Calcul trigonométrique exercices Tronc Commun

Exercice 1.1

Radians et degrés

1) 1) Donner la mesure en radians de l’angle de mesure \(33^\circ\).
2) Donner la mesure en degrés de l’angle de mesure \(\frac{3\pi}8\) rad.
3) Donner la mesure en radians de l’angle de mesure \(135^\circ\).

Correction détaillée

📘 Rappel : \(\pi\) rad \(=180^\circ\). Un angle de \(\alpha^\circ\) mesure \(\alpha\times\frac\pi{180}\) rad, et un angle de \(\theta\) rad mesure \(\theta\times\frac{180}\pi\) degrés.

🔢 1) \(33\times\frac\pi{180}=\frac{33\pi}{180}=\frac{11\pi}{60}\) rad.

🔢 2) \(\frac{3\pi}8\times\frac{180}\pi=\frac{540}8=67{,}5^\circ\).

🔢 3) \(135\times\frac\pi{180}=\frac{3\pi}4\) rad.

✅ 1) \(\frac{11\pi}{60}\) rad ; 2) \(67{,}5^\circ\) ; 3) \(\frac{3\pi}4\) rad.

Exercice 1.2

Abscisses curvilignes

1) Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacune des abscisses suivantes :
   a) \(7\pi\)
   b) \(\frac{110\pi}3\)
   c) \(\frac{19\pi}4\)

Correction détaillée

📘 Abscisse curviligne principale : c’est la seule mesure de la forme \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) qui appartient à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\).

🔢 a) \(7\pi=6\pi+\pi=3\times2\pi+\pi\) : principale \(\pi\).

🔢 b) \(\frac{110\pi}3=\frac{108\pi+2\pi}3=36\pi+\frac{2\pi}3=18\times2\pi+\frac{2\pi}3\) : principale \(\frac{2\pi}3\).

🔢 c) \(\frac{19\pi}4=4\pi+\frac{3\pi}4\) : principale \(\frac{3\pi}4\).

✅ a) \(\pi\) ; b) \(\frac{2\pi}3\) ; c) \(\frac{3\pi}4\)

2) d) \(-\frac{131\pi}3\)
e) \(-\frac{217\pi}6\)
f) \(\frac{9\pi}2\)

Correction détaillée

📘 Abscisse curviligne principale : c’est la seule mesure de la forme \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) qui appartient à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\).

🔢 d) \(-\frac{131\pi}3=-\frac{132\pi}3+\frac\pi3=-44\pi+\frac\pi3\) : principale \(\frac\pi3\).

🔢 e) \(-\frac{217\pi}6=-\frac{216\pi}6-\frac\pi6=-36\pi-\frac\pi6\) : principale \(-\frac\pi6\).

🔢 f) \(\frac{9\pi}2=4\pi+\frac\pi2\) : principale \(\frac\pi2\).

✅ d) \(\frac\pi3\) ; e) \(-\frac\pi6\) ; f) \(\frac\pi2\)

3) g) \(\frac{11\pi}3\)
h) \(\frac{67\pi}4\)
i) \(\frac{19\pi}3\)

Correction détaillée

📘 Abscisse curviligne principale : c’est la seule mesure de la forme \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) qui appartient à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\).

🔢 g) \(\frac{11\pi}3=4\pi-\frac\pi3\) : principale \(-\frac\pi3\).

🔢 h) \(\frac{67\pi}4=16\pi+\frac{3\pi}4\) : principale \(\frac{3\pi}4\).

🔢 i) \(\frac{19\pi}3=6\pi+\frac\pi3\) : principale \(\frac\pi3\).

✅ g) \(-\frac\pi3\) ; h) \(\frac{3\pi}4\) ; i) \(\frac\pi3\)

4) j) \(\frac{22\pi}4\)
k) \(\frac{44\pi}6\)
l) \(\frac{214\pi}6\)

Correction détaillée

📘 Abscisse curviligne principale : c’est la seule mesure de la forme \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) qui appartient à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\).

🔢 j) \(\frac{22\pi}4=\frac{11\pi}2=4\pi+\frac{3\pi}2\), et \(\frac{3\pi}2=2\pi-\frac\pi2\) : principale \(-\frac\pi2\).

🔢 k) \(\frac{44\pi}6=\frac{22\pi}3=6\pi+\frac{4\pi}3\), et \(\frac{4\pi}3=2\pi-\frac{2\pi}3\) : principale \(-\frac{2\pi}3\).

🔢 l) \(\frac{214\pi}6=\frac{107\pi}3=34\pi+\frac{5\pi}3\), et \(\frac{5\pi}3=2\pi-\frac\pi3\) : principale \(-\frac\pi3\).

✅ j) \(-\frac\pi2\) ; k) \(-\frac{2\pi}3\) ; l) \(-\frac\pi3\)

5) m) \(12\pi\)
n) \(-\frac{29\pi}2\)

Correction détaillée

📘 Abscisse curviligne principale : c’est la seule mesure de la forme \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) qui appartient à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\).

🔢 m) \(12\pi=6\times2\pi\) : principale \(0\).

🔢 n) \(-\frac{29\pi}2=-16\pi+\frac{3\pi}2\), et \(\frac{3\pi}2=2\pi-\frac\pi2\) : principale \(-\frac\pi2\).

✅ m) \(0\) ; n) \(-\frac\pi2\).

6) Placer sur le cercle trigonométrique les points suivants :
   a) \(A(0)\)
   b) \(B\left(\frac\pi2\right)\)
   c) \(C\left(\frac\pi4\right)\)

Correction détaillée

📘 Abscisse curviligne principale : c’est la seule mesure de la forme \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) qui appartient à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\).

🔢 a) \(A\) : point d’origine \((1;0)\).

🔢 b) \(B\) : sommet du cercle \((0;1)\), à un quart de tour de \(A\) dans le sens direct.

🔢 c) \(C\) : premier quadrant, sur la bissectrice (un huitième de tour).

✅ a) \(A(1;0)\) ; b) \(B(0;1)\) ; c) premier quadrant

7) d) \(D\left(\frac\pi3\right)\)
e) \(E\left(\frac\pi6\right)\)
f) \(F\left(\frac{5\pi}6\right)\)

Correction détaillée

📘 Abscisse curviligne principale : c’est la seule mesure de la forme \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) qui appartient à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\).

🔢 d) \(D\) : premier quadrant, à \(60^\circ\) de \(A\).

🔢 e) \(E\) : premier quadrant, à \(30^\circ\) de \(A\).

🔢 f) \(F\) : deuxième quadrant, symétrique de \(E\) par rapport à l’axe des ordonnées (\(150^\circ\)).

✅ d) premier quadrant ; e) premier quadrant ; f) deuxième quadrant

Exercice 1.3

Abscisses curvilignes (suite)

1) g) \(G\left(-\frac\pi2\right)\)
h) \(H\left(-\frac\pi4\right)\)
i) \(M\left(\frac{7\pi}2\right)\)

Correction détaillée

📘 Abscisse curviligne principale : c’est la seule mesure de la forme \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) qui appartient à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\).

🔢 g) \(G\) : point du bas \((0;-1)\).

🔢 h) \(H\) : quatrième quadrant, symétrique de \(C\) par rapport à l’axe des abscisses.

🔢 i) \(\frac{7\pi}2=4\pi-\frac\pi2\) : \(M\) est le même point que \(G\).

✅ g) \(G(0;-1)\) ; h) quatrième quadrant ; i) \(M=G\)

2) j) \(N\left(\frac{3\pi}2\right)\)
k) \(I\left(\frac{2007\pi}4\right)\)
l) \(P\left(\frac\pi6\right)\)

Correction détaillée

📘 Abscisse curviligne principale : c’est la seule mesure de la forme \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) qui appartient à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\).

🔢 j) \(\frac{3\pi}2=2\pi-\frac\pi2\) : \(N\) est le même point que \(G\).

🔢 k) \(\frac{2007\pi}4=501\pi+\frac{3\pi}4=250\times2\pi+\frac{7\pi}4\), et \(\frac{7\pi}4=2\pi-\frac\pi4\) : \(I\) est le même point que \(H\).

🔢 l) \(P\) est le même point que \(E\).

✅ j) \(N=G\) ; k) \(I=H\) ; l) \(P=E\)

3) m) \(R\left(\frac{5\pi}6\right)\)
n) \(S\left(-\frac\pi6\right)\)
o) \(K\left(\frac\pi3\right)\)

Correction détaillée

📘 Abscisse curviligne principale : c’est la seule mesure de la forme \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) qui appartient à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\).

