Cette série d’exercices corrigés sur les généralités sur les fonctions numériques pour le Tronc Commun couvre le domaine, la courbe, la parité et les variations, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Exercices corrigés sur les généralités sur les fonctions Tronc Commun
Généralités sur les fonctions numériques · Série d’exercices Tronc Commun
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1.1
Valeurs qui n’ont pas d’image
1) On considère la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}\). Parmi les valeurs suivantes, laquelle ou lesquelles n’ont pas d’image par \(f\) ? \(0\) ; \(2\) ; \(-3\) ; \(3\).
Correction détaillée
Une fraction n’existe pas quand son dénominateur est nul.
🔢 Une valeur \(a\) a une image par \(f\) si et seulement si \(a\in D_f\). Ici \(f(x)\) existe si \(x-3\neq0\), donc \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).
🔢 On teste : \(f(0)=-\dfrac13\), \(f(2)=-1\), \(f(-3)=-\dfrac16\) existent ; \(f(3)=\dfrac10\) n’existe pas.
✅ Seule la valeur \(3\) n’a pas d’image par \(f\).
2) On considère la fonction définie par \(g(x)=\sqrt{x-3}\). Parmi les valeurs suivantes, laquelle ou lesquelles n’ont pas d’image par \(g\) ? \(0\) ; \(2\) ; \(-3\) ; \(4\).
Correction détaillée
Sous une racine carrée, l’expression doit être positive ou nulle.
🔢 \(g(x)\) existe si \(x-3\geq0\), donc \(D_g=[3;+\infty[\).
🔢 \(0\notin D_g\), \(2\notin D_g\), \(-3\notin D_g\) (le radicande \(-3\), \(-1\), \(-6\) est négatif) ; par contre \(4\in D_g\) et \(g(4)=\sqrt1=1\).
✅ Les valeurs \(0\), \(2\) et \(-3\) n’ont pas d’image par \(g\).
3) On considère la fonction définie par \(h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{7-x}}\). Parmi les valeurs suivantes, laquelle ou lesquelles n’ont pas d’image par \(h\) ? \(5\) ; \(-6\) ; \(9\) ; \(7\).
Correction détaillée
\(\dfrac{1}{\sqrt{u}}\) existe si \(u>0\).
🔢 \(h(x)\) existe si \(7-x>0\) (racine au dénominateur : strictement positif), donc \(D_h=]-\infty;7[\).
🔢 \(5\in D_h\) et \(-6\in D_h\) ; \(9\notin D_h\) (\(7-9=-2<0\)) et \(7\notin D_h\) (le dénominateur s’annule).
✅ Les valeurs \(9\) et \(7\) n’ont pas d’image par \(h\).
Exercice 1.2
Déterminer l’ensemble de définition
1) Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
1) \(f(x)=3x^2-x+1\).
2) \(f(x)=\dfrac{x^3}{2x-4}\).
3) \(f(x)=\dfrac{2x^4}{x^2-4}\).
1) \(f(x)=3x^2-x+1\).
2) \(f(x)=\dfrac{x^3}{2x-4}\).
3) \(f(x)=\dfrac{2x^4}{x^2-4}\).
Correction détaillée
Quotient : dénominateur \(\neq0\) ; racine carrée : radicande \(\geq0\) ; racine au dénominateur : radicande \(>0\).
🔢 1) \(f\) est un polynôme : \(D_f=\mathbb{R}\).
🔢 2) \(2x-4=0\iff x=2\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
🔢 3) \(x^2-4=0\iff x=2\) ou \(x=-2\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\).
✅ 1) \(\mathbb{R}\) ; 2) \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) ; 3) \(\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\)
2) 4) \(f(x)=\dfrac{7x-1}{x^2-2x}\).
5) \(f(x)=\sqrt{3x-6}\).
6) \(f(x)=\dfrac{x-5}{2x^2-5x-3}\).
5) \(f(x)=\sqrt{3x-6}\).
6) \(f(x)=\dfrac{x-5}{2x^2-5x-3}\).
Correction détaillée
Quotient : dénominateur \(\neq0\) ; racine carrée : radicande \(\geq0\) ; racine au dénominateur : radicande \(>0\).
🔢 4) \(x^2-2x=x(x-2)=0\iff x=0\) ou \(x=2\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0;2\}\).
🔢 5) Il faut \(3x-6\geq0\iff x\geq2\). \(D_f=[2;+\infty[\).
🔢 6) \(2x^2-5x-3=0\) : \(\Delta=25+24=49\), \(x=\dfrac{5\pm7}{4}\), donc \(x=3\) ou \(x=-\dfrac12\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac12;3\right\}\).
✅ 4) \(\mathbb{R}\setminus\{0;2\}\) ; 5) \([2;+\infty[\) ; 6) \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac12;3\right\}\)
3) 7) \(f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}\).
8) \(f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\).
9) \(f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{-2x^2+x+3}}\).
8) \(f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\).
9) \(f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{-2x^2+x+3}}\).
Correction détaillée
Quotient : dénominateur \(\neq0\) ; racine carrée : radicande \(\geq0\) ; racine au dénominateur : radicande \(>0\).
🔢 7) Il faut \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\geq0\). Ce trinôme est positif à l’extérieur des racines \(1\) et \(2\). \(D_f=]-\infty;1]\cup[2;+\infty[\).
🔢 8) Il faut \(\dfrac{x+1}{x-1}\geq0\) et \(x\neq1\). Tableau de signes (racine de \(x+1\) : \(-1\) ; de \(x-1\) : \(1\)) : le quotient est positif pour \(x\leq-1\) ou \(x>1\). \(D_f=]-\infty;-1]\cup]1;+\infty[\).
🔢 9) Il faut \(-2x^2+x+3>0\) (strict). \(\Delta=1+24=25\), racines \(x=-1\) et \(x=\dfrac32\). Le trinôme (a=−2<0) est positif entre les racines. \(D_f=\left]-1;\dfrac32\right[\).
✅ 7) \(]-\infty;1]\cup[2;+\infty[\) ; 8) \(]-\infty;-1]\cup]1;+\infty[\) ; 9) \(\left]-1;\frac32\right[\)
4) 10) \(f(x)=\dfrac{|x-5|}{x^2+1}\).
11) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{|x|}}{x}\).
12) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}\).
11) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{|x|}}{x}\).
12) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}\).
Correction détaillée
Quotient : dénominateur \(\neq0\) ; racine carrée : radicande \(\geq0\) ; racine au dénominateur : radicande \(>0\).
🔢 10) \(x^2+1>0\) pour tout \(x\), et la valeur absolue existe toujours : \(D_f=\mathbb{R}\).
🔢 11) \(\sqrt{|x|}\) existe toujours (car \(|x|\geq0\)) et il faut \(x\neq0\). \(D_f=\mathbb{R}^*\).
🔢 12) Il faut \(x+2\geq0\) et \(x-1\neq0\), soit \(x\geq-2\) et \(x\neq1\). \(D_f=[-2;+\infty[\setminus\{1\}\).
✅ 10) \(\mathbb{R}\) ; 11) \(\mathbb{R}^*\) ; 12) \([-2;+\infty[\setminus\{1\}\)
5) 13) \(f(x)=\sqrt{-2x^2+x+3}\).
14) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x-2}}{2x+4}\).
15) \(f(x)=3x^2-\dfrac1x+\sqrt{-x}\).
14) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x-2}}{2x+4}\).
15) \(f(x)=3x^2-\dfrac1x+\sqrt{-x}\).
Correction détaillée
Quotient : dénominateur \(\neq0\) ; racine carrée : radicande \(\geq0\) ; racine au dénominateur : radicande \(>0\).
🔢 13) Il faut \(-2x^2+x+3\geq0\) : positif entre les racines \(-1\) et \(\dfrac32\). \(D_f=\left[-1;\dfrac32\right]\).
🔢 14) Il faut \(x-2\geq0\) et \(2x+4\neq0\). Comme \(x\geq2\), on a automatiquement \(2x+4\geq8\neq0\). \(D_f=[2;+\infty[\).
🔢 15) \(\dfrac1x\) impose \(x\neq0\) et \(\sqrt{-x}\) impose \(-x\geq0\iff x\leq0\). \(D_f=]-\infty;0[\).
✅ 13) \(\left[-1;\frac32\right]\) ; 14) \([2;+\infty[\) ; 15) \(]-\infty;0[\)
6) 16) \(f(x)=\dfrac{x}{|2x-4|-|x-1|}\).
