Cette série d’exercices corrigés sur la parabole et l’hyperbole pour le Tronc Commun étudie les fonctions x² et 1/x, leurs courbes et leurs variations, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Exercices corrigés sur la parabole et l’hyperbole Tronc Commun
Parabole – Hyperbole · Série d’exercices Tronc Commun
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1.1
Fonction du second degré : étude et courbe
1) Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=2x^2-4x-1\).
1) Calculer \(f(2)\), \(f(1)\), \(f(0)\) et \(f(-1)\).
2) Déterminer le point d’intersection de \((C_f)\) avec l’axe des ordonnées.
3) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec l’axe des abscisses.
4) Étudier les variations de \(f\) sur \([1;+\infty[\), puis sur \(]-\infty;1]\).
5) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
6) Construire \((C_f)\).
1) Calculer \(f(2)\), \(f(1)\), \(f(0)\) et \(f(-1)\).
2) Déterminer le point d’intersection de \((C_f)\) avec l’axe des ordonnées.
3) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec l’axe des abscisses.
4) Étudier les variations de \(f\) sur \([1;+\infty[\), puis sur \(]-\infty;1]\).
5) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
6) Construire \((C_f)\).
Correction détaillée
\(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) : sommet \((\alpha;\beta)\), axe \(x=\alpha\).
🔢 1) \(f(2)=8-8-1=-1\) ; \(f(1)=2-4-1=-3\) ; \(f(0)=-1\) ; \(f(-1)=2+4-1=5\).
🔢 2) L’axe des ordonnées a pour équation \(x=0\) : \(f(0)=-1\). Le point est \((0;-1)\).
🔢 3) \(f(x)=0\iff2x^2-4x-1=0\). \(\Delta=16+8=24\), \(x=\dfrac{4\pm2\sqrt6}{4}=\dfrac{2\pm\sqrt6}{2}\). Points \(\left(\dfrac{2-\sqrt6}{2};0\right)\approx(-0{,}22;0)\) et \(\left(\dfrac{2+\sqrt6}{2};0\right)\approx(2{,}22;0)\).
🔢 4) Forme canonique : \(f(x)=2(x-1)^2-3\). Pour \(x_1\neq x_2\) : \(T=2(x_1+x_2-2)\). Sur \([1;+\infty[\) : \(x_1+x_2>2\), \(T>0\) : \(f\) est croissante. Sur \(]-\infty;1]\) : \(x_1+x_2<2\), \(T<0\) : \(f\) est décroissante.
🔢 5) Tableau de variations (minimum \(f(1)=-3\)) :
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘ | \(-3\) | ↗ |
🔢 6) \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(1;-3)\), d’axe \(x=1\), tournée vers le haut ; elle passe par \((-1;5)\), \((0;-1)\), \((2;-1)\), \((3;5)\) :
🔢
✅ 1) \(-1\) ; \(-3\) ; \(-1\) ; \(5\) ; 2) \((0;-1)\) ; 3) \(\left(\frac{2\pm\sqrt6}{2};0\right)\) ; 4) décroissante sur \(]-\infty;1]\), croissante sur \([1;+\infty[\) ; 5) minimum \(-3\) en \(1\) ; 6) parabole de sommet \((1;-3)\).
2) Soit \(f\) une fonction numérique telle que \(f(x)=2x^2-4x-2\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Déterminer \(D_f\).
2) Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x)=2(x-\alpha)^2+\beta\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
3) Déterminer le tableau de variations de \(f\).
4) Tracer la courbe représentative \((C_f)\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Déterminer \(D_f\).
2) Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x)=2(x-\alpha)^2+\beta\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
3) Déterminer le tableau de variations de \(f\).
4) Tracer la courbe représentative \((C_f)\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
Correction détaillée
Identifier \(ax^2+bx+c\) à \(a(x-\alpha)^2+\beta\) : \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\).
🔢 1) \(f\) est un polynôme : \(D_f=\mathbb{R}\).
🔢 2) \(2(x-\alpha)^2+\beta=2x^2-4\alpha x+2\alpha^2+\beta\). En identifiant : \(-4\alpha=-4\), donc \(\alpha=1\), puis \(2+\beta=-2\), donc \(\beta=-4\). Ainsi \(f(x)=2(x-1)^2-4\).
🔢 3) \(a=2>0\) : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;1]\) et croissante sur \([1;+\infty[\), de minimum \(f(1)=-4\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘ | \(-4\) | ↗ |
🔢 4) Parabole de sommet \(S(1;-4)\), d’axe \(x=1\). Points : \(f(0)=f(2)=-2\), \(f(-1)=f(3)=6\) :
🔢
✅ 1) \(D_f=\mathbb{R}\) ; 2) \(\alpha=1\), \(\beta=-4\) ; 3) décroissante puis croissante, minimum \(-4\) ; 4) parabole de sommet \((1;-4)\).
3) Soit \(g\) une fonction numérique telle que \(g(x)=-\dfrac12x^2+2x+1\) et \((C_g)\) sa courbe représentative dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Déterminer \(D_g\).
2) Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(g(x)=-\dfrac12(x-\alpha)^2+\beta\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
3) Déterminer le tableau de variations de \(g\).
4) Tracer la courbe représentative \((C_g)\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Déterminer \(D_g\).
2) Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(g(x)=-\dfrac12(x-\alpha)^2+\beta\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
3) Déterminer le tableau de variations de \(g\).
4) Tracer la courbe représentative \((C_g)\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
Correction détaillée
\(a<0\) : parabole tournée vers le bas, le sommet est un maximum.
🔢 1) \(g\) est un polynôme : \(D_g=\mathbb{R}\).
🔢 2) \(-\dfrac12(x-\alpha)^2+\beta=-\dfrac12x^2+\alpha x-\dfrac12\alpha^2+\beta\). On identifie : \(\alpha=2\), puis \(-2+\beta=1\), donc \(\beta=3\). Ainsi \(g(x)=-\dfrac12(x-2)^2+3\).
