Cette série d’exercices corrigés sur l’ordre dans IR pour le Tronc Commun travaille la comparaison, la valeur absolue, les intervalles et l’encadrement, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Exercices corrigés sur l’ordre dans IR Tronc Commun

Ordre dans ℝ · Série d’exercices Tronc Commun

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Exercice 1.1

Comparer deux nombres

1) Comparer \(\dfrac{101}{102}\) et \(\dfrac{100}{101}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : pour comparer \(a\) et \(b\), on étudie le signe de \(a-b\) ; si \(a\) et \(b\) sont positifs, on peut aussi comparer \(a^2\) et \(b^2\) ; on peut aussi utiliser un nombre intermédiaire.

🔢 \(\dfrac{101}{102}-\dfrac{100}{101}=\dfrac{101^2-100\times102}{102\times101}=\dfrac{10201-10200}{10302}=\dfrac1{10302}>0\).

✅ \(\dfrac{101}{102}>\dfrac{100}{101}\).

2) Comparer les réels suivants :
1) \(\dfrac8{11}\) et \(\dfrac5{11}\) ;
2) \(\dfrac{13}9\) et \(\dfrac{13}6\) ;
3) \(\dfrac{-15}7\) et \(\dfrac{-15}4\) ;

Correction détaillée

🔢 1) Même dénominateur positif : \(8>5\), donc \(\frac8{11}>\frac5{11}\).

🔢 2) Même numérateur positif : \(9>6\), donc \(\frac{13}9<\frac{13}6\).

🔢 3) \(\frac{15}7<\frac{15}4\) (\(7>4\)), donc \(-\frac{15}7>-\frac{15}4\).

✅ 1) \(>\) ; 2) \(<\) ; 3) \(>\)

3) 4) \(\dfrac{-12}7\) et \(\dfrac{15}4\) ;
5) \(2\sqrt5\) et \(5\sqrt2\).

Correction détaillée

🔢 4) \(\frac{-12}7<0<\frac{15}4\).

🔢 5) \(2\sqrt5=\sqrt{20}\) et \(5\sqrt2=\sqrt{50}\) avec \(20<50\).

✅ 4) \(<\) ; 5) \(2\sqrt5<5\sqrt2\).

4) Comparer \(a=2+\sqrt3\) et \(b=2\sqrt3\).

Correction détaillée

🔢 \(a-b=2+\sqrt3-2\sqrt3=2-\sqrt3=\sqrt4-\sqrt3>0\).

✅ \(a>b\).

5) Comparer \(a=\sqrt6\) et \(b=\sqrt3+\sqrt2-1\).

Correction détaillée

🔢 \(a>b\iff\sqrt6+1>\sqrt3+\sqrt2\). Les deux membres sont positifs : \((\sqrt6+1)^2=7+2\sqrt6\) et \((\sqrt3+\sqrt2)^2=5+2\sqrt6\).

✅ \(7+2\sqrt6>5+2\sqrt6\), donc \(a>b\).

6) Comparer \(3\sqrt2\) et \(5\). Calculer \(\left(3\sqrt2-5\right)^2\) puis simplifier \(\sqrt{43-30\sqrt2}\).

Correction détaillée

🔢 \(3\sqrt2=\sqrt{18}<\sqrt{25}=5\).

🔢 \((3\sqrt2-5)^2=18+25-30\sqrt2=43-30\sqrt2\).

🔢 \(\sqrt{43-30\sqrt2}=|3\sqrt2-5|=5-3\sqrt2\) (car \(3\sqrt2<5\)).

✅ \(3\sqrt2<5\) ; \((3\sqrt2-5)^2=43-30\sqrt2\) ; \(\sqrt{43-30\sqrt2}=5-3\sqrt2\).

7) Comparer \(a\) et \(b\) :
1) \(a=2-\sqrt3\), \(b=(2-\sqrt3)^2\) ;
2) \(a=5+\sqrt2\), \(b=\sqrt{25+10\sqrt2}\) ;
3) \(a=\sqrt{10}\), \(b=\sqrt3+\sqrt7\) ;

Correction détaillée

🔢 1) \(0<2-\sqrt3<1\), donc \(b=a^2<a\) : \(a>b\).

🔢 2) \(a^2=27+10\sqrt2>25+10\sqrt2=b^2\) (positifs) : \(a>b\).

🔢 3) \(b^2=10+2\sqrt{21}>10=a^2\) : \(a<b\).

✅ 1) \(a>b\) ; 2) \(a>b\) ; 3) \(a<b\)

Exercice 1.2

Comparer deux nombres (suite)

1) 4) \(a=4+\sqrt{17}\), \(b=3\sqrt2+\sqrt{17}\) ;
5) \(a=4\sqrt5-\sqrt{79}\), \(b=9-4\sqrt5\).

Correction détaillée

🔢 4) On compare \(4\) et \(3\sqrt2=\sqrt{18}\) : \(4=\sqrt{16}<\sqrt{18}\), donc \(a<b\).

🔢 5) \(a-b=8\sqrt5-\sqrt{79}-9\). \(a>b\iff8\sqrt5>9+\sqrt{79}\iff320>160+18\sqrt{79}\iff80>9\sqrt{79}\iff6400>6399\) : vrai.

✅ 4) \(a<b\) ; 5) \(a>b\) (de très peu).

2) Comparer \(a\) et \(b\) :
1) \(a=2\sqrt3\), \(b=\sqrt7\) ;
2) \(a=3\sqrt2\), \(b=2\sqrt5\) ;
3) \(a=7\sqrt3\), \(b=120\) ;
4) \(a=-5\sqrt3+\sqrt{11}\), \(b=\sqrt{11}-7\sqrt2\) ;
5) \(a=\dfrac3{\sqrt{11}}\), \(b=\dfrac{11}{2\sqrt5}\) ;
6) \(a=3^{1431}\), \(b=2^{2010}\).

Correction détaillée

🔢 1) \(a=\sqrt{12}>\sqrt7=b\). 2) \(a=\sqrt{18}<\sqrt{20}=b\). 3) \(a=\sqrt{147}<\sqrt{14400}=b\).

🔢 4) \(a-b=7\sqrt2-5\sqrt3=\sqrt{98}-\sqrt{75}>0\).

🔢 5) \(a^2=\frac9{11}<1\) et \(b^2=\frac{121}{20}>1\), positifs : \(a<b\).

🔢 6) \(3^7=2187>2048=2^{11}\), donc \(3^{1431}>3^{1428}=(3^7)^{204}>(2^{11})^{204}=2^{2244}>2^{2010}\).

✅ 1) \(a>b\) ; 2) \(a<b\) ; 3) \(a<b\) ; 4) \(a>b\) ; 5) \(a<b\) ; 6) \(a>b\).

3) Comparer \(a\) et \(b\) : \(a=\sqrt5-2\), \(b=\sqrt{9-4\sqrt5}\) ; \(a=\sqrt5-3\), \(b=\sqrt{15-6\sqrt5}\) ; \(a=2\sqrt5-5\), \(b=\sqrt{45-20\sqrt5}\) ; \(a=\dfrac{1+\sqrt2}{2+\sqrt2}\), \(b=\dfrac{4+\sqrt2}7\). Simplifier \(b=\sqrt{45-20\sqrt5}\).

Correction détaillée

🔢 \(9-4\sqrt5=(\sqrt5-2)^2\), donc \(b=|\sqrt5-2|=\sqrt5-2=a\) : \(a=b\).

🔢 \(a=\sqrt5-3<0<b\) : \(a<b\).

🔢 \(45-20\sqrt5=(5-2\sqrt5)^2\) (\(25+20-20\sqrt5\)) et \(5-2\sqrt5>0\) : \(b=5-2\sqrt5=-a>0\), donc \(a<0<b\).

🔢 \(\dfrac{1+\sqrt2}{2+\sqrt2}=\dfrac{(1+\sqrt2)(2-\sqrt2)}{2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\). \(b-a=\dfrac{4+\sqrt2}7-\dfrac{1+\sqrt2}{2+\sqrt2}=\dfrac{8-5\sqrt2}{14}\) et \(8=\sqrt{64}>\sqrt{50}=5\sqrt2\) : \(b>a\).

✅ \(a=b\) ; \(a<b\) ; \(a<b\) ; \(a<b\) ; \(\sqrt{45-20\sqrt5}=5-2\sqrt5\).

4) Comparer \(a=2-\sqrt5\) et \(b=\dfrac{-1}{2+\sqrt5}\).

Correction détaillée

🔢 \(b=\dfrac{-(\sqrt5-2)}{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}=\dfrac{-(\sqrt5-2)}{1}=2-\sqrt5\).

✅ \(a=b\).

5) Comparer \(a\) et \(b\) :
1) \(a=-3\), \(b=\sqrt{0{,}0000001}\) ;
2) \(a=\sqrt2\), \(b=-\sqrt{12354}\) ;
3) \(a=-\dfrac{1+\sqrt7}{-5}\), \(b=\dfrac{548426\sqrt2}{-3}\) ;
4) \(a=-\dfrac{1154}5\), \(b=\pi\).

Correction détaillée

📘 Méthode : un nombre négatif est inférieur à un nombre positif.

🔢 1) \(a<0<b\). 2) \(a>0>b\). 3) \(a=\frac{1+\sqrt7}5>0\) et \(b<0\). 4) \(a=-230{,}8<0<\pi\).

✅ 1) \(a<b\) ; 2) \(a>b\) ; 3) \(a>b\) ; 4) \(a<b\).

6) Comparer \(x\) et \(y\) :
1) \(x=\dfrac{-2}{-23564}\), \(y=\pi-5\) ;
2) \(x=\dfrac{3\sqrt8-5{,}99\sqrt2}{1234}\), \(y=5\sqrt{81}-45{,}01\) ;
3) \(x=\sqrt8-\sqrt2\), \(y=6\sqrt9-3\sqrt{36}\) ;

Correction détaillée

🔢 1) \(x=\frac2{23564}>0\) et \(y=\pi-5<0\).

🔢 2) \(3\sqrt8=6\sqrt2\), donc \(x=\frac{0{,}01\sqrt2}{1234}>0\) ; \(y=45-45{,}01=-0{,}01<0\).

🔢 3) \(x=2\sqrt2-\sqrt2=\sqrt2\) ; \(y=18-18=0\).

✅ 1) \(x>y\) ; 2) \(x>y\) ; 3) \(x>y\)

7) 4) \(x=7\sqrt{25}-5\sqrt{49}\), \(y=15\sqrt{11}-8\sqrt{44}\) ;
5) \(x=5\sqrt{27}-15\sqrt3\), \(y=6\sqrt{49}-21\sqrt4\) ;
6) \(x=-1-2-\pi+7\), \(y=23\sqrt{11}-8\sqrt{99}\).

Correction détaillée

🔢 4) \(x=35-35=0\) ; \(y=15\sqrt{11}-16\sqrt{11}=-\sqrt{11}<0\).

🔢 5) \(x=15\sqrt3-15\sqrt3=0\) ; \(y=42-42=0\).

🔢 6) \(x=4-\pi>0\) ; \(y=23\sqrt{11}-24\sqrt{11}=-\sqrt{11}<0\).

✅ 4) \(x>y\) ; 5) \(x=y\) ; 6) \(x>y\).

Exercice 1.3

Comparer deux nombres (suite)

1) Comparer \(u\) et \(v\) :
1) \(u=\dfrac{17}{283}\), \(v=\dfrac5{283}\) ;
2) \(u=\dfrac{2154}{283}\), \(v=\dfrac{2154}{113}\) ;
3) \(u=\dfrac{0{,}9}{0{,}98}\), \(v=\dfrac1{1{,}1}\) ;
4) \(u=\dfrac{7\sqrt{25}-5\sqrt{49}}{121325}\), \(v=\dfrac{\pi}{3121568}\).

Correction détaillée

🔢 1) Même dénominateur : \(17>5\). 2) Même numérateur positif : \(283>113\), donc \(u<v\).

🔢 3) \(0{,}9\times1{,}1=0{,}99>0{,}98=1\times0{,}98\), donc \(\frac{0{,}9}{0{,}98}>\frac1{1{,}1}\).

🔢 4) \(u=\frac{35-35}{121325}=0<v\).

✅ 1) \(u>v\) ; 2) \(u<v\) ; 3) \(u>v\) ; 4) \(u<v\).

2) Comparer \(a\) et \(b\) :
1) \(a=\dfrac{37\sqrt2-5\sqrt{98}}2\), \(b=\dfrac{16\sqrt2-7\sqrt8}{5487}\) ;
2) \(a=\dfrac{18\sqrt2-2\sqrt{98}}{5487}\), \(b=\dfrac{9\sqrt{32}-14\sqrt8}{5487}\) ;
3) \(a=\dfrac{4312}{37\sqrt2-5\sqrt{98}}\), \(b=\dfrac{1234}{16\sqrt2-7\sqrt8}\) ;
4) \(a=\dfrac{\sqrt{4312}-1}{3\sqrt{50}-12}\), \(b=\dfrac{\sqrt{4312}+1}{5\sqrt{18}-3\sqrt{16}}\).

Correction détaillée

🔢 On simplifie : \(\sqrt{98}=7\sqrt2\), \(\sqrt8=2\sqrt2\), \(\sqrt{32}=4\sqrt2\), \(\sqrt{50}=5\sqrt2\), \(\sqrt{18}=3\sqrt2\).

🔢 1) \(a=\frac{37\sqrt2-35\sqrt2}2=\sqrt2\) ; \(b=\frac{16\sqrt2-14\sqrt2}{5487}=\frac{2\sqrt2}{5487}\) : \(a>b\).

🔢 2) \(a=\frac{18\sqrt2-14\sqrt2}{5487}=\frac{4\sqrt2}{5487}\) ; \(b=\frac{36\sqrt2-28\sqrt2}{5487}=\frac{8\sqrt2}{5487}\) : \(a<b\).

🔢 3) Les deux dénominateurs valent \(2\sqrt2>0\) : \(a=\frac{4312}{2\sqrt2}>\frac{1234}{2\sqrt2}=b\).

🔢 4) \(3\sqrt{50}-12=15\sqrt2-12\) et \(5\sqrt{18}-3\sqrt{16}=15\sqrt2-12\) (même dénominateur \(>0\)) ; numérateurs : \(\sqrt{4312}-1<\sqrt{4312}+1\).

✅ 1) \(a>b\) ; 2) \(a<b\) ; 3) \(a>b\) ; 4) \(a<b\).