17) \(f(x)=\dfrac{2\sin x}{2\cos x-1}\).
18) \(f(x)=\sqrt{\dfrac{-2x^2+2x+13}{x^2-x-6}}\).
19) \(f(x)=\sqrt{x^2+(2\sqrt3-\sqrt2)x-2\sqrt6}\).
17) \(f(x)=\dfrac{2\sin x}{2\cos x-1}\).
18) \(f(x)=\sqrt{\dfrac{-2x^2+2x+13}{x^2-x-6}}\).
19) \(f(x)=\sqrt{x^2+(2\sqrt3-\sqrt2)x-2\sqrt6}\).
Correction détaillée
Quotient : dénominateur \(\neq0\) ; racine carrée : radicande \(\geq0\) ; racine au dénominateur : radicande \(>0\).
🔢 16) Il faut \(|2x-4|\neq|x-1|\). \(|2x-4|=|x-1|\iff 2x-4=x-1\) ou \(2x-4=-(x-1)\), soit \(x=3\) ou \(x=\dfrac53\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac53;3\right\}\).
🔢 17) Il faut \(2\cos x-1\neq0\iff\cos x\neq\dfrac12\iff x\neq\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\;;\;k\in\mathbb{Z}\right\}\).
🔢 18) Il faut \(\dfrac{-2x^2+2x+13}{x^2-x-6}\geq0\) avec \(x^2-x-6\neq0\). Racines du numérateur : \(\Delta=4+104=108\), \(x=\dfrac{1\pm3\sqrt3}{2}\) (≈ −2,10 et 3,10). Racines du dénominateur : \(-2\) et \(3\). Dans l’ordre : \(\dfrac{1-3\sqrt3}{2}<-2<3<\dfrac{1+3\sqrt3}{2}\). Le tableau de signes donne un quotient positif ou nul sur \(\left[\dfrac{1-3\sqrt3}{2};-2\right[\) et sur \(\left]3;\dfrac{1+3\sqrt3}{2}\right]\). \(D_f=\left[\dfrac{1-3\sqrt3}{2};-2\right[\cup\left]3;\dfrac{1+3\sqrt3}{2}\right]\).
🔢 19) Il faut \(x^2+(2\sqrt3-\sqrt2)x-2\sqrt6\geq0\). Racines évidentes : somme \(=\sqrt2-2\sqrt3\) et produit \(=-2\sqrt6\), donc \(x=-2\sqrt3\) et \(x=\sqrt2\). Positif à l’extérieur des racines. \(D_f=]-\infty;-2\sqrt3]\cup[\sqrt2;+\infty[\).
✅ 16) \(\mathbb{R}\setminus\left\{\frac53;3\right\}\) ; 17) \(\mathbb{R}\setminus\left\{\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\right\}\) ; 18) \(\left[\frac{1-3\sqrt3}{2};-2\right[\cup\left]3;\frac{1+3\sqrt3}{2}\right]\) ; 19) \(]-\infty;-2\sqrt3]\cup[\sqrt2;+\infty[\).
7) Déterminer le domaine de définition de \(f\) dans chacun des cas suivants :
1) \(f(x)=\dfrac{2x-1}{(x-3)(x+5)}\).
2) \(f(x)=\dfrac{7x+2}{x^2+2x-15}\).
1) \(f(x)=\dfrac{2x-1}{(x-3)(x+5)}\).
2) \(f(x)=\dfrac{7x+2}{x^2+2x-15}\).
Correction détaillée
Résoudre « dénominateur \(=0\) » puis exclure les solutions.
🔢 1) Il faut \((x-3)(x+5)\neq0\), soit \(x\neq3\) et \(x\neq-5\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-5;3\}\).
🔢 2) \(x^2+2x-15=0\) : \(\Delta=4+60=64\), \(x=\dfrac{-2\pm8}{2}\), soit \(x=3\) ou \(x=-5\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-5;3\}\).
✅ 1) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-5;3\}\) ; 2) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-5;3\}\).
8) Déterminer le domaine de définition de \(f\) dans chacun des cas suivants :
1) \(f(x)=\dfrac{x+2}{|3x-1|-4}\).
2) \(f(x)=\sqrt{x^2+5x+4}\).
1) \(f(x)=\dfrac{x+2}{|3x-1|-4}\).
2) \(f(x)=\sqrt{x^2+5x+4}\).
Correction détaillée
Valeur absolue : résoudre \(|u|=k\iff u=k\) ou \(u=-k\).
🔢 1) Il faut \(|3x-1|\neq4\). \(|3x-1|=4\iff 3x-1=4\) ou \(3x-1=-4\), soit \(x=\dfrac53\) ou \(x=-1\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-1;\dfrac53\right\}\).
🔢 2) Il faut \(x^2+5x+4=(x+1)(x+4)\geq0\) : positif à l’extérieur des racines \(-4\) et \(-1\). \(D_f=]-\infty;-4]\cup[-1;+\infty[\).
✅ 1) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-1;\frac53\right\}\) ; 2) \(D_f=]-\infty;-4]\cup[-1;+\infty[\).
9) Déterminer le domaine de définition de \(f\) dans chacun des cas suivants :
1) \(f(x)=5x^3+2x+3\sin x\).
2) \(f(x)=\dfrac{7x^2-2}{2\cos x-\sqrt3}\).
1) \(f(x)=5x^3+2x+3\sin x\).
2) \(f(x)=\dfrac{7x^2-2}{2\cos x-\sqrt3}\).
Correction détaillée
\(\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi\).
🔢 1) Somme de fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) : \(D_f=\mathbb{R}\).
🔢 2) Il faut \(2\cos x-\sqrt3\neq0\iff\cos x\neq\dfrac{\sqrt3}{2}\iff x\neq\pm\dfrac\pi6+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\pm\dfrac\pi6+2k\pi\;;\;k\in\mathbb{Z}\right\}\).
✅ 1) \(D_f=\mathbb{R}\) ; 2) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\pm\frac\pi6+2k\pi\;;\;k\in\mathbb{Z}\right\}\).
Exercice 1.3
Ensemble de définition : exercices guidés
1) Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+5x+4}\).
1) Calculer \(f(-3)\), \(f(-2)\), \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\).
2) Résoudre l’équation \(x^2+5x+4=0\).
3) En déduire \(D_f\), le domaine de définition de la fonction \(f\).
1) Calculer \(f(-3)\), \(f(-2)\), \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\).
2) Résoudre l’équation \(x^2+5x+4=0\).
3) En déduire \(D_f\), le domaine de définition de la fonction \(f\).
Correction détaillée
Les valeurs qui annulent le dénominateur sont exclues de \(D_f\).
🔢 1) \(f(-3)=\dfrac{-7}{9-15+4}=\dfrac{-7}{-2}=\dfrac72\) ; \(f(-2)=\dfrac{-5}{4-10+4}=\dfrac{-5}{-2}=\dfrac52\) ; \(f(0)=\dfrac{-1}{4}\) ; \(f(1)=\dfrac{1}{10}\) ; \(f(2)=\dfrac{3}{18}=\dfrac16\) ; \(f(3)=\dfrac{5}{28}\).
🔢 2) \(\Delta=25-16=9\), \(x=\dfrac{-5\pm3}{2}\), donc \(x=-1\) ou \(x=-4\).
🔢 3) \(f(x)\) existe si et seulement si \(x^2+5x+4\neq0\), c’est-à-dire \(x\neq-1\) et \(x\neq-4\).
✅ 1) \(\frac72\) ; \(\frac52\) ; \(-\frac14\) ; \(\frac1{10}\) ; \(\frac16\) ; \(\frac5{28}\) ; 2) \(S=\{-4;-1\}\) ; 3) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-4;-1\}\).
2) Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x-\sqrt{4-x^2}\).
1) Calculer \(f(-2)\), \(f\left(-\dfrac12\right)\), \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\).
2) Montrer que les réels suivants n’ont pas d’images par la fonction \(f\) : \(-6\) ; \(-5\) ; \(4\) ; \(3\).
3) Résoudre l’inéquation \(4-x^2\geq0\).
4) En déduire \(D_f\), le domaine de définition de la fonction \(f\).
1) Calculer \(f(-2)\), \(f\left(-\dfrac12\right)\), \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\).
