Cette série d’exercices corrigés de calcul vectoriel dans le plan pour le Tronc Commun travaille les vecteurs, la colinéarité et la relation de Chasles, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Exercices corrigés de calcul vectoriel dans le plan Tronc Commun

Calcul vectoriel dans le plan · Série d’exercices Tronc Commun

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape

Exercice 1.1

Comparer des vecteurs

1) Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) des points du plan.
1) Construire les points \(M\) et \(N\) tels que \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\).
2) Comparer les vecteurs \(\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{MN}\).

Correction détaillée

📘 Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

🔢 1) \(M\) est l’image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC} (ABMC\) est un parallélogramme). \(N\) est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) : \(ACND\) est un parallélogramme (règle du parallélogramme).

🔢 2) \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=−\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}\).

✅ \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{MN}\).

Exercice 1.2

Exprimer des vecteurs en fonction de deux vecteurs

1) Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On pose \(\overrightarrow{AB}=\vec i\) et \(\overrightarrow{AC}=\vec j\). Écrire \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BD}\) en fonction de \(\vec i\) et \(\vec j\).

Correction détaillée

📘 Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

🔢 \(ABCD\) est un parallélogramme : \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Chasles : \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=−\vec i+\vec j\).

🔢 \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=−\vec i+(−\vec i+\vec j)=−2\vec i+\vec j\).

✅ \(\overrightarrow{AD}=\vec j-\vec i\) ; \(\overrightarrow{BD}=\vec j-2\vec i\).

Exercice 1.3

Montrer une égalité de vecteurs

1) Soit \(ABCD\) un parallélogramme. \(M\), \(N\) et \(P\) sont tels que \(\overrightarrow{AM}=\frac34\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AN}=\frac34\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AP}=\frac34\overrightarrow{AD}\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{MN}=\frac34\overrightarrow{BC}\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AP}\).
3) Montrer que \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AN}\).

Correction détaillée

📘 Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

🔢 1) \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=−\frac34\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AC}=\frac34(\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB})=\frac34(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA})=\frac34\overrightarrow{BC}\).

🔢 2) \(ABCD\) est un parallélogramme : \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\). Donc \(\overrightarrow{MN}=\frac34\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AP}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AP}=\frac34\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AD}=\frac34(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac34\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AN}\) (règle du parallélogramme).

✅ \(\overrightarrow{MN}=\frac34\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AP}\) et \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AN}\).

Exercice 1.4

Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

1) Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés. \(D\) et \(E\) sont tels que \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}=\vec 0\).
1) Faire un schéma.
2) Quelle est la nature du quadrilatère \(EACB\) ? Justifier.

Correction détaillée

📘 Rappel : un quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme \(\iff \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).

🔢 1) \(D\) est l’image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\) ; \(E\) est le symétrique de \(D\) par rapport à \(A\) (car \(\overrightarrow{AE}=−\overrightarrow{AD}\)).

🔢 2) \(\overrightarrow{AE}=−\overrightarrow{AD}=−\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}\). Donc \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{BC}\) : \(E\to A\) et \(B\to C\) ont le même vecteur.

🔢 Les points \(B\), \(C\), \(A\) ne sont pas alignés, donc \(EACB\) est un vrai quadrilatère : deux côtés opposés \([EA]\) et \([BC]\) vérifient \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{BC}\).

✅ \(EACB\) est un parallélogramme.

2) Soit \(ABCD\) un parallélogramme. \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\) sont tels que \(\overrightarrow{DE}=4\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{AF}=5\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BG}=4\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CH}=5\overrightarrow{CD}\).
1) Construire \(E\), \(F\), \(G\), \(H\).
2) Montrer que \(EFGH\) est un parallélogramme.

Correction détaillée

📘 Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

🔢 1) Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)\) : \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(D(0;1)\), \(C(1;1)\). Alors \(\overrightarrow{AE}=−3\overrightarrow{AD}\) : \(E(0;-3)\) ; \(F(5;0)\) ; \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AD}\) : \(G(1;4)\) ; \(\overrightarrow{CH}=−5\overrightarrow{AB}\) donc \(\overrightarrow{AH}=−4\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) : \(H(-4;1)\).

🔢 2) On pose \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec v=\overrightarrow{AD}\). \(\overrightarrow{AE}=−3\vec v\), \(\overrightarrow{AF}=5\vec u\), \(\overrightarrow{AG}=\vec u+4\vec v\), \(\overrightarrow{AH}=−4\vec u+\vec v\).

🔢 \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}−\overrightarrow{AE}=5\vec u+3\vec v\). \(\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AG}−\overrightarrow{AH}=\vec u+4\vec v+4\vec u-\vec v=5\vec u+3\vec v\).

🔢 Donc \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}\).

✅ \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}\) : \(EFGH\) est un parallélogramme.

Exercice 1.5

Placer des points

1) Soit \(ABCD\) un parallélogramme, \(E\) et \(F\) deux points tels que \(\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AD}\), et \(G\) le point tel que \(AEGF\) soit un parallélogramme. Construire \(E\), \(F\) et \(G\).

Correction détaillée

📘 Méthode de construction : on choisit un repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) : un point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\) a pour coordonnées \((x\,;y)\).

🔢 \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{AB}\) : \(E\) est sur la demi-droite \([AB)\) avec \(AE=3AB\).

🔢 \(F\) est sur la demi-droite \([AD)\) avec \(AF=3AD\).

🔢 \(AEGF\) est un parallélogramme : \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AC}\). \(G\) est donc le point de \([AC)\) tel que \(AG=3AC\). Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)\) : \(E(3;0)\), \(F(0;3)\), \(G(3;3)\).

✅ \(G\) est le point tel que \(\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AC}\).

Exercice 2.1

Construire des points

1) Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan. Construire \(M\), \(N\) et \(P\) tels que \(\overrightarrow{AN}=−2\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AM}\).

Correction détaillée

🔢 On prend le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) : \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\) donne \(M(3;0)\) ; \(\overrightarrow{AN}=−2\overrightarrow{AC}\) donne \(N(0;-2)\).

🔢 \(\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AM}\) : \(P\) est tel que \(\overrightarrow{CP}=−\overrightarrow{AN}−\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}−3\overrightarrow{AB}\). Or \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{AC}−3\overrightarrow{AB}\). Donc \(P(-3;3)\).

🔢 Construction : placer \(M\) et \(N\), puis \(P\) tel que \(\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AC}−3\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{BC}\), c’est-à-dire \(P\) est l’image de \(A\) par la translation de vecteur 3\(\overrightarrow{BC}\).

✅ \(M(3;0)\), \(N(0;-2)\), \(P(-3;3)\) dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).

2) Construire \(I\) tel que \(\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AB}\) ; \(J\) tel que \(\overrightarrow{AJ}=−2\overrightarrow{AC}\) ; \(F\) tel que \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\) ; \(K\) tel que \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}\) ; \(L\) tel que \(\overrightarrow{AL}=\frac32\overrightarrow{AB}−\frac23\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

🔢 On travaille dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) : \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\).

🔢 \(I\) : \(\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AB}\) donc \(I(3;0)\). \(J\) : \(\overrightarrow{AJ}=−2\overrightarrow{AC}\) donc \(J(0;-2)\).

