Cette série d’exercices corrigés sur les équations et inéquations du second degré pour le Tronc Commun porte sur le discriminant, les racines et le signe du trinôme, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Exercices corrigés sur les équations du second degré Tronc Commun

Équations et inéquations du second degré · Série d’exercices Tronc Commun

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape

Exercice 1.1

Résoudre des équations du second degré

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(x^2=16\)
2) \(x^2=-8\)
3) \((x+2)^2=9\)

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\) : pas de solution ; si \(\Delta=0\) : \(x=\frac{-b}{2a}\) ; si \(\Delta>0\) : \(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).

🔢 1) \(x^2=16\iff x=4\) ou \(x=-4\).

🔢 2) Un carré est positif : \(x^2=-8\) est impossible.

🔢 3) \(x+2=3\) ou \(x+2=-3\), donc \(x=1\) ou \(x=-5\).

✅ 1) \(S=\{-4;4\}\) ; 2) \(S=\varnothing\) ; 3) \(S=\{-5;1\}\)

2) 4) \(5x^2-4x=0\)
5) \(3x^2-x-2=0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\) : pas de solution ; si \(\Delta=0\) : \(x=\frac{-b}{2a}\) ; si \(\Delta>0\) : \(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).

🔢 4) \(x(5x-4)=0\), donc \(x=0\) ou \(x=\frac45\).

🔢 5) \(\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times(3)\times(-2)=25\) \(\Delta>0\), \(\sqrt\Delta=5\) : \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=-\frac{2}{3}\) et \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=1\).

✅ 4) \(S=\left\{0;\frac45\right\}\) ; 5) \(S=\left\{-\frac{2}{3} ; 1\right\}\)

3) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(6x^2-7x-5=0\)
2) \(2x^2-2\sqrt2x+1=0\)
3) \(3x^2+x+2=0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\) : pas de solution ; si \(\Delta=0\) : \(x=\frac{-b}{2a}\) ; si \(\Delta>0\) : \(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).

🔢 1) \(\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\times(6)\times(-5)=169\) \(\Delta>0\), \(\sqrt\Delta=13\) : \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=-\frac{1}{2}\) et \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{5}{3}\).

🔢 2) \(\Delta=(-2\sqrt2)^2-4\times2\times1=8-8=0\) : solution double \(x_0=\frac{2\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt2}2\).

🔢 3) \(\Delta=b^2-4ac=(1)^2-4\times(3)\times(2)=-23\) \(\Delta<0\) : l’équation n’a pas de solution réelle.

✅ 1) \(S=\left\{-\frac{1}{2} ; \frac{5}{3}\right\}\) ; 2) \(S=\left\{\frac{\sqrt2}2\right\}\) ; 3) \(S=\varnothing\)

4) 4) \(4x^2-8x+3=0\)
5) \(x^2-4x+2=0\)
6) \(6x^2+5x+7=0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\) : pas de solution ; si \(\Delta=0\) : \(x=\frac{-b}{2a}\) ; si \(\Delta>0\) : \(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).

🔢 4) \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\times(4)\times(3)=16\) \(\Delta>0\), \(\sqrt\Delta=4\) : \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{1}{2}\) et \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3}{2}\).

🔢 5) \(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times(1)\times(2)=8\) \(\Delta>0\), \(\sqrt\Delta=2\sqrt{2}\) : \(x=2\pm\sqrt{2}\).

🔢 6) \(\Delta=b^2-4ac=(5)^2-4\times(6)\times(7)=-143\) \(\Delta<0\) : l’équation n’a pas de solution réelle.

✅ 4) \(S=\left\{\frac{1}{2} ; \frac{3}{2}\right\}\) ; 5) \(S=\{2-\sqrt2;2+\sqrt2\}\) ; 6) \(S=\varnothing\)

5) 7) \(2x^2-4x+6=0\)
8) \(x^2-4x-21=0\)
9) \(3x^2-6x+3=0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\) : pas de solution ; si \(\Delta=0\) : \(x=\frac{-b}{2a}\) ; si \(\Delta>0\) : \(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).

🔢 7) \(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times(2)\times(6)=-32\) \(\Delta<0\) : l’équation n’a pas de solution réelle.

🔢 8) \(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times(1)\times(-21)=100\) \(\Delta>0\), \(\sqrt\Delta=10\) : \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=-3\) et \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=7\).

🔢 9) \(3(x-1)^2=0\) (ou \(\Delta=36-36=0\)) : solution double \(x_0=1\).

✅ 7) \(S=\varnothing\) ; 8) \(S=\left\{-3 ; 7\right\}\) ; 9) \(S=\{1\}\)

6) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(-2x^2-3x+9=0\)
2) \(x^2-(1+\sqrt2)x+\sqrt2=0\)
3) \(4x^2-2x+1=0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\) : pas de solution ; si \(\Delta=0\) : \(x=\frac{-b}{2a}\) ; si \(\Delta>0\) : \(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).

🔢 1) \(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times(-2)\times(9)=81\) \(\Delta>0\), \(\sqrt\Delta=9\) : \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=-3\) et \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3}{2}\).

🔢 2) \(\Delta=(1+\sqrt2)^2-4\sqrt2=3+2\sqrt2-4\sqrt2=3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2>0\). \(x=\frac{(1+\sqrt2)\pm(\sqrt2-1)}2\) : \(x=\sqrt2\) ou \(x=1\).

🔢 3) \(\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times(4)\times(1)=-12\) \(\Delta<0\) : l’équation n’a pas de solution réelle.

✅ 1) \(S=\left\{-3 ; \frac{3}{2}\right\}\) ; 2) \(S=\{1;\sqrt2\}\) ; 3) \(S=\varnothing\)

Exercice 1.2

Se ramener à une équation du second degré

1) 1) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(x^2-5x+4=0\).
2) En déduire les solutions de \(x^4-5x^2+4=0\) et de \(x-5\sqrt x+4=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : changement de variable \(X=x^2\) ou \(X=\sqrt x\) (avec \(X\ge0\)).

🔢 1) \(\Delta=25-16=9\) : \(x=\frac{5\pm3}2\), donc \(x=1\) ou \(x=4\).

🔢 2) \(x^4-5x^2+4=0\). On pose \(X=x^2\) : \(X^2-5X+4=0\), donc \(X=1\) ou \(X=4\). Alors \(x^2=1\) ou \(x^2=4\) : \(x=\pm1\) ou \(x=\pm2\).

🔢 \(x-5\sqrt x+4=0\). On pose \(X=\sqrt x\ge0\) (\(x\ge0\)) : \(X^2-5X+4=0\), donc \(X=1\) ou \(X=4\). Alors \(x=1\) ou \(x=16\).

✅ 1) \(S=\{1;4\}\) ; 2) \(S_1=\{-2;-1;1;2\}\) et \(S_2=\{1;16\}\).

2) 1) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(x^2-2x-8=0\).
2) En déduire les solutions de \(x^2-2|x|-8=0\) et de \(x^4-2x^2-8=0\).

Correction détaillée

🔢 1) \(\Delta=4+32=36\) : \(x=\frac{2\pm6}2\), donc \(x=4\) ou \(x=-2\).

🔢 2) \(x^2-2|x|-8=0\) : comme \(x^2=|x|^2\), on pose \(X=|x|\ge0\) : \(X^2-2X-8=0\), donc \(X=4\) ou \(X=-2\) (à rejeter). Donc \(|x|=4\) : \(x=\pm4\).

🔢 \(x^4-2x^2-8=0\) : \(X=x^2\ge0\) : \(X=4\) ou \(X=-2\) (rejeté). Donc \(x^2=4\) : \(x=\pm2\).

