Ensembles de nombres Tronc Commun · exercices corrigés

Cette série d’exercices corrigés sur les ensembles de nombres pour le Tronc Commun couvre N, Z, D, Q et R, les opérations, les racines carrées et les puissances, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Exercices corrigés sur les ensembles de nombres Tronc Commun

Ensembles de nombres · Série d’exercices Tronc Commun

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape
Partie I. L’ensemble des nombres entiers naturels ℕ
Exercice 1.1
Écrire sous la forme \(2^i\times3^j\times5^k\) (\(i,j,k\) entiers)
1) \(150\) ; \(36\) ; \(\dfrac{150}{36}\) ; \((150)^2\times36\) ; \(\dfrac{(150)^3}{36}\) ; \(\dfrac{2}{150^2}\left(\dfrac65\right)^2\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on décompose en facteurs premiers puis on utilise \(a^m\times a^n=a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\).
🔢 \(150=2\times3\times5^2\) et \(36=2^2\times3^2\).
🔢 \(\dfrac{150}{36}=\dfrac{2\times3\times5^2}{2^2\times3^2}=2^{-1}\times3^{-1}\times5^2\).
🔢 \(150^2\times36=2^2 3^2 5^4\times2^2 3^2=2^4\times3^4\times5^4\).
🔢 \(\dfrac{150^3}{36}=\dfrac{2^3 3^3 5^6}{2^2 3^2}=2\times3\times5^6\).
🔢 \(\dfrac{2}{150^2}\left(\dfrac65\right)^2=\dfrac{2}{2^2 3^2 5^4}\times\dfrac{2^2 3^2}{5^2}=\dfrac{2}{5^6}=2^1\times3^0\times5^{-6}\).
✅ \(150=2^1 3^1 5^2\) ; \(36=2^2 3^2 5^0\) ; \(\frac{150}{36}=2^{-1}3^{-1}5^2\) ; \(150^2\times36=2^4 3^4 5^4\) ; \(\frac{150^3}{36}=2^1 3^1 5^6\) ; dernier \(=2^1 3^0 5^{-6}\).
Exercice 1.2
Écrire sous la forme \(5^m\times7^n\)
1) Écrire sous la forme \(5^m\times7^n\) chacun des nombres : \(245\) ; \(6125\) ; \(60025\).
Correction détaillée
🔢 \(245=5\times49=5\times7^2\).
🔢 \(6125=5\times1225=5^3\times49=5^3\times7^2\).
🔢 \(60025=25\times2401=5^2\times7^4\).
✅ \(245=5^1 7^2\) ; \(6125=5^3 7^2\) ; \(60025=5^2 7^4\).
Exercice 1.3
Montrer que A est le carré d’un entier
1) Soit \(A=2^4\times3^2\). Montrer que \(A\) est le carré d’un entier et calculer \(\sqrt A\).
Correction détaillée
🔢 \(A=2^4\times3^2=(2^2)^2\times3^2=(2^2\times3)^2=12^2\).
✅ \(A=12^2\) est le carré de l’entier \(12\), donc \(\sqrt A=12\).
Exercice 1.4
Calculer et remarquer
1) Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et lui ajouter 1. Que remarque-t-on ? (Faire plusieurs essais.)
Correction détaillée
🔢 Essais : \(1\times2\times3\times4+1=25=5^2\) ; \(2\times3\times4\times5+1=121=11^2\) ; \(3\times4\times5\times6+1=361=19^2\).
✅ On remarque que le résultat est toujours le carré d’un entier.
2) Montrer que, pour tout réel \(a\) : \(a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2\). Expliquer le résultat observé à la question précédente.
Correction détaillée
🔢 On regroupe : \(a(a+3)=a^2+3a\) et \((a+1)(a+2)=a^2+3a+2\).
🔢 Posons \(t=a^2+3a\) : \(a(a+1)(a+2)(a+3)+1=t(t+2)+1=t^2+2t+1=(t+1)^2\).
🔢 Donc \(a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2\). Si \(a\) est entier, \(a^2+3a+1\) est un entier.
✅ \(a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2\) : c’est pourquoi on obtient toujours un carré parfait (\(a=1,2,3\) donnent \(5^2,11^2,19^2\)).