🔢 \(F\) : \(ABFC\) est un parallélogramme de sommet \(B\) (règle du parallélogramme sur \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\)) : \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=−\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB})=−2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=−\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) : \(F(-1;1)\).

🔢 \(K\) : \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AC}\) : \(K(3;-2)\) (quatrième sommet du parallélogramme \(AIKJ\)).

🔢 \(L\) : \(\overrightarrow{AL}=\frac32\overrightarrow{AB}−\frac23\overrightarrow{AC}\) : \(L\left(\frac32;-\frac23\right)\).

✅ \(I(3;0)\), \(J(0;-2)\), \(F(-1;1)\), \(K(3;-2)\), \(L\left(\frac32;-\frac23\right)\).

Exercice 2.2

Exprimer et simplifier avec la relation de Chasles

1) En décomposant \(\overrightarrow{CB}\) en \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\), exprimer les vecteurs suivants en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) : \(\vec u=2\overrightarrow{AB}−3\overrightarrow{CB}\) ; \(\vec v=\frac15\overrightarrow{AB}−3\overrightarrow{CB}\).

Correction détaillée

📘 Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

🔢 \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=−\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\).

🔢 \(\vec u=2\overrightarrow{AB}−3(\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AC})=2\overrightarrow{AB}−3\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=−\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\).

🔢 \(\vec v=\frac15\overrightarrow{AB}−3(\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AC})=\left(\frac15-3\right)\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=−\frac{14}5\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\).

✅ \(\vec u=-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\) ; \(\vec v=-\frac{14}5\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\).

2) Simplifier les écritures suivantes :
1) \(\vec u=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}−\overrightarrow{CB}\) ;
2) \(\vec v=\overrightarrow{DE}−\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{EF}−\overrightarrow{ED}\) ;
3) \(\vec w=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MA}−\overrightarrow{MB}\).

Correction détaillée

📘 Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

🔢 1) \(\vec u=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC}\) (car −\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}\)).

🔢 2) \(\overrightarrow{DE}−\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FE}\). \(\overrightarrow{EF}−\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DF}\). \(\vec v=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{DE}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{MA}−\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}\). \(\vec w=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BA}\).

✅ 1) \(\vec u=2\overrightarrow{BC}\) ; 2) \(\vec v=\overrightarrow{DE}\) ; 3) \(\vec w=2\overrightarrow{BA}\).

3) Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan ; simplifier : \(\vec u=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{BC}\) ; \(\vec v=\overrightarrow{BA}−2\overrightarrow{CA}−(\overrightarrow{CB}−\overrightarrow{CA}\)) ; \(\vec w=\frac12\overrightarrow{BA}−\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{CB}+\frac12\overrightarrow{CA}\).

Correction détaillée

📘 Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

🔢 \(\vec u=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\).

🔢 \(\vec v=\overrightarrow{BA}−2\overrightarrow{CA}−\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}−\overrightarrow{CA}−\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC}\).

🔢 \(\vec w=\frac12(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA})+\frac12\overrightarrow{CA}−\overrightarrow{AC}=\frac12\overrightarrow{CA}+\frac12\overrightarrow{CA}−\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}−\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CA}\).

✅ \(\vec u=2\overrightarrow{AB}\) ; \(\vec v=2\overrightarrow{BC}\) ; \(\vec w=2\overrightarrow{CA}\).

4) On considère les vecteurs \(\vec U=\overrightarrow{BC}−\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}\) et \(\vec V=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{FA}\). Simplifier \(\vec U\) et \(\vec V\).

Correction détaillée

📘 Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

🔢 \(\vec U\) : \(\overrightarrow{BC}−\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\). Donc \(\vec U=\overrightarrow{BA}−\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\).

🔢 \(\vec V\) : \(\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{BA}\). Puis \(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{EF}\). Donc \(\vec V=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EF}\).

✅ \(\vec U=\overrightarrow{AB}\) ; \(\vec V=\overrightarrow{EF}\).

Exercice 3.1

Construire un vecteur

1) Soit \(ABC\) un triangle. On pose \(\overrightarrow{AB}=\vec i\) et \(\overrightarrow{AC}=\vec j\). Construire le vecteur \(3\vec i-2\vec j\).

Correction détaillée

🔢 On place le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB} (M\) est sur \((AB)\) avec \(AM=3AB\)) et le point \(N\) tel que \(\overrightarrow{AN}=−2\overrightarrow{AC}\).

🔢 Le point \(P\) tel que \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\) (parallélogramme \(AMPN\)) vérifie \(\overrightarrow{AP}=3\vec i-2\vec j\). Dans le repère \(\left(A;\vec i,\vec j\right)\), \(P(3;-2)\).

✅ \(\overrightarrow{AP}=3\vec i-2\vec j\) avec \(P(3;-2)\) dans le repère \(\left(A;\vec i,\vec j\right)\).

Exercice 3.2

Déduire des nombres réels par identification

1) Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs non colinéaires. Déduire les nombres \(x\) et \(y\) tels que \((5x-1)\vec u+(y^2+1)\vec v=(x+3)\vec u+2y\vec v\).

Correction détaillée

🔢 Deux vecteurs non colinéaires \(\vec u\) et \(\vec v\) forment une base : \(\alpha\vec u+\beta\vec v=\alpha’\vec u+\beta’\vec v\iff\alpha=\alpha’\) et \(\beta=\beta’\).

🔢 \(5x-1=x+3\iff4x=4\iff x=1\).

🔢 \(y^2+1=2y\iff y^2-2y+1=0\iff(y-1)^2=0\iff y=1\).

✅ \(x=1\) et \(y=1\).

Exercice 3.3

Simplifier des écritures vectorielles

1) Soient les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\). Simplifier l’écriture de : \(\vec W_1=2(\vec u+\vec v)-4\left(\frac12\vec u-\vec v\right)\) ; \(\vec W_2=\frac13(3\vec u-9\vec v)+\frac12(2\vec u+6\vec v)-2\vec u\).

Correction détaillée

📘 Règles : \(k(\vec u+\vec v)=k\vec u+k\vec v\) et \((k+k’)\vec u=k\vec u+k’\vec u\).

🔢 \(\vec W_1=2\vec u+2\vec v-2\vec u+4\vec v=6\vec v\).

🔢 \(\vec W_2=\vec u-3\vec v+\vec u+3\vec v-2\vec u=\vec 0\).

✅ \(\vec W_1=6\vec v\) ; \(\vec W_2=\vec 0\).

2) Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés. \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) sont tels que \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{AN}=−2\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AP}\), \(\overrightarrow{AQ}=−\frac12\overrightarrow{AP}\).
1) Faire une figure.
2) En déduire que 2\(\overrightarrow{AB}=−\overrightarrow{AP}\) et \(B=Q\).

Correction détaillée

📘 Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

🔢 1) Figure : \(M\) est l’image de \(A\) par la translation de vecteur 2\(\overrightarrow{BC}\) ; \(N\) est tel que \(\overrightarrow{AN}=−2\overrightarrow{AC}\) ; \(P\) est le quatrième sommet du parallélogramme \(AMPN\) ; enfin \(Q\) est sur \((AP)\) de l’autre côté de \(A\), à la moitié de la distance \(AP\).

