Cette série d’exercices corrigés sur les polynômes pour le Tronc Commun porte sur l’égalité, les opérations, le degré, la division euclidienne et les racines, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Exercices corrigés sur les polynômes Tronc Commun
Polynômes · Série d’exercices Tronc Commun
📌 Série de synthèse
⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée
📝 Corrections étape par étape
Exercice 1.1
Déterminer des polynômes qui vérifient des conditions
1) Déterminer un polynôme \(P(x)\) de second degré tel que \(P(1)=3\), \(P(-1)=-1\) et \(P(2)=14\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on écrit les conditions sous forme d’un système en \(a\), \(b\), \(c\).
🔢 On pose \(P(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\ne0\).
🔢 \(P(1)=a+b+c=3\) ; \(P(-1)=a-b+c=-1\) ; \(P(2)=4a+2b+c=14\).
🔢 En soustrayant les deux premières : \(2b=4\), \(b=2\), puis \(a+c=1\).
🔢 La troisième donne \(4a+c=14-4=10\). Avec \(a+c=1\) : \(3a=9\), \(a=3\), \(c=-2\).
✅ \(P(x)=3x^2+2x-2\) (vérification : \(P(2)=12+4-2=14\)).
2) Déterminer un polynôme \(P\) de degré \(2\) tel que \(P(0)=P(1)=5\) et \(P(-2)=3\).
Correction détaillée
🔢 \(P(x)=ax^2+bx+c\). \(P(0)=c=5\).
🔢 \(P(1)=a+b+5=5\), donc \(b=-a\).
🔢 \(P(-2)=4a-2b+5=3\), donc \(4a+2a=-2\), \(a=-\frac13\), puis \(b=\frac13\).
✅ \(P(x)=-\frac13x^2+\frac13x+5\).
Exercice 1.2
Déterminer les coefficients d’un produit
1) On considère le polynôme \(P(x)=2(2x-1)(3-x)\). À l’aide d’un calcul mental, déterminer les coefficients du terme en \(x^2\) et du terme constant.
Correction détaillée
📘 Méthode : dans un produit de polynômes, le terme de plus haut degré s’obtient en multipliant les termes de plus haut degré et le terme constant en multipliant les termes constants.
🔢 Terme en \(x^2\) : il vient du produit des termes en \(x\) de chaque facteur : \(2\times(2x)\times(-x)=-4x^2\).
🔢 Terme constant : produit des termes constants : \(2\times(-1)\times3=-6\).
✅ Le coefficient de \(x^2\) est \(-4\) et le terme constant est \(-6\) (\(P(x)=-4x^2+14x-6\)).
Exercice 1.3
Reconnaître des polynômes et donner leur degré
1) Déterminer, parmi les expressions suivantes, celles qui sont des polynômes et déterminer, si c’est possible, leurs degrés (\(a\in\mathbb R\)) : \(P(x)=\frac14x^3+\frac{\sqrt2}2x^2-\sqrt3\) ; \(Q(x)=2x^2-x-\sqrt x\) ; \(R(x)=5|x^2|+4|x|-5\) ; \(M(x)=\frac53x^2+x+2-7x^4\) ; \(N(x)=x^2+\frac1x+3\) ; \(O(x)=4\) ; \(E(x)=(a-1)x^4+x^2+x+1\).
Correction détaillée
🔢 Un polynôme est une somme de termes de la forme \(a_kx^k\) avec \(k\in\mathbb N\) et \(a_k\in\mathbb R\).
🔢 \(P\) : polynôme de degré \(3\) (coefficients \(\frac14\), \(\frac{\sqrt2}2\), \(0\), \(-\sqrt3\)).
🔢 \(Q\) : contient \(\sqrt x=x^{1/2}\), exposant non entier : ce n’est pas un polynôme.
🔢 \(R\) : \(|x^2|=x^2\) mais \(|x|\) n’est pas une puissance entière de \(x\) : ce n’est pas un polynôme.
🔢 \(M(x)=-7x^4+\frac53x^2+x+2\) : polynôme de degré \(4\).
🔢 \(N\) : contient \(\frac1x=x^{-1}\), exposant négatif : ce n’est pas un polynôme.
🔢 \(O(x)=4\) : polynôme constant non nul, de degré \(0\).
🔢 \(E\) : polynôme. Si \(a\ne1\), le coefficient de \(x^4\) est non nul et \(\deg E=4\) ; si \(a=1\), \(E(x)=x^2+x+1\) et \(\deg E=2\).
✅ Polynômes : \(P\) (degré 3), \(M\) (degré 4), \(O\) (degré 0), \(E\) (degré 4 si \(a\ne1\), degré 2 si \(a=1\)). Non polynômes : \(Q\), \(R\), \(N\).
Exercice 2.1
Déterminer des coefficients par identification
1) Soient \(P(x)=x^4-2x^3+x^2-1\) et \(Q(x)=ax^5+(b+c)x^4+(c+d)x^3+dx^2+e\). Déterminer les réels \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) pour que \(P=Q\).
Correction détaillée
📘 Rappel : deux polynômes sont égaux \(\iff\) ils ont le même degré et les mêmes coefficients pour chaque puissance de \(x\).
🔢 On identifie les coefficients de \(x^5\), \(x^4\), \(x^3\), \(x^2\), \(x\) et du terme constant :
🔢 \(a=0\) ; \(b+c=1\) ; \(c+d=-2\) ; \(d=1\) ; \(e=-1\) (aucun terme en \(x\) de chaque côté).
🔢 \(d=1\) donne \(c=-3\), puis \(b=1-c=4\).
✅ \(a=0\), \(b=4\), \(c=-3\), \(d=1\), \(e=-1\).
2) Soient \(P(x)=12x^4-36x^3+47x^2-30x+7\) et \(Q(x)=(2x^2-3x+1)(ax^2+bx+c)\). Déterminer \(a\), \(b\), \(c\) pour que \(P=Q\).
Correction détaillée
📘 Rappel : deux polynômes sont égaux \(\iff\) ils ont le même degré et les mêmes coefficients pour chaque puissance de \(x\).
🔢 \(Q(x)=2ax^4+(2b-3a)x^3+(2c-3b+a)x^2+(b-3c)x+c\).