Partie II. L’ensemble des nombres entiers relatifs ℤ
Exercice 2.1
Montrer que le nombre est un entier (relatif)
1) \(A=\dfrac{\sqrt{722}}{\sqrt2}\) ; \(B=\dfrac{3^{10}}{243}\) ; \(C=\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab}\) (\(a,b\in\mathbb R^*\)) ; \(D=\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}-2\sqrt2\).
Correction détaillée
🔢 \(A=\sqrt{\dfrac{722}{2}}=\sqrt{361}=19\).
🔢 \(B=\dfrac{3^{10}}{243}=\dfrac{3^{10}}{3^5}=3^5=243\).
🔢 \(C=\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab}=\dfrac{4ab}{ab}=4\).
🔢 \(D=\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}-2\sqrt2=\dfrac{(\sqrt2+1)^2}{2-1}-2\sqrt2=3+2\sqrt2-2\sqrt2=3\).
✅ \(A=19\), \(B=243\), \(C=4\), \(D=3\) sont des entiers (relatifs).
2) Montrer que \(E=\dfrac{5\sqrt7}{\sqrt2-\sqrt7}+\dfrac{5\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt7}\) est un nombre entier relatif.
Correction détaillée
🔢 Dénominateur commun \((\sqrt2-\sqrt7)(\sqrt2+\sqrt7)=2-7=-5\).
🔢 Numérateur : \(5\sqrt7(\sqrt2+\sqrt7)+5\sqrt2(\sqrt2-\sqrt7)=5\sqrt{14}+35+10-5\sqrt{14}=45\).
🔢 \(E=\dfrac{45}{-5}=-9\).
✅ \(E=-9\in\mathbb Z\).
Exercice 2.2
Le nombre est-il entier, décimal, rationnel ?
1) Le nombre \(A=\left(\dfrac12-\dfrac13\right)\times\dfrac{24}5\) est-il :
   a) un nombre entier ?
   b) un nombre décimal ?
   c) un nombre rationnel ?
Correction détaillée
🔢 a) \(A=\dfrac16\times\dfrac{24}5=\dfrac{24}{30}=\dfrac45=0{,}8\).
🔢 a) \(\frac45\) n’est pas un entier. b) \(0{,}8\) est un décimal. c) \(\frac45\) est un rationnel.
✅ \(A=\frac45\) : non entier, décimal, rationnel.
2) Quelle est la nature du nombre \(\dfrac{\frac7{15}-\frac5{12}}{\frac74\times\frac35}\) ?
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac7{15}-\dfrac5{12}=\dfrac{28-25}{60}=\dfrac1{20}\) et \(\dfrac74\times\dfrac35=\dfrac{21}{20}\).
🔢 Le quotient vaut \(\dfrac{1/20}{21/20}=\dfrac1{21}\). Comme \(21=3\times7\) n’est pas de la forme \(2^p5^q\), \(\frac1{21}\) n’est pas décimal.
✅ Le nombre vaut \(\frac1{21}\) : c’est un rationnel non décimal.
Exercice 2.3
Donner un exemple
1) Donner un entier relatif qui n’est pas un entier naturel.
Correction détaillée
🔢 Un entier relatif négatif, par exemple \(-3\), n’est pas dans \(\mathbb N\).
✅ \(-3\in\mathbb Z\) et \(-3\notin\mathbb N\).
Partie III. L’ensemble des nombres décimaux 𝔻
Exercice 3.1
Déterminer les nombres décimaux parmi les nombres suivants
1) \(\dfrac{54}{40}\) ; \(\dfrac{126}{450}\) ; \(\dfrac{75}{90}\) ; \(\dfrac{17}{7}\) ; \(\dfrac13\). Sont-ils des décimaux ?
Correction détaillée
📘 Méthode : une fraction irréductible \(\frac ab\) est décimale si et seulement si \(b\) n’a que des facteurs premiers \(2\) et \(5\).
🔢 \(\dfrac{54}{40}=\dfrac{27}{20}=1{,}35\) : décimal. \(\dfrac{126}{450}=\dfrac7{25}=0{,}28\) : décimal.