🔢 m) \(R\) est le même point que \(F\).

🔢 n) \(S\) : quatrième quadrant, symétrique de \(E\) par rapport à l’axe des abscisses.

🔢 o) \(K\) est le même point que \(D\).

✅ m) \(R=F\) ; n) quatrième quadrant ; o) \(K=D\)

4) p) \(L\left(\frac{2\pi}3\right)\)
q) \(M’\left(-\frac\pi3\right)\)

Correction détaillée

📘 Abscisse curviligne principale : c’est la seule mesure de la forme \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) qui appartient à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\).

🔢 p) \(L\) : deuxième quadrant, symétrique de \(D\) par rapport à l’axe des ordonnées (\(120^\circ\)).

🔢 q) \(M’\) : quatrième quadrant, symétrique de \(D\) par rapport à l’axe des abscisses.

✅ p) deuxième quadrant ; q) quatrième quadrant.

Exercice 2.1

Valeurs de cos, sin et tan

1) Calculer :
   a) \(\cos\left(\frac{10\pi}3\right)\)
   b) \(\sin\left(\frac{53\pi}6\right)\)
   c) \(\cos\left(\frac{34\pi}3\right)\)

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique. 📘 Valeurs remarquables : \(\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac12\) ; \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\) ; \(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).

🔢 a) \(\frac{10\pi}3=2\pi+\frac{4\pi}3\), donc \(\cos\frac{10\pi}3=\cos\frac{4\pi}3=\cos\left(\pi+\frac\pi3\right)=-\cos\frac\pi3=-\frac12\).

🔢 b) \(\frac{53\pi}6=8\pi+\frac{5\pi}6\), donc \(\sin\frac{53\pi}6=\sin\frac{5\pi}6=\sin\left(\pi-\frac\pi6\right)=\sin\frac\pi6=\frac12\).

🔢 c) \(\frac{34\pi}3=10\pi+\frac{4\pi}3\), donc \(\cos\frac{34\pi}3=\cos\frac{4\pi}3=-\frac12\).

✅ a) \(-\frac12\) ; b) \(\frac12\) ; c) \(-\frac12\)

2) d) \(\cos\left(\frac{13\pi}6\right)\)
e) \(\tan\left(\frac{37\pi}4\right)\)
f) \(\cos\left(\frac{29\pi}6\right)\)

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique. 📘 Valeurs remarquables : \(\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac12\) ; \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\) ; \(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).

🔢 d) \(\frac{13\pi}6=2\pi+\frac\pi6\), donc \(\cos\frac{13\pi}6=\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\).

🔢 e) La tangente est \(\pi\)-périodique : \(\frac{37\pi}4=9\pi+\frac\pi4\), donc \(\tan\frac{37\pi}4=\tan\frac\pi4=1\).

🔢 f) \(\frac{29\pi}6=4\pi+\frac{5\pi}6\), donc \(\cos\frac{29\pi}6=\cos\frac{5\pi}6=-\cos\frac\pi6=-\frac{\sqrt3}2\).

✅ d) \(\frac{\sqrt3}2\) ; e) \(1\) ; f) \(-\frac{\sqrt3}2\)

3) g) \(\tan\left(\frac{22\pi}3\right)\)
h) \(\cos\left(\frac{7\pi}6\right)\)
i) \(\sin\left(\frac{5\pi}6\right)\)

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique. 📘 Valeurs remarquables : \(\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac12\) ; \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\) ; \(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).

🔢 g) \(\frac{22\pi}3=7\pi+\frac\pi3\), donc \(\tan\frac{22\pi}3=\tan\frac\pi3=\sqrt3\).

🔢 h) \(\cos\frac{7\pi}6=\cos\left(\pi+\frac\pi6\right)=-\cos\frac\pi6=-\frac{\sqrt3}2\).

🔢 i) \(\sin\frac{5\pi}6=\sin\left(\pi-\frac\pi6\right)=\sin\frac\pi6=\frac12\).

✅ g) \(\sqrt3\) ; h) \(-\frac{\sqrt3}2\) ; i) \(\frac12\)

4) j) \(\tan\left(\frac{7\pi}6\right)\)
k) \(\cos\left(\frac{3\pi}4\right)\)
l) \(\sin\left(-\frac{4\pi}3\right)\)

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique. 📘 Valeurs remarquables : \(\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac12\) ; \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\) ; \(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).

🔢 j) \(\tan\frac{7\pi}6=\tan\left(\pi+\frac\pi6\right)=\tan\frac\pi6=\frac{\sqrt3}3\).

🔢 k) \(\cos\frac{3\pi}4=\cos\left(\pi-\frac\pi4\right)=-\cos\frac\pi4=-\frac{\sqrt2}2\).

🔢 l) \(\sin\left(-\frac{4\pi}3\right)=-\sin\frac{4\pi}3=-\sin\left(\pi+\frac\pi3\right)=\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\).

✅ j) \(\frac{\sqrt3}3\) ; k) \(-\frac{\sqrt2}2\) ; l) \(\frac{\sqrt3}2\).

5) Calculer \(\cos x\) et \(\sin x\) dans les cas suivants :
1) \(\tan x=\frac13\) et \(\pi<x<\frac{3\pi}2\).
2) \(\sin x=-\frac45\) et \(-\frac\pi2<x<\frac\pi2\).
3) \(\sin x=\frac{\sqrt2}3\) et \(\frac\pi2<x<\pi\).

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; \(1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). Le signe de \(\cos x\) et de \(\sin x\) se déduit du quadrant où se trouve \(x\).

🔢 1) \(\cos^2x=\frac1{1+\tan^2x}=\frac1{1+\frac19}=\frac9{10}\). Comme \(x\) est dans le troisième quadrant, \(\cos x<0\) : \(\cos x=-\frac3{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}\). Alors \(\sin x=\tan x\cos x=-\frac{\sqrt{10}}{10}\).

🔢 2) \(\cos^2x=1-\frac{16}{25}=\frac9{25}\). Pour \(x\in]-\frac\pi2,\frac\pi2[\), \(\cos x>0\) : \(\cos x=\frac35\).

🔢 3) \(\cos^2x=1-\frac29=\frac79\). Pour \(x\in]\frac\pi2,\pi[\), \(\cos x<0\) : \(\cos x=-\frac{\sqrt7}3\).

✅ 1) \(\cos x=-\frac{3\sqrt{10}}{10}\), \(\sin x=-\frac{\sqrt{10}}{10}\) ; 2) \(\cos x=\frac35\) ; 3) \(\cos x=-\frac{\sqrt7}3\)

6) 4) \(-\pi<x<-\frac\pi2\) et \(\tan x=2\sqrt3\).
5) \(\cos x>\sin x>0\) et \(\cos x\cdot\sin x=\frac{\sqrt2}4\).
6) \(\cos\alpha=\frac35\) et \(\alpha\in\left[0,\frac\pi2\right]\).

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; \(1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). Le signe de \(\cos x\) et de \(\sin x\) se déduit du quadrant où se trouve \(x\).

🔢 4) \(\cos^2x=\frac1{1+12}=\frac1{13}\). Pour \(x\in]-\pi,-\frac\pi2[\), \(\cos x<0\) et \(\sin x<0\) : \(\cos x=-\frac{\sqrt{13}}{13}\) et \(\sin x=\tan x\cos x=-\frac{2\sqrt3}{\sqrt{13}}=-\frac{2\sqrt{39}}{13}\).

🔢 5) On pose \(a=\cos^2x\) et \(b=\sin^2x\) : \(a+b=1\) et \(ab=\left(\frac{\sqrt2}4\right)^2=\frac18\). Donc \(a\) et \(b\) sont les solutions de \(T^2-T+\frac18=0\), de discriminant \(1-\frac12=\frac12\) : \(T=\frac{1\pm\frac{\sqrt2}2}2=\frac{2\pm\sqrt2}4\). Comme \(\cos x>\sin x>0\) : \(\cos^2x=\frac{2+\sqrt2}4\) et \(\sin^2x=\frac{2-\sqrt2}4\), avec \(\cos x,\sin x>0\) : \(\cos x=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\) et \(\sin x=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2\).

🔢 6) \(\sin^2\alpha=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}\) et \(\sin\alpha\ge0\) sur \([0,\frac\pi2]\) : \(\sin\alpha=\frac45\).