🔢 Identification : \(2a=12\) ; \(2b-3a=-36\) ; \(2c-3b+a=47\) ; \(b-3c=-30\) ; \(c=7\).
🔢 \(a=6\) ; \(2b=-36+18=-18\), \(b=-9\) ; \(2c=47+3b-a=47-27-6=14\), \(c=7\).
🔢 Vérification : \(b-3c=-9-21=-30\) ✓ et \(c=7\) ✓.
✅ \(a=6\), \(b=-9\), \(c=7\).
Exercice 2.2
Étudier l’égalité de polynômes
1) Lesquels des polynômes ci-dessous sont égaux ? Expliquer. \(P(x)=2x^3-2x^2+x-3\) ; \(Q(x)=2x^2(x-2)+(x-1)(2x+3)\) ; \(R(x)=2x^3+3x^2-2x-3\).
Correction détaillée
📘 Rappel : deux polynômes sont égaux \(\iff\) ils ont le même degré et les mêmes coefficients pour chaque puissance de \(x\).
🔢 On développe \(Q\) : \(Q(x)=2x^3-4x^2+2x^2+3x-2x-3=2x^3-2x^2+x-3\).
🔢 \(Q\) a exactement les mêmes coefficients que \(P\) : \(P=Q\).
🔢 \(R(x)=2x^3+3x^2-2x-3\) : le coefficient de \(x^2\) est \(3\) (au lieu de \(-2\)), donc \(R\ne P\) et \(R\ne Q\).
✅ Seuls \(P\) et \(Q\) sont égaux.
2) Étudier l’égalité des polynômes :
1) \(P(x)=x^3+2x^2(x-1)+x\) et \(Q(x)=x^2(3x-2)+x\) ;
2) \(P(x)=(x-1)^3\) et \(Q(x)=x^3-3x^2-3x+1\).
1) \(P(x)=x^3+2x^2(x-1)+x\) et \(Q(x)=x^2(3x-2)+x\) ;
2) \(P(x)=(x-1)^3\) et \(Q(x)=x^3-3x^2-3x+1\).
Correction détaillée
📘 Rappel : deux polynômes sont égaux \(\iff\) ils ont le même degré et les mêmes coefficients pour chaque puissance de \(x\).
🔢 1) \(P(x)=x^3+2x^3-2x^2+x=3x^3-2x^2+x\) et \(Q(x)=3x^3-2x^2+x\) : \(P=Q\).
🔢 2) \((x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1\). Le coefficient de \(x\) vaut \(3\) pour \(P\) et \(-3\) pour \(Q\) : \(P\ne Q\).
✅ 1) \(P=Q\) ; 2) \(P\ne Q\).
Exercice 3.1
Calculer des sommes et des produits de polynômes
1) Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes.
I) Calculer \(P(x)+Q(x)\), \(P(x)-Q(x)\) et \(3P(x)-2Q(x)\) :
1) \(P(x)=x^3+2x^2-1\) et \(Q(x)=3x^4-x^3+x\) ;
2) \(P(x)=x^5-x^2+3\) et \(Q(x)=-x^5+x^2-5\).
I) Calculer \(P(x)+Q(x)\), \(P(x)-Q(x)\) et \(3P(x)-2Q(x)\) :
1) \(P(x)=x^3+2x^2-1\) et \(Q(x)=3x^4-x^3+x\) ;
2) \(P(x)=x^5-x^2+3\) et \(Q(x)=-x^5+x^2-5\).
Correction détaillée
🔢 1) \(P+Q=3x^4+(x^3-x^3)+2x^2+x-1=3x^4+2x^2+x-1\).
🔢 \(P-Q=x^3+2x^2-1-3x^4+x^3-x=-3x^4+2x^3+2x^2-x-1\).
🔢 \(3P-2Q=3x^3+6x^2-3-6x^4+2x^3-2x=-6x^4+5x^3+6x^2-2x-3\).
🔢 2) \(P+Q=(x^5-x^5)+(-x^2+x^2)+(3-5)=-2\) (polynôme constant).
🔢 \(P-Q=2x^5-2x^2+8\).
🔢 \(3P-2Q=3x^5-3x^2+9+2x^5-2x^2+10=5x^5-5x^2+19\).
✅ 1) \(3x^4+2x^2+x-1\) ; \(-3x^4+2x^3+2x^2-x-1\) ; \(-6x^4+5x^3+6x^2-2x-3\). 2) \(-2\) ; \(2x^5-2x^2+8\) ; \(5x^5-5x^2+19\).
2) II) Calculer \(P(x)Q(x)\) et \((P(x))^2\), puis comparer \(\deg(PQ)\) et \(\deg P+\deg Q\) :
1) \(P(x)=x^2-1\) et \(Q(x)=x^2+2x-3\) ;
2) \(P(x)=x^4-x^2+2\) et \(Q(x)=3x+2\).
1) \(P(x)=x^2-1\) et \(Q(x)=x^2+2x-3\) ;
2) \(P(x)=x^4-x^2+2\) et \(Q(x)=3x+2\).
Correction détaillée
📘 Rappel : si \(P\ne0\) et \(Q\ne0\), \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\).
🔢 1) \(PQ=(x^2-1)(x^2+2x-3)=x^4+2x^3-3x^2-x^2-2x+3=x^4+2x^3-4x^2-2x+3\).
🔢 \(P^2=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1\). \(\deg(PQ)=4=2+2\).
🔢 2) \(PQ=3x^5+2x^4-3x^3-2x^2+6x+4\). \(P^2=x^8-2x^6+5x^4-4x^2+4\).
🔢 \(\deg(PQ)=5=4+1\).
✅ Dans les deux cas \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\) ; 1) \(PQ=x^4+2x^3-4x^2-2x+3\), \(P^2=x^4-2x^2+1\) ; 2) \(PQ=3x^5+2x^4-3x^3-2x^2+6x+4\), \(P^2=x^8-2x^6+5x^4-4x^2+4\).
Exercice 3.2
Effectuer une division euclidienne
1) Effectuer la division euclidienne de :
1) \(x^4-x^3+x-2\) par \(x^2-2x+4\) ;
2) \(3x^5+2x^4-x^2+1\) par \(x^3+x+2\).
