Cette série d’exercices corrigés de statistiques pour le Tronc Commun traite des séries statistiques, de la moyenne, de la médiane et de l’écart type, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Exercices corrigés de statistiques Tronc Commun

Statistiques · Série d’exercices Tronc Commun

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape

Exercice 1.1

Compléter un tableau statistique

1) Voici le diagramme en bâtons représentant une série de notes obtenues par une classe à un contrôle.

Recopier et compléter le tableau suivant :

Notes	2	4	5	6	7	8	9	10	11	12	14	17	Total
Effectif
Pourcentage (%)

Correction détaillée

Effectif = hauteur du bâton ; pourcentage = effectif ÷ effectif total × 100.

🔢 On lit sur le diagramme la hauteur de chaque bâton : elle donne l’effectif de la note correspondante. L’effectif total est \(N=1+2+1+1+3+4+5+6+2+4+3+1=33\).

🔢 Le pourcentage d’une note est \(\dfrac{\text{effectif}}{33}\times100\). Par exemple pour la note 10 : \(\dfrac{6}{33}\times100\approx18{,}2\,\%\). Tableau complété (pourcentages arrondis au dixième) :

Notes	2	4	5	6	7	8	9	10	11	12	14	17	Total
Effectif	1	2	1	1	3	4	5	6	2	4	3	1	33
Pourcentage (%)	3	6,1	3	3	9,1	12,1	15,2	18,2	6,1	12,1	9,1	3	100

✅ \(N=33\) élèves ; le tableau complété est donné ci-dessus (la somme des pourcentages vaut \(100\,\%\)).

2) Le tableau suivant récapitule les moyennes annuelles en mathématiques d’élèves de seconde.

Note	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	Total
Effectif	0	1	0	5	6	2	11	7	23	25	30	16	26	15	19	14	11	5	2	3	0	221
Fréquence (%)
ECC

1) Compléter la distribution des fréquences.
2) Que signifie ECC ? Compléter la ligne correspondante.
3) Utiliser le tableau pour déterminer la médiane, le premier et le troisième quartile.
4) Tracer le polygone des fréquences (unité : 1 cm pour 1 point en abscisse et 1 cm pour 1 % en ordonnée).

Correction détaillée

\(Q_1\) : plus petite valeur dont l’ECC dépasse \(25\,\%\) de \(N\) ; \(Q_3\) : idem pour \(75\,\%\).

🔢 1) \(N=221\). La fréquence de chaque note est \(f_i=\dfrac{n_i}{221}\) ; on l’exprime en pourcentage : par exemple \(\dfrac{30}{221}\times100\approx13{,}57\,\%\) pour la note 10. (Lignes complétées dans le tableau final.)

🔢 2) ECC signifie « effectifs cumulés croissants » : pour une note \(x\), c’est le nombre d’élèves ayant une note inférieure ou égale à \(x\). On additionne les effectifs de gauche à droite.

Note	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Effectif	1	0	5	6	2	11	7	23	25	30	16	26	15	19	14	11	5	2	3	0
Fréquence (%)	0,45	0	2,26	2,71	0,9	4,98	3,17	10,41	11,31	13,57	7,24	11,76	6,79	8,6	6,33	4,98	2,26	0,9	1,36	0
ECC	1	1	6	12	14	25	32	55	80	110	126	152	167	186	200	211	216	218	221	221

🔢 3) Médiane : \(\dfrac N2=110{,}5\), donc la médiane est la 111e valeur ; comme \(ECC(10)=110<111\le ECC(11)=126\), on a \(Me=11\). Premier quartile : \(\dfrac N4=55{,}25\), donc \(Q_1\) est la 56e valeur ; \(ECC(8)=55<56\le ECC(9)=80\) donc \(Q_1=9\). Troisième quartile : \(\dfrac{3N}4=165{,}75\), donc \(Q_3\) est la 166e valeur ; \(ECC(12)=152<166\le ECC(13)=167\) donc \(Q_3=13\).

🔢 4) On place les points \((x_i\,;f_i)\) (note ; fréquence en %) puis on les relie par des segments :

✅ 1) fréquences en % (tableau) ; 2) ECC = effectifs cumulés croissants (ligne complétée) ; 3) \(Me=11\), \(Q_1=9\), \(Q_3=13\) ; 4) polygone des fréquences ci-dessus.