🔢 2) \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{BC}−2\overrightarrow{AC}=2(\overrightarrow{BC}−\overrightarrow{AC})=2(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=2\overrightarrow{BA}=−2\overrightarrow{AB}\). Donc 2\(\overrightarrow{AB}=−\overrightarrow{AP}\).

🔢 \(\overrightarrow{AQ}=−\frac12\overrightarrow{AP}=−\frac12(−2\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}\). Donc \(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}\) : \(Q=B\).

✅ 2\(\overrightarrow{AB}=−\overrightarrow{AP}\) et \(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}\), donc \(Q=B\).

Exercice 4.1

Déterminer un réel pour obtenir un alignement

1) Soit \(ABC\) un triangle, les points \(I\), \(J\), \(K\) tels que \(\overrightarrow{BI}=\frac32\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CJ}=\frac13\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{AK}=\alpha\overrightarrow{AB}\), \(\alpha\in\mathbb R^*\). Déterminer la valeur de \(\alpha\) telle que \(I\), \(J\), \(K\) soient alignés.

Correction détaillée

📘 Méthode : pour montrer que \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés, on exprime \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) (ou \(\overrightarrow{BC}\)) dans une même base \(\left(\vec u,\vec v\right)\) et on montre qu’ils sont colinéaires : \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\).

🔢 On pose \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec v=\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\frac32\overrightarrow{BC}=\vec u+\frac32(\vec v-\vec u)=−\frac12\vec u+\frac32\vec v\). \(\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AC}+\frac13\overrightarrow{CA}=\frac23\vec v\). \(\overrightarrow{AK}=\alpha\vec u\).

🔢 \(\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{AI}−\overrightarrow{AK}=\left(-\frac12-\alpha\right)\vec u+\frac32\vec v\). \(\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{AJ}−\overrightarrow{AK}=−\alpha\vec u+\frac23\vec v\).

🔢 \(I\), \(J\), \(K\) alignés \(\iff\overrightarrow{KI}\) et \(\overrightarrow{KJ}\) colinéaires \(\iff\overrightarrow{KI}=\lambda\overrightarrow{KJ}\). Coefficient de \(\vec v\) : \(\frac32=\frac23\lambda\), donc \(\lambda=\frac94\).

🔢 Coefficient de \(\vec u\) : \(-\frac12-\alpha=-\frac94\alpha\iff\frac54\alpha=\frac12\iff\alpha=\frac25\).

✅ \(\alpha=\dfrac25\).

Exercice 4.2

Montrer que des droites sont parallèles

1) Soit \(ABC\) un triangle.
1) Placer \(I\) et \(J\) tels que \(\overrightarrow{AI}=\frac13\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AC}\).
2) Écrire \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{BJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3) Montrer que \((IC)\parallel(BJ)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((AB)\parallel(CD)\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires (\(\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}\)).

🔢 1) \(I\) est sur \([AB]\) au tiers de \(AB\) à partir de \(A\) ; \(J\) est sur \([AC)\) avec \(AJ=3AC\).

🔢 2) \(\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}=−\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AJ}=−\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{BJ}=3(−\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=3\overrightarrow{IC}\). Les vecteurs sont colinéaires : \((IC)\parallel(BJ)\).

✅ \(\overrightarrow{IC}=−\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BJ}=−\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{IC}\) : \((IC)\parallel(BJ)\).

2) Soit \(IJK\) un triangle.
1) Placer \(R\) et \(S\) tels que \(\overrightarrow{JR}=2\overrightarrow{JK}+\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IS}=2\overrightarrow{IK}−3\overrightarrow{IJ}\).
2) Montrer que \((IJ)\parallel(RS)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((AB)\parallel(CD)\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires (\(\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}\)).

🔢 2) \(\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{IS}=−(2\overrightarrow{JK}+\overrightarrow{IJ})−\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{IK}−3\overrightarrow{IJ}=−2\overrightarrow{JK}−5\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{IK}\).

🔢 Chasles : \(\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JK}\), donc 2\(\overrightarrow{IK}=2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{JK}\). Alors \(\overrightarrow{RS}=−2\overrightarrow{JK}−5\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{JK}=−3\overrightarrow{IJ}\).

🔢 1) \(\overrightarrow{IR}=\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JR}=\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{JK}+\overrightarrow{IJ}=2(\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JK})=2\overrightarrow{IK}\) : \(R\) est l\’image de \(K\) par l\’homothétie de centre \(I\) et de rapport 2. \(S\) est tel que \(\overrightarrow{IS}=2\overrightarrow{IK}−3\overrightarrow{IJ}\), soit, dans le repère \(\left(I;\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{IK}\right)\), \(S(-3;2)\) et \(R(0;2)\).

✅ \(\overrightarrow{RS}=−3\overrightarrow{IJ}\) : \((IJ)\parallel(RS)\).

3) \(ABC\) est un triangle tel que \(BC=3\), \(AC=6\), \(AB=4\). \(E\), \(F\), \(K\) sont tels que \(\overrightarrow{AE}−3\overrightarrow{BE}=\vec0\), \(\overrightarrow{AF}+2\overrightarrow{CF}=\vec0\), 3\(\overrightarrow{BK}−2\overrightarrow{CK}=\vec0\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{AE}=\frac32\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}=\frac23\overrightarrow{AC}\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{BK}=−2\overrightarrow{BC}\), en déduire \(\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AC}\).
3) Montrer que \((CE)\), \((BF)\), \((AK)\) sont parallèles.
4) Construire le triangle \(ABC\) et les points \(K\), \(F\), \(E\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((AB)\parallel(CD)\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires (\(\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}\)).

🔢 1) \(\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{BE}=3(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\)), donc −2\(\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{AE}=\frac32\overrightarrow{AB}\). \(\overrightarrow{AF}=−2\overrightarrow{CF}=−2(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}\)), donc 3\(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AF}=\frac23\overrightarrow{AC}\).

🔢 2) 3\(\overrightarrow{BK}=2\overrightarrow{CK}=2(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BK}\)), donc \(\overrightarrow{BK}=2\overrightarrow{CB}=−2\overrightarrow{BC}\). \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AB}−2(\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB})=3\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AC}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=\frac32\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=−\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC}=−\frac23\overrightarrow{CE}\). \(\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CE}\).

🔢 Les trois vecteurs sont colinéaires : les droites sont parallèles.

🔢 4) On trace \(ABC\) avec \(AB=4\), \(AC=6\), \(BC=3\) (le triangle existe car \(4+3>6\)) ; \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE}=\frac32\overrightarrow{AB}\) ; \(F\) aux deux tiers de \([AC]\) ; \(K\) tel que \(\overrightarrow{BK}=−2\overrightarrow{BC}\).

✅ \(\overrightarrow{CE}\), \(\overrightarrow{BF}\), \(\overrightarrow{AK}\) sont colinéaires : \((CE)\parallel(BF)\parallel(AK)\).

4) Soit \(ABC\) un triangle. \(E\) et \(F\) sont tels que \(\overrightarrow{AE}=\frac34\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}=\frac43\overrightarrow{AC}\).
1) Faire une figure.
2) Écrire \(\overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{BF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3) Montrer que \((EC)\parallel(BF)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((AB)\parallel(CD)\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires (\(\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}\)).

