Cette série d’exercices corrigés de géométrie dans l’espace pour le Tronc Commun porte sur les droites, les plans, l’intersection et le parallélisme, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Exercices corrigés de géométrie dans l’espace Tronc Commun
Géométrie dans l’espace – Intersection et parallélisme · Série d’exercices Tronc Commun
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1.1
Intersection de deux plans
1) Dans un tétraèdre \(ABCD\), \(I\) est un point de l’arête \([AB]\), \(J\) un point de l’arête \([CD]\). Le but de l’exercice est de trouver l’intersection des plans \((AJB)\) et \((CID)\).
1) Prouver que chacun des points \(I\) et \(J\) appartient à la fois aux plans \((AJB)\) et \((CID)\).
2) Quelle est alors l’intersection de ces deux plans ?
1) Prouver que chacun des points \(I\) et \(J\) appartient à la fois aux plans \((AJB)\) et \((CID)\).
2) Quelle est alors l’intersection de ces deux plans ?
Correction détaillée
Deux plans distincts sécants ont pour intersection une droite : il suffit de trouver deux points communs.
🔢 1) \(I\in[AB]\) et \(A,B\in(AJB)\), donc la droite \((AB)\) est contenue dans \((AJB)\) : \(I\in(AJB)\). Par ailleurs \(I\) est un des points qui définissent le plan \((CID)\) : \(I\in(CID)\).
🔢 1) \(J\) définit le plan \((AJB)\) : \(J\in(AJB)\). Et \(J\in[CD]\) avec \(C,D\in(CID)\), donc \((CD)\subset(CID)\) et \(J\in(CID)\). Ainsi \(I\) et \(J\) sont deux points communs aux deux plans.
🔢 2) Les plans \((AJB)\) et \((CID)\) sont distincts : s’ils étaient confondus, ils contiendraient \(A,B,C,D\), qui ne sont pas coplanaires (tétraèdre). Deux plans distincts qui ont un point commun se coupent suivant une droite ; ici \(I\neq J\) (car \((AB)\) et \((CD)\) n’ont aucun point commun), donc cette droite est \((IJ)\).
✅ 1) \(I\) et \(J\) appartiennent aux deux plans ; 2) \((AJB)\cap(CID)=(IJ)\).
2) On considère un cube \(ABCDEFGH\), \(I\) est un point de l’arête \([AB]\), \(J\) un point de l’arête \([CG]\).
1) Montrer que les points \(I\) et \(J\) appartiennent à la fois aux plans \((ABJ)\) et \((CGI)\).
2) Quelle est l’intersection des plans \((ABJ)\) et \((CGI)\) ?
1) Montrer que les points \(I\) et \(J\) appartiennent à la fois aux plans \((ABJ)\) et \((CGI)\).
2) Quelle est l’intersection des plans \((ABJ)\) et \((CGI)\) ?
Correction détaillée
Axiome : deux points distincts d’un plan déterminent une droite contenue dans ce plan.
🔢 1) \(I\in[AB]\) et \((AB)\subset(ABJ)\) : \(I\in(ABJ)\) ; de plus \(I\) définit \((CGI)\) : \(I\in(CGI)\).
🔢 1) \(J\) définit \((ABJ)\) : \(J\in(ABJ)\) ; \(J\in[CG]\) et \((CG)\subset(CGI)\) : \(J\in(CGI)\).
🔢 2) Les plans \((ABJ)\) et \((CGI)\) sont distincts (sinon \(A,B,C,G\) seraient coplanaires, ce qui est faux dans un cube). Ils ont deux points communs distincts \(I\) et \(J\) : leur intersection est la droite \((IJ)\).
✅ 1) \(I\) et \(J\) sont communs aux deux plans ; 2) \((ABJ)\cap(CGI)=(IJ)\).
3) \(ABCD\) est un tétraèdre, \(I\) est un point de l’arête \([BC]\) et \(J\) un point de l’arête \([CD]\). \(N\) est un point du segment \([AJ]\) et \(M\) un point de la demi-droite \([AI)\) extérieur au segment \([AI]\).