Exercice 1.2

Vocabulaire, tableau des effectifs et paramètres d’une série

1) Voici la liste des notes des élèves d’une classe du tronc commun science lors d’un devoir de mathématiques : 9 ; 8 ; 10 ; 12 ; 10 ; 8 ; 15 ; 18 ; 16 ; 15 ; 12 ; 12 ; 10 ; 10 ; 9 ; 8 ; 15 ; 12 ; 8 ; 10.
1) Quelle est la population concernée par l’étude statistique ? Quel est l’individu concerné ? Quel est le caractère étudié ? Ce caractère est-il quantitatif ou qualitatif ?
2) Dresser le tableau des effectifs et des effectifs cumulés croissants et déterminer l’effectif total.
3) Calculer la fréquence et le pourcentage associés à la note 12.
4) Calculer les paramètres de position de cette série (le mode, la moyenne, la médiane).

Correction détaillée

Effectif cumulé croissant = somme des effectifs jusqu’à la valeur ; médiane = valeur du milieu de la série ordonnée.

🔢 1) Population : les élèves de la classe de tronc commun science. Individu : un élève de cette classe. Caractère étudié : la note obtenue au devoir de mathématiques. C’est un caractère quantitatif (mesurable) discret : il prend un nombre fini de valeurs.

🔢 2) On compte combien de fois chaque note apparaît puis on cumule :

Note	8	9	10	12	15	16	18	Total
Effectif \(n_i\)	4	2	5	4	3	1	1	20
ECC	4	6	11	15	18	19	20

L’effectif total est \(N=4+2+5+4+3+1+1=20\).

🔢 3) La note 12 apparaît 4 fois : \(f=\dfrac{4}{20}=0{,}2\) et le pourcentage est \(0{,}2\times100=20\,\%\).

🔢 4) Mode : la valeur de plus grand effectif est 10 (effectif 5). Moyenne : \(\bar x=\dfrac{4\times8+2\times9+5\times10+4\times12+3\times15+1\times16+1\times18}{20}=\dfrac{32+18+50+48+45+16+18}{20}=\dfrac{227}{20}=11{,}35\). Médiane : \(N=20\) est pair, donc \(Me\) est la moyenne des 10e et 11e valeurs ; d’après les effectifs cumulés (6 puis 11), ces deux valeurs valent 10 : \(Me=10\).

✅ 1) population : les élèves de la classe ; individu : un élève ; caractère : la note (quantitatif discret) ; 2) \(N=20\) ; 3) \(f=0{,}2\), soit \(20\,\%\) ; 4) mode \(=10\), \(\bar x=11{,}35\), \(Me=10\).

Exercice 2.1

Calculer la médiane d’une série

1) Le tableau ci-dessous représente les longueurs obtenues par des athlètes lors d’un concours de lancer de javelot.

Longueur (en m)	37	39	40	41	42	43	44	48
Effectif	4	3	4	3	2	3	5	2

Déterminer la médiane de cette série.

Correction détaillée

Effectif pair : moyenne des deux valeurs centrales (rangs \(\frac N2\) et \(\frac N2+1\)).

🔢 L’effectif total est \(N=4+3+4+3+2+3+5+2=26=2\times13\), donc il est pair : la médiane est la moyenne de la 13e et de la 14e valeur.

🔢 On calcule les effectifs cumulés croissants :

Longueur (en m)	37	39	40	41	42	43	44	48
Effectif	4	3	4	3	2	3	5	2
ECC	4	7	11	14	16	19	24	26

La valeur 40 s’arrête à la 11e place ; les 12e, 13e et 14e valeurs sont donc égales à 41.

🔢 \(Me=\dfrac{41+41}{2}=41\).

✅ La médiane est \(Me=41\ \text m\).

Exercice 2.2

Calculer une moyenne

1) Dans une classe, il y a 20 filles et 15 garçons. La taille moyenne de l’ensemble des élèves est de 1,7 m ; la taille moyenne des garçons est de 1,8 m. Quelle est la taille moyenne des filles de la classe ?

Correction détaillée

Moyenne × effectif = somme des valeurs : on soustrait les sommes.

🔢 L’effectif total est \(20+15=35\). La somme des tailles de tous les élèves est \(35\times1{,}7=59{,}5\).

🔢 La somme des tailles des garçons est \(15\times1{,}8=27\).

🔢 La somme des tailles des filles est donc \(59{,}5-27=32{,}5\), et leur moyenne est \(\dfrac{32{,}5}{20}=1{,}625\).

✅ La taille moyenne des filles est \(1{,}625\ \text m\).

2) À un examen normalisé de maths, deux professeurs sont chargés de corriger les copies : le premier a 12 de moyenne avec 60 élèves et le deuxième n’a que 10,5 de moyenne avec 50 élèves. Quelle est la moyenne des élèves de cet établissement ?

Correction détaillée

Moyenne pondérée : \(\bar x=\dfrac{n_1\bar x_1+n_2\bar x_2}{n_1+n_2}\).