1) \(x^4-x^3+x-2\) par \(x^2-2x+4\) ;
2) \(3x^5+2x^4-x^2+1\) par \(x^3+x+2\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on divise le terme de plus haut degré du reste courant par celui du diviseur, jusqu’à obtenir un reste de degré strictement inférieur à celui du diviseur.
🔢 1) On écrit \(x^4-x^3+0x^2+x-2\). \(x^4:x^2=x^2\) ; on retranche \(x^2(x^2-2x+4)=x^4-2x^3+4x^2\) : reste \(x^3-4x^2+x-2\).
🔢 \(x^3:x^2=x\) ; on retranche \(x^3-2x^2+4x\) : reste \(-2x^2-3x-2\). \(-2x^2:x^2=-2\) ; on retranche \(-2x^2+4x-8\) : reste \(-7x+6\) (de degré \(1<2\), on s’arrête).
🔢 Donc \(x^4-x^3+x-2=(x^2-2x+4)(x^2+x-2)+(-7x+6)\).
🔢 2) On écrit \(3x^5+2x^4+0x^3-x^2+0x+1\). \(3x^5:x^3=3x^2\) ; on retranche \(3x^5+3x^3+6x^2\) : reste \(2x^4-3x^3-7x^2+1\).
🔢 \(2x^4:x^3=2x\) ; on retranche \(2x^4+2x^2+4x\) : reste \(-3x^3-9x^2-4x+1\). \(-3x^3:x^3=-3\) ; on retranche \(-3x^3-3x-6\) : reste \(-9x^2-x+7\) (degré \(2<3\)).
🔢 Donc \(3x^5+2x^4-x^2+1=(x^3+x+2)(3x^2+2x-3)+(-9x^2-x+7)\).
✅ 1) quotient \(x^2+x-2\), reste \(-7x+6\) ; 2) quotient \(3x^2+2x-3\), reste \(-9x^2-x+7\).
Exercice 3.3
Factoriser et encadrer
1) On considère le polynôme \(A(x)=-3x^2+x+4\).
1) Vérifier que \(A(x)=(x+1)(4-3x)\).
2) On suppose que \(\left|x-\frac12\right|<\frac13\).
a) Montrer que \(\frac16<x<\frac56\) et que \(\frac32<-3x+4<\frac72\).
b) Montrer que \(\frac74<A(x)<\frac{77}{12}\).
1) Vérifier que \(A(x)=(x+1)(4-3x)\).
2) On suppose que \(\left|x-\frac12\right|<\frac13\).
a) Montrer que \(\frac16<x<\frac56\) et que \(\frac32<-3x+4<\frac72\).
b) Montrer que \(\frac74<A(x)<\frac{77}{12}\).
Correction détaillée
🔢 1) \((x+1)(4-3x)=4x-3x^2+4-3x=-3x^2+x+4\).
🔢 2a) \(-\frac13<x-\frac12<\frac13\iff\frac16<x<\frac56\). Puis \(-\frac52<-3x<-\frac12\) et en ajoutant \(4\) : \(\frac32<-3x+4<\frac72\).
🔢 2b) \(x+1\in\left]\frac76;\frac{11}6\right[\). Tous les nombres sont positifs, on multiplie les bornes : \(\frac76\times\frac32=\frac74\) et \(\frac{11}6\times\frac72=\frac{77}{12}\).
✅ \(\frac74<A(x)<\frac{77}{12}\).
Exercice 4.1
Déterminer un quotient et un reste
1) Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de \(P(x)\) par le binôme \(x-a\) :
1) \(P(x)=x^3+2x^2-x+1\) et \(x+1\) ;
2) \(P(x)=4x^3-3x^2+2x+5\) et \(x-2\) ;
3) \(P(x)=4x^3-5x^2+x-5\) et \(x+\frac32\) ;
4) \(P(x)=x^4-8x^2+6\) et \(x-3\).
1) \(P(x)=x^3+2x^2-x+1\) et \(x+1\) ;
2) \(P(x)=4x^3-3x^2+2x+5\) et \(x-2\) ;
3) \(P(x)=4x^3-5x^2+x-5\) et \(x+\frac32\) ;
4) \(P(x)=x^4-8x^2+6\) et \(x-3\).
Correction détaillée
📘 Méthode (Horner) : pour diviser \(P(x)\) par \(x-a\), on recopie le premier coefficient puis on calcule chaque coefficient suivant en ajoutant au coefficient de \(P\) le produit de \(a\) par le coefficient précédent du quotient ; le dernier nombre est le reste \(P(a)\).
🔢 1) \(a=-1\). Coefficients : \(1,\ 2,\ -1,\ 1\). Horner : \(1\) ; \(2+(-1)(1)=1\) ; \(-1+(-1)(1)=-2\) ; \(1+(-1)(-2)=3\). Donc \(P(x)=(x+1)(x^2+x-2)+3\).
🔢 2) \(a=2\). Coefficients : \(4,\ -3,\ 2,\ 5\). Horner : \(4\) ; \(-3+8=5\) ; \(2+10=12\) ; \(5+24=29\). Donc \(P(x)=(x-2)(4x^2+5x+12)+29\).
🔢 3) \(a=-\frac32\). Coefficients : \(4,\ -5,\ 1,\ -5\). Horner : \(4\) ; \(-5-6=-11\) ; \(1+\frac{33}2=\frac{35}2\) ; \(-5-\frac{105}4=-\frac{125}4\). Donc \(P(x)=\left(x+\frac32\right)\left(4x^2-11x+\frac{35}2\right)-\frac{125}4\).
🔢 4) \(a=3\). Coefficients : \(1,\ 0,\ -8,\ 0,\ 6\). Horner : \(1\) ; \(0+3=3\) ; \(-8+9=1\) ; \(0+3=3\) ; \(6+9=15\). Donc \(P(x)=(x-3)(x^3+3x^2+x+3)+15\).
✅ 1) \(q=x^2+x-2\), \(r=3\) ; 2) \(q=4x^2+5x+12\), \(r=29\) ; 3) \(q=4x^2-11x+\frac{35}2\), \(r=-\frac{125}4\) ; 4) \(q=x^3+3x^2+x+3\), \(r=15\).
