Cette série d’exercices corrigés sur les transformations usuelles pour le Tronc Commun travaille les symétries, la translation, l’homothétie et la rotation, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Exercices corrigés sur les transformations usuelles Tronc Commun
Transformations usuelles · Série d’exercices Tronc Commun
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1.1
Conservation du coefficient de colinéarité par une symétrie axiale
1) \(ABCD\) est un rectangle. \(I\) et \(J\) sont deux points tels que \(\overrightarrow{DI}=2\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{DB}\). Soit \((\Delta)\) la médiatrice du segment \([AD]\). Montrer que, en utilisant la conservation du coefficient de colinéarité, \(S_{(\Delta)}(I)=J\).
Correction détaillée
Une transformation qui conserve le coefficient de colinéarité transforme \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{PQ}\) en \(\overrightarrow{M’N’}=k\overrightarrow{P’Q’}\).
🔢 Dans le rectangle, \((\Delta)\) passe par les milieux de \([AD]\) et de \([BC]\) et est perpendiculaire à ces deux côtés : c’est la médiatrice de \([AD]\) et de \([BC]\). Donc \(S_{(\Delta)}(A)=D\), \(S_{(\Delta)}(D)=A\) et \(S_{(\Delta)}(C)=B\).
🔢 Notons \(I’=S_{(\Delta)}(I)\). Comme \(\overrightarrow{DI}=2\overrightarrow{AC}\) et que la symétrie conserve le coefficient de colinéarité : \(\overrightarrow{S(D)S(I)}=2\overrightarrow{S(A)S(C)}\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{AI’}=2\overrightarrow{DB}\).
🔢 Or \(\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{DB}\). Donc \(\overrightarrow{AI’}=\overrightarrow{AJ}\), d’où \(I’=J\).
✅ \(S_{(\Delta)}(I)=J\).
Exercice 1.2
Image d’un point par une symétrie axiale
1) \(ABCD\) est un carré de centre \(O\). \(I\) et \(J\) sont les milieux respectifs de \([AB]\) et \([BC]\).
1) Montrer que \(J\) est l’image de \(I\) par \(S_{(BD)}\) (symétrie orthogonale d’axe \((BD)\)).
2) Déduire que \(OI=OJ\).
1) Montrer que \(J\) est l’image de \(I\) par \(S_{(BD)}\) (symétrie orthogonale d’axe \((BD)\)).
2) Déduire que \(OI=OJ\).
Correction détaillée
Une symétrie axiale conserve les milieux et les distances ; les points de l’axe sont invariants.
🔢 1) Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu : \((BD)\) est la médiatrice de \([AC]\), donc \(S_{(BD)}(A)=C\). De plus \(B\in(BD)\), donc \(S_{(BD)}(B)=B\). La symétrie axiale conserve les milieux : l’image du milieu \(I\) de \([AB]\) est le milieu de \([S(A)S(B)]=[CB]\), c’est-à-dire \(J\).
🔢 2) \(O\in(BD)\), donc \(S_{(BD)}(O)=O\). Comme \(S_{(BD)}(I)=J\) et que la symétrie axiale conserve les distances, on a \(OI=S(O)S(I)=OJ\).
✅ 1) \(S_{(BD)}(I)=J\) ; 2) \(OI=OJ\).
Exercice 2.1
Déterminer la nature d’une transformation
1) Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan, et \(f\) la transformation qui à un point \(M\) associe le point \(M’\) tel que \(\overrightarrow{AM’}+3\overrightarrow{BM’}-2\overrightarrow{MM’}=\vec0\). Quelle est la nature de la transformation \(f\) ?
Correction détaillée
Si \(\overrightarrow{ΩM’}=-\overrightarrow{ΩM}\), alors \(M’\) est le symétrique de \(M\) par rapport à \(\Omega\).
🔢 On exprime tout avec \(\overrightarrow{AM’}\) et \(\overrightarrow{AM}\) (relation de Chasles) : \(\overrightarrow{BM’}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM’}\) et \(\overrightarrow{MM’}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM’}\). La relation devient \(\overrightarrow{AM’}+3(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM’})-2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM’})=\vec0\), soit \(2\overrightarrow{AM’}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AM}\), donc \(\overrightarrow{AM’}=\dfrac32\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}\).