🔢 Somme des notes du premier professeur : \(60\times12=720\). Somme des notes du second : \(50\times10{,}5=525\).

🔢 Effectif total : \(60+50=110\) élèves. Moyenne générale : \(\bar x=\dfrac{720+525}{110}=\dfrac{1245}{110}=\dfrac{249}{22}\approx11{,}32\).

✅ La moyenne générale est \(\dfrac{249}{22}\approx11{,}32\).

Exercice 3.1

Calculer l’écart moyen, la variance et l’écart-type

1) On considère la série statistique suivante :

Caractère	7	2	1
Effectif	1	4	5

Calculer les paramètres de dispersion de cette série statistique (l’écart moyen, la variance, l’écart-type).

Correction détaillée

\(e=\dfrac{\sum n_i|x_i-\bar x|}{N}\) ; \(V=\dfrac{\sum n_i(x_i-\bar x)^2}{N}\) ; \(\sigma=\sqrt V\).

🔢 Effectif total \(N=1+4+5=10\). Moyenne : \(\bar x=\dfrac{7\times1+2\times4+1\times5}{10}=\dfrac{20}{10}=2\).

🔢 Écart moyen : \(e=\dfrac{1\times|7-2|+4\times|2-2|+5\times|1-2|}{10}=\dfrac{5+0+5}{10}=1\).

🔢 Variance : \(V=\dfrac{1\times(7-2)^2+4\times(2-2)^2+5\times(1-2)^2}{10}=\dfrac{25+0+5}{10}=3\).

🔢 Écart-type : \(\sigma=\sqrt V=\sqrt3\approx1{,}73\).

✅ \(e=1\) ; \(V=3\) ; \(\sigma=\sqrt3\approx1{,}73\).

2) On considère la série statistique suivante :

Classe	\([0\,;\,4[\)	\([4\,;\,8[\)	\([8\,;\,12[\)	\([12\,;\,16[\)	\([16\,;\,20[\)
Effectif	1	2	4	2	1

1) Déterminer la classe modale de cette série.
2) Calculer la moyenne.
3) Calculer les paramètres de dispersion de cette série statistique (l’écart moyen, la variance, l’écart-type).

Correction détaillée

Pour une série à classes, on remplace chaque classe par son centre.

🔢 1) La classe modale est la classe de plus grand effectif : c’est \([8\,;\,12[\) (effectif 4).

🔢 2) Les centres des classes sont 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 et \(N=1+2+4+2+1=10\). \(\bar x=\dfrac{1\times2+2\times6+4\times10+2\times14+1\times18}{10}=\dfrac{2+12+40+28+18}{10}=\dfrac{100}{10}=10\).

🔢 3) Écart moyen : \(e=\dfrac{1\times8+2\times4+4\times0+2\times4+1\times8}{10}=\dfrac{32}{10}=3{,}2\). Variance : \(V=\dfrac{1\times64+2\times16+4\times0+2\times16+1\times64}{10}=\dfrac{192}{10}=19{,}2\). Écart-type : \(\sigma=\sqrt{19{,}2}\approx4{,}38\).

✅ 1) classe modale \([8\,;\,12[\) ; 2) \(\bar x=10\) ; 3) \(e=3{,}2\), \(V=19{,}2\), \(\sigma\approx4{,}38\).

Exercice 3.2

Étude d’une série : position et dispersion

1) Après avoir compté les absences des élèves d’une classe de 40 élèves, on a regroupé les résultats dans le tableau ci-dessous :

Nombre d’heures d’absences	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Effectif	3	3	3	1	8	5	5	5	1	2	4

1) Compléter le tableau par la ligne des effectifs cumulés croissants.
2) Déterminer le nombre et le pourcentage des élèves ayant une absence supérieure ou égale à 6 heures.
3) Calculer les paramètres de position de cette série statistique (le mode, la moyenne, la médiane).
4) Calculer les paramètres de dispersion de cette série statistique (l’écart moyen, la variance, l’écart-type).

Correction détaillée

Pour la médiane, on cherche la première valeur dont l’effectif cumulé atteint \(N/2\).

🔢 1) On range les valeurs dans l’ordre croissant et on cumule les effectifs :

Heures d’absences	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Effectif	4	2	1	5	5	5	8	1	3	3	3
Effectif cumulé	4	6	7	12	17	22	30	31	34	37	40

(\(N=40\)).

🔢 2) Élèves absents au moins 6 heures : \(8+1+3+3+3=18\) élèves, soit \(\dfrac{18}{40}\times100=45\,\%\).