✅ 1) \(S=\{-2;4\}\) ; 2) \(S_1=\{-4;4\}\) et \(S_2=\{-2;2\}\).

3) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(2x-7\sqrt x-4=0\).

Correction détaillée

🔢 On pose \(X=\sqrt x\ge0\) : \(2X^2-7X-4=0\). \(\Delta=49+32=81\) : \(X=\frac{7\pm9}4\), donc \(X=4\) ou \(X=-\frac12\) (rejeté car \(X\ge0\)).

🔢 \(\sqrt x=4\iff x=16\).

✅ \(S=\{16\}\).

4) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(\dfrac{x-2}{2x^2-3x-2}-\dfrac{x^2}{2x^2+13x+6}=0\)
2) \(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac8{3x+12}=\dfrac{x^2}{x^2+2x-8}\)
3) \(\dfrac{5x-13}{4(x-3)}=\dfrac2{x^2-2x-3}\).

Correction détaillée

🔢 1) \(2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)\) et \(2x^2+13x+6=(2x+1)(x+6)\). Valeurs interdites : \(2\), \(-\frac12\), \(-6\). Pour \(x\ne2\) : \(\frac{x-2}{(2x+1)(x-2)}=\frac1{2x+1}\). L’équation devient \(\frac1{2x+1}=\frac{x^2}{(2x+1)(x+6)}\), soit \(x+6=x^2\) : \(x^2-x-6=0\), \(x=3\) ou \(x=-2\) (tous deux admissibles).

🔢 2) \(x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\) et \(3x+12=3(x+4)\). Valeurs interdites : \(2\) et \(-4\). On multiplie par \(3(x-2)(x+4)\) : \(3(x+2)(x+4)-8(x-2)=3x^2\), soit \(3x^2+18x+24-8x+16=3x^2\), donc \(10x+40=0\) et \(x=-4\), valeur interdite : pas de solution.

🔢 3) \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). Valeurs interdites : \(3\) et \(-1\). On multiplie par \(4(x-3)(x+1)\) : \((5x-13)(x+1)=8\), soit \(5x^2-8x-21=0\). \(\Delta=64+420=484=22^2\) : \(x=\frac{8\pm22}{10}\), donc \(x=3\) (interdit) ou \(x=-\frac75\).

✅ 1) \(S=\{-2;3\}\) ; 2) \(S=\varnothing\) ; 3) \(S=\left\{-\frac75\right\}\).

5) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(x^5+x^3=12x\)
2) \(x^4=4x^2+5\)
3) \(x^5\le4x\).

Correction détaillée

🔢 1) \(x(x^4+x^2-12)=0\). \(X=x^2\) : \(X^2+X-12=0\), \(X=3\) ou \(X=-4\) (rejeté). Donc \(x=0\) ou \(x^2=3\) : \(x\in\{-\sqrt3;0;\sqrt3\}\).

🔢 2) \(x^4-4x^2-5=0\). \(X=x^2\) : \(X^2-4X-5=0\), \(X=5\) ou \(X=-1\) (rejeté). Donc \(x=\pm\sqrt5\).

🔢 3) \(x^5-4x\le0\iff x(x^4-4)\le0\iff x(x^2-2)(x^2+2)\le0\). Comme \(x^2+2>0\) : \(x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\le0\).

🔢 Signes : \(x<-\sqrt2\) : \(-\) ; \(-\sqrt2<x<0\) : \(+\) ; \(0<x<\sqrt2\) : \(-\) ; \(x>\sqrt2\) : \(+\). On garde les zones \(-\) et les zéros.

✅ 1) \(S=\{-\sqrt3;0;\sqrt3\}\) ; 2) \(S=\{-\sqrt5;\sqrt5\}\) ; 3) \(S=]-\infty;-\sqrt2]\cup[0;\sqrt2]\).

6) On considère \(P(x)=-2x^3+3x^2+11x-6\).
1) Trouver \(Q\) tel que \(P(x)=(x-3)Q(x)\).
2) Résoudre \(-2x^2-3x+2=0\).
3) Résoudre \(P(x)=0\).
4) En déduire les solutions de \(-2|x|^3+3x^2+11|x|-6=0\).

Correction détaillée

🔢 1) \(P(3)=-54+27+33-6=0\). Horner avec \(3\) : \(-2\) ; \(3-6=-3\) ; \(11-9=2\) ; \(-6+6=0\). \(Q(x)=-2x^2-3x+2\).

🔢 2) \(\Delta=9+16=25\) : \(x=\frac{3\pm5}{-4}\), donc \(x=-2\) ou \(x=\frac12\).

🔢 3) \(P(x)=0\iff x=3\) ou \(Q(x)=0\) : \(x\in\left\{-2;\frac12;3\right\}\).

🔢 4) \(x^2=|x|^2\) : l’équation s’écrit \(P(|x|)=0\). Donc \(|x|\in\left\{-2;\frac12;3\right\}\) ; \(|x|=-2\) est impossible. D’où \(|x|=\frac12\) ou \(|x|=3\).

✅ \(Q(x)=-2x^2-3x+2\) ; \(S_3=\left\{-2;\frac12;3\right\}\) ; \(S_4=\left\{-3;-\frac12;\frac12;3\right\}\).

7) Soit \(P(x)=x^3-\sqrt2x^2-x+\sqrt2\).
1) Montrer que \(1\) est racine de \(P\).
2) Montrer que \(P(x)=(x+1)\left(x^2-(\sqrt2+1)x+\sqrt2\right)\).
3) On pose \(Q(x)=x^2-(\sqrt2+1)x+\sqrt2\). Vérifier que \(\Delta=(\sqrt2-1)^2\), puis résoudre \(Q(x)=0\).
4) En déduire les solutions de \(x-(\sqrt2+1)\sqrt x+\sqrt2=0\).
5) Résoudre \(P(x)=0\) et \(P(x)\le0\).

Correction détaillée

🔢 1) \(P(1)=1-\sqrt2-1+\sqrt2=0\).

🔢 2) \((x+1)\left(x^2-(\sqrt2+1)x+\sqrt2\right)=x^3-(\sqrt2+1)x^2+\sqrt2x+x^2-(\sqrt2+1)x+\sqrt2=x^3-\sqrt2x^2-x+\sqrt2\).

🔢 3) \(\Delta=(\sqrt2+1)^2-4\sqrt2=3+2\sqrt2-4\sqrt2=3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2\). \(x=\frac{(\sqrt2+1)\pm(\sqrt2-1)}2\) : \(x=\sqrt2\) ou \(x=1\).

🔢 4) On pose \(X=\sqrt x\ge0\) : \(X^2-(\sqrt2+1)X+\sqrt2=0\), donc \(X=\sqrt2\) ou \(X=1\), soit \(x=2\) ou \(x=1\).

🔢 5) \(P(x)=(x+1)(x-1)(x-\sqrt2)\). \(P(x)=0\iff x\in\{-1;1;\sqrt2\}\). Coefficient dominant positif : \(P>0\) pour \(x>\sqrt2\), \(<0\) sur \(]1;\sqrt2[\), \(>0\) sur \(]-1;1[\), \(<0\) pour \(x<-1\).

✅ \(Q\) : \(S=\{1;\sqrt2\}\) ; 4) \(S=\{1;2\}\) ; 5) \(P(x)=0\) : \(\{-1;1;\sqrt2\}\) ; \(P(x)\le0\) : \(S=]-\infty;-1]\cup[1;\sqrt2]\).

