Équations et inéquations du premier degré exercices Tronc Commun

Exercice 1.1

Équations de base

1) Résoudre dans \(\mathbf R\) :
1) \(-2x+22=0\)
2) \(3(2x+5)=6x-1\)
3) \(4(x-2)=6x-2(x+4)\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on isole \(x\) ; si le coefficient de \(x\) est nul, l’équation est soit impossible (\(0=k\), \(k\ne0\)) soit toujours vraie (\(0=0\)). Pour un quotient, on exclut d’abord les valeurs interdites.

🔢 1) \(-2x=-22\), donc \(x=11\).

🔢 2) \(6x+15=6x-1\iff15=-1\) : impossible.

🔢 3) \(4x-8=6x-2x-8=4x-8\) : l’égalité est vraie pour tout \(x\).

✅ 1) \(S=\{11\}\) ; 2) \(S=\varnothing\) ; 3) \(S=\mathbf R\)

2) 4) \((2x+3)^2-(2x+3)(x-4)=0\)
5) \(x^2-100=0\)
6) \(\frac3{x+2}-\frac5{x-2}=0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on isole \(x\) ; si le coefficient de \(x\) est nul, l’équation est soit impossible (\(0=k\), \(k\ne0\)) soit toujours vraie (\(0=0\)). Pour un quotient, on exclut d’abord les valeurs interdites.

🔢 4) On factorise : \((2x+3)\left[(2x+3)-(x-4)\right]=(2x+3)(x+7)=0\), donc \(x=-\frac32\) ou \(x=-7\).

🔢 5) \(x^2=100\), donc \(x=10\) ou \(x=-10\).

🔢 6) \(x\ne\pm2\). \(3(x-2)=5(x+2)\iff3x-6=5x+10\iff x=-8\) (valeur autorisée).

✅ 4) \(S=\left\{-7;-\tfrac32\right\}\) ; 5) \(S=\{-10;10\}\) ; 6) \(S=\{-8\}\)

3) 7) \(\frac{(x-7)(x+3)}{x^2-9}=0\)
8) \(\frac{4x+2}{x-3}=5\)
9) \(|7x-10|=6+3x\)
10) \(x^3-7x=0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on isole \(x\) ; si le coefficient de \(x\) est nul, l’équation est soit impossible (\(0=k\), \(k\ne0\)) soit toujours vraie (\(0=0\)). Pour un quotient, on exclut d’abord les valeurs interdites.

🔢 7) \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), donc \(x\ne\pm3\). Le numérateur s’annule pour \(x=7\) ou \(x=-3\) ; \(-3\) est interdit.

🔢 8) \(x\ne3\). \(4x+2=5(x-3)\iff4x+2=5x-15\iff x=17\).

🔢 9) Il faut \(6+3x\ge0\), soit \(x\ge-2\). Cas 1 : \(7x-10=6+3x\iff x=4\). Cas 2 : \(7x-10=-6-3x\iff10x=4\iff x=\frac25\). Les deux valeurs conviennent.

🔢 10) \(x(x^2-7)=0\), donc \(x=0\) ou \(x=\pm\sqrt7\).

✅ 7) \(S=\{7\}\) ; 8) \(S=\{17\}\) ; 9) \(S=\left\{\tfrac25;4\right\}\) ; 10) \(S=\{-\sqrt7;0;\sqrt7\}\)

4) Résoudre dans \(\mathbf R\) :
1) \(\frac{3x+5}{x-1}=0\)
2) \(\frac{(2x+1)(x-3)}{x-4}=0\)
3) \(\frac{x^2-9}{x+3}=0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul ; un quotient est nul si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.

🔢 1) \(x\ne1\). \(3x+5=0\iff x=-\frac53\).

🔢 2) \(x\ne4\). \(2x+1=0\) ou \(x-3=0\) : \(x=-\frac12\) ou \(x=3\).

🔢 3) \(x\ne-3\). \(x^2-9=0\iff x=\pm3\), et \(-3\) est interdit.

✅ 1) \(S=\left\{-\tfrac53\right\}\) ; 2) \(S=\left\{-\tfrac12;3\right\}\) ; 3) \(S=\{3\}\)

Exercice 1.2

Équations avec factorisation

1) Résoudre dans \(\mathbf R\) :
1) \((3x-5)\left(\tfrac12x^2+7x+3\right)=(3x-5)^2\)
2) \(\frac1{2-x}=\frac x{x^2-4}\)
3) \(\frac5{(3x-2)^2}+64=x^2-(x+8)(x-8)\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on isole \(x\) ; si le coefficient de \(x\) est nul, l’équation est soit impossible (\(0=k\), \(k\ne0\)) soit toujours vraie (\(0=0\)). Pour un quotient, on exclut d’abord les valeurs interdites.

🔢 1) On met tout à gauche et on factorise : \((3x-5)\left[\tfrac12x^2+7x+3-(3x-5)\right]=(3x-5)\left(\tfrac12x^2+4x+8\right)=0\). Or \(\tfrac12x^2+4x+8=\tfrac12(x+4)^2\). Donc \(x=\frac53\) ou \(x=-4\).

🔢 2) \(x\ne\pm2\). Comme \(\frac1{2-x}=\frac{-1}{x-2}=\frac{-(x+2)}{x^2-4}\), l’équation devient \(-(x+2)=x\iff x=-1\).

🔢 3) \(x\ne\frac23\). Le second membre vaut \(x^2-(x^2-64)=64\). Il reste \(\frac5{(3x-2)^2}=0\) : impossible.

✅ 1) \(S=\left\{-4;\tfrac53\right\}\) ; 2) \(S=\{-1\}\) ; 3) \(S=\varnothing\)

2) Résoudre dans \(\mathbf R\) :
1) \(\frac{x^2-x-1}{x+2}=2x+3\)
2) \(\frac{4x-1}{x+3}=\frac{8-5x}{5x-1}\)
3) \(x^4-13x^2+36=0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on isole \(x\) ; si le coefficient de \(x\) est nul, l’équation est soit impossible (\(0=k\), \(k\ne0\)) soit toujours vraie (\(0=0\)). Pour un quotient, on exclut d’abord les valeurs interdites.

🔢 1) \(x\ne-2\). \(x^2-x-1=(2x+3)(x+2)=2x^2+7x+6\iff x^2+8x+7=0\iff(x+1)(x+7)=0\).