🔢 2) \(\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}=−\frac34\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=−\overrightarrow{AB}+\frac43\overrightarrow{AC}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{BF}=\frac43(−\frac34\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac43\overrightarrow{EC}\). Ils sont colinéaires : \((EC)\parallel(BF)\).

✅ \(\overrightarrow{BF}=\frac43\overrightarrow{EC}\) : \((EC)\parallel(BF)\).

Exercice 4.3

Montrer que des points sont alignés

1) \(OIJK\) est un parallélogramme. \(A\), \(B\), \(G\) sont tels que \(\overrightarrow{OA}=\frac12\overrightarrow{OI}\), \(\overrightarrow{OB}=\frac13\overrightarrow{OK}\), \(\overrightarrow{AG}=\frac35\overrightarrow{AB}\). Choisir un repère pour démontrer que \(O\), \(G\), \(J\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 On choisit le repère \(\left(O;\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OK}\right)\). \(OIJK\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OK}\) : \(J(1;1)\).

🔢 \(\overrightarrow{OA}=\frac12\overrightarrow{OI}\) : \(A\left(\frac12;0\right)\). \(\overrightarrow{OB}=\frac13\overrightarrow{OK}\) : \(B\left(0;\frac13\right)\). \(\overrightarrow{AB}\left(-\frac12;\frac13\right)\).

🔢 \(\overrightarrow{AG}=\frac35\overrightarrow{AB}=\left(-\frac3{10};\frac15\right)\), donc \(G\left(\frac12-\frac3{10};\frac15\right)=\left(\frac15;\frac15\right)\).

🔢 \(\overrightarrow{OG}\left(\frac15;\frac15\right)\) et \(\overrightarrow{OJ}(1;1)\) : \(\overrightarrow{OJ}=5\overrightarrow{OG}\). Colinéaires.

✅ \(\overrightarrow{OJ}=5\overrightarrow{OG}\) : \(O\), \(G\), \(J\) sont alignés.

2) \(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\).
1) Placer \(E\) et \(F\) tels que \(\overrightarrow{AE}=−\frac12\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BF}=\frac23\overrightarrow{BA}\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{CE}=−\overrightarrow{AB}−\frac32\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CF}=−\frac23\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AD}\).
3) Déterminer le réel \(\alpha\) tel que \(\overrightarrow{CF}=\alpha\overrightarrow{CE}\).
4) \(C\), \(E\), \(F\) sont-ils alignés ?
5) Montrer que \(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{EO}\).

Correction détaillée

🔢 2) \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=−\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AD}−\frac12\overrightarrow{AD}=−\overrightarrow{AB}−\frac32\overrightarrow{AD}\). \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=−\overrightarrow{AD}−\frac23\overrightarrow{AB}\) (car \(\overrightarrow{CB}=−\overrightarrow{BC}=−\overrightarrow{AD}\)).

🔢 3) \(\overrightarrow{CF}=\alpha\overrightarrow{CE}\) : −\(\frac23=−\alpha\) donne \(\alpha=\frac23\), et −1=−\(\frac32\alpha\)=−1 ✓.

🔢 4) \(\overrightarrow{CF}=\frac23\overrightarrow{CE}\) : \(C\), \(E\), \(F\) sont alignés.

🔢 5) \(O\) est le milieu de \([BD]\) : \(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{EO}\).

✅ \(\alpha=\frac23\) ; \(C\), \(E\), \(F\) alignés ; \(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{EO}\).

3) \(ABC\) est un triangle. \(E\), \(F\), \(G\) sont tels que \(\overrightarrow{AE}=\frac25\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CF}=−\frac13\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BG}=\frac32\overrightarrow{BC}\).
1) Placer \(E\), \(F\), \(G\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{EF}=−\frac25\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{EG}=−\frac9{10}\overrightarrow{AB}+\frac32\overrightarrow{AC}\).
3) Montrer que \(\overrightarrow{EG}\) et \(\overrightarrow{EF}\) sont colinéaires.
4) \(E\), \(F\), \(G\) sont-ils alignés ?

Correction détaillée

🔢 2) \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}=\frac23\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=−\frac25\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC}\).

🔢 \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\frac32\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac32(\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB})=−\frac12\overrightarrow{AB}+\frac32\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AG}−\overrightarrow{AE}=−\frac9{10}\overrightarrow{AB}+\frac32\overrightarrow{AC}\).

🔢 3) \(\frac{-9/10}{-2/5}=\frac94\) et \(\frac{3/2}{2/3}=\frac94\) : \(\overrightarrow{EG}=\frac94\overrightarrow{EF}\).

🔢 4) \(\overrightarrow{EG}\) et \(\overrightarrow{EF}\) sont colinéaires avec le point \(E\) commun : \(E\), \(F\), \(G\) sont alignés.

✅ \(\overrightarrow{EG}=\frac94\overrightarrow{EF}\) : \(E\), \(F\), \(G\) sont alignés.

4) Soit \(ABC\) un triangle ; \(D\), \(E\), \(F\) sont tels que \(\overrightarrow{BD}=\frac23\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{AE}=−2\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{BF}=\frac35\overrightarrow{BE}\).
1) Construire la figure.
2) Montrer que \(\overrightarrow{EA}=2\overrightarrow{AB}+\frac43\overrightarrow{BC}\).
3) Montrer que \(\overrightarrow{FB}=\frac95\overrightarrow{AB}+\frac45\overrightarrow{BC}\).
4) Montrer que \(A\), \(F\), \(C\) sont alignés.
5) En déduire que \((AC)\) et \((BE)\) sont sécantes en \(F\).

Correction détaillée

🔢 2) \(\overrightarrow{EA}=2\overrightarrow{AD}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})=2\overrightarrow{AB}+\frac43\overrightarrow{BC}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=−\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AD}=−\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AB}−\frac43\overrightarrow{BC}=−3\overrightarrow{AB}−\frac43\overrightarrow{BC}\). \(\overrightarrow{BF}=\frac35\overrightarrow{BE}=−\frac95\overrightarrow{AB}−\frac45\overrightarrow{BC}\), donc \(\overrightarrow{FB}=\frac95\overrightarrow{AB}+\frac45\overrightarrow{BC}\).

🔢 4) \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}−\frac95\overrightarrow{AB}−\frac45\overrightarrow{BC}=−\frac45(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=−\frac45\overrightarrow{AC}\). Donc \(A\), \(F\), \(C\) sont alignés.

🔢 5) \(F\in(AC)\) d’après 4) et \(F\in(BE)\) car \(\overrightarrow{BF}=\frac35\overrightarrow{BE}\). Les droites \((AC)\) et \((BE)\) sont distinctes (\(B\notin(AC)\)), donc elles se coupent en \(F\).

✅ \(\overrightarrow{AF}=−\frac45\overrightarrow{AC}\) : \(F\) est le point d’intersection de \((AC)\) et \((BE)\).

5) Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{AC}\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AC}\).
3) Construire \(M\) tel que \(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec0\).
4) Montrer que \(I\), \(J\), \(M\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 1) \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BJ}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{AC}\).

🔢 2) \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec0\) : on utilise \(A\) : \(\overrightarrow{MA}=−\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AM}\). Alors −\(\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{AB}−3\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AC}−2\overrightarrow{AM}=\vec0\), donc 6\(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}\). Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\), \(M\left(\frac12;\frac13\right)\).