🔢 3) Mode : 6 heures (effectif 8). Moyenne : \(\bar x=\dfrac{0\times4+1\times2+2\times1+3\times5+4\times5+5\times5+6\times8+7\times1+8\times3+9\times3+10\times3}{40}=\dfrac{200}{40}=5\). Médiane : \(\dfrac N2=20\) ; le plus petit effectif cumulé supérieur ou égal à 20 est 22, associé à 5 heures, donc \(Me=5\).

🔢 4) Écart moyen : \(e=\dfrac{4\times5+2\times4+1\times3+5\times2+5\times1+5\times0+8\times1+1\times2+3\times3+3\times4+3\times5}{40}=\dfrac{92}{40}=2{,}3\). Variance : \(V=\dfrac{4\times25+2\times16+1\times9+5\times4+5\times1+0+8\times1+1\times4+3\times9+3\times16+3\times25}{40}=\dfrac{328}{40}=8{,}2\). Écart-type : \(\sigma=\sqrt{8{,}2}\approx2{,}86\).

✅ 1) effectifs cumulés dans le tableau ; 2) 18 élèves, soit \(45\,\%\) ; 3) mode \(=6\), \(\bar x=5\), \(Me=5\) ; 4) \(e=2{,}3\), \(V=8{,}2\), \(\sigma\approx2{,}86\).

2) Voici la liste des notes des élèves d’une classe du tronc commun science lors d’un devoir de mathématiques : 14 ; 15 ; 06 ; 08 ; 10 ; 07 ; 14 ; 19 ; 06 ; 08 ; 09 ; 02 ; 10 ; 12 ; 08 ; 06 ; 15 ; 08 ; 12 ; 10.
1) Remplir le tableau suivant :

Classe	\([0\,;\,5[\)	\([5\,;\,10[\)	\([10\,;\,15[\)	\([15\,;\,20[\)
Effectif
Effectif cumulé

2) Déterminer la classe modale de cette série.
3) Calculer la moyenne des notes obtenues en donnant le résultat sous sa forme décimale exacte.

Correction détaillée

Moyenne d’une série à classes : on remplace chaque classe par son centre.

🔢 1) On range chaque note dans sa classe : \([0\,;5[\) : 2 (1 note) ; \([5\,;10[\) : 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 9 (9 notes) ; \([10\,;15[\) : 10, 10, 10, 12, 12, 14, 14 (7 notes) ; \([15\,;20[\) : 15, 15, 19 (3 notes).

Classe	\([0\,;\,5[\)	\([5\,;\,10[\)	\([10\,;\,15[\)	\([15\,;\,20[\)
Centre	2,5	7,5	12,5	17,5
Effectif	1	9	7	3
Effectif cumulé	1	10	17	20

🔢 2) La classe modale est celle de plus grand effectif : \([5\,;10[\) (effectif 9).

🔢 3) On utilise les centres des classes : \(\bar x=\dfrac{1\times2{,}5+9\times7{,}5+7\times12{,}5+3\times17{,}5}{20}=\dfrac{2{,}5+67{,}5+87{,}5+52{,}5}{20}=\dfrac{210}{20}=10{,}5\).

✅ 1) effectifs \(1\ ;\ 9\ ;\ 7\ ;\ 3\) (cumulés \(1\ ;\ 10\ ;\ 17\ ;\ 20\)) ; 2) classe modale \([5\,;10[\) ; 3) \(\bar x=10{,}5\).

3) 4) Calculer les paramètres de dispersion de cette série statistique (l’écart moyen, la variance, l’écart-type).
5) Représenter l’histogramme des effectifs de cette série statistique.

Correction détaillée

Amplitudes égales : hauteur du rectangle = effectif.

🔢 4) Avec \(\bar x=10{,}5\) et \(N=20\) : écart moyen \(e=\dfrac{1\times|2{,}5-10{,}5|+9\times|7{,}5-10{,}5|+7\times|12{,}5-10{,}5|+3\times|17{,}5-10{,}5|}{20}=\dfrac{8+27+14+21}{20}=\dfrac{70}{20}=3{,}5\). Variance : \(V=\dfrac{1\times64+9\times9+7\times4+3\times49}{20}=\dfrac{64+81+28+147}{20}=\dfrac{320}{20}=16\). Écart-type : \(\sigma=\sqrt{16}=4\).

🔢 5) Les classes ont toutes la même amplitude (5) : la hauteur de chaque rectangle est égale à l’effectif.

✅ 4) \(e=3{,}5\), \(V=16\), \(\sigma=4\) ; 5) histogramme ci-dessus (hauteurs \(1\ ;\ 9\ ;\ 7\ ;\ 3\)).