🔢 2) \(x\ne-3\) et \(x\ne\frac15\). Produit en croix : \((4x-1)(5x-1)=(8-5x)(x+3)\iff20x^2-9x+1=-5x^2-7x+24\iff25x^2-2x-23=0\). \(\Delta=2304=48^2\), \(x=\frac{2\pm48}{50}\) : \(x=1\) ou \(x=-\frac{23}{25}\).

🔢 3) On pose \(t=x^2\) : \(t^2-13t+36=0\), \(\Delta=25\), \(t=4\) ou \(t=9\). Donc \(x=\pm2\) ou \(x=\pm3\).

✅ 1) \(S=\{-7;-1\}\) ; 2) \(S=\left\{-\tfrac{23}{25};1\right\}\) ; 3) \(S=\{-3;-2;2;3\}\)

3) 4) \(x^6-8x^3=0\)
5) \(\left(\frac{3-4x}5\right)^2-2(3-4x)+25=0\)
6) \(\frac{3x-4}{x-2}-\frac{6(x-2)}{3x+4}=1\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on isole \(x\) ; si le coefficient de \(x\) est nul, l’équation est soit impossible (\(0=k\), \(k\ne0\)) soit toujours vraie (\(0=0\)). Pour un quotient, on exclut d’abord les valeurs interdites.

🔢 4) \(x^3(x^3-8)=0\iff x=0\) ou \(x^3=8\iff x=2\).

🔢 5) On pose \(u=3-4x\) : \(\frac{u^2}{25}-2u+25=0\iff u^2-50u+625=0\iff(u-25)^2=0\iff u=25\). Donc \(3-4x=25\iff x=-\frac{11}2\).

🔢 6) \(x\ne2\) et \(x\ne-\frac43\). On réduit : \((3x-4)(3x+4)-6(x-2)^2=(x-2)(3x+4)\iff3x^2+24x-40=3x^2-2x-8\iff26x=32\iff x=\frac{16}{13}\).

✅ 4) \(S=\{0;2\}\) ; 5) \(S=\left\{-\tfrac{11}2\right\}\) ; 6) \(S=\left\{\tfrac{16}{13}\right\}\)

Exercice 1.3

Équations avec paramètre

1) Résoudre dans \(\mathbf R\) suivant les valeurs du paramètre \(m\) :
1) \(mx-3-x=0\)
2) \(mx+m-1=2x\)
3) \(mx^2-(3+m^2)x+3m=0\)
4) \(mx^2+(2m-1)x-2=0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on isole \(x\) ; si le coefficient de \(x\) est nul, l’équation est soit impossible (\(0=k\), \(k\ne0\)) soit toujours vraie (\(0=0\)). Pour un quotient, on exclut d’abord les valeurs interdites.

🔢 1) \((m-1)x=3\). Si \(m\ne1\) : \(x=\frac3{m-1}\). Si \(m=1\) : \(0=3\), impossible.

🔢 2) \((m-2)x=1-m\). Si \(m\ne2\) : \(x=\frac{1-m}{m-2}\). Si \(m=2\) : \(0=-1\), impossible.

🔢 3) \(mx^2-(3+m^2)x+3m=(x-m)(mx-3)\). Si \(m=0\) : \(-3x=0\iff x=0\). Si \(m\ne0\) : \(x=m\) ou \(x=\frac3m\) ; ces deux valeurs coïncident si \(m^2=3\), c’est-à-dire \(m=\pm\sqrt3\).

🔢 4) \(mx^2+(2m-1)x-2=(mx-1)(x+2)\). Si \(m=0\) : \(-x-2=0\iff x=-2\). Si \(m\ne0\) : \(x=\frac1m\) ou \(x=-2\) ; elles coïncident si \(\frac1m=-2\), c’est-à-dire \(m=-\frac12\).

✅ 1) \(m\ne1:\ S=\left\{\tfrac3{m-1}\right\}\ ;\ m=1:\ S=\varnothing\) ; 2) \(m\ne2:\ S=\left\{\tfrac{1-m}{m-2}\right\}\ ;\ m=2:\ S=\varnothing\) ; 3) \(m=0:\ S=\{0\}\ ;\ m\ne0:\ S=\left\{m;\tfrac3m\right\}\ (\text{une seule solution si }m=\pm\sqrt3)\) ; 4) \(m=0:\ S=\{-2\}\ ;\ m\ne0:\ S=\left\{\tfrac1m;-2\right\}\ (\text{une seule solution si }m=-\tfrac12)\)

2) Trouver la valeur de \(a\) pour que les équations \(x^2+x+a=0\) et \(x^2+ax+1=0\) aient une racine commune.

Correction détaillée

📘 Idée : une racine commune annule la différence des deux équations.

🔢 Soit \(r\) une racine commune : \(r^2+r+a=0\) et \(r^2+ar+1=0\). On soustrait : \((1-a)r+(a-1)=0\iff(1-a)(r-1)=0\).

🔢 Si \(a=1\), les deux équations sont identiques : \(x^2+x+1=0\), de discriminant \(-3<0\), sans racine réelle : ce cas est rejeté.

🔢 Sinon \(r=1\). En remplaçant dans \(x^2+x+a=0\) : \(1+1+a=0\iff a=-2\). Vérification : \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\) et \(x^2-2x+1=(x-1)^2\) ont bien la racine \(1\) en commun.

✅ \(a=-2\) (racine commune \(1\)).

Exercice 2.1

Inéquation avec quotient

1) Résoudre dans \(\mathbf R\) : \(\dfrac{2x^2+x-10}{x^2-4}\le3\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on se ramène à \(f(x)\le0\), on factorise puis on étudie le signe de chaque facteur.

🔢 Conditions : \(x^2-4\ne0\), donc \(x\ne\pm2\).

🔢 On met tout à gauche : \(\frac{2x^2+x-10-3(x^2-4)}{x^2-4}\le0\iff\frac{-x^2+x+2}{x^2-4}\le0\).

🔢 Factorisation : \(-x^2+x+2=-(x-2)(x+1)\) et \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Pour \(x\ne2\), le quotient vaut \(-\frac{x+1}{x+2}\), donc on cherche \(\frac{x+1}{x+2}\ge0\).

🔢 Signes : \(x+1\) s’annule en \(-1\), \(x+2\) en \(-2\). Sur \(]-\infty,-2[\) : \((-)/(-)>0\) ; sur \(]-2,-1[\) : \((-)/(+)<0\) ; sur \([-1,+\infty[\) : \(\ge0\). On exclut \(-2\) et \(2\).

✅ \(S=]-\infty,-2[\cup[-1,2[\cup]2,+\infty[\).

Exercice 3.1

Signe d’un binôme

1) Étudier le signe de \(3x+6\) et de \(-2x+12\).