3) Comparer \(x\) et \(y\) :
1) \(x=\dfrac{17256}{283548}\), \(y=\dfrac{17256}{3548}\) ;
2) \(x=\dfrac1{\sqrt\pi+3}\), \(y=\dfrac{\sqrt{\pi^2+7}+137}{\sqrt{\pi^2+7}+127}\) ;
3) \(x=\dfrac{0{,}9}{0{,}98}\), \(y=2{,}321456879\) ;
4) \(x=\dfrac{12{,}3\times10^{-3}}{0{,}000983\times10^2}\), \(y=7\sqrt{25}-5\sqrt{49}+1{,}03\).

Correction détaillée

🔢 1) Même numérateur positif, \(283548>3548\) : \(x<y\).

🔢 2) \(x<\frac13<1\) ; \(y>1\) car son numérateur est supérieur à son dénominateur : \(x<y\).

🔢 3) \(x=\frac{0{,}9}{0{,}98}<1<y\) car \(0{,}9<0{,}98\).

🔢 4) \(x=\frac{0{,}0123}{0{,}0983}<1\) ; \(y=35-35+1{,}03=1{,}03\).

✅ Dans les quatre cas \(x<y\).

4) Comparer \(u\) et \(v\) :
1) \(u=3\sqrt7\), \(v=5\sqrt2\) ;
2) \(u=6\sqrt{11}\), \(v=10\sqrt5\) ;
3) \(u=5\sqrt{11}+3\), \(v=7\sqrt5+3\) ;
4) \(u=4\sqrt8+11\sqrt2\), \(v=2\sqrt{32}+13\).

Correction détaillée

🔢 1) \(u=\sqrt{63}>\sqrt{50}=v\). 2) \(u=\sqrt{396}<\sqrt{500}=v\). 3) On compare \(5\sqrt{11}=\sqrt{275}\) et \(7\sqrt5=\sqrt{245}\) : \(u>v\).

🔢 4) \(u=8\sqrt2+11\sqrt2=19\sqrt2\) ; \(v=8\sqrt2+13\) ; \(u-v=11\sqrt2-13=\sqrt{242}-\sqrt{169}>0\).

✅ 1) \(u>v\) ; 2) \(u<v\) ; 3) \(u>v\) ; 4) \(u>v\).

5) Comparer \(a\) et \(b\) :
1) \(a=4\sqrt2\), \(b=5{,}65\) ;
2) \(a=\dfrac1{14\sqrt5}\), \(b=\dfrac1{31}\) ;
3) \(a=x\sqrt{x+1}\), \(b=(x+1)\sqrt x\) (\(x\ge0\)).

Correction détaillée

🔢 1) \(a=\sqrt{32}\) et \(b^2=5{,}65^2=31{,}9225<32\) : \(a>b\).

🔢 2) \(14\sqrt5=\sqrt{980}>\sqrt{961}=31\), donc \(\frac1{14\sqrt5}<\frac1{31}\).

🔢 3) \(a^2=x^2(x+1)\) et \(b^2=x(x+1)^2\) ; \(b^2-a^2=x(x+1)\big((x+1)-x\big)=x(x+1)\ge0\) : \(b\ge a\).

✅ 1) \(a>b\) ; 2) \(a<b\) ; 3) \(a\le b\).

6) Soit \(n\in\mathbb N^*\). Comparer :
1) \(a=\dfrac1n\) et \(b=\dfrac2{n+1}\) ;
2) \(a=\dfrac n{n+1}\) et \(b=\dfrac{n+1}{n+2}\) ;
3) \(a=\dfrac n{\sqrt{n+1}}\) et \(b=\sqrt{n+1}\). Comparer aussi \(\dfrac{n-1}n\) et \(\dfrac n{n+1}\), puis \(\dfrac{2009}{2010}\) et \(\dfrac{2010}{2011}\).

Correction détaillée

🔢 1) \(a-b=\frac{n+1-2n}{n(n+1)}=\frac{1-n}{n(n+1)}\le0\) : \(a\le b\) (égalité pour \(n=1\)).

🔢 2) \(a-b=\frac{n(n+2)-(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}<0\) : \(a<b\).

🔢 3) \(a-b=\frac{n-(n+1)}{\sqrt{n+1}}=\frac{-1}{\sqrt{n+1}}<0\) : \(a<b\).

🔢 4) \(\frac{n-1}n-\frac n{n+1}=\frac{(n-1)(n+1)-n^2}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}<0\). Pour \(n=2010\) : \(\frac{2009}{2010}<\frac{2010}{2011}\).

✅ 1) \(a\le b\) ; 2) \(a<b\) ; 3) \(a<b\) ; \(\frac{n-1}n<\frac n{n+1}\) et \(\frac{2009}{2010}<\frac{2010}{2011}\).

Exercice 1.4

Comparer des expressions littérales

1) Comparer \(2a\) et \(a^2+1\) (\(a\in\mathbb R\)).

Correction détaillée

🔢 \(a^2+1-2a=(a-1)^2\ge0\).

✅ \(a^2+1\ge2a\) (égalité si \(a=1\)).

2) Soit \(a\) un réel. Comparer \(4a-1\) et \(4a^2\).

Correction détaillée

🔢 \(4a^2-(4a-1)=4a^2-4a+1=(2a-1)^2\ge0\).

✅ \(4a^2\ge4a-1\).

3) Soit \(x\in\mathbb R^+\). Comparer \(2\sqrt x-1\) et \(x\).

Correction détaillée

🔢 \(x-(2\sqrt x-1)=x-2\sqrt x+1=(\sqrt x-1)^2\ge0\).

✅ \(2\sqrt x-1\le x\).

4) Soit \(n\in\mathbb N\), \(a=\sqrt{4n^2+1}\) et \(b=2n+1\). Comparer \(a\) et \(b\).

Correction détaillée

🔢 \(a\) et \(b\) sont positifs ; \(b^2-a^2=(4n^2+4n+1)-(4n^2+1)=4n\ge0\).

✅ \(a\le b\).

5) Soient \(x<y<3\).
1) Montrer que \(x+y-6<0\).
2) Comparer \(a=x^2-6x+1\) et \(b=y^2-6y+1\).

Correction détaillée

🔢 1) \(x<3\) et \(y<3\) donc \(x+y<6\).

🔢 2) \(a-b=(x^2-y^2)-6(x-y)=(x-y)(x+y-6)\). \(x-y<0\) et \(x+y-6<0\) : le produit est positif.

✅ \(x+y-6<0\) et \(a>b\).

6) Soit \(a\) un réel strictement positif.
1) Comparer \(a\), \(a^2\) et \(a^3\).
2) Comparer \(a\) et \(\dfrac1a\).

Correction détaillée

🔢 1) \(a^2-a=a(a-1)\) et \(a^3-a^2=a^2(a-1)\) ont le signe de \(a-1\). Si \(a>1\) : \(a<a^2<a^3\). Si \(a<1\) : \(a^3<a^2<a\). Si \(a=1\) : égalité.

🔢 2) \(a-\frac1a=\frac{a^2-1}a=\frac{(a-1)(a+1)}a\) a le signe de \(a-1\).

✅ Si \(a>1\) : \(a<a^2<a^3\) et \(a>\frac1a\). Si \(0<a<1\) : \(a^3<a^2<a\) et \(a<\frac1a\).

7) Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement négatifs avec \(a\ne b\). Comparer \(1-\dfrac ba\) et \(\dfrac ab-1\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(1-\frac ba\right)-\left(\frac ab-1\right)=2-\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{-(a-b)^2}{ab}\). Comme \(ab>0\) et \((a-b)^2>0\), cette différence est négative.

✅ \(1-\dfrac ba<\dfrac ab-1\).

Exercice 1.5

Comparer des expressions littérales (suite)

1) Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. Comparer \(A\) et \(B\) :
1) \(A=ab+1\), \(B=(a+1)(b+1)\) ;
2) \(A=\dfrac ab+\dfrac ba\), \(B=2\).

Correction détaillée

🔢 1) \(B-A=ab+a+b+1-ab-1=a+b>0\).

🔢 2) \(A-B=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\ge0\).

✅ 1) \(A<B\) ; 2) \(A\ge B\) (égalité si \(a=b\)).

2) Soit \(x\ge2\), \(A=(x-1)^2\) et \(B=(x-2)^2\).
1) Calculer \(A-B\).
2) Comparer \(A\) et \(B\).

Correction détaillée

🔢 1) \(A-B=(x-1)^2-(x-2)^2=(x-1-x+2)(x-1+x-2)=2x-3\).

🔢 2) \(x\ge2\) donc \(2x-3\ge1>0\).

✅ \(A-B=2x-3\) et \(A>B\).

3) Soient \(a>b>0\), \(x=\sqrt a-\sqrt b\) et \(y=\sqrt{a+1}-\sqrt{b+1}\).
1) Montrer que \(x=\dfrac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}\) et \(y=\dfrac{a-b}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}}\).
2) Comparer \(x\) et \(y\).

Correction détaillée

🔢 1) On multiplie par le conjugué : \(\sqrt a-\sqrt b=\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}\) ; de même \(\sqrt{a+1}-\sqrt{b+1}=\frac{(a+1)-(b+1)}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}}\).

🔢 2) \(\sqrt a+\sqrt b<\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}\) et \(a-b>0\) : donc \(x>y\).

✅ \(x>y\).

4) Soient \(a\) et \(b\) deux réels. Comparer :
1) \(5a\) et \(5b\) puis \(-13a\) et \(-13b\) si \(a\le b\) ;
2) \(a^2\) et \(b^2\), \(\sqrt a\) et \(\sqrt b\), \(\dfrac1a\) et \(\dfrac1b\) si \(0<a\le b\) ;
3) \(a^2\) et \(b^2\) si \(a\le b\le0\).

Correction détaillée

📘 Règle : multiplier par un nombre négatif change le sens de l’inégalité ; le carré conserve l’ordre sur \(\mathbb R^+\) et le renverse sur \(\mathbb R^-\).

🔢 1) On multiplie par \(5>0\) : \(5a\le5b\). On multiplie par \(-13<0\) : \(-13a\ge-13b\).

🔢 2) \(x\mapsto x^2\) et \(x\mapsto\sqrt x\) conservent l’ordre sur \(\mathbb R^+\) : \(a^2\le b^2\), \(\sqrt a\le\sqrt b\). Pour les inverses : \(\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}\ge0\), donc \(\frac1a\ge\frac1b\).

🔢 3) \(a\le b\le0\) donne \(-a\ge-b\ge0\), donc \((-a)^2\ge(-b)^2\) : \(a^2\ge b^2\).

✅ 1) \(5a\le5b\), \(-13a\ge-13b\) ; 2) \(a^2\le b^2\), \(\sqrt a\le\sqrt b\), \(\frac1a\ge\frac1b\) ; 3) \(a^2\ge b^2\).

5) Soient \(x\ge0\).
1) Comparer \(\sqrt{x+1}+\sqrt x\) et \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\).
2) En déduire une comparaison de \(\sqrt{x+1}-\sqrt x\) et \(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\).

Correction détaillée

🔢 1) \(\sqrt x<\sqrt{x+2}\), donc \(\sqrt{x+1}+\sqrt x<\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\).

🔢 2) \(\sqrt{x+1}-\sqrt x=\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x}\) et \(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}=\frac1{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}\). Le dénominateur de la seconde est plus grand.

✅ \(\sqrt{x+1}-\sqrt x>\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\).

6) Soient \(a>0\) et \(b>0\). Comparer \(x=\dfrac{7a+2b}{7a}\) et \(y=\dfrac{8b}{7a+2b}\).

Correction détaillée

🔢 Posons \(u=7a\) et \(v=2b\) : \(x=\frac{u+v}u\), \(y=\frac{4v}{u+v}\). \(x-y=\frac{(u+v)^2-4uv}{u(u+v)}=\frac{(u-v)^2}{u(u+v)}\ge0\).

✅ \(x\ge y\) (égalité si \(7a=2b\)).

7) On pose \(B=\sqrt{6-2\sqrt5}-\sqrt{6+2\sqrt5}\).
1) Donner le signe de \(B\).
2) Calculer \(B^2\).
3) Donner une écriture simplifiée de \(B\).

Correction détaillée

🔢 1) \(6-2\sqrt5<6+2\sqrt5\), donc \(B<0\).

🔢 2) \(B^2=(6-2\sqrt5)+(6+2\sqrt5)-2\sqrt{36-20}=12-8=4\).

🔢 3) \(B<0\) et \(B^2=4\) : \(B=-2\). (On a \(\sqrt{6\mp2\sqrt5}=\sqrt5\mp1\).)

✅ \(B<0\) ; \(B^2=4\) ; \(B=-2\).

Exercice 2.1

Démontrer des inégalités

1) Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts strictement positifs.
1) Montrer que \(a^2+b^2>2ab\).
2) Montrer que \(\dfrac2{a^2+b^2}<\dfrac1{ab}<\dfrac{a^2+b^2}{2a^2b^2}\).
3) En déduire que \(3{,}75<\sqrt{15}<4\).

Correction détaillée

📘 Méthode : pour montrer \(A<B\), on étudie le signe de \(B-A\) (souvent un carré divisé par un nombre positif).

🔢 1) \(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2>0\) car \(a\ne b\).

🔢 2) \(\frac1{ab}-\frac2{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab(a^2+b^2)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a^2+b^2)}>0\). De même \(\frac{a^2+b^2}{2a^2b^2}-\frac1{ab}=\frac{a^2+b^2-2ab}{2a^2b^2}=\frac{(a-b)^2}{2a^2b^2}>0\).

🔢 3) On prend \(a=\frac1{\sqrt3}\) et \(b=\frac1{\sqrt5}\) (distincts et positifs) : \(a^2+b^2=\frac13+\frac15=\frac8{15}\), \(ab=\frac1{\sqrt{15}}\), \(a^2b^2=\frac1{15}\).

🔢 L’encadrement devient \(\dfrac{2}{8/15}<\sqrt{15}<\dfrac{8/15}{2/15}\), c’est-à-dire \(\dfrac{15}4<\sqrt{15}<4\).

✅ \(3{,}75<\sqrt{15}<4\).

2) Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs. Montrer que :
1) \(\dfrac2{x^2+y^2}\le\dfrac1{xy}\) ;
2) \(\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\le\dfrac12\left(\dfrac1x+\dfrac1y\right)\) ;
3) \(\dfrac{x+y}2\ge\sqrt{xy}\).

Correction détaillée

🔢 1) \(\frac1{xy}-\frac2{x^2+y^2}=\frac{(x-y)^2}{xy(x^2+y^2)}\ge0\).