Exercice 3.3

Étude d’une série à classes : fréquences, mode, médiane, moyenne, variance

1) Voici le relevé d’une étude statistique sur les tailles en cm de 300 élèves d’un établissement.

Tailles (en cm)	\([135\,;\,145[\)	\([145\,;\,155[\)	\([155\,;\,165[\)	\([165\,;\,175[\)	\([175\,;\,185[\)	\([185\,;\,195[\)
Effectifs	15	27	90	120	43	5

1) Faire le calcul des fréquences, du mode, de la médiane, de la moyenne et de la variance.
2) Faire la représentation graphique des effectifs, ainsi que le polygone des effectifs.

Correction détaillée

Variance : \(V=\dfrac{\sum n_ic_i^2}{N}-\bar x^2\) (moyenne des carrés moins carré de la moyenne).

🔢 1) Fréquences : \(f_i=\dfrac{n_i}{300}\), soit \(5\,\%\ ;\ 9\,\%\ ;\ 30\,\%\ ;\ 40\,\%\ ;\ 14{,}33\,\%\ ;\ 1{,}67\,\%\). Mode : classe modale \([165\,;175[\) (effectif 120, classes de même amplitude).

🔢 1) Médiane : effectifs cumulés croissants \(15\ ;\ 42\ ;\ 132\ ;\ 252\ ;\ 295\ ;\ 300\). \(\dfrac N2=150\) est atteint dans \([165\,;175[\) ; par interpolation linéaire sur le polygone des effectifs cumulés : \(Me=165+10\times\dfrac{150-132}{120}=166{,}5\).

🔢 1) Moyenne (centres 140 ; 150 ; 160 ; 170 ; 180 ; 190) : \(\bar x=\dfrac{15\times140+27\times150+90\times160+120\times170+43\times180+5\times190}{300}=\dfrac{49640}{300}\approx165{,}47\). Variance : \(V=\dfrac{\sum n_ic_i^2}{N}-\bar x^2=\dfrac{8\,247\,200}{300}-(165{,}47)^2\approx111{,}45\) (soit \(\sigma\approx10{,}56\)).

🔢 2) Les classes ont la même amplitude (10) : hauteurs = effectifs. Le polygone des effectifs joint les milieux des sommets des rectangles.

✅ 1) fréquences \(5\,\%,9\,\%,30\,\%,40\,\%,14{,}33\,\%,1{,}67\,\%\) ; classe modale \([165\,;175[\) ; \(Me\approx166{,}5\) ; \(\bar x\approx165{,}47\) ; \(V\approx111{,}45\) ; 2) histogramme et polygone ci-dessus.

2) La vitesse d’un certain nombre de voitures a été contrôlée sur une autoroute et on a obtenu le tableau suivant :

Vitesse	\([60\,;\,80[\)	\([80\,;\,100[\)	\([100\,;\,120[\)	\([120\,;\,140[\)	\([140\,;\,160[\)
Effectifs	20	27	90	10	3

1) Faire le calcul des fréquences, du mode, de la médiane, de la moyenne et de la variance.
2) Faire la représentation graphique des effectifs, ainsi que le polygone des effectifs.

Correction détaillée

Même méthode que pour une série de tailles : centres de classes, effectifs cumulés, interpolation pour la médiane.

🔢 1) \(N=20+27+90+10+3=150\). Fréquences : \(13{,}33\,\%\ ;\ 18\,\%\ ;\ 60\,\%\ ;\ 6{,}67\,\%\ ;\ 2\,\%\). Mode : classe modale \([100\,;120[\) (effectif 90).

🔢 1) Médiane : effectifs cumulés croissants \(20\ ;\ 47\ ;\ 137\ ;\ 147\ ;\ 150\). \(\dfrac N2=75\) est atteint dans \([100\,;120[\) : \(Me=100+20\times\dfrac{75-47}{90}\approx106{,}22\).

🔢 1) Moyenne (centres 70 ; 90 ; 110 ; 130 ; 150) : \(\bar x=\dfrac{20\times70+27\times90+90\times110+10\times130+3\times150}{150}=\dfrac{15480}{150}=103{,}2\). Variance : \(V=\dfrac{1\,642\,200}{150}-(103{,}2)^2=10\,948-10\,650{,}24=297{,}76\) (soit \(\sigma\approx17{,}26\)).

🔢 2) Amplitudes égales (20) : hauteurs = effectifs ; le polygone relie les milieux des sommets.

✅ 1) fréquences \(13{,}33\,\%,18\,\%,60\,\%,6{,}67\,\%,2\,\%\) ; classe modale \([100\,;120[\) ; \(Me\approx106{,}22\) ; \(\bar x=103{,}2\) ; \(V=297{,}76\) ; 2) histogramme et polygone ci-dessus.