🔢 Soit \(\Omega\) le point tel que \(\overrightarrow{AΩ}=\dfrac34\overrightarrow{AB}\). Alors \(\overrightarrow{AM’}=2\overrightarrow{AΩ}-\overrightarrow{AM}\). On en déduit \(\overrightarrow{ΩM’}=\overrightarrow{ΩA}+\overrightarrow{AM’}=-\overrightarrow{AΩ}+2\overrightarrow{AΩ}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AΩ}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MΩ}=-\overrightarrow{ΩM}\).
🔢 Donc \(\Omega\) est le milieu de \([MM’]\) pour tout point \(M\) : \(f\) est la symétrie centrale de centre \(\Omega\). Par exemple \(A’=f(A)\) vérifie \(\overrightarrow{AA’}=\dfrac32\overrightarrow{AB}\) et \(B’=f(B)\) est le milieu de \([AB]\).
✅ \(f\) est la symétrie centrale de centre \(\Omega\), où \(\Omega\) est le point de \((AB)\) tel que \(\overrightarrow{AΩ}=\dfrac34\overrightarrow{AB}\).
Exercice 2.2
Image d’une droite par une symétrie centrale
1) Soient \(ABC\) un triangle et \(M\) un point de la droite \((BC)\) tel que \(M\neq C\) et \(M\neq B\). La droite \((\Delta)\) passe par \(A\) et est parallèle à \((BC)\). La parallèle à \((AB)\) passant par \(M\) coupe \((\Delta)\) en \(D\), et la parallèle à \((AC)\) passant par \(M\) coupe \((\Delta)\) en \(E\).
1) Déterminer les images des droites \((CA)\) et \((CM)\) par la symétrie centrale \(S\) de centre \(I\) milieu de \([AM]\).
2) En déduire \(S(C)\).
1) Déterminer les images des droites \((CA)\) et \((CM)\) par la symétrie centrale \(S\) de centre \(I\) milieu de \([AM]\).
2) En déduire \(S(C)\).
Correction détaillée
Une symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle ; l’image d’un point commun à deux droites est le point commun de leurs images.
🔢 1) \(I\) est le milieu de \([AM]\), donc \(S(A)=M\) et \(S(M)=A\). Une symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle. L’image de \((CA)\) est la droite parallèle à \((CA)\) passant par \(S(A)=M\) : c’est la parallèle à \((AC)\) passant par \(M\), c’est-à-dire \((ME)\). L’image de \((CM)=(BC)\) est la droite parallèle à \((BC)\) passant par \(S(M)=A\) : c’est \((\Delta)\).
🔢 2) \(C\in(CA)\) et \(C\in(CM)\), donc \(S(C)\) appartient à \((ME)\) et à \((\Delta)\). Ces deux droites se coupent en \(E\) : \(S(C)=E\).
✅ 1) \(S((CA))=(ME)\) et \(S((CM))=(\Delta)\) ; 2) \(S(C)=E\).
2) \(ABC\) est un triangle, soit \(I\) le milieu du segment \([BC]\). La droite passant par \(B\) et parallèle à \((AC)\) coupe \((AI)\) en un point \(D\).
1) Montrer que \(S_I((AC))=(BD)\).
2) Déduire que \(S_I(A)=D\).
1) Montrer que \(S_I((AC))=(BD)\).
2) Déduire que \(S_I(A)=D\).
Correction détaillée
Toute droite passant par le centre d’une symétrie centrale est globalement invariante.
🔢 1) \(I\) est le milieu de \([BC]\), donc \(S_I(C)=B\). L’image de \((AC)\) est la droite parallèle à \((AC)\) passant par \(S_I(C)=B\) : c’est \((BD)\) par définition de \(D\).
🔢 2) La droite \((AI)\) passe par le centre \(I\) : elle est invariante, donc \(S_I(A)\in(AI)\). Comme \(A\in(AC)\), on a aussi \(S_I(A)\in S_I((AC))=(BD)\). Donc \(S_I(A)\in(AI)\cap(BD)=\{D\}\) : \(S_I(A)=D\).