🔢 4) \(\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{AM}−\overrightarrow{AI}=\frac13\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{IM}=\frac23\overrightarrow{IJ}\) : \(I\), \(J\), \(M\) alignés.

✅ \(\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{IM}=\frac23\overrightarrow{IJ}\) : \(I\), \(J\), \(M\) alignés.

6) Soit \(ABCD\) un parallélogramme et \(O\) un point du plan.
1) Construire \(P\), \(Q\), \(R\), \(I\) tels que \(\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{PQ}=3\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{OR}=3\overrightarrow{OB}\) et \(RPQI\) un parallélogramme.
2) Montrer que \(O\), \(D\), \(Q\) sont alignés.
3) Montrer que \(\overrightarrow{PR}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires.
4) Montrer que \(O\), \(C\), \(I\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 1) \(P\), \(R\) sont les images de \(A\), \(B\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport 3 ; \(Q\) est l’image de \(P\) par la translation de vecteur 3\(\overrightarrow{AD}\) ; \(I\) est tel que \(\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{RP}\) (parallélogramme \(RPQI\)).

🔢 2) \(\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}=3\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{AD}=3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD})=3\overrightarrow{OD}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OR}=−3\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{AB}\).

🔢 4) \(RPQI\) parallélogramme : \(\overrightarrow{RP}=\overrightarrow{IQ}\), donc \(\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OQ}−\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{PR}=3\overrightarrow{OD}+3\overrightarrow{AB}=3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})=3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC})=3\overrightarrow{OC}\) (car \(ABCD\) est un parallélogramme : \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)).

✅ \(\overrightarrow{OQ}=3\overrightarrow{OD}\) ; \(\overrightarrow{PR}=3\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{OI}=3\overrightarrow{OC}\).

7) \(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(I\). \(M\), \(N\), \(P\) sont tels que \(\overrightarrow{AP}=\frac32\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{AN}=\frac12\overrightarrow{AM}\).
1)
   a) Montrer que \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AD}\).
   b) En déduire \(\overrightarrow{AN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AD}\).
2)
   a) Construire la figure.
   b) Calculer \(\overrightarrow{BD}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
   c) Montrer que \((BD)\parallel(PN)\).
3) Montrer que \(M\), \(P\), \(C\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 1a) \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AD}\) (car \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\)). 1b) \(\overrightarrow{AN}=\frac32\overrightarrow{AD}\).

🔢 2b) \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=−\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).

🔢 2c) \(\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AN}=−\frac32\overrightarrow{AB}+\frac32\overrightarrow{AD}=\frac32\overrightarrow{BD}\). Colinéaires : \((BD)\parallel(PN)\).

🔢 3) \(\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}−\frac32\overrightarrow{AB}=−\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\). \(\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{AM}−\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AD}−\frac32\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{PC}\). Donc \(M\), \(P\), \(C\) sont alignés.

✅ \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AD}\) ; \(\overrightarrow{AN}=\frac32\overrightarrow{AD}\) ; \(\overrightarrow{PN}=\frac32\overrightarrow{BD}\) ; \(\overrightarrow{PM}=3\overrightarrow{PC}\).

Exercice 4.4

Montrer que des points sont alignés (suite)

1) \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés. \(E\), \(F\), \(G\) sont tels que 2\(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BE}=\vec0\), \(\overrightarrow{CF}+3\overrightarrow{AF}=\vec0\), 3\(\overrightarrow{BG}−2\overrightarrow{CG}=\vec0\).
1)
   a) \(\overrightarrow{AE}=\frac13\overrightarrow{AB}\).
   b) \(\overrightarrow{CF}=\frac34\overrightarrow{CA}\).
   c) \(\overrightarrow{BG}=−2\overrightarrow{BC}\).
2)
   a) En déduire \(\overrightarrow{AF}=\frac14\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AC}\).
   b) Montrer que \(\overrightarrow{EF}=−\frac13\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{EG}=\frac83\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AC}\).
3) Montrer que \(E\), \(F\), \(G\) sont alignés.
4) Construire \(E\), \(F\), \(G\).

Correction détaillée

🔢 1a) 2\(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\vec0\), donc 3\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}\). 1b) On écrit \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}\) : \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}+3\overrightarrow{AF}=\vec0\), donc \(\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{AF}=\vec0\), donc \(\overrightarrow{AF}=\frac14\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\frac14\overrightarrow{AC}=\frac34\overrightarrow{CA}\).

🔢 1c) 3\(\overrightarrow{BG}−2(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BG})=\vec0\), donc \(\overrightarrow{BG}=2\overrightarrow{CB}=−2\overrightarrow{BC}\).

🔢 2a) \(\overrightarrow{AF}=\frac14\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}−2(\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB})=3\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AC}\).

🔢 2b) \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}−\overrightarrow{AE}=\frac14\overrightarrow{AC}−\frac13\overrightarrow{AB}\). \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AG}−\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AC}−\frac13\overrightarrow{AB}=\frac83\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AC}\).

🔢 3) \(\frac{8/3}{-1/3}=-8\) et \(\frac{-2}{1/4}=-8\) : \(\overrightarrow{EG}=−8\overrightarrow{EF}\). Donc \(E\), \(F\), \(G\) sont alignés.

🔢 4) Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) : \(E\left(\frac13;0\right)\), \(F\left(0;\frac14\right)\), \(G(3;-2)\).

✅ \(\overrightarrow{EG}=−8\overrightarrow{EF}\) : \(E\), \(F\), \(G\) sont alignés.

2) \(ABC\) est un triangle tel que \(BC=3\), \(AC=4\), \(AB=5\). \(E\), \(F\), \(K\), \(G\) sont tels que 3\(\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{BE}=\vec0\), 3\(\overrightarrow{AF}−\overrightarrow{CF}=\vec0\), 2\(\overrightarrow{BK}−\overrightarrow{CK}=\vec0\), 3\(\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}−\overrightarrow{CG}=\vec0\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{AE}=\frac25\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}=−\frac12\overrightarrow{AC}\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{BK}=−\overrightarrow{BC}\), en déduire \(\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AC}\).
3)
a) Montrer que 5\(\overrightarrow{EG}−\overrightarrow{CG}=\vec0\).
b) Montrer que 3\(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{KG}=\vec0\).
4) En déduire que \(G\) est le point d’intersection de \((CE)\) et \((AK)\).
5) Montrer que \(G\) est le milieu de \([BF]\).
6) Écrire \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
7) Construire.

Correction détaillée

🔢 1) 3\(\overrightarrow{AE}+2(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE})=\vec0\), donc 5\(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}\). 3\(\overrightarrow{AF}−(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF})=\vec0\), donc 2\(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{AF}=−\frac12\overrightarrow{AC}\).

🔢 2) 2\(\overrightarrow{BK}−(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BK})=\vec0\), donc \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{CB}=−\overrightarrow{BC}\). \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}−(\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB})=2\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AC}\).

🔢 3a) 3\(\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}=3(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EG})+2(\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EG})=(3\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{BE})+5\overrightarrow{EG}=5\overrightarrow{EG}\). Donc 5\(\overrightarrow{EG}−\overrightarrow{CG}=\vec0\).