Correction détaillée

📘 Règle : \(ax+b\) s’annule en \(x_0=-\frac ba\) ; il est du signe de \(a\) pour \(x>x_0\) et du signe de \(-a\) pour \(x<x_0\).

🔢 \(3x+6=0\iff x=-2\) ; \(a=3>0\) : \(3x+6<0\) pour \(x<-2\), \(=0\) pour \(x=-2\), \(>0\) pour \(x>-2\).

🔢 \(-2x+12=0\iff x=6\) ; \(a=-2<0\) : \(-2x+12>0\) pour \(x<6\), \(=0\) pour \(x=6\), \(<0\) pour \(x>6\).

✅ \(3x+6\) : négatif sur \(]-\infty,-2[\), positif sur \(]-2,+\infty[\) ; \(-2x+12\) : positif sur \(]-\infty,6[\), négatif sur \(]6,+\infty[\).

Exercice 3.2

Inéquations et tableaux de signes

1) Résoudre dans \(\mathbf R\) :
1) \(-2x+12>0\)
2) \(5x-15\le0\)
3) \(4x^2-9\ge0\)

Correction détaillée

📘 Règle : \(ax+b\) s’annule en \(x_0=-\frac ba\) ; il est du signe de \(a\) pour \(x>x_0\) et du signe de \(-a\) pour \(x<x_0\).

🔢 1) \(-2x>-12\iff x<6\).

🔢 2) \(5x\le15\iff x\le3\).

🔢 3) \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\), racines \(-\frac32\) et \(\frac32\) ; positif à l’extérieur des racines.

✅ 1) \(S=]-\infty,6[\) ; 2) \(S=]-\infty,3]\) ; 3) \(S=\left]-\infty,-\tfrac32\right]\cup\left[\tfrac32,+\infty\right[\)

2) 4) \((1-x)(2x+4)>0\)
5) \(\frac{5x-2}{1+3x}\ge0\)
6) \(\frac{(2x+1)(5x-10)}{2x-6}\le0\)

Correction détaillée

📘 Règle : \(ax+b\) s’annule en \(x_0=-\frac ba\) ; il est du signe de \(a\) pour \(x>x_0\) et du signe de \(-a\) pour \(x<x_0\).

🔢 4) \(1-x>0\iff x<1\) ; \(2x+4>0\iff x>-2\). Le produit est positif lorsque les deux facteurs ont le même signe : \(-2<x<1\).

🔢 5) \(x\ne-\frac13\). Zéros : \(\frac25\) (numérateur). Sur \(]-\infty,-\frac13[\) : \((-)/(-)>0\) ; sur \(]-\frac13,\frac25[\) : \((-)/(+)<0\) ; sur \([\frac25,+\infty[\) : \(\ge0\).

🔢 6) \(x\ne3\). Zéros du numérateur : \(-\frac12\) et \(2\). Sur \(]-\infty,-\frac12[\) : \((+)/(-)<0\) ; sur \(]-\frac12,2[\) : \((-)/(-)>0\) ; sur \(]2,3[\) : \((+)/(-)<0\) ; sur \(]3,+\infty[\) : \(>0\).

✅ 4) \(S=]-2,1[\) ; 5) \(S=\left]-\infty,-\tfrac13\right[\cup\left[\tfrac25,+\infty\right[\) ; 6) \(S=\left]-\infty,-\tfrac12\right]\cup[2,3[\)

3) 7) \((3-6x)(x+2)>0\)
8) \(\frac{2-6x}{3x-2}\le0\)

Correction détaillée

📘 Règle : \(ax+b\) s’annule en \(x_0=-\frac ba\) ; il est du signe de \(a\) pour \(x>x_0\) et du signe de \(-a\) pour \(x<x_0\).

🔢 7) \(3-6x>0\iff x<\frac12\) ; \(x+2>0\iff x>-2\). Même signe pour \(-2<x<\frac12\).

🔢 8) \(x\ne\frac23\). Zéro : \(\frac13\). Sur \(]-\infty,\frac13[\) : \((+)/(-)<0\) ; sur \(]\frac13,\frac23[\) : \((-)/(-)>0\) ; sur \(]\frac23,+\infty[\) : \((-)/(+)<0\).

✅ 7) \(S=\left]-2,\tfrac12\right[\) ; 8) \(S=\left]-\infty,\tfrac13\right]\cup\left]\tfrac23,+\infty\right[\)

Exercice 4.1

Les méthodes de résolution

1) Résoudre le système \(\begin{cases}x+2y=3\\2x+3y=4\end{cases}\) par la méthode de substitution.

Correction détaillée

📘 Méthodes : substitution (exprimer une inconnue puis la remplacer), combinaison linéaire (multiplier pour éliminer une inconnue), déterminants : pour \(\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\), \(D=ab’-a’b\) ; si \(D\ne0\), \(x=\frac{D_x}D\) et \(y=\frac{D_y}D\).

🔢 De la première équation : \(x=3-2y\).

🔢 On remplace dans la seconde : \(2(3-2y)+3y=4\iff6-y=4\iff y=2\).

🔢 Alors \(x=3-2\times2=-1\). Vérification : \(2(-1)+3\times2=4\).

✅ \(S=\{(-1;2)\}\).

2) Résoudre le système \(\begin{cases}2x+3y=7\\3x-2y=4\end{cases}\) par la méthode de combinaison linéaire.

Correction détaillée

📘 Méthodes : substitution (exprimer une inconnue puis la remplacer), combinaison linéaire (multiplier pour éliminer une inconnue), déterminants : pour \(\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\), \(D=ab’-a’b\) ; si \(D\ne0\), \(x=\frac{D_x}D\) et \(y=\frac{D_y}D\).

🔢 On multiplie la première équation par \(2\) et la seconde par \(3\) : \(4x+6y=14\) et \(9x-6y=12\).

🔢 On additionne : \(13x=26\iff x=2\).

🔢 Dans la première équation : \(4+3y=7\iff y=1\).

✅ \(S=\{(2;1)\}\).

3) Résoudre le système \(\begin{cases}3x+y=5\\2x-3y=-4\end{cases}\) par les quatre méthodes : substitution, combinaison linéaire, graphique, déterminants.

Correction détaillée

📘 Méthodes : substitution (exprimer une inconnue puis la remplacer), combinaison linéaire (multiplier pour éliminer une inconnue), déterminants : pour \(\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\), \(D=ab’-a’b\) ; si \(D\ne0\), \(x=\frac{D_x}D\) et \(y=\frac{D_y}D\).