1) Quelle est l’intersection des plans \((AIJ)\) et \((BCD)\) ?
2)
a) Démontrer que les points \(M\), \(N\), \(I\) et \(J\) sont dans un même plan.
b) On note \(P\) le point d’intersection de la droite \((MN)\) et du plan \((BCD)\). Prouver que \(P\) est sur \((IJ)\).
1) Quelle est l’intersection des plans \((AIJ)\) et \((BCD)\) ?
2)
a) Démontrer que les points \(M\), \(N\), \(I\) et \(J\) sont dans un même plan.
b) On note \(P\) le point d’intersection de la droite \((MN)\) et du plan \((BCD)\). Prouver que \(P\) est sur \((IJ)\).
Correction détaillée
Un point commun à deux plans appartient à leur droite d’intersection.
🔢 1) \(I\in[BC]\) et \(J\in[CD]\) sont deux points de \((BCD)\) ; ils appartiennent aussi à \((AIJ)\). Les plans \((AIJ)\) et \((BCD)\) sont distincts (\(A\notin(BCD)\)) : leur intersection est la droite \((IJ)\).
🔢 2) a) \(N\in[AJ]\), donc \(N\in(AIJ)\) (la droite \((AJ)\) est dans le plan). \(M\in(AI)\), donc \(M\in(AIJ)\). Ainsi \(M\), \(N\), \(I\), \(J\) sont dans le plan \((AIJ)\).
🔢 2) b) \(P\in(MN)\) et \((MN)\subset(AIJ)\) : \(P\in(AIJ)\). Par définition \(P\in(BCD)\). Donc \(P\in(AIJ)\cap(BCD)=(IJ)\).
✅ 1) \((AIJ)\cap(BCD)=(IJ)\) ; 2) a) \(M,N,I,J\in(AIJ)\) ; b) \(P\in(IJ)\).
Exercice 2.1
Droites parallèles dans l’espace
1) \(I\) et \(J\) sont les milieux des arêtes \([EH]\) et \([EF]\) du parallélépipède rectangle \(ABCDEFGH\). Les droites \((AI)\) et \((DH)\) se coupent en \(M\). Les droites \((AJ)\) et \((BF)\) se coupent en \(N\). Démontrer que les droites \((IJ)\) et \((MN)\) sont parallèles.
Correction détaillée
Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
🔢 Dans le triangle \(EHF\), \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([EH]\) et \([EF]\) : \((IJ)\parallel(HF)\) (droite des milieux).
🔢 Dans le plan \((ADHE)\) : \((HM)=(DH)\parallel(AE)\) et \(I\) est le milieu de \([EH]\). Les triangles \(IEA\) et \(IHM\) ont \(IE=IH\), des angles opposés par le sommet égaux et des angles alternes-internes égaux : ils sont isométriques, donc \(HM=EA\).
🔢 De même, dans le plan \((ABFE)\) avec \(J\) milieu de \([EF]\) : \((FN)\parallel(AE)\) et \(FN=EA\).
🔢 \(M\) et \(N\) sont du même côté du plan \((EFGH)\) (le côté opposé à \(A\)). Donc \((HM)\parallel(FN)\) et \(HM=FN\) : \(HMNF\) est un parallélogramme et \((MN)\parallel(HF)\).
🔢 \((IJ)\parallel(HF)\) et \((MN)\parallel(HF)\) : deux droites parallèles à une même droite sont parallèles.
✅ \((IJ)\parallel(MN)\).
Exercice 3.1
Intersection d’une droite et d’un plan
1) Soit \(ABCD\) un tétraèdre, \(I\) est le milieu de \([AB]\), \(J\) le milieu de \([AC]\) et \(K\) le point du segment \([AD]\) tel que \(AK=\dfrac34AD\).
1) Faire une figure.
2) Les droites \((CI)\) et \((BJ)\) se coupent en \(S\). Que représente le point \(S\) pour le triangle \(ABC\) ?