Exercice 1.3

Résoudre des équations et inéquations avec radicaux ou valeurs absolues

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(\sqrt{3x+1}=3-x\)
2) \(\sqrt{3x^2-2x-1}=x\)
3) \(\sqrt{x-3}+\sqrt{x-8}=5\)

Correction détaillée

📘 Méthode : pour \(\sqrt A=B\) on impose \(B\ge0\), on élève au carré, puis on vérifie.

🔢 1) Il faut \(3-x\ge0\). On élève au carré : \(3x+1=9-6x+x^2\), soit \(x^2-9x+8=0\), \(x=1\) ou \(x=8\). Seul \(x=1\) vérifie \(x\le3\).

🔢 2) Il faut \(x\ge0\). \(3x^2-2x-1=x^2\), soit \(2x^2-2x-1=0\) : \(\Delta=12\), \(x=\frac{1\pm\sqrt3}2\). Seule \(x=\frac{1+\sqrt3}2\) est positive.

🔢 3) Domaine \(x\ge8\). Posons \(u=\sqrt{x-3}\), \(v=\sqrt{x-8}\) : \(u+v=5\) et \(u^2-v^2=5\), donc \(u-v=1\), \(u=3\), \(v=2\), soit \(x=12\) (vérification : \(3+2=5\)).

✅ 1) \(\{1\}\) ; 2) \(\left\{\frac{1+\sqrt3}2\right\}\) ; 3) \(\{12\}\)

2) 4) \(\sqrt{x-2}=3-\sqrt{x+1}\)
5) \(\sqrt{3x-4}\le x+2\)
6) \(\sqrt{(x+1)^2}+3>3x+2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : pour \(\sqrt A=B\) on impose \(B\ge0\), on élève au carré, puis on vérifie.

🔢 4) Domaine \(x\ge2\). On élève au carré : \(x-2=9-6\sqrt{x+1}+x+1\), donc \(\sqrt{x+1}=2\), \(x=3\). Vérification : \(\sqrt1=1=3-2\).

🔢 5) Domaine \(x\ge\frac43\). Les deux membres sont positifs : \(3x-4\le x^2+4x+4\iff x^2+x+8\ge0\), toujours vrai (\(\Delta=-31<0\)).

🔢 6) \(\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|\). Si \(x\ge-1\) : \(x+4>3x+2\iff x<1\), soit \([-1;1[\). Si \(x<-1\) : \(-x-1+3>3x+2\iff x<0\), vrai pour tout \(x<-1\). Union : \(]-\infty;1[\).

✅ 4) \(\{3\}\) ; 5) \(\left[\frac43;+\infty\right[\) ; 6) \(]-\infty;1[\).

3) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(|3-2x|+|x+1|=2\)
2) \(|6x^2+4x-9|=1\)
3) \(x^2+6-|3-x|=9\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on étudie le signe de chaque expression dans la valeur absolue pour distinguer les cas.

🔢 1) Points critiques \(-1\) et \(\frac32\). \(x<-1\) : \(-3x+2=2\), \(x=0\) rejeté. \(-1\le x\le\frac32\) : \(4-x=2\), \(x=2\) rejeté. \(x>\frac32\) : \(3x-2=2\), \(x=\frac43\) rejeté. Aucune solution.

🔢 2) \(6x^2+4x-9=1\iff3x^2+2x-5=0\) : \(x=1\) ou \(x=-\frac53\). \(6x^2+4x-9=-1\iff3x^2+2x-4=0\) : \(\Delta=52\), \(x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}3\).

🔢 3) \(x^2-3=|3-x|\). Si \(x\le3\) : \(x^2+x-6=0\), \(x=2\) ou \(x=-3\). Si \(x>3\) : \(x^2-x=0\), \(x=0\) ou \(1\), rejetés.

✅ 1) \(\varnothing\) ; 2) \(\left\{-\frac53;1;\frac{-1-\sqrt{13}}3;\frac{-1+\sqrt{13}}3\right\}\) ; 3) \(\{-3;2\}\)

4) 4) \(|-3x^2+x-7|\le9-2x\)
5) \(|2x-5|-3|x-5|+|4-x|\ge3x+5\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on étudie le signe de chaque expression dans la valeur absolue pour distinguer les cas.

🔢 4) \(\Delta=1-84<0\) : \(-3x^2+x-7<0\) toujours, donc \(|-3x^2+x-7|=3x^2-x+7\). L’inégalité devient \(3x^2+x-2\le0\), racines \(-1\) et \(\frac23\) : \([-1;\frac23]\).

🔢 5) Points critiques \(\frac52\), \(4\), \(5\). \(x<\frac52\) : le membre de gauche vaut \(-6\) ; \(-6\ge3x+5\iff x\le-\frac{11}3\). \(\frac52\le x<4\) : \(4x-16\ge3x+5\iff x\ge21\) rejeté. \(4\le x<5\) : \(6x-24\ge3x+5\iff x\ge\frac{29}3\) rejeté. \(x\ge5\) : \(6\ge3x+5\iff x\le\frac13\) rejeté.

✅ 4) \([-1;\frac23]\) ; 5) \(]-\infty;-\frac{11}3]\).

Exercice 2.1

Factoriser des trinômes

1) Résoudre et factoriser les trinômes :
1) \(2x^2-x-6=0\)
2) \(2x^2-3x+\frac98=0\)
3) \(x^2+3x+10=0\)
4) \(6x^2-x-1=0\)

Correction détaillée

📘 Rappel : si \(\Delta>0\), \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) ; si \(\Delta=0\), \(ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2\) ; si \(\Delta<0\), le trinôme ne se factorise pas dans \(\mathbb R\).

🔢 1) \(\Delta=1+48=49\) : \(x=\frac{1\pm7}4\), donc \(x=2\) ou \(x=-\frac32\). \(2x^2-x-6=2(x-2)\left(x+\frac32\right)=(x-2)(2x+3)\).

🔢 2) \(\Delta=9-4\times2\times\frac98=0\) : \(x_0=\frac34\). \(2x^2-3x+\frac98=2\left(x-\frac34\right)^2\).

🔢 3) \(\Delta=9-40=-31<0\) : pas de solution réelle et le trinôme n’est pas factorisable dans \(\mathbb R\).

🔢 4) \(\Delta=1+24=25\) : \(x=\frac{1\pm5}{12}\), donc \(x=\frac12\) ou \(x=-\frac13\). \(6x^2-x-1=6\left(x-\frac12\right)\left(x+\frac13\right)=(2x-1)(3x+1)\).

✅ 1) \(S=\left\{-\frac32;2\right\}\ ;\ (x-2)(2x+3)\) ; 2) \(S=\left\{\frac34\right\}\ ;\ 2\left(x-\frac34\right)^2\) ; 3) \(S=\varnothing\ ;\ \text{non factorisable}\) ; 4) \(S=\left\{-\frac13;\frac12\right\}\ ;\ (2x-1)(3x+1)\)

2) Factoriser les trinômes :
1) \(4x^2+19x-5\)
2) \(9x^2-6x+1\)

Correction détaillée

📘 Rappel : si \(\Delta>0\), \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) ; si \(\Delta=0\), \(ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2\) ; si \(\Delta<0\), le trinôme ne se factorise pas dans \(\mathbb R\).

🔢 1) \(\Delta=361+80=441=21^2\) : \(x=\frac{-19\pm21}8\), donc \(x=\frac14\) ou \(x=-5\). \(4x^2+19x-5=4\left(x-\frac14\right)(x+5)=(4x-1)(x+5)\).

🔢 2) \(9x^2-6x+1=(3x)^2-2\times3x\times1+1^2=(3x-1)^2\) (ou \(\Delta=36-36=0\)).

✅ 1) \((4x-1)(x+5)\) ; 2) \((3x-1)^2\)

Exercice 2.2

Forme canonique et discriminant réduit

1) Déterminer la forme canonique du trinôme \(3x^2-x-2\).

