b) Démontrer que :
\(\lim _{t➝+∞} \frac{g_{m(t)}}{t}=0\) (On pourra poser : \(x=t^{\frac{1}{n}}\) ).
\(c\) ) Interprete graphiquement les résultats précédents.
2. On suppose que \(n\) est pair.
a) Calcule \(\lim _{t➝ 0} g_{n}(t)\)
\(b\) ) Interprete graphiquement ce résultat.
3. On suppose que \(n\) est impair.
a) Calcule \(\lim _{t➝ 0} g_{n}(t)\)
b) Soit \(t\) un nombre réel strictement positif. 
i) Justifie que: \(g(t)<0 ⇔ t∊] 0;α[\)
ii) \(g_{n}(t)>0 ⇔ t∊] α;+∞[\)
(On pourra utiliser la question 4 de la partie A).
4. On suppose que pour tout entier naturel  n supérieur ou a  2:
 \(g_{n} \text { est dérivable sur }] 0 ;+∞[\) 
et on désigne par \(g_{n}’\) sa fonction dérivée.
a) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 
et pour tout nombre réel strictement positif t:
 \(g_{n} ‘(t)=n g_{1} ‘(t) × g_{(n-1)}(t)\)
b) Étudié suivant la parité de n:
le signe de \(g_{n} ‘\) sur ]0;+∞[.
c) Dresse suivant la parité de \(n\), le tableau de variation de \(g_{n}\)
Partie \(C\)
Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels non nuls et \(t\) un nombre réel strictement positif.
1. \(a\) ) Exprime \(g_{(n+p)}(t)\) en fonction de \(g_{n}(t)\) et \(g_{p}(t)\)
\(b\) ) Déduis de ce qui précède que : \(g_{(x+p)}(t)-g_{n}(t)=(g_{p}(t)-1) × g_{n}(t)\)
Dans toute la suite du problème, on suppose que \(n\) est pair.
2. Justifie que:
\(.a \text { ) }(C_{n}) \text { est au-dessus de }(C_{n+1}) \text { sur }] 0 ; β[\)
\(.b)( C _{n}) \text { est au-dessous de }( C _{n+1}) \text { sur }] β ;+∞[\)
(On pourra utiliser la question 3 de la partie A)
3. Construis (C \(_{2}\) ) et \(( C _{3})\) dans le même repère (O, I, \(J\) ). 
On prendra: \(a=2,35\) et \(β=4,35\)
4. Soit \(A_{n}\) l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan limitée par \(( C _{n}),( C _{n+1}\) ) 
et les droites . d’équations \(x=1\) et \(x=2\)
a) Justifie que, pour tout entier naturel \(n\) pair et non nul, \(A_{n}=\int_{1}^{2}(1-g_{1}(t)) × g_{n}(t) d t\)
b) À l’aide d’une intégration par parties, calculer:
\(\int_{1}^{2}(1-g_{1}(t)) d t\)
\(c\) ) Démontré que:
 pour tout entier naturel \(n\) pair et non nul, \(2 g_{n}(2) ≤ A_{n} ≤ 2 g_{n}(1)\)
\(d\) Déduis de ce qui précède que:
 pour tout entier naturel \(n\) pair et non nul, \(2(1-\ln 2)^{n} ≤ A_{n} ≤ 2^{n+1}\)



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