Exercice 4.2
Montrer qu’un polynôme est divisible, le factoriser et en déduire des résultats
1) Soit \(P(x)=x^3-3x^2-6x+8\).
1) Montrer que \(1\) est racine de \(P\).
2) Montrer que \(P(x)=(x-1)Q(x)\), où \(Q\) est un polynôme à déterminer.
3) Montrer que \(-2\) est racine de \(Q\).
4) En déduire une factorisation de \(P\) en polynômes du premier degré.
5) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \(P(x)=0\).
1) Montrer que \(1\) est racine de \(P\).
2) Montrer que \(P(x)=(x-1)Q(x)\), où \(Q\) est un polynôme à déterminer.
3) Montrer que \(-2\) est racine de \(Q\).
4) En déduire une factorisation de \(P\) en polynômes du premier degré.
5) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \(P(x)=0\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P(1)=1-3-6+8=0\).
🔢 2) Horner avec \(a=1\) : \(1\) ; \(-3+1=-2\) ; \(-6-2=-8\) ; \(8-8=0\). Donc \(Q(x)=x^2-2x-8\).
🔢 3) \(Q(-2)=4+4-8=0\).
🔢 4) \(Q(x)=(x+2)(x-4)\) (Horner avec \(-2\) : \(1\) ; \(-2-2=-4\) ; \(-8+8=0\)). Donc \(P(x)=(x-1)(x+2)(x-4)\).
🔢 5) \(P(x)=0\iff x=1\) ou \(x=-2\) ou \(x=4\).
✅ \(P(x)=(x-1)(x+2)(x-4)\) ; \(S=\{-2;1;4\}\).
2) Soit \(P(x)=2x^3-5x^2-4x+3\).
1) Montrer que \(P\) est divisible par \(x-3\).
2) Factoriser \(P(x)\).
1) Montrer que \(P\) est divisible par \(x-3\).
2) Factoriser \(P(x)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P(3)=54-45-12+3=0\), donc \(P\) est divisible par \(x-3\).
🔢 2) Horner avec \(a=3\) : \(2\) ; \(-5+6=1\) ; \(-4+3=-1\) ; \(3-3=0\). \(P(x)=(x-3)(2x^2+x-1)\).
🔢 \(2x^2+x-1\) : \(\Delta=1+8=9\), racines \(\frac{-1\pm3}4\) : \(\frac12\) et \(-1\). Donc \(2x^2+x-1=2\left(x-\frac12\right)(x+1)=(2x-1)(x+1)\).
✅ \(P(x)=(x-3)(2x-1)(x+1)\).
3) Soit \(P(x)=2x^3+3x^2+ax+b\), \(a,b\in\mathbb R\).
1) Déterminer \(a\) et \(b\) tels que :
a) \(P\) soit divisible par \(x-2\) ;
b) le reste de la division de \(P\) par \(x-1\) soit \(-12\).
2) Factoriser \(P(x)\) dans ce cas.
1) Déterminer \(a\) et \(b\) tels que :
a) \(P\) soit divisible par \(x-2\) ;
b) le reste de la division de \(P\) par \(x-1\) soit \(-12\).
2) Factoriser \(P(x)\) dans ce cas.
Correction détaillée
📘 Rappel : le reste de la division de \(P(x)\) par \(x-\alpha\) est \(P(\alpha)\).
🔢 a) \(P(2)=16+12+2a+b=0\iff2a+b=-28\).
🔢 b) Le reste de la division par \(x-1\) est \(P(1)=2+3+a+b=-12\iff a+b=-17\).
🔢 En soustrayant : \(a=-28+17=-11\), puis \(b=-17+11=-6\).
🔢 2) \(P(x)=2x^3+3x^2-11x-6\). Horner avec \(a=2\) : \(2\) ; \(3+4=7\) ; \(-11+14=3\) ; \(-6+6=0\). \(P(x)=(x-2)(2x^2+7x+3)\).
🔢 \(2x^2+7x+3\) : \(\Delta=49-24=25\), racines \(\frac{-7\pm5}4\) : \(-\frac12\) et \(-3\). Donc \(2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)\).
✅ \(a=-11\), \(b=-6\) ; \(P(x)=(x-2)(2x+1)(x+3)\).
4) Soit \(P(x)=x^3-3x+2\).
1)
a) Calculer \(P(1)\) et déterminer \(Q\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
b) Vérifier que \(P(x)=(x+2)(x-1)^2\).
2) Soit \(\alpha\) un réel tel que \(1<\alpha<2\). Donner un encadrement de \(\alpha+2\) et de \((\alpha-1)^2\), puis en déduire que \(0<P(\alpha)<4\).
1)
a) Calculer \(P(1)\) et déterminer \(Q\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
b) Vérifier que \(P(x)=(x+2)(x-1)^2\).
2) Soit \(\alpha\) un réel tel que \(1<\alpha<2\). Donner un encadrement de \(\alpha+2\) et de \((\alpha-1)^2\), puis en déduire que \(0<P(\alpha)<4\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1a) \(P(1)=1-3+2=0\). Horner avec \(1\) : \(1\) ; \(0+1=1\) ; \(-3+1=-2\) ; \(2-2=0\). \(Q(x)=x^2+x-2\).
🔢 1b) \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), donc \(P(x)=(x-1)^2(x+2)\).
🔢 2) \(1<\alpha<2\) donne \(3<\alpha+2<4\). Aussi \(0<\alpha-1<1\), donc \(0<(\alpha-1)^2<1\).
🔢 Tous les nombres sont positifs : \(0\times3<(\alpha-1)^2(\alpha+2)<1\times4\).
✅ \(Q(x)=x^2+x-2\) ; \(P(x)=(x+2)(x-1)^2\) ; \(0<P(\alpha)<4\).
5) Soit \(P(x)=x^3+3x^2-x-3\).
1) Montrer que \(P(1)=0\).
2) Déterminer les réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\).
1) Montrer que \(P(1)=0\).
2) Déterminer les réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P(1)=1+3-1-3=0\).
🔢 2) Horner avec \(1\) : \(1\) ; \(3+1=4\) ; \(-1+4=3\) ; \(-3+3=0\). Donc \(P(x)=(x-1)(x^2+4x+3)\).