3) Construire l’intersection des plans \((ASD)\) et \((BDC)\).
4) Déterminer l’intersection de la droite \((IK)\) avec le plan \((BCD)\).
1) Faire une figure.
2) Les droites \((CI)\) et \((BJ)\) se coupent en \(S\). Que représente le point \(S\) pour le triangle \(ABC\) ?
3) Construire l’intersection des plans \((ASD)\) et \((BDC)\).
4) Déterminer l’intersection de la droite \((IK)\) avec le plan \((BCD)\).
Correction détaillée
Pour trouver l’intersection d’une droite et d’un plan : chercher une droite du plan coplanaire avec la droite donnée.
🔢 1) Figure :
🔢
🔢 2) \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([AB]\) et \([AC]\) : \((CI)\) et \((BJ)\) sont deux médianes du triangle \(ABC\). Elles se coupent en \(S\) : c’est le centre de gravité du triangle \(ABC\).
🔢 3) Soit \(M\) le milieu de \([BC]\). La troisième médiane \((AM)\) passe par \(S\) : \(M\in(AS)\subset(ASD)\) ; et \(M\in(BC)\subset(BCD)\). \(D\) est aussi commun aux deux plans, qui sont distincts (\(A\notin(BCD)\)). Leur intersection est la droite \((DM)\).
🔢 4) \(I\) et \(K\) sont dans le plan \((ABD)\), ainsi que la droite \((BD)\). Les droites \((IK)\) et \((BD)\) ne sont pas parallèles (\(\dfrac{AI}{AB}=\dfrac12\neq\dfrac{AK}{AD}=\dfrac34\)) : elles se coupent en un point \(L\). \(L\in(BD)\subset(BCD)\) et \(L\in(IK)\) : \(L\) est le point d’intersection de \((IK)\) et du plan \((BCD)\).
🔢 4) Position de \(L\) : la parallèle à \((AB)\) passant par \(D\) coupe \((IK)\) en \(N’\). Avec \(KD=\dfrac13KA\) : \(DN’=\dfrac13AI=\dfrac16AB\). Puis \(LD/LB=DN’/BI=\dfrac{AB/6}{AB/2}=\dfrac13\), donc \(LB=3LD\) : \(D\) est entre \(B\) et \(L\) et \(DL=\dfrac12BD\).
✅ 2) \(S\) est le centre de gravité de \(ABC\) ; 3) \((ASD)\cap(BDC)=(DM)\) avec \(M\) milieu de \([BC]\) ; 4) \((IK)\cap(BCD)=\{L\}\) où \(L=(IK)\cap(BD)\), avec \(D\) entre \(B\) et \(L\) et \(DL=\frac12BD\).
Exercice 4.1
Plans parallèles et section d’un cube
1) \(ABCDEFGH\) est un cube. \(I\) est le milieu de \([AB]\). On se propose de représenter la droite \(\Delta\) d’intersection des plans \((DFI)\) et \((EFG)\).
1) Pourquoi \(F\) appartient-il à \(\Delta\) ?
2) Quelle est l’intersection des plans \((DIF)\) et \((ABC)\) ?
3) Que sait-on sur les plans \((ABC)\) et \((EFG)\) ? En déduire la droite \(\Delta\).
4) Tracer \(\Delta\) puis tracer la section du cube par le plan \((DIF)\).
1) Pourquoi \(F\) appartient-il à \(\Delta\) ?
2) Quelle est l’intersection des plans \((DIF)\) et \((ABC)\) ?
3) Que sait-on sur les plans \((ABC)\) et \((EFG)\) ? En déduire la droite \(\Delta\).
4) Tracer \(\Delta\) puis tracer la section du cube par le plan \((DIF)\).
Correction détaillée
Théorème : si deux plans parallèles sont coupés par un troisième, les droites d’intersection sont parallèles.
🔢 1) \(F\) appartient à \((DFI)\) et à \((EFG)\) : c’est un point commun, donc \(F\in\Delta\).