🔢 \(\dfrac{75}{90}=\dfrac56\) : \(6=2\times3\), donc non décimal. \(\dfrac{17}7\) : non décimal. \(\dfrac13\) : non décimal.
✅ Décimaux : \(\frac{54}{40}\) et \(\frac{126}{450}\). Non décimaux : \(\frac{75}{90}\), \(\frac{17}7\), \(\frac13\).
2) \(-0{,}032\) ; \(4\) ; \(\dfrac{11}{18}\) ; \(\dfrac{11}{40}\) ; \(-7\) ; \(\sqrt{6{,}25}\).
Correction détaillée
🔢 \(-0{,}032=\dfrac{-32}{1000}\) : décimal ; \(4\) : décimal ; \(\dfrac{11}{40}=0{,}275\) : décimal ; \(-7\) : décimal ; \(\sqrt{6{,}25}=2{,}5\) : décimal.
🔢 \(\dfrac{11}{18}\) : \(18=2\times3^2\), donc non décimal.
✅ Tous sont décimaux sauf \(\frac{11}{18}\).
Exercice 3.2
Justifier : sous la forme \(\dfrac a{10^p}\), \(a\in\mathbb Z\), \(p\in\mathbb N\)
1) Parmi les nombres de l’exercice « Démontrer que les nombres suivants sont rationnels » (Partie 4), lesquels sont des nombres décimaux ? Justifier en les mettant sous la forme \(\dfrac a{10^p}\) où \(a\in\mathbb Z\) et \(p\in\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 a) \(1{,}5=\frac{15}{10}\) ✔ ; b) \(-0{,}38=\frac{-38}{100}\) ✔ ; c) \(\frac{1{,}2}{0{,}4}=3\) ✔ ; d) \(0{,}03\) ✔ ; e) \(12{,}305\) ✔.
🔢 f) \(\dfrac{0{,}7}{0{,}003}=\dfrac{700}{3}\) ✘ (non décimal) ; g) \(-\frac75=-1{,}4\) ✔ ; h) \(\dfrac5{0{,}4}=12{,}5\) ✔ ; i) \(15000\) ✔ ; j) \(\dfrac{0{,}125}{62{,}5}=0{,}002\) ✔.
🔢 k) \(\dfrac{0{,}03}{21}\times10^2=\dfrac3{21}=\dfrac17\) ✘ ; l) \(\dfrac3{0{,}04}\times10^{-2}=75\times0{,}01=0{,}75\) ✔.
✅ Tous sont décimaux sauf f) \(\frac{700}3\) et k) \(\frac17\).
Exercice 3.3
Donner un exemple
1) Donner un décimal qui n’est pas un entier.
Correction détaillée
🔢 Par exemple \(0{,}5=\dfrac5{10}\) est un décimal qui n’est pas un entier.
✅ \(0{,}5\in\mathbb D\) et \(0{,}5\notin\mathbb Z\).
Exercice 3.4
Déterminer le plus petit ensemble et la nature
1) Après avoir simplifié au maximum, donner le plus petit ensemble auquel appartiennent \(\dfrac{0{,}21}{1{,}05}\) ; \(\dfrac{18}{5\sqrt{81}}\) ; \(\dfrac{16}6-\dfrac{11}3\). Donner aussi leur nature.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{0{,}21}{1{,}05}=\dfrac{21}{105}=\dfrac15=0{,}2\in\mathbb D\).
🔢 \(\dfrac{18}{5\sqrt{81}}=\dfrac{18}{45}=\dfrac25=0{,}4\in\mathbb D\).
🔢 \(\dfrac{16}6-\dfrac{11}3=\dfrac83-\dfrac{11}3=-1\in\mathbb Z\).
✅ Les deux premiers sont des décimaux (non entiers), le troisième est un entier relatif.
Partie IV. L’ensemble des nombres rationnels ℚ
Exercice 4.1
Démontrer que les nombres suivants sont rationnels
1) a) \(1{,}5\) ;
   b) \(-0{,}38\) ;
   c) \(\dfrac{1{,}2}{0{,}4}\) ;
   d) \(3\times0{,}01\) ;
   e) \(12{,}305\) ;
   f) \(\dfrac{0{,}7}{0{,}003}\) ;
   g) \(-\dfrac75\) ;
   h) \(\dfrac5{40\times10^{-2}}\) ; i) \(15000\) ; j) \(\dfrac{0{,}125}{62{,}5}\) ; k) \(\dfrac{0{,}03}{21}\times10^2\) ; l) \(\dfrac3{0{,}04}\times10^{-2}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : un nombre est rationnel s’il s’écrit \(\dfrac pq\) avec \(p\in\mathbb Z\) et \(q\in\mathbb Z^*\).