✅ \(a=1\), \(b=4\), \(c=3\).
6) Soit \(P(x)=x^5-3x^4+4x^3-12x^2-5x+15\).
1) Montrer que \(3\) est une racine de \(P\).
2) Déterminer \(Q\) tel que \(P(x)=(x-3)Q(x)\).
1) Montrer que \(3\) est une racine de \(P\).
2) Déterminer \(Q\) tel que \(P(x)=(x-3)Q(x)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P(3)=243-243+108-108-15+15=0\).
🔢 2) Horner avec \(3\) : \(1\) ; \(-3+3=0\) ; \(4+0=4\) ; \(-12+12=0\) ; \(-5+0=-5\) ; \(15-15=0\).
✅ \(Q(x)=x^4+4x^2-5\).
7) On considère \(P(x)=2x^3+7x^2+2x-3\).
1) Calculer \(P(-3)\), puis déterminer \(Q\) tel que \(P(x)=(x+3)Q(x)\).
2) Sachant que \(|x|\le1\), montrer que \(|2x^2+x-1|\le2\) et que \(|x+3|\le4\). En déduire que \(|P(x)|\le8\).
1) Calculer \(P(-3)\), puis déterminer \(Q\) tel que \(P(x)=(x+3)Q(x)\).
2) Sachant que \(|x|\le1\), montrer que \(|2x^2+x-1|\le2\) et que \(|x+3|\le4\). En déduire que \(|P(x)|\le8\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P(-3)=-54+63-6-3=0\). Horner avec \(-3\) : \(2\) ; \(7-6=1\) ; \(2-3=-1\) ; \(-3+3=0\). \(Q(x)=2x^2+x-1\).
🔢 2) \(|x|\le1\) donne \(2\le x+3\le4\), donc \(|x+3|\le4\).
🔢 \(2x^2+x-1\le2\iff2x^2+x-3\le0\iff(2x+3)(x-1)\le0\), vrai car \(2x+3>0\) et \(x-1\le0\). \(2x^2+x-1\ge-2\iff2x^2+x+1\ge0\), vrai car \(\Delta=1-8<0\) et le coefficient de \(x^2\) est positif. Donc \(|2x^2+x-1|\le2\).
🔢 \(|P(x)|=|x+3|\times|2x^2+x-1|\le4\times2=8\).
✅ \(Q(x)=2x^2+x-1\) ; \(|P(x)|\le8\).
Exercice 4.3
Montrer qu’un polynôme est divisible, le factoriser et en déduire des résultats (suite)
1) On considère \(P(x)=2x^4-ax+b\), \(a,b\in\mathbb R\).
1) Montrer que \(P\) est divisible par \(x-2\) si et seulement si \(2a-b=2^5\).
2) On suppose \(2a-b=2^5\).
a) Déterminer \(Q\) tel que \(P(x)=(x-2)Q(x)\).
b) Déterminer \(a\) pour que \(Q\) soit divisible par \(x+1\).
c) Sachant que \(a=10\), déterminer \(R\) tel que \(Q(x)=(x+1)R(x)\), puis déduire \(P(x)\) sous forme d’un produit de trois polynômes de degré \(\ge1\).
1) Montrer que \(P\) est divisible par \(x-2\) si et seulement si \(2a-b=2^5\).
2) On suppose \(2a-b=2^5\).
a) Déterminer \(Q\) tel que \(P(x)=(x-2)Q(x)\).
b) Déterminer \(a\) pour que \(Q\) soit divisible par \(x+1\).
c) Sachant que \(a=10\), déterminer \(R\) tel que \(Q(x)=(x+1)R(x)\), puis déduire \(P(x)\) sous forme d’un produit de trois polynômes de degré \(\ge1\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P\) divisible par \(x-2\iff P(2)=0\iff32-2a+b=0\iff2a-b=32=2^5\).
🔢 2a) Horner avec \(2\) sur \(2,\ 0,\ 0,\ -a,\ b\) : \(2\) ; \(0+4=4\) ; \(0+8=8\) ; \(-a+16\) ; \(b+2(16-a)=b+32-2a=0\). \(Q(x)=2x^3+4x^2+8x+16-a\).
🔢 2b) \(Q(-1)=-2+4-8+16-a=10-a=0\iff a=10\).
🔢 2c) Pour \(a=10\) : \(Q(x)=2x^3+4x^2+8x+6\). Horner avec \(-1\) : \(2\) ; \(4-2=2\) ; \(8-2=6\) ; \(6-6=0\). \(R(x)=2x^2+2x+6\).
🔢 Pour \(a=10\), \(b=2a-32=-12\) : \(P(x)=(x-2)(x+1)(2x^2+2x+6)\) (le trinôme \(2x^2+2x+6\) a \(\Delta=4-48<0\), il n’est pas factorisable).
✅ \(Q(x)=2x^3+4x^2+8x+16-a\) ; \(a=10\) ; \(R(x)=2x^2+2x+6\) ; \(P(x)=(x-2)(x+1)(2x^2+2x+6)\).
2) On pose \(P(x)=x^3-x^2-3x-1\).
1) Vérifier que \(-1\) est racine de \(P\).
2) Déterminer \(Q\) tel que \(P(x)=(x+1)Q(x)\).
3) Justifier que \(P\) n’est égal à aucun des polynômes \(A(x)=4x^2+x-1\) et \(B(x)=2(x+1)^2+1\).
4) Calculer \(P(1+\sqrt2)\) et \(Q(1+\sqrt2)\).
5) Déterminer le réel \(b\) tel que \(Q(x)=(x-1-\sqrt2)(x+b)\).
6) Montrer que pour tout \(x\in]2;1+\sqrt2[\), \(-4<P(x)<0\).
1) Vérifier que \(-1\) est racine de \(P\).
2) Déterminer \(Q\) tel que \(P(x)=(x+1)Q(x)\).
3) Justifier que \(P\) n’est égal à aucun des polynômes \(A(x)=4x^2+x-1\) et \(B(x)=2(x+1)^2+1\).
4) Calculer \(P(1+\sqrt2)\) et \(Q(1+\sqrt2)\).