🔢 3b) 2\(\overrightarrow{BG}−\overrightarrow{CG}=2(\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KG})−(\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{KG})=(2\overrightarrow{BK}−\overrightarrow{CK})+\overrightarrow{KG}=\overrightarrow{KG}\). Donc 3\(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{KG}=\vec0\).

🔢 4) 3a) : \(\overrightarrow{EG}=\frac15\overrightarrow{CG}\) donc \(G\in(CE)\). 3b) : \(\overrightarrow{AG}=−\frac13\overrightarrow{KG}\) donc \(G\in(AK)\). Les droites \((CE)\) et \((AK)\) sont sécantes (directions différentes : \(\overrightarrow{CE}=\frac25\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AC}\) non colinéaires). Donc \(G\) est leur point d’intersection.

🔢 5) 3\(\overrightarrow{AG}+2(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AG})−(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG})=\vec0\) donne 4\(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AG}=\frac12\overrightarrow{AB}−\frac14\overrightarrow{AC}\). Or \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}−\frac12\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AG}\), donc \(\overrightarrow{AG}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}\)) : \(G\) est le milieu de \([BF]\).

🔢 6) \(\overrightarrow{AG}=\frac12\overrightarrow{AB}−\frac14\overrightarrow{AC}\). 7) Triangle rectangle en \(C (3^2+4^2=5^2\)) : \(AC=4\), \(BC=3\), \(AB=5\).

✅ \(\overrightarrow{AG}=\frac12\overrightarrow{AB}−\frac14\overrightarrow{AC}\) ; \(G\) est l’intersection de \((CE)\) et \((AK)\) et le milieu de \([BF]\).

3) \(ABC\) est un triangle et \(G\) le point tel que \(\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}−\overrightarrow{CG}=\vec0\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}−\frac12\overrightarrow{AC}\), en déduire \(\overrightarrow{BG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\).
2) Soit \(D\) tel que \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}−\frac52\overrightarrow{AC}\). Montrer que \(\overrightarrow{BD}=−\frac32\overrightarrow{AC}\).
3) Montrer que \(B\), \(G\), \(D\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 1) \(\overrightarrow{AG}+2(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AG})−(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG})=\vec0\), donc 2\(\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BA}−\overrightarrow{CA}=\vec0\) et \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}−\frac12\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AG}−\overrightarrow{AB}=−\frac12\overrightarrow{AC}\).

🔢 2) \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}−\frac52\overrightarrow{AC}=−\frac32\overrightarrow{AC}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{BG}\) : \(B\), \(G\), \(D\) sont alignés.

✅ \(\overrightarrow{BG}=−\frac12\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD}=−\frac32\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{BG}\).

4) Soit \(ABC\) un triangle. \(E\), \(F\) sont tels que \(\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CF}=\frac12\overrightarrow{AB}\).
1) Construire \(E\) et \(F\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AF}=\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).
3) En déduire que \(A\), \(E\), \(F\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 2) \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AB}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AF}\) : \(A\), \(E\), \(F\) sont alignés (et \(F\) est le milieu de \([AE]\)).

✅ \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AF}\).

5) Soit \(ABC\) un triangle, \(k\in\mathbb R\) et \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}+(1−k)\overrightarrow{AC}\). Montrer que, quel que soit \(k\), \(B\), \(M\), \(C\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}−\overrightarrow{AB}=(k-1)\overrightarrow{AB}+(1−k)\overrightarrow{AC}=(1−k)(\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB})=(1−k)\overrightarrow{BC}\).

✅ \(\overrightarrow{BM}=(1−k)\overrightarrow{BC}\) : \(B\), \(M\), \(C\) sont alignés pour tout \(k\).

6) \(ABCD\) est un parallélogramme. \(E\), \(F\) sont tels que \(\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BE}=\frac13\overrightarrow{AB}\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{CE}=−\overrightarrow{AD}+\frac13\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CF}=3\overrightarrow{AD}−\overrightarrow{AB}\).
2) En déduire que \(E\), \(C\), \(F\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 1) \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=−\overrightarrow{AD}+\frac13\overrightarrow{AB}\). \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=−\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AD}+4\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AD}−\overrightarrow{AB}\).

🔢 2) \(\overrightarrow{CF}=−3\overrightarrow{CE}\) : \(E\), \(C\), \(F\) sont alignés.

✅ \(\overrightarrow{CF}=−3\overrightarrow{CE}\).

7) Soit \(ABC\) un triangle. \(E\) et \(F\) sont tels que \(\overrightarrow{AF}=\frac43\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CE}=\frac14\overrightarrow{AB}\).
1) Faire une figure.
2) Montrer que \(E\), \(F\), \(B\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+\frac14\overrightarrow{AB}\). \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}−\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}−\frac34\overrightarrow{AB}\). \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AF}−\overrightarrow{AB}=\frac43\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB}=\frac43(\overrightarrow{AC}−\frac34\overrightarrow{AB})=\frac43\overrightarrow{BE}\).

🔢 Donc \(B\), \(E\), \(F\) sont alignés.

✅ \(\overrightarrow{BF}=\frac43\overrightarrow{BE}\).

8) \(ABC\) est un triangle. \(E\), \(F\), \(G\) tels que \(\overrightarrow{AE}=\frac12\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{CF}\), 2\(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GC}=\vec0\).
1) Construire \(E\), \(F\), \(G\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{EC}\).
3) \((AG)\) coupe \((BC)\) en \(K\). Montrer que \(K\) est le milieu de \([BC]\).

Correction détaillée

🔢 2) \(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{CF}=2(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}\)), donc \(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AF}−\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB}\). \(\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}−\frac12\overrightarrow{AB}\). Donc \(\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{EC}\).

🔢 3) 2\(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GC}=\vec0\) : 3\(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EC}=\vec0\), donc \(\overrightarrow{EG}=\frac13\overrightarrow{EC}\). \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EG}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac13(\overrightarrow{AC}−\frac12\overrightarrow{AB})=\frac13(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)).

🔢 \(K\in(BC)\) : \(\overrightarrow{AK}=(1−t)\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\). \(K\in(AG)\) : \(\overrightarrow{AK}=\lambda\overrightarrow{AG}=\frac\lambda3(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)). Comme \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) forment une base : 1−\(t=t=\frac\lambda3\), donc \(t=\frac12\) : \(\overrightarrow{BK}=\frac12\overrightarrow{BC}\).

✅ \(\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{EC}\) ; \(\overrightarrow{BK}=\frac12\overrightarrow{BC}\) : \(K\) est le milieu de \([BC]\).

9) \(ABC\) est un triangle. \(A’\), \(B’\), \(C’\) milieux de \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{BB’}=−\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CC’}=−\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AB}\).
2) \(E\), \(F\) tels que \(\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{BB’}\) et \(\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{CC’}\).
a) Nature de \(ACBF\) et de \(ABCE\) ?
b) Montrer que \(E\), \(A\), \(F\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 1) \(\overrightarrow{BB’}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB’}=−\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{CC’}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC’}=−\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AB}\).

🔢 2a) \(\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{BB’}\) : \(B’\) est le milieu de \([BE]\) ; \(B’\) est aussi le milieu de \([AC]\). Les diagonales de \(ABCE\) ont le même milieu : parallélogramme. De même \(C’\) est le milieu de \([AB]\) et de \([CF]\) : \(ACBF\) est un parallélogramme.