🔢 2) \(x^2+y^2\ge2xy\) et \(x+y>0\), donc \(\frac{x+y}{x^2+y^2}\le\frac{x+y}{2xy}=\frac12\left(\frac1x+\frac1y\right)\).

🔢 3) \(\left(\frac{x+y}2\right)^2-xy=\frac{(x-y)^2}4\ge0\), et les deux nombres \(\frac{x+y}2\) et \(\sqrt{xy}\) sont positifs.

✅ Les trois inégalités sont vraies (égalité si \(x=y\)).

3) Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs.
1) Montrer que \(\dfrac ab+\dfrac ba\ge2\).
2) Développer \((a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\).
3) En déduire que \((a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge4\).

Correction détaillée

🔢 1) \(\frac ab+\frac ba-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\ge0\).

🔢 2) \((a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)=1+\frac ab+\frac ba+1=2+\frac ab+\frac ba\).

🔢 3) D’après 1), \(2+\frac ab+\frac ba\ge2+2=4\).

✅ 1) \(\frac ab+\frac ba\ge2\) ; 2) \(=2+\frac ab+\frac ba\) ; 3) \(\ge4\).

4) Soient \(a\ge1\) et \(b\ge1\). Montrer que \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\le\sqrt{ab}\).

Correction détaillée

🔢 Les deux membres sont positifs : on compare leurs carrés. \(\left(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\right)^2=a+b-2+2\sqrt{(a-1)(b-1)}\).

🔢 \(ab-(a+b-2)=(a-1)(b-1)+1\). Posons \(t=\sqrt{(a-1)(b-1)}\ge0\) : \(ab-\left(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\right)^2=t^2+1-2t=(t-1)^2\ge0\).

✅ \(\left(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\right)^2\le ab\), donc \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\le\sqrt{ab}\).

5) Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs tels que \(x+y=1\).
1) Montrer que \(xy\le\dfrac14\).
2) En déduire que pour tout \(n\in\mathbb N\) : \(\left(1+\dfrac1{x^n}\right)\left(1+\dfrac1{y^n}\right)\ge\left(1+2^n\right)^2\).

Correction détaillée

🔢 1) \((x+y)^2-4xy=(x-y)^2\ge0\), donc \(4xy\le(x+y)^2=1\).

🔢 2) On développe : \(\left(1+\frac1{x^n}\right)\left(1+\frac1{y^n}\right)=1+\frac1{x^n}+\frac1{y^n}+\frac1{(xy)^n}\).

🔢 Or \(\frac1{x^n}+\frac1{y^n}\ge\frac2{\sqrt{x^ny^n}}=\frac2{(xy)^{n/2}}\) (inégalité \(u+v\ge2\sqrt{uv}\)). Donc le produit est \(\ge1+\frac2{(xy)^{n/2}}+\frac1{(xy)^n}=\left(1+\frac1{(xy)^{n/2}}\right)^2\).

🔢 D’après 1), \(0<xy\le\frac14\), donc \((xy)^{n/2}\le\frac1{2^n}\) et \(\frac1{(xy)^{n/2}}\ge2^n\). D’où le produit \(\ge(1+2^n)^2\).

✅ \(xy\le\frac14\) et \(\left(1+\frac1{x^n}\right)\left(1+\frac1{y^n}\right)\ge(1+2^n)^2\).

6) Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs tels que \(a<b\).
1) Calculer \(\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2\).
2) Montrer que \(a<\sqrt{ab}<\dfrac{a+b}2<b\).
3) En déduire que \(\sqrt2\in\left]1;2\right[\) et \(\dfrac{1+\sqrt2}2\in\left]1;\sqrt2\right[\).

Correction détaillée

🔢 1) \(\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2=a+b-2\sqrt{ab}\).

🔢 2) \(a<b\) donne \(a^2<ab\), donc \(a<\sqrt{ab}\). Comme \(\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2>0\), on a \(a+b>2\sqrt{ab}\), donc \(\sqrt{ab}<\frac{a+b}2\). Enfin \(\frac{a+b}2<\frac{b+b}2=b\).

🔢 3) Avec \(a=1\) et \(b=2\) : \(1<\sqrt2<\frac32<2\), donc \(\sqrt2\in]1;2[\). Avec \(a=1\) et \(b=\sqrt2\) : \(a<b\) donne \(1<\frac{1+\sqrt2}2<\sqrt2\).

✅ \(a<\sqrt{ab}<\frac{a+b}2<b\) ; \(\sqrt2\in]1;2[\) et \(\frac{1+\sqrt2}2\in]1;\sqrt2[\).

7) Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0<a\le b\le2a\).
1) Montrer que \((a-b)(2a-b)\le0\).
2) Développer \((a-b)(2a-b)\) et \(\left(a\sqrt2-b\right)^2\).
3) On pose \(A=\dfrac{2a^2+b^2}{3ab}\).
a) Montrer que \(\dfrac{2\sqrt2}3\le A\le1\).
b) Montrer que \(\dfrac{\left(1+\sqrt2\right)^2}6\) est une valeur approchée de \(A\) à la précision \(\dfrac{\left(1-\sqrt2\right)^2}6\).

Correction détaillée

🔢 1) \(a-b\le0\) et \(2a-b\ge0\) : le produit est \(\le0\).

🔢 2) \((a-b)(2a-b)=2a^2-3ab+b^2\) et \(\left(a\sqrt2-b\right)^2=2a^2-2\sqrt2\,ab+b^2\).

🔢 3a) \(A-1=\frac{2a^2+b^2-3ab}{3ab}=\frac{(a-b)(2a-b)}{3ab}\le0\), donc \(A\le1\). De plus \(A-\frac{2\sqrt2}3=\frac{2a^2+b^2-2\sqrt2ab}{3ab}=\frac{\left(a\sqrt2-b\right)^2}{3ab}\ge0\).

🔢 3b) On a \(\frac{4\sqrt2}6\le A\le\frac66\). Le milieu est \(\frac{4\sqrt2+6}{12}=\frac{3+2\sqrt2}6=\frac{\left(1+\sqrt2\right)^2}6\) et la demi-amplitude est \(\frac{6-4\sqrt2}{12}=\frac{3-2\sqrt2}6=\frac{\left(1-\sqrt2\right)^2}6\).

🔢 Donc \(\left|A-\frac{(1+\sqrt2)^2}6\right|\le\frac{(1-\sqrt2)^2}6\).

✅ 3a) \(\frac{2\sqrt2}3\le A\le1\) ; 3b) \(\frac{(1+\sqrt2)^2}6\) approche \(A\) à \(\frac{(1-\sqrt2)^2}6\) près.

Exercice 2.2

Ordre et opérations avec des hypothèses

1) 1) Soient \(a>0\) et \(b<0\) et \(A=\dfrac{9a-4b}{3a-2b}\). Montrer que \(2<A<3\).
2) Soient \(a>0\) et \(b>0\) et \(A=\dfrac{12a+10b}{3a+2b}\). Montrer que \(4<A<5\).

Correction détaillée

🔢 1) \(3a-2b>0\) car \(a>0\) et \(b<0\). \(A-2=\frac{9a-4b-6a+4b}{3a-2b}=\frac{3a}{3a-2b}>0\) et \(3-A=\frac{9a-6b-9a+4b}{3a-2b}=\frac{-2b}{3a-2b}>0\).

🔢 2) \(3a+2b>0\). \(A-4=\frac{12a+10b-12a-8b}{3a+2b}=\frac{2b}{3a+2b}>0\) et \(5-A=\frac{15a+10b-12a-10b}{3a+2b}=\frac{3a}{3a+2b}>0\).

✅ 1) \(2<A<3\) ; 2) \(4<A<5\).

2) Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x>y>-\dfrac23\).
1) Étudier le signe de
a) \(2x+y+3\) ;
b) \((3x+2)(3y+2)\).
2) Comparer \(A=\dfrac{2x+3}{2y+3}\) et \(B=\dfrac{2y+3}{2x+3}\).

Correction détaillée

🔢 1a) \(x>-\frac23\) et \(y>-\frac23\) donnent \(2x+y+3>-\frac43-\frac23+3=1>0\).

🔢 1b) \(3x+2>0\) et \(3y+2>0\), donc le produit est strictement positif.

🔢 2) \(2x+3>\frac53>0\) et \(2y+3>\frac53>0\). \(A-B=\frac{(2x+3)^2-(2y+3)^2}{(2y+3)(2x+3)}=\frac{(2x-2y)(2x+2y+6)}{(2y+3)(2x+3)}\). Or \(2x-2y>0\) et \(2x+2y+6>0\) : \(A-B>0\).

✅ 1) \(2x+y+3>0\) et \((3x+2)(3y+2)>0\) ; 2) \(A>B\).

3) Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(0<x<y\).
1) Montrer que \(x^2<xy<y^2\).
2) Montrer que si \(xy=15\), alors \(x<\sqrt{15}<y\).
3) Montrer que \(\dfrac{931}{241}<\sqrt{15}<\dfrac{3615}{931}\).

Correction détaillée

🔢 1) On multiplie \(x<y\) par \(x>0\) : \(x^2<xy\) ; par \(y>0\) : \(xy<y^2\).

🔢 2) Si \(xy=15\) : \(x^2<15<y^2\), donc (nombres positifs) \(x<\sqrt{15}<y\).

🔢 3) Prenons \(x=\frac{931}{241}\) et \(y=\frac{3615}{931}\). On a \(xy=\frac{3615}{241}=15\) et \(x\approx3{,}863<y\approx3{,}883\). On applique 2).

✅ \(\dfrac{931}{241}<\sqrt{15}<\dfrac{3615}{931}\).

4) Soit \(x\) un élément de l’intervalle \(]-1;+\infty[\). Comparer \(12\) et \(-5x+1\) en utilisant les propriétés de l’ordre.

Correction détaillée

🔢 \(x>-1\). On multiplie par \(-5<0\) : \(-5x<5\). On ajoute \(1\) : \(-5x+1<6\).

🔢 Or \(6<12\).

✅ \(-5x+1<12\).

5) Montrer que \(\sqrt{\dfrac{6+\sqrt{31}}2}+\sqrt{\dfrac{6-\sqrt{31}}2}=\sqrt{6+\sqrt5}\) et que \(\sqrt{9-\sqrt{79}}+\sqrt{9+\sqrt{79}}=\sqrt{18+\sqrt8}\).

Correction détaillée

🔢 Les deux membres sont positifs : on compare les carrés.

🔢 1) \(\left(\sqrt{\frac{6+\sqrt{31}}2}+\sqrt{\frac{6-\sqrt{31}}2}\right)^2=\frac{6+\sqrt{31}}2+\frac{6-\sqrt{31}}2+2\sqrt{\frac{36-31}4}=6+2\times\frac{\sqrt5}2=6+\sqrt5\).

🔢 2) \(\left(\sqrt{9-\sqrt{79}}+\sqrt{9+\sqrt{79}}\right)^2=18+2\sqrt{81-79}=18+2\sqrt2=18+\sqrt8\).

✅ Les deux égalités sont vraies.

6) Soit \(a\) un réel tel que \(|a|<1\) et \(E=a^3+a^2-5a+3\).
1) Montrer que \(-3<E<10\).
2) Vérifier que \(E=(a+3)(a-1)^2\).
3) En déduire que \(0<E<16\).
4) Montrer que \(|E-5|<5\).

Correction détaillée

🔢 1) \(-1<a<1\) donne \(-1<a^3<1\), \(0\le a^2<1\), \(-5<-5a<5\). On additionne avec \(3\) : \(-1+0-5+3<E<1+1+5+3\).

🔢 2) \((a+3)(a-1)^2=(a+3)(a^2-2a+1)=a^3+a^2-5a+3\).

🔢 3) \(2<a+3<4\) et \(0<(a-1)^2<4\) (car \(-2<a-1<0\)). Donc \(0<E<16\).

🔢 4) Par 1) et 3), \(0<E<10\), donc \(-5<E-5<5\).

✅ \(-3<E<10\) ; \(E=(a+3)(a-1)^2\) ; \(0<E<16\) ; \(|E-5|<5\).

7) On pose \(A=\dfrac12\times\dfrac34\times\dfrac56\times\cdots\times\dfrac{2013}{2014}\) et \(B=\dfrac23\times\dfrac45\times\dfrac67\times\cdots\times\dfrac{2014}{2015}\). Montrer que \(A<\dfrac1{\sqrt{2015}}<B\).

Correction détaillée

🔢 Chaque facteur de \(A\) est strictement inférieur au facteur correspondant de \(B\) : \(\frac{2k-1}{2k}<\frac{2k}{2k+1}\). Tous sont positifs, donc \(0<A<B\).

🔢 \(A\times B=\frac12\times\frac23\times\frac34\times\cdots\times\frac{2014}{2015}=\frac1{2015}\) (produit télescopique).

🔢 De \(A<B\) : \(A^2<AB=\frac1{2015}<B^2\). Par positivité, \(A<\frac1{\sqrt{2015}}<B\).

✅ \(A<\dfrac1{\sqrt{2015}}<B\).

8) Soit \(a\ge1\) et \(A=\sqrt{1+\dfrac1a}\).
1) Montrer que \(a(A+1)(A-1)=1\).
2) Montrer que \(2\le A+1\le3\).
3) En déduire que \(1+\dfrac1{3a}\le A\le1+\dfrac1{2a}\).
4) Montrer que \(1{,}1\) est une valeur approchée de \(\sqrt{1{,}2}\) à \(\dfrac1{30}\) près.

Correction détaillée

🔢 1) \(a(A^2-1)=a\times\frac1a=1\).

🔢 2) \(A\ge1\) donc \(A+1\ge2\). \(a\ge1\) donne \(A^2=1+\frac1a\le2\), donc \(A\le\sqrt2<2\) et \(A+1<3\).

🔢 3) \(A-1=\frac1{a(A+1)}\) et \(2\le A+1\le3\) donnent \(\frac1{3a}\le A-1\le\frac1{2a}\).

🔢 4) Pour \(a=5\) : \(A=\sqrt{1+\frac15}=\sqrt{1{,}2}\) et \(1+\frac1{15}\le\sqrt{1{,}2}\le1+\frac1{10}=1{,}1\). L’amplitude est \(1{,}1-1{,}0\overline6=\frac1{30}\) : \(1{,}1\) est une valeur approchée par excès de \(\sqrt{1{,}2}\) à \(\frac1{30}\) près.

✅ 1,1 approche \(\sqrt{1{,}2}\) à \(\frac1{30}\) près.

Exercice 3.1

Écrire sans valeur absolue

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=u\) si \(u\ge0\) et \(|u|=-u\) si \(u\le0\) ; on étudie donc le signe de l’expression à l’intérieur. Et \(\sqrt{u^2}=|u|\).