🔢 3) \(a=-\dfrac12<0\) : \(g\) est croissante sur \(]-\infty;2]\) et décroissante sur \([2;+\infty[\), de maximum \(g(2)=3\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | \(3\) | ↘ |
🔢 4) Parabole de sommet \(S(2;3)\), d’axe \(x=2\), tournée vers le bas. Points : \(g(0)=g(4)=1\), \(g(-1)=g(5)=-\dfrac72\) (hors du cadre) :
🔢
✅ 1) \(D_g=\mathbb{R}\) ; 2) \(\alpha=2\), \(\beta=3\) ; 3) croissante puis décroissante, maximum \(3\) ; 4) parabole de sommet \((2;3)\).
Exercice 1.2
Parabole et droite
1) Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=-x^2+2x+1\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Écrire \(f(x)\) sous sa forme canonique.
2) Étudier le sens de variation de \(f\) sur les intervalles \(]-\infty;1]\) et \([1;+\infty[\).
3) Quelle est la nature de la courbe \((C_f)\) ? Préciser ses éléments caractéristiques.
4) Tracer la courbe \((C_f)\) et la droite d’équation \(y=x-1\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
5) Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\geq x-1\).
1) Écrire \(f(x)\) sous sa forme canonique.
2) Étudier le sens de variation de \(f\) sur les intervalles \(]-\infty;1]\) et \([1;+\infty[\).
3) Quelle est la nature de la courbe \((C_f)\) ? Préciser ses éléments caractéristiques.
4) Tracer la courbe \((C_f)\) et la droite d’équation \(y=x-1\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
5) Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\geq x-1\).
Correction détaillée
Inéquation \(f(x)\geq g(x)\) : lire les abscisses où \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\).
🔢 1) \(f(x)=-(x^2-2x)+1=-\left[(x-1)^2-1\right]+1=-(x-1)^2+2\).
🔢 2) \(a=-1<0\) : \(f\) est croissante sur \(]-\infty;1]\) et décroissante sur \([1;+\infty[\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | \(2\) | ↘ |
🔢 3) \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(1;2)\), d’axe de symétrie la droite \(x=1\), tournée vers le bas (\(a<0\)).
🔢 4) On trace la parabole (points \((0;1)\), \((2;1)\), \((-1;-2)\), \((3;-2)\)) et la droite \(y=x-1\) (points \((0;-1)\) et \((1;0)\)) :
🔢
🔢 5) On cherche les positions où la parabole est au-dessus de la droite (ou la touche). Les deux courbes se coupent aux points d’abscisses \(-1\) et \(2\) (confirmation : \(f(x)=x-1\iff-x^2+x+2=0\iff x=-1\) ou \(x=2\)). La parabole est au-dessus de la droite entre ces deux abscisses : \(S=[-1;2]\).
✅ 1) \(f(x)=-(x-1)^2+2\) ; 2) croissante sur \(]-\infty;1]\), décroissante sur \([1;+\infty[\) ; 3) parabole de sommet \(S(1;2)\), d’axe \(x=1\) ; 4) figure ; 5) \(S=[-1;2]\).
2) Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par \(f(x)=2x-4\) et \(g(x)=2x^2-6x+2\).
1)
a) Déterminer \(D_f\).
b) Déterminer la nature de \((C_f)\).
c) Résoudre l’équation \(f(x)=0\) et donner une interprétation géométrique des résultats.
2)
a) Calculer \(g\left(\dfrac32\right)\), \(g(0)\), \(g(-1)\).
b) Dresser le tableau de variations de \(g\).
3) Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
4)
a) Vérifier que \(f(1)=-2=g(1)\).
b) Résoudre l’équation \(g(x)=f(x)\).
c) En déduire les points d’intersection des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\).
5) Déterminer \(x_1\) et \(x_2\) les abscisses des points d’intersection de \((C_g)\) avec \((Ox)\) (\(x_1<x_2\)).
6) Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
7) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\leq f(x)\).
1)
a) Déterminer \(D_f\).
b) Déterminer la nature de \((C_f)\).
c) Résoudre l’équation \(f(x)=0\) et donner une interprétation géométrique des résultats.
2)
a) Calculer \(g\left(\dfrac32\right)\), \(g(0)\), \(g(-1)\).
b) Dresser le tableau de variations de \(g\).
3) Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
4)
a) Vérifier que \(f(1)=-2=g(1)\).
b) Résoudre l’équation \(g(x)=f(x)\).
c) En déduire les points d’intersection des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\).
5) Déterminer \(x_1\) et \(x_2\) les abscisses des points d’intersection de \((C_g)\) avec \((Ox)\) (\(x_1<x_2\)).
6) Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
7) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\leq f(x)\).
Correction détaillée
Résoudre \(g(x)=f(x)\) donne les abscisses d’intersection.
🔢 1) a) \(D_f=\mathbb{R}\). b) \(f\) est affine : \((C_f)\) est une droite. c) \(f(x)=0\iff x=2\) : \((C_f)\) coupe l’axe des abscisses au point \((2;0)\).
🔢 2) a) \(g\left(\dfrac32\right)=\dfrac92-9+2=-\dfrac52\) ; \(g(0)=2\) ; \(g(-1)=2+6+2=10\).
🔢 2) b) \(g(x)=2\left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac52\), \(a=2>0\) : décroissante sur \(\left]-\infty;\dfrac32\right]\), croissante sur \(\left[\dfrac32;+\infty\right[\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac32\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ↘ | \(-\frac52\) | ↗ |
🔢 3) \((C_g)\) est une parabole de sommet \(S\left(\dfrac32;-\dfrac52\right)\), d’axe \(x=\dfrac32\), tournée vers le haut.
🔢 4) a) \(f(1)=2-4=-2\) et \(g(1)=2-6+2=-2\). b) \(g(x)=f(x)\iff2x^2-8x+6=0\iff x^2-4x+3=0\iff x=1\) ou \(x=3\). c) \(f(1)=-2\), \(f(3)=2\) : les courbes se coupent en \((1;-2)\) et \((3;2)\).
🔢 5) \(g(x)=0\iff x^2-3x+1=0\), \(\Delta=5\) : \(x_1=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\approx0{,}38\) et \(x_2=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\approx2{,}62\).
🔢 6) Construction :
🔢
🔢 7) \(g(x)\leq f(x)\) : \((C_g)\) est en dessous de \((C_f)\) entre les abscisses \(1\) et \(3\). \(S=[1;3]\).