🔢 a) \(\frac32\) ; b) \(\frac{-38}{100}=-\frac{19}{50}\) ; c) \(\frac{12}{4}=3=\frac31\) ; d) \(\frac3{100}\) ; e) \(\frac{12305}{1000}=\frac{2461}{200}\) ; f) \(\frac{700}{3}\) ; g) \(\frac{-7}{5}\).
🔢 h) \(\dfrac5{0{,}4}=\dfrac{50}4=\dfrac{25}2\) ; i) \(\frac{15000}1\) ; j) \(\dfrac{125}{62500}=\dfrac1{500}\) ; k) \(\dfrac3{21}=\dfrac17\) ; l) \(\dfrac{300}4\times\dfrac1{100}=\dfrac34\).
✅ Chaque nombre s’écrit \(\frac pq\) avec \(p\in\mathbb Z\), \(q\in\mathbb Z^*\) : ce sont des rationnels.
Exercice 4.2
Donner l’écriture irréductible
1) \(\dfrac{98}{21}\) ; \(\dfrac{108}{21}\) ; \(\dfrac{300}{575}\) ; \(\dfrac{121}{132}\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{98}{21}=\dfrac{14\times7}{3\times7}=\dfrac{14}3\) ; \(\dfrac{108}{21}=\dfrac{36}7\) (pgcd \(3\)).
🔢 \(\dfrac{300}{575}=\dfrac{12}{23}\) (pgcd \(25\)) ; \(\dfrac{121}{132}=\dfrac{11\times11}{12\times11}=\dfrac{11}{12}\).
✅ \(\frac{14}3\) ; \(\frac{36}7\) ; \(\frac{12}{23}\) ; \(\frac{11}{12}\).
Exercice 4.3
Donner les dix premières décimales
1) Quelles sont les dix premières décimales de l’écriture de \(\dfrac{22}7\) ; \(\dfrac{355}{115}\) ?
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{22}7=3{,}1428571428\ldots\) (période \(142857\)).
🔢 \(\dfrac{355}{115}=\dfrac{71}{23}=3{,}0869565217\ldots\)
✅ Dix premières décimales : \(\frac{22}7\to 1428571428\) ; \(\frac{355}{115}\to 0869565217\).
Exercice 4.4
Calculer et simplifier (fractions)
1) \(A=\dfrac34+\dfrac53-\dfrac76\) ; \(B=\dfrac{-2}3+\dfrac76-\dfrac14-2\) ; \(C=\left(\dfrac23-\dfrac52\right)^2\) ; \(D=\dfrac{5+\frac13}{2-\frac32}\) ; \(E=\left(1-\dfrac13\right)\left(\dfrac25+1-\dfrac12\right)\) ; \(F=\dfrac{7-\frac4\pi}{12-21\pi}\) ; \(G=\big[(a-c)-(a-b)\big]-\big[(c-a)+(b-c)\big]\).
Correction détaillée
🔢 \(A=\dfrac{9+20-14}{12}=\dfrac{15}{12}=\dfrac54\).
🔢 \(B=\dfrac{-8+14-3-24}{12}=\dfrac{-21}{12}=-\dfrac74\).
🔢 \(C=\left(\dfrac{4-15}6\right)^2=\dfrac{121}{36}\).
🔢 \(D=\dfrac{16/3}{1/2}=\dfrac{32}3\).
🔢 \(E=\dfrac23\times\left(\dfrac25+\dfrac12\right)=\dfrac23\times\dfrac9{10}=\dfrac35\).
🔢 \(F=\dfrac{(7\pi-4)/\pi}{3(4-7\pi)}=-\dfrac1{3\pi}\).
🔢 \(G=(b-c)-(b-a)=a-c\).