🔢 Substitution : \(y=5-3x\), puis \(2x-3(5-3x)=-4\iff11x=11\iff x=1\) et \(y=2\).

🔢 Combinaison : on multiplie la première équation par \(3\) : \(9x+3y=15\) ; en ajoutant \(2x-3y=-4\) on obtient \(11x=11\), donc \(x=1\), puis \(y=2\).

🔢 Graphique : la droite \(y=5-3x\) passe par \((0;5)\) et \((1;2)\) ; la droite \(y=\frac{2x+4}3\) passe par \((-2;0)\) et \((1;2)\). Elles se coupent au point \((1;2)\).

🔢 Déterminants : \(D=3\times(-3)-2\times1=-11\), \(D_x=5\times(-3)-(-4)\times1=-11\), \(D_y=3\times(-4)-2\times5=-22\). Donc \(x=\frac{-11}{-11}=1\) et \(y=\frac{-22}{-11}=2\).

✅ Par les quatre méthodes : \(S=\{(1;2)\}\).

Exercice 4.2

Systèmes à deux inconnues

1) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) :
1) \(\begin{cases}3x-y=5\\ 2x+4y=-6\end{cases}\)
2) \(\begin{cases}8x+4y=4\\ 2x+y=3\end{cases}\)
3) \(\begin{cases}x+2y=-5\\ 3x-y=13\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthodes : substitution (exprimer une inconnue puis la remplacer), combinaison linéaire (multiplier pour éliminer une inconnue), déterminants : pour \(\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\), \(D=ab’-a’b\) ; si \(D\ne0\), \(x=\frac{D_x}D\) et \(y=\frac{D_y}D\).

🔢 1) \(y=3x-5\) ; \(2x+4(3x-5)=-6\iff14x=14\iff x=1\), donc \(y=-2\).

🔢 2) La première équation équivaut à \(2x+y=1\) (on divise par 4), ce qui contredit \(2x+y=3\).

🔢 3) \(y=3x-13\) ; \(x+2(3x-13)=-5\iff7x=21\iff x=3\), donc \(y=-4\).

✅ 1) \(S=\{(1;-2)\}\) ; 2) \(S=\varnothing\) ; 3) \(S=\{(3;-4)\}\)

2) 4) \(\begin{cases}x+\frac12y=-5\\ 2x+y=3\end{cases}\)
5) \(\begin{cases}-6x-3y=3\\ 2x+y=-1\end{cases}\)
6) \(\begin{cases}x+2y=8\\ 2x+y=-2\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthodes : substitution (exprimer une inconnue puis la remplacer), combinaison linéaire (multiplier pour éliminer une inconnue), déterminants : pour \(\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\), \(D=ab’-a’b\) ; si \(D\ne0\), \(x=\frac{D_x}D\) et \(y=\frac{D_y}D\).

🔢 4) En multipliant la première équation par \(2\) : \(2x+y=-10\), ce qui contredit \(2x+y=3\).

🔢 5) En divisant la première équation par \(-3\) : \(2x+y=-1\). Les deux équations sont identiques : une infinité de solutions, \(y=-1-2x\).

🔢 6) \(x=8-2y\) ; \(2(8-2y)+y=-2\iff-3y=-18\iff y=6\), donc \(x=-4\).

✅ 4) \(S=\varnothing\) ; 5) \(S=\{(x\,;\,-1-2x)\ /\ x\in\mathbf R\}\) ; 6) \(S=\{(-4;6)\}\)

3) Résoudre et discuter selon les valeurs de \(m\) :
1) \(\begin{cases}mx-y=2-m\\ 3x+y=-5\end{cases}\)
2) \(\begin{cases}mx-3y=5\\ 3x+my=-1\end{cases}\)
3) \(\begin{cases}mx+4y=3m-2\\ x+my=m-2\end{cases}\)
4) \(\begin{cases}mx-3y=9\\ 2x+y=-3\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthodes : substitution (exprimer une inconnue puis la remplacer), combinaison linéaire (multiplier pour éliminer une inconnue), déterminants : pour \(\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\), \(D=ab’-a’b\) ; si \(D\ne0\), \(x=\frac{D_x}D\) et \(y=\frac{D_y}D\).

🔢 1) En additionnant : \((m+3)x=-(m+3)\). Si \(m\ne-3\) : \(x=-1\) et \(y=-5-3x=-2\). Si \(m=-3\) : les deux équations sont équivalentes à \(3x+y=-5\) : infinité de solutions.

🔢 2) \(D=m^2+9>0\) pour tout \(m\). \(D_x=5m-3\), \(D_y=-m-15\).

🔢 3) \(D=m^2-4\). \(D_x=m(3m-2)-4(m-2)=3m^2-6m+8\), \(D_y=m(m-2)-(3m-2)=m^2-5m+2\). Si \(m=2\) : \(2x+4y=4\) et \(x+2y=0\) sont incompatibles. Si \(m=-2\) : \(-2x+4y=-8\) et \(x-2y=-4\) sont incompatibles.

🔢 4) \(D=m+6\), \(D_x=9-9=0\), \(D_y=-3m-18=-3(m+6)\). Si \(m\ne-6\) : \(x=0\), \(y=-3\). Si \(m=-6\) : la première équation s’écrit \(-6x-3y=9\iff2x+y=-3\) : infinité de solutions.

✅ 1) \(m\ne-3:\ S=\{(-1;-2)\}\ ;\ m=-3:\ S=\{(x;-3x-5)\}\) ; 2) \(S=\left\{\left(\tfrac{5m-3}{m^2+9}\,;\,\tfrac{-m-15}{m^2+9}\right)\right\}\text{ pour tout }m\) ; 3) \(m\ne\pm2:\ S=\left\{\left(\tfrac{3m^2-6m+8}{m^2-4}\,;\,\tfrac{m^2-5m+2}{m^2-4}\right)\right\}\ ;\ m=\pm2:\ S=\varnothing\) ; 4) \(m\ne-6:\ S=\{(0;-3)\}\ ;\ m=-6:\ S=\{(x;-3-2x)\}\)

4) On considère le système \(\begin{cases}3x+(m-1)y=6\\2x-3y+4=0\end{cases}\).
1) Trouver la valeur de \(m\) pour laquelle \((1;2)\) est solution.
2) Résoudre le système pour \(m=3\), puis pour \(m=\frac13\).

Correction détaillée

📘 Méthodes : substitution (exprimer une inconnue puis la remplacer), combinaison linéaire (multiplier pour éliminer une inconnue), déterminants : pour \(\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\), \(D=ab’-a’b\) ; si \(D\ne0\), \(x=\frac{D_x}D\) et \(y=\frac{D_y}D\).