✅ 1) \(D_f=\mathbb{R}\), droite, \((2;0)\) ; 2) \(-\frac52\) ; \(2\) ; \(10\) ; 3) parabole de sommet \(\left(\frac32;-\frac52\right)\) ; 4) \(S=\{1;3\}\), points \((1;-2)\) et \((3;2)\) ; 5) \(x_1=\frac{3-\sqrt5}{2}\), \(x_2=\frac{3+\sqrt5}{2}\) ; 7) \(S=[1;3]\).
Exercice 2.1
Courbes de ½x² et de −½x²
1) Donner le tableau et représenter la courbe des fonctions numériques définies par :
1) \(f(x)=\dfrac12x^2\).
2) \(f(x)=-\dfrac12x^2\).
1) \(f(x)=\dfrac12x^2\).
2) \(f(x)=-\dfrac12x^2\).
Correction détaillée
\(y=ax^2\) : parabole de sommet \(O\) ; \(a>0\) vers le haut, \(a<0\) vers le bas.
🔢 1) Tableau de valeurs de \(f(x)=\dfrac12x^2\) :
🔢
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\frac92\) | \(2\) | \(\frac12\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(2\) | \(\frac92\) |
🔢 1) \((C_f)\) est une parabole de sommet \(O(0;0)\), d’axe l’axe des ordonnées, tournée vers le haut :
🔢
🔢 2) Tableau de valeurs de \(f(x)=-\dfrac12x^2\) :
🔢
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-\frac92\) | \(-2\) | \(-\frac12\) | \(0\) | \(-\frac12\) | \(-2\) | \(-\frac92\) |
🔢 2) \((C_f)\) est une parabole de sommet \(O(0;0)\), d’axe l’axe des ordonnées, tournée vers le bas (symétrique de la précédente par rapport à l’axe des abscisses) :
🔢
✅ 1) parabole de sommet \(O\) tournée vers le haut ; 2) parabole de sommet \(O\) tournée vers le bas.
Exercice 3.1
Translation verticale d’une courbe
1) 1) Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=-\dfrac12(x-1)^2\). Étudier la fonction \(f\) et tracer \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
Correction détaillée
\(h=g+c\) : translation de vecteur \(c\,\vec{j}\).
🔢 1) \(D_f=\mathbb{R}\). \(a=-\dfrac12<0\) : \(f\) est croissante sur \(]-\infty;1]\), décroissante sur \([1;+\infty[\), de maximum \(f(1)=0\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | \(0\) | ↘ |
🔢 1) \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(1;0)\), tournée vers le bas ; \(f(0)=f(2)=-\dfrac12\), \(f(-1)=f(3)=-2\) :
🔢
✅ 1) \(f\) croissante puis décroissante, maximum \(0\)
2) 2) Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=-\dfrac12(|x|-1)^2\).
a) Montrer que \(g\) est paire.
b) Dresser le tableau de variation de \(g\).
3) Soit \(h\) la fonction définie par \(h(x)=-\dfrac12x^2+|x|+\dfrac12\). Tracer la courbe représentative de \(h\) en utilisant celle de \(g\).
a) Montrer que \(g\) est paire.
b) Dresser le tableau de variation de \(g\).
3) Soit \(h\) la fonction définie par \(h(x)=-\dfrac12x^2+|x|+\dfrac12\). Tracer la courbe représentative de \(h\) en utilisant celle de \(g\).
Correction détaillée
\(h=g+c\) : translation de vecteur \(c\,\vec{j}\).
🔢 2) a) \(D_g=\mathbb{R}\) est symétrique et \(g(-x)=-\dfrac12(|-x|-1)^2=-\dfrac12(|x|-1)^2=g(x)\) : \(g\) est paire.
🔢 2) b) Pour \(x\geq0\) : \(g(x)=-\dfrac12(x-1)^2=f(x)\). Donc \(g\) est croissante sur \([0;1]\) et décroissante sur \([1;+\infty[\). Par parité : croissante sur \(]-\infty;-1]\) et décroissante sur \([-1;0]\). \(g(0)=-\dfrac12\), \(g(\pm1)=0\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | \(0\) | ↘ | \(-\frac12\) | ↗ | \(0\) | ↘ |
🔢 3) \(h(x)=-\dfrac12x^2+|x|+\dfrac12\) et \(g(x)=-\dfrac12(x^2-2|x|+1)=-\dfrac12x^2+|x|-\dfrac12\) (car \(|x|^2=x^2\)). Donc \(h(x)=g(x)+1\) : \((C_h)\) est l’image de \((C_g)\) par la translation de vecteur \(\vec{j}\) :
🔢
✅ 2) \(g\) paire ; tableau ci-dessus ; 3) \((C_h)\) est l’image de \((C_g)\) par la translation de vecteur \(\vec{j}\)
3) 4) Soit \((\Delta)\) la droite d’équation \(y=-\dfrac12x-\dfrac12\).
a) Tracer \((\Delta)\) dans le même repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
b) Montrer que \((\Delta)\) coupe \((C_f)\) en deux points \(A\) et \(B\) que l’on précisera.
a) Tracer \((\Delta)\) dans le même repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
b) Montrer que \((\Delta)\) coupe \((C_f)\) en deux points \(A\) et \(B\) que l’on précisera.
Correction détaillée
\(h=g+c\) : translation de vecteur \(c\,\vec{j}\).
🔢 4) a) La droite \((\Delta)\) passe par \((0;-\dfrac12)\) et \((1;-1)\). b) \(f(x)=-\dfrac12x-\dfrac12\iff-\dfrac12(x^2-2x+1)=-\dfrac12x-\dfrac12\iff x^2-2x+1=x+1\iff x^2-3x=0\iff x=0\) ou \(x=3\). \(f(0)=-\dfrac12\) et \(f(3)=-2\). Donc \(A\left(0;-\dfrac12\right)\) et \(B(3;-2)\) :
🔢
✅ 4) \(A\left(0;-\frac12\right)\) et \(B(3;-2)\).
4) Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x^2+4x+2\).
1)
a) Dresser le tableau de variations de \(f\).
b) Donner la nature de \((C_f)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
c) Calculer \(f(-2)\), \(f(0)\), \(f(1)\).