🔢 2) \(D\) et \(I\) appartiennent à \((DIF)\) et à \((ABC)\) (\(I\in[AB]\)). Les plans sont distincts (\(F\notin(ABC)\)) : \((DIF)\cap(ABC)=(DI)\).
🔢 3) \((ABC)\) et \((EFG)\) sont les faces opposées du cube : ils sont parallèles. Si un plan coupe deux plans parallèles, les droites d’intersection sont parallèles : \(\Delta\parallel(DI)\). Donc \(\Delta\) est la parallèle à \((DI)\) passant par \(F\).
🔢 4) Soit \(K\) le milieu de \([GH]\) et \(K’\) le milieu de \([CD]\). Dans la face \(ABCD\), \(DK’=IB=\dfrac12AB\) et \((DK’)\parallel(IB)\) : \(DK’BI\) est un parallélogramme, donc \((DI)\parallel(K’B)\). Dans la face \(CDHG\), \((KK’)\parallel(CG)\parallel(FB)\) et \(KK’=CG=FB\) : \(FKK’B\) est un parallélogramme, donc \((FK)\parallel(BK’)\). Ainsi \((FK)\parallel(DI)\) : \(K\in\Delta\).
🔢 4) Le plan \((DIF)\) coupe les faces du cube suivant \([DI]\) (face \(ABCD\)), \([IF]\) (face \(ABFE\)), \([FK]\) (face \(EFGH\)) et \([KD]\) (face \(CDHG\)). Les côtés valent tous \(\dfrac{\sqrt5}{2}\times AB\) : la section est le losange \(DIFK\).
🔢
✅ 1) \(F\) est commun aux deux plans ; 2) \((DIF)\cap(ABC)=(DI)\) ; 3) \(\Delta\) est la parallèle à \((DI)\) passant par \(F\) ; 4) \(\Delta\) passe par le milieu \(K\) de \([GH]\) et la section est le losange \(DIFK\).
Exercice 4.2
Intersection de deux plans dans un cube
1) \(ABCDEFGH\) est un cube, \(AB=4\) cm. \(O\) est le centre du carré \(EFGH\).
1) Prouver que la droite \((OD)\) est l’intersection des plans \((EDG)\) et \((HDBF)\).
1) Prouver que la droite \((OD)\) est l’intersection des plans \((EDG)\) et \((HDBF)\).
Correction détaillée
Deux points communs distincts : l’intersection de deux plans distincts est la droite qui les joint.
🔢 \(O\) est le centre du carré \(EFGH\) : c’est le milieu de \([EG]\) et de \([HF]\). \(O\in(EG)\subset(EDG)\) et \(O\in(HF)\subset(HDBF)\).
🔢 \(D\) appartient aussi aux deux plans. Ces plans sont distincts (\(E\notin(HDBF)\)) et \(O\neq D\) : leur intersection est la droite \((OD)\).
✅ \((EDG)\cap(HDBF)=(OD)\).
Exercice 5.1
Théorème du toit
1) \(SABCD\) est une pyramide de sommet \(S\) ; la base \(ABCD\) est un parallélogramme. \(M\) est un point de l’arête \([SC]\) et \(N\) de l’arête \([SB]\) ; de plus \((MN)\) est parallèle à \((BC)\).
1) Démontrer que les droites \((AD)\) et \((MN)\) sont parallèles.
2) Dans le plan \((ADMN)\), les droites \((AN)\) et \((DM)\) se coupent en un point noté \(P\).
a) Démontrer que le point \(P\) appartient à chacun des plans \((SAB)\) et \((SDC)\).
b) Pourquoi la droite d’intersection des plans \((SAB)\) et \((SDC)\) est-elle la droite \((SP)\) ?
c) En déduire que \((SP)\) est parallèle à \((AB)\) et à \((CD)\).
1) Démontrer que les droites \((AD)\) et \((MN)\) sont parallèles.