🔢 1) \(|-3|=3\). 2) \(|3|=3\). 3) \(\left|-\frac35\right|=\frac35\).

🔢 4) \(\sqrt5>2\) (car \(5>4\)) donc \(|\sqrt5-2|=\sqrt5-2\).

🔢 5) \(1<\sqrt3\) donc \(|1-\sqrt3|=\sqrt3-1\).

🔢 6) \(\pi<4\) donc \(|\pi-4|=4-\pi\).

🔢 7) \(\sqrt2<\sqrt7\) donc \(|\sqrt2-\sqrt7|=\sqrt7-\sqrt2\).

🔢 8) \(3=\sqrt9<\sqrt{12}=2\sqrt3\) donc \(|3-2\sqrt3|=2\sqrt3-3\).

🔢 9) \(4=\sqrt{16}>\sqrt{12}=2\sqrt3\) : \(|4-2\sqrt3|=4-2\sqrt3\). \(5=\sqrt{25}<\sqrt{27}=3\sqrt3\) : \(|5-3\sqrt3|=3\sqrt3-5\). \(9=\sqrt{81}>\sqrt{75}=5\sqrt3\) : \(|9-5\sqrt3|=9-5\sqrt3\).

🔢 \(A=(4-2\sqrt3)-(3\sqrt3-5)+(9-5\sqrt3)=18-10\sqrt3\).

✅ 1) \(3\) ; 2) \(3\) ; 3) \(\frac35\) ; 4) \(\sqrt5-2\) ; 5) \(\sqrt3-1\) ; 6) \(4-\pi\) ; 7) \(\sqrt7-\sqrt2\) ; 8) \(2\sqrt3-3\) ; 9) \(A=18-10\sqrt3\).

2) Écrire sans utiliser le symbole de la valeur absolue : \(A=|6\pi-19|\) ; \(B=\left|5\sqrt5-8\sqrt2\right|\) ; \(C=|2x-4|\) avec \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=u\) si \(u\ge0\) et \(|u|=-u\) si \(u\le0\) ; on étudie donc le signe de l’expression à l’intérieur. Et \(\sqrt{u^2}=|u|\).

🔢 \(A\) : \(6\pi\approx18{,}85<19\) (car \(\pi<\frac{19}6\approx3{,}17\)), donc \(A=19-6\pi\).

🔢 \(B\) : \(5\sqrt5=\sqrt{125}<\sqrt{128}=8\sqrt2\), donc \(B=8\sqrt2-5\sqrt5\).

🔢 \(C\) : \(2x-4\ge0\iff x\ge2\). Si \(x\ge2\) : \(C=2x-4\) ; si \(x<2\) : \(C=4-2x\).

✅ \(A=19-6\pi\) ; \(B=8\sqrt2-5\sqrt5\) ; \(C=2x-4\) si \(x\ge2\), \(C=4-2x\) si \(x<2\).

3) Calculer : \(A=\sqrt{\left(\sqrt3-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt3-2\right)^2}\) ; \(B=\sqrt{(x+3)^2}\) avec \(x\in]-\infty;-4]\) ; \(C=\left|\sqrt7-\sqrt2\right|\times\left(\sqrt7+\sqrt2\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=u\) si \(u\ge0\) et \(|u|=-u\) si \(u\le0\) ; on étudie donc le signe de l’expression à l’intérieur. Et \(\sqrt{u^2}=|u|\).

🔢 \(A=|\sqrt3-1|+|\sqrt3-2|=(\sqrt3-1)+(2-\sqrt3)=1\) (car \(1<\sqrt3<2\)).

🔢 \(B=|x+3|\). Pour \(x\le-4\) : \(x+3\le-1<0\), donc \(B=-x-3\).

🔢 \(C=(\sqrt7-\sqrt2)(\sqrt7+\sqrt2)=7-2=5\) (car \(\sqrt7>\sqrt2\)).

✅ \(A=1\) ; \(B=-x-3\) ; \(C=5\).

4) Soient \(x\in[-2;5]\) et \(y\in[-3;-1]\). Simplifier \(A=2|2x+7|-|3y|+2|y+8|-|2y-x|\).

Correction détaillée

🔢 \(2x+7\in[3;17]\) : positif, \(|2x+7|=2x+7\).

🔢 \(3y\le-3<0\) : \(|3y|=-3y\).

🔢 \(y+8\in[5;7]\) : positif, \(|y+8|=y+8\).

🔢 \(2y\in[-6;-2]\) et \(-x\in[-5;2]\), donc \(2y-x\in[-11;0]\) : \(2y-x\le0\), \(|2y-x|=x-2y\).

🔢 \(A=2(2x+7)+3y+2(y+8)-(x-2y)=4x+14+3y+2y+16-x+2y=3x+7y+30\).

✅ \(A=3x+7y+30\).

5) Simplifier : \(\sqrt{\left(5\sqrt7-59\sqrt3\right)^2}\) ; \(\left|3\sqrt2-2\sqrt3\right|\) ; \(\left|-5\sqrt{13}-13\sqrt5\right|\) ; \(\sqrt{7-4\sqrt3}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=u\) si \(u\ge0\) et \(|u|=-u\) si \(u\le0\) ; on étudie donc le signe de l’expression à l’intérieur. Et \(\sqrt{u^2}=|u|\).

🔢 \(5\sqrt7=\sqrt{175}<\sqrt{10443}=59\sqrt3\) : \(\sqrt{(5\sqrt7-59\sqrt3)^2}=59\sqrt3-5\sqrt7\).

🔢 \(3\sqrt2=\sqrt{18}>\sqrt{12}=2\sqrt3\) : \(|3\sqrt2-2\sqrt3|=3\sqrt2-2\sqrt3\).

🔢 \(-5\sqrt{13}-13\sqrt5<0\) : \(|\ldots|=5\sqrt{13}+13\sqrt5\).

🔢 \(7-4\sqrt3=\left(2-\sqrt3\right)^2\) donc \(\sqrt{7-4\sqrt3}=|2-\sqrt3|=2-\sqrt3\).

✅ \(59\sqrt3-5\sqrt7\) ; \(3\sqrt2-2\sqrt3\) ; \(5\sqrt{13}+13\sqrt5\) ; \(2-\sqrt3\).

6) Soient \(a\in\mathbb R^-\) et \(b\in\left[0;\dfrac13\right]\). Simplifier \(\sqrt{(3b-1)^2}\) et \(\sqrt{(a-5)^2}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=u\) si \(u\ge0\) et \(|u|=-u\) si \(u\le0\) ; on étudie donc le signe de l’expression à l’intérieur. Et \(\sqrt{u^2}=|u|\).

🔢 \(3b-1\le0\) car \(b\le\frac13\) : \(\sqrt{(3b-1)^2}=|3b-1|=1-3b\).

🔢 \(a-5\le-5<0\) : \(\sqrt{(a-5)^2}=|a-5|=5-a\).

✅ \(1-3b\) et \(5-a\).

7) Soient \(a<1<b\). Simplifier \(K=|2a-2|+3|b-1|-\sqrt{(a-1)^2}+|a-b|\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=u\) si \(u\ge0\) et \(|u|=-u\) si \(u\le0\) ; on étudie donc le signe de l’expression à l’intérieur. Et \(\sqrt{u^2}=|u|\).

🔢 \(a<1\) : \(|2a-2|=2-2a\) et \(\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|=1-a\).

🔢 \(b>1\) : \(|b-1|=b-1\). \(a<b\) : \(|a-b|=b-a\).

🔢 \(K=(2-2a)+3(b-1)-(1-a)+(b-a)=4b-2a-2\).

✅ \(K=4b-2a-2\).

Exercice 3.2

Valeur absolue et hypothèses sur x et y

1) Soient \(x\ge\dfrac12\), \(y\le1\) et \(x-y=3\).
1) Donner la valeur de \(A=\sqrt{(2x-1)^2}+\sqrt{(2y-2)^2}\).
2) Montrer que \(\dfrac12\le x\le4\) et \(-\dfrac52\le y\le1\).
3) En déduire la valeur de \(B=|x+y-5|+|x+y+2|\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=u\) si \(u\ge0\) et \(|u|=-u\) si \(u\le0\) ; on étudie donc le signe de l’expression à l’intérieur. Et \(\sqrt{u^2}=|u|\).

🔢 1) \(2x-1\ge0\) et \(2y-2\le0\) : \(A=(2x-1)+(2-2y)=2(x-y)+1=7\).

🔢 2) \(x=y+3\le4\) et \(y=x-3\ge-\frac52\). Avec les hypothèses : \(\frac12\le x\le4\) et \(-\frac52\le y\le1\).

🔢 3) \(x+y=2y+3\in[-2;5]\). Donc \(x+y-5\le0\) et \(x+y+2\ge0\) : \(B=(5-x-y)+(x+y+2)=7\).

✅ \(A=7\) ; \(B=7\).

2) Soient \(x\ge\dfrac13\), \(y\le\dfrac73\) et \(2x-3y=1\).
1) Donner la valeur de \(A=2\sqrt{(3x-1)^2}+3\sqrt{(3y-7)^2}-22\).
2) Montrer que \(\dfrac13\le x\le4\) et \(-\dfrac19\le y\le\dfrac73\).
3) En déduire la valeur de \(B=2\left|x+y-\dfrac19\right|+3\left|x+y-\dfrac{19}3\right|+3x-2y-\dfrac{19}3\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=u\) si \(u\ge0\) et \(|u|=-u\) si \(u\le0\) ; on étudie donc le signe de l’expression à l’intérieur. Et \(\sqrt{u^2}=|u|\).

🔢 1) \(3x-1\ge0\) et \(3y-7\le0\) : \(A=2(3x-1)+3(7-3y)-22=6x-9y-3=3(2x-3y)-3=0\).

🔢 2) \(x=\frac{1+3y}2\le\frac{1+7}2=4\) et \(y=\frac{2x-1}3\ge\frac{\frac23-1}3=-\frac19\).

🔢 3) \(x+y\ge\frac13-\frac19=\frac29\), donc \(x+y-\frac19>0\). \(x+y\le4+\frac73=\frac{19}3\), donc \(x+y-\frac{19}3\le0\).

🔢 \(B=2\left(x+y-\frac19\right)+3\left(\frac{19}3-x-y\right)+3x-2y-\frac{19}3=2x-3y+19-\frac29-\frac{19}3=1+\frac{38}3-\frac29=\frac{121}9\).

✅ \(A=0\) ; \(B=\dfrac{121}9\).

3) Soient \(a\ge1\), \(b\le2\) et \(a-b=3\).
1) Donner la valeur de \(X=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(b-2)^2}\).
2) Montrer que \(1\le a\le5\) et \(-2\le b\le2\).
3) En déduire la valeur de \(Y=|a+b-7|+|a+b+1|\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=u\) si \(u\ge0\) et \(|u|=-u\) si \(u\le0\) ; on étudie donc le signe de l’expression à l’intérieur. Et \(\sqrt{u^2}=|u|\).

🔢 1) \(a-1\ge0\), \(b-2\le0\) : \(X=(a-1)+(2-b)=a-b+1=4\).

🔢 2) \(a=b+3\le5\) et \(b=a-3\ge-2\).

🔢 3) \(a+b=2b+3\in[-1;7]\) : \(a+b-7\le0\) et \(a+b+1\ge0\). \(Y=(7-a-b)+(a+b+1)=8\).

✅ \(X=4\) ; \(Y=8\).

4) Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x\ge-2\), \(y\le-1\) et \(x-y=6\).
1) Calculer \(A=\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(y+1)^2}\).
2) Montrer que \(x\le5\) et \(y\ge-8\).
3) Établir que \(0\le x^2+y^2\le89\).
4) Calculer \(B=|x+y-4|+|x+y+10|\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=u\) si \(u\ge0\) et \(|u|=-u\) si \(u\le0\) ; on étudie donc le signe de l’expression à l’intérieur. Et \(\sqrt{u^2}=|u|\).

🔢 1) \(x+2\ge0\), \(y+1\le0\) : \(A=(x+2)-(y+1)=x-y+1=7\).

🔢 2) \(x=y+6\le5\) et \(y=x-6\ge-8\). Donc \(x\in[-2;5]\) et \(y\in[-8;-1]\).

🔢 3) \(x^2+y^2\ge0\). Comme \(|x|\le5\) et \(|y|\le8\) : \(x^2+y^2\le25+64=89\).

🔢 4) \(x+y=2y+6\in[-10;4]\) : \(x+y-4\le0\) et \(x+y+10\ge0\). \(B=(4-x-y)+(x+y+10)=14\).

✅ \(A=7\) ; \(x\le5\), \(y\ge-8\) ; \(0\le x^2+y^2\le89\) ; \(B=14\).

5) Soient \(a\ge2\), \(b\le5\) et \(b-a=2\).
1) Montrer que \(a\le3\) et \(4\le b\).
2) Calculer \(A=\sqrt{(a-3)^2}+\sqrt{(b-4)^2}\).
3) Calculer \(B=|a+b-6|+|a+b-8|\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=u\) si \(u\ge0\) et \(|u|=-u\) si \(u\le0\) ; on étudie donc le signe de l’expression à l’intérieur. Et \(\sqrt{u^2}=|u|\).

🔢 1) \(a=b-2\le3\) et \(b=a+2\ge4\).

🔢 2) \(a-3\le0\), \(b-4\ge0\) : \(A=(3-a)+(b-4)=b-a-1=1\).

🔢 3) \(a\in[2;3]\) et \(b=a+2\), donc \(a+b=2a+2\in[6;8]\) : \(B=(a+b-6)+(8-a-b)=2\).

✅ \(A=1\) ; \(B=2\).

Exercice 3.3

Propriétés de la valeur absolue

1) Soient \(x\) et \(y\) deux réels.
1) Simplifier \(|xy|\) dans les deux cas :
a) \(x\) et \(y\) ont même signe ;
b) \(x\) et \(y\) n’ont pas le même signe.
2) En déduire que \(|xy|\ge xy\).
3) Montrer que \((|x|+|y|)^2-(x+y)^2=2(|xy|-xy)\).
4) Déduire l’inégalité triangulaire \(|x+y|\le|x|+|y|\).

Correction détaillée

🔢 1a) \(xy\ge0\) donc \(|xy|=xy\). 1b) \(xy\le0\) donc \(|xy|=-xy\).

🔢 2) Dans le cas a) \(|xy|=xy\) ; dans le cas b) \(|xy|=-xy\ge0\ge xy\). Dans tous les cas \(|xy|\ge xy\).