✅ 4) \(\cos x=-\frac{\sqrt{13}}{13}\), \(\sin x=-\frac{2\sqrt{39}}{13}\) ; 5) \(\cos x=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\), \(\sin x=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2\) ; 6) \(\sin\alpha=\frac45\)

7) 7) \(\cos\theta=-\frac35\) et \(\theta\in\left[-\pi,-\frac\pi2\right]\).
8) \(\tan\beta=-2\) et \(\beta\in\left[\frac\pi2,\pi\right]\).

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; \(1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). Le signe de \(\cos x\) et de \(\sin x\) se déduit du quadrant où se trouve \(x\).

🔢 7) \(\sin^2\theta=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}\) et \(\sin\theta\le0\) sur \([-\pi,-\frac\pi2]\) : \(\sin\theta=-\frac45\).

🔢 8) \(\cos^2\beta=\frac1{1+4}=\frac15\). Sur \([\frac\pi2,\pi]\), \(\cos\beta<0\) : \(\cos\beta=-\frac{\sqrt5}5\) et \(\sin\beta=\tan\beta\cos\beta=\frac{2\sqrt5}5\).

✅ 7) \(\sin\theta=-\frac45\) ; 8) \(\cos\beta=-\frac{\sqrt5}5\), \(\sin\beta=\frac{2\sqrt5}5\).

Exercice 2.2

Simplifier et démontrer

1) Simplifier les expressions suivantes :
   a) \(A=\sin(\pi-x)\cos\left(\frac\pi2-x\right)-\sin\left(\frac\pi2-x\right)\cos(\pi-x)\)
   b) \(B=\frac{\sin x+\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}\)
   c) \(C=\cos\frac{5\pi}6+\sin\frac{5\pi}6-\tan\frac{5\pi}6\)

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.

🔢 a) \(\sin(\pi-x)=\sin x\), \(\cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin x\), \(\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x\), \(\cos(\pi-x)=-\cos x\). Donc \(A=\sin^2x+\cos^2x=1\).

🔢 b) (pour \(\cos x\ne0\)) \(B=\frac{\sin x+\sin x}{-\cos x}=-2\tan x\).

🔢 c) \(\cos\frac{5\pi}6=-\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac{5\pi}6=\frac12\), \(\tan\frac{5\pi}6=-\frac{\sqrt3}3\). Donc \(C=-\frac{\sqrt3}2+\frac12+\frac{\sqrt3}3=\frac12-\frac{\sqrt3}6=\frac{3-\sqrt3}6\).

✅ a) \(1\) ; b) \(-2\tan x\) ; c) \(\frac{3-\sqrt3}6\)

2) d) \(D=\sin(11\pi-x)+\cos(5\pi+x)+\cos(14\pi-x)\)
e) \(E=\tan(\pi-x)+\tan(\pi+x)\)
f) \(F=\cos^2\frac\pi5+\sin^2\frac{3\pi}{10}\)

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.

🔢 d) \(\sin(11\pi-x)=\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(5\pi+x)=\cos(\pi+x)=-\cos x\) ; \(\cos(14\pi-x)=\cos(-x)=\cos x\). Donc \(D=\sin x\).

🔢 e) \(\tan(\pi-x)=-\tan x\) et \(\tan(\pi+x)=\tan x\). Donc \(E=0\).

🔢 f) \(\sin\frac{3\pi}{10}=\sin\left(\frac\pi2-\frac\pi5\right)=\cos\frac\pi5\). Donc \(F=2\cos^2\frac\pi5\).

✅ d) \(\sin x\) ; e) \(0\) ; f) \(2\cos^2\frac\pi5\)

3) g) \(G=\cos\frac\pi7+\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{3\pi}7+\cos\frac{4\pi}7+\cos\frac{5\pi}7+\cos\frac{6\pi}7\)
h) \(H=\sin^2\frac\pi8+\sin^2\frac{3\pi}8+\sin^2\frac{5\pi}8+\sin^2\frac{7\pi}8\)
i) \(A’=\sin(x+5\pi)+\sin\left(\frac{9\pi}2-x\right)+\sin(13\pi-x)+\sin\left(\frac{17\pi}2+x\right)\)

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.

🔢 g) \(\cos\frac{6\pi}7=-\cos\frac\pi7\), \(\cos\frac{5\pi}7=-\cos\frac{2\pi}7\), \(\cos\frac{4\pi}7=-\cos\frac{3\pi}7\). Les termes s’annulent deux à deux : \(G=0\).

🔢 h) \(\sin\frac{7\pi}8=\sin\frac\pi8\), \(\sin\frac{5\pi}8=\sin\frac{3\pi}8\) et \(\sin\frac{3\pi}8=\cos\frac\pi8\). Donc \(H=2\left(\sin^2\frac\pi8+\cos^2\frac\pi8\right)=2\).

🔢 i) \(\sin(x+5\pi)=-\sin x\) ; \(\sin\left(\frac{9\pi}2-x\right)=\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x\) ; \(\sin(13\pi-x)=\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\sin\left(\frac{17\pi}2+x\right)=\sin\left(\frac\pi2+x\right)=\cos x\). Donc \(A’=-\sin x+\cos x+\sin x+\cos x=2\cos x\).

✅ g) \(0\) ; h) \(2\) ; i) \(2\cos x\)

4) j) \(B’=\cos(x+9\pi)+\cos(13\pi-x)+\cos(x+28\pi)+\cos x\)
k) \(C’=\tan(x+11\pi)-\tan\left(\frac{15\pi}2-x\right)-\frac1{\cos x\cdot\sin x}\)
l) \(A »=\cos\frac\pi5+\sin\frac\pi5+\cos\frac{4\pi}5-2\sin\frac{4\pi}5+\cos\frac{3\pi}{10}\)

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.

🔢 j) \(\cos(x+9\pi)=-\cos x\) ; \(\cos(13\pi-x)=\cos(\pi-x)=-\cos x\) ; \(\cos(x+28\pi)=\cos x\). Donc \(B’=-\cos x-\cos x+\cos x+\cos x=0\).

🔢 k) \(\tan(x+11\pi)=\tan x\) ; \(\tan\left(\frac{15\pi}2-x\right)=\tan\left(\frac\pi2-x\right)=\frac1{\tan x}\). Donc \(C’=\tan x-\frac1{\tan x}-\frac1{\sin x\cos x}=\frac{\sin^2x-\cos^2x-1}{\sin x\cos x}=\frac{-2\cos^2x}{\sin x\cos x}=-\frac{2\cos x}{\sin x}\).

🔢 l) \(\cos\frac{4\pi}5=-\cos\frac\pi5\) ; \(\sin\frac{4\pi}5=\sin\frac\pi5\) ; \(\cos\frac{3\pi}{10}=\sin\left(\frac\pi2-\frac{3\pi}{10}\right)=\sin\frac\pi5\). Donc \(A »=\cos\frac\pi5+\sin\frac\pi5-\cos\frac\pi5-2\sin\frac\pi5+\sin\frac\pi5=0\).

✅ j) \(0\) ; k) \(-\frac{2\cos x}{\sin x}\) ; l) \(0\)

5) m) \(B »=\cos^2\frac\pi8+\cos^2\frac{3\pi}8+\cos^2\frac{5\pi}8+\cos^2\frac{7\pi}8\)
n) \(C »=\sin^2\frac\pi{12}+\sin^2\frac{3\pi}{12}+\sin^2\frac{5\pi}{12}+\sin^2\frac{7\pi}{12}+\sin^2\frac{9\pi}{12}+\sin^2\frac{11\pi}{12}\)

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.

🔢 m) \(\cos\frac{7\pi}8=-\cos\frac\pi8\), \(\cos\frac{5\pi}8=-\cos\frac{3\pi}8\) et \(\cos\frac{3\pi}8=\sin\frac\pi8\). Donc \(B »=2\left(\cos^2\frac\pi8+\sin^2\frac\pi8\right)=2\).

🔢 n) \(\sin^2\frac{11\pi}{12}=\sin^2\frac\pi{12}\), \(\sin^2\frac{9\pi}{12}=\sin^2\frac{3\pi}{12}\), \(\sin^2\frac{7\pi}{12}=\sin^2\frac{5\pi}{12}=\cos^2\frac\pi{12}\). Donc \(C »=2\left(\sin^2\frac\pi{12}+\cos^2\frac\pi{12}\right)+2\sin^2\frac\pi4=2+2\times\frac12=3\).

✅ m) \(2\) ; n) \(3\).