✅ 1) \(S_I((AC))=(BD)\) ; 2) \(S_I(A)=D\).
Exercice 2.3
Images par des symétries et des translations dans un losange
1) \(ABCD\) est un losange de centre \(O\), \(I\) est le milieu du segment \([AB]\) et \(J\) le milieu du segment \([AD]\).
1) Déterminer \(S_O(A)\), \(S_O(B)\), \(S_O(O)\) et \(S_O((AB))\).
2) Déterminer \(S_{(AC)}(B)\), \(S_{(AC)}(A)\), \(S_{(AC)}(O)\), \(S_{(AC)}([AB])\), \(S_{(AC)}(I)\) et \(S_{(AC)}((OI))\).
3) Déterminer \(t_{\overrightarrow{BC}}(A)\), \(t_{\overrightarrow{IJ}}(B)\) et \(t_{\overrightarrow{IJ}}([OB])\).
1) Déterminer \(S_O(A)\), \(S_O(B)\), \(S_O(O)\) et \(S_O((AB))\).
2) Déterminer \(S_{(AC)}(B)\), \(S_{(AC)}(A)\), \(S_{(AC)}(O)\), \(S_{(AC)}([AB])\), \(S_{(AC)}(I)\) et \(S_{(AC)}((OI))\).
3) Déterminer \(t_{\overrightarrow{BC}}(A)\), \(t_{\overrightarrow{IJ}}(B)\) et \(t_{\overrightarrow{IJ}}([OB])\).
Correction détaillée
Image d’un segment : segment des images ; image d’un milieu : milieu des images.
🔢 1) \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\) : \(S_O(A)=C\), \(S_O(B)=D\), \(S_O(O)=O\). L’image de \((AB)\) est la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(S_O(A)=C\) : c’est \((CD)\), car \((AB)\parallel(CD)\).
🔢 2) Dans le losange, les diagonales sont perpendiculaires et \(O\) est le milieu de \([BD]\) : \((AC)\) est la médiatrice de \([BD]\). Donc \(S_{(AC)}(B)=D\), \(S_{(AC)}(A)=A\), \(S_{(AC)}(O)=O\) (points de l’axe). L’image de \([AB]\) est \([AD]\) ; l’image du milieu \(I\) de \([AB]\) est le milieu de \([AD]\), c’est \(J\) ; l’image de \((OI)\) est \((OJ)\).
🔢 3) Dans un losange (parallélogramme) \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\), donc \(t_{\overrightarrow{BC}}(A)=D\). Ensuite \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=\dfrac12\overrightarrow{BA}+\dfrac12\overrightarrow{AD}=\dfrac12\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BO}\), donc \(t_{\overrightarrow{IJ}}(B)=O\). Comme \(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}\), \(t_{\overrightarrow{IJ}}(O)=D\). L’image de \([OB]\) est donc \([DO]\).
✅ 1) \(C\), \(D\), \(O\), \((CD)\) ; 2) \(D\), \(A\), \(O\), \([AD]\), \(J\), \((OJ)\) ; 3) \(D\), \(O\), \([OD]\).
Exercice 3.1
Image d’un point par une translation
1) Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\), \(D\) et \(E\) deux points tels que \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AI}\). Soit \(t\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{AI}\).
1) Montrer que \(t(B)=D\) et \(t(C)=E\).
2) Soit \(J\) le point d’intersection des droites \((AI)\) et \((DE)\). Montrer que \(t(I)=J\).
1) Montrer que \(t(B)=D\) et \(t(C)=E\).
2) Soit \(J\) le point d’intersection des droites \((AI)\) et \((DE)\). Montrer que \(t(I)=J\).
Correction détaillée
\(t_{\vec u}(M)=M’\iff\overrightarrow{MM’}=\vec u\) ; la translation transforme une droite en une droite parallèle.
🔢 1) \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AI}\), donc \(t(B)=D\). De même \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AI}\), donc \(t(C)=E\).
🔢 2) Soit \(I’=t(I)\). Comme \(I\in(BC)\), \(I’\in t((BC))=(DE)\). De plus \(\overrightarrow{II’}=\overrightarrow{AI}\), donc \(A\), \(I\), \(I’\) sont alignés : \(I’\in(AI)\). Les droites \((AI)\) et \((DE)\) sont sécantes (\((DE)\parallel(BC)\) alors que \((AI)\) coupe \((BC)\)) : \(I’\in(AI)\cap(DE)=\{J\}\). Donc \(t(I)=J\).