🔢 1) On remplace \(x=1\), \(y=2\) : \(3+2(m-1)=6\iff2m=5\iff m=\frac52\). Vérification de la seconde équation : \(2-6+4=0\).

🔢 2) Pour \(m=3\) : \(\begin{cases}3x+2y=6\\2x-3y=-4\end{cases}\). \(D=-13\), \(D_x=-18+8=-10\), \(D_y=-12-12=-24\). Donc \(x=\frac{10}{13}\), \(y=\frac{24}{13}\).

🔢 Pour \(m=\frac13\) : \(3x-\frac23y=6\iff9x-2y=18\), avec \(2x-3y=-4\). \(D=-27+4=-23\), \(D_x=-54-8=-62\), \(D_y=-36-36=-72\). Donc \(x=\frac{62}{23}\), \(y=\frac{72}{23}\).

✅ 1) \(m=\frac52\) ; 2) \(m=3\) : \(S=\left\{\left(\frac{10}{13};\frac{24}{13}\right)\right\}\) ; \(m=\frac13\) : \(S=\left\{\left(\frac{62}{23};\frac{72}{23}\right)\right\}\).

5) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) : \(\begin{cases}2x-y+4=0\\x-2y+1=0\end{cases}\).

Correction détaillée

📘 Méthodes : substitution (exprimer une inconnue puis la remplacer), combinaison linéaire (multiplier pour éliminer une inconnue), déterminants : pour \(\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\), \(D=ab’-a’b\) ; si \(D\ne0\), \(x=\frac{D_x}D\) et \(y=\frac{D_y}D\).

🔢 De la première équation : \(y=2x+4\).

🔢 On remplace dans la seconde : \(x-2(2x+4)+1=0\iff-3x-7=0\iff x=-\frac73\).

🔢 Alors \(y=-\frac{14}3+4=-\frac23\).

✅ \(S=\left\{\left(-\frac73;-\frac23\right)\right\}\).

6) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) : \(\begin{cases}\sqrt2x-y=\sqrt2\\2x-\sqrt2y=2\end{cases}\).

Correction détaillée

📘 Méthodes : substitution (exprimer une inconnue puis la remplacer), combinaison linéaire (multiplier pour éliminer une inconnue), déterminants : pour \(\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\), \(D=ab’-a’b\) ; si \(D\ne0\), \(x=\frac{D_x}D\) et \(y=\frac{D_y}D\).

🔢 En multipliant la première équation par \(\sqrt2\) : \(2x-\sqrt2y=2\). C’est exactement la seconde équation.

🔢 Les deux équations sont équivalentes : le système a une infinité de solutions, \(y=\sqrt2x-\sqrt2=\sqrt2(x-1)\).

✅ \(S=\{(x\,;\,\sqrt2(x-1))\ /\ x\in\mathbf R\}\).

7) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) :
1) \(\begin{cases}(\sqrt5-\sqrt3)x+(\sqrt2-1)y=0\\ (\sqrt2+1)x+(\sqrt5+\sqrt3)y=1\end{cases}\)
2) \(\begin{cases}x+y=11\\ x^2-y^2=44\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthodes : substitution (exprimer une inconnue puis la remplacer), combinaison linéaire (multiplier pour éliminer une inconnue), déterminants : pour \(\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\), \(D=ab’-a’b\) ; si \(D\ne0\), \(x=\frac{D_x}D\) et \(y=\frac{D_y}D\).

🔢 1) \(D=(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)-(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=(5-3)-(2-1)=1\). \(D_x=0-(\sqrt2-1)=1-\sqrt2\). \(D_y=(\sqrt5-\sqrt3)-0=\sqrt5-\sqrt3\).

🔢 2) \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)=11(x-y)=44\), donc \(x-y=4\). Avec \(x+y=11\) : \(x=\frac{15}2\), \(y=\frac72\).

✅ 1) \(S=\{(1-\sqrt2\,;\,\sqrt5-\sqrt3)\}\) ; 2) \(S=\left\{\left(\tfrac{15}2;\tfrac72\right)\right\}\)

Exercice 4.3

Systèmes à trois inconnues

1) Résoudre dans \(\mathbf R^3\) :
1) \(\begin{cases}x+2y+z=8\\ x-y-z=-4\\ x+4y-5z=-6\end{cases}\)
2) \(\begin{cases}x+y-z=1\\ x-y+z=2\\ -x+y+z=3\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on additionne ou on combine les équations pour éliminer une inconnue et se ramener à un système \(2\times2\).

🔢 1) (1)+(2) : \(2x+y=4\). 5×(1)+(3) : \(6x+14y=34\iff3x+7y=17\). Avec \(y=4-2x\) : \(3x+28-14x=17\iff x=1\), donc \(y=2\) et \(z=8-1-4=3\). Vérification de (3) : \(1+8-15=-6\).

🔢 2) (1)+(2) : \(2x=3\), donc \(x=\frac32\). (1)+(3) : \(2y=4\), donc \(y=2\). (2)+(3) : \(2z=5\), donc \(z=\frac52\).

✅ 1) \(S=\{(1;2;3)\}\) ; 2) \(S=\left\{\left(\tfrac32;2;\tfrac52\right)\right\}\)

Exercice 4.4

Changement d’inconnues

1) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) :
1) \(\begin{cases}\frac1x+2|y|=3\\ \frac3x-|y|=-5\end{cases}\)
2) \(\begin{cases}\frac{x^2}y+\frac{y^2}x=0\\ xy=-1\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on pose de nouvelles inconnues (\(X=\frac1x\), \(X=\sqrt x\), \(X=x^2\)…) pour se ramener à un système linéaire, puis on revient aux inconnues de départ.

🔢 1) \(x\ne0\). On pose \(X=\frac1x\) et \(Y=|y|\) : \(X+2Y=3\) et \(3X-Y=-5\). Alors \(Y=3X+5\), \(X+6X+10=3\iff X=-1\), \(Y=2\). Donc \(x=-1\) et \(|y|=2\), soit \(y=\pm2\).

🔢 2) \(x\ne0,y\ne0\). La première équation s’écrit \(\frac{x^3+y^3}{xy}=0\iff x^3+y^3=0\iff y=-x\). Alors \(xy=-x^2=-1\iff x=\pm1\).