6) Montrer que pour tout réel \(x\) :
1) \((\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2=2\).
2) \(\cos^4x+\sin^4x=1-2\sin^2x\cos^2x\).
3) \(\cos^4x-\sin^4x+2\sin^2x=1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on utilise \(\cos^2x+\sin^2x=1\), les identités remarquables \(a^2-b^2\), \((a+b)^2\), \(a^3+b^3\) (ou \((a+b)^3\)) et on développe.

🔢 1) \((\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2=2\cos^2x+2\sin^2x=2\).

🔢 2) \(\cos^4x+\sin^4x=(\cos^2x+\sin^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=1-2\sin^2x\cos^2x\).

🔢 3) \(\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos^2x-\sin^2x\). Donc \(\cos^4x-\sin^4x+2\sin^2x=\cos^2x+\sin^2x=1\).

✅ 1) démontrée ; 2) démontrée ; 3) démontrée

7) 4) \((\cos x+\sin x+1)^2=2(1+\cos x)(1+\sin x)\).
5) \(\sin^4x-\cos^4x=\sin^2x-\cos^2x\).
6) \(\cos^6x+\sin^6x=1-3\sin^2x\cos^2x\).
7) \(1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}\) (pour \(x\ne\frac\pi2+k\pi\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : on utilise \(\cos^2x+\sin^2x=1\), les identités remarquables \(a^2-b^2\), \((a+b)^2\), \(a^3+b^3\) (ou \((a+b)^3\)) et on développe.

🔢 4) \((\cos x+\sin x+1)^2=\cos^2x+\sin^2x+1+2\cos x\sin x+2\cos x+2\sin x=2+2\cos x\sin x+2\cos x+2\sin x=2(1+\cos x+\sin x+\cos x\sin x)=2(1+\cos x)(1+\sin x)\).

🔢 5) \(\sin^4x-\cos^4x=(\sin^2x-\cos^2x)(\sin^2x+\cos^2x)=\sin^2x-\cos^2x\).

🔢 6) \(\cos^6x+\sin^6x=(\cos^2x+\sin^2x)^3-3\cos^2x\sin^2x(\cos^2x+\sin^2x)=1-3\sin^2x\cos^2x\).

🔢 7) \(1+\tan^2x=1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac1{\cos^2x}\).

✅ 4) démontrée ; 5) démontrée ; 6) démontrée ; 7) démontrée.

Exercice 2.3

Simplifier et démontrer (suite)

1) Soit \(x\) un nombre réel, on pose \(A(x)=\sin\left(x+\frac\pi4\right)+\cos\left(x+\frac\pi4\right)\). Montrer que \(A(-x)=A(x)\) et \(A(\pi-x)=-A(x)\).

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.

🔢 On écrit \(\cos\left(x+\frac\pi4\right)=\sin\left(\frac\pi2-x-\frac\pi4\right)=\sin\left(\frac\pi4-x\right)\). Donc \(A(x)=\sin\left(x+\frac\pi4\right)+\sin\left(\frac\pi4-x\right)\).

🔢 \(A(-x)=\sin\left(-x+\frac\pi4\right)+\sin\left(\frac\pi4+x\right)=A(x)\).

🔢 \(A(\pi-x)=\sin\left(\frac{5\pi}4-x\right)+\sin\left(x-\frac{3\pi}4\right)\). Or \(\sin\left(\frac{5\pi}4-x\right)=\sin\left(\pi+\frac\pi4-x\right)=-\sin\left(\frac\pi4-x\right)\) et \(\sin\left(x-\frac{3\pi}4\right)=\sin\left(x+\frac\pi4-\pi\right)=-\sin\left(x+\frac\pi4\right)\). Donc \(A(\pi-x)=-A(x)\).

✅ \(A(-x)=A(x)\) et \(A(\pi-x)=-A(x)\).

2) Soit \(x\) un nombre réel.
a) Montrer que \(\cos^6x+\sin^6x=1-3\cos^2x+3\cos^4x\).
b) En déduire que \(\cos^6x+\sin^6x\ge\frac14\).

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.

🔢 a) \(\cos^6x+\sin^6x=1-3\sin^2x\cos^2x=1-3(1-\cos^2x)\cos^2x=1-3\cos^2x+3\cos^4x\).

🔢 b) Avec \(t=\cos^2x\) : \(3t^2-3t+1=3\left(t-\frac12\right)^2+\frac14\ge\frac14\).

✅ a) \(1-3\cos^2x+3\cos^4x\) ; b) \(\cos^6x+\sin^6x\ge\frac14\).

3) Soit \(x\) un nombre réel, simplifier \(A(x)=\tan\left(\frac{17\pi}2-x\right)+\tan\left(\frac{51\pi}2+x\right)+\tan\left(\frac{25\pi}2+x\right)\).

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.

🔢 La tangente est \(\pi\)-périodique. \(\tan\left(\frac{17\pi}2-x\right)=\tan\left(\frac\pi2-x\right)=\frac1{\tan x}\). \(\tan\left(\frac{51\pi}2+x\right)=\tan\left(\frac\pi2+x\right)=-\frac1{\tan x}\). \(\tan\left(\frac{25\pi}2+x\right)=\tan\left(\frac\pi2+x\right)=-\frac1{\tan x}\).

🔢 Donc \(A(x)=\frac1{\tan x}-\frac1{\tan x}-\frac1{\tan x}=-\frac1{\tan x}\).

✅ \(A(x)=-\frac1{\tan x}=-\frac{\cos x}{\sin x}\).

Exercice 2.4

Rapports trigonométriques d’angles remarquables

1) Le triangle \(ABC\) est isocèle rectangle en \(B\). On pose \(BA=a\) et \(\alpha=\widehat{BAC}\) avec \(0<\alpha<\pi\).
   a) Construire le triangle \(ABC\).
   b) Calculer \(BC\) puis \(AC\).
   c) Déterminer la valeur de \(\alpha\).

Correction détaillée

📘 Valeurs remarquables : \(\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac12\) ; \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\) ; \(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).

🔢 a) On trace \([BA]\) de longueur \(a\), puis la perpendiculaire à \((BA)\) en \(B\) et on place \(C\) sur celle-ci avec \(BC=BA=a\).

🔢 b) Isocèle en \(B\) : \(BC=BA=a\). Pythagore : \(AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\).

🔢 c) Le triangle est rectangle isocèle en \(B\) : les angles à la base sont égaux et de somme \(\frac\pi2\), donc \(\alpha=\frac\pi4\).

✅ a) construction ; b) \(BC=a\), \(AC=a\sqrt2\) ; c) \(\alpha=\frac\pi4\).

2) Avec le triangle isocèle rectangle en \(B\) de l’exercice précédent (\(\alpha=\frac\pi4\)) :
   d) Calculer les rapports trigonométriques de \(\frac\pi4\).
   e) En déduire les rapports trigonométriques de \(\frac{3\pi}4\), \(\frac{5\pi}4\) et \(\frac{7\pi}4\).
   f) Déterminer la valeur principale des angles de mesures respectives \(\frac{123\pi}4\), \(-\frac{375\pi}4\) et \(-\frac{537\pi}4\), puis en déduire leurs rapports trigonométriques.

Correction détaillée

📘 Valeurs remarquables : \(\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac12\) ; \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\) ; \(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).

🔢 d) Dans le triangle \(ABC\) : \(\cos\frac\pi4=\frac{AB}{AC}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2\), \(\sin\frac\pi4=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt2}2\), \(\tan\frac\pi4=\frac{BC}{AB}=1\).

🔢 e) \(\frac{3\pi}4=\pi-\frac\pi4\) : \(\cos=-\frac{\sqrt2}2\), \(\sin=\frac{\sqrt2}2\), \(\tan=-1\). \(\frac{5\pi}4=\pi+\frac\pi4\) : \(\cos=-\frac{\sqrt2}2\), \(\sin=-\frac{\sqrt2}2\), \(\tan=1\). \(\frac{7\pi}4=2\pi-\frac\pi4\) : \(\cos=\frac{\sqrt2}2\), \(\sin=-\frac{\sqrt2}2\), \(\tan=-1\).

🔢 f) \(\frac{123\pi}4=30\pi+\frac{3\pi}4\) : principale \(\frac{3\pi}4\) (\(\cos=-\frac{\sqrt2}2\), \(\sin=\frac{\sqrt2}2\), \(\tan=-1\)). \(-\frac{375\pi}4=-94\pi+\frac\pi4\) : principale \(\frac\pi4\) (\(\cos=\sin=\frac{\sqrt2}2\), \(\tan=1\)). \(-\frac{537\pi}4=-134\pi-\frac\pi4\) : principale \(-\frac\pi4\) (\(\cos=\frac{\sqrt2}2\), \(\sin=-\frac{\sqrt2}2\), \(\tan=-1\)).