✅ 1) \(t(B)=D\) et \(t(C)=E\) ; 2) \(t(I)=J\).
Exercice 4.1
Montrer qu’un point est l’image d’un autre par une translation
1) Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On considère les points \(D’\), \(C’\), \(I\) et \(J\) tels que \(S_D(A)=D’\), \(S_C(B)=C’\), \(\overrightarrow{DI}=-\dfrac32\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{DJ}=-\dfrac32\overrightarrow{DC’}+\overrightarrow{DD’}\). Montrer, en utilisant la conservation du coefficient de colinéarité, que \(t_{\overrightarrow{AD}}(I)=J\).
Correction détaillée
Une translation conserve les vecteurs : \(\overrightarrow{t(M)t(N)}=\overrightarrow{MN}\) et le coefficient de colinéarité.
🔢 On note \(t=t_{\overrightarrow{AD}}\). \(D\) est le milieu de \([AD’]\) : \(\overrightarrow{DD’}=\overrightarrow{AD}\), donc \(t(D)=D’\). \(C\) est le milieu de \([BC’]\) : \(\overrightarrow{CC’}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) (parallélogramme), donc \(t(C)=C’\). Enfin \(t(A)=D\).
🔢 Soit \(I’=t(I)\). On a \(\overrightarrow{DI}=-\dfrac32\overrightarrow{AC}\). La translation conserve le coefficient de colinéarité : \(\overrightarrow{t(D)t(I)}=-\dfrac32\overrightarrow{t(A)t(C)}\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{D’I’}=-\dfrac32\overrightarrow{DC’}\).
🔢 Alors \(\overrightarrow{DI’}=\overrightarrow{DD’}+\overrightarrow{D’I’}=\overrightarrow{DD’}-\dfrac32\overrightarrow{DC’}=\overrightarrow{DJ}\). Donc \(I’=J\).
✅ \(t_{\overrightarrow{AD}}(I)=J\).
Exercice 5.1
Ensemble des milieux d’un point mobile
1) Soient \((D)\) une droite et \(A\) un point n’appartenant pas à \((D)\). Pour tout point \(M\) de \((D)\), on note \(M’\) le milieu de \([AM]\).
1) Déterminer une homothétie \(h\) indépendante de \(M\), telle que \(M’=h(M)\).
2) En déduire l’ensemble des points \(M’\) lorsque \(M\) décrit \((D)\).
1) Déterminer une homothétie \(h\) indépendante de \(M\), telle que \(M’=h(M)\).
2) En déduire l’ensemble des points \(M’\) lorsque \(M\) décrit \((D)\).
Correction détaillée
L’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle.
🔢 1) \(M’\) milieu de \([AM]\) signifie \(\overrightarrow{AM’}=\dfrac12\overrightarrow{AM}\). L’homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(\dfrac12\) vérifie \(M’=h(M)\) et ne dépend pas de \(M\).
🔢 2) Quand \(M\) décrit \((D)\), \(M’=h(M)\) décrit \(h((D))\). L’image de la droite \((D)\) est une droite \((D’)\) parallèle à \((D)\). Plus précisément, si \(H\) est un point de \((D)\), c’est la parallèle à \((D)\) passant par le milieu de \([AH]\).
✅ 1) \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(\dfrac12\) ; 2) l’ensemble des points \(M’\) est la droite parallèle à \((D)\) passant par le milieu de \([AH]\) (avec \(H\in(D)\)).
Exercice 5.2
Exprimer une relation vectorielle à l’aide d’une homothétie
1) Écrire les expressions vectorielles suivantes en utilisant une homothétie :
a) \(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{AB}=\vec0\) avec \(I\) un point donné.
b) \(2\overrightarrow{ΩB}=-\overrightarrow{BA}\) avec \(\Omega\) un point donné.
c) \(3\overrightarrow{IA}-5\overrightarrow{AB}=\vec0\) avec \(I\) un point donné.
a) \(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{AB}=\vec0\) avec \(I\) un point donné.
b) \(2\overrightarrow{ΩB}=-\overrightarrow{BA}\) avec \(\Omega\) un point donné.
c) \(3\overrightarrow{IA}-5\overrightarrow{AB}=\vec0\) avec \(I\) un point donné.