5) Déterminer le réel \(b\) tel que \(Q(x)=(x-1-\sqrt2)(x+b)\).
6) Montrer que pour tout \(x\in]2;1+\sqrt2[\), \(-4<P(x)<0\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P(-1)=-1-1+3-1=0\).
🔢 2) Horner avec \(-1\) : \(1\) ; \(-1-1=-2\) ; \(-3+2=-1\) ; \(-1+1=0\). \(Q(x)=x^2-2x-1\).
🔢 3) \(P\) est de degré \(3\), \(A\) et \(B\) sont de degré \(2\) : deux polynômes égaux ont le même degré, donc \(P\ne A\) et \(P\ne B\).
🔢 4) \((1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2\). \(Q(1+\sqrt2)=3+2\sqrt2-2-2\sqrt2-1=0\), donc \(P(1+\sqrt2)=(2+\sqrt2)\times0=0\).
🔢 5) \(Q(x)=x^2-2x-1\) a pour racines \(1\pm\sqrt2\) : \(Q(x)=(x-1-\sqrt2)(x-1+\sqrt2)\), donc \(b=\sqrt2-1\).
🔢 6) \(P(x)=(x+1)(x-1-\sqrt2)(x-1+\sqrt2)\). Pour \(2<x<1+\sqrt2\) : \(3<x+1<2+\sqrt2\) ; \(1-\sqrt2<x-1-\sqrt2<0\) ; \(1+\sqrt2<x-1+\sqrt2<2\sqrt2\). Le facteur \(x-1-\sqrt2\) est négatif, les autres positifs : \(P(x)<0\).
🔢 De plus \(|P(x)|<(2+\sqrt2)(\sqrt2-1)(2\sqrt2)=\sqrt2\times2\sqrt2=4\) (car \((2+\sqrt2)(\sqrt2-1)=\sqrt2\)). Donc \(-4<P(x)<0\).
✅ \(Q(x)=x^2-2x-1\) ; \(P(1+\sqrt2)=Q(1+\sqrt2)=0\) ; \(b=\sqrt2-1\) ; \(-4<P(x)<0\).
3) On pose \(P(x)=-6x^3+5x^2+27x-14\) et \(Q(x)=-6x^2+17x-7\).
1)
a) Démontrer, sans effectuer la division euclidienne, que \(P\) est divisible par \(x+2\).
b) Démontrer, en utilisant la division euclidienne, que \(P(x)=(x+2)Q(x)\).
2)
a) Calculer \((1+\sqrt2)^2\).
b) Calculer \(Q(1+\sqrt2)\).
3)
a) Résoudre \(-6x^2+17x-7=0\) (on remarque que \(11^2=121\)).
b) Résoudre \(-6x^3+5x^2+27x-14=0\).
4) Résoudre \(\frac{-6x^2+17x-7}{x^2+2x-3}\le0\).
1)
a) Démontrer, sans effectuer la division euclidienne, que \(P\) est divisible par \(x+2\).
b) Démontrer, en utilisant la division euclidienne, que \(P(x)=(x+2)Q(x)\).
2)
a) Calculer \((1+\sqrt2)^2\).
b) Calculer \(Q(1+\sqrt2)\).
3)
a) Résoudre \(-6x^2+17x-7=0\) (on remarque que \(11^2=121\)).
b) Résoudre \(-6x^3+5x^2+27x-14=0\).
4) Résoudre \(\frac{-6x^2+17x-7}{x^2+2x-3}\le0\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1a) \(P(-2)=48+20-54-14=0\) : \(P\) est divisible par \(x+2\).
🔢 1b) Horner avec \(-2\) : \(-6\) ; \(5+12=17\) ; \(27-34=-7\) ; \(-14+14=0\). Donc \(P(x)=(x+2)(-6x^2+17x-7)=(x+2)Q(x)\).
🔢 2) \((1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2\). \(Q(1+\sqrt2)=-6(3+2\sqrt2)+17(1+\sqrt2)-7=-8+5\sqrt2\).
🔢 3a) \(\Delta=289-168=121=11^2\). \(x=\frac{-17\pm11}{-12}\) : \(x=\frac12\) ou \(x=\frac73\).
🔢 3b) \(P(x)=0\iff(x+2)Q(x)=0\iff x=-2\) ou \(x=\frac12\) ou \(x=\frac73\).
🔢 4) \(Q(x)=-6\left(x-\frac12\right)\left(x-\frac73\right)\) et \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\) (valeurs interdites \(1\) et \(-3\)).
🔢 Tableau de signes : \(x<-3\) : \(Q<0\), dénominateur \(>0\) : \(f<0\) ✓. \(-3<x<\frac12\) : \(Q<0\), dén. \(<0\) : \(f>0\). \(\frac12<x<1\) : \(Q>0\), dén. \(<0\) : \(f<0\) ✓. \(1<x<\frac73\) : \(Q>0\), dén. \(>0\) : \(f>0\). \(x>\frac73\) : \(Q<0\), dén. \(>0\) : \(f<0\) ✓. \(f=0\) en \(\frac12\) et \(\frac73\).
✅ 3a) \(\left\{\frac12;\frac73\right\}\) ; 3b) \(\left\{-2;\frac12;\frac73\right\}\) ; 4) \(S=]-\infty;-3[\,\cup\left[\frac12;1\right[\,\cup\left[\frac73;+\infty\right[\).
4) On pose \(P(x)=-2x^3+x^2+7x-6\) et \(Q(x)=-2x^2-x+6\).
1)
a) Démontrer, sans division, que \(P\) est divisible par \(x-1\).
b) Démontrer, par division euclidienne, que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
2)
a) Résoudre \(-2x^2-x+6=0\).
b) Résoudre \(-2x^3+x^2+7x-6=0\).
3)
a) Calculer \((1+\sqrt3)^2\).
b) Résoudre \(x^2+(1-\sqrt3)x-\sqrt3=0\).
4) Résoudre \(\frac{x^2+(1-\sqrt3)x-\sqrt3}{-2x^2-x+6}\le0\).
1)
a) Démontrer, sans division, que \(P\) est divisible par \(x-1\).
b) Démontrer, par division euclidienne, que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
2)
a) Résoudre \(-2x^2-x+6=0\).
b) Résoudre \(-2x^3+x^2+7x-6=0\).