✅ d) \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\), \(\tan\frac\pi4=1\) ; e) \(\frac{3\pi}4\) : \(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2,-1\) ; \(\frac{5\pi}4\) : \(-\frac{\sqrt2}2,-\frac{\sqrt2}2,1\) ; \(\frac{7\pi}4\) : \(\frac{\sqrt2}2,-\frac{\sqrt2}2,-1\) ; f) principales \(\frac{3\pi}4\), \(\frac\pi4\), \(-\frac\pi4\).

3) Soit un triangle \(ABC\) équilatéral de côté \(a\) et \(K\) le milieu de \([AC]\). On pose \(\alpha=\widehat{BAC}\) avec \(0<\alpha<\pi\).
   a) Construire le triangle \(ABC\) et le point \(K\).
   b) Calculer \(AK\) puis \(BK\).
   c) Déterminer la valeur de \(\alpha\).

Correction détaillée

📘 Valeurs remarquables : \(\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac12\) ; \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\) ; \(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).

🔢 a) On trace le triangle équilatéral \(ABC\) de côté \(a\) puis le milieu \(K\) de \([AC]\).

🔢 b) \(AK=\frac a2\). Dans le triangle \(ABK\) rectangle en \(K\) (la médiane est aussi hauteur) : \(BK=\sqrt{a^2-\frac{a^2}4}=\frac{a\sqrt3}2\).

🔢 c) Les trois angles d’un triangle équilatéral sont égaux et de somme \(\pi\) : \(\alpha=\frac\pi3\).

✅ a) construction ; b) \(AK=\frac a2\), \(BK=\frac{a\sqrt3}2\) ; c) \(\alpha=\frac\pi3\).

4) Avec le triangle équilatéral \(ABC\) de côté \(a\) et \(K\) milieu de \([AC]\) (\(\alpha=\frac\pi3\)) :
   d) Calculer les rapports trigonométriques de \(\frac\pi3\), puis en déduire ceux de \(\frac\pi6\).
   e) En déduire les rapports trigonométriques de \(\frac{2\pi}3\), \(\frac{4\pi}3\) et \(\frac{5\pi}3\).
   f) Déterminer la valeur principale des angles de mesures respectives \(\frac{727\pi}3\), \(-\frac{497\pi}6\) et \(-\frac{827\pi}3\), puis en déduire leurs rapports trigonométriques.

Correction détaillée

📘 Valeurs remarquables : \(\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac12\) ; \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\) ; \(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).

🔢 d) Dans le triangle \(ABK\) : \(\cos\frac\pi3=\frac{AK}{AB}=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{BK}{AB}=\frac{\sqrt3}2\), \(\tan\frac\pi3=\sqrt3\). La droite \((BK)\) est aussi bissectrice : \(\widehat{ABK}=\frac\pi6\), donc \(\cos\frac\pi6=\frac{BK}{AB}=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac{AK}{AB}=\frac12\), \(\tan\frac\pi6=\frac{\sqrt3}3\).

🔢 e) \(\frac{2\pi}3=\pi-\frac\pi3\) : \(\cos=-\frac12\), \(\sin=\frac{\sqrt3}2\), \(\tan=-\sqrt3\). \(\frac{4\pi}3=\pi+\frac\pi3\) : \(\cos=-\frac12\), \(\sin=-\frac{\sqrt3}2\), \(\tan=\sqrt3\). \(\frac{5\pi}3=2\pi-\frac\pi3\) : \(\cos=\frac12\), \(\sin=-\frac{\sqrt3}2\), \(\tan=-\sqrt3\).

🔢 f) \(\frac{727\pi}3=242\pi+\frac\pi3\) : principale \(\frac\pi3\) (\(\cos=\frac12\), \(\sin=\frac{\sqrt3}2\), \(\tan=\sqrt3\)). \(-\frac{497\pi}6=-84\pi+\frac{7\pi}6\), et \(\frac{7\pi}6=2\pi-\frac{5\pi}6\) : principale \(-\frac{5\pi}6\) (\(\cos=-\frac{\sqrt3}2\), \(\sin=-\frac12\), \(\tan=\frac{\sqrt3}3\)). \(-\frac{827\pi}3=-276\pi+\frac\pi3\) : principale \(\frac\pi3\) (\(\cos=\frac12\), \(\sin=\frac{\sqrt3}2\), \(\tan=\sqrt3\)).

✅ d) \(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\), \(\tan\frac\pi3=\sqrt3\) ; \(\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac12\), \(\tan\frac\pi6=\frac{\sqrt3}3\) ; e) \(\frac{2\pi}3\) : \(-\frac12,\frac{\sqrt3}2,-\sqrt3\) ; \(\frac{4\pi}3\) : \(-\frac12,-\frac{\sqrt3}2,\sqrt3\) ; \(\frac{5\pi}3\) : \(\frac12,-\frac{\sqrt3}2,-\sqrt3\) ; f) principales \(\frac\pi3\), \(-\frac{5\pi}6\), \(\frac\pi3\).

5) Soit \(ABC\) un triangle tel que \(\widehat{ABC}=\frac\pi4\) et \(\widehat{ACB}=\frac\pi6\). Soit \(H\) la projection orthogonale de \(A\) sur \((BC)\).
   a) Calculer \(AB\), \(AC\) et \(BC\) en fonction de \(AH\).
   b) Soit \(K\) la projection orthogonale de \(C\) sur \((AB)\). Calculer \(CK\) et \(AK\) en fonction de \(AH\).
   c) En déduire \(\cos\frac\pi{12}\), \(\sin\frac\pi{12}\) et \(\tan\frac\pi{12}\).
   d) Calculer \(\cos\frac{5\pi}{12}\), \(\sin\frac{5\pi}{12}\), \(\tan\frac{5\pi}{12}\), puis \(\cos\frac{11\pi}{12}\), \(\sin\frac{11\pi}{12}\) et \(\tan\frac{11\pi}{12}\).

Correction détaillée

📘 Valeurs remarquables : \(\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac12\) ; \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\) ; \(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).

🔢 a) Les angles en \(B\) et en \(C\) sont aigus, donc \(H\) est entre \(B\) et \(C\). Dans \(AHB\) (angle \(\frac\pi4\) en \(B\)) : \(AB=\frac{AH}{\sin\frac\pi4}=AH\sqrt2\) et \(BH=AH\). Dans \(AHC\) (angle \(\frac\pi6\) en \(C\)) : \(AC=\frac{AH}{\sin\frac\pi6}=2AH\) et \(CH=AC\cos\frac\pi6=AH\sqrt3\). Donc \(BC=BH+HC=AH(1+\sqrt3)\).

🔢 b) L’angle en \(A\) vaut \(\pi-\frac\pi4-\frac\pi6=\frac{7\pi}{12}\), obtus : \(K\) est sur la demi-droite d’origine \(B\) passant par \(A\), au-delà de \(A\). Dans \(BKC\) rectangle en \(K\), avec l’angle \(\frac\pi4\) en \(B\) : \(CK=BC\sin\frac\pi4=AH(1+\sqrt3)\frac{\sqrt2}2=AH\frac{\sqrt2+\sqrt6}2\) et \(BK=CK\). Alors \(AK=BK-AB=AH\frac{\sqrt2+\sqrt6}2-AH\sqrt2=AH\frac{\sqrt6-\sqrt2}2\).

🔢 c) Dans le triangle \(AKC\) rectangle en \(K\), l’angle en \(C\) est \(\widehat{ACK}=\frac\pi2-\widehat{KAC}\) avec \(\widehat{KAC}=\pi-\frac{7\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}\), donc \(\widehat{ACK}=\frac\pi{12}\). Ainsi \(\cos\frac\pi{12}=\frac{CK}{AC}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4\), \(\sin\frac\pi{12}=\frac{AK}{AC}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4\), \(\tan\frac\pi{12}=\frac{AK}{CK}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}=\frac{(\sqrt6-\sqrt2)^2}4=2-\sqrt3\).

🔢 d) \(\frac{5\pi}{12}=\frac\pi2-\frac\pi{12}\) : \(\cos\frac{5\pi}{12}=\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4\), \(\sin\frac{5\pi}{12}=\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4\), \(\tan\frac{5\pi}{12}=\frac1{\tan\frac\pi{12}}=\frac1{2-\sqrt3}=2+\sqrt3\).