Correction détaillée
\(\overrightarrow{OM’}=k\overrightarrow{OM}\) signifie \(M’=h(M)\) où \(h\) est l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
🔢 a) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\) : \(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{AI}+3\overrightarrow{IB}=\vec0\), soit \(-\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec0\), donc \(\overrightarrow{IB}=\dfrac13\overrightarrow{IA}\).
🔢 b) \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{ΩA}-\overrightarrow{ΩB}\), donc \(2\overrightarrow{ΩB}=\overrightarrow{ΩB}-\overrightarrow{ΩA}\), soit \(\overrightarrow{ΩB}=-\overrightarrow{ΩA}\).
🔢 c) \(3\overrightarrow{IA}-5(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB})=\vec0\), soit \(8\overrightarrow{IA}-5\overrightarrow{IB}=\vec0\), donc \(\overrightarrow{IB}=\dfrac85\overrightarrow{IA}\).
✅ a) \(B\) est l’image de \(A\) par l’homothétie de centre \(I\) et de rapport \(\dfrac13\) ; b) \(B\) est l’image de \(A\) par l’homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(-1\) (symétrie centrale) ; c) \(B\) est l’image de \(A\) par l’homothétie de centre \(I\) et de rapport \(\dfrac85\).
Exercice 5.3
Images de droites et de points par une homothétie
1) On considère un parallélogramme \(ABCD\). Soit \(E\) un point quelconque de \([AC]\) différent de \(A\) et de \(C\). La droite \((BE)\) coupe \((AD)\) en \(I\) et \((CD)\) en \(J\). On note \(h\) l’homothétie de centre \(E\) qui transforme \(A\) en \(C\).
1) Déterminer l’image de la droite \((AB)\) par \(h\) et en déduire \(h(B)\).
2) Déterminer l’image de la droite \((AD)\) par \(h\) et en déduire \(h(I)\).
1) Déterminer l’image de la droite \((AB)\) par \(h\) et en déduire \(h(B)\).
2) Déterminer l’image de la droite \((AD)\) par \(h\) et en déduire \(h(I)\).
Correction détaillée
Un point commun à deux droites a pour image le point commun de leurs images.
🔢 1) L’image de \((AB)\) est la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(h(A)=C\) : c’est \((CD)\) (car \((AB)\parallel(CD)\)). On a \(B\in(AB)\), donc \(h(B)\in(CD)\). De plus \(B\in(BE)\), droite passant par le centre \(E\) : \(h(B)\in(BE)\). Donc \(h(B)\in(CD)\cap(BE)=\{J\}\) : \(h(B)=J\).
🔢 2) L’image de \((AD)\) est la droite parallèle à \((AD)\) passant par \(C\) : c’est \((BC)\) (car \((AD)\parallel(BC)\)). \(I\in(AD)\), donc \(h(I)\in(BC)\) ; \(I\in(BE)\), donc \(h(I)\in(BE)\). Comme \(E\notin(BC)\), \((BC)\cap(BE)=\{B\}\) : \(h(I)=B\).
✅ 1) \(h((AB))=(CD)\) et \(h(B)=J\) ; 2) \(h((AD))=(BC)\) et \(h(I)=B\).
2) Soit \(IAB\) un triangle. Et soient \(C\) et \(D\) deux points tels que \(\overrightarrow{IC}=\dfrac13\overrightarrow{IA}\) et \(\overrightarrow{ID}=\dfrac13\overrightarrow{IB}\). On considère \(h\) l’homothétie qui transforme \(A\) en \(C\) et \(B\) en \(D\).
1) Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie \(h\).
2) La droite passant par \(D\) et parallèle à \((BC)\) coupe \((IA)\) en \(E\).
a) Déterminer l’image de la droite \((BC)\) par \(h\).
b) Montrer que \(h(C)=E\).
1) Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie \(h\).