🔢 2b) \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BB’}=\overrightarrow{AB}−2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\). \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CC’}=\overrightarrow{AC}−2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}−\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\). Donc \(\overrightarrow{AF}=−\overrightarrow{AE}\) : \(A\) est le milieu de \([EF]\), les points sont alignés.

✅ \(ABCE\) et \(ACBF\) sont des parallélogrammes ; \(\overrightarrow{AF}=−\overrightarrow{AE}\) : \(E\), \(A\), \(F\) alignés.

Exercice 4.5

Vérifier que des vecteurs sont colinéaires

1) Soit \(ABC\) un triangle.
1) Donner \(\overrightarrow{AB}\) en fonction de \(\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CA}\).
2) Soit \(M\) tel que \(\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{MB}\). Écrire \(\overrightarrow{AM}\) en fonction de \(\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CA}\).
3) Les points \(A\), \(B\) et \(M\) sont-ils alignés ? Justifier.

Correction détaillée

🔢 1) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}−\overrightarrow{CA}\).

🔢 2) \(\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{MB}=3(\overrightarrow{CB}−\overrightarrow{CM}\)), donc 4\(\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CM}=\frac34\overrightarrow{CB}\). Alors \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=−\overrightarrow{CA}+\frac34\overrightarrow{CB}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}−\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{AM}=\frac34\overrightarrow{CB}−\overrightarrow{CA}\). Si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\frac34=k\) et \(-1=-k\) : \(k=\frac34\) et \(k=1\), impossible. \(\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CA}\) ne sont pas colinéaires, donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM}\) ne le sont pas.

✅ 1) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}−\overrightarrow{CA}\) ; 2) \(\overrightarrow{AM}=\frac34\overrightarrow{CB}−\overrightarrow{CA}\) ; 3) \(A\), \(B\), \(M\) ne sont pas alignés.

2) Soit \(ABC\) un triangle, \(M\) et \(N\) deux points tels que \(\overrightarrow{AM}=\frac13\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{NA}=\frac32\overrightarrow{NC}\).
1) Vérifier que \(\overrightarrow{BN}\) et \(\overrightarrow{MC}\) sont colinéaires.
2) Soit \(I\) le milieu de \([BN]\). Construire le point \(D\) tel que \(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{DI}=\vec0\), puis montrer que \(BCND\) est un parallélogramme.

Correction détaillée

🔢 1) \(\overrightarrow{NA}=\frac32\overrightarrow{NC}\) : \(\overrightarrow{NA}=\frac32(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AC}\)), donc −\(\frac12\overrightarrow{NA}=\frac32\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{NA}=−3\overrightarrow{AC}\), soit \(\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AC}\).

🔢 \(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=−\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}=−\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\). Donc \(\overrightarrow{BN}=3\overrightarrow{MC}\) : colinéaires.

🔢 2) \(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{DI}=\vec0\iff\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{IC}\) : \(I\) est le milieu de \([DC]\) ; \(D\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \(I\).

🔢 Les diagonales \([BN]\) et \([CD]\) de \(BCND\) ont le même milieu \(I\). De plus \(B\), \(C\), \(N\) ne sont pas alignés (\(\overrightarrow{BN}=−\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}=−\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires). Donc \(BCND\) est un parallélogramme.

✅ \(\overrightarrow{BN}=3\overrightarrow{MC}\) ; \(D\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \(I\) et \(BCND\) est un parallélogramme.

Exercice 5.1

Montrer qu’un point est le milieu d’un segment

1) Soient \(A\), \(B\), \(M\), \(I\) quatre points tels que \(\overrightarrow{MI}=\frac12(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\)). Montrer que \(I\) est le milieu de \([AB]\).

Correction détaillée

📘 Rappel : \(I\) est le milieu de \([AB]\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) pour tout point \(M\).

🔢 \(\overrightarrow{MI}=\frac12(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\)), donc 2\(\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\). On écrit \(\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BI}\).

🔢 En additionnant : 2\(\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}\). Comme 2\(\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\), on obtient \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\vec0\), soit \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\).

✅ \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\) : \(I\) est le milieu de \([AB]\).

2) Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts.
1) Construire \(D\) et \(C\) tels que \(\overrightarrow{AC}=−2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{AB}\).
2) Montrer que \(D\) est le milieu de \([AC]\).

Correction détaillée

📘 Rappel : \(I\) est le milieu de \([AB]\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) pour tout point \(M\).

🔢 1) \(C\) est sur \((AB)\), de l’autre côté de \(A\), avec \(AC=2AB\). \(\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{AB}\) donne \(\overrightarrow{BD}=−2\overrightarrow{AB}\) : \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=−\overrightarrow{AB}\).

🔢 2) \(\overrightarrow{AD}=−\overrightarrow{AB}=\frac12(−2\overrightarrow{AB})=\frac12\overrightarrow{AC}\) : \(D\) est le milieu de \([AC]\).

✅ \(\overrightarrow{AD}=\frac12\overrightarrow{AC}\) : \(D\) est le milieu de \([AC]\).

3) Soit \(ABCD\) un parallélogramme. \(E\) et \(F\) sont définis par \(\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{DA}\) et \(\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{DC}\). Montrer que \(B\) est le milieu de \([EF]\).

Correction détaillée

📘 Rappel : \(I\) est le milieu de \([AB]\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) pour tout point \(M\).

🔢 \(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DC}=2(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC})=2\overrightarrow{DB}\) (règle du parallélogramme).

🔢 Donc \(\overrightarrow{DB}=\frac12(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}\)) : \(B\) est le milieu de \([EF]\).

✅ \(B\) est le milieu de \([EF]\).

4) \(ABC\) est un triangle ; \(D\) et \(E\) tels que \(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{BA}\). Montrer que \(C\) est le milieu de \([DE]\).

Correction détaillée

📘 Rappel : \(I\) est le milieu de \([AB]\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) pour tout point \(M\).

🔢 \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}−\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}\). \(\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{BA}=−3\overrightarrow{AB}\).

🔢 \(\overrightarrow{CE}=−\overrightarrow{CD}\) : \(C\) est le milieu de \([DE]\).

✅ \(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CE}=\vec0\) : \(C\) est le milieu de \([DE]\).

5) Soit \(ABC\) un triangle ; \(F\) et \(E\) sont tels que \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\). Montrer que \(C\) est le milieu de \([EF]\).

Correction détaillée

📘 Rappel : \(I\) est le milieu de \([AB]\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) pour tout point \(M\).

🔢 \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB}\).

🔢 \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=(\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=2\overrightarrow{AC}\).

🔢 Donc \(\overrightarrow{AC}=\frac12(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\)) : \(C\) est le milieu de \([EF]\).

✅ \(C\) est le milieu de \([EF]\).

Exercice 5.2

Utiliser les milieux dans un triangle ou un quadrilatère

1) \(ABCD\) est un quadrilatère convexe ; \(I\), \(J\), \(K\), \(L\) sont les milieux de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\).
a) Comparer \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{LK}\).
b) En déduire la nature de \(IJKL\).

Correction détaillée

📘 Rappel : \(I\) est le milieu de \([AB]\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) pour tout point \(M\).