✅ \(A=\frac54\) ; \(B=-\frac74\) ; \(C=\frac{121}{36}\) ; \(D=\frac{32}3\) ; \(E=\frac35\) ; \(F=-\frac1{3\pi}\) ; \(G=a-c\).
2) \(A=\left(\dfrac{20}{25}-\dfrac{30}{45}\right)\times\dfrac34\) ; \(B=\dfrac{\frac7{15}-\frac5{12}}{\frac74\times\frac35}\).
Correction détaillée
🔢 \(A=\left(\dfrac45-\dfrac23\right)\times\dfrac34=\dfrac2{15}\times\dfrac34=\dfrac1{10}\).
🔢 \(B=\dfrac{1/20}{21/20}=\dfrac1{21}\).
✅ \(A=\frac1{10}\) ; \(B=\frac1{21}\).
3) \(B=\dfrac{5+\frac13}{2-\frac23}\) ; \(C=\dfrac{\dfrac{\frac1{101}}{10101}}{\dfrac{10101}{\frac{101}{1}}}\).
Correction détaillée
🔢 \(B=\dfrac{16/3}{4/3}=4\).
🔢 \(C=\dfrac{1/(101\times10101)}{10101/101}=\dfrac1{101\times10101}\times\dfrac{101}{10101}=\dfrac1{10101^2}\).
✅ \(B=4\) ; \(C=\dfrac1{10101^2}=\dfrac1{102030201}\).
4) Écrire plus simplement \(A=1+\dfrac1{1+\frac13}\) et \(B=1+\dfrac1{1+\frac1{1+\frac13}}\). Calculer \(A\times B\) et \(A+B\).
Correction détaillée
🔢 \(A=1+\dfrac1{4/3}=1+\dfrac34=\dfrac74\).
🔢 On calcule de l’intérieur : \(1+\frac13=\frac43\) ; \(1+\frac34=\frac74\) ; \(B=1+\frac47=\frac{11}7\).
🔢 \(A\times B=\dfrac74\times\dfrac{11}7=\dfrac{11}4\) ; \(A+B=\dfrac{49+44}{28}=\dfrac{93}{28}\).
✅ \(A=\frac74\) ; \(B=\frac{11}7\) ; \(A\times B=\frac{11}4\) ; \(A+B=\frac{93}{28}\).
Partie V. L’ensemble des nombres réels ℝ
Exercice 5.1
Compléter par \(\in\) ; \(\notin\) ; \(\subset\) ; \(\not\subset\)
1) \(6\ldots\mathbb Z\) ; \(\dfrac23\ldots\mathbb Q\) ; \(\sqrt2\ldots\mathbb Q\) ; \(\sqrt2\ldots\mathbb R\) ; \(\mathbb Q\ldots\mathbb R\) ; \(\mathbb N\ldots\mathbb Q\) ; \(-\dfrac23\ldots\mathbb R^+\) ; \(\dfrac23\ldots\mathbb N\) ; \(\dfrac62\ldots\mathbb N\) ; \(\dfrac{\sqrt{100}}5\ldots\mathbb N\) ; \(\mathbb Q\ldots\mathbb Z\) ; \(\mathbb Z\ldots\mathbb Q\) ; \(\pi\ldots\mathbb Z\) ; \(0\ldots\mathbb Q^*\) ; \(-\dfrac73\ldots\mathbb Q^{+*}\) ; \(\sqrt{16}\ldots\mathbb N\) ; \(0\ldots\mathbb R^*\) ; \(\{1;3;-8\}\ldots\mathbb N\) ; \(\mathbb R^+\ldots\mathbb R\) ; \(\dfrac12\ldots D\) ; \(\dfrac13\ldots D\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\). On utilise \(\in\) pour un élément et \(\subset\) pour un ensemble.
🔢 \(6\in\mathbb Z\) ; \(\frac23\in\mathbb Q\) ; \(\sqrt2\notin\mathbb Q\) ; \(\sqrt2\in\mathbb R\) ; \(\mathbb Q\subset\mathbb R\) ; \(\mathbb N\subset\mathbb Q\) ; \(-\frac23\notin\mathbb R^+\) ; \(\frac23\notin\mathbb N\).
