Sujet maths Bac Série C PDF 2019

Exercice 1
L’unité de longueur est le centimètre.
Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre K
tel que AB $= 3$ . On note $E$ le milieu du segment $[B C]$

G

le barycentre des points pondérés

(A, 4), (B, - 1)

(D, - 1)

1. a) Démontre que A est le milieu du segment [KG].
b) Justifie que:

G B^{2} = \frac{45}{2}

c) Justifie que:

G B = G D

d) Détermine et construis:
l’ensemble

(Γ_{1})

des points

M

du plan tels que :

4 M A^{2} - M B^{2} - M D^{2} = 9

a

) Justifie que:

A E = \frac{3 \sqrt{5}}{2}

b) Démontre que pour tout point

M

du plan:

3 M A^{2} - 2 M B^{2} - M D^{2} = - 27 + 4 \vec{A M} \cdot \vec{A E}

c) Détermine et construis:
l’ensemble (

Γ_{2}

) des points M du plan tels que:

3 M A^{2} - 2 M B^{2} - M D^{2} = 63

Exercice 2
On considère un entier naturel $m$ dont 1 ‘ecriture dans le système décimal est $\overset{―}{a b c}$ .

(On rappelle que:

m = 10^{2} a + 10 b + c)

Partie A
1. Écris l’entier naturel

m

en base 2 dans le cas où:

a = 1; b = 2

c = 1

2. On suppose que:

m \equiv 0 [27]

i) Démontre que:

10^{3} a + 10 \overset{―}{b c} \equiv 0 [27]

ii) Déduis-en que:

10 \overset{―}{b c} + a \equiv 0 [27]

iii) Justifie alors que:

l’entier

\overset{―}{b c a}

est divisible par 27

Partie B

Dans cette partie on suppose que:

a > c

On pose :

p = \overset{―}{c b a}; u = a - c

d = m - p

1. Justifie que:

d = 99 u

2. Déduis de la question précédente que:

l’entier naturel

d

ne peut être le carré d’un entier naturel.
3. On suppose que:

b = a + c

i) Justifie que:

m = 11 (10 a + c)

ii) Déduis-en que:

m

d

ne sont pas premiers entre eux.
4. On suppose que:

a = b + c

i) Justifie que:

d = 3^{2} \times 11 b

ii) Justifie que:

m = 110 b + 101 c

iii) Démontre que:

les entiers naturels

m

qui sont premiers avec

d

sont ceux qui vérifient à la fois:

b \neq 0

c \neq 0, b + c

n’est pas divisible par

3; b

c

sont premiers entre eux.
iv) Déduis des questions précédentes:

tous les entiers naturels

m

premiers avec

d

Problème
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).

L’unité graphique est le centimètre.

Pour tout entier naturel

n

non nul, on considère les fonctions:

f_{n}

F_{n}

continues sur

R

et définies par:

f_{n} (x) = \frac{x^{2 n}}{\sqrt{1 + x^{2}}}

F_{n} (x) = \int_{0}^{x} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1 + t^{2}}} d t

On note

(C_{n})

la courbe représentative de la fonction

F_{n}

dans le repère

(O, I, J)

On se propose dans ce problème de donner,

pour tout entier naturel

n

non nul,

1’allure de la courbe

(C_{n})

Partie A

On considère la fonction

f

définie sur

R

par:

f (x) = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})

On désigne par

(C)

la courbe représentative de la fonction

f

dans le plan muni du repère (O, I, J).

1. Démontre que

f

est une fonction impaire.
2. a) Calcule:

la limite de

f (x)

puis celle de

\frac{f (x)}{x}

quand

x

tend vers

+ \infty

b) Donne une interprétation graphique des résultats de la question précédente.
3. On admet que

f

est dérivable sur

R

.
a) Justifie que:

\forall x \in R, f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

b) Détermine le sens de variation de

f

sur

[0; + \infty [

c) Dresse le tableau de variation de

f

sur

[0; + \infty [

4. Détermine une équation de la tangente

(Δ)

(E)

au point

d

‘abscisse 0 .
5. On note

g

la fonction derivable sur

R

et définie par:

g (x) = - x + \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})

a) Détermine le sens de variation de

g

sur

R

.
6. Construis la courbe (

E

)

et la droite

(Δ)

dans le plan muni du repère (O, I, J).
7. On note

A

l’aire en cm² de la partie du plan limitée par la courbe (

C

la droite (OI) et les droites d’équations

x = 0

x = 1

Calculer

A

à l’aide d’une intégration par parties.

Partie B
1. a) Justifie que $F_{n}$ est définie sur $R$
b) Démontre que $F_{n}$ est une fonction impaire.
$c$ ) Étudie le sens de variation de $F_{n} sur [0; + \infty]$
2. Soit $(I_{n})$ la suite numérique définie par:
$(I_{0} = \ln (1 + \sqrt{2}) e t \forall n \in N^{*}, I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1 + t^{2}}} d t$
a) Démontre que: $\forall n \in N, I_{n} ⩾ 0$
b) Démontre que:

la suite

(I_{n})

est décroissante.

c)

Démontre que:

la suite

(I_{n})

est convergente.
(On ne demande pas de calculer la limite de

(I_{n})

d

) Vérifie que:

pour tout entier naturel

n

non nul et pour tout nombre réel

t

positif, on a :

t^{2 n} \sqrt{1 + t^{2}} = \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1 + t^{2}}} + \frac{t^{2 n + 2}}{\sqrt{1 + t^{2}}}

e) A l’aide d’une intégration par parties, justifie que:

\forall n \in N^{*}, I_{n + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2 n + 2} - \frac{2 n + 1}{2 n + 2} I_{n}

On remarquera que pour tout nombre réel

t, \frac{t^{2 n + 2}}{\sqrt{1 + t^{2}}} = t^{2 n + 1} \times \frac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}}

On admettra que:

I_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} I_{0}

f) Calcule:

I_{1}

I_{2}

3.a) Démontre que:

\forall x \in R, F_{n} (x) = I_{n} + \int_{1}^{x} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1 + t^{2}}} d t

b) Démontre que:

\begin{array}{l} \forall t \geq 1 . \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{t} \leq \frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}}} \\ \forall n \in N^{*} et \forall x \geq 1, \frac{1}{2 \sqrt{2}} \times \frac{1}{n} (x^{2 n} - 1) \leq \int_{1}^{x} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1 + t^{2}}} d t \end{array}

c ) Déduis-en la limite de

F_{n} (x)

lorsque

x

tend vers

+ \infty

d) Démontre que:

pour tout entier naturel non nul

n, (C_{n})

admet une branche parabolique de direction celle de la droite (OJ) en +∞.

e) Construis:

la courbe

(C_{2})

dans le plan muni du repère

(O, I, J)

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