2) La droite passant par \(D\) et parallèle à \((BC)\) coupe \((IA)\) en \(E\).
a) Déterminer l’image de la droite \((BC)\) par \(h\).
b) Montrer que \(h(C)=E\).
Correction détaillée
Centre : intersection des droites (point, image). Image d’une droite : parallèle passant par l’image d’un de ses points.
🔢 1) Le centre d’une homothétie est aligné avec chaque point et son image : il appartient à \((AC)\) et à \((BD)\). Or \(C\in(IA)\) et \(D\in(IB)\), donc \((AC)=(IA)\) et \((BD)=(IB)\) ; ces droites se coupent en \(I\). Le centre est \(I\). Le rapport \(k\) vérifie \(\overrightarrow{IC}=k\overrightarrow{IA}\), donc \(k=\dfrac13\).
🔢 2) a) L’image d’une droite est une droite parallèle. L’image de \((BC)\) est la droite parallèle à \((BC)\) passant par \(h(B)=D\) : c’est la droite \((DE)\).
🔢 b) \(C\in(IA)\), droite passant par le centre \(I\), donc \(h(C)\in(IA)\). De plus \(C\in(BC)\), donc \(h(C)\in h((BC))=(DE)\). Ainsi \(h(C)\in(IA)\cap(DE)=\{E\}\) : \(h(C)=E\).
✅ 1) \(h\) est de centre \(I\) et de rapport \(\dfrac13\) ; 2) a) \(h((BC))=(DE)\) ; b) \(h(C)=E\).
3) Soit \(ABC\) un triangle et \(E\) un point tel que \(\overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{BA}\). \((\Delta)\) est la droite passant par \(E\), parallèle à \((BC)\) et qui coupe \((AC)\) en un point \(F\). Soit \(h\) l’homothétie de centre \(A\) qui transforme \(B\) en \(E\).
1) Déterminer le rapport de \(h\).
2) Déterminer l’image de la droite \((BC)\) par \(h\).
3) Déduire l’image de \(C\) par \(h\).
1) Déterminer le rapport de \(h\).
2) Déterminer l’image de la droite \((BC)\) par \(h\).
3) Déduire l’image de \(C\) par \(h\).
Correction détaillée
Rapport : écrire \(\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AB}\) avec Chasles.
🔢 1) \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}\). Donc \(h(B)=E\) avec \(\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AB}\) : \(k=-2\).
🔢 2) L’image de \((BC)\) est la droite parallèle à \((BC)\) passant par \(h(B)=E\) : c’est \((\Delta)\).
🔢 3) \(C\in(AC)\), droite passant par le centre \(A\), donc \(h(C)\in(AC)\). Et \(C\in(BC)\), donc \(h(C)\in(\Delta)\). Ainsi \(h(C)\in(AC)\cap(\Delta)=\{F\}\) : \(h(C)=F\).
✅ 1) \(k=-2\) ; 2) \(h((BC))=(\Delta)\) ; 3) \(h(C)=F\).
Exercice 5.4
Homothétie, milieux et alignement
1) Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et \(G\) un point à l’intérieur de \(ABC\). La droite \((AG)\) coupe la droite \((BC)\) en un point \(D\). Soit \(h\) l’homothétie de centre \(A\) qui transforme \(G\) en \(D\).
1) Déterminer l’image de chacune des deux droites \((AB)\) et \((AC)\).
2) \(E\) et \(F\) sont les symétriques de \(G\) respectivement par rapport à \((AB)\) et \((AC)\).
a) Montrer que \(A\) est le milieu de \([EF]\).
b) On note \(P\) et \(Q\) les images respectives de \(E\) et \(F\) par l’homothétie \(h\). Déterminer le milieu du segment \([PQ]\).
1) Déterminer l’image de chacune des deux droites \((AB)\) et \((AC)\).
2) \(E\) et \(F\) sont les symétriques de \(G\) respectivement par rapport à \((AB)\) et \((AC)\).
a) Montrer que \(A\) est le milieu de \([EF]\).
b) On note \(P\) et \(Q\) les images respectives de \(E\) et \(F\) par l’homothétie \(h\). Déterminer le milieu du segment \([PQ]\).
Correction détaillée
Le centre d’une homothétie est invariant ; l’homothétie conserve les milieux.