🔢 3) \((|x|+|y|)^2-(x+y)^2=x^2+2|x||y|+y^2-x^2-2xy-y^2=2(|xy|-xy)\) car \(|x||y|=|xy|\).

🔢 4) D’après 2) et 3), \((|x|+|y|)^2\ge(x+y)^2\). Les deux nombres \(|x|+|y|\) et \(|x+y|\) sont positifs, donc \(|x+y|\le|x|+|y|\).

✅ \(|xy|\ge xy\) et \(|x+y|\le|x|+|y|\).

2) Soit \(x\in\mathbb R\), \(A=\sqrt{x^2+1}-|x|\) et \(B=\sqrt{x^2+1}+|x|\).
1) Montrer que \(A>0\) et en déduire que \(B>2|x|\).
2) Calculer \(AB\) et en déduire que \(A<\dfrac1{2|x|}\) pour \(x\ne0\).
3) Démontrer que pour tout \(x\ne0\) : \(|x|<\sqrt{x^2+1}<|x|+\dfrac1{2|x|}\).
4) Donner un encadrement d’amplitude \(\dfrac1{66}\) du nombre \(\dfrac{\sqrt{122}}3\).

Correction détaillée

🔢 1) \(x^2+1>x^2\), donc \(\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|\) et \(A>0\). Alors \(B=A+2|x|>2|x|\).

🔢 2) \(AB=(x^2+1)-x^2=1\). Donc \(A=\frac1B<\frac1{2|x|}\) (car \(B>2|x|>0\)).

🔢 3) \(A>0\) donne \(\sqrt{x^2+1}>|x|\) ; \(A<\frac1{2|x|}\) donne \(\sqrt{x^2+1}<|x|+\frac1{2|x|}\).

🔢 4) \(\sqrt{122}=\sqrt{11^2+1}\). Avec \(x=11\) : \(11<\sqrt{122}<11+\frac1{22}\). On divise par \(3\) : \(\frac{11}3<\frac{\sqrt{122}}3<\frac{11}3+\frac1{66}\).

✅ \(\dfrac{11}3<\dfrac{\sqrt{122}}3<\dfrac{11}3+\dfrac1{66}\) (amplitude \(\frac1{66}\)).

Exercice 3.4

Équations avec valeur absolue

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(|x-1|=5\) ;
2) \(|2x+1|=|x-3|\) ;
3) \(|x+2|=-1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|=r\) (avec \(r>0\)) \(\iff u=r\) ou \(u=-r\) ; \(|u|=|v|\iff u=v\) ou \(u=-v\) ; \(|u|=r<0\) est impossible.

🔢 1) \(x-1=5\) ou \(x-1=-5\) : \(x=6\) ou \(x=-4\).

🔢 2) \(2x+1=x-3\) donne \(x=-4\) ; \(2x+1=-(x-3)\) donne \(3x=2\), \(x=\frac23\).

🔢 3) Une valeur absolue est positive : aucune solution.

✅ 1) \(S=\{-4;6\}\) ; 2) \(S=\left\{-4;\frac23\right\}\) ; 3) \(S=\varnothing\).

2) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(\left|\dfrac{2x-3}7\right|=2\) ; \(|3x+5|=|-2x+3|\) ; \(|x-6|=-9\) ; \(|x+8|=0\).

Correction détaillée

🔢 1) \(\frac{2x-3}7=\pm2\) : \(2x-3=14\) ou \(2x-3=-14\), donc \(x=\frac{17}2\) ou \(x=-\frac{11}2\).

🔢 2) \(3x+5=-2x+3\) donne \(x=-\frac25\) ; \(3x+5=2x-3\) donne \(x=-8\).

🔢 3) \(|x-6|\ge0>-9\) : aucune solution.

🔢 4) \(|x+8|=0\iff x=-8\).

✅ \(S_1=\left\{-\frac{11}2;\frac{17}2\right\}\) ; \(S_2=\left\{-8;-\frac25\right\}\) ; \(S_3=\varnothing\) ; \(S_4=\{-8\}\).

3) Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations : \(|5x+2|=8\) ; \(|-2x+1|=-1\) ; \(|2x-1|=|3x-4|\).

Correction détaillée

🔢 1) \(5x+2=8\) donne \(x=\frac65\) ; \(5x+2=-8\) donne \(x=-2\).

🔢 2) Valeur absolue égale à \(-1\) : impossible.

🔢 3) \(2x-1=3x-4\) donne \(x=3\) ; \(2x-1=-3x+4\) donne \(x=1\).

✅ \(S_1=\left\{-2;\frac65\right\}\) ; \(S_2=\varnothing\) ; \(S_3=\{1;3\}\).

4) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
   a) \(|x-3|=7\) ;
   b) \(|5x-11|=3\) ;
   c) \(\left|4x^{2015}-3x^{2014}+2013\right|=-\sqrt{2012}\) ;
   d) \(\left|2|x-3|-17\right|=11\) ;
   e) \(\left|3|x+1|-5\right|=13\) ;
   m) \(|5x-7|=|2x+1|\).

Correction détaillée

🔢 a) \(x-3=\pm7\) : \(x=10\) ou \(x=-4\).

🔢 b) \(5x-11=\pm3\) : \(x=\frac{14}5\) ou \(x=\frac85\).

🔢 c) Le second membre est négatif : aucune solution.

🔢 d) \(2|x-3|-17=\pm11\) : \(|x-3|=14\) ou \(|x-3|=3\). Donc \(x\in\{17;-11;6;0\}\).

🔢 e) \(3|x+1|-5=\pm13\) : \(|x+1|=6\) ou \(|x+1|=-\frac83\) (impossible). Donc \(x=5\) ou \(x=-7\).

🔢 m) \(5x-7=2x+1\) donne \(x=\frac83\) ; \(5x-7=-2x-1\) donne \(x=\frac67\).

✅ a) \(\{-4;10\}\) ; b) \(\left\{\frac85;\frac{14}5\right\}\) ; c) \(\varnothing\) ; d) \(\{-11;0;6;17\}\) ; e) \(\{-7;5\}\) ; m) \(\left\{\frac67;\frac83\right\}\).

5) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
   a) \(|12x+5|=|3x-2|\) ;
   b) \(|4x+3|=|3x-5|\) ;
   c) \(\left|3x^2+5x-7\right|=\left|3x^2+2x+7\right|\).

Correction détaillée

🔢 a) \(12x+5=3x-2\) donne \(x=-\frac79\) ; \(12x+5=-3x+2\) donne \(x=-\frac15\).

🔢 b) \(4x+3=3x-5\) donne \(x=-8\) ; \(4x+3=-3x+5\) donne \(x=\frac27\).

🔢 c) \(3x^2+5x-7=3x^2+2x+7\) donne \(3x=14\), \(x=\frac{14}3\). \(3x^2+5x-7=-3x^2-2x-7\) donne \(6x^2+7x=0\), \(x(6x+7)=0\), \(x=0\) ou \(x=-\frac76\).

✅ a) \(\left\{-\frac79;-\frac15\right\}\) ; b) \(\left\{-8;\frac27\right\}\) ; c) \(\left\{-\frac76;0;\frac{14}3\right\}\).

Exercice 3.5

Inéquations avec valeur absolue

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(|x-1|\le2\) ;
2) \(|x+2|\ge3\) ;
3) \(|2x+1|<6\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|u|\le r\iff-r\le u\le r\) ; \(|u|\ge r\iff u\ge r\) ou \(u\le-r\) ; \(|u|<r<0\) et \(|u|\le r<0\) sont impossibles ; \(|u|\ge r\) avec \(r<0\) est toujours vraie.

🔢 1) \(-2\le x-1\le2\iff-1\le x\le3\).

🔢 2) \(x+2\ge3\) ou \(x+2\le-3\) : \(x\ge1\) ou \(x\le-5\).

🔢 3) \(-6<2x+1<6\iff-7<2x<5\iff-\frac72<x<\frac52\).

✅ 1) \([-1;3]\) ; 2) \(]-\infty;-5]\cup[1;+\infty[\) ; 3) \(\left]-\frac72;\frac52\right[\).

2) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(\left|\dfrac{3-x}5\right|<10\) ; \(\left|\dfrac{3x-6}4\right|\ge2\) ; \(\left|\dfrac{-6x+7}{12}\right|\le-3\) ; \(|3x+8|\ge-2\).

Correction détaillée

🔢 1) \(|3-x|<50\iff-50<x-3<50\iff-47<x<53\).

🔢 2) \(|3x-6|\ge8\) : \(3x-6\ge8\) ou \(3x-6\le-8\), soit \(x\ge\frac{14}3\) ou \(x\le-\frac23\).

🔢 3) Une valeur absolue ne peut pas être \(\le-3\) : aucune solution.

🔢 4) Une valeur absolue est toujours \(\ge0>-2\) : tout réel est solution.

✅ 1) \(]-47;53[\) ; 2) \(\left]-\infty;-\frac23\right]\cup\left[\frac{14}3;+\infty\right[\) ; 3) \(\varnothing\) ; 4) \(\mathbb R\).

3) Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations : \(|2x-3|\le1\) ; \(|6x+11|\ge\dfrac16\) ; \(2\le|10x+2|\le5\).

Correction détaillée

🔢 1) \(-1\le2x-3\le1\iff1\le x\le2\).

🔢 2) \(6x+11\ge\frac16\iff x\ge-\frac{65}{36}\) ou \(6x+11\le-\frac16\iff x\le-\frac{67}{36}\).

🔢 3) \(|10x+2|\le5\iff-\frac7{10}\le x\le\frac3{10}\) et \(|10x+2|\ge2\iff x\ge0\) ou \(x\le-\frac25\). On prend l’intersection.

✅ 1) \([1;2]\) ; 2) \(\left]-\infty;-\frac{67}{36}\right]\cup\left[-\frac{65}{36};+\infty\right[\) ; 3) \(\left[-\frac7{10};-\frac25\right]\cup\left[0;\frac3{10}\right]\).

4) Résoudre dans \(\mathbb R\) :
   a) \(|3x-5|<2\) ;
   b) \(|2x+1|\le3\) ;
   c) \(|3x-2|>4\) ;
   d) \(|2x+2|\ge3\).

Correction détaillée

🔢 a) \(-2<3x-5<2\iff1<x<\frac73\).

🔢 b) \(-3\le2x+1\le3\iff-2\le x\le1\).

🔢 c) \(3x-2>4\) ou \(3x-2<-4\) : \(x>2\) ou \(x<-\frac23\).

🔢 d) \(2x+2\ge3\) ou \(2x+2\le-3\) : \(x\ge\frac12\) ou \(x\le-\frac52\).

✅ a) \(\left]1;\frac73\right[\) ; b) \([-2;1]\) ; c) \(\left]-\infty;-\frac23\right[\cup]2;+\infty[\) ; d) \(\left]-\infty;-\frac52\right]\cup\left[\frac12;+\infty\right[\).

5) Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations : \(|2x-3|<1\) ; \(|2x+1|\le3\) ; \(|3x+2|\ge1\).

Correction détaillée

🔢 1) \(-1<2x-3<1\iff1<x<2\).

🔢 2) \(-3\le2x+1\le3\iff-2\le x\le1\).

🔢 3) \(3x+2\ge1\) ou \(3x+2\le-1\) : \(x\ge-\frac13\) ou \(x\le-1\).

✅ 1) \(]1;2[\) ; 2) \([-2;1]\) ; 3) \(]-\infty;-1]\cup\left[-\frac13;+\infty\right[\).

6) 1) Résoudre \(|2x-1|<3\) et \(|2x-1|>1\).
2) En déduire les solutions de \(1<|2x-1|<3\).

Correction détaillée

🔢 1) \(|2x-1|<3\iff-3<2x-1<3\iff-1<x<2\). \(|2x-1|>1\iff2x-1>1\) ou \(2x-1<-1\iff x>1\) ou \(x<0\).

🔢 2) On prend l’intersection de \(]-1;2[\) et de \(]-\infty;0[\cup]1;+\infty[\).

✅ 1) \(]-1;2[\) et \(]-\infty;0[\cup]1;+\infty[\) ; 2) \(S=]-1;0[\cup]1;2[\).

Exercice 4.1

Résoudre en utilisant la distance

1) 1) Résoudre graphiquement (en utilisant la notion de distance) dans \(\mathbb R\) les équations \(|x-3|=2\) et \(|x+2|=3\).
2) Les résoudre par une autre méthode.

Correction détaillée

📘 Rappel : \(|x-a|\) est la distance entre les réels \(x\) et \(a\) sur la droite graduée ; \(|x-a|=r\) signifie que \(x\) est à la distance \(r\) de \(a\).

🔢 1) \(|x-3|=2\) signifie que la distance entre \(x\) et \(3\) est \(2\) : sur la droite graduée, les points à distance \(2\) de \(3\) sont \(1\) et \(5\).

🔢 \(|x+2|=3\iff|x-(-2)|=3\) : les points à distance \(3\) de \(-2\) sont \(-5\) et \(1\).

🔢 2) Algébriquement : \(x-3=2\) ou \(x-3=-2\), donc \(x=5\) ou \(x=1\) ; \(x+2=3\) ou \(x+2=-3\), donc \(x=1\) ou \(x=-5\).

✅ \(S_1=\{1;5\}\) et \(S_2=\{-5;1\}\).

2) Sur une droite graduée, exprimer ce qui suit en utilisant les distances, puis résoudre géométriquement : \(|x|=1\) ; \(|x-2|=1\) ; \(|3-x|=2\) ; \(|2x-3|=6\).

Correction détaillée

📘 Rappel : \(|x-a|\) est la distance entre les réels \(x\) et \(a\) sur la droite graduée ; \(|x-a|=r\) signifie que \(x\) est à la distance \(r\) de \(a\).

🔢 \(|x|=1\) : \(x\) est à distance \(1\) de \(0\) : \(x=-1\) ou \(x=1\).

🔢 \(|x-2|=1\) : \(x\) est à distance \(1\) de \(2\) : \(x=1\) ou \(x=3\).

🔢 \(|3-x|=|x-3|=2\) : \(x\) est à distance \(2\) de \(3\) : \(x=1\) ou \(x=5\).

✅ \(S=\{-1;1\}\) ; \(\{1;3\}\) ; \(\{1;5\}\) ; \(\left\{-\frac32;\frac92\right\}\).

Exercice 4.2

Écrire une relation avec \(|x-a|\le r\)

1) Déterminer \(a\) et \(r\) tels que chacune des relations suivantes soit équivalente à \(|x-a|\le r\) : \(x\in[1;3]\) ; \(-1\le x\le5\) ; \(5\le x-3\le7\) ; \(5\le2x-1\le9\).