2) Montrer que les réels suivants n’ont pas d’images par la fonction \(f\) : \(-6\) ; \(-5\) ; \(4\) ; \(3\).
3) Résoudre l’inéquation \(4-x^2\geq0\).
4) En déduire \(D_f\), le domaine de définition de la fonction \(f\).
Correction détaillée
Racine carrée : le radicande doit être \(\geq0\).
🔢 1) \(f(-2)=-2-\sqrt0=-2\) ; \(f\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac12-\sqrt{4-\dfrac14}=-\dfrac12-\dfrac{\sqrt{15}}{2}=-\dfrac{1+\sqrt{15}}{2}\) ; \(f(0)=0-\sqrt4=-2\) ; \(f(1)=1-\sqrt3\) ; \(f(2)=2-\sqrt0=2\).
🔢 2) \(4-(-6)^2=-32<0\) ; \(4-(-5)^2=-21<0\) ; \(4-4^2=-12<0\) ; \(4-3^2=-5<0\). Dans chaque cas la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas : ces réels n’ont pas d’image.
🔢 3) \(4-x^2=(2-x)(2+x)\geq0\) : positif entre les racines \(-2\) et \(2\) : \(S=[-2;2]\).
🔢 4) \(f(x)\) existe si et seulement si \(4-x^2\geq0\) : \(D_f=[-2;2]\).
✅ 1) \(-2\) ; \(-\frac{1+\sqrt{15}}2\) ; \(-2\) ; \(1-\sqrt3\) ; \(2\) ; 2) voir ci-dessus ; 3) \(S=[-2;2]\) ; 4) \(D_f=[-2;2]\).
Exercice 2.1
Tracer des courbes de fonctions simples
1) Tracer la représentation graphique de la fonction \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) sur l’intervalle \(I=[-2;3]\).
Correction détaillée
Tableau de valeurs, puis points reliés par une courbe régulière.
🔢 \(D_f=\mathbb{R}\) et \(f(-x)=f(x)\) : \(f\) est paire. On dresse un tableau de valeurs :
🔢
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\frac15\) | \(\frac12\) | \(1\) | \(\frac12\) | \(\frac15\) | \(\frac1{10}\) |
🔢 On place les points et on les relie par une courbe continue (maximum \(f(0)=1\), courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées sur \([-2;2]\)) :
🔢
✅ \((C_f)\) est la courbe en forme de \(\overrightarrow{ cloche }\) ci-dessus, de sommet \((0;1)\).
2) Que représente la courbe représentative d’une fonction affine \(f\) (\(f(x)=ax+b\) avec \(a\in\mathbb{R}\) et \(b\in\mathbb{R}\)) ?
Correction détaillée
Fonction affine \(\leftrightarrow\) droite ; il suffit de deux points pour la tracer.
🔢 Pour tout \(x\), le point \(M(x;ax+b)\) vérifie l’équation \(y=ax+b\). Cette équation est celle d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
🔢 Le réel \(a\) est le coefficient directeur (la pente) et \(b\) l’ordonnée à l’origine : la droite passe par le point \((0;b)\). Si \(a\neq0\), elle coupe l’axe des abscisses au point \(\left(-\dfrac ba;0\right)\). Si \(a=0\), \(f\) est constante et la droite est horizontale.
✅ La courbe d’une fonction affine \(x\mapsto ax+b\) est la droite d’équation \(y=ax+b\).
3) Tracer la représentation graphique de la fonction \(f(x)=|2x+3|\).
Correction détaillée
Valeur absolue : écrire la fonction par morceaux selon le signe de l’intérieur.
🔢 \(2x+3\geq0\iff x\geq-\dfrac32\). Donc \(f(x)=2x+3\) si \(x\geq-\dfrac32\) et \(f(x)=-2x-3\) si \(x<-\dfrac32\).
🔢 \((C_f)\) est la réunion de deux demi-droites de sommet \(\left(-\dfrac32;0\right)\) : on prend par exemple \(f(0)=3\) et \(f(-3)=3\).
🔢
✅ \((C_f)\) est une courbe en \(\overrightarrow{ V }\) de sommet \(\left(-\dfrac32;0\right)\).
4) Tracer la représentation graphique de la fonction \(f(x)=|x-2|+|x+2|\).
Correction détaillée
Plusieurs valeurs absolues : tableau de signes puis fonction par morceaux.
🔢 Les valeurs qui annulent les intérieurs sont \(-2\) et \(2\). On fait un tableau de signes.
🔢 Si \(x\leq-2\) : \(f(x)=-(x-2)-(x+2)=-2x\). Si \(-2\leq x\leq2\) : \(f(x)=(2-x)+(x+2)=4\). Si \(x\geq2\) : \(f(x)=(x-2)+(x+2)=2x\).
🔢 \(D_f=\mathbb{R}\) et \(f(-x)=f(x)\) : \(f\) est paire, donc \((C_f)\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
🔢
✅ \(f(x)=-2x\) sur \(]-\infty;-2]\), \(f(x)=4\) sur \([-2;2]\), \(f(x)=2x\) sur \([2;+\infty[\) ; courbe en forme de \(\overrightarrow{ baignoire }\) ci-dessus.
Exercice 2.2
Résolution graphique d’équations et d’inéquations
1) Soit la courbe \((C_f)\) représentative de \(f\) telle que \(f(x)=x^3-4x^2+3\) et la droite \((D)\) d’équation \(y=-x-3\).
1) Résoudre graphiquement l’équation \(f(x)=3\).
2) Puis l’inéquation \(f(x)<3\).
3) Résoudre graphiquement l’équation \(f(x)=0\) et l’inéquation \(f(x)\geq0\).
4) Résoudre graphiquement l’équation \(f(x)=-x-3\) puis l’inéquation \(f(x)\leq-x-3\).
1) Résoudre graphiquement l’équation \(f(x)=3\).
2) Puis l’inéquation \(f(x)<3\).
3) Résoudre graphiquement l’équation \(f(x)=0\) et l’inéquation \(f(x)\geq0\).
4) Résoudre graphiquement l’équation \(f(x)=-x-3\) puis l’inéquation \(f(x)\leq-x-3\).
Correction détaillée
\(f(x)<g(x)\) : \((C_f)\) est en dessous de \((C_g)\).
🔢 On lit sur la courbe (voir figure), puis on vérifie par le calcul :
🔢
🔢 1) \(f(x)=3\) : on coupe \((C_f)\) avec la droite horizontale \(y=3\) : abscisses \(0\) et \(4\). Vérification : \(x^3-4x^2=x^2(x-4)=0\iff x=0\) ou \(x=4\). \(S=\{0;4\}\).
🔢 2) \(f(x)<3\) : la courbe est strictement sous la droite \(y=3\) pour \(x<4\), sauf en \(x=0\) où elle la touche (\(f(0)=3\)). \(S=]-\infty;0[\cup]0;4[\).
🔢 3) Intersections avec l’axe des abscisses : \(f(x)=(x-1)(x^2-3x-3)\), donc \(x=1\) ou \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{21}}{2}\approx-0{,}79\) ou \(3{,}79\). \(f(x)=0\) : \(S=\left\{\dfrac{3-\sqrt{21}}{2};1;\dfrac{3+\sqrt{21}}{2}\right\}\). La courbe est au-dessus de l’axe sur \(\left[\dfrac{3-\sqrt{21}}{2};1\right]\) et sur \(\left[\dfrac{3+\sqrt{21}}{2};+\infty\right[\) : \(f(x)\geq0\).
🔢 4) Intersections de \((C_f)\) et \((D)\) : abscisses \(-1\), \(2\), \(3\) (vérification : \(x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x-2)(x-3)\)). \(f(x)=-x-3\) : \(S=\{-1;2;3\}\). La courbe est sous la droite pour \(x\leq-1\) et pour \(2\leq x\leq3\) : \(f(x)\leq-x-3\iff x\in]-\infty;-1]\cup[2;3]\).
✅ 1) \(S=\{0;4\}\) ; 2) \(S=]-\infty;4[\setminus\{0\}\) ; 3) \(f(x)=0\) pour \(x\in\left\{\frac{3-\sqrt{21}}{2};1;\frac{3+\sqrt{21}}{2}\right\}\) et \(f(x)\geq0\) sur \(\left[\frac{3-\sqrt{21}}{2};1\right]\cup\left[\frac{3+\sqrt{21}}{2};+\infty\right[\) ; 4) \(S=\{-1;2;3\}\) et \(f(x)\leq-x-3\) sur \(]-\infty;-1]\cup[2;3]\).