🔢 1) Les droites \((AB)\) et \((AC)\) passent par le centre \(A\) de \(h\) : elles sont globalement invariantes. \(h((AB))=(AB)\) et \(h((AC))=(AC)\).
🔢 2) a) Le triangle est rectangle en \(A\) : on prend le repère orthonormé d’origine \(A\) dont les axes sont \((AB)\) et \((AC)\). Si \(G(x\,;y)\), le symétrique de \(G\) par rapport à \((AB)\) (axe des abscisses) est \(E(x\,;-y)\) et le symétrique par rapport à \((AC)\) (axe des ordonnées) est \(F(-x\,;y)\). Le milieu de \([EF]\) a pour coordonnées \(\left(\dfrac{x-x}{2}\,;\dfrac{-y+y}{2}\right)=(0\,;0)\) : c’est \(A\).
🔢 b) Une homothétie conserve les milieux : le milieu de \([PQ]\) est l’image par \(h\) du milieu de \([EF]\), c’est-à-dire \(h(A)\). Comme \(A\) est le centre de \(h\), \(h(A)=A\). Le milieu de \([PQ]\) est \(A\).
✅ 1) \(h((AB))=(AB)\) et \(h((AC))=(AC)\) ; 2) a) \(A\) est le milieu de \([EF]\) ; b) le milieu de \([PQ]\) est \(A\).
2) Soit \(ABCD\) un parallélogramme et \(E\) le point tel que \(\overrightarrow{CE}=\dfrac14\overrightarrow{CA}\). La droite \((\Delta)\) passant par \(E\) et parallèle à la droite \((AB)\) coupe \((AD)\) et \((BC)\) respectivement en \(M\) et \(N\). On considère l’homothétie \(h\) de centre \(E\) qui transforme \(A\) en \(C\).
1) Déterminer le rapport de \(h\).
2) Montrer que \(h(M)=N\).
3) Déterminer l’image de la droite \((AD)\) par \(h\).
4) Soit \(I\) le milieu du segment \([AM]\), la droite \((IE)\) coupe la droite \((BC)\) en un point \(J\). Montrer que le point \(J\) est le milieu du segment \([CN]\).
1) Déterminer le rapport de \(h\).
2) Montrer que \(h(M)=N\).
3) Déterminer l’image de la droite \((AD)\) par \(h\).
4) Soit \(I\) le milieu du segment \([AM]\), la droite \((IE)\) coupe la droite \((BC)\) en un point \(J\). Montrer que le point \(J\) est le milieu du segment \([CN]\).
Correction détaillée
Image d’un milieu = milieu des images ; une droite passant par le centre est invariante.
🔢 1) \(\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{CE}=\dfrac14\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CA}=\dfrac14\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}=-\dfrac34\overrightarrow{AC}\). Comme \(\overrightarrow{EC}=k\overrightarrow{EA}\), \(k=\dfrac{1/4}{-3/4}=-\dfrac13\).
🔢 2) \(M\in(AD)\), donc \(h(M)\) est sur l’image de \((AD)\), qui est la droite parallèle à \((AD)\) passant par \(h(A)=C\) : c’est \((BC)\). De plus \(M\in(\Delta)\), droite passant par le centre \(E\), donc \(h(M)\in(\Delta)\). Ainsi \(h(M)\in(BC)\cap(\Delta)=\{N\}\) : \(h(M)=N\).
🔢 3) D’après la question précédente, \(h((AD))=(BC)\) (parallèle à \((AD)\) passant par \(C\) ; \((AD)\parallel(BC)\)).
🔢 4) \(h\) conserve les milieux : \(h(I)\) est le milieu de \([h(A)h(M)]=[CN]\). Or \(I\in(IE)\), droite passant par le centre, donc \(h(I)\in(IE)\) ; et le milieu de \([CN]\) est sur \((BC)\). Donc \(h(I)\in(IE)\cap(BC)=\{J\}\) : \(J=h(I)\) est le milieu de \([CN]\).
✅ 1) \(k=-\dfrac13\) ; 2) \(h(M)=N\) ; 3) \(h((AD))=(BC)\) ; 4) \(J\) est le milieu de \([CN]\).