2) Dans le plan \((ADMN)\), les droites \((AN)\) et \((DM)\) se coupent en un point noté \(P\).
a) Démontrer que le point \(P\) appartient à chacun des plans \((SAB)\) et \((SDC)\).
b) Pourquoi la droite d’intersection des plans \((SAB)\) et \((SDC)\) est-elle la droite \((SP)\) ?
c) En déduire que \((SP)\) est parallèle à \((AB)\) et à \((CD)\).
Correction détaillée
Théorème du toit : deux plans sécants contenant chacun l’une de deux droites parallèles se coupent suivant une droite parallèle à ces deux droites.
🔢 1) \(ABCD\) est un parallélogramme : \((AD)\parallel(BC)\). Or \((MN)\parallel(BC)\). Donc \((AD)\parallel(MN)\).
🔢 2) a) \(P\in(AN)\) et \((AN)\subset(SAB)\) (car \(A\in(SAB)\) et \(N\in[SB]\)) : \(P\in(SAB)\). \(P\in(DM)\) et \((DM)\subset(SDC)\) (car \(D\in(SDC)\) et \(M\in[SC]\)) : \(P\in(SDC)\).
🔢 2) b) \(S\) appartient aux plans \((SAB)\) et \((SDC)\), qui sont distincts (\(A\notin(SDC)\)). \(P\) leur appartient aussi, et \(P\neq S\) (sinon \(N\) serait sur \((SA)\) et sur \((SB)\), donc \(N=S\)). Les deux plans ont donc deux points communs distincts : leur intersection est \((SP)\).
🔢 2) c) \((AB)\subset(SAB)\), \((CD)\subset(SDC)\) et \((AB)\parallel(CD)\) (parallélogramme). D’après le théorème du toit, la droite d’intersection \((SP)\) est parallèle à \((AB)\) et à \((CD)\).
✅ 1) \((AD)\parallel(MN)\) ; 2) a) \(P\in(SAB)\cap(SDC)\) ; b) \((SAB)\cap(SDC)=(SP)\) ; c) \((SP)\parallel(AB)\parallel(CD)\).
2) \(SABCD\) est une pyramide de l’espace telle que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
1) Construire la droite \((D)\) d’intersection des plans \((SAB)\) et \((SCD)\).
2) Construire la droite \((\Delta)\) d’intersection des plans \((SBC)\) et \((SAD)\).
3) Que peut-on dire du plan \(P\) contenant les droites \((D)\) et \((\Delta)\) ?
1) Construire la droite \((D)\) d’intersection des plans \((SAB)\) et \((SCD)\).
2) Construire la droite \((\Delta)\) d’intersection des plans \((SBC)\) et \((SAD)\).
3) Que peut-on dire du plan \(P\) contenant les droites \((D)\) et \((\Delta)\) ?
Correction détaillée
Deux plans sont parallèles si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à deux droites sécantes de l’autre.
🔢 1) \(A\notin(SCD)\) : les plans \((SAB)\) et \((SCD)\) ne sont pas confondus ; \(S\) est un point commun : ils sont sécants. \((AB)\subset(SAB)\), \((CD)\subset(SCD)\) et \((AB)\parallel(CD)\) (parallélogramme). Théorème du toit : \((D)\) est la parallèle à \((AB)\) et \((CD)\) passant par \(S\).
🔢 2) De la même façon, \((BC)\parallel(AD)\) : \((\Delta)\) est la parallèle à \((BC)\) passant par \(S\).
🔢
🔢 3) \((D)\parallel(AB)\) et \((\Delta)\parallel(BC)\) ; \((AB)\) et \((BC)\) sont sécantes dans \((ABCD)\), et \((D)\), \((\Delta)\) sont sécantes en \(S\) dans \(P\). Deux droites sécantes de \(P\) sont parallèles à deux droites sécantes de \((ABCD)\) : les plans \(P\) et \((ABCD)\) sont parallèles.
✅ 1) \((D)\) est la parallèle à \((AB)\) passant par \(S\) ; 2) \((\Delta)\) est la parallèle à \((BC)\) passant par \(S\) ; 3) \(P\parallel(ABCD)\).