3)
a) Calculer \((1+\sqrt3)^2\).
b) Résoudre \(x^2+(1-\sqrt3)x-\sqrt3=0\).
4) Résoudre \(\frac{x^2+(1-\sqrt3)x-\sqrt3}{-2x^2-x+6}\le0\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1a) \(P(1)=-2+1+7-6=0\).
🔢 1b) Horner avec \(1\) : \(-2\) ; \(1-2=-1\) ; \(7-1=6\) ; \(-6+6=0\). \(P(x)=(x-1)(-2x^2-x+6)\).
🔢 2a) \(-2x^2-x+6=0\iff2x^2+x-6=0\) : \(\Delta=49\), \(x=\frac{-1\pm7}4\) : \(\frac32\) ou \(-2\). 2b) \(P(x)=0\iff x\in\left\{-2;1;\frac32\right\}\).
🔢 3a) \((1+\sqrt3)^2=4+2\sqrt3\). 3b) \(\Delta=(1-\sqrt3)^2+4\sqrt3=4+2\sqrt3=(1+\sqrt3)^2\). \(x=\frac{-(1-\sqrt3)\pm(1+\sqrt3)}2\) : \(x=\sqrt3\) ou \(x=-1\). Donc \(x^2+(1-\sqrt3)x-\sqrt3=(x+1)(x-\sqrt3)\).
🔢 4) Numérateur \(=(x+1)(x-\sqrt3)\), dénominateur \(=-2(x+2)\left(x-\frac32\right)\) (valeurs interdites \(-2\) et \(\frac32\)). On a \(-2<-1<\frac32<\sqrt3\).
🔢 \(x<-2\) : num \(>0\), dén \(<0\) : \(f<0\) ✓. \(-2<x<-1\) : num \(>0\), dén \(>0\) : \(f>0\). \(-1<x<\frac32\) : num \(<0\), dén \(>0\) : \(f<0\) ✓. \(\frac32<x<\sqrt3\) : num \(<0\), dén \(<0\) : \(f>0\). \(x>\sqrt3\) : num \(>0\), dén \(<0\) : \(f<0\) ✓.
✅ 2a) \(\left\{-2;\frac32\right\}\) ; 2b) \(\left\{-2;1;\frac32\right\}\) ; 3b) \(\{-1;\sqrt3\}\) ; 4) \(S=]-\infty;-2[\,\cup\left[-1;\frac32\right[\,\cup[\sqrt3;+\infty[\).
Exercice 5.1
Déterminer et utiliser les racines d’un polynôme
1) Soit \(P(x)=x^2-(a+b)x+ab\), \(a,b\in\mathbb R\).
1) Vérifier que \(a\) est racine de \(P\).
2) Déterminer le quotient de la division de \(P\) par \(x-a\).
3) En déduire la deuxième racine de \(P\).
4) Application : déterminer les racines de \(Q(x)=x^2-(\sqrt2+\sqrt3)x+\sqrt6\).
1) Vérifier que \(a\) est racine de \(P\).
2) Déterminer le quotient de la division de \(P\) par \(x-a\).
3) En déduire la deuxième racine de \(P\).
4) Application : déterminer les racines de \(Q(x)=x^2-(\sqrt2+\sqrt3)x+\sqrt6\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P(a)=a^2-(a+b)a+ab=a^2-a^2-ab+ab=0\).
🔢 2) Horner avec \(a\) : \(1\) ; \(-(a+b)+a=-b\) ; \(ab-ab=0\). Le quotient est \(x-b\).
🔢 3) \(P(x)=(x-a)(x-b)\) : la deuxième racine est \(b\).
🔢 4) Ici \(a+b=\sqrt2+\sqrt3\) et \(ab=\sqrt6=\sqrt2\times\sqrt3\) : on prend \(a=\sqrt2\) et \(b=\sqrt3\). Donc \(Q(x)=(x-\sqrt2)(x-\sqrt3)\).
✅ \(P(x)=(x-a)(x-b)\) ; les racines de \(Q\) sont \(\sqrt2\) et \(\sqrt3\).
2) Soit \(P(x)=2x^3-7x^2+7x-2\).
1) Calculer \(P(1)\), \(P(-2)\) et \(P(2)\).
2) Effectuer la division euclidienne de \(P\) par \(x-2\).
3) Montrer que si \(\alpha\) est une racine non nulle de \(P\), alors \(\frac1\alpha\) est aussi une racine de \(P\).
1) Calculer \(P(1)\), \(P(-2)\) et \(P(2)\).
2) Effectuer la division euclidienne de \(P\) par \(x-2\).
3) Montrer que si \(\alpha\) est une racine non nulle de \(P\), alors \(\frac1\alpha\) est aussi une racine de \(P\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P(1)=2-7+7-2=0\) ; \(P(-2)=-16-28-14-2=-60\) ; \(P(2)=16-28+14-2=0\).
🔢 2) Horner avec \(2\) : \(2\) ; \(-7+4=-3\) ; \(7-6=1\) ; \(-2+2=0\). \(P(x)=(x-2)(2x^2-3x+1)\), reste \(0\).
🔢 3) \(P\left(\frac1\alpha\right)=\frac2{\alpha^3}-\frac7{\alpha^2}+\frac7\alpha-2=\frac{2-7\alpha+7\alpha^2-2\alpha^3}{\alpha^3}=\frac{-P(\alpha)}{\alpha^3}\). Si \(P(\alpha)=0\), alors \(P\left(\frac1\alpha\right)=0\).
✅ \(P(1)=0\), \(P(-2)=-60\), \(P(2)=0\) ; quotient \(2x^2-3x+1\), reste \(0\) ; \(\frac1\alpha\) est racine.
3) Déterminer le réel \(\alpha\) strictement positif tel que \(P(x)=x^3-3x+\alpha\) ait une racine double. Quelle est alors l’autre racine de \(P\) ?
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 Racine double \(r\) et autre racine \(s\) : \(P(x)=(x-r)^2(x-s)=x^3-(2r+s)x^2+(r^2+2rs)x-r^2s\).