3) Soit \(ABCD\) un trapèze de bases \([AB]\) et \([CD]\) tel que \(AB<CD\). \(M\) et \(N\) sont les milieux respectifs de \([AB]\) et \([CD]\). \((AC)\) et \((BD)\) se coupent en \(I\) et \((BC)\) et \((AD)\) se coupent en \(J\). Soit \(h\) l’homothétie de centre \(I\) qui transforme \(A\) en \(C\). Soit \(h’\) l’homothétie de centre \(J\) qui transforme \(A\) en \(D\).
1)
a) Montrer que \(h((AB))=(DC)\) (sans déterminer \(h(B)\)).
b) Montrer que \(h((IB))=(ID)\).
c) Déduire \(h(B)\).
d) Déterminer \(h(M)\).
1)
a) Montrer que \(h((AB))=(DC)\) (sans déterminer \(h(B)\)).
b) Montrer que \(h((IB))=(ID)\).
c) Déduire \(h(B)\).
d) Déterminer \(h(M)\).
Correction détaillée
Le centre, un point et son image sont toujours alignés.
🔢 1) a) L’image de \((AB)\) par \(h\) est la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(h(A)=C\). Comme \((AB)\parallel(CD)\), c’est \((CD)=(DC)\).
🔢 b) \((IB)\) passe par le centre \(I\) de \(h\) : elle est invariante, \(h((IB))=(IB)\). Comme \(I\in(BD)\), \((IB)=(BD)=(ID)\). Donc \(h((IB))=(ID)\).
🔢 c) \(B\in(AB)\) et \(B\in(IB)\) : \(h(B)\in h((AB))\cap h((IB))=(DC)\cap(ID)=\{D\}\). Donc \(h(B)=D\).
🔢 d) \(M\) est le milieu de \([AB]\) et \(h\) conserve les milieux : \(h(M)\) est le milieu de \([h(A)h(B)]=[CD]\), c’est \(N\). Donc \(h(M)=N\).
✅ 1) \(h((AB))=(DC)\) ; \(h((IB))=(ID)\) ; \(h(B)=D\) ; \(h(M)=N\)
4) 2)
a) Montrer que \(h'((AB))=(DC)\) (sans déterminer \(h'(B)\)).
b) Montrer que \(h'((JB))=(JC)\).
c) Déduire \(h'(B)\).
d) Déterminer \(h'(M)\).
3) Déduire que les points \(M\), \(N\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
a) Montrer que \(h'((AB))=(DC)\) (sans déterminer \(h'(B)\)).
b) Montrer que \(h'((JB))=(JC)\).
c) Déduire \(h'(B)\).
d) Déterminer \(h'(M)\).
3) Déduire que les points \(M\), \(N\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
Correction détaillée
Le centre, un point et son image sont toujours alignés.
🔢 2) a) L’image de \((AB)\) par \(h’\) est la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(h'(A)=D\) : c’est \((DC)\).
🔢 b) \((JB)\) passe par le centre \(J\) : \(h'((JB))=(JB)\). Comme \(J\in(BC)\), \((JB)=(BC)=(JC)\). Donc \(h'((JB))=(JC)\).
🔢 c) \(B\in(AB)\cap(JB)\) donc \(h'(B)\in(DC)\cap(JC)=\{C\}\) : \(h'(B)=C\).
🔢 d) \(h'(M)\) est le milieu de \([h'(A)h'(B)]=[DC]\) : \(h'(M)=N\).
🔢 3) \(h(M)=N\) avec le centre \(I\) : \(I\), \(M\), \(N\) sont alignés. \(h'(M)=N\) avec le centre \(J\) : \(J\), \(M\), \(N\) sont alignés. Les points \(M\) et \(N\) sont distincts (ils sont sur deux droites parallèles distinctes \((AB)\) et \((CD)\)), donc la droite \((MN)\) contient \(I\) et \(J\) : \(M\), \(N\), \(I\), \(J\) sont alignés.
✅ 2) \(h'((AB))=(DC)\) ; \(h'((JB))=(JC)\) ; \(h'(B)=C\) ; \(h'(M)=N\) ; 3) \(M,N,I,J\) sont alignés.