Correction détaillée

📘 Forme canonique : \(ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}\right]\).

🔢 \(3x^2-x-2=3\left(x^2-\frac x3\right)-2=3\left[\left(x-\frac16\right)^2-\frac1{36}\right]-2\).

🔢 \(=3\left(x-\frac16\right)^2-\frac1{12}-2=3\left(x-\frac16\right)^2-\frac{25}{12}\).

🔢 Vérification : \(\alpha=\frac{-b}{2a}=\frac16\) et \(\beta=-\frac\Delta{4a}=-\frac{25}{12}\) (avec \(\Delta=25\)).

✅ \(3x^2-x-2=3\left(x-\frac16\right)^2-\frac{25}{12}\).

2) Résoudre dans \(\mathbb R\), en utilisant le discriminant réduit : \(x^2-22x-23=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : si \(b=2b’\), \(\Delta’=b’^2-ac\) et \(x=\frac{-b’\pm\sqrt{\Delta’}}a\).

🔢 Ici \(b=-22\), donc \(b’=\frac b2=-11\). \(\Delta’=b’^2-ac=121+23=144=12^2\).

🔢 \(x=\frac{-b’\pm\sqrt{\Delta’}}a=11\pm12\) : \(x=23\) ou \(x=-1\).

✅ \(S=\{-1;23\}\).

Exercice 2.3

Utiliser une racine connue

1) Soit le trinôme \(2019x^2-2020x+1\).
1) Vérifier que \(1\) est racine du trinôme.
2) Trouver l’autre racine.

Correction détaillée

📘 Rappel : si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2+bx+c=0\) : \(S=x_1+x_2=\frac{-b}a\) et \(P=x_1x_2=\frac ca\) ; \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\).

🔢 1) \(2019-2020+1=0\).

🔢 2) Le produit des racines vaut \(\frac ca=\frac1{2019}\). Comme l’une vaut \(1\), l’autre vaut \(\frac1{2019}\). (Vérification avec la somme : \(1+\frac1{2019}=\frac{2020}{2019}=\frac{-b}a\).)

✅ L’autre racine est \(\dfrac1{2019}\).

Exercice 3.1

Calculer la somme et le produit des racines

1) Sans calculer les racines, trouver la somme et le produit des racines de :
1) \((4x+3)^2-(3x+1)^2=0\)
2) \((2x-1)(3x+5)=11\)
3) \(7+x=(2x-1)(3x-2)\)
4) \(x^2=\sqrt2(3x-\sqrt2)\).

Correction détaillée

📘 Rappel : si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2+bx+c=0\) : \(S=x_1+x_2=\frac{-b}a\) et \(P=x_1x_2=\frac ca\) ; \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\).

🔢 1) \((4x+3)^2-(3x+1)^2=(x+2)(7x+4)=7x^2+18x+8=0\). \(\Delta=324-224=100>0\). \(S=-\frac{18}7\), \(P=\frac87\).

🔢 2) \(6x^2+7x-5-11=0\), soit \(6x^2+7x-16=0\). \(ac<0\) donc \(\Delta>0\). \(S=-\frac76\), \(P=-\frac{16}6=-\frac83\).

🔢 3) \(6x^2-7x+2-7-x=0\), soit \(6x^2-8x-5=0\). \(ac<0\) donc \(\Delta>0\). \(S=\frac86=\frac43\), \(P=-\frac56\).

🔢 4) \(x^2-3\sqrt2x+2=0\). \(\Delta=18-8=10>0\). \(S=3\sqrt2\), \(P=2\).

✅ 1) \(S=-\frac{18}7\), \(P=\frac87\) ; 2) \(S=-\frac76\), \(P=-\frac83\) ; 3) \(S=\frac43\), \(P=-\frac56\) ; 4) \(S=3\sqrt2\), \(P=2\).

Exercice 3.2

Calculer des expressions symétriques des racines

1) On considère \(2x^2+\sqrt3x-1=0\).
1) Sans calculer le discriminant, montrer que l’équation admet deux solutions distinctes \(x_1\) et \(x_2\).
2) Calculer \(x_1+x_2\), \(x_1x_2\), \(x_1^2+x_2^2\) et \(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}\).

Correction détaillée

📘 Rappel : si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2+bx+c=0\) : \(S=x_1+x_2=\frac{-b}a\) et \(P=x_1x_2=\frac ca\) ; \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\).

🔢 1) \(ac=2\times(-1)=-2<0\), donc \(\Delta=b^2-4ac>0\) : deux solutions distinctes.

🔢 2) \(x_1+x_2=\frac{-b}a=-\frac{\sqrt3}2\) ; \(x_1x_2=\frac ca=-\frac12\).

🔢 \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P=\frac34+1=\frac74\) ; \(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac SP=\frac{-\sqrt3/2}{-1/2}=\sqrt3\).

✅ \(S=-\frac{\sqrt3}2\) ; \(P=-\frac12\) ; \(x_1^2+x_2^2=\frac74\) ; \(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\sqrt3\).

2) On considère \(-2x^2+\sqrt2x+2=0\).
1) Sans calculer le discriminant, montrer que l’équation admet deux solutions distinctes \(\alpha\) et \(\beta\).
2) Calculer \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\), \(\alpha^3+\beta^3\) et \(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\).

Correction détaillée

📘 Rappel : si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2+bx+c=0\) : \(S=x_1+x_2=\frac{-b}a\) et \(P=x_1x_2=\frac ca\) ; \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\). Et \(\alpha^3+\beta^3=S^3-3PS\).

🔢 1) \(ac=-2\times2=-4<0\) donc \(\Delta>0\).

🔢 2) \(S=\alpha+\beta=\frac{-\sqrt2}{-2}=\frac{\sqrt2}2\) ; \(P=\alpha\beta=\frac2{-2}=-1\).

🔢 \(\alpha^3+\beta^3=S^3-3PS=\frac{2\sqrt2}8+\frac{3\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}4+\frac{6\sqrt2}4=\frac{7\sqrt2}4\).

🔢 \(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=S^2-P=\frac12+1=\frac32\).

✅ \(S=\frac{\sqrt2}2\) ; \(P=-1\) ; \(\alpha^3+\beta^3=\frac{7\sqrt2}4\) ; \(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=\frac32\).

3) On considère \(x^2-kx-1=0\).
1) Montrer que l’équation admet deux solutions distinctes \(x_1<x_2\).
2) Calculer \(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}\) et \(x_1^2+x_2^2\).
3) En déduire \(x_1-x_2\), \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\), \(x_1^3-x_2^3\) et \(x_1^3+x_2^3\).

Correction détaillée

📘 Rappel : si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2+bx+c=0\) : \(S=x_1+x_2=\frac{-b}a\) et \(P=x_1x_2=\frac ca\) ; \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\).

🔢 1) \(\Delta=k^2+4>0\) pour tout \(k\) : deux solutions distinctes. \(S=k\), \(P=-1\).

🔢 2) \(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac SP=-k\). \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P=k^2+2\).

🔢 3) \((x_1-x_2)^2=S^2-4P=k^2+4\). Comme \(x_1<x_2\) : \(x_1-x_2=-\sqrt{k^2+4}\).

🔢 \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-(k^2+2)\).

🔢 \(x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=-\sqrt{k^2+4}\,(k^2+2-1)=-(k^2+1)\sqrt{k^2+4}\).

🔢 \(x_1^3+x_2^3=S^3-3PS=k^3+3k\).