🔢 \(\frac62=3\in\mathbb N\) ; \(\frac{\sqrt{100}}5=2\in\mathbb N\) ; \(\mathbb Q\not\subset\mathbb Z\) ; \(\mathbb Z\subset\mathbb Q\) ; \(\pi\notin\mathbb Z\) ; \(0\notin\mathbb Q^*\) ; \(-\frac73\notin\mathbb Q^{+*}\) ; \(\sqrt{16}=4\in\mathbb N\).
🔢 \(0\notin\mathbb R^*\) ; \(\{1;3;-8\}\not\subset\mathbb N\) (car \(-8\notin\mathbb N\)) ; \(\mathbb R^+\subset\mathbb R\) ; \(\frac12\in\mathbb D\) ; \(\frac13\notin\mathbb D\).
✅ Voir les trois lignes ci-dessus (\(\in,\notin\) entre un élément et un ensemble ; \(\subset,\not\subset\) entre deux ensembles).
Exercice 5.2
Vrai ou faux ? Justifier
1) 1) Un nombre rationnel est un réel.
2) Un nombre rationnel peut être un entier relatif.
3) Un nombre rationnel ne peut pas être un décimal.
4) Un nombre décimal est un rationnel.
5) L’inverse d’un rationnel peut être un entier naturel.
6) L’opposé d’un décimal peut être un entier relatif.
Correction détaillée
🔢 1) Vrai : \(\mathbb Q\subset\mathbb R\). 2) Vrai : \(3=\frac31\). 3) Faux : \(\frac12=0{,}5\) est rationnel et décimal.
🔢 4) Vrai : \(\mathbb D\subset\mathbb Q\). 5) Vrai : l’inverse de \(\frac12\) est \(2\in\mathbb N\). 6) Vrai : l’opposé du décimal \(3\) est \(-3\in\mathbb Z\).
✅ Vrai, Vrai, Faux, Vrai, Vrai, Vrai.
Exercice 5.3
Donner la nature et le plus petit ensemble
1) Après avoir simplifié au maximum, donner le plus petit ensemble auquel appartiennent :
   a) \(\dfrac{7\pi+14}{3\pi+6}\) ;
   b) \(\dfrac{-8\pi}{-2}\) ;
   c) \(\dfrac2{\sqrt2+1}-2\sqrt2\).
Correction détaillée
🔢 a) \(\dfrac{7\pi+14}{3\pi+6}=\dfrac{7(\pi+2)}{3(\pi+2)}=\dfrac73\in\mathbb Q\) (non décimal).
🔢 b) \(\dfrac{-8\pi}{-2}=4\pi\in\mathbb R\) (irrationnel).
🔢 c) \(\dfrac2{\sqrt2+1}=2(\sqrt2-1)=2\sqrt2-2\) ; donc \(\dfrac2{\sqrt2+1}-2\sqrt2=-2\in\mathbb Z\).
✅ a) \(\frac73\), plus petit ensemble \(\mathbb Q\) ; b) \(4\pi\), \(\mathbb R\) ; c) \(-2\), \(\mathbb Z\).
Exercice 5.4
Donner un exemple
1) Donner : un rationnel non décimal ; un réel non rationnel.
Correction détaillée
🔢 Rationnel non décimal : \(\dfrac13\). Réel non rationnel : \(\sqrt2\) (ou \(\pi\)).
✅ \(\frac13\in\mathbb Q\setminus\mathbb D\) ; \(\sqrt2\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\).
Exercice 5.5
Placer les nombres dans le diagramme \(\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\)
1) Placer chacun des nombres suivants dans le plus petit ensemble qui le contient : \(0\) ; \(1\) ; \(123\) ; \(3452\) ; \(-3\) ; \(-24\) ; \(-21\) ; \(-45\) ; \(0{,}1\) ; \(0{,}45\) ; \(-0{,}12\) ; \(-0{,}00123\) ; \(\dfrac{13}5\) ; \(\dfrac27\) ; \(\dfrac57\) ; \(\pi\) ; \(\sqrt2\) ; \(\sqrt5\) ; \(2\sqrt7\).
Correction détaillée
🔢 \(\mathbb N\) : \(0\), \(1\), \(123\), \(3452\).
🔢 \(\mathbb Z\) (non \(\mathbb N\)) : \(-3\), \(-24\), \(-21\), \(-45\).