✅ 1) \(S=\{(-1;2)\,;\,(-1;-2)\}\) ; 2) \(S=\{(1;-1)\,;\,(-1;1)\}\)

2) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) : \(\begin{cases}2x+3y=11\\5x-2y=-1\end{cases}\). En déduire les solutions de \(\begin{cases}2\sqrt x+3y^2=11\\5\sqrt x-2y^2=-1\end{cases}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on pose de nouvelles inconnues (\(X=\frac1x\), \(X=\sqrt x\), \(X=x^2\)…) pour se ramener à un système linéaire, puis on revient aux inconnues de départ.

🔢 1) Combinaison : \(4x+6y=22\) et \(15x-6y=-3\), donc \(19x=19\iff x=1\) et \(y=3\). Vérification : \(5-6=-1\).

🔢 2) On pose \(X=\sqrt x\) et \(Y=y^2\) : on retrouve le même système, donc \(X=1\) et \(Y=3\). Ainsi \(\sqrt x=1\iff x=1\) et \(y^2=3\iff y=\pm\sqrt3\).

✅ 1) \(S=\{(1;3)\}\) ; 2) \(S=\{(1;\sqrt3)\,;\,(1;-\sqrt3)\}\).

3) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) : \(\begin{cases}4x+y=6\\2x-3y=-4\end{cases}\). En déduire les solutions de \(\begin{cases}\frac4x+\frac1y=6\\\frac2x-\frac3y=-4\end{cases}\) et de \(\begin{cases}4x^3+|y|=6\\2x^3-3|y|=-4\end{cases}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on pose de nouvelles inconnues (\(X=\frac1x\), \(X=\sqrt x\), \(X=x^2\)…) pour se ramener à un système linéaire, puis on revient aux inconnues de départ.

🔢 1) \(12x+3y=18\) ; en ajoutant \(2x-3y=-4\) : \(14x=14\iff x=1\), puis \(y=2\).

🔢 2) On pose \(X=\frac1x\), \(Y=\frac1y\) : même système, donc \(\frac1x=1\) et \(\frac1y=2\), soit \(x=1\) et \(y=\frac12\).

🔢 3) On pose \(X=x^3\), \(Y=|y|\) : donc \(x^3=1\iff x=1\) et \(|y|=2\iff y=\pm2\).

✅ 1) \(S=\{(1;2)\}\) ; 2) \(S=\left\{\left(1;\frac12\right)\right\}\) ; 3) \(S=\{(1;2)\,;\,(1;-2)\}\).

4) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) : \(\begin{cases}x+\frac1y=3\\2x-y=-2\end{cases}\). En déduire les solutions de \(\begin{cases}x^2+\frac1{y^2}=3\\2x^2-y^2=-2\end{cases}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on pose de nouvelles inconnues (\(X=\frac1x\), \(X=\sqrt x\), \(X=x^2\)…) pour se ramener à un système linéaire, puis on revient aux inconnues de départ.

🔢 1) \(y\ne0\). De \(x=3-\frac1y\), la seconde équation donne \(6-\frac2y-y=-2\iff y^2-8y+2=0\) (en multipliant par \(-y\)).

🔢 \(\Delta=56\), donc \(y=4\pm\sqrt{14}\). Alors \(\frac1y=\frac{4\mp\sqrt{14}}2\) et \(x=3-\frac1y=1\pm\frac{\sqrt{14}}2\).

🔢 2) On pose \(X=x^2\) et \(Y=y^2\) : on retrouve le système précédent, avec \(X>0\) et \(Y>0\). Les couples possibles sont \(\left(1+\frac{\sqrt{14}}2;4+\sqrt{14}\right)\) et \(\left(1-\frac{\sqrt{14}}2;4-\sqrt{14}\right)\). Comme \(\frac{\sqrt{14}}2\approx1{,}87>1\), la seconde valeur de \(X\) est négative : rejetée.

🔢 Il reste \(x^2=1+\frac{\sqrt{14}}2\) et \(y^2=4+\sqrt{14}\).

✅ 1) \(S=\left\{\left(1+\frac{\sqrt{14}}2;4+\sqrt{14}\right);\left(1-\frac{\sqrt{14}}2;4-\sqrt{14}\right)\right\}\) ; 2) \(x=\pm\sqrt{1+\frac{\sqrt{14}}2}\) et \(y=\pm\sqrt{4+\sqrt{14}}\) (4 couples).

5) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) : \(\begin{cases}-7x-3y=4\\4x+5y=-2\end{cases}\). En déduire les solutions de \(\begin{cases}-\frac7x-\frac3y=4\\\frac4x+\frac5y=-2\end{cases}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : on pose de nouvelles inconnues (\(X=\frac1x\), \(X=\sqrt x\), \(X=x^2\)…) pour se ramener à un système linéaire, puis on revient aux inconnues de départ.

🔢 1) \(D=-35+12=-23\), \(D_x=4\times5-(-3)(-2)=14\), \(D_y=(-7)(-2)-4\times4=-2\). Donc \(x=-\frac{14}{23}\) et \(y=\frac2{23}\).

🔢 2) On pose \(X=\frac1x\), \(Y=\frac1y\) : \(X=-\frac{14}{23}\) et \(Y=\frac2{23}\). Donc \(x=-\frac{23}{14}\) et \(y=\frac{23}2\).

✅ 1) \(S=\left\{\left(-\frac{14}{23};\frac2{23}\right)\right\}\) ; 2) \(S=\left\{\left(-\frac{23}{14};\frac{23}2\right)\right\}\).

6) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) :
1) \(\begin{cases}\frac5{x-1}+\frac3{y-2}=4\\ \frac{-2}{x-1}+\frac1{y-2}=1\end{cases}\)
2) \(\begin{cases}2\sqrt x+\sqrt y=6\\ -3\sqrt x+5\sqrt y=17\end{cases}\)
3) \(\begin{cases}2x^2-5y^2=1\\ 4x^2+3y^2=15\end{cases}\)
4) \(\begin{cases}(x^2-3x+1)+(y^2-5y+4)=-3\\ 2(x^2-3x+1)-3(y^2-5y+4)=4\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on pose de nouvelles inconnues (\(X=\frac1x\), \(X=\sqrt x\), \(X=x^2\)…) pour se ramener à un système linéaire, puis on revient aux inconnues de départ.

🔢 1) \(x\ne1\), \(y\ne2\). On pose \(X=\frac1{x-1}\), \(Y=\frac1{y-2}\) : \(5X+3Y=4\) et \(-2X+Y=1\). Alors \(Y=1+2X\), \(11X+3=4\), \(X=\frac1{11}\), \(Y=\frac{13}{11}\). Donc \(x-1=11\iff x=12\) et \(y-2=\frac{11}{13}\iff y=\frac{37}{13}\).