2) Déterminer \(x_1\) et \(x_2\) les abscisses des points d’intersection de \((C_f)\) avec \((Ox)\) (\(x_1<x_2\)).
3) Construire \((C_f)\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
4) Construire la courbe de chacune des fonctions suivantes avec \((C_f)\) dans des figures isolées dans le repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
a) La fonction \(u\) telle que \(u(x)=f(x)+2\).
b) La fonction \(v\) telle que \(v(x)=-f(x)-3\).
c) La fonction \(w\) telle que \(w(x)=|f(x)|-1\).
5) Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=f(|x|)+2\).
a) Montrer que la fonction \(g\) est paire.
b) Montrer que pour tout \(x>0\), \(g(x)=u(x)\).
6) Construire la courbe \((C_g)\) avec la courbe \((C_f)\) dans une figure isolée dans le repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1)
a) Dresser le tableau de variations de \(f\).
b) Donner la nature de \((C_f)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
c) Calculer \(f(-2)\), \(f(0)\), \(f(1)\).
2) Déterminer \(x_1\) et \(x_2\) les abscisses des points d’intersection de \((C_f)\) avec \((Ox)\) (\(x_1<x_2\)).
3) Construire \((C_f)\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
4) Construire la courbe de chacune des fonctions suivantes avec \((C_f)\) dans des figures isolées dans le repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
a) La fonction \(u\) telle que \(u(x)=f(x)+2\).
b) La fonction \(v\) telle que \(v(x)=-f(x)-3\).
c) La fonction \(w\) telle que \(w(x)=|f(x)|-1\).
5) Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=f(|x|)+2\).
a) Montrer que la fonction \(g\) est paire.
b) Montrer que pour tout \(x>0\), \(g(x)=u(x)\).
6) Construire la courbe \((C_g)\) avec la courbe \((C_f)\) dans une figure isolée dans le repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
Correction détaillée
\(f+c\) : translation \(c\vec{j}\) ; \(-f\) : symétrie d’axe \((Ox)\) ; \(|f|\) : on rabat la partie négative ; \(f(|x|)\) : symétrie par rapport à \((Oy)\) de la partie \(x\geq0\).
🔢 1) a) \(f(x)=(x+2)^2-2\), \(a>0\) : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-2]\) et croissante sur \([-2;+\infty[\), minimum \(f(-2)=-2\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘ | \(-2\) | ↗ |
🔢 1) b) \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(-2;-2)\), d’axe \(x=-2\), tournée vers le haut. c) \(f(-2)=-2\), \(f(0)=2\), \(f(1)=7\).
🔢 2) \(f(x)=0\iff x^2+4x+2=0\), \(\Delta=8\), \(x=\dfrac{-4\pm2\sqrt2}{2}=-2\pm\sqrt2\). \(x_1=-2-\sqrt2\approx-3{,}41\) et \(x_2=-2+\sqrt2\approx-0{,}59\).
🔢 3) \((C_f)\) passe par \(S(-2;-2)\), \((0;2)\), \((-4;2)\), \((1;7)\), \((-5;7)\) :
🔢
🔢 4) a) \(u=f+2\) : \((C_u)\) est l’image de \((C_f)\) par la translation de vecteur \(2\vec{j}\) (courbe pleine ; \((C_f)\) en pointillés) :
🔢
🔢 4) b) \(v=-f-3\) : on prend le symétrique de \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses (\(-f\)), puis on translate de \(-3\vec{j}\). Sommet de \((C_v)\) : \((-2;-1)\) :
🔢
🔢 4) c) \(w=|f|-1\) : on garde la partie de \((C_f)\) au-dessus de l’axe des abscisses, on prend le symétrique de la partie sous l’axe (entre \(x_1\) et \(x_2\)), puis on translate de \(-1\vec{j}\) :
🔢
🔢 5) a) \(D_g=\mathbb{R}\) est symétrique et \(g(-x)=f(|-x|)+2=f(|x|)+2=g(x)\) : \(g\) est paire. b) Pour \(x>0\), \(|x|=x\) donc \(g(x)=f(x)+2=u(x)\).
🔢 6) Pour \(x\geq0\), \((C_g)\) coïncide avec \((C_u)\) ; pour \(x\leq0\), on complète par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (\(g\) paire) :
🔢
✅ 1) \(f\) décroissante puis croissante, minimum \(-2\), parabole de sommet \((-2;-2)\) ; \(f(-2)=-2\), \(f(0)=2\), \(f(1)=7\) ; 2) \(x_1=-2-\sqrt2\), \(x_2=-2+\sqrt2\) ; 4) figures ; 5) \(g\) paire et \(g(x)=u(x)\) pour \(x>0\) ; 6) figure.
Exercice 4.1
Fonctions homographiques : étude et courbe
1) Soit \(f\) une fonction numérique telle que \(f(x)=\dfrac{-2x+1}{2x-4}\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Déterminer \(D_f\).
2) Déterminer \(\alpha\), \(\beta\) et \(k\) tels que \(f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) pour tout \(x\in D_f\).
3) Déterminer le tableau de variations de \(f\).
4) Tracer la courbe représentative \((C_f)\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Déterminer \(D_f\).
2) Déterminer \(\alpha\), \(\beta\) et \(k\) tels que \(f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) pour tout \(x\in D_f\).
3) Déterminer le tableau de variations de \(f\).
4) Tracer la courbe représentative \((C_f)\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
Correction détaillée
\(f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) : centre \((\alpha;\beta)\) ; \(k>0\) décroissante, \(k<0\) croissante.
🔢 1) \(2x-4\neq0\iff x\neq2\) : \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
🔢 2) \(-2x+1=-(2x-4)-3\), donc \(f(x)=-1-\dfrac{3}{2x-4}=-1-\dfrac{3/2}{x-2}\). Ainsi \(\alpha=2\), \(\beta=-1\), \(k=-\dfrac32\).
🔢 3) \(k<0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | ∥ | ↗ |
🔢 4) \((C_f)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(2;-1)\), d’asymptotes \(x=2\) et \(y=-1\). Points : \(\left(\dfrac12;0\right)\), \((0;-\dfrac14)\), \((1;\dfrac12)\), \((3;-\dfrac52)\), \((4;-\dfrac74)\) :
🔢
✅ 1) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) ; 2) \(\alpha=2\), \(\beta=-1\), \(k=-\frac32\) ; 3) \(f\) croissante sur chaque intervalle de \(D_f\) ; 4) hyperbole de centre \((2;-1)\).