Correction détaillée

🔢 \(x\in[\alpha;\beta]\iff\left|x-\frac{\alpha+\beta}2\right|\le\frac{\beta-\alpha}2\) : \(a\) est le milieu et \(r\) le rayon de l’intervalle.

🔢 1) \([1;3]\) : \(a=2\), \(r=1\).

🔢 2) \([-1;5]\) : \(a=2\), \(r=3\).

🔢 3) \(5\le x-3\le7\iff8\le x\le10\) : \(a=9\), \(r=1\).

🔢 4) \(5\le2x-1\le9\iff3\le x\le5\) : \(a=4\), \(r=1\).

✅ 1) \(|x-2|\le1\) ; 2) \(|x-2|\le3\) ; 3) \(|x-9|\le1\) ; 4) \(|x-4|\le1\).

Exercice 4.3

Distance et encadrement

1) Soit \(x\) un réel tel que \(|x-2|<\dfrac32\).
1) Donner un encadrement de \(x\).
2) Montrer que \(|2x-3|<7\).
3) Vérifier que \(2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2)\).
4) En déduire que \(\left|2x^2-7x+6\right|<\dfrac{21}2\).
5) Montrer que \(\left|\dfrac{x-2}{2x+3}\right|<\dfrac38\).

Correction détaillée

🔢 1) \(-\frac32<x-2<\frac32\iff\frac12<x<\frac72\).

🔢 2) \(2x-3\in]-2;4[\), donc \(|2x-3|<4<7\). (Autre méthode : \(2x-3=2(x-2)+1\) et \(|2x-3|\le2|x-2|+1<4\).)

🔢 3) \((2x-3)(x-2)=2x^2-4x-3x+6=2x^2-7x+6\).

🔢 4) \(\left|2x^2-7x+6\right|=|2x-3|\times|x-2|<7\times\frac32=\frac{21}2\).

🔢 5) \(x>\frac12\) donne \(2x+3>4\), donc \(\frac1{|2x+3|}<\frac14\). Alors \(\left|\frac{x-2}{2x+3}\right|<\frac32\times\frac14=\frac38\).

✅ \(\frac12<x<\frac72\) ; \(|2x-3|<7\) ; \(\left|2x^2-7x+6\right|<\frac{21}2\) ; \(\left|\frac{x-2}{2x+3}\right|<\frac38\).

Exercice 5.1

Écrire sous forme d’intervalle ou d’inégalité

1) Écrire les inégalités suivantes sous forme d’intervalles : \(3\le x\le7\) ; \(\dfrac23<x<\dfrac54\) ; \(-3<x\le0\) ; \(-5\le x<-8\) ; \(x\ge5\) ; \(x\le7\) ; \(x>\dfrac6{11}\) ; \(x<0\).

Correction détaillée

📘 Rappel : pour \(a<b\), \(x\in[a;b]\iff a\le x\le b\) ; le crochet est ouvert (\(]\) ou \([\)) lorsque l’inégalité est stricte ; \(+\infty\) et \(-\infty\) sont toujours ouverts.

🔢 \(3\le x\le7\iff x\in[3;7]\). \(\frac23<x<\frac54\iff x\in\left]\frac23;\frac54\right[\). \(-3<x\le0\iff x\in]-3;0]\).

🔢 \(-5\le x<-8\) est impossible car \(-5>-8\) : l’ensemble est \(\varnothing\).

🔢 \(x\ge5\iff x\in[5;+\infty[\) ; \(x\le7\iff x\in]-\infty;7]\) ; \(x>\frac6{11}\iff x\in\left]\frac6{11};+\infty\right[\) ; \(x<0\iff x\in]-\infty;0[\).

✅ \([3;7]\) ; \(\left]\frac23;\frac54\right[\) ; \(]-3;0]\) ; \(\varnothing\) ; \([5;+\infty[\) ; \(]-\infty;7]\) ; \(\left]\frac6{11};+\infty\right[\) ; \(]-\infty;0[\).

2) Écrire les intervalles suivants sous forme d’inégalités : \([2;5[\) ; \(]-2;+\infty[\) ; \(]-\infty;0]\) ; \(\left[\dfrac13;+\infty\right[\) ; \(]4;5[\) ; \(]-3;3]\).

Correction détaillée

📘 Rappel : pour \(a<b\), \(x\in[a;b]\iff a\le x\le b\) ; le crochet est ouvert (\(]\) ou \([\)) lorsque l’inégalité est stricte ; \(+\infty\) et \(-\infty\) sont toujours ouverts.

🔢 \([2;5[\iff2\le x<5\) ; \(]-2;+\infty[\iff x>-2\) ; \(]-\infty;0]\iff x\le0\).

🔢 \(\left[\frac13;+\infty\right[\iff x\ge\frac13\) ; \(]4;5[\iff4<x<5\) ; \(]-3;3]\iff-3<x\le3\).

✅ \(2\le x<5\) ; \(x>-2\) ; \(x\le0\) ; \(x\ge\frac13\) ; \(4<x<5\) ; \(-3<x\le3\).

3) Traduire chacune des expressions suivantes à l’aide d’un intervalle (ou d’une réunion d’intervalles) : i. \(t>-4\) et \(t<-1\) ; ii. \(t\ge-3\) ou \(t>3\) ; iii. \(t\ge2\) ou \(t<0\) ; iv. \(t\ne2\) et \(t>0\).

Correction détaillée

🔢 i. « et » : intersection \(]-4;+\infty[\cap]-\infty;-1[=]-4;-1[\).

🔢 ii. « ou » : réunion \([-3;+\infty[\cup]3;+\infty[=[-3;+\infty[\).

🔢 iii. \([2;+\infty[\cup]-\infty;0[=]-\infty;0[\cup[2;+\infty[\).

🔢 iv. \(t>0\) sans la valeur \(2\) : \(]0;2[\cup]2;+\infty[\).

✅ i. \(]-4;-1[\) ; ii. \([-3;+\infty[\) ; iii. \(]-\infty;0[\cup[2;+\infty[\) ; iv. \(]0;2[\cup]2;+\infty[\).

4) Représenter chaque inégalité ou encadrement par l’intervalle qui convient :
1) \(x\ge-3\) ;
2) \(x<5\) ;
3) \(1\le2x\le4\) ;
4) \(0<6x-2\le10\) ;
5) \(-8\le2-2x\le6\).

Correction détaillée

📘 Rappel : pour \(a<b\), \(x\in[a;b]\iff a\le x\le b\) ; le crochet est ouvert (\(]\) ou \([\)) lorsque l’inégalité est stricte ; \(+\infty\) et \(-\infty\) sont toujours ouverts.

🔢 1) \([-3;+\infty[\). 2) \(]-\infty;5[\).

🔢 3) On divise par \(2\) : \(\frac12\le x\le2\), soit \(\left[\frac12;2\right]\).

🔢 4) \(2<6x\le12\iff\frac13<x\le2\), soit \(\left]\frac13;2\right]\).

🔢 5) \(-10\le-2x\le4\iff-2\le x\le5\) (on divise par \(-2<0\), l’ordre change), soit \([-2;5]\).

✅ 1) \([-3;+\infty[\) ; 2) \(]-\infty;5[\) ; 3) \(\left[\frac12;2\right]\) ; 4) \(\left]\frac13;2\right]\) ; 5) \([-2;5]\).

5) Résoudre les systèmes suivants :
1) \(\begin{cases}x\ge-3\\x>-2\end{cases}\) ;
2) \(\begin{cases}x>5\\x\le4\end{cases}\) ;
3) \(\begin{cases}x>7\\x\ge0\end{cases}\) ;
4) \(\begin{cases}-3\le x\le0\\-7<x<10\end{cases}\).

Correction détaillée

🔢 On cherche l’intersection des deux ensembles de solutions.

🔢 1) \([-3;+\infty[\cap]-2;+\infty[=]-2;+\infty[\).

🔢 2) \(]5;+\infty[\cap]-\infty;4]=\varnothing\).

🔢 3) \(]7;+\infty[\cap[0;+\infty[=]7;+\infty[\).

🔢 4) \([-3;0]\cap]-7;10[=[-3;0]\).

✅ 1) \(]-2;+\infty[\) ; 2) \(\varnothing\) ; 3) \(]7;+\infty[\) ; 4) \([-3;0]\).

6) On considère l’intervalle \(I=[-3;4]\). Trouver le milieu, l’amplitude et le rayon de \(I\).

Correction détaillée

🔢 Milieu : \(\frac{-3+4}2=\frac12\). Amplitude : \(4-(-3)=7\). Rayon : \(\frac72\).

✅ Milieu \(\frac12\) ; amplitude \(7\) ; rayon \(\frac72\).

Exercice 5.2

Intersection et réunion d’intervalles

1) Simplifier si c’est possible :
1) \([2;5]\cap[4;6]\) ;
2) \([2;5]\cup[4;6]\) ;
3) \(]-\infty;2]\cap[-1;+\infty[\) ;
4) \(]-\infty;2]\cup[-1;+\infty[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(I\cap J\) est l’ensemble des réels qui sont dans \(I\) ET dans \(J\) ; \(I\cup J\) est l’ensemble des réels qui sont dans \(I\) OU dans \(J\). On s’aide d’une droite graduée.

🔢 1) Les réels communs : de \(4\) à \(5\) : \([4;5]\).

🔢 2) Les deux intervalles se chevauchent : \([2;6]\).

🔢 3) Réels \(\le2\) et \(\ge-1\) : \([-1;2]\).

🔢 4) Tout réel est \(\le2\) ou \(\ge-1\) : \(\mathbb R\).

✅ 1) \([4;5]\) ; 2) \([2;6]\) ; 3) \([-1;2]\) ; 4) \(\mathbb R\).

2) Simplifier : \(]-3;4[\cap[2;7[\) ; \([-8;4[\cap[10;20[\) ; \(]-\infty;1[\cap\left[-\dfrac74;+\infty\right[\) ; \(]5;9[\cup[4;8[\) ; \([-5;-2[\cup[-3;+\infty[\) ; \(\left]-\infty;\dfrac27\right[\cup\left[-\dfrac12;+\infty\right[\).

Correction détaillée

🔢 \(]-3;4[\cap[2;7[=[2;4[\).

🔢 \([-8;4[\cap[10;20[=\varnothing\) (\(4<10\)).

🔢 \(]-\infty;1[\cap\left[-\frac74;+\infty\right[=\left[-\frac74;1\right[\).

🔢 \(]5;9[\cup[4;8[=[4;9[\) (les deux intervalles se chevauchent).

🔢 \([-5;-2[\cup[-3;+\infty[=[-5;+\infty[\) (car \(-3<-2\)).

🔢 \(\left]-\infty;\frac27\right[\cup\left[-\frac12;+\infty\right[=\mathbb R\) (car \(-\frac12<\frac27\)).

✅ \([2;4[\) ; \(\varnothing\) ; \(\left[-\frac74;1\right[\) ; \([4;9[\) ; \([-5;+\infty[\) ; \(\mathbb R\).

3) Calculer \(I\cap J\) et \(I\cup J\) dans les cas suivants :
1) \(I=]-3;7]\), \(J=[-1;+\infty[\) ;
2) \(I=]-\infty;5[\), \(J=[4;10]\) ;
3) \(I=[0;10[\), \(J=[-5;-1]\) ;
4) \(I=\left[-\dfrac23;2\right]\), \(J=\left]-1;\dfrac32\right[\).

Correction détaillée

🔢 1) \(I\cap J=[-1;7]\) ; \(I\cup J=]-3;+\infty[\).

🔢 2) \(I\cap J=[4;5[\) ; \(I\cup J=]-\infty;10]\).

🔢 3) \(I\cap J=\varnothing\) ; \(I\cup J=[-5;-1]\cup[0;10[\).

🔢 4) \(-1<-\frac23\) et \(\frac32<2\) : \(I\cap J=\left[-\frac23;\frac32\right[\) ; \(I\cup J=]-1;2]\).

✅ 1) \([-1;7]\) et \(]-3;+\infty[\) ; 2) \([4;5[\) et \(]-\infty;10]\) ; 3) \(\varnothing\) et \([-5;-1]\cup[0;10[\) ; 4) \(\left[-\frac23;\frac32\right[\) et \(]-1;2]\).

4) Dans chacun des cas suivants, représenter les intervalles \(I\) et \(J\) sur un axe et en déduire \(I\cap J\) et \(I\cup J\) :
1) \(I=]-3;2]\), \(J=]-1;5]\) ;
2) \(I=[-4;3]\), \(J=]3;6]\) ;
3) \(I=]-\infty;3[\), \(J=]-2;7]\) ;
4) \(I=[-7;-1]\), \(J=]-3;+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 1) \(I\cap J=]-1;2]\) ; \(I\cup J=]-3;5]\).

🔢 2) \(I\cap J=\varnothing\) (le \(3\) est dans \(I\) mais pas dans \(J\)) ; \(I\cup J=[-4;3]\cup]3;6]=[-4;6]\).

🔢 3) \(I\cap J=]-2;3[\) ; \(I\cup J=]-\infty;7]\).

🔢 4) \(I\cap J=]-3;-1]\) ; \(I\cup J=[-7;+\infty[\).

✅ 1) \(]-1;2]\) et \(]-3;5]\) ; 2) \(\varnothing\) et \([-4;6]\) ; 3) \(]-2;3[\) et \(]-\infty;7]\) ; 4) \(]-3;-1]\) et \([-7;+\infty[\).

5) Déterminer l’intersection et la réunion des intervalles \(I\) et \(J\) :
   a) \(I=[-1;3]\), \(J=]-2;4]\) ;
   b) \(I=[-4;3]\), \(J=]-2;4]\) ;
   c) \(I=]-\infty;1]\), \(J=]-1;+\infty[\) ;
   d) \(I=]-2;1]\), \(J=]-1;+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 a) \(I\cap J=[-1;3]\) ; \(I\cup J=]-2;4]\).

🔢 b) \(I\cap J=]-2;3]\) ; \(I\cup J=[-4;4]\).

🔢 c) \(I\cap J=]-1;1]\) ; \(I\cup J=\mathbb R\).

🔢 d) \(I\cap J=]-1;1]\) ; \(I\cup J=]-2;+\infty[\).

✅ a) \([-1;3]\), \(]-2;4]\) ; b) \(]-2;3]\), \([-4;4]\) ; c) \(]-1;1]\), \(\mathbb R\) ; d) \(]-1;1]\), \(]-2;+\infty[\).