🔢 2) On pose \(U=\sqrt x\), \(V=\sqrt y\) (positifs) : \(V=6-2U\), puis \(-3U+30-10U=17\iff U=1\), \(V=4\). Donc \(x=1\) et \(y=16\).

🔢 3) On pose \(X=x^2\), \(Y=y^2\) : \(4X-10Y=2\) et \(4X+3Y=15\). En soustrayant : \(13Y=13\), \(Y=1\), \(X=3\). Donc \(x=\pm\sqrt3\) et \(y=\pm1\).

🔢 4) On pose \(A=x^2-3x+1\), \(B=y^2-5y+4\) : \(A+B=-3\) et \(2A-3B=4\). Alors \(A=-3-B\), \(-6-5B=4\), \(B=-2\), \(A=-1\). Donc \(x^2-3x+2=0\iff x\in\{1;2\}\) et \(y^2-5y+6=0\iff y\in\{2;3\}\).

✅ 1) \(S=\left\{\left(12;\tfrac{37}{13}\right)\right\}\) ; 2) \(S=\{(1;16)\}\) ; 3) \(S=\{(\sqrt3;1)\,;(\sqrt3;-1)\,;(-\sqrt3;1)\,;(-\sqrt3;-1)\}\) ; 4) \(S=\{1;2\}\times\{2;3\}\ (4\text{ couples})\)

Exercice 4.5

Somme et produit

1) Déterminer deux nombres dont la somme vaut \(60\) et le produit vaut \(851\).

Correction détaillée

📘 Rappel : deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont les solutions de \(t^2-St+P=0\) (elles existent si \(S^2-4P\ge0\)).

🔢 Ces nombres sont les solutions de \(t^2-60t+851=0\).

🔢 \(\Delta=3600-3404=196=14^2\), donc \(t=\frac{60\pm14}2\) : \(t=37\) ou \(t=23\). Vérification : \(37\times23=851\).

✅ Les nombres sont \(23\) et \(37\).

2) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) :
1) \(\begin{cases}x+y=7\\ xy=12\end{cases}\)
2) \(\begin{cases}x+y=4\\ xy=12\end{cases}\)
3) \(\begin{cases}x+y=8\\ xy=15\end{cases}\)
4) \(\begin{cases}x+y=-2\\ xy=-3\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Rappel : deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont les solutions de \(t^2-St+P=0\) (elles existent si \(S^2-4P\ge0\)).

🔢 1) \(t^2-7t+12=0\), \(\Delta=1\) : \(t=3\) ou \(t=4\).

🔢 2) \(t^2-4t+12=0\), \(\Delta=16-48=-32<0\) : pas de solution.

🔢 3) \(t^2-8t+15=0\), \(\Delta=4\) : \(t=3\) ou \(t=5\).

🔢 4) \(t^2+2t-3=0\), \(\Delta=16\) : \(t=1\) ou \(t=-3\).

✅ 1) \(S=\{(3;4)\,;(4;3)\}\) ; 2) \(S=\varnothing\) ; 3) \(S=\{(3;5)\,;(5;3)\}\) ; 4) \(S=\{(1;-3)\,;(-3;1)\}\)

3) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) : \(\begin{cases}2x+\sqrt{y-1}=8\\2x\sqrt{y-1}=15\end{cases}\).

Correction détaillée

📘 Rappel : deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont les solutions de \(t^2-St+P=0\) (elles existent si \(S^2-4P\ge0\)).

🔢 Condition : \(y\ge1\). On pose \(u=2x\) et \(v=\sqrt{y-1}\ge0\) : \(u+v=8\) et \(uv=15\).

🔢 \(u\) et \(v\) sont les solutions de \(t^2-8t+15=0\) : \(t=3\) ou \(t=5\).

🔢 Si \(u=3\), \(v=5\) : \(x=\frac32\) et \(y-1=25\), soit \(y=26\). Si \(u=5\), \(v=3\) : \(x=\frac52\) et \(y-1=9\), soit \(y=10\).

✅ \(S=\left\{\left(\frac32;26\right);\left(\frac52;10\right)\right\}\).

Exercice 4.6

Problèmes

1) L’association des Enfants Heureux organise une course. Chaque enfant a un vélo ou un tricycle. L’organisateur a compté \(64\) enfants et \(151\) roues.
1) Combien de vélos et combien de tricycles sont engagés ?
2) Chaque vélo rapporte \(500\) F et chaque tricycle \(400\) F. Calculer la somme reçue.

Correction détaillée

📘 Méthode : choisir les inconnues, traduire l’énoncé par un système, résoudre puis conclure par une phrase.

🔢 1) Soit \(x\) le nombre de vélos (2 roues) et \(y\) le nombre de tricycles (3 roues) : \(x+y=64\) et \(2x+3y=151\).

🔢 Avec \(x=64-y\) : \(128-2y+3y=151\iff y=23\), puis \(x=41\).

🔢 2) Somme reçue : \(41\times500+23\times400=20\,500+9\,200=29\,700\) F.

✅ 1) \(41\) vélos et \(23\) tricycles ; 2) \(29\,700\) F.

2) Pour les fêtes de fin d’année, un groupe d’amis emmène leurs enfants à un spectacle. En catégorie 1, le tarif est \(45\) dh par adulte et \(30\) dh par enfant ; en catégorie 2, il est \(27\) dh par adulte et \(20\) dh par enfant. Le coût total est \(510\) dh en catégorie 1 et \(316\) dh en catégorie 2. Déterminer le nombre d’adultes et d’enfants.

Correction détaillée

📘 Méthode : choisir les inconnues, traduire l’énoncé par un système, résoudre puis conclure par une phrase.

🔢 Soit \(a\) le nombre d’adultes et \(e\) le nombre d’enfants : \(45a+30e=510\) et \(27a+20e=316\).

🔢 La première équation donne \(3a+2e=34\), donc \(30a+20e=340\). En soustrayant \(27a+20e=316\) : \(3a=24\iff a=8\).

🔢 Alors \(2e=34-24=10\iff e=5\). Vérification : \(27\times8+20\times5=216+100=316\).

✅ \(8\) adultes et \(5\) enfants.