✅ \(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=-k\) ; \(x_1^2+x_2^2=k^2+2\) ; \(x_1-x_2=-\sqrt{k^2+4}\) ; \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=-k^2-2\) ; \(x_1^3-x_2^3=-(k^2+1)\sqrt{k^2+4}\) ; \(x_1^3+x_2^3=k^3+3k\).

4) On considère \(x^2-\sqrt{11}x+1=0\).
1) Montrer que l’équation admet deux solutions distinctes \(\alpha\) et \(\beta\).
2) Calculer \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\), \(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta\) et \(\alpha^2+\beta^2\).

Correction détaillée

📘 Rappel : si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2+bx+c=0\) : \(S=x_1+x_2=\frac{-b}a\) et \(P=x_1x_2=\frac ca\) ; \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\).

🔢 1) \(\Delta=11-4=7>0\).

🔢 2) \(S=\sqrt{11}\), \(P=1\). \(\alpha^2+\beta^2=S^2-2P=11-2=9\). \(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta=S^2-3P=8\).

✅ \(\alpha+\beta=\sqrt{11}\) ; \(\alpha\beta=1\) ; \(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta=8\) ; \(\alpha^2+\beta^2=9\).

5) On considère \(x^2-\sqrt6x-\sqrt2=0\).
1) Montrer que l’équation admet deux solutions distinctes \(x_1<x_2\).
2) Compléter \(6+4\sqrt2=(\cdots+\cdots)^2\), puis calculer \(x_1\) et \(x_2\).
3) Calculer \((x_1+x_2-x_1x_2)(x_1+x_2+x_1x_2)\).

Correction détaillée

📘 Rappel : si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2+bx+c=0\) : \(S=x_1+x_2=\frac{-b}a\) et \(P=x_1x_2=\frac ca\) ; \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\).

🔢 1) \(ac=-\sqrt2<0\) donc \(\Delta>0\) (ou \(\Delta=6+4\sqrt2>0\)).

🔢 2) \((\sqrt2+2)^2=2+4\sqrt2+4=6+4\sqrt2\). Donc \(\sqrt\Delta=\sqrt2+2\).

🔢 \(x_1=\frac{\sqrt6-(\sqrt2+2)}2=\frac{\sqrt6-\sqrt2-2}2\) et \(x_2=\frac{\sqrt6+\sqrt2+2}2\).

🔢 3) \(S=\sqrt6\), \(P=-\sqrt2\). \((S-P)(S+P)=S^2-P^2=6-2=4\).

✅ \(6+4\sqrt2=(\sqrt2+2)^2\) ; \(x_1=\frac{\sqrt6-\sqrt2-2}2\), \(x_2=\frac{\sqrt6+\sqrt2+2}2\) ; le produit vaut \(4\).

6) Soit \(x^2-7x-3=0\), de racines \(x_1<x_2\).
1) Montrer, sans les calculer, que l’équation admet deux solutions distinctes.
2) Calculer \(A=x_1^2+x_2^2\) et \(B=\dfrac{x_1^3+x_2^3}{x_1x_2}\).

Correction détaillée

📘 Rappel : si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2+bx+c=0\) : \(S=x_1+x_2=\frac{-b}a\) et \(P=x_1x_2=\frac ca\) ; \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\).

🔢 1) \(ac=-3<0\) donc \(\Delta>0\).

🔢 2) \(S=7\), \(P=-3\). \(A=S^2-2P=49+6=55\).

🔢 \(x_1^3+x_2^3=S^3-3PS=343+63=406\). \(B=\frac{406}{-3}\).

✅ \(A=55\) ; \(B=-\dfrac{406}3\).

Exercice 4.1

Former une équation à partir de ses racines

1) Former l’équation du second degré ayant pour racines :
1) \(x_1=-2\) et \(x_2=3\)
2) \(x_1=-\frac12\) et \(x_2=6\)
3) \(x_1=\frac14\) et \(x_2=-\frac34\).

Correction détaillée

📘 Méthode : l’équation est \(x^2-Sx+P=0\) avec \(S=x_1+x_2\) et \(P=x_1x_2\).

🔢 1) \(S=1\), \(P=-6\) : \(x^2-x-6=0\).

🔢 2) \(S=\frac{11}2\), \(P=-3\) : \(x^2-\frac{11}2x-3=0\), soit \(2x^2-11x-6=0\).

🔢 3) \(S=-\frac12\), \(P=-\frac3{16}\) : \(x^2+\frac12x-\frac3{16}=0\), soit \(16x^2+8x-3=0\).

✅ 1) \(x^2-x-6=0\) ; 2) \(2x^2-11x-6=0\) ; 3) \(16x^2+8x-3=0\).

2) Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations du second degré dont la somme des racines est \(S\) et le produit est \(P\) :
1) \(S=4\), \(P=3\)
2) \(S=-2\), \(P=-35\)
3) \(S=-\frac12\), \(P=-\frac3{16}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(x^2-Sx+P=0\).

🔢 1) \(x^2-4x+3=0\) : \(x=1\) ou \(x=3\) (\(1+3=4\), \(1\times3=3\)).

🔢 2) \(x^2+2x-35=0\) : \(x=5\) ou \(x=-7\).

🔢 3) \(x^2+\frac12x-\frac3{16}=0\), soit \(16x^2+8x-3=0\) : \(\Delta=64+192=256\), \(x=\frac{-8\pm16}{32}\) : \(x=\frac14\) ou \(x=-\frac34\).

✅ 1) \(\{1;3\}\) ; 2) \(\{-7;5\}\) ; 3) \(\left\{-\frac34;\frac14\right\}\).

Exercice 4.2

Résoudre des systèmes somme-produit

1) 1) Résoudre \(x^2-5x+6=0\).
2) En déduire les solutions du système \(\begin{cases}2x+3y=5\\xy=1\end{cases}\).

Correction détaillée

🔢 1) \(\Delta=25-24=1\) : \(x=\frac{5\pm1}2\), donc \(x=2\) ou \(x=3\).

🔢 2) On pose \(X=2x\) et \(Y=3y\). Alors \(X+Y=5\) et \(XY=6xy=6\). Donc \(X\) et \(Y\) sont les solutions de \(t^2-5t+6=0\) : \(\{X;Y\}=\{2;3\}\).

🔢 Si \(X=2\) et \(Y=3\) : \(x=1\), \(y=1\). Si \(X=3\) et \(Y=2\) : \(x=\frac32\), \(y=\frac23\). Vérification : \(2\times\frac32+3\times\frac23=5\) et \(\frac32\times\frac23=1\).

✅ 1) \(\{2;3\}\) ; 2) \(S=\left\{(1;1)\,;\left(\frac32;\frac23\right)\right\}\).

2) Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
1) \(\begin{cases}x+y=5\\xy=4\end{cases}\)
2) \(\begin{cases}x+y=-2\\xy=-3\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont les racines de \(t^2-St+P=0\).

🔢 1) \(t^2-5t+4=0\) : \(t=1\) ou \(t=4\). Donc \((x;y)=(1;4)\) ou \((4;1)\).

🔢 2) \(t^2+2t-3=0\) : \(\Delta=16\), \(t=1\) ou \(t=-3\). Donc \((x;y)=(1;-3)\) ou \((-3;1)\).

✅ 1) \(S=\{(1;4);(4;1)\}\) ; 2) \(S=\{(1;-3);(-3;1)\}\)

Exercice 5.1

Signe d’un quotient de trinômes

1) Étudier le signe de \(Q(x)\) :
1) \(Q(x)=\frac{6x^2-13x-5}{2x-6}\)
2) \(Q(x)=\frac{-2x^2-7x+4}{x^2-3x-4}\)
3) \(Q(x)=\frac{-3x^2+5x-4}{(x-1)(x+3)}\)

Correction détaillée

📘 Règle : un trinôme \(ax^2+bx+c\) est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines (si elles existent) et du signe de \(-a\) entre les racines ; si \(\Delta<0\) il a le signe de \(a\) pour tout \(x\).