2) Soient \(f\) et \(g\) les deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-3x-4\) et \(g(x)=3x+12\).
1) Tracer les courbes représentatives \((C_f)\) et \((C_g)\).
2) Résoudre graphiquement et algébriquement l’équation \(f(x)=g(x)\).
3) Résoudre graphiquement et algébriquement l’inéquation \(f(x)\geq g(x)\).
4) Trouver les points d’intersection de la courbe \((C_f)\) avec les axes du repère.
1) Tracer les courbes représentatives \((C_f)\) et \((C_g)\).
2) Résoudre graphiquement et algébriquement l’équation \(f(x)=g(x)\).
3) Résoudre graphiquement et algébriquement l’inéquation \(f(x)\geq g(x)\).
4) Trouver les points d’intersection de la courbe \((C_f)\) avec les axes du repère.
Correction détaillée
Équation \(f(x)=g(x)\) : abscisses des points d’intersection ; inéquation : position relative des courbes.
🔢 1) \((C_f)\) : parabole de sommet \(\left(\dfrac32;-\dfrac{25}{4}\right)\) (\(f(x)=\left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac{25}4\)). \((C_g)\) : droite passant par \((0;12)\) et \((-4;0)\) :
🔢
🔢 2) Graphiquement : les courbes se coupent aux points d’abscisses \(-2\) et \(8\). Algébriquement : \(x^2-3x-4=3x+12\iff x^2-6x-16=0\). \(\Delta=36+64=100\), \(x=\dfrac{6\pm10}{2}\), soit \(x=-2\) ou \(x=8\). \(S=\{-2;8\}\).
🔢 3) Graphiquement : \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\) pour \(x\leq-2\) ou \(x\geq8\). Algébriquement : \(f(x)-g(x)=x^2-6x-16=(x+2)(x-8)\geq0\) : \(S=]-\infty;-2]\cup[8;+\infty[\).
🔢 4) Avec l’axe des ordonnées : \(f(0)=-4\), point \((0;-4)\). Avec l’axe des abscisses : \(x^2-3x-4=(x+1)(x-4)=0\), points \((-1;0)\) et \((4;0)\).
✅ 2) \(S=\{-2;8\}\) ; 3) \(S=]-\infty;-2]\cup[8;+\infty[\) ; 4) \((0;-4)\), \((-1;0)\) et \((4;0)\).
Exercice 2.3
Droites dans un repère
1) Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\). Soit la fonction affine \(f\) telle que \(f(x)=\dfrac12x+\dfrac52\). La droite \((D)\) est la courbe représentative de \(f\). Soient les points \(A(-3;1)\), \(B(1;3)\), \(C(3;-1)\).
1)
a) Vérifier que \((D)\) passe par \(A\) et \(B\).
b) Résoudre l’équation \(f(x)=0\) et donner une interprétation géométrique du résultat.
c) Dresser le tableau de signes de \(f(x)\).
2) Soit \(g\) la fonction affine dont la courbe est la droite \((\Delta)\) passant par \(B\) et perpendiculaire à la droite \((D)\).
a) Déterminer l’expression de \(g\).
b) Vérifier que \((\Delta)\) passe par le point \(C\).
3) Soit \(h\) la fonction dont la représentation graphique est la droite \((\Pi)\) passant par les points \(A\) et \(C\).
a) Déterminer l’expression de \(h\).
b) Vérifier que \((\Pi)\) passe par l’origine du repère.
4) Tracer les droites \((D)\), \((\Delta)\) et \((\Pi)\) et les points \(A\), \(B\) et \(C\).
5)
a) Calculer les distances \(BA\), \(BC\) et \(AC\).
b) Déterminer la nature du triangle \(ABC\).
c) Déterminer \(S\) la surface du triangle \(ABC\).
6) Soit \((\Gamma)\) le cercle circonscrit du triangle \(ABC\). Déterminer le rayon \(R\) et les coordonnées de \(\Omega\) centre du cercle \((\Gamma)\).
1)
a) Vérifier que \((D)\) passe par \(A\) et \(B\).
b) Résoudre l’équation \(f(x)=0\) et donner une interprétation géométrique du résultat.
c) Dresser le tableau de signes de \(f(x)\).
2) Soit \(g\) la fonction affine dont la courbe est la droite \((\Delta)\) passant par \(B\) et perpendiculaire à la droite \((D)\).
a) Déterminer l’expression de \(g\).
b) Vérifier que \((\Delta)\) passe par le point \(C\).
3) Soit \(h\) la fonction dont la représentation graphique est la droite \((\Pi)\) passant par les points \(A\) et \(C\).
a) Déterminer l’expression de \(h\).
b) Vérifier que \((\Pi)\) passe par l’origine du repère.
4) Tracer les droites \((D)\), \((\Delta)\) et \((\Pi)\) et les points \(A\), \(B\) et \(C\).
5)
a) Calculer les distances \(BA\), \(BC\) et \(AC\).
b) Déterminer la nature du triangle \(ABC\).
c) Déterminer \(S\) la surface du triangle \(ABC\).
6) Soit \((\Gamma)\) le cercle circonscrit du triangle \(ABC\). Déterminer le rayon \(R\) et les coordonnées de \(\Omega\) centre du cercle \((\Gamma)\).
Correction détaillée
Droites perpendiculaires : produit des coefficients directeurs \(=-1\).
🔢 1) a) \(f(-3)=-\dfrac32+\dfrac52=1\) et \(f(1)=\dfrac12+\dfrac52=3\) : \(A\) et \(B\) appartiennent à \((D)\).
🔢 1) b) \(f(x)=0\iff\dfrac12x=-\dfrac52\iff x=-5\). Interprétation : \((D)\) coupe l’axe des abscisses au point \((-5;0)\).
🔢 1) c) \(f\) est croissante (\(a=\dfrac12>0\)) et s’annule en \(-5\) :
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-5\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | – | \(0\) | + |
🔢 2) a) Le coefficient directeur de \((D)\) est \(\dfrac12\). Une droite perpendiculaire a pour coefficient \(-2\) (produit \(=-1\)). \(g(x)=-2x+p\) avec \(g(1)=3\) : \(p=5\). Donc \(g(x)=-2x+5\).
🔢 2) b) \(g(3)=-6+5=-1\) : \((\Delta)\) passe par \(C(3;-1)\).
🔢 3) a) Coefficient directeur de \((AC)\) : \(\dfrac{-1-1}{3-(-3)}=-\dfrac13\). \(h(x)=-\dfrac13x+q\) avec \(h(-3)=1\) : \(1+q=1\), \(q=0\). Donc \(h(x)=-\dfrac13x\).
🔢 3) b) \(h(0)=0\) : \((\Pi)\) passe par l’origine \(O\).
🔢 4) Figure (avec le cercle \((\Gamma)\) de la question 6) :
🔢
🔢 5) a) \(BA=\sqrt{(-3-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\) ; \(BC=\sqrt{(3-1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\) ; \(AC=\sqrt{(3+3)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\).
🔢 5) b) \(BA=BC\) et \(BA^2+BC^2=20+20=40=AC^2\) : le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(B\).
🔢 5) c) \(S=\dfrac12\times BA\times BC=\dfrac12\times20=10\).
🔢 6) Le triangle est rectangle en \(B\) : \([AC]\) est un diamètre de \((\Gamma)\). Donc \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\) : \(\Omega\left(\dfrac{-3+3}{2};\dfrac{1-1}{2}\right)=(0;0)\) et \(R=\dfrac{AC}{2}=\sqrt{10}\).
✅ 1) \(x=-5\) ; \(f\) négative sur \(]-\infty;-5]\), positive après ; 2) a) \(g(x)=-2x+5\) ; 3) a) \(h(x)=-\frac13x\) ; 5) \(BA=BC=2\sqrt5\), \(AC=2\sqrt{10}\), triangle rectangle isocèle en \(B\), \(S=10\) ; 6) \(\Omega=O(0;0)\) et \(R=\sqrt{10}\).
Exercice 2.4
Fonction définie par morceaux
1) On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=x^2-x\) pour \(x<1\) ; \(f(x)=1-\dfrac1x\) pour \(x\geq1\). Construire la courbe \((C_f)\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) puis donner le tableau de variations de \(f\).