🔢 Coefficient de \(x^2\) : \(2r+s=0\), donc \(s=-2r\). Coefficient de \(x\) : \(r^2+2rs=r^2-4r^2=-3r^2=-3\), donc \(r^2=1\).
🔢 Terme constant : \(\alpha=-r^2s=2r^3\). Pour \(\alpha>0\) il faut \(r=1\) : \(\alpha=2\), \(s=-2\).
🔢 Vérification : \(x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\).
✅ \(\alpha=2\) ; \(1\) est racine double et l’autre racine est \(-2\).
4) On considère \(P(x)=x^3-5x^2+3x+1\), de racines \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\).
1) Écrire la forme factorisée de \(P(x)\).
2) Montrer que \(\alpha+\beta+\gamma=5\), \(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=3\) et \(\alpha\beta\gamma=-1\).
3) Sachant que \(\beta=1\), trouver \(\alpha\) et \(\gamma\).
1) Écrire la forme factorisée de \(P(x)\).
2) Montrer que \(\alpha+\beta+\gamma=5\), \(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=3\) et \(\alpha\beta\gamma=-1\).
3) Sachant que \(\beta=1\), trouver \(\alpha\) et \(\gamma\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\) (coefficient dominant \(1\)).
🔢 2) On développe : \((x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)x-\alpha\beta\gamma\). On identifie avec \(x^3-5x^2+3x+1\) : \(\alpha+\beta+\gamma=5\), \(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=3\), \(-\alpha\beta\gamma=1\).
🔢 3) \(\beta=1\) : \(\alpha+\gamma=4\) et \(\alpha\gamma=-1\) (car \(\alpha\beta\gamma=-1\)). \(\alpha\) et \(\gamma\) sont les racines de \(t^2-4t-1=0\) (\(P(1)=1-5+3+1=0\) confirme \(\beta=1\)).
🔢 \(\Delta=16+4=20\) : \(t=\frac{4\pm2\sqrt5}2=2\pm\sqrt5\).
✅ \(\alpha=2+\sqrt5\) et \(\gamma=2-\sqrt5\) (ou l’inverse).
5) Soit \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).
1) Parmi \(1\), \(2\), \(3\), \(-2\), lesquels sont des racines de \(P\) ? Justifier.
2) Vérifier que \(1\) est racine de \(P\), puis factoriser \(P(x)\).
1) Parmi \(1\), \(2\), \(3\), \(-2\), lesquels sont des racines de \(P\) ? Justifier.
2) Vérifier que \(1\) est racine de \(P\), puis factoriser \(P(x)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P(1)=1-2-5+6=0\) ; \(P(2)=8-8-10+6=-4\) ; \(P(3)=27-18-15+6=0\) ; \(P(-2)=-8-8+10+6=0\).
🔢 2) \(P(1)=0\). Horner avec \(1\) : \(1\) ; \(-2+1=-1\) ; \(-5-1=-6\) ; \(6-6=0\). \(P(x)=(x-1)(x^2-x-6)\).
🔢 \(x^2-x-6\) a pour racines \(3\) et \(-2\) : \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\).
✅ Racines : \(1\), \(3\), \(-2\) (pas \(2\)) ; \(P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\).
6) Soit \(P(x)=2x^4-9x^3+14x^2-9x+2\).
1) Vérifier que \(0\) n’est pas racine de \(P\).
2) Montrer que si \(\alpha\) est racine de \(P\), alors \(\frac1\alpha\) l’est aussi.
3) Vérifier que \(2\) est racine de \(P\).
4) Par division euclidienne par \(x-2\), trouver \(Q\) tel que \(P(x)=(x-2)Q(x)\).
5) En déduire que \(Q\left(\frac12\right)=0\).
6) Déterminer \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(Q(x)=\left(x-\frac12\right)(ax^2+bx+c)\).
7) En déduire une factorisation de \(P\) en polynômes du premier degré.
1) Vérifier que \(0\) n’est pas racine de \(P\).
2) Montrer que si \(\alpha\) est racine de \(P\), alors \(\frac1\alpha\) l’est aussi.
3) Vérifier que \(2\) est racine de \(P\).
4) Par division euclidienne par \(x-2\), trouver \(Q\) tel que \(P(x)=(x-2)Q(x)\).
5) En déduire que \(Q\left(\frac12\right)=0\).
6) Déterminer \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(Q(x)=\left(x-\frac12\right)(ax^2+bx+c)\).
7) En déduire une factorisation de \(P\) en polynômes du premier degré.
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\alpha\) est une racine de \(P\iff P(\alpha)=0\iff P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) \(\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
🔢 1) \(P(0)=2\ne0\).
🔢 2) Si \(\alpha\ne0\) : \(\alpha^4P\left(\frac1\alpha\right)=2-9\alpha+14\alpha^2-9\alpha^3+2\alpha^4=P(\alpha)=0\) (les coefficients sont symétriques). Comme \(\alpha^4\ne0\), \(P\left(\frac1\alpha\right)=0\).
🔢 3) \(P(2)=32-72+56-18+2=0\).
🔢 4) Horner avec \(2\) : \(2\) ; \(-9+4=-5\) ; \(14-10=4\) ; \(-9+8=-1\) ; \(2-2=0\). \(Q(x)=2x^3-5x^2+4x-1\).
🔢 5) \(2\) est racine, donc \(\frac12\) aussi (question 2). \(P\left(\frac12\right)=0\) et \(\frac12-2\ne0\), donc \(Q\left(\frac12\right)=0\). (Directement : \(\frac14-\frac54+2-1=0\).)
🔢 6) Horner avec \(\frac12\) : \(2\) ; \(-5+1=-4\) ; \(4-2=2\) ; \(-1+1=0\). \(Q(x)=\left(x-\frac12\right)(2x^2-4x+2)\) : \(a=2\), \(b=-4\), \(c=2\).
🔢 7) \(2x^2-4x+2=2(x-1)^2\). Donc \(P(x)=(x-2)\left(x-\frac12\right)\times2(x-1)^2=(x-2)(2x-1)(x-1)^2\).
✅ \(Q(x)=2x^3-5x^2+4x-1\) ; \(a=2\), \(b=-4\), \(c=2\) ; \(P(x)=(x-2)(2x-1)(x-1)^2\).