🔢 \(\frac{11\pi}{12}=\pi-\frac\pi{12}\) : \(\cos\frac{11\pi}{12}=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}4\), \(\sin\frac{11\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4\), \(\tan\frac{11\pi}{12}=-(2-\sqrt3)=\sqrt3-2\).

✅ a) \(AB=\sqrt2AH\), \(AC=2AH\), \(BC=(1+\sqrt3)AH\) ; b) \(CK=\frac{\sqrt2+\sqrt6}2AH\), \(AK=\frac{\sqrt6-\sqrt2}2AH\) ; c) \(\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4\), \(\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4\), \(\tan\frac\pi{12}=2-\sqrt3\) ; d) \(\frac{5\pi}{12}\) : \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}4,\frac{\sqrt6+\sqrt2}4,2+\sqrt3\) ; \(\frac{11\pi}{12}\) : \(-\frac{\sqrt6+\sqrt2}4,\frac{\sqrt6-\sqrt2}4,\sqrt3-2\).

6) \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que \(BC=2a\) (\(a>0\)) et \((\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\frac\pi8\ [2\pi]\). Soit \(O\) le milieu du segment \([BC]\) et \(H\) le projeté orthogonal du point \(A\) sur \((BC)\).
   a) Montrer que \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OH})=\frac\pi4\ [2\pi]\).
   b) Déduire que \(OH=AH=\frac{a\sqrt2}2\) et que \(AB=a\sqrt{2+\sqrt2}\).
   c) Dans le triangle \(AHB\), calculer \(\cos\frac\pi8\), \(\sin\frac\pi8\) et \(\tan\frac\pi8\).

Correction détaillée

📘 Valeurs remarquables : \(\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\frac\pi6=\frac12\) ; \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2\) ; \(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\) ; \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).

🔢 a) Dans le triangle rectangle \(ABC\), la médiane issue de l’angle droit vaut la moitié de l’hypoténuse : \(OA=OB=OC=a\). Le triangle \(OAB\) est isocèle en \(O\) avec \(\widehat{OBA}=\frac\pi8\), donc \(\widehat{OAB}=\frac\pi8\) et \(\widehat{AOB}=\pi-\frac\pi4\). Comme \(B\), \(O\), \(C\) sont alignés, \(\widehat{AOC}=\pi-\widehat{AOB}=\frac\pi4\). \(H\) est du même côté de \(O\) que \(C\) (angle \(\widehat{AOC}\) aigu), donc \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OH})=(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})=\frac\pi4\ [2\pi]\) (orientation donnée par \((\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\frac\pi8\) positif).

🔢 b) Le triangle \(AHO\) est rectangle en \(H\) avec \(\widehat{AOH}=\frac\pi4\) : il est isocèle, donc \(OH=AH\), et \(AH=OA\sin\frac\pi4=\frac{a\sqrt2}2\). Alors \(BH=BO+OH=a+\frac{a\sqrt2}2\). Pythagore dans \(AHB\) : \(AB^2=AH^2+BH^2=\frac{a^2}2+a^2\left(1+\frac{\sqrt2}2\right)^2=\frac{a^2}2+a^2\left(\frac32+\sqrt2\right)=a^2(2+\sqrt2)\). Donc \(AB=a\sqrt{2+\sqrt2}\).

🔢 c) Dans \(AHB\), rectangle en \(H\), avec l’angle \(\frac\pi8\) en \(B\) : \(\cos\frac\pi8=\frac{BH}{AB}=\frac{a\frac{2+\sqrt2}2}{a\sqrt{2+\sqrt2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\). \(\sin\frac\pi8=\frac{AH}{AB}=\frac{\frac{\sqrt2}2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\), et comme \(\frac2{2+\sqrt2}=2-\sqrt2\), \(\sin\frac\pi8=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2\). \(\tan\frac\pi8=\frac{AH}{BH}=\frac{\sqrt2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-1\).

✅ a) \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OH})=\frac\pi4\) ; b) \(OH=AH=\frac{a\sqrt2}2\), \(AB=a\sqrt{2+\sqrt2}\) ; c) \(\cos\frac\pi8=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\), \(\sin\frac\pi8=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2\), \(\tan\frac\pi8=\sqrt2-1\).

7) On considère que \(\cos\frac{2\pi}5=\frac{\sqrt5-1}4\).
a) Calculer \(\sin\frac{2\pi}5\).
b) En déduire \(\sin\left(-\frac{2\pi}5\right)\), \(\sin\frac{3\pi}5\) et \(\sin\frac\pi{10}\).

Correction détaillée

📘 Formules : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\), \(\sin(\frac\pi2-x)=\cos x\) ; \(\tan(\pi\pm x)=\pm\tan x\) ; \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.

🔢 a) \(\sin^2\frac{2\pi}5=1-\left(\frac{\sqrt5-1}4\right)^2=1-\frac{6-2\sqrt5}{16}=\frac{10+2\sqrt5}{16}\). Comme \(\frac{2\pi}5\in]0,\pi[\), \(\sin\frac{2\pi}5>0\) : \(\sin\frac{2\pi}5=\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4\).

🔢 b) \(\sin\left(-\frac{2\pi}5\right)=-\sin\frac{2\pi}5=-\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4\). \(\sin\frac{3\pi}5=\sin\left(\pi-\frac{2\pi}5\right)=\sin\frac{2\pi}5=\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4\). \(\sin\frac\pi{10}=\sin\left(\frac\pi2-\frac{2\pi}5\right)=\cos\frac{2\pi}5=\frac{\sqrt5-1}4\).

✅ a) \(\sin\frac{2\pi}5=\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4\) ; b) \(-\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4\), \(\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4\), \(\frac{\sqrt5-1}4\).

Exercice 3.1

Équations dans \(\mathbb R\)

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(\cos x=\frac{\sqrt2}2\).
2) \(\cos x=-\frac12\).
3) \(\cos^2x=\frac12\).

Correction détaillée

📘 Équations de base : \(\cos x=\cos a\iff x=\pm a+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin a\iff x=a+2k\pi\) ou \(x=\pi-a+2k\pi\) ; \(\tan x=\tan a\iff x=a+k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)).

🔢 1) \(\cos x=\cos\frac\pi4\iff x=\frac\pi4+2k\pi\) ou \(x=-\frac\pi4+2k\pi\).

🔢 2) \(\cos x=\cos\frac{2\pi}3\iff x=\frac{2\pi}3+2k\pi\) ou \(x=-\frac{2\pi}3+2k\pi\).

🔢 3) \(\cos x=\pm\frac{\sqrt2}2\iff x=\pm\frac\pi4+2k\pi\) ou \(x=\pm\frac{3\pi}4+2k\pi\), c’est-à-dire \(x=\frac\pi4+\frac{k\pi}2\).

✅ 1) \(\pm\frac\pi4+2k\pi\) ; 2) \(\pm\frac{2\pi}3+2k\pi\) ; 3) \(\frac\pi4+\frac{k\pi}2\)

2) 4) \(\sin x=\frac{\sqrt3}2\).
5) \(\sin x=-\frac12\).
6) \(\sin^2x=\frac12\).

Correction détaillée

📘 Équations de base : \(\cos x=\cos a\iff x=\pm a+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin a\iff x=a+2k\pi\) ou \(x=\pi-a+2k\pi\) ; \(\tan x=\tan a\iff x=a+k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)).

🔢 4) \(\sin x=\sin\frac\pi3\iff x=\frac\pi3+2k\pi\) ou \(x=\pi-\frac\pi3+2k\pi=\frac{2\pi}3+2k\pi\).

🔢 5) \(\sin x=\sin\left(-\frac\pi6\right)\iff x=-\frac\pi6+2k\pi\) ou \(x=\pi+\frac\pi6+2k\pi=\frac{7\pi}6+2k\pi\).

🔢 6) \(\sin x=\pm\frac{\sqrt2}2\iff x=\frac\pi4+\frac{k\pi}2\) (mêmes points que dans 3).

✅ 4) \(\frac\pi3+2k\pi\) et \(\frac{2\pi}3+2k\pi\) ; 5) \(-\frac\pi6+2k\pi\) et \(\frac{7\pi}6+2k\pi\) ; 6) \(\frac\pi4+\frac{k\pi}2\)

3) 7) \(4\tan x+4=0\).
8) \(\cos2x=\cos\left(x-\frac\pi3\right)\).
9) \(\cos2x=\cos\left(x-\frac\pi4\right)\).