Exercice 5.1

Systèmes d’inéquations : résolution graphique

1) Résoudre graphiquement les systèmes d’inéquations :
1) \(\begin{cases}3x+2y<3\\ -x+y<-1\end{cases}\)
2) \(\begin{cases}2x-3y<12\\ 3x+2y\ge5\\ 7x+9y<49\end{cases}\)
3) \(\begin{cases}-x+2y<2\\ x+3y-1>0\end{cases}\)
4) \(\begin{cases}2x-y\ge0\\ 5x+3y-11\le0\\ x+5y\ge11\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : chaque droite \(ax+by+c=0\) partage le plan en deux demi-plans. On choisit un point test (souvent \(O(0;0)\)) : si ses coordonnées vérifient l’inégalité, le demi-plan solution est celui qui le contient, sinon c’est l’autre. La solution du système est l’intersection des demi-plans. Une droite est exclue pour une inégalité stricte et incluse pour une inégalité large.

🔢 1) Droites : \(D_1:3x+2y=3\) (passe par \((1;0)\) et \((0;\frac32)\)) et \(D_2:y=x-1\) (passe par \((1;0)\) et \((0;-1)\)). Elles se coupent en \(A(1;0)\). Test avec \(O\) : \(0<3\) vrai, donc on garde le demi-plan de \(D_1\) contenant \(O\) ; \(0<-1\) faux, donc on garde le demi-plan de \(D_2\) ne contenant pas \(O\).

🔢 2) Droites : \(D_1:2x-3y=12\), \(D_2:3x+2y=5\), \(D_3:7x+9y=49\). Sommets : \(D_1\cap D_2=A(3;-2)\) ; \(D_1\cap D_3=B\left(\frac{85}{13};\frac{14}{39}\right)\) ; \(D_2\cap D_3=C\left(-\frac{53}{13};\frac{112}{13}\right)\). Test avec \(O\) : \(0<12\) vrai ; \(0\ge5\) faux ; \(0<49\) vrai. La région est le triangle \(ABC\) (le point \((2;2)\) en est un point intérieur : \(-2<12\), \(10\ge5\), \(32<49\)).

🔢 3) Droites : \(D_1:-x+2y=2\) et \(D_2:x+3y=1\). Elles se coupent en \(A\left(-\frac45;\frac35\right)\). Test avec \(O\) : \(0<2\) vrai, on garde le côté de \(O\) pour \(D_1\) ; \(-1>0\) faux, on garde le côté opposé à \(O\) pour \(D_2\).

🔢 4) Droites : \(D_1:y=2x\), \(D_2:5x+3y=11\), \(D_3:x+5y=11\). Les trois droites passent par le point \(A(1;2)\) (on le vérifie : \(2-2=0\), \(5+6=11\), \(1+10=11\)). Les inégalités donnent \(\frac{11-x}5\le y\le2x\) et \(y\le\frac{11-5x}3\). La condition \(\frac{11-x}5\le2x\) donne \(x\ge1\) ; la condition \(\frac{11-x}5\le\frac{11-5x}3\) donne \(x\le1\). Donc \(x=1\), puis \(y=2\).

✅ 1) \(\text{Région non bornée d’angle }A(1;0)\text{ : points sous }D_1\text{ et sous }D_2\ (D_1,D_2\text{ exclues})\) ; 2) \(\text{Intérieur du triangle }ABC\text{, avec le côté }[AC]\text{ (sur }D_2)\text{ inclus et les deux autres côtés exclus}\) ; 3) \(\text{Région non bornée d’angle }A\left(-\tfrac45;\tfrac35\right)\text{ : sous }D_1\text{ et au-dessus de }D_2\ (\text{droites exclues})\) ; 4) \(\text{Un seul point : }A(1;2)\)

Exercice 6.1

Systèmes d’inéquations et polygones

1) Résoudre dans \(\mathbf R^2\) les systèmes d’inéquations :
1) \(\begin{cases}x+y-1\ge0\\ -x+2y+2\le0\end{cases}\)
2) \(\begin{cases}2x+y-3\ge0\\ -x+y+5\le0\\ x\le4\end{cases}\)
3) \(\begin{cases}3x+2y-6<0\\ x-2y+2<0\\ 4x-3y+12>0\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : on trace les droites, on détermine les sommets en résolvant les systèmes formés par deux droites, puis on vérifie avec un point test quelle région vérifie toutes les inégalités.

🔢 1) Droites : \(D_1:x+y=1\) et \(D_2:x-2y=2\) (car \(-x+2y+2\le0\iff x-2y\ge2\)). Elles se coupent en \(A\left(\frac43;-\frac13\right)\). Le point test \((3;0)\) vérifie \(3-1\ge0\) et \(-3+2\le0\) : il est dans la région. La région est l’angle de sommet \(A\) qui contient \((3;0)\) (non borné).

🔢 2) Droites : \(D_1:y=3-2x\), \(D_2:y=x-5\), \(D_3:x=4\). Sommets : \(D_1\cap D_2=A\left(\frac83;-\frac73\right)\) ; \(D_2\cap D_3=B(4;-1)\) ; \(D_1\cap D_3=C(4;-5)\). La région est \(y\ge3-2x\), \(y\le x-5\) et \(x\le4\) : c’est le triangle \(ABC\) (pour \(x=4\) : \(-5\le y\le-1\)).

🔢 3) Droites : \(D_1:3x+2y=6\), \(D_2:x-2y=-2\), \(D_3:4x-3y=-12\). Sommets : \(D_1\cap D_2=A\left(1;\frac32\right)\) ; \(D_1\cap D_3=B\left(-\frac6{17};\frac{60}{17}\right)\) ; \(D_2\cap D_3=C\left(-\frac{18}5;-\frac45\right)\). Le point \(G\left(-1;\frac75\right)\) (centre approximatif) vérifie : \(-3+2{,}8-6<0\), \(-1-2{,}8+2<0\), \(-4-4{,}2+12>0\). La région est donc l’intérieur du triangle \(ABC\).

✅ 1) \(\text{Région non bornée d’angle }A\left(\tfrac43;-\tfrac13\right)\text{ contenant }(3;0)\text{, bords inclus}\) ; 2) \(\text{Triangle }ABC\text{ de sommets }A\left(\tfrac83;-\tfrac73\right),\ B(4;-1),\ C(4;-5)\text{, côtés inclus}\) ; 3) \(\text{Intérieur du triangle }ABC\text{ de sommets }A\left(1;\tfrac32\right),\ B\left(-\tfrac6{17};\tfrac{60}{17}\right),\ C\left(-\tfrac{18}5;-\tfrac45\right)\text{ (bords exclus)}\)

Exercices corrigés sur les équations et inéquations du premier degré Tronc Commun

Équations et inéquations du premier degré · Série d’exercices Tronc Commun