6) Déterminer \(I\cap J\) et \(I\cup J\) dans les cas suivants :
1) \(I=[-3;5]\), \(J=]2;7[\) ;
2) \(I=[-3;5]\), \(J=]6;+\infty[\) ;
3) \(I=]-\infty;6]\), \(J=[6;+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 1) \(I\cap J=]2;5]\) ; \(I\cup J=[-3;7[\).

🔢 2) \(5<6\) : \(I\cap J=\varnothing\) ; \(I\cup J=[-3;5]\cup]6;+\infty[\).

🔢 3) \(I\cap J=\{6\}\) ; \(I\cup J=\mathbb R\).

✅ 1) \(]2;5]\), \([-3;7[\) ; 2) \(\varnothing\), \([-3;5]\cup]6;+\infty[\) ; 3) \(\{6\}\), \(\mathbb R\).

7) Écrire le plus simplement possible l’ensemble \(I=\left(]-\infty;0[\cup]1;+\infty[\right)\cap]-1;2[\).

Correction détaillée

🔢 On distribue : \(I=\left(]-\infty;0[\cap]-1;2[\right)\cup\left(]1;+\infty[\cap]-1;2[\right)=]-1;0[\cup]1;2[\).

✅ \(I=]-1;0[\cup]1;2[\).

Exercice 6.1

Encadrer des nombres et des expressions

1) Donner un encadrement du réel \(\sqrt3\) à \(10^{-2}\) près, puis préciser la valeur par défaut et la valeur par excès (on donne \(\sqrt3\approx1{,}732050808\)).

Correction détaillée

🔢 \(1{,}73^2=2{,}9929<3<3{,}0276=1{,}74^2\), donc \(1{,}73<\sqrt3<1{,}74\) (amplitude \(10^{-2}\)).

✅ \(1{,}73<\sqrt3<1{,}74\) : \(1{,}73\) est la valeur approchée par défaut et \(1{,}74\) la valeur approchée par excès, à \(10^{-2}\) près.

2) Soit \(x\) un réel tel que \(-1<x<2\). On pose \(B=-2x-3\). Trouver un encadrement de \(B\) et trouver son amplitude.

Correction détaillée

📘 Méthode : on peut additionner deux encadrements ; on ne soustrait pas : \(x-y=x+(-y)\). Multiplier par un nombre négatif change l’ordre. Pour des nombres positifs, on multiplie les bornes ; pour les inverses, \(0<a\le x\le b\iff\frac1b\le\frac1x\le\frac1a\).

🔢 \(-1<x<2\). On multiplie par \(-2<0\) : \(-4<-2x<2\). On ajoute \(-3\) : \(-7<-2x-3<-1\).

🔢 Amplitude : \(-1-(-7)=6\).

✅ \(-7<B<-1\) ; amplitude \(6\).

3) Soient \(x\in[1;3]\) et \(y\in[2;4]\).
1) Trouver un encadrement de \(x\), \(y\), \(2x\), \(3y\), \(-x\), \(-y\), \(\dfrac1x\), \(\dfrac1y\) et \(\dfrac xy\).
2) Trouver un encadrement de \(A=x^2+y^2+2x-3y\) et de \(B=\dfrac{2x-1}{x+1}\), puis les amplitudes de ces encadrements.

Correction détaillée

🔢 1) \(1\le x\le3\) ; \(2\le y\le4\) ; \(2\le2x\le6\) ; \(6\le3y\le12\) ; \(-3\le-x\le-1\) ; \(-4\le-y\le-2\).

🔢 Les nombres sont strictement positifs : \(\frac13\le\frac1x\le1\) ; \(\frac14\le\frac1y\le\frac12\) ; \(\frac xy\in\left[1\times\frac14;3\times\frac12\right]=\left[\frac14;\frac32\right]\).

🔢 2) \(1\le x^2\le9\), \(4\le y^2\le16\), \(2\le2x\le6\), \(-12\le-3y\le-6\). On additionne : \(1+4+2-12\le A\le9+16+6-6\), soit \(-5\le A\le25\) ; amplitude \(30\).

🔢 \(B=\frac{2x-1}{x+1}=2-\frac3{x+1}\). \(2\le x+1\le4\) donc \(\frac34\le\frac3{x+1}\le\frac32\), puis \(-\frac32\le-\frac3{x+1}\le-\frac34\) et \(\frac12\le B\le\frac54\) ; amplitude \(\frac34\).

✅ 1) voir ci-dessus ; 2) \(-5\le A\le25\) (amplitude \(30\)) ; \(\frac12\le B\le\frac54\) (amplitude \(\frac34\)).

4) 1) Vérifier que \(14^2<200<15^2\) et en déduire que \(1{,}4<\sqrt2<1{,}5\).
2) Trouver un encadrement de \(\sqrt5\).
3) En déduire un encadrement de \(\sqrt2+\sqrt5\) et de \(\sqrt{10}\).

Correction détaillée

🔢 1) \(14^2=196<200<225=15^2\). On divise par \(100\) : \(1{,}4^2<2<1{,}5^2\), donc \(1{,}4<\sqrt2<1{,}5\).

🔢 2) \(2{,}2^2=4{,}84<5<5{,}29=2{,}3^2\), donc \(2{,}2<\sqrt5<2{,}3\).

🔢 3) On additionne : \(1{,}4+2{,}2<\sqrt2+\sqrt5<1{,}5+2{,}3\), soit \(3{,}6<\sqrt2+\sqrt5<3{,}8\).

🔢 \(\sqrt{10}=\sqrt2\times\sqrt5\), nombres positifs : \(1{,}4\times2{,}2<\sqrt{10}<1{,}5\times2{,}3\), soit \(3{,}08<\sqrt{10}<3{,}45\).

✅ \(1{,}4<\sqrt2<1{,}5\) ; \(2{,}2<\sqrt5<2{,}3\) ; \(3{,}6<\sqrt2+\sqrt5<3{,}8\) ; \(3{,}08<\sqrt{10}<3{,}45\).

5) Soient \(x\in[-3;1]\) et \(y\in[-6;-2]\). Trouver un encadrement de :
1) \(x+y\) ;
2) \(x-y\) ;
3) \(x^2\) ;
4) \(y^2\) ;
5) \(x\times y\) ;
6) \(\dfrac xy\).

Correction détaillée

🔢 1) \(-3-6\le x+y\le1-2\) : \(-9\le x+y\le-1\).

🔢 2) \(2\le-y\le6\), donc \(-3+2\le x-y\le1+6\) : \(-1\le x-y\le7\).

🔢 3) \(-3\le x\le1\) donne \(0\le x^2\le9\) (\(x\) peut être nul, et \(|x|\le3\)). 4) \(y\in[-6;-2]\) donne \(|y|\in[2;6]\) : \(4\le y^2\le36\).

🔢 5) On calcule les produits des bornes : \((-3)(-6)=18\), \((-3)(-2)=6\), \(1\times(-6)=-6\), \(1\times(-2)=-2\) : \(-6\le xy\le18\).

🔢 6) \(\frac1y\in\left[-\frac12;-\frac16\right]\). Les produits \(x\times\frac1y\) des bornes sont \(\frac32,\frac12,-\frac12,-\frac16\) : \(-\frac12\le\frac xy\le\frac32\).

✅ 1) \([-9;-1]\) ; 2) \([-1;7]\) ; 3) \([0;9]\) ; 4) \([4;36]\) ; 5) \([-6;18]\) ; 6) \(\left[-\frac12;\frac32\right]\).

6) Sachant que \(1{,}38<\sqrt2<1{,}42\), montrer que \(\left|\sqrt2-1{,}40\right|<0{,}02\). Que peut-on en déduire ?

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|x-a|<r\iff a-r<x<a+r\) ; on dit alors que \(a\) est une valeur approchée de \(x\) à \(r\) près.

🔢 \(1{,}38-1{,}40<\sqrt2-1{,}40<1{,}42-1{,}40\), soit \(-0{,}02<\sqrt2-1{,}40<0{,}02\).

✅ \(|\sqrt2-1{,}40|<0{,}02\) : \(1{,}40\) est une valeur approchée de \(\sqrt2\) à \(0{,}02\) près.

7) Sachant que \(2{,}645\le\sqrt7\le2{,}646\), que représentent \(2{,}645\) et \(2{,}646\) pour \(\sqrt7\) ?

Correction détaillée

🔢 \(2{,}645\) est inférieur ou égal à \(\sqrt7\) : valeur approchée par défaut. \(2{,}646\) est supérieur ou égal : valeur approchée par excès. L’amplitude est \(2{,}646-2{,}645=10^{-3}\).

✅ \(2{,}645\) : valeur approchée par défaut de \(\sqrt7\) à \(10^{-3}\) près ; \(2{,}646\) : valeur approchée par excès à \(10^{-3}\) près.

Exercice 6.2

Encadrer des nombres et des expressions (suite)

1) Soient \(a\) et \(b\) des réels tels que \(-6<a<3\) et \(5<b<9\). Encadrer les nombres : \(ab\) ; \(a^2\) ; \(b^2\) ; \(3a^2+b^2-a+b\).

Correction détaillée

🔢 \(ab\) : produits des bornes \((-6)(5)=-30\), \((-6)(9)=-54\), \(3\times5=15\), \(3\times9=27\) : \(-54<ab<27\).

🔢 \(a^2\) : \(|a|<6\) donc \(0\le a^2<36\). \(b^2\) : \(b>0\) donc \(25<b^2<81\).

🔢 \(3a^2+b^2-a+b\) : \(0\le3a^2<108\), \(25<b^2<81\), \(-3<-a<6\), \(5<b<9\). On additionne : \(0+25-3+5<\ldots<108+81+6+9\).

✅ \(-54<ab<27\) ; \(0\le a^2<36\) ; \(25<b^2<81\) ; \(27<3a^2+b^2-a+b<204\).

2) Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(-1\le2x-5\le7\) et \(|y|+4\le9\).
1) Montrer que \(x\in[2;6]\) et \(y\in[-5;5]\).
2) Encadrer \(x+y\) ; \(y-x\) ; \(x-5y+1\) ; \(x(y+5)\) ; \(y^2-7y\) ; \(\dfrac{7+y}{x-1}\).
3) Montrer que \(|y(x-4)|\le10\).
4) Écrire sans racine carrée et sans valeur absolue \(K=\sqrt{\left(y^2(x-4)-100\right)^2}\).

Correction détaillée

🔢 1) \(4\le2x\le12\iff2\le x\le6\). \(|y|\le5\iff-5\le y\le5\).

🔢 2) \(x+y\in[-3;11]\) ; \(y-x\in[-11;3]\) ; \(-5y\in[-25;25]\) donc \(x-5y+1\in[-22;32]\).

🔢 \(y+5\in[0;10]\) et \(x\in[2;6]\) positifs : \(x(y+5)\in[0;60]\). \(y^2\in[0;25]\) et \(-7y\in[-35;35]\) : \(y^2-7y\in[-35;60]\).

🔢 \(7+y\in[2;12]\) et \(\frac1{x-1}\in\left[\frac15;1\right]\) (car \(x-1\in[1;5]\)) : \(\frac{7+y}{x-1}\in\left[\frac25;12\right]\).

🔢 3) \(|x-4|\le2\) (car \(x\in[2;6]\)) et \(|y|\le5\), donc \(|y(x-4)|=|y|\,|x-4|\le10\).

🔢 4) \(K=\left|y^2(x-4)-100\right|\). Or \(y^2(x-4)\le|y^2(x-4)|\le5\times10=50<100\) d’après 3), donc \(y^2(x-4)-100<0\) et \(K=100-y^2(x-4)\).

✅ \(x\in[2;6]\), \(y\in[-5;5]\) ; \(x+y\in[-3;11]\) ; \(y-x\in[-11;3]\) ; \(x-5y+1\in[-22;32]\) ; \(x(y+5)\in[0;60]\) ; \(y^2-7y\in[-35;60]\) ; \(\frac{7+y}{x-1}\in\left[\frac25;12\right]\) ; \(K=100-y^2(x-4)\).

3) Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(-4<x<-1\) et \(2<y<5\).
1) Donner un encadrement de \(2x+3y+7\) ; \(2x-3y-2\) ; \((2x-3)(3y+10)\) ; \((2x-3)^2-\sqrt{3y+10}\).
2) En déduire un encadrement de \(A=\dfrac{2x-3y-2}{2x+3y+7}\) et de \(B=\dfrac{3y+10}{2x-3y-2}\).

Correction détaillée

🔢 1) \(-8<2x<-2\) et \(6<3y<15\). \(2x+3y+7\in]5;20[\). \(2x-3y-2\) : \(-15<-3y<-6\), donc \(\in]-25;-10[\).

🔢 \(2x-3\in]-11;-5[\) et \(3y+10\in]16;25[\) : produit de nombres de signes opposés, \(\in]-11\times25;-5\times16[=]-275;-80[\).

🔢 \((2x-3)^2\in]25;121[\) (car \(5<|2x-3|<11\)) et \(\sqrt{3y+10}\in]4;5[\) : \((2x-3)^2-\sqrt{3y+10}\in]20;117[\).

🔢 2) \(\frac1{2x+3y+7}\in\left]\frac1{20};\frac15\right[\) et \(2x-3y-2\in]-25;-10[\) (négatif) : \(A\in]-25\times\frac15;-10\times\frac1{20}[=\left]-5;-\frac12\right[\).

🔢 \(\frac1{2x-3y-2}\in\left]-\frac1{10};-\frac1{25}\right[\) et \(3y+10\in]16;25[\) : \(B\in\left]25\times\left(-\frac1{10}\right);16\times\left(-\frac1{25}\right)\right[=\left]-\frac52;-\frac{16}{25}\right[\).

✅ \(]5;20[\) ; \(]-25;-10[\) ; \(]-275;-80[\) ; \(]20;117[\) ; \(A\in\left]-5;-\frac12\right[\) ; \(B\in\left]-\frac52;-\frac{16}{25}\right[\).

4) Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(-1<\dfrac{10-3a}a<2\) et \(\left|\dfrac{3+2b}b\right|<1\).
1) Montrer que \(2<a<5\) et \(-3<b<-1\).
2) Encadrer \(a+b+1\) et \(a(b+1)\).
3) En déduire une comparaison de \(a+b+1\) et \(\sqrt{a^2+b^2+2b+1}\).

Correction détaillée

🔢 1) \(\frac{10-3a}a=\frac{10}a-3\). Donc \(2<\frac{10}a<5\), d’où \(a>0\) et, en prenant les inverses, \(\frac15<\frac a{10}<\frac12\), c’est-à-dire \(2<a<5\).

🔢 \(\left|\frac{3+2b}b\right|=\left|\frac3b+2\right|<1\iff-3<\frac3b<-1\). Alors \(b<0\) et, en prenant les inverses, \(-3<b<-1\).