Correction détaillée

📘 Équations de base : \(\cos x=\cos a\iff x=\pm a+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin a\iff x=a+2k\pi\) ou \(x=\pi-a+2k\pi\) ; \(\tan x=\tan a\iff x=a+k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)).

🔢 7) \(4\tan x+4=0\iff\tan x=-1=\tan\left(-\frac\pi4\right)\iff x=-\frac\pi4+k\pi\).

🔢 8) \(\cos2x=\cos\left(x-\frac\pi3\right)\iff2x=x-\frac\pi3+2k\pi\) ou \(2x=-x+\frac\pi3+2k\pi\), soit \(x=-\frac\pi3+2k\pi\) ou \(x=\frac\pi9+\frac{2k\pi}3\).

🔢 9) \(\cos2x=\cos\left(x-\frac\pi4\right)\iff2x=x-\frac\pi4+2k\pi\) ou \(2x=-x+\frac\pi4+2k\pi\), soit \(x=-\frac\pi4+2k\pi\) ou \(x=\frac\pi{12}+\frac{2k\pi}3\).

✅ 7) \(-\frac\pi4+k\pi\) ; 8) \(-\frac\pi3+2k\pi\) et \(\frac\pi9+\frac{2k\pi}3\) ; 9) \(-\frac\pi4+2k\pi\) et \(\frac\pi{12}+\frac{2k\pi}3\)

4) 10) \(|\cos2x|=\frac12\).
11) \(\cos x+\sqrt3\sin x=0\).
12) \(\sin x\cos x=\frac12\).

Correction détaillée

📘 Équations de base : \(\cos x=\cos a\iff x=\pm a+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin a\iff x=a+2k\pi\) ou \(x=\pi-a+2k\pi\) ; \(\tan x=\tan a\iff x=a+k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)).

🔢 10) \(|\cos2x|=\frac12\iff\cos2x=\frac12\) ou \(\cos2x=-\frac12\). \(\cos2x=\frac12\iff2x=\pm\frac\pi3+2k\pi\) ; \(\cos2x=-\frac12\iff2x=\pm\frac{2\pi}3+2k\pi\). Ensemble : \(2x=\pm\frac\pi3+k\pi\), soit \(x=\pm\frac\pi6+\frac{k\pi}2\).

🔢 11) Si \(\cos x=0\), alors \(\sin x=\pm1\) et \(\cos x+\sqrt3\sin x=\pm\sqrt3\ne0\) : on peut diviser par \(\cos x\). L’équation devient \(1+\sqrt3\tan x=0\iff\tan x=-\frac{\sqrt3}3=\tan\left(-\frac\pi6\right)\iff x=-\frac\pi6+k\pi\).

🔢 12) \(\sin x\cos x=\frac12\). Comme \(\cos^2x+\sin^2x=1\) : \((\cos x-\sin x)^2=1-2\sin x\cos x=0\), donc \(\cos x=\sin x\), c’est-à-dire \(\tan x=1\iff x=\frac\pi4+k\pi\). Vérification : pour \(x=\frac\pi4\), \(\sin x\cos x=\frac12\) ✓ ; pour \(x=\frac{5\pi}4\), \(\left(-\frac{\sqrt2}2\right)^2=\frac12\) ✓.

✅ 10) \(\pm\frac\pi6+\frac{k\pi}2\) ; 11) \(-\frac\pi6+k\pi\) ; 12) \(\frac\pi4+k\pi\) (avec \(k\in\mathbb Z\)).

Exercice 3.2

Équations dans un intervalle

1) Résoudre dans l’intervalle donné :
1) \(2\sqrt2\sin x+2=0\) dans \(\left[-\frac\pi2,\frac{5\pi}2\right]\).
2) \(\sin\left(2x-\frac\pi3\right)=\sin\left(\frac\pi4-x\right)\) dans \([0,\pi]\).
3) \(\tan\left(2x-\frac\pi5\right)=1\) dans \(\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on résout dans \(\mathbb R\) puis on garde les solutions de l’intervalle en donnant à \(k\) les valeurs entières qui conviennent.

🔢 1) \(\sin x=-\frac{2}{2\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}2=\sin\left(-\frac\pi4\right)\iff x=-\frac\pi4+2k\pi\) ou \(x=\frac{5\pi}4+2k\pi\). Dans \(\left[-\frac\pi2,\frac{5\pi}2\right]\) : \(-\frac\pi4\), \(\frac{5\pi}4\), \(\frac{7\pi}4\) (\(=-\frac\pi4+2\pi\)). Les suivantes (\(\frac{13\pi}4\)) sont trop grandes.

🔢 2) Premier cas : \(2x-\frac\pi3=\frac\pi4-x+2k\pi\iff3x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi\iff x=\frac{7\pi}{36}+\frac{2k\pi}3\) : dans \([0,\pi]\), \(k=0\) donne \(\frac{7\pi}{36}\) et \(k=1\) donne \(\frac{31\pi}{36}\). Second cas : \(2x-\frac\pi3=\pi-\frac\pi4+x+2k\pi\iff x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi\) : aucune valeur dans \([0,\pi]\) (\(\frac{13\pi}{12}>\pi\)).

🔢 3) \(\tan\left(2x-\frac\pi5\right)=\tan\frac\pi4\iff2x-\frac\pi5=\frac\pi4+k\pi\iff x=\frac{9\pi}{40}+\frac{k\pi}2\). Dans \(\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\) : \(k=0\) donne \(\frac{9\pi}{40}\) et \(k=-1\) donne \(-\frac{11\pi}{40}\).

✅ 1) \(\left\{-\frac\pi4;\frac{5\pi}4;\frac{7\pi}4\right\}\) ; 2) \(\left\{\frac{7\pi}{36};\frac{31\pi}{36}\right\}\) ; 3) \(\left\{-\frac{11\pi}{40};\frac{9\pi}{40}\right\}\)

2) 4) \(\cos2x=\frac{\sqrt3}2\) dans \(]-\pi,\pi]\).
5) \(\cos\left(x-\frac\pi2\right)=0\) dans \(\mathbb R\).
6) \(\sin\left(-x+\frac\pi3\right)=\frac12\) dans \(\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on résout dans \(\mathbb R\) puis on garde les solutions de l’intervalle en donnant à \(k\) les valeurs entières qui conviennent.

🔢 4) \(\cos2x=\cos\frac\pi6\iff2x=\pm\frac\pi6+2k\pi\iff x=\pm\frac\pi{12}+k\pi\). Dans \(]-\pi,\pi]\) : \(\frac\pi{12}\), \(-\frac\pi{12}\), \(\frac\pi{12}-\pi=-\frac{11\pi}{12}\), \(-\frac\pi{12}+\pi=\frac{11\pi}{12}\).

🔢 5) \(\cos\left(x-\frac\pi2\right)=0\iff x-\frac\pi2=\frac\pi2+k\pi\iff x=\pi+k\pi\), c’est-à-dire \(x=k\pi\) avec \(k\in\mathbb Z\).

🔢 6) \(\sin\left(\frac\pi3-x\right)=\sin\frac\pi6\iff\frac\pi3-x=\frac\pi6+2k\pi\) ou \(\frac\pi3-x=\frac{5\pi}6+2k\pi\), soit \(x=\frac\pi6-2k\pi\) ou \(x=-\frac\pi2-2k\pi\). Donc \(x=\frac\pi6+2k’\pi\) ou \(x=-\frac\pi2+2k’\pi\) (\(k’\in\mathbb Z\)).

✅ 4) \(\left\{-\frac{11\pi}{12};-\frac\pi{12};\frac\pi{12};\frac{11\pi}{12}\right\}\) ; 5) \(\{k\pi\ /\ k\in\mathbb Z\}\) ; 6) \(\left\{\frac\pi6+2k\pi\right\}\cup\left\{-\frac\pi2+2k\pi\right\}\)

3) 7) \(2\sin^2x-9\sin x-5=0\) dans \([0,2\pi]\).
8) \(\sqrt2\sin x+1=0\) dans \(]-\pi,\pi[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on résout dans \(\mathbb R\) puis on garde les solutions de l’intervalle en donnant à \(k\) les valeurs entières qui conviennent.