Correction détaillée
Fonction définie par morceaux : tracer chaque morceau sur son intervalle.
🔢 Sur \(]-\infty;1[\) : \(f(x)=x^2-x=\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14\), parabole de sommet \(\left(\dfrac12;-\dfrac14\right)\) passant par \((0;0)\) et \((1;0)\). Sur \([1;+\infty[\) : \(f(x)=1-\dfrac1x\), morceau d’hyperbole (asymptote \(y=1\)) passant par \((1;0)\), \((2;\dfrac12)\), \((4;\dfrac34)\). En \(x=1\) les deux morceaux se raccordent (\(1^2-1=0=1-\dfrac11\)).
🔢
🔢 Variations : sur \(]-\infty;\dfrac12]\), \(f\) est décroissante ; sur \([\dfrac12;1]\), croissante. Sur \([1;+\infty[\), \(f(x)=1-\dfrac1x\) est croissante (\(T=\dfrac{1}{x_1x_2}>0\)). Donc \(f\) est croissante sur \([\dfrac12;+\infty[\) :
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac12\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘ | \(-\frac14\) | ↗ |
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(\left]-\infty;\frac12\right]\) et strictement croissante sur \(\left[\frac12;+\infty\right[\) ; minimum \(f\left(\frac12\right)=-\frac14\).
Exercice 3.1
Comparer deux fonctions
1) Soient les deux fonctions \(f(x)=\dfrac{3x^2+1}{\sqrt{x^2}}\) et \(g(x)=\dfrac{1+3x^2}{|x|}\). Est-ce que \(f=g\) ? Justifier.
Correction détaillée
\(f=g\) si \(D_f=D_g\) et \(f(x)=g(x)\) pour tout \(x\) de \(D_f\).
🔢 \(D_f\) : \(\sqrt{x^2}\) existe toujours et doit être non nul, donc \(x\neq0\) : \(D_f=\mathbb{R}^*\).
🔢 \(D_g\) : \(|x|\neq0\iff x\neq0\) : \(D_g=\mathbb{R}^*\). Donc \(D_f=D_g\).
🔢 Pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\) : \(\sqrt{x^2}=|x|\), donc \(f(x)=\dfrac{3x^2+1}{|x|}=\dfrac{1+3x^2}{|x|}=g(x)\).
✅ \(f=g\) (même ensemble de définition et mêmes images).
2) Soient les deux fonctions \(h(x)=\dfrac{x^2-x}{x}\) et \(t(x)=x-1\). Est-ce que \(h=t\) ? Justifier.
Correction détaillée
Deux fonctions égales ont obligatoirement le même ensemble de définition.
🔢 \(D_h=\mathbb{R}^*\) (on exclut \(x=0\)) tandis que \(D_t=\mathbb{R}\). Donc \(D_h\neq D_t\).
🔢 Pour \(x\neq0\) : \(h(x)=\dfrac{x(x-1)}{x}=x-1=t(x)\), mais \(0\in D_t\) et \(0\notin D_h\).
✅ \(h\neq t\) car elles n’ont pas le même ensemble de définition.
Exercice 4.1
Étudier la parité de fonctions
1) Étudier la parité des fonctions suivantes :
1) \(f(x)=3x^2-5\).
2) \(g(x)=\dfrac3x\).
3) \(h(x)=2x^3+x^2\).
4) \(t(x)=\dfrac{x}{x-2}\).
1) \(f(x)=3x^2-5\).
2) \(g(x)=\dfrac3x\).
3) \(h(x)=2x^3+x^2\).
4) \(t(x)=\dfrac{x}{x-2}\).
Correction détaillée
1) \(D\) symétrique ; 2) \(f(-x)=f(x)\) : paire ; \(f(-x)=-f(x)\) : impaire.
🔢 1) \(D_f=\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0. \(f(-x)=3x^2-5=f(x)\) : \(f\) est paire.
🔢 2) \(D_g=\mathbb{R}^*\) est symétrique. \(g(-x)=\dfrac{3}{-x}=-g(x)\) : \(g\) est impaire.
🔢 3) \(D_h=\mathbb{R}\) est symétrique. \(h(-x)=-2x^3+x^2\). Or \(h(1)=3\) et \(h(-1)=-1\) : \(h(-1)\neq h(1)\) et \(h(-1)\neq-h(1)\). \(h\) n’est ni paire ni impaire.
🔢 4) \(D_t=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) n’est pas symétrique : \(-2\in D_t\) mais \(2\notin D_t\). \(t\) n’est ni paire ni impaire.
✅ 1) paire ; 2) impaire ; 3) ni paire ni impaire ; 4) ni paire ni impaire.
2) Étudier la parité des fonctions suivantes définies par :
1) \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x}\).
2) \(f(x)=x^2+\dfrac1x\).
3) \(f(x)=\dfrac{|x|}{x^2-1}\).
1) \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x}\).
2) \(f(x)=x^2+\dfrac1x\).
3) \(f(x)=\dfrac{|x|}{x^2-1}\).
Correction détaillée
Toujours vérifier d’abord que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.
🔢 1) \(D_f=\mathbb{R}^*\) symétrique. \(f(-x)=\dfrac{x^2-1}{-x}=-f(x)\) : impaire.
🔢 2) \(D_f=\mathbb{R}^*\) symétrique. \(f(1)=2\) et \(f(-1)=1-1=0\) : \(f(-1)\neq f(1)\) et \(f(-1)\neq-f(1)\). Ni paire ni impaire.
🔢 3) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\) symétrique. \(f(-x)=\dfrac{|-x|}{(-x)^2-1}=\dfrac{|x|}{x^2-1}=f(x)\) : paire.
✅ 1) impaire ; 2) ni l’une ni l’autre ; 3) paire
3) 4) \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).
5) \(f(x)=\dfrac{2x^3}{x^2+5}\).
6) \(f(x)=|x|-\sqrt{2x^2+4}\).
7) \(f(x)=\dfrac{\sqrt x}{2}\).
5) \(f(x)=\dfrac{2x^3}{x^2+5}\).
6) \(f(x)=|x|-\sqrt{2x^2+4}\).
7) \(f(x)=\dfrac{\sqrt x}{2}\).
Correction détaillée
Toujours vérifier d’abord que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.
🔢 4) \(D_f=[-1;1]\) symétrique. \(f(-x)=\sqrt{1-(-x)^2}=\sqrt{1-x^2}=f(x)\) : paire.
🔢 5) \(D_f=\mathbb{R}\) symétrique. \(f(-x)=\dfrac{-2x^3}{x^2+5}=-f(x)\) : impaire.
🔢 6) \(D_f=\mathbb{R}\) symétrique. \(f(-x)=|-x|-\sqrt{2x^2+4}=f(x)\) : paire.
🔢 7) \(D_f=[0;+\infty[\) n’est pas symétrique : \(1\in D_f\) mais \(-1\notin D_f\). Ni paire ni impaire.
✅ 4) paire ; 5) impaire ; 6) paire ; 7) ni l’une ni l’autre.
Exercice 4.2
Parité et paramètres : exercice guidé
1) Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{a+|x|}{b|x|+2}\).
1) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) sachant que \(f(4)=-4\) et \(f(1)=5\).
2) On prend les valeurs de \(a\) et \(b\) déjà trouvées.
a) Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).
b) Montrer que \(f\) est paire.
c) Écrire \(f(x)\) sous la forme \(\beta+\dfrac{A}{|x|-\alpha}\).
d) Étudier le sens de variation de \(f\) sur \(D_f\).
1) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) sachant que \(f(4)=-4\) et \(f(1)=5\).
2) On prend les valeurs de \(a\) et \(b\) déjà trouvées.
a) Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).
b) Montrer que \(f\) est paire.
c) Écrire \(f(x)\) sous la forme \(\beta+\dfrac{A}{|x|-\alpha}\).
d) Étudier le sens de variation de \(f\) sur \(D_f\).
Correction détaillée
Fonction paire : on étudie sur \(D_f\cap[0;+\infty[\) puis on déduit par symétrie.
🔢 1) \(f(4)=-4\iff\dfrac{a+4}{4b+2}=-4\iff a+4=-16b-8\iff a+16b=-12\). \(f(1)=5\iff\dfrac{a+1}{b+2}=5\iff a+1=5b+10\iff a-5b=9\). En soustrayant : \(21b=-21\), donc \(b=-1\) et \(a=9+5b=4\). Ainsi \(f(x)=\dfrac{4+|x|}{2-|x|}\).