🔢 a) \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BJ}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{LD}+\overrightarrow{DK}=\frac12\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{DC}=\frac12\overrightarrow{AC}\).

🔢 b) \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}\) : \(IJKL\) est un parallélogramme (théorème de Varignon).

✅ \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}\) : \(IJKL\) est un parallélogramme.

2) \(ABC\) est un triangle ; \(A’\) est le milieu de \([BC]\). On démontre : “ \(G\) est le centre de gravité de \(ABC \iff\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\) ”.
1) Quelle égalité vectorielle entre \(\overrightarrow{GA}\) et \(\overrightarrow{GA’}\) caractérise le centre de gravité ?
2)
a) Prouver que \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GA’}\).
b) En déduire que \(\overrightarrow{GA}=−2\overrightarrow{GA’}\) équivaut à \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\). Conclure.

Correction détaillée

📘 Rappel : \(I\) est le milieu de \([AB]\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) pour tout point \(M\).

🔢 1) \(G\) est aux deux tiers de la médiane \([AA’]\) à partir de \(A\) : \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AA’}\). Cela équivaut à \(\overrightarrow{GA}=−2\overrightarrow{GA’}\) (car \(G\) est entre \(A\) et \(A’\) avec \(GA=2GA’\)).

🔢 2a) \(A’\) est le milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GA’}\).

🔢 2b) \(\overrightarrow{GA}=−2\overrightarrow{GA’}\iff\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GA’}=\vec0\iff\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\) (d’après 2a).

🔢 Conclusion : \(G\) est le centre de gravité \(\iff\overrightarrow{GA}=−2\overrightarrow{GA’}\iff\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\).

✅ \(G\) est le centre de gravité de \(ABC \iff\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\).

3) \(ABC\) est un triangle ; \(A’\), \(B’\), \(C’\) sont les milieux de \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\).
1) Justifier que \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AA’}\).
2) Exprimer de même \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\) en fonction d’un seul vecteur. En déduire que \(\overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=\vec0\).

Correction détaillée

📘 Rappel : \(I\) est le milieu de \([AB]\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) pour tout point \(M\).

🔢 1) \(A’\) milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AA’}\) (propriété du milieu).

🔢 2) De même \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BB’}\) et \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CC’}\).

🔢 On additionne : 2(\(\overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})=\vec0\). Donc \(\overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=\vec0\).

✅ \(\overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=\vec0\).

4) Dans le triangle \(ABC\), \(B’\) et \(C’\) sont tels que \(\overrightarrow{AB’}=k\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC’}=(1−k)\overrightarrow{AC}\), \(k\in\mathbb R\) ; \(I\) est le milieu de \([B’C’]\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{AI}=\frac{1-k}2\overrightarrow{AC}+\frac k2\overrightarrow{AB}\).
2) \(A’\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(I\). Montrer que \(\overrightarrow{BA’}=(1−k)\overrightarrow{BC}\).
3) Montrer que \(\overrightarrow{IA}+k\overrightarrow{IB}+(1−k)\overrightarrow{IC}=\vec0\).

Correction détaillée

📘 Rappel : \(I\) est le milieu de \([AB]\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) pour tout point \(M\).

🔢 1) \(I\) milieu de \([B’C’]\) : \(\overrightarrow{AI}=\frac12(\overrightarrow{AB’}+\overrightarrow{AC’})=\frac k2\overrightarrow{AB}+\frac{1-k}2\overrightarrow{AC}\).

🔢 2) \(I\) milieu de \([AA’]\) : \(\overrightarrow{AA’}=2\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{AB}+(1−k)\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{BA’}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA’}=−\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AB}+(1−k)\overrightarrow{AC}=(1−k)(\overrightarrow{AC}−\overrightarrow{AB})=(1−k)\overrightarrow{BC}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{IA}+k(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})+(1−k)(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC})=2\overrightarrow{IA}+k\overrightarrow{AB}+(1−k)\overrightarrow{AC}=−2\overrightarrow{AI}+2\overrightarrow{AI}=\vec0\).

✅ \(\overrightarrow{AI}=\frac k2\overrightarrow{AB}+\frac{1-k}2\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{BA’}=(1−k)\overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{IA}+k\overrightarrow{IB}+(1−k)\overrightarrow{IC}=\vec0\).

5) \(ABCD\) est un quadrilatère, \(I\) le milieu de \([AD]\). \(G\) et \(J\) sont tels que \(\overrightarrow{AG}+5\overrightarrow{BG}−3\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DG}=\vec0\) et 5\(\overrightarrow{BJ}−3\overrightarrow{CJ}=\vec0\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{BJ}=−\frac32\overrightarrow{BC}\).
2) Montrer que \(G\) est le milieu de \([IJ]\).
3)
   a) Montrer que pour tout \(M\) : 5\(\overrightarrow{BM}−3\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{JM}\) et \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{IM}\).
   b) Déterminer l’ensemble \((\Delta)\) des points \(M\) tels que \(\left\|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DM}\right\|=\left\|5\overrightarrow{BM}−3\overrightarrow{CM}\right\|\).
   c) Déterminer l’ensemble \((T)\) des points \(M\) tels que \(\left\|5\overrightarrow{BM}−3\overrightarrow{CM}\right\|=IJ\).
4) Construire.

Correction détaillée

📘 Rappel : \(I\) est le milieu de \([AB]\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) pour tout point \(M\).

🔢 1) 5\(\overrightarrow{BJ}−3(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BJ})=\vec0\), donc 2\(\overrightarrow{BJ}=3\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{BJ}=−\frac32\overrightarrow{BC}\).

🔢 3a) 5\(\overrightarrow{BM}−3\overrightarrow{CM}=5(\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{JM})−3(\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{JM})=(5\overrightarrow{BJ}−3\overrightarrow{CJ})+2\overrightarrow{JM}=2\overrightarrow{JM}\). \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{IM}\) car \(I\) est le milieu de \([AD]\).

🔢 2) \(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{DG}=2\overrightarrow{IG}\) et 5\(\overrightarrow{BG}−3\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{JG}\) (d’après 3a avec \(M=G\)). L’égalité donne 2\(\overrightarrow{IG}+2\overrightarrow{JG}=\vec0\), donc \(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{JG}=\vec0\) : \(G\) est le milieu de \([IJ]\).

🔢 3b) La condition s’écrit \(\|2\overrightarrow{IM}\|=\|2\overrightarrow{JM}\|\), soit \(IM=JM\) : \((\Delta)\) est la médiatrice du segment \([IJ]\) (si \(I\ne J\)).

🔢 3c) \(\|2\overrightarrow{JM}\|=IJ\iff JM=\frac{IJ}2\) : \((T)\) est le cercle de centre \(J\) et de rayon \(\frac{IJ}2\).

🔢 4) On place \(J\) tel que \(\overrightarrow{BJ}=−\frac32\overrightarrow{BC}\) (sur \((BC)\), au-delà de \(B\)), \(I\) milieu de \([AD]\), \(G\) milieu de \([IJ]\), puis la médiatrice de \([IJ]\) et le cercle \((J;\frac{IJ}2)\).

✅ \(G\) milieu de \([IJ]\) ; \((\Delta)\) médiatrice de \([IJ]\) ; \((T)\) cercle de centre \(J\) et de rayon \(\frac{IJ}2\).