Exercice 4.1

Construire un diagramme en bâtons

1) On étudie le nombre d’enfants par famille au pays de Cocagne. Ainsi, on compte 10 familles n’ayant aucun enfant.

Nombre d’enfants	0	1	2	3	4
Nombre de familles	10	20	25	15	5

Représenter cette série statistique par un diagramme en bâtons.

Correction détaillée

Diagramme en bâtons : un bâton par valeur, de hauteur égale à l’effectif.

🔢 On place sur l’axe horizontal les valeurs du caractère (0, 1, 2, 3, 4 enfants) et sur l’axe vertical les effectifs (graduation de 5 en 5).

🔢 Au-dessus de chaque valeur, on trace un bâton de hauteur égale à l’effectif : 10 ; 20 ; 25 ; 15 ; 5.

✅ Diagramme en bâtons ci-dessus : le bâton le plus haut correspond à 2 enfants (25 familles), la série compte 75 familles.

2) Un ensemble de familles est décrit d’après le nombre d’enfants.

Nombre d’enfants \(x_i\)	0	1	2	3	4	5
Nombre de familles \(n_i\)	712	1505	1821	910	544	328

1) Faire une représentation graphique des effectifs.
2) Représenter le polygone des effectifs.
3) Donner la dominante (le mode) et la moyenne.
4) Calculer la médiane (algébriquement et graphiquement).

Correction détaillée

Pour la lecture graphique de la médiane, on lit l’abscisse correspondant à l’ordonnée \(N/2\) sur la courbe cumulative.

🔢 1) et 2) Diagramme en bâtons des effectifs (un bâton par valeur) et polygone des effectifs (on relie les sommets des bâtons) :

🔢 3) Dominante (mode) : la valeur de plus grand effectif est 2 enfants (1821 familles). L’effectif total est \(N=712+1505+1821+910+544+328=5820\) et la somme des valeurs est \(0+1505+3642+2730+2176+1640=11693\) ; donc \(\bar x=\dfrac{11693}{5820}\approx2{,}01\).

🔢 4) Algébriquement : \(N=5820\) est pair, donc \(Me\) est la moyenne des 2910e et 2911e valeurs. Effectifs cumulés croissants : \(712\ ;\ 2217\ ;\ 4038\ ;\ 4948\ ;\ 5492\ ;\ 5820\). Comme \(2217<2910\le2911\le4038\), ces deux valeurs valent 2 : \(Me=2\). Graphiquement : sur la courbe des effectifs cumulés croissants, la droite horizontale d’ordonnée \(\dfrac N2=2910\) rencontre la courbe au niveau de l’abscisse 2.

✅ 1) 2) bâtons et polygone ci-dessus ; 3) mode \(=2\), \(\bar x\approx2{,}01\) ; 4) \(Me=2\) (calcul et lecture graphique).

Exercice 4.2

Construire un histogramme

1) On considère la série suivante :

Valeur	\([2\,;\,8[\)	\([8\,;\,10[\)	\([10\,;\,12[\)	\([12\,;\,20[\)
Effectif	12	6	8	16

a) Calculer la moyenne de la série.
b) Construire l’histogramme de la série avec les unités suivantes : 1 cm représente 2 unités en abscisse et 1 cm² représente un individu.

Correction détaillée

Aire du rectangle = effectif : hauteur = effectif ÷ largeur.

🔢 a) Centres des classes : 5 ; 9 ; 11 ; 16. Effectif total : \(N=12+6+8+16=42\). \(\bar x=\dfrac{12\times5+6\times9+8\times11+16\times16}{42}=\dfrac{60+54+88+256}{42}=\dfrac{458}{42}=\dfrac{229}{21}\approx10{,}90\).

🔢 b) Largeur de chaque rectangle en cm (amplitude ÷ 2) : \([2\,;8[\) : 3 cm ; \([8\,;10[\) : 1 cm ; \([10\,;12[\) : 1 cm ; \([12\,;20[\) : 4 cm. Comme 1 cm² représente un individu, l’aire d’un rectangle est égale à l’effectif, donc la hauteur en cm est \(\dfrac{\text{effectif}}{\text{largeur}}\) : \(\dfrac{12}{3}=4\) ; \(\dfrac61=6\) ; \(\dfrac81=8\) ; \(\dfrac{16}{4}=4\).

✅ a) \(\bar x=\dfrac{229}{21}\approx10{,}90\) ; b) histogramme de hauteurs \(4\ ;\ 6\ ;\ 8\ ;\ 4\) (en cm) ci-dessus.