🔢 2) a) \(f(x)\) existe si \(2-|x|\neq0\iff|x|\neq2\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\).
🔢 2) b) \(D_f\) est symétrique et \(f(-x)=\dfrac{4+|-x|}{2-|-x|}=\dfrac{4+|x|}{2-|x|}=f(x)\) : \(f\) est paire.
🔢 2) c) \(f(x)=-\dfrac{|x|+4}{|x|-2}=-\dfrac{(|x|-2)+6}{|x|-2}=-1-\dfrac{6}{|x|-2}\). Donc \(\beta=-1\), \(A=-6\), \(\alpha=2\).
🔢 2) d) \(f\) étant paire, on l’étudie sur \([0;2[\) et sur \(]2;+\infty[\) où \(|x|=x\) : \(f(x)=-1-\dfrac{6}{x-2}\). Pour \(x_1\neq x_2\) dans le même intervalle : \(T=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\dfrac{6}{(x_1-2)(x_2-2)}\).
🔢 2) d) Sur \([0;2[\) et sur \(]2;+\infty[\), \(x_1-2\) et \(x_2-2\) ont le même signe, donc \(T>0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0;2[\) et sur \(]2;+\infty[\). Par parité : strictement décroissante sur \(]-\infty;-2[\) et sur \(]-2;0]\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘ | ∥ | ↘ | \(2\) | ↗ | ∥ | ↗ |
✅ 1) \(a=4\), \(b=-1\) ; 2) a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\) ; b) \(f\) est paire ; c) \(f(x)=-1-\frac{6}{|x|-2}\) ; d) \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-2[\) et sur \(]-2;0]\), croissante sur \([0;2[\) et sur \(]2;+\infty[\).
Exercice 5.1
Fonctions définies par morceaux : parité et courbe
1) Soit \(f\) la fonction définie dans \(\mathbb{R}^*\) par : \(f(x)=\dfrac1x\) pour \(x>0\) ; \(f(x)=-\dfrac1x\) pour \(x<0\).
1) Calculer \(f(3)\), \(f(2)\), \(f(1)\), \(f\left(\dfrac23\right)\), \(f\left(\dfrac12\right)\) et \(f\left(\dfrac13\right)\).
2) Montrer que la fonction \(f\) est paire.
3) Étudier les variations de \(f\) sur \(]0;+\infty[\), en déduire ses variations sur \(]-\infty;0[\).
4) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}^*\).
5) Construire \((C_f)\).
1) Calculer \(f(3)\), \(f(2)\), \(f(1)\), \(f\left(\dfrac23\right)\), \(f\left(\dfrac12\right)\) et \(f\left(\dfrac13\right)\).
2) Montrer que la fonction \(f\) est paire.
3) Étudier les variations de \(f\) sur \(]0;+\infty[\), en déduire ses variations sur \(]-\infty;0[\).
4) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}^*\).
5) Construire \((C_f)\).
Correction détaillée
Fonction paire : variations opposées sur deux intervalles symétriques ; courbe symétrique par rapport à \((Oy)\).
🔢 1) \(3>0,\ 2>0,\dots\) donc \(f(x)=\dfrac1x\) : \(f(3)=\dfrac13\), \(f(2)=\dfrac12\), \(f(1)=1\), \(f\left(\dfrac23\right)=\dfrac32\), \(f\left(\dfrac12\right)=2\), \(f\left(\dfrac13\right)=3\).
🔢
| \(x\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(\frac23\) | \(\frac12\) | \(\frac13\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\frac13\) | \(\frac12\) | \(1\) | \(\frac32\) | \(2\) | \(3\) |
🔢 2) \(D_f=\mathbb{R}^*\) est symétrique. Si \(x>0\) alors \(-x<0\) et \(f(-x)=-\dfrac{1}{-x}=\dfrac1x=f(x)\). Si \(x<0\) alors \(-x>0\) et \(f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac1x=f(x)\). Donc \(f\) est paire.
🔢 3) Sur \(]0;+\infty[\) : \(T=\dfrac{\frac1{x_1}-\frac1{x_2}}{x_1-x_2}=-\dfrac{1}{x_1x_2}<0\) : \(f\) est strictement décroissante. Comme \(f\) est paire, elle est strictement croissante sur \(]-\infty;0[\).
🔢 4) Tableau de variations :
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | ∥ | ↘ |
🔢 5) \((C_f)\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (fonction paire) :
🔢
✅ 1) \(\frac13\) ; \(\frac12\) ; \(1\) ; \(\frac32\) ; \(2\) ; \(3\) ; 2) \(f\) paire ; 3) décroissante sur \(]0;+\infty[\), croissante sur \(]-\infty;0[\) ; 4) tableau ci-dessus ; 5) courbe symétrique par rapport à \((Oy)\).
2) Soit \(f\) la fonction définie dans \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=x^2\) pour \(x>0\) ; \(f(x)=-x^2\) pour \(x\leq0\).
1) Calculer \(f(2)\), \(f(1)\), \(f(0)\) et \(f\left(\dfrac12\right)\).
2) Montrer que la fonction \(f\) est impaire.
3) Étudier les variations de \(f\) sur \(]0;+\infty[\), en déduire ses variations sur \(]-\infty;0[\).
4) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
5) Construire \((C_f)\).
1) Calculer \(f(2)\), \(f(1)\), \(f(0)\) et \(f\left(\dfrac12\right)\).
2) Montrer que la fonction \(f\) est impaire.
3) Étudier les variations de \(f\) sur \(]0;+\infty[\), en déduire ses variations sur \(]-\infty;0[\).
4) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
5) Construire \((C_f)\).
Correction détaillée
Fonction impaire : même monotonie sur deux intervalles symétriques ; courbe symétrique par rapport à l’origine.
🔢 1) \(f(2)=4\), \(f(1)=1\), \(f(0)=-0^2=0\), \(f\left(\dfrac12\right)=\dfrac14\).
🔢 2) \(D_f=\mathbb{R}\) est symétrique. Si \(x>0\) : \(-x<0\) et \(f(-x)=-(-x)^2=-x^2=-f(x)\). Si \(x<0\) : \(-x>0\) et \(f(-x)=(-x)^2=x^2=-f(x)\) (car \(f(x)=-x^2\)). Enfin \(f(0)=0=-f(0)\). Donc \(f\) est impaire.
🔢 3) Sur \(]0;+\infty[\) : \(T=x_1+x_2>0\) : \(f\) est strictement croissante. Comme \(f\) est impaire, elle a la même monotonie sur \(]-\infty;0[\) : strictement croissante.
🔢 4) \(f(x)\leq0\) pour \(x\leq0\) et \(f(x)>0\) pour \(x>0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | \(0\) | ↗ |
🔢 5) \((C_f)\) est symétrique par rapport à l’origine \(O\) (fonction impaire) :
🔢
✅ 1) \(4\) ; \(1\) ; \(0\) ; \(\frac14\) ; 2) \(f\) impaire ; 3) strictement croissante sur \(]0;+\infty[\) et sur \(]-\infty;0[\) ; 4) strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; 5) courbe symétrique par rapport à \(O\).
Exercice 5.2
Parité et valeur absolue : construire une courbe
1) 1) Soient les fonctions \(f\) et \(g\) telles que \(f(x)=x^2-4x+2\) et \(g(x)=x^2-4|x|+2\).
a) Tracer la courbe de \((C_f)\).
b) Montrer que \(g\) est paire.
c) Calculer \(g(x)=f(x)\) pour tout \(x\geq0\).
d) Tracer la courbe de \((C_g)\) (figure isolée).
a) Tracer la courbe de \((C_f)\).
b) Montrer que \(g\) est paire.
c) Calculer \(g(x)=f(x)\) pour tout \(x\geq0\).
d) Tracer la courbe de \((C_g)\) (figure isolée).
Correction détaillée
\(h(|x|)\) : on garde le tracé de \(h\) pour \(x\geq0\) puis on le reflète par rapport à \((Oy)\).
🔢 1) a) \(f(x)=(x-2)^2-2\) : parabole de sommet \(S(2;-2)\), passant par \((0;2)\), \((4;2)\), \((1;-1)\), \((3;-1)\) :
🔢
🔢 1) b) \(D_g=\mathbb{R}\) est symétrique et \(g(-x)=x^2-4|-x|+2=x^2-4|x|+2=g(x)\) : \(g\) est paire.