🔢 7) On pose \(t=\sin x\) : \(2t^2-9t-5=0\), \(\Delta=81+40=121\), \(t=\frac{9\pm11}4\), soit \(t=5\) ou \(t=-\frac12\). \(\sin x=5\) est impossible. \(\sin x=-\frac12\) donne dans \([0,2\pi]\) : \(x=\frac{7\pi}6\) ou \(x=\frac{11\pi}6\).

🔢 8) \(\sin x=-\frac{\sqrt2}2\) : dans \(]-\pi,\pi[\), \(x=-\frac\pi4\) ou \(x=-\frac{3\pi}4\).

✅ 7) \(\left\{\frac{7\pi}6;\frac{11\pi}6\right\}\) ; 8) \(\left\{-\frac{3\pi}4;-\frac\pi4\right\}\).

Exercice 4.1

Inéquations dans un intervalle

1) Résoudre dans l’intervalle donné :
1) \(\sin x\ge\frac12\) dans \([0,2\pi[\).
2) \(\sin x\le-\frac12\) dans \(]-\pi,\pi[\).
3) \(\cos x\ge\frac{\sqrt2}2\) dans \(]-\pi,\pi[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on repère sur le cercle trigonométrique les points où l’égalité est vraie, puis on lit l’arc qui vérifie l’inégalité (abscisse pour \(\cos\), ordonnée pour \(\sin\)) ; pour \(\tan\), on utilise sa croissance sur chaque intervalle \(]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi[\).

🔢 1) \(\sin x=\frac12\) pour \(x=\frac\pi6\) et \(x=\frac{5\pi}6\). Les points du cercle d’ordonnée \(\ge\frac12\) sont entre ces deux points : \(S=\left[\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right]\).

🔢 2) \(\sin x=-\frac12\) pour \(x=-\frac\pi6\) et \(x=-\frac{5\pi}6\). Ordonnée \(\le-\frac12\) : \(S=\left[-\frac{5\pi}6,-\frac\pi6\right]\).

🔢 3) \(\cos x=\frac{\sqrt2}2\) pour \(x=\pm\frac\pi4\). Abscisse \(\ge\frac{\sqrt2}2\) : \(S=\left[-\frac\pi4,\frac\pi4\right]\).

✅ 1) \(\left[\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right]\) ; 2) \(\left[-\frac{5\pi}6,-\frac\pi6\right]\) ; 3) \(\left[-\frac\pi4,\frac\pi4\right]\)

2) 4) \(\cos x\le\frac12\) dans \(\left[-\frac\pi2,\pi\right]\).
5) \(\cos x\le0\) dans \(]-\pi,\pi[\).
6) \(\sin x\ge0\) dans \(]-\pi,\pi[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on repère sur le cercle trigonométrique les points où l’égalité est vraie, puis on lit l’arc qui vérifie l’inégalité (abscisse pour \(\cos\), ordonnée pour \(\sin\)) ; pour \(\tan\), on utilise sa croissance sur chaque intervalle \(]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi[\).

🔢 4) \(\cos x=\frac12\) pour \(x=\pm\frac\pi3\). Abscisse \(\le\frac12\) : \(x\in\left[-\frac\pi2,-\frac\pi3\right]\cup\left[\frac\pi3,\pi\right]\).

🔢 5) Abscisse \(\le0\) : \(S=\left]-\pi,-\frac\pi2\right]\cup\left[\frac\pi2,\pi\right[\).

🔢 6) Ordonnée \(\ge0\) : \(S=[0,\pi[\).

✅ 4) \(\left[-\frac\pi2,-\frac\pi3\right]\cup\left[\frac\pi3,\pi\right]\) ; 5) \(\left]-\pi,-\frac\pi2\right]\cup\left[\frac\pi2,\pi\right[\) ; 6) \([0,\pi[\)

3) 7) \(\tan x\ge1\) dans \(\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[\).
8) \(\sin x>-\frac{\sqrt2}2\) dans \([0,2\pi]\).
9) \(3\tan x-\sqrt3\ge0\) dans \([-\pi,\pi]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on repère sur le cercle trigonométrique les points où l’égalité est vraie, puis on lit l’arc qui vérifie l’inégalité (abscisse pour \(\cos\), ordonnée pour \(\sin\)) ; pour \(\tan\), on utilise sa croissance sur chaque intervalle \(]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi[\).

🔢 7) \(\tan x=1\) pour \(x=\frac\pi4\) et \(\tan\) est croissante sur \(]-\frac\pi2,\frac\pi2[\) : \(S=\left[\frac\pi4,\frac\pi2\right[\).

🔢 8) \(\sin x=-\frac{\sqrt2}2\) pour \(x=\frac{5\pi}4\) et \(x=\frac{7\pi}4\). \(\sin x\le-\frac{\sqrt2}2\) sur \(\left[\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4\right]\), donc \(\sin x>-\frac{\sqrt2}2\) en dehors : \(S=\left[0,\frac{5\pi}4\right[\cup\left]\frac{7\pi}4,2\pi\right]\).

🔢 9) \(3\tan x-\sqrt3\ge0\iff\tan x\ge\frac{\sqrt3}3=\tan\frac\pi6\). La tangente est \(\pi\)-périodique, croissante sur chaque intervalle \(]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi[\) : \(\tan x\ge\frac{\sqrt3}3\) pour \(x\in\left[\frac\pi6+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right[\). Dans \([-\pi,\pi]\) : \(k=0\) et \(k=-1\). \(S=\left[-\frac{5\pi}6,-\frac\pi2\right[\cup\left[\frac\pi6,\frac\pi2\right[\).

✅ 7) \(\left[\frac\pi4,\frac\pi2\right[\) ; 8) \(\left[0,\frac{5\pi}4\right[\cup\left]\frac{7\pi}4,2\pi\right]\) ; 9) \(\left[-\frac{5\pi}6,-\frac\pi2\right[\cup\left[\frac\pi6,\frac\pi2\right[\)

4) 10) \(\tan x-1\ge0\) dans \([0,2\pi]\).
11) \(2\sin^2x-9\sin x-5\le0\) dans \([0,2\pi]\).
12) \((2\cos x-1)(\tan x+1)\ge0\) dans \([0,\pi]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on repère sur le cercle trigonométrique les points où l’égalité est vraie, puis on lit l’arc qui vérifie l’inégalité (abscisse pour \(\cos\), ordonnée pour \(\sin\)) ; pour \(\tan\), on utilise sa croissance sur chaque intervalle \(]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi[\).

🔢 10) \(\tan x\ge1\iff x\in\left[\frac\pi4+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right[\). Dans \([0,2\pi]\) : \(S=\left[\frac\pi4,\frac\pi2\right[\cup\left[\frac{5\pi}4,\frac{3\pi}2\right[\).

🔢 11) \(2\sin^2x-9\sin x-5=(2\sin x+1)(\sin x-5)\). Comme \(\sin x-5<0\), l’inéquation \(\le0\) équivaut à \(2\sin x+1\ge0\), c’est-à-dire \(\sin x\ge-\frac12\). \(\sin x=-\frac12\) pour \(x=\frac{7\pi}6\) et \(\frac{11\pi}6\) : \(S=\left[0,\frac{7\pi}6\right]\cup\left[\frac{11\pi}6,2\pi\right]\).

🔢 12) Pour \(x\ne\frac\pi2\). Signe de \(2\cos x-1\) : \(\ge0\) sur \(\left[0,\frac\pi3\right]\), \(<0\) sur \(\left]\frac\pi3,\pi\right]\). Signe de \(\tan x+1\) : positif sur \(\left[0,\frac\pi2\right[\), négatif sur \(\left]\frac\pi2,\frac{3\pi}4\right[\), nul en \(\frac{3\pi}4\), positif sur \(\left]\frac{3\pi}4,\pi\right]\). Produit \(\ge0\) : sur \(\left[0,\frac\pi3\right]\) (\(\ge0\times>0\)), sur \(\left]\frac\pi2,\frac{3\pi}4\right]\) (\(<0\times<0\), et nul en \(\frac{3\pi}4\)). Ailleurs il est négatif.

✅ 10) \(\left[\frac\pi4,\frac\pi2\right[\cup\left[\frac{5\pi}4,\frac{3\pi}2\right[\) ; 11) \(\left[0,\frac{7\pi}6\right]\cup\left[\frac{11\pi}6,2\pi\right]\) ; 12) \(\left[0,\frac\pi3\right]\cup\left]\frac\pi2,\frac{3\pi}4\right]\).

Exercices corrigés de calcul trigonométrique Tronc Commun

Calcul trigonométrique · Série d’exercices Tronc Commun