🔢 1) Numérateur : \(\Delta=169+120=289=17^2\), racines \(x=\frac{13\pm17}{12}\), soit \(-\frac13\) et \(\frac52\) ; \(a=6>0\) donc positif à l’extérieur des racines. Dénominateur : \(2x-6=0\iff x=3\) (valeur interdite) ; positif pour \(x>3\). Tableau : sur \(]-\infty,-\frac13[\) : \((+)/(-)\), donc \(Q<0\) ; sur \(]-\frac13,\frac52[\) : \((-)/(-)\), donc \(Q>0\) ; sur \(]\frac52,3[\) : \((+)/(-)\), donc \(Q<0\) ; sur \(]3,+\infty[\) : \((+)/(+)\), donc \(Q>0\).

🔢 2) Numérateur : \(\Delta=49+32=81\), racines \(x=\frac{7\pm9}{-4}\), soit \(-4\) et \(\frac12\) ; \(a=-2<0\) donc négatif à l’extérieur des racines. Dénominateur : \(x^2-3x-4=(x+1)(x-4)\), valeurs interdites \(-1\) et \(4\) ; positif à l’extérieur. Tableau : \(]-\infty,-4[\) : \((-)/(+)\), donc \(Q<0\) ; \(]-4,-1[\) : \((+)/(+)\), donc \(Q>0\) ; \(]-1,\frac12[\) : \((+)/(-)\), donc \(Q<0\) ; \(]\frac12,4[\) : \((-)/(-)\), donc \(Q>0\) ; \(]4,+\infty[\) : \((-)/(+)\), donc \(Q<0\).

🔢 3) Numérateur : \(\Delta=25-48=-23<0\) et \(a=-3<0\), donc le numérateur est strictement négatif pour tout \(x\). Le signe de \(Q\) est donc l’opposé de celui de \((x-1)(x+3)\), positif à l’extérieur de \(-3\) et \(1\). Donc \((x-1)(x+3)>0\) sur \(]-\infty,-3[\cup]1,+\infty[\) (alors \(Q<0\)) et \((x-1)(x+3)<0\) sur \(]-3,1[\) (alors \(Q>0\)).

✅ 1) \(Q\ge0\text{ sur }\left[-\tfrac13,\tfrac52\right]\cup]3,+\infty[\ ;\ Q<0\text{ sur }\left]-\infty,-\tfrac13\right[\cup\left]\tfrac52,3\right[\ ;\ Q(-\tfrac13)=Q(\tfrac52)=0\) ; 2) \(Q>0\text{ sur }]-4,-1[\cup\left]\tfrac12,4\right[\ ;\ Q<0\text{ sur }]-\infty,-4[\cup\left]-1,\tfrac12\right[\cup]4,+\infty[\ ;\ Q(-4)=Q(\tfrac12)=0\) ; 3) \(Q<0\text{ sur }]-\infty,-3[\cup]1,+\infty[\ ;\ Q>0\text{ sur }]-3,1[\)

Exercice 6.1

Inéquations avec un trinôme

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(2x^2+x-1\ge0\)
2) \(2x^2-2\sqrt2x+1\ge0\)
3) \(-2x^2+7x-11<0\)

Correction détaillée

🔢 1) \(2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)\), racines \(-1\) et \(\frac12\) ; positif à l’extérieur.

🔢 2) \(\Delta=8-8=0\) : \(2x^2-2\sqrt2x+1=\left(\sqrt2x-1\right)^2\ge0\) pour tout \(x\).

🔢 3) \(\Delta=49-88<0\), \(a<0\) : strictement négatif pour tout \(x\).

✅ 1) \(S=]-\infty,-1]\cup\left[\tfrac12,+\infty\right[\) ; 2) \(S=\mathbb R\) ; 3) \(S=\mathbb R\)

2) 4) \(6x^2+\frac32x+1\le0\)
5) \(5x^2-2\sqrt5x+1\ge0\)
6) \(-2x^2+5x-3>0\)

Correction détaillée

🔢 4) \(\Delta=\frac94-24<0\), \(a>0\) : strictement positif pour tout \(x\).

🔢 5) \(5x^2-2\sqrt5x+1=\left(\sqrt5x-1\right)^2\ge0\) pour tout \(x\).

🔢 6) \(\Delta=25-24=1\), racines \(1\) et \(\frac32\) ; \(a<0\) : positif entre les racines.

✅ 4) \(S=\varnothing\) ; 5) \(S=\mathbb R\) ; 6) \(S=\left]1,\tfrac32\right[\)

3) 7) \(3x^2+5x-3<0\)
8) \(x^2+(\sqrt3-\sqrt2)x-\sqrt6>0\)
9) \(2x^2-6\sqrt2x+9\le0\)
10) \(2x^2-6\sqrt2x+10<0\)

Correction détaillée

🔢 7) \(\Delta=25+36=61\), racines \(\frac{-5\pm\sqrt{61}}6\) ; \(a>0\) : négatif entre les racines.

🔢 8) \(x^2+(\sqrt3-\sqrt2)x-\sqrt6=(x+\sqrt3)(x-\sqrt2)\), racines \(-\sqrt3\) et \(\sqrt2\) ; positif à l’extérieur.

🔢 9) \(2x^2-6\sqrt2x+9=\left(\sqrt2x-3\right)^2\le0\iff\sqrt2x=3\iff x=\frac{3\sqrt2}2\).

🔢 10) \(\Delta=72-80=-8<0\), \(a>0\) : strictement positif pour tout \(x\).

✅ 7) \(S=\left]\tfrac{-5-\sqrt{61}}6,\tfrac{-5+\sqrt{61}}6\right[\) ; 8) \(S=]-\infty,-\sqrt3[\cup]\sqrt2,+\infty[\) ; 9) \(S=\left\{\tfrac{3\sqrt2}2\right\}\) ; 10) \(S=\varnothing\)

4) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(3x^2+6x-9>0\)
2) \(x^2+3x-5<-x+2\)
3) \(\frac1{x^2-x-6}\ge2\)

Correction détaillée

🔢 1) \(3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)\), racines \(-3\) et \(1\) ; positif à l’extérieur.

🔢 2) \(x^2+4x-7<0\). \(\Delta=16+28=44\), racines \(-2\pm\sqrt{11}\) ; négatif entre les racines.

🔢 3) \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\), \(x\ne3\), \(x\ne-2\). \(\frac{1-2(x^2-x-6)}{x^2-x-6}\ge0\iff\frac{-2x^2+2x+13}{(x-3)(x+2)}\ge0\). Numérateur : \(\Delta=108\), racines \(r_1=\frac{1-3\sqrt3}2\) et \(r_2=\frac{1+3\sqrt3}2\) (environ \(-2{,}10\) et \(3{,}10\)), positif entre elles. Dénominateur positif pour \(x<-2\) ou \(x>3\). Quotient positif sur \([r_1,-2[\) et sur \(]3,r_2]\).

✅ 1) \(S=]-\infty,-3[\cup]1,+\infty[\) ; 2) \(S=]-2-\sqrt{11},-2+\sqrt{11}[\) ; 3) \(S=\left[\tfrac{1-3\sqrt3}2,-2\right[\cup\left]3,\tfrac{1+3\sqrt3}2\right]\)

5) 4) \(2x^2-4x+6\ge0\)
5) \(4x^2-8x+3\le0\)
6) \(x^2-3x-10<0\)

Correction détaillée

🔢 4) \(\Delta=16-48<0\), \(a>0\) : strictement positif pour tout \(x\).