2) Soit \(f\) une fonction numérique telle que \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Déterminer \(D_f\).
2) Déterminer \(\alpha\), \(\beta\) et \(k\) tels que \(f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) pour tout \(x\in D_f\).
3) Déterminer le tableau de variations de \(f\).
4) Tracer la courbe représentative \((C_f)\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Déterminer \(D_f\).
2) Déterminer \(\alpha\), \(\beta\) et \(k\) tels que \(f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) pour tout \(x\in D_f\).
3) Déterminer le tableau de variations de \(f\).
4) Tracer la courbe représentative \((C_f)\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
Correction détaillée
Écrire le numérateur en fonction du dénominateur pour obtenir \(\beta+\frac{k}{x-\alpha}\).
🔢 1) \(x-1\neq0\iff x\neq1\) : \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
🔢 2) \(2x+1=2(x-1)+3\), donc \(f(x)=2+\dfrac{3}{x-1}\) : \(\alpha=1\), \(\beta=2\), \(k=3\).
🔢 3) \(k>0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘ | ∥ | ↘ |
🔢 4) Hyperbole de centre \(\Omega(1;2)\), d’asymptotes \(x=1\) et \(y=2\). Points : \((0;-1)\), \((2;5)\), \((3;\dfrac72)\), \((-1;\dfrac12)\), \(\left(-\dfrac12;0\right)\) :
🔢
✅ 1) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ; 2) \(\alpha=1\), \(\beta=2\), \(k=3\) ; 3) décroissante sur chaque intervalle ; 4) hyperbole de centre \((1;2)\).
3) Soit \(g\) une fonction numérique telle que \(g(x)=\dfrac{-x}{x-2}\) et \((C_g)\) sa courbe représentative dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Déterminer \(D_g\).
2) Déterminer \(\alpha\), \(\beta\) et \(k\) tels que \(g(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) pour tout \(x\in D_g\).
3) Déterminer le tableau de variations de \(g\).
4) Tracer la courbe représentative \((C_g)\).
1) Déterminer \(D_g\).
2) Déterminer \(\alpha\), \(\beta\) et \(k\) tels que \(g(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) pour tout \(x\in D_g\).
3) Déterminer le tableau de variations de \(g\).
4) Tracer la courbe représentative \((C_g)\).
Correction détaillée
\(k<0\) : \(g\) croissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition.
🔢 1) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
🔢 2) \(-x=-(x-2)-2\), donc \(g(x)=-1-\dfrac{2}{x-2}\) : \(\alpha=2\), \(\beta=-1\), \(k=-2\).
🔢 3) \(k<0\) : \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | ∥ | ↗ |
🔢 4) Hyperbole de centre \(\Omega(2;-1)\). Points : \((0;0)\), \((1;1)\), \((3;-3)\), \((4;-2)\) :
🔢
✅ 1) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) ; 2) \(\alpha=2\), \(\beta=-1\), \(k=-2\) ; 3) croissante sur chaque intervalle ; 4) hyperbole de centre \((2;-1)\).
4) Soit la fonction numérique \(f:x\mapsto\dfrac{2x-1}{x-1}\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1)
a) Déterminer \(D_f\) et trouver les réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-1}\).
b) Donner le tableau de variations de \(f\) et construire \((C_f)\).
2) On considère l’équation \((E):x^3-x^2-2x+1=0\).
a) Vérifier que l’équation \((E)\) est équivalente à \(x^2=\dfrac{2x-1}{x-1}\).
b) En déduire le nombre de solutions de l’équation \((E)\).
1)
a) Déterminer \(D_f\) et trouver les réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-1}\).
b) Donner le tableau de variations de \(f\) et construire \((C_f)\).
2) On considère l’équation \((E):x^3-x^2-2x+1=0\).
a) Vérifier que l’équation \((E)\) est équivalente à \(x^2=\dfrac{2x-1}{x-1}\).
b) En déduire le nombre de solutions de l’équation \((E)\).
Correction détaillée
Équation \(x^2=f(x)\) : intersections de deux courbes connues.
🔢 1) a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). \(2x-1=2(x-1)+1\), donc \(f(x)=2+\dfrac{1}{x-1}\) : \(\alpha=2\) et \(\beta=1\).
🔢 1) b) \(\beta=1>0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘ | ∥ | ↘ |
🔢 1) b) \((C_f)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(1;2)\), d’asymptotes \(x=1\) et \(y=2\). Points : \((0;1)\), \((2;3)\), \(\left(\dfrac12;0\right)\), \(\left(\dfrac32;4\right)\), \((-1;\dfrac32)\), \((3;\dfrac52)\) (figure plus bas).
🔢 2) a) Pour \(x\neq1\) : \(x^2=\dfrac{2x-1}{x-1}\iff x^2(x-1)=2x-1\iff x^3-x^2-2x+1=0\). De plus \(x=1\) n’est pas solution de \((E)\) (\(1-1-2+1=-1\neq0\)). Les deux équations sont équivalentes.
🔢 2) b) Les solutions de \((E)\) sont les abscisses des points d’intersection de la parabole \(y=x^2\) et de \((C_f)\). La figure montre trois points d’intersection (d’abscisses environ \(-1{,}25\), \(0{,}45\) et \(1{,}80\)) :
🔢
✅ 1) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\), \(\alpha=2\), \(\beta=1\), \(f\) décroissante sur chaque intervalle ; 2) \((E)\) possède 3 solutions réelles.
Exercice 4.2
Hyperbole et autres courbes : exercices de synthèse
1) Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par \(f(x)=-2x-3\) et \(g(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}\).
1)
a) Déterminer \(D_f\).
b) Déterminer la nature de \((C_f)\).
c) Résoudre l’équation \(f(x)=1\).
2)
a) Calculer \(g(-4)\), \(g(-3)\), \(g(-1)\), \(g(0)\).
b) Dresser le tableau de variations de \(g\).
3) Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
4)
a) Résoudre l’équation \(g(x)=f(x)\).
b) En déduire les points d’intersection des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\).
5) Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
6) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\leq f(x)\).
1)
a) Déterminer \(D_f\).
b) Déterminer la nature de \((C_f)\).
c) Résoudre l’équation \(f(x)=1\).
2)
a) Calculer \(g(-4)\), \(g(-3)\), \(g(-1)\), \(g(0)\).
b) Dresser le tableau de variations de \(g\).
3) Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
4)
a) Résoudre l’équation \(g(x)=f(x)\).
b) En déduire les points d’intersection des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\).
5) Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
6) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\leq f(x)\).
Correction détaillée
Mettre \(g\) sous la forme \(\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) pour obtenir les éléments de l’hyperbole.
🔢 1) a) \(D_f=\mathbb{R}\). b) \((C_f)\) est une droite. c) \(-2x-3=1\iff x=-2\).
🔢 2) a) \(g(-4)=\dfrac{-5}{-2}=\dfrac52\) ; \(g(-3)=\dfrac{-3}{-1}=3\) ; \(g(-1)=\dfrac{1}{1}=1\) ; \(g(0)=\dfrac32\).
🔢 2) b) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\) et \(g(x)=2-\dfrac{1}{x+2}\) (car \(2x+3=2(x+2)-1\)). \(k=-1<0\) : \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-2[\) et sur \(]-2;+\infty[\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ↗ | ∥ | ↗ |
🔢 3) \((C_g)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(-2;2)\), d’asymptotes \(x=-2\) et \(y=2\).
🔢 4) a) \(\dfrac{2x+3}{x+2}=-(2x+3)\iff(2x+3)\left(\dfrac{1}{x+2}+1\right)=0\iff(2x+3)\dfrac{x+3}{x+2}=0\iff x=-\dfrac32\) ou \(x=-3\). b) \(f\left(-\dfrac32\right)=0\) et \(f(-3)=3\) : points \(\left(-\dfrac32;0\right)\) et \((-3;3)\).
🔢 5) Construction :
🔢
🔢 6) \(g(x)-f(x)=\dfrac{(2x+3)(x+3)}{x+2}\). Tableau de signes : \(g(x)\leq f(x)\iff\dfrac{(2x+3)(x+3)}{x+2}\leq0\iff x\leq-3\) ou \(-2<x\leq-\dfrac32\). Graphiquement : \((C_g)\) est sous \((C_f)\) sur ces intervalles. \(S=]-\infty;-3]\cup\left]-2;-\dfrac32\right]\).
✅ 1) droite ; \(x=-2\) ; 2) \(\frac52\) ; \(3\) ; \(1\) ; \(\frac32\) ; \(g\) croissante sur chaque intervalle ; 3) hyperbole de centre \((-2;2)\) ; 4) \(S=\{-3;-\frac32\}\), points \((-3;3)\) et \(\left(-\frac32;0\right)\) ; 6) \(S=]-\infty;-3]\cup\left]-2;-\frac32\right]\).
2) Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par \(f(x)=-2x^2+8x-5\) et \(g(x)=\dfrac{2x-4}{x-1}\).
1)
a) Calculer \(f(3)\) et \(g(3)\).
b) Vérifier que \(f(x)-g(x)=\dfrac{(x-3)(-2x^2+4x-3)}{x-1}\).
c) Montrer que \((C_f)\) et \((C_g)\) se coupent en un point unique \(A\) et déterminer \(A\).
2)
a) Déterminer \(D_f\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
3)
a) Donner la nature de \((C_f)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
b) Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\).
4)
a) Déterminer \(D_g\).
b) Dresser le tableau de variations de \(g\).
5)
a) Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
b) Calculer \(g(-1)\), \(g(0)\), \(g(2)\).
6) Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
7) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\leq f(x)\).
1)
a) Calculer \(f(3)\) et \(g(3)\).
b) Vérifier que \(f(x)-g(x)=\dfrac{(x-3)(-2x^2+4x-3)}{x-1}\).
c) Montrer que \((C_f)\) et \((C_g)\) se coupent en un point unique \(A\) et déterminer \(A\).
2)
a) Déterminer \(D_f\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
3)
a) Donner la nature de \((C_f)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
b) Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\).
4)
a) Déterminer \(D_g\).
b) Dresser le tableau de variations de \(g\).
5)
a) Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
b) Calculer \(g(-1)\), \(g(0)\), \(g(2)\).
6) Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
7) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\leq f(x)\).
Correction détaillée
Position relative : étudier le signe de \(f(x)-g(x)\).
🔢 1) a) \(f(3)=-18+24-5=1\) et \(g(3)=\dfrac{2}{2}=1\).
🔢 1) b) \(f(x)-g(x)=\dfrac{(-2x^2+8x-5)(x-1)-(2x-4)}{x-1}=\dfrac{-2x^3+10x^2-15x+9}{x-1}\) et \((x-3)(-2x^2+4x-3)=-2x^3+10x^2-15x+9\) : l’égalité est vérifiée.
🔢 1) c) \(f(x)=g(x)\iff(x-3)(-2x^2+4x-3)=0\). Le trinôme \(-2x^2+4x-3\) a \(\Delta=16-24=-8<0\) : il n’a pas de racine. Donc \(x=3\) est l’unique solution, et \(A(3;1)\).
🔢 2) a) \(D_f=\mathbb{R}\).
🔢 2) b) \(f(x)=-2(x-2)^2+3\), \(a<0\) : croissante sur \(]-\infty;2]\), décroissante sur \([2;+\infty[\), maximum \(f(2)=3\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | \(3\) | ↘ |
🔢 3) a) \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(2;3)\), d’axe \(x=2\), tournée vers le bas. b) \(f(0)=-5\), \(f(1)=1\), \(f(2)=3\).
🔢 4) a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). b) \(g(x)=2-\dfrac{2}{x-1}\) (car \(2x-4=2(x-1)-2\)), \(k=-2<0\) : \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ↗ | ∥ | ↗ |
🔢 5) a) \((C_g)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(1;2)\), d’asymptotes \(x=1\) et \(y=2\). b) \(g(-1)=\dfrac{-6}{-2}=3\), \(g(0)=4\), \(g(2)=0\).