2) Construire l’histogramme correspondant à cette série (largeur constante) :

Taille en cm	\([0\,;\,10[\)	\([10\,;\,20[\)	\([20\,;\,30[\)	\([30\,;\,40[\)	\([40\,;\,50[\)	\([50\,;\,60[\)	\([60\,;\,70[\)	\([70\,;\,80[\)	\([80\,;\,90[\)
Effectif	10	7	29	25	15	12	5	6	5

Correction détaillée

Amplitudes égales : hauteur = effectif.

🔢 Toutes les classes ont la même amplitude (10) : la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif ; on la prend égale à l’effectif.

🔢 On trace donc des rectangles de base 10 et de hauteurs \(10\ ;\ 7\ ;\ 29\ ;\ 25\ ;\ 15\ ;\ 12\ ;\ 5\ ;\ 6\ ;\ 5\) :

✅ Histogramme ci-dessus (amplitudes égales, hauteurs égales aux effectifs).

3) Construire l’histogramme correspondant à cette série (classes d’amplitudes différentes). Compléter les lignes « Amplitude », « Hauteur » (effectif ÷ amplitude) et « Réduction au même dénominateur » du tableau, puis construire l’histogramme :

Classe	\([0\,;\,20[\)	\([20\,;\,50[\)	\([50\,;\,60[\)	\([60\,;\,85[\)	\([85\,;\,100[\)
Effectif	15	34	8	10	13
Amplitude
Hauteur
Réduction au même dénominateur

Correction détaillée

Amplitudes différentes : hauteur = effectif ÷ amplitude (l’aire reste proportionnelle à l’effectif).

🔢 Les amplitudes sont différentes : l’aire de chaque rectangle doit être proportionnelle à l’effectif, donc la hauteur est \(\dfrac{\text{effectif}}{\text{amplitude}}\). Amplitudes : \(20\ ;\ 30\ ;\ 10\ ;\ 25\ ;\ 15\).

🔢 Hauteurs : \(\dfrac{15}{20}\ ;\ \dfrac{34}{30}\ ;\ \dfrac{8}{10}\ ;\ \dfrac{10}{25}\ ;\ \dfrac{13}{15}\). Le plus petit dénominateur commun de \(20,30,10,25,15\) est 300 ; on obtient \(\dfrac{225}{300}\ ;\ \dfrac{340}{300}\ ;\ \dfrac{240}{300}\ ;\ \dfrac{120}{300}\ ;\ \dfrac{260}{300}\).

Classe	\([0\,;\,20[\)	\([20\,;\,50[\)	\([50\,;\,60[\)	\([60\,;\,85[\)	\([85\,;\,100[\)
Effectif	15	34	8	10	13
Amplitude	20	30	10	25	15
Hauteur	\(\frac{15}{20}\)	\(\frac{34}{30}\)	\(\frac{8}{10}\)	\(\frac{10}{25}\)	\(\frac{13}{15}\)
Réduction au même dénominateur (300)	\(\frac{225}{300}\)	\(\frac{340}{300}\)	\(\frac{240}{300}\)	\(\frac{120}{300}\)	\(\frac{260}{300}\)

🔢 Lorsque les dénominateurs sont égaux, les hauteurs sont proportionnelles aux numérateurs : on trace les rectangles de hauteurs \(225\ ;\ 340\ ;\ 240\ ;\ 120\ ;\ 260\) (unité : \(\frac1{300}\)).

✅ Histogramme ci-dessus : amplitudes \(20,30,10,25,15\) ; hauteurs proportionnelles à \(225,340,240,120,260\).

4) On relève les tailles des élèves d’une classe. On regroupe les tailles sous forme de classes (intervalles). Les classes n’ont pas la même amplitude. On choisit une largeur d’intervalle unitaire, notée I.U.

Tailles (en m)	Effectif	Largeur de l’I.U.
\([1{,}50\,;\,1{,}60[\)	2	1
\([1{,}60\,;\,1{,}70[\)	6	1
\([1{,}70\,;\,1{,}80[\)	9	1
\([1{,}80\,;\,2{,}00[\)	8	2

Compléter la dernière colonne puis tracer l’histogramme correspondant.

Correction détaillée

Hauteur = effectif ÷ (largeur de la classe en I.U.).

🔢 Chaque rectangle doit avoir une aire proportionnelle à l’effectif. On divise donc l’effectif de chaque classe par sa largeur exprimée en I.U. : \(\dfrac21=2\) ; \(\dfrac61=6\) ; \(\dfrac91=9\) ; \(\dfrac82=4\).