🔢 5) \(4x^2-8x+3=(2x-1)(2x-3)\), racines \(\frac12\) et \(\frac32\) ; négatif entre les racines.

🔢 6) \(x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\), racines \(-2\) et \(5\) ; négatif entre les racines.

✅ 4) \(S=\mathbb R\) ; 5) \(S=\left[\tfrac12,\tfrac32\right]\) ; 6) \(S=]-2,5[\)

6) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(-5x^2+3x-2>0\)
2) \(-x^2+4x+5\ge0\)
3) \(\frac{x^2-x-4}{2x^2-x-3}>2\)

Correction détaillée

🔢 1) \(\Delta=9-40=-31<0\) et \(a=-5<0\) : le trinôme est strictement négatif pour tout \(x\).

🔢 2) \(\Delta=16+20=36\), racines \(-1\) et \(5\) ; \(a<0\) : positif entre les racines.

🔢 3) On passe tout à gauche : \(\frac{-3x^2+x+2}{2x^2-x-3}>0\). Numérateur : racines \(-\frac23\) et \(1\), \(-3x^2+x+2=-(3x+2)(x-1)\) ; dénominateur \((2x-3)(x+1)\), racines \(-1\) et \(\frac32\). Le quotient est positif sur \(]-1,-\frac23[\) et sur \(]1,\frac32[\).

✅ 1) \(S=\varnothing\) ; 2) \(S=[-1,5]\) ; 3) \(S=\left]-1,-\tfrac23\right[\cup\left]1,\tfrac32\right[\)

7) 4) \(3x+\frac1{2x}\le\frac52\)
5) \((x-5)(x^2-12x+24)\ge0\)
6) \(\frac1{x-2}+\frac1{x+2}\ge\frac65\)
7) \((3x+2)^2\le(x^2+6x+2)^2\)

Correction détaillée

🔢 4) \(x\ne0\). \(\frac{6x^2-5x+1}{2x}\le0\) avec \(6x^2-5x+1=(2x-1)(3x-1)\). Racines \(\frac13\) et \(\frac12\). Sur \(]-\infty,0[\) : \((+)/(-)<0\) ; sur \(]0,\frac13[\) : \((+)/(+)>0\) ; sur \(]\frac13,\frac12[\) : \((-)/(+)<0\) ; sur \(]\frac12,+\infty[\) : \(>0\).

🔢 5) \(\Delta’=36-24=12\), racines \(6\pm2\sqrt3\) (environ \(2{,}54\) et \(9{,}46\)). Ordre : \(6-2\sqrt3<5<6+2\sqrt3\). Le produit de trois facteurs du premier degré, de coefficient dominant positif, est positif sur \([6-2\sqrt3,5]\) et sur \([6+2\sqrt3,+\infty[\).

🔢 6) \(x\ne\pm2\). \(\frac{2x}{x^2-4}-\frac65\ge0\iff\frac{-6x^2+10x+24}{5(x^2-4)}\ge0\). Numérateur : \(3x^2-5x-12=0\), \(\Delta=169\), racines \(3\) et \(-\frac43\) ; il est positif entre elles. Dénominateur positif pour \(|x|>2\). Quotient positif sur \(]-2,-\frac43]\) et sur \(]2,3]\).

🔢 7) \((x^2+6x+2)^2-(3x+2)^2\ge0\iff(x^2+9x+4)(x^2+3x)\ge0\). Racines de \(x^2+9x+4\) : \(\Delta=65\), \(\frac{-9\pm\sqrt{65}}2\) ; racines de \(x^2+3x=x(x+3)\) : \(-3\) et \(0\). Ordre : \(\frac{-9-\sqrt{65}}2<-3<\frac{-9+\sqrt{65}}2<0\). Le produit est positif sur \(]-\infty,\frac{-9-\sqrt{65}}2]\), sur \([-3,\frac{-9+\sqrt{65}}2]\) et sur \([0,+\infty[\).

✅ 4) \(S=]-\infty,0[\cup\left[\tfrac13,\tfrac12\right]\) ; 5) \(S=[6-2\sqrt3,5]\cup[6+2\sqrt3,+\infty[\) ; 6) \(S=\left]-2,-\tfrac43\right]\cup]2,3]\) ; 7) \(S=\left]-\infty,\tfrac{-9-\sqrt{65}}2\right]\cup\left[-3,\tfrac{-9+\sqrt{65}}2\right]\cup[0,+\infty[\)

Exercice 6.2

Changement de variable et domaine de définition

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(-3x^4+5x^2+2>0\)
2) \(2x^2-7|x|+3\le0\)
3) \(\frac2{x^2}-\frac7x+3\ge0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on factorise, on place les racines sur une droite, on applique la règle des signes de chaque facteur puis on conclut.

🔢 1) On pose \(t=x^2\ge0\) : \(-3t^2+5t+2>0\), racines \(2\) et \(-\frac13\), positif entre elles. Avec \(t\ge0\) : \(0\le t<2\), soit \(x^2<2\).

🔢 2) On pose \(t=|x|\ge0\) : \(2t^2-7t+3=(2t-1)(t-3)\le0\iff\frac12\le t\le3\). Donc \(\frac12\le|x|\le3\).

🔢 3) \(x\ne0\). On multiplie par \(x^2>0\) : \(3x^2-7x+2\ge0\), soit \((3x-1)(x-2)\ge0\), donc \(x\le\frac13\) ou \(x\ge2\), avec \(x\ne0\).

✅ 1) \(S=]-\sqrt2,\sqrt2[\) ; 2) \(S=[-3,-\tfrac12]\cup\left[\tfrac12,3\right]\) ; 3) \(S=]-\infty,0[\cup\left]0,\tfrac13\right]\cup[2,+\infty[\)

2) 4) \(\sqrt{4x+1}-x+5\ge0\)
5) \(\frac{-3x}{2x-1}\ge\frac2{x-3}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on factorise, on place les racines sur une droite, on applique la règle des signes de chaque facteur puis on conclut.

🔢 4) Domaine : \(x\ge-\frac14\). L’inéquation s’écrit \(\sqrt{4x+1}\ge x-5\). Si \(x<5\), le second membre est négatif : vrai. Si \(x\ge5\), on élève au carré : \(4x+1\ge x^2-10x+25\iff x^2-14x+24\le0\iff2\le x\le12\), donc \(x\in[5,12]\). Réunion : \([-\frac14,5[\cup[5,12]\).

🔢 5) \(x\ne\frac12\) et \(x\ne3\). \(\frac{-3x(x-3)-2(2x-1)}{(2x-1)(x-3)}\ge0\iff\frac{-3x^2+5x+2}{(2x-1)(x-3)}\ge0\). Numérateur : racines \(-\frac13\) et \(2\), positif entre elles. Dénominateur positif sur \(]-\infty,\frac12[\) et \(]3,+\infty[\). Quotient positif sur \(\left[-\frac13,\frac12\right[\) et sur \([2,3[\).

✅ 4) \(S=\left[-\tfrac14,12\right]\) ; 5) \(S=\left[-\tfrac13,\tfrac12\right[\cup[2,3[\)

Exercice 6.3

Polynômes de degré 3 et 4

1) On considère \(P(x)=-2x^3+x^2+15x-18\).
1) Trouver \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-2)Q(x)\).
2) Résoudre \(-2x^2-3x+9=0\).
3) Résoudre \(P(x)\le0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on factorise, on place les racines sur une droite, on applique la règle des signes de chaque facteur puis on conclut.