🔢 6) Construction :
🔢
🔢 7) \(g(x)\leq f(x)\iff f(x)-g(x)\geq0\iff\dfrac{(x-3)(-2x^2+4x-3)}{x-1}\geq0\). Comme \(-2x^2+4x-3<0\) toujours, il faut \(\dfrac{x-3}{x-1}\leq0\) : \(1<x\leq3\). \(S=]1;3]\) (sur la figure, \((C_g)\) est sous \((C_f)\) entre \(x=1\) et \(x=3\)).
✅ 1) \(A(3;1)\) ; 2) \(f\) croissante sur \(]-\infty;2]\), décroissante sur \([2;+\infty[\) ; 3) parabole de sommet \((2;3)\) ; \(f(0)=-5\), \(f(1)=1\), \(f(2)=3\) ; 4) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\), \(g\) croissante ; 5) hyperbole de centre \((1;2)\) ; \(3\), \(4\), \(0\) ; 7) \(S=]1;3]\).
3) Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par \(f(x)=x^2+4x+2\) et \(g(x)=\dfrac{3x+8}{x+2}\).
1)
a) Calculer \(f(-4)\) et \(g(-4)\), en déduire un point d’intersection \(A\) de \((C_f)\) et \((C_g)\).
b) Vérifier que \(f(x)-g(x)=\dfrac{(x+4)(x^2+2x-1)}{x+2}\).
c) Montrer que \((C_f)\) et \((C_g)\) se coupent en d’autres points \(B\) et \(C\) tels que \(x_B<0\).
2)
a) Déterminer \(D_f\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
3)
a) Donner la nature de \((C_f)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
b) Calculer \(f(0)\), \(f(-1)\), \(f(-2)\).
4)
a) Déterminer \(D_g\).
b) Dresser le tableau de variations de \(g\).
5)
a) Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
b) Calculer \(g(-3)\), \(g(-1)\), \(g(0)\).
6) Construire \((C_f)\) et \((C_g)\).
7) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\leq f(x)\).
1)
a) Calculer \(f(-4)\) et \(g(-4)\), en déduire un point d’intersection \(A\) de \((C_f)\) et \((C_g)\).
b) Vérifier que \(f(x)-g(x)=\dfrac{(x+4)(x^2+2x-1)}{x+2}\).
c) Montrer que \((C_f)\) et \((C_g)\) se coupent en d’autres points \(B\) et \(C\) tels que \(x_B<0\).
2)
a) Déterminer \(D_f\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
3)
a) Donner la nature de \((C_f)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
b) Calculer \(f(0)\), \(f(-1)\), \(f(-2)\).
4)
a) Déterminer \(D_g\).
b) Dresser le tableau de variations de \(g\).
5)
a) Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
b) Calculer \(g(-3)\), \(g(-1)\), \(g(0)\).
6) Construire \((C_f)\) et \((C_g)\).
7) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\leq f(x)\).
Correction détaillée
Racines et valeur interdite dans le tableau de signes d’un quotient.
🔢 1) a) \(f(-4)=16-16+2=2\) et \(g(-4)=\dfrac{-4}{-2}=2\). Donc \(A(-4;2)\) est un point commun.
🔢 1) b) \((x^2+4x+2)(x+2)-(3x+8)=x^3+6x^2+7x-4\) et \((x+4)(x^2+2x-1)=x^3+6x^2+7x-4\) : l’égalité est vérifiée.
🔢 1) c) \(f(x)=g(x)\iff(x+4)(x^2+2x-1)=0\) (avec \(x\neq-2\)). \(x^2+2x-1=0\) : \(\Delta=8\), \(x=-1\pm\sqrt2\). Donc \(x_B=-1-\sqrt2<0\) et \(x_C=-1+\sqrt2\). \(B\left(-1-\sqrt2;1-2\sqrt2\right)\) et \(C\left(-1+\sqrt2;1+2\sqrt2\right)\) (car \(x^2=1-2x\) donne \(f(x)=2x+3\) en ces points).
🔢 2) a) \(D_f=\mathbb{R}\). b) \(f(x)=(x+2)^2-2\), \(a>0\) : décroissante sur \(]-\infty;-2]\), croissante sur \([-2;+\infty[\), minimum \(-2\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘ | \(-2\) | ↗ |
🔢 3) a) \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(-2;-2)\), d’axe \(x=-2\), tournée vers le haut. b) \(f(0)=2\), \(f(-1)=-1\), \(f(-2)=-2\).
🔢 4) a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). b) \(g(x)=3+\dfrac{2}{x+2}\), \(k=2>0\) : \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;-2[\) et sur \(]-2;+\infty[\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ↘ | ∥ | ↘ |
🔢 5) a) \((C_g)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(-2;3)\), d’asymptotes \(x=-2\) et \(y=3\). b) \(g(-3)=\dfrac{-1}{-1}=1\), \(g(-1)=5\), \(g(0)=4\).
🔢 6) Construction :
🔢
🔢 7) \(g(x)\leq f(x)\iff\dfrac{(x+4)(x^2+2x-1)}{x+2}\geq0\). Racines : \(-4\), \(-1-\sqrt2\approx-2{,}41\), \(-1+\sqrt2\approx0{,}41\) ; valeur interdite \(-2\). Le tableau de signes donne \(S=]-\infty;-4]\cup[-1-\sqrt2;-2[\cup[-1+\sqrt2;+\infty[\).
✅ 1) \(A(-4;2)\), \(B\left(-1-\sqrt2;1-2\sqrt2\right)\), \(C\left(-1+\sqrt2;1+2\sqrt2\right)\) ; 2) \(f\) décroissante sur \(]-\infty;-2]\), croissante sur \([-2;+\infty[\) ; 3) parabole de sommet \((-2;-2)\) ; 4) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\), \(g\) décroissante ; 5) hyperbole de centre \((-2;3)\) ; 7) \(S=]-\infty;-4]\cup[-1-\sqrt2;-2[\cup[-1+\sqrt2;+\infty[\).
4) Soient les fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) telles que \(f(x)=x^2-4x+2\), \(g(x)=\dfrac{3x-4}{x-2}\) et \(h(x)=-7x-16\).