🔢 2) \(2-3<a+b<5-1\), donc \(0<a+b+1<5\). \(b+1\in]-2;0[\) et \(a\in]2;5[\) : \(a(b+1)\in]-10;0[\).

🔢 3) \(a^2+b^2+2b+1=a^2+(b+1)^2\) et \((a+b+1)^2=a^2+(b+1)^2+2a(b+1)\). Comme \(a(b+1)<0\), \((a+b+1)^2<a^2+(b+1)^2\). Les deux nombres étant positifs, \(a+b+1<\sqrt{a^2+b^2+2b+1}\).

✅ \(2<a<5\) ; \(-3<b<-1\) ; \(0<a+b+1<5\) ; \(-10<a(b+1)<0\) ; \(a+b+1<\sqrt{a^2+b^2+2b+1}\).

5) Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(|a-2|<1\) et \(-1<b<0\).
1) Vérifier que \(1<a<3\).
2) Donner un encadrement de \(a+b\) et de \(ab\).
3) Déterminer le signe de \(a+b-\sqrt{a^2+b^2}\).

Correction détaillée

🔢 1) \(-1<a-2<1\iff1<a<3\).

🔢 2) \(1-1<a+b<3+0\) : \(0<a+b<3\). \(ab\) : \(a>0\) et \(b<0\) donc \(ab<0\) ; produits des bornes : \(-3<ab<0\).

🔢 3) \((a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab<0\), donc \((a+b)^2<a^2+b^2\). Comme \(a+b>0\), on obtient \(a+b<\sqrt{a^2+b^2}\).

✅ \(1<a<3\) ; \(0<a+b<3\) ; \(-3<ab<0\) ; \(a+b-\sqrt{a^2+b^2}<0\).

6) Sachant que \(-6\le x\le5\) et \(-2\le y\le-1\), donner un encadrement de \(x+y\) ; \(x-y\) ; \(xy\) ; \(\dfrac1y\) ; \(\dfrac xy\).

Correction détaillée

🔢 \(x+y\in[-8;4]\). \(-y\in[1;2]\), donc \(x-y\in[-5;7]\).

🔢 \(xy\) : produits des bornes \(12,\,6,\,-10,\,-5\) : \(-10\le xy\le12\).

🔢 \(\frac1y\) : \(-2\le y\le-1\) donne \(-1\le\frac1y\le-\frac12\).

🔢 \(\frac xy=x\times\frac1y\) : produits des bornes \(6,\,3,\,-5,\,-\frac52\) : \(-5\le\frac xy\le6\).

✅ \([-8;4]\) ; \([-5;7]\) ; \([-10;12]\) ; \(\left[-1;-\frac12\right]\) ; \([-5;6]\).

Exercice 6.3

Encadrement et approximation

1) Soit \(x\in\left[-\dfrac12;1\right]\) et \(A(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}\).
1) Donner un encadrement de \(A(x)\).
2)
a) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(A(x)=a+\dfrac b{x+2}\).
b) Déterminer un autre encadrement de \(A(x)\).
3) Déterminer le plus fin des deux encadrements.

Correction détaillée

📘 Méthode : écrire \(\frac{ax+b}{cx+d}\) avec \(x\) à un seul endroit (ici \(2-\frac1{x+2}\)) donne un encadrement plus précis.

🔢 1) \(2\le2x+3\le5\) et \(\frac32\le x+2\le3\), donc \(\frac13\le\frac1{x+2}\le\frac23\) et \(A(x)\in\left[2\times\frac13;5\times\frac23\right]=\left[\frac23;\frac{10}3\right]\) ; amplitude \(\frac83\).

🔢 2a) \(2x+3=2(x+2)-1\), donc \(A(x)=2-\frac1{x+2}\) : \(a=2\) et \(b=-1\).

🔢 2b) \(\frac13\le\frac1{x+2}\le\frac23\) donne \(-\frac23\le-\frac1{x+2}\le-\frac13\), puis \(\frac43\le A(x)\le\frac53\) ; amplitude \(\frac13\).

🔢 3) \(\left[\frac43;\frac53\right]\subset\left[\frac23;\frac{10}3\right]\) : le second encadrement est le plus fin (amplitude \(\frac13<\frac83\)).

✅ \(\frac23\le A\le\frac{10}3\) ; \(A(x)=2-\frac1{x+2}\) ; \(\frac43\le A\le\frac53\) (le plus fin).

2) Soit \(x\in[4;6]\) et \(A=\dfrac{2x+3}{x-2}\).
1) Donner un encadrement de \(A\).
2)
a) Vérifier que \(A=2+\dfrac7{x-2}\).
b) Donner un autre encadrement de \(A\).

Correction détaillée

🔢 1) \(11\le2x+3\le15\) et \(2\le x-2\le4\) : \(\frac14\le\frac1{x-2}\le\frac12\), donc \(\frac{11}4\le A\le\frac{15}2\).

🔢 2a) \(2+\frac7{x-2}=\frac{2(x-2)+7}{x-2}=\frac{2x+3}{x-2}\).

🔢 2b) \(\frac74\le\frac7{x-2}\le\frac72\), donc \(\frac{15}4\le A\le\frac{11}2\).

✅ 1) \(\frac{11}4\le A\le\frac{15}2\) ; 2) \(\frac{15}4\le A\le\frac{11}2\) (plus fin).

3) Soit \(x\) un réel de l’intervalle \([1;3]\).
1) Vérifier que \(x^2-2x=(x-1)^2-1\).
2) Montrer que \(-1\le x^2-2x\le3\).
3)
a) Montrer que \(\dfrac12\le\dfrac3{x^2-2x+3}\le\dfrac32\).
b) En déduire que \(\left|\dfrac3{x^2-2x+3}-1\right|\le\dfrac12\).

Correction détaillée

🔢 1) \((x-1)^2-1=x^2-2x+1-1=x^2-2x\).

🔢 2) \(0\le x-1\le2\), donc \(0\le(x-1)^2\le4\) et \(-1\le(x-1)^2-1\le3\).

🔢 3a) \(x^2-2x+3=(x-1)^2+2\in[2;6]\), donc \(\frac16\le\frac1{x^2-2x+3}\le\frac12\) et \(\frac12\le\frac3{x^2-2x+3}\le\frac32\).

🔢 3b) On retranche \(1\) : \(-\frac12\le\frac3{x^2-2x+3}-1\le\frac12\), c’est-à-dire \(\left|\frac3{x^2-2x+3}-1\right|\le\frac12\).

✅ \(-1\le x^2-2x\le3\) ; \(\frac12\le\frac3{x^2-2x+3}\le\frac32\) ; \(\left|\frac3{x^2-2x+3}-1\right|\le\frac12\).

4) Soit \(x\) un réel et \(E=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}\).
1) Montrer que \(E-1=\dfrac{-x^2}{\sqrt{1+x^2}\left(1+\sqrt{1+x^2}\right)}\).
2) En déduire que \(|E-1|\le\dfrac12x^2\).
3) Trouver une valeur approchée du nombre \(\dfrac1{\sqrt{1{,}0004}}\) d’amplitude \(2\times10^{-4}\).

Correction détaillée

🔢 1) Posons \(s=\sqrt{1+x^2}\). \(E-1=\frac{1-s}s=\frac{(1-s)(1+s)}{s(1+s)}=\frac{1-s^2}{s(1+s)}=\frac{-x^2}{s(1+s)}\).

🔢 2) \(s\ge1\), donc \(s(1+s)\ge1\times2=2\) et \(|E-1|=\frac{x^2}{s(1+s)}\le\frac{x^2}2\).

🔢 3) Pour \(x=0{,}02\) : \(1+x^2=1{,}0004\), donc \(E=\frac1{\sqrt{1{,}0004}}\) et \(|E-1|\le\frac{0{,}0004}2=2\times10^{-4}\).

✅ \(1\) est une valeur approchée de \(\dfrac1{\sqrt{1{,}0004}}\) à \(2\times10^{-4}\) près.

5) 1) Comparer \(2\sqrt7\) et \(3\sqrt3\).
2) Développer \(\left(3\sqrt3-2\sqrt7\right)^2\).
3) Simplifier \(A=\sqrt{55-12\sqrt{21}}\).
4) Sachant que \(1{,}7<\sqrt3<1{,}8\) et \(2{,}6<\sqrt7<2{,}7\), donner une approximation de \(A\) d’amplitude \(0{,}5\) par défaut et par excès.

Correction détaillée

🔢 1) \(2\sqrt7=\sqrt{28}>\sqrt{27}=3\sqrt3\).

🔢 2) \(\left(3\sqrt3-2\sqrt7\right)^2=27+28-12\sqrt{21}=55-12\sqrt{21}\).

🔢 3) \(A=\left|3\sqrt3-2\sqrt7\right|=2\sqrt7-3\sqrt3\) (d’après 1).

🔢 4) \(5{,}2<2\sqrt7<5{,}4\) et \(5{,}1<3\sqrt3<5{,}4\), donc \(-5{,}4<-3\sqrt3<-5{,}1\). On additionne : \(5{,}2-5{,}4<A<5{,}4-5{,}1\).

✅ \(2\sqrt7>3\sqrt3\) ; \(55-12\sqrt{21}\) ; \(A=2\sqrt7-3\sqrt3\) ; \(-0{,}2<A<0{,}3\) (\(-0{,}2\) par défaut, \(0{,}3\) par excès, amplitude \(0{,}5\)).

6) Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(|a+2|\le1\) et \(0\le b\le2\).
1) Encadrer \(a\) et montrer que \(|a+b+1|\le2\).
2) On considère \(A=ab-2a+3b\). Vérifier que \(A=(a+3)(b-2)+6\) et montrer que \(2\le A\le6\).

Correction détaillée

🔢 1) \(-1\le a+2\le1\iff-3\le a\le-1\). Puis \(-3+0+1\le a+b+1\le-1+2+1\), soit \(-2\le a+b+1\le2\), c’est-à-dire \(|a+b+1|\le2\).

🔢 2) \((a+3)(b-2)+6=ab-2a+3b-6+6=A\).

🔢 \(0\le a+3\le2\) et \(-2\le b-2\le0\) : le produit est négatif ou nul et \(\ge2\times(-2)=-4\), donc \(-4\le(a+3)(b-2)\le0\) et \(2\le A\le6\).

✅ \(-3\le a\le-1\) ; \(|a+b+1|\le2\) ; \(A=(a+3)(b-2)+6\) ; \(2\le A\le6\).

7) Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(1\le x\le2\) et \(\dfrac12\le y\le\dfrac32\). On pose \(E=x^2-y^2+x+y\).
1) Donner un encadrement de \(E\).
2) Vérifier que \(E=(x+y)(x-y+1)\) et en déduire un encadrement de \(E\).
3) En déduire que \(\dfrac34\le E\le\dfrac{29}4\).

Correction détaillée

🔢 1) \(1\le x^2\le4\) ; \(\frac14\le y^2\le\frac94\), donc \(-\frac94\le-y^2\le-\frac14\). On additionne avec \(1\le x\le2\) et \(\frac12\le y\le\frac32\) : \(1-\frac94+1+\frac12\le E\le4-\frac14+2+\frac32\), soit \(\frac14\le E\le\frac{29}4\).

🔢 2) \((x+y)(x-y+1)=x^2-xy+x+xy-y^2+y=x^2-y^2+x+y\). On a \(\frac32\le x+y\le\frac72\) et \(-\frac12\le x-y\le\frac32\), donc \(\frac12\le x-y+1\le\frac52\). Produit de nombres positifs : \(\frac34\le E\le\frac{35}4\).

🔢 3) On garde la meilleure borne de chaque encadrement : minorant \(\frac34\) (question 2) et majorant \(\frac{29}4\) (question 1).

✅ \(\frac14\le E\le\frac{29}4\) ; \(\frac34\le E\le\frac{35}4\) ; donc \(\frac34\le E\le\frac{29}4\).

8) Soit \(x\in[3;+\infty[\) et \(A=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x-1}}\).
1) Montrer que \(A-1=\dfrac1{\sqrt{x-1}\left(\sqrt x+\sqrt{x-1}\right)}\).
2)
   a) Établir que \(2\sqrt{x-1}<\sqrt x+\sqrt{x-1}<2\sqrt x\).
   b) En déduire que \(\dfrac1{2\sqrt x\sqrt{x-1}}<A-1<\dfrac1{2(x-1)}\).
3)
   a) Montrer que \(\dfrac1{x-1}\le\dfrac3{2x}\) et \(\dfrac1x\le\dfrac1{\sqrt x\sqrt{x-1}}\).
   b) En déduire que \(1+\dfrac1{2x}<A<1+\dfrac3{4x}\).
4) Déduire que \(\dfrac94\) est une valeur approchée de \(\sqrt5\) à \(5\times10^{-2}\) près.

Correction détaillée

🔢 1) \(A-1=\frac{\sqrt x-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}=\frac{x-(x-1)}{\sqrt{x-1}\left(\sqrt x+\sqrt{x-1}\right)}\) (multiplication par le conjugué).

🔢 2a) \(\sqrt{x-1}<\sqrt x\) donc \(\sqrt x+\sqrt{x-1}>2\sqrt{x-1}\) et \(\sqrt x+\sqrt{x-1}<2\sqrt x\).

🔢 2b) Le dénominateur \(\sqrt{x-1}\left(\sqrt x+\sqrt{x-1}\right)\) est compris entre \(2(x-1)\) et \(2\sqrt x\sqrt{x-1}\). On passe aux inverses.

🔢 3a) \(\frac1{x-1}\le\frac3{2x}\iff2x\le3x-3\iff x\ge3\) : vrai. \(\sqrt x\sqrt{x-1}\le\sqrt x\sqrt x=x\), donc \(\frac1x\le\frac1{\sqrt x\sqrt{x-1}}\).

🔢 3b) \(\frac1{2x}<\frac1{2\sqrt x\sqrt{x-1}}<A-1<\frac1{2(x-1)}\le\frac3{4x}\), donc \(1+\frac1{2x}<A<1+\frac3{4x}\).

🔢 4) Pour \(x=5\) : \(A=\frac{\sqrt5}2\) et \(1+\frac1{10}<\frac{\sqrt5}2<1+\frac3{20}\), soit \(2{,}2<\sqrt5<2{,}3\). Donc \(\left|\sqrt5-\frac94\right|<0{,}05\) (car \(\frac94=2{,}25\)).

✅ \(\dfrac94\) est une valeur approchée de \(\sqrt5\) à \(5\times10^{-2}\) près.