🔢 1) \(P(2)=-16+4+30-18=0\). Par division : \(P(x)=(x-2)(-2x^2-3x+9)\), donc \(Q(x)=-2x^2-3x+9\).

🔢 2) \(\Delta=9+72=81\), \(x=\frac{3\pm9}{-4}\) : \(x=-3\) ou \(x=\frac32\). Donc \(Q(x)=-2(x+3)\left(x-\frac32\right)\).

🔢 3) \(Q\ge0\) sur \(\left[-3,\frac32\right]\) et \(Q<0\) ailleurs ; \(x-2<0\) pour \(x<2\). Sur \(]-\infty,-3[\) : \(P>0\) ; sur \(\left]-3,\frac32\right[\) : \(P<0\) ; sur \(\left]\frac32,2\right[\) : \(P>0\) ; sur \(]2,+\infty[\) : \(P<0\). Donc \(P\le0\) sur \(\left[-3,\frac32\right]\cup[2,+\infty[\).

✅ 1) \(Q(x)=-2x^2-3x+9\) ; 2) \(S=\left\{-3;\frac32\right\}\) ; 3) \(S=\left[-3,\frac32\right]\cup[2,+\infty[\)

2) 4) Résoudre \(-2|x|^3+x^2+15|x|-18=0\).
5) Résoudre \(\frac{P(x)}{x-1}>0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on factorise, on place les racines sur une droite, on applique la règle des signes de chaque facteur puis on conclut.

🔢 4) On pose \(t=|x|\ge0\) : l’équation devient \(P(t)=0\), soit \(t=2\), \(t=\frac32\) ou \(t=-3\). Comme \(t\ge0\), \(t=-3\) est rejeté. Donc \(|x|=2\) ou \(|x|=\frac32\).

🔢 5) \(x\ne1\). Signes de \(P\) : \(>0\) sur \(]-\infty,-3[\) et \(\left]\frac32,2\right[\), \(<0\) ailleurs (hors racines). Signe de \(x-1\) : négatif avant 1, positif après. Sur \(]-\infty,-3[\) : \(\frac{+}{-}<0\) ; sur \(]-3,1[\) : \(\frac{-}{-}>0\) ; sur \(\left]1,\frac32\right[\) : \(\frac{-}{+}<0\) ; sur \(\left]\frac32,2\right[\) : \(\frac{+}{+}>0\) ; sur \(]2,+\infty[\) : \(\frac{-}{+}<0\).

✅ 4) \(S=\left\{-2;-\frac32;\frac32;2\right\}\) ; 5) \(S=]-3,1[\cup\left]\frac32,2\right[\).

3) On considère \(P(x)=6x^3-13x^2+4\).
1) Montrer que \(2\) est racine de \(P\).
2) Résoudre \(P(x)=0\), puis \(P(x)\le0\).
3) Résoudre \(P(x)\le3x^2(x-2)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on factorise, on place les racines sur une droite, on applique la règle des signes de chaque facteur puis on conclut.

🔢 1) \(P(2)=48-52+4=0\), donc \(2\) est racine.

🔢 2) Division par \(x-2\) : \(P(x)=(x-2)(6x^2-x-2)\). Pour \(6x^2-x-2\) : \(\Delta=1+48=49\), racines \(\frac{1\pm7}{12}\), soit \(\frac23\) et \(-\frac12\). Donc \(P(x)=(x-2)(3x-2)(2x+1)\) et \(P(x)=0\iff x\in\left\{-\frac12;\frac23;2\right\}\).

🔢 Le coefficient dominant est positif : \(P<0\) sur \(]-\infty,-\frac12[\), \(P>0\) sur \(\left]-\frac12,\frac23\right[\), \(P<0\) sur \(\left]\frac23,2\right[\), \(P>0\) sur \(]2,+\infty[\). Donc \(P\le0\) sur \(\left]-\infty,-\frac12\right]\cup\left[\frac23,2\right]\).

🔢 3) \(P(x)\le3x^2(x-2)\iff6x^3-13x^2+4-3x^3+6x^2\le0\iff3x^3-7x^2+4\le0\). Racine évidente \(1\) : \(3x^3-7x^2+4=(x-1)(3x^2-4x-4)=(x-1)(x-2)(3x+2)\), de racines \(-\frac23\), \(1\), \(2\). Le coefficient dominant est positif, donc le produit est \(\le0\) sur \(\left]-\infty,-\frac23\right]\) et sur \([1,2]\).

✅ 2) \(S=\left\{-\frac12;\frac23;2\right\}\) puis \(P\le0\) sur \(\left]-\infty,-\frac12\right]\cup\left[\frac23,2\right]\) ; 3) \(S=\left]-\infty,-\frac23\right]\cup[1,2]\).

4) On considère \(P(x)=x^4+6x^3+11x^2+6x\).
1) Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x+1\).
2) Écrire \(P(x)\) sous forme d’un produit de deux polynômes du premier degré et d’un polynôme du second degré.
3) Résoudre \(x^2+5x+6=0\).
4) Résoudre \(P(x)\le0\) et \(P(x)\le x(x^2+5x+6)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on factorise, on place les racines sur une droite, on applique la règle des signes de chaque facteur puis on conclut.

🔢 1) \(P(-1)=1-6+11-6=0\), donc \(P\) est divisible par \(x+1\).

🔢 2) \(P(x)=x(x^3+6x^2+11x+6)=x(x+1)(x^2+5x+6)\).

🔢 3) \(\Delta=25-24=1\), \(x=\frac{-5\pm1}2\) : \(x=-2\) ou \(x=-3\). Donc \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\) et \(P(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)\).

🔢 4) Racines de \(P\) : \(-3,-2,-1,0\), coefficient dominant positif : \(P>0\) sur \(]-\infty,-3[\), \(P<0\) sur \(]-3,-2[\), \(P>0\) sur \(]-2,-1[\), \(P<0\) sur \(]-1,0[\), \(P>0\) sur \(]0,+\infty[\). Donc \(P\le0\) sur \([-3,-2]\cup[-1,0]\).

🔢 \(P(x)\le x(x^2+5x+6)\iff x(x^2+5x+6)(x+1)-x(x^2+5x+6)\le0\iff x^2(x+2)(x+3)\le0\). Soit \(x=0\), soit \((x+2)(x+3)\le0\), c’est-à-dire \(x\in[-3,-2]\).

✅ 2) \(P(x)=x(x+1)(x^2+5x+6)\) ; 3) \(S=\{-3;-2\}\) ; 4) \(P\le0\) sur \([-3,-2]\cup[-1,0]\) ; \(P(x)\le x(x^2+5x+6)\) sur \([-3,-2]\cup\{0\}\).

Exercice 6.4

Équations et inéquations avec un quotient

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \((x-1)^2=9\)
2) \((x-1)^2\le9\)
3) \(\frac{x-1}x=\frac23\)
4) \(\frac{x-1}x\le\frac23\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on factorise, on place les racines sur une droite, on applique la règle des signes de chaque facteur puis on conclut.

🔢 1) \(x-1=3\) ou \(x-1=-3\), donc \(x=4\) ou \(x=-2\).

🔢 2) \(|x-1|\le3\iff-3\le x-1\le3\iff-2\le x\le4\).

🔢 3) \(x\ne0\). \(3(x-1)=2x\iff x=3\).

🔢 4) \(x\ne0\). \(\frac{3x-3-2x}{3x}\le0\iff\frac{x-3}{3x}\le0\). Racines \(0\) (exclue) et \(3\) : le quotient est négatif entre elles.

✅ 1) \(S=\{-2;4\}\) ; 2) \(S=[-2,4]\) ; 3) \(S=\{3\}\) ; 4) \(S=]0,3]\)