🔢 1) c) Pour \(x\geq0\), \(|x|=x\), donc \(g(x)=x^2-4x+2=f(x)\).
🔢 1) d) Pour \(x\geq0\), \((C_g)\) coïncide avec \((C_f)\) ; pour \(x\leq0\) on prend le symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (\(g\) paire). \((C_f)\) est en pointillés pour \(x\geq0\) :
🔢
✅ 1) a) parabole de sommet \((2;-2)\) ; b) \(g\) paire ; c) \(g(x)=f(x)\) pour \(x\geq0\) ; d) figure
2) 2) Soient les fonctions \(u\) et \(v\) telles que \(u(x)=\dfrac{3x-4}{x-2}\) et \(v(x)=\dfrac{3|x|-4}{|x|-2}\).
a) Tracer la courbe de \((C_u)\).
b) Calculer \(v(x)=u(x)\) pour tout \(x\geq0\).
c) Tracer la courbe de \((C_v)\) (figure isolée).
a) Tracer la courbe de \((C_u)\).
b) Calculer \(v(x)=u(x)\) pour tout \(x\geq0\).
c) Tracer la courbe de \((C_v)\) (figure isolée).
Correction détaillée
\(h(|x|)\) : on garde le tracé de \(h\) pour \(x\geq0\) puis on le reflète par rapport à \((Oy)\).
🔢 2) a) \(u(x)=3+\dfrac{2}{x-2}\) : hyperbole de centre \(\Omega(2;3)\), d’asymptotes \(x=2\) et \(y=3\), passant par \((0;2)\), \((1;1)\), \((3;5)\), \((4;4)\) :
🔢
🔢 2) b) \(D_v=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). Pour \(x\geq0\) (\(x\neq2\)), \(|x|=x\) donc \(v(x)=\dfrac{3x-4}{x-2}=u(x)\).
🔢 2) c) Pour \(x\geq0\), \((C_v)\) coïncide avec \((C_u)\) ; pour \(x\leq0\) on prend le symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (\(v\) est paire car \(v(-x)=v(x)\)). Asymptotes verticales \(x=\pm2\) :
🔢
✅ 2) a) hyperbole de centre \((2;3)\) ; b) \(v(x)=u(x)\) pour \(x\geq0\) ; c) figure.
Exercice 6.1
Monotonie et taux d’accroissement
1) Soient les fonctions définies par :
1) \(f(x)=7x-5\).
2) \(g(x)=\dfrac2x\). Étudier la monotonie de \(f\) et de \(g\).
1) \(f(x)=7x-5\).
2) \(g(x)=\dfrac2x\). Étudier la monotonie de \(f\) et de \(g\).
Correction détaillée
\(T>0\) : croissante ; \(T<0\) : décroissante.
🔢 1) \(D_f=\mathbb{R}\). Pour \(x_1\neq x_2\) : \(T=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\dfrac{7(x_1-x_2)}{x_1-x_2}=7>0\). \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
🔢 2) \(D_g=\mathbb{R}^*\). Pour \(x_1\neq x_2\) : \(T=\dfrac{\frac2{x_1}-\frac2{x_2}}{x_1-x_2}=\dfrac{2(x_2-x_1)}{x_1x_2(x_1-x_2)}=-\dfrac{2}{x_1x_2}\).
🔢 2) Sur \(]0;+\infty[\) comme sur \(]-\infty;0[\), \(x_1x_2>0\) donc \(T<0\) : \(g\) est strictement décroissante sur chacun des intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\) (mais pas sur \(\mathbb{R}^*\) : \(g(-1)=-2<g(1)=2\)).
✅ 1) \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; 2) \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\).
2) Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{2x-5}{x-4}\).
1) Déterminer \(D_f\) et vérifier que pour tout \(x\) de \(D_f\), \(f(x)=2+\dfrac{3}{x-4}\).
2) Montrer que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;4[\).
1) Déterminer \(D_f\) et vérifier que pour tout \(x\) de \(D_f\), \(f(x)=2+\dfrac{3}{x-4}\).
2) Montrer que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;4[\).
Correction détaillée
\(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)\) : fonction strictement décroissante.
🔢 1) \(x-4\neq0\iff x\neq4\) : \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{4\}\). Pour \(x\neq4\) : \(2+\dfrac{3}{x-4}=\dfrac{2(x-4)+3}{x-4}=\dfrac{2x-5}{x-4}=f(x)\).
🔢 2) Soient \(x_1<x_2<4\). \(f(x_1)-f(x_2)=\dfrac{3}{x_1-4}-\dfrac{3}{x_2-4}=\dfrac{3(x_2-x_1)}{(x_1-4)(x_2-4)}\). Comme \(x_2-x_1>0\) et \((x_1-4)(x_2-4)>0\) (deux facteurs négatifs), \(f(x_1)-f(x_2)>0\), c’est-à-dire \(f(x_1)>f(x_2)\).
✅ 1) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{4\}\) et \(f(x)=2+\frac3{x-4}\) ; 2) \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;4[\).
Exercice 6.2
Étude complète des variations
1) Soit \(f\) une fonction telle que \(f(x)=3x^2+2\).
1) Déterminer \(D_f\).
2) Calculer le taux d’accroissement de la fonction \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) tels que \(x_1\neq x_2\).
3) Étudier les variations de \(f\) sur les intervalles \([0;+\infty[\) et \(]-\infty;0]\).
4) Dresser son tableau de variation.
1) Déterminer \(D_f\).
2) Calculer le taux d’accroissement de la fonction \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) tels que \(x_1\neq x_2\).
3) Étudier les variations de \(f\) sur les intervalles \([0;+\infty[\) et \(]-\infty;0]\).
4) Dresser son tableau de variation.
Correction détaillée
Taux d’accroissement : \(T=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\).
🔢 1) \(f\) est un polynôme : \(D_f=\mathbb{R}\).
🔢 2) \(T=\dfrac{3x_1^2-3x_2^2}{x_1-x_2}=\dfrac{3(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1-x_2}=3(x_1+x_2)\).
🔢 3) Sur \([0;+\infty[\) : \(x_1+x_2>0\), donc \(T>0\) : \(f\) est strictement croissante. Sur \(]-\infty;0]\) : \(x_1+x_2<0\), donc \(T<0\) : \(f\) est strictement décroissante.
🔢 4) \(f(0)=2\). Tableau de variations :
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘ | \(2\) | ↗ |
✅ 1) \(D_f=\mathbb{R}\) ; 2) \(T=3(x_1+x_2)\) ; 3) décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\) ; 4) minimum \(f(0)=2\).
2) Soit \(g\) une fonction telle que \(g(x)=\dfrac{x}{x+1}\).
1) Déterminer \(D_g\).
2) Calculer le taux d’accroissement de la fonction \(g\) entre \(x_1\) et \(x_2\) tels que \(x_1\neq x_2\).
3) Étudier les variations de \(g\) sur les intervalles \(I=]-\infty;-1[\) et \(J=]-1;+\infty[\).
4) Dresser son tableau de variation.
1) Déterminer \(D_g\).
2) Calculer le taux d’accroissement de la fonction \(g\) entre \(x_1\) et \(x_2\) tels que \(x_1\neq x_2\).
3) Étudier les variations de \(g\) sur les intervalles \(I=]-\infty;-1[\) et \(J=]-1;+\infty[\).
4) Dresser son tableau de variation.
Correction détaillée
On regroupe en une seule fraction puis on factorise par \(x_1-x_2\).
🔢 1) \(x+1\neq0\iff x\neq-1\) : \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
🔢 2) \(g(x_1)-g(x_2)=\dfrac{x_1}{x_1+1}-\dfrac{x_2}{x_2+1}=\dfrac{x_1(x_2+1)-x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}=\dfrac{x_1-x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}\). Donc \(T=\dfrac{1}{(x_1+1)(x_2+1)}\).
🔢 3) Sur \(I\) : \(x_1+1<0\) et \(x_2+1<0\), donc \(T>0\). Sur \(J\) : \(x_1+1>0\) et \(x_2+1>0\), donc \(T>0\). \(g\) est strictement croissante sur \(I\) et sur \(J\).