1)
a) Calculer \(f(0)\) et \(g(0)\).
b) Vérifier que \(f(x)-g(x)=\dfrac{x(x^2-6x+7)}{x-2}\).
c) En déduire les coordonnées des points d’intersection des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\).
2)
a) Dresser le tableau de variations de \(f\).
b) Calculer \(f(-1)\), \(f(1)\), \(f(2)\).
c) Donner la nature de \((C_f)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
1)
a) Calculer \(f(0)\) et \(g(0)\).
b) Vérifier que \(f(x)-g(x)=\dfrac{x(x^2-6x+7)}{x-2}\).
c) En déduire les coordonnées des points d’intersection des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\).
2)
a) Dresser le tableau de variations de \(f\).
b) Calculer \(f(-1)\), \(f(1)\), \(f(2)\).
c) Donner la nature de \((C_f)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
Correction détaillée
Points d’intersection : résoudre \(f(x)-g(x)=0\) puis calculer les ordonnées.
🔢 1) a) \(f(0)=2\) et \(g(0)=\dfrac{-4}{-2}=2\).
🔢 1) b) \((x^2-4x+2)(x-2)-(3x-4)=x^3-6x^2+7x\) et \(x(x^2-6x+7)=x^3-6x^2+7x\) : l’égalité est vérifiée.
🔢 1) c) \(f(x)=g(x)\iff x(x^2-6x+7)=0\) (avec \(x\neq2\)) : \(x=0\) ou \(x^2-6x+7=0\) (\(\Delta=8\)), \(x=3\pm\sqrt2\). Ordonnées : \(f(0)=2\), \(f(3+\sqrt2)=1+2\sqrt2\), \(f(3-\sqrt2)=1-2\sqrt2\). Points d’intersection : \((0;2)\), \(\left(3+\sqrt2;1+2\sqrt2\right)\) et \(\left(3-\sqrt2;1-2\sqrt2\right)\).
🔢 2) a) \(f(x)=(x-2)^2-2\), \(a>0\) : décroissante sur \(]-\infty;2]\), croissante sur \([2;+\infty[\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘ | \(-2\) | ↗ |
🔢 2) b) \(f(-1)=1+4+2=7\), \(f(1)=-1\), \(f(2)=-2\). c) \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(2;-2)\), d’axe \(x=2\), tournée vers le haut.
✅ 1) \(f(0)=g(0)=2\) ; intersections : \((0;2)\), \(\left(3\pm\sqrt2;1\pm2\sqrt2\right)\) ; 2) \(f\) décroissante puis croissante, \(f(-1)=7\), \(f(1)=-1\), \(f(2)=-2\), parabole de sommet \((2;-2)\)
5) 3)
a) Dresser le tableau de variations de \(g\).
b) Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
c) Calculer \(g(1)\), \(g(3)\), \(g(4)\).
4) Calculer \(h(2)\) et \(h(3)\).
a) Dresser le tableau de variations de \(g\).
b) Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques.
c) Calculer \(g(1)\), \(g(3)\), \(g(4)\).
4) Calculer \(h(2)\) et \(h(3)\).
Correction détaillée
Points d’intersection : résoudre \(f(x)-g(x)=0\) puis calculer les ordonnées.
🔢 3) a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) et \(g(x)=3+\dfrac{2}{x-2}\), \(k=2>0\) : décroissante sur chaque intervalle.
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ↘ | ∥ | ↘ |
🔢 3) b) \((C_g)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(2;3)\), d’asymptotes \(x=2\) et \(y=3\). c) \(g(1)=\dfrac{-1}{-1}=1\), \(g(3)=5\), \(g(4)=4\).
🔢 4) \(h(2)=-14-16=-30\) et \(h(3)=-21-16=-37\).
✅ 3) \(g\) décroissante sur chaque intervalle, hyperbole de centre \((2;3)\), \(g(1)=1\), \(g(3)=5\), \(g(4)=4\) ; 4) \(h(2)=-30\), \(h(3)=-37\).
Exercice 5.1
Courbes de la forme f(x + a)
1) On considère les deux fonctions \(f\) et \(g\) définies par \(f(x)=-\dfrac14(x+2)^2+1\) et \(g(x)=-2+\dfrac{4}{x+2}\).
1) Déterminer la nature de chacune des courbes représentatives respectives de \(f\) et de \(g\) ainsi que leurs éléments caractéristiques.
2) Tracer \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un repère orthogonal.
3) Déterminer \((C_f)\cap(C_g)\).
1) Déterminer la nature de chacune des courbes représentatives respectives de \(f\) et de \(g\) ainsi que leurs éléments caractéristiques.
2) Tracer \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un repère orthogonal.
3) Déterminer \((C_f)\cap(C_g)\).
Correction détaillée
Intersection : résoudre \(f(x)=g(x)\) puis calculer les ordonnées.
🔢 1) \(f(x)=-\dfrac14(x+2)^2+1\) : \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(-2;1)\), d’axe \(x=-2\), tournée vers le bas. \(g(x)=-2+\dfrac{4}{x+2}\) : \((C_g)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(-2;-2)\), d’asymptotes \(x=-2\) et \(y=-2\) (\(k=4>0\) : \(g\) décroissante sur chaque intervalle).
🔢 2) Points de \((C_f)\) : \((0;0)\), \((-4;0)\), \((2;-3)\), \((-6;-3)\). Points de \((C_g)\) : \((0;0)\), \((2;-1)\), \((-1;2)\), \((-4;-4)\), \((-6;-3)\) :
🔢
🔢 3) On pose \(t=x+2\) (\(t\neq0\)) : \(-\dfrac{t^2}{4}+1=-2+\dfrac4t\iff-t^3+12t-16=0\iff t^3-12t+16=0\). \(t=2\) est racine : \(t^3-12t+16=(t-2)(t^2+2t-8)=(t-2)^2(t+4)\). Donc \(t=2\) ou \(t=-4\), soit \(x=0\) ou \(x=-6\). \(f(0)=g(0)=0\) et \(f(-6)=g(-6)=-3\).
✅ 1) \((C_f)\) parabole de sommet \((-2;1)\) ; \((C_g)\) hyperbole de centre \((-2;-2)\) ; 2) figure ; 3) \((C_f)\cap(C_g)=\{(0;0);(-6;-3)\}\) (tangentes en \(O\)).