Tailles (en m)	Effectif	Largeur de l’I.U.	Effectif / I.U.
\([1{,}50\,;\,1{,}60[\)	2	1	2
\([1{,}60\,;\,1{,}70[\)	6	1	6
\([1{,}70\,;\,1{,}80[\)	9	1	9
\([1{,}80\,;\,2{,}00[\)	8	2	4

🔢 On trace des rectangles dont les bases ont les largeurs des classes (la dernière est deux fois plus large) et dont les hauteurs sont \(2\ ;\ 6\ ;\ 9\ ;\ 4\) :

✅ Effectif / I.U. : \(2\ ;\ 6\ ;\ 9\ ;\ 4\) ; histogramme ci-dessus.

Exercice 4.3

Lire un diagramme circulaire

1) Voici un diagramme circulaire représentant la répartition des adhérents à un club sportif.

Sachant que le club compte 240 adhérents, combien d’adhérents jouent :
   a) au football ?
   b) au tennis ?
   c) au handball ?

Correction détaillée

Effectif = effectif total × fréquence.

🔢 Pour chaque sport, on multiplie l’effectif total (240) par la fréquence lue sur le diagramme circulaire.

🔢 a) Football : \(240\times0{,}583\approx140\) (en fait \(240\times\dfrac7{12}=140\)).

🔢 b) Tennis : \(240\times0{,}25=60\).

🔢 c) Handball : \(240\times0{,}167\approx40\) (en fait \(240\times\dfrac16=40\)).

✅ a) 140 adhérents au football ; b) 60 au tennis ; c) 40 au handball (\(140+60+40=240\)).

Exercice 4.4

Lire un histogramme

1) Dans l’histogramme ci-dessous, l’effectif correspondant à l’intervalle \([23,25[\) est égal à 10. En déduire l’effectif correspondant aux autres intervalles.

Correction détaillée

Aire du rectangle = amplitude × hauteur, proportionnelle à l’effectif.

🔢 Les classes n’ont pas toutes la même amplitude : l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif. On lit les amplitudes et les hauteurs, puis on calcule l’aire = amplitude × hauteur : \(6\times3=18\) ; \(2\times5=10\) ; \(2\times6=12\) ; \(2\times5=10\) ; \(2\times2=4\) ; \(10\times1=10\).

🔢 L’intervalle \([23,25[\) a une aire de 4 pour un effectif de 10 : une unité d’aire correspond à \(\dfrac{10}{4}=2{,}5\) individus. On multiplie donc chaque aire par 2,5.

Classe	\([11\,;\,17[\)	\([17\,;\,19[\)	\([19\,;\,21[\)	\([21\,;\,23[\)	\([23\,;\,25[\)	\([25\,;\,35[\)
Amplitude	6	2	2	2	2	10
Hauteur	3	5	6	5	2	1
Aire	18	10	12	10	4	10
Effectif	45	25	30	25	10	25

✅ Effectifs : \([11,17[\) : 45 ; \([17,19[\) : 25 ; \([19,21[\) : 30 ; \([21,23[\) : 25 ; \([23,25[\) : 10 ; \([25,35[\) : 25 (total 160).

Exercice 5.1

Construire un diagramme en boîtes

1) On considère la série suivante :

Valeur	1	5	13	17
Effectif	2	1	3	2

   a) Calculer la moyenne de la série.
   b) Calculer la médiane et l’écart interquartile de la série.
   c) Construire le diagramme en boîtes de cette série.

Correction détaillée

Diagramme en boîtes : minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum.

🔢 a) Effectif total \(N=2+1+3+2=8\). \(\bar x=\dfrac{2\times1+1\times5+3\times13+2\times17}{8}=\dfrac{2+5+39+34}{8}=\dfrac{80}{8}=10\).

🔢 b) Série ordonnée : \(1\ ;\ 1\ ;\ 5\ ;\ 13\ ;\ 13\ ;\ 13\ ;\ 17\ ;\ 17\). \(N=8\) est pair : la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs, \(Me=\dfrac{13+13}{2}=13\). Premier quartile : \(\dfrac N4=2\), donc \(Q_1\) est la 2e valeur : \(Q_1=1\). Troisième quartile : \(\dfrac{3N}4=6\), donc \(Q_3\) est la 6e valeur : \(Q_3=13\). Écart interquartile : \(Q_3-Q_1=13-1=12\).

🔢 c) Valeurs à placer : minimum 1, \(Q_1=1\), \(Me=13\), \(Q_3=13\), maximum 17. La boîte va de \(Q_1=1\) à \(Q_3=13\) avec le trait de la médiane en 13 ; la moustache de droite va de 13 à 17.

✅ a) \(\bar x=10\) ; b) \(Me=13\) et \(Q_3-Q_1=12\) ; c) diagramme en boîtes ci-dessus.