🔢 4) Tableau de variations :
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | ∥ | ↗ |
✅ 1) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) ; 2) \(T=\frac{1}{(x_1+1)(x_2+1)}\) ; 3) \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\).
3) Soit \(f\) une fonction telle que \(f(x)=x+\dfrac1x\).
1) Déterminer \(D_f\) et étudier la parité de \(f\).
2) Calculer le taux d’accroissement \(T(x_1;x_2)\) de \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) deux éléments de \(D_f\) tels que \(x_1\neq x_2\).
3) Étudier les variations de \(f\) sur \(I=]0;1]\) puis sur \(J=[1;+\infty[\).
4) En déduire les variations de \(f\) sur \(D_f\).
5) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(D_f\).
1) Déterminer \(D_f\) et étudier la parité de \(f\).
2) Calculer le taux d’accroissement \(T(x_1;x_2)\) de \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) deux éléments de \(D_f\) tels que \(x_1\neq x_2\).
3) Étudier les variations de \(f\) sur \(I=]0;1]\) puis sur \(J=[1;+\infty[\).
4) En déduire les variations de \(f\) sur \(D_f\).
5) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(D_f\).
Correction détaillée
Fonction impaire : monotonie identique sur des intervalles symétriques.
🔢 1) \(D_f=\mathbb{R}^*\) est symétrique et \(f(-x)=-x-\dfrac1x=-f(x)\) : \(f\) est impaire.
🔢 2) \(f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)+\dfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)\left(1-\dfrac{1}{x_1x_2}\right)\). Donc \(T=1-\dfrac{1}{x_1x_2}=\dfrac{x_1x_2-1}{x_1x_2}\).
🔢 3) Sur \(I=]0;1]\) : \(0<x_1x_2<1\), donc \(x_1x_2-1<0\) et \(T<0\) : \(f\) est strictement décroissante. Sur \(J=[1;+\infty[\) : \(x_1x_2>1\) (en fait \(x_1x_2\geq1\) avec \(x_1\neq x_2\), donc \(>1\)), donc \(T>0\) : \(f\) est strictement croissante.
🔢 4) \(f\) est impaire : elle a la même monotonie sur deux intervalles symétriques. Donc \(f\) est strictement décroissante sur \([-1;0[\) et strictement croissante sur \(]-\infty;-1]\).
🔢 5) \(f(1)=2\) et \(f(-1)=-2\). Tableau de variations :
🔢
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | \(-2\) | ↘ | ∥ | ↘ | \(2\) | ↗ |
✅ 1) \(D_f=\mathbb{R}^*\), \(f\) impaire ; 2) \(T=\frac{x_1x_2-1}{x_1x_2}\) ; 3) décroissante sur \(]0;1]\), croissante sur \([1;+\infty[\) ; 4) croissante sur \(]-\infty;-1]\), décroissante sur \([-1;0[\) ; 5) voir le tableau.
Exercice 7.1
Montrer qu’une valeur est un extremum
1) Soit \(f\) une fonction numérique telle que \(f(x)=5x^2+3\). Montrer que \(f(0)=3\) est un minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Correction détaillée
\(f(x)\geq f(a)\) pour tout \(x\) : \(f(a)\) est un minimum.
🔢 Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(x^2\geq0\), donc \(5x^2+3\geq3\), c’est-à-dire \(f(x)\geq f(0)\).
✅ \(f(0)=3\) est le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2) Soit \(g\) une fonction numérique telle que \(g(x)=-4x^2+1\). Montrer que \(g(0)=1\) est un maximum de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
Correction détaillée
\(f(x)\leq f(a)\) pour tout \(x\) : \(f(a)\) est un maximum.
🔢 Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(-4x^2\leq0\), donc \(-4x^2+1\leq1\), c’est-à-dire \(g(x)\leq g(0)\).
✅ \(g(0)=1\) est le maximum de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
3) \(f\) est une fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{4x-3}{x^2+1}\).
1) Montrer que \(1\) est une valeur maximale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2) Montrer que \(-4\) est une valeur minimale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
1) Montrer que \(1\) est une valeur maximale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2) Montrer que \(-4\) est une valeur minimale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Correction détaillée
Étudier le signe de \(M-f(x)\) puis \(f(x)-m\).
🔢 1) \(1-f(x)=\dfrac{x^2+1-4x+3}{x^2+1}=\dfrac{x^2-4x+4}{x^2+1}=\dfrac{(x-2)^2}{x^2+1}\geq0\), donc \(f(x)\leq1\) pour tout \(x\). De plus \(f(2)=\dfrac{8-3}{5}=1\) : la valeur \(1\) est atteinte.
🔢 2) \(f(x)+4=\dfrac{4x-3+4x^2+4}{x^2+1}=\dfrac{4x^2+4x+1}{x^2+1}=\dfrac{(2x+1)^2}{x^2+1}\geq0\), donc \(f(x)\geq-4\). Et \(f\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{-5}{\frac54}=-4\) : la valeur \(-4\) est atteinte.
✅ 1) \(1\) est le maximum de \(f\) (atteint en \(x=2\)) ; 2) \(-4\) est le minimum de \(f\) (atteint en \(x=-\frac12\)).
Exercice 7.2
Extrema : exercices guidés
1) Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=|x+1|-|x-1|\).
1) Étudier la parité de la fonction \(f\).
2) Vérifier que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(-2\leq f(x)\leq2\).
3) Résoudre les équations \(f(x)=2\) et \(f(x)=-2\) et déduire les extrema de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
1) Étudier la parité de la fonction \(f\).
2) Vérifier que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(-2\leq f(x)\leq2\).
3) Résoudre les équations \(f(x)=2\) et \(f(x)=-2\) et déduire les extrema de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Correction détaillée
Un maximum est une valeur atteinte qui majore \(f\) : \(f(x)\leq M\) et \(f(a)=M\).
🔢 1) \(D_f=\mathbb{R}\) est symétrique. \(f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x)\) : \(f\) est impaire.
🔢 2) On étudie les signes : si \(x\leq-1\) : \(f(x)=-(x+1)-(1-x)=-2\). Si \(-1\leq x\leq1\) : \(f(x)=(x+1)-(1-x)=2x\in[-2;2]\). Si \(x\geq1\) : \(f(x)=(x+1)-(x-1)=2\). Dans tous les cas \(-2\leq f(x)\leq2\).
🔢 3) \(f(x)=2\iff x\geq1\) (pour \(-1\leq x\leq1\), \(2x=2\iff x=1\)) : \(S=[1;+\infty[\). \(f(x)=-2\iff x\leq-1\) : \(S=]-\infty;-1]\). Comme \(f(x)\leq2\) et que \(2\) est atteint, \(2\) est le maximum ; de même \(-2\) est le minimum.
✅ 1) \(f\) impaire ; 2) vérifié ; 3) \(f(x)=2\iff x\in[1;+\infty[\), \(f(x)=-2\iff x\in]-\infty;-1]\) ; maximum \(2\), minimum \(-2\).
2) Soit \(f\) une fonction numérique telle que \(f(x)=-4x^2+4x+5\).
1)
a) Montrer que \(f(x)=6-(2x-1)^2\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
b) Montrer que \(f(x)\leq6\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
2) Calculer \(f\left(\dfrac12\right)\) et en déduire les extrema de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
1)
a) Montrer que \(f(x)=6-(2x-1)^2\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
b) Montrer que \(f(x)\leq6\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
2) Calculer \(f\left(\dfrac12\right)\) et en déduire les extrema de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Correction détaillée
Forme canonique : \(f(x)=\beta-a(x-\alpha)^2\) donne directement le maximum \(\beta\).
🔢 1) a) \(6-(2x-1)^2=6-(4x^2-4x+1)=-4x^2+4x+5=f(x)\).
🔢 1) b) \((2x-1)^2\geq0\), donc \(6-(2x-1)^2\leq6\), soit \(f(x)\leq6\).
🔢 2) \(f\left(\dfrac12\right)=-4\times\dfrac14+2+5=6\). Donc \(f(x)\leq f\left(\dfrac12\right)\) pour tout \(x\) : \(6\) est un maximum atteint en \(x=\dfrac12\). Par contre \(f\) n’a pas de minimum : \((2x-1)^2\) peut être aussi grand qu’on veut (par exemple \(f(10)=-355\)).
✅ 1) a) et b) vérifiés ; 2) \(f\left(\frac12\right)=6\) est le maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ; \(f\) n’admet pas de minimum.