🔢 \(\mathbb D\) (non \(\mathbb Z\)) : \(0{,}1\), \(0{,}45\), \(-0{,}12\), \(-0{,}00123\), \(\frac{13}5=2{,}6\).
🔢 \(\mathbb Q\) (non \(\mathbb D\)) : \(\frac27\), \(\frac57\).
🔢 \(\mathbb R\) (non \(\mathbb Q\)) : \(\pi\), \(\sqrt2\), \(\sqrt5\), \(2\sqrt7\).
✅ Chaque nombre est placé dans le plus petit ensemble qui le contient.
Exercice 5.6
Le nombre est-il rationnel ?
1) On pose \(A=\dfrac1{\sqrt{\dfrac1{10-3\sqrt{11}}+\dfrac1{10+3\sqrt{11}}}}\). \(A\) est-il un rationnel ?
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac1{10-3\sqrt{11}}+\dfrac1{10+3\sqrt{11}}=\dfrac{20}{100-99}=20\).
🔢 Donc \(A=\dfrac1{\sqrt{20}}=\dfrac1{2\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{10}\). Comme \(\sqrt5\notin\mathbb Q\), \(A\notin\mathbb Q\).
✅ \(A=\frac{\sqrt5}{10}\) n’est pas rationnel.
Partie VI. Opérations dans ℝ
Exercice 6.1
Mettre sous la forme \(a\sqrt b\) (\(a,b\) entiers)
1) \(A=3\sqrt{112}-2\sqrt7+5\sqrt{28}\) ; \(B=2\sqrt{32}-3\sqrt{18}-3\sqrt{50}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on extrait les carrés parfaits (\(\sqrt{112}=4\sqrt7\), \(\sqrt{28}=2\sqrt7\), \(\sqrt{32}=4\sqrt2\), \(\sqrt{18}=3\sqrt2\), \(\sqrt{50}=5\sqrt2\)).
🔢 \(A=3\times4\sqrt7-2\sqrt7+5\times2\sqrt7=(12-2+10)\sqrt7=20\sqrt7\).
🔢 \(B=8\sqrt2-9\sqrt2-15\sqrt2=-16\sqrt2\).
✅ \(A=20\sqrt7\) ; \(B=-16\sqrt2\).
Exercice 6.2
Calculer et simplifier (radicaux)
1) \(A=\sqrt{\dfrac92}\) ; \(B=\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{14}}\) ; \(C=3\sqrt{20}+4\sqrt{45}-2\sqrt{80}-\sqrt{180}\).
Correction détaillée
🔢 \(A=\dfrac3{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}2\) ; \(B=\sqrt{\dfrac{28}{14}}=\sqrt2\).
🔢 \(C=6\sqrt5+12\sqrt5-8\sqrt5-6\sqrt5=4\sqrt5\).
✅ \(A=\frac{3\sqrt2}2\) ; \(B=\sqrt2\) ; \(C=4\sqrt5\).
2) \(D=\left(\sqrt3+\sqrt2-\sqrt5\right)\left(\sqrt3+\sqrt2+\sqrt5\right)\) ; \(E=\dfrac{\sqrt3+\sqrt5}{\sqrt3-\sqrt5}-\dfrac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt3+\sqrt5}\).
Correction détaillée
🔢 \(D=(\sqrt3+\sqrt2)^2-5=5+2\sqrt6-5=2\sqrt6\).
🔢 \(E=\dfrac{(\sqrt3+\sqrt5)^2-(\sqrt3-\sqrt5)^2}{3-5}=\dfrac{4\sqrt{15}}{-2}=-2\sqrt{15}\).
✅ \(D=2\sqrt6\) ; \(E=-2\sqrt{15}\).
3) \(\sqrt{5^2\times3^3}+\sqrt{75}-11\sqrt3+2\sqrt{243}\) ; \(\left(\sqrt3+\sqrt2-\sqrt5\right)\left(\sqrt3-\sqrt2+\sqrt5\right)\) ; \(\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}-\dfrac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{5^2\times3^3}=15\sqrt3\), \(\sqrt{75}=5\sqrt3\), \(2\sqrt{243}=18\sqrt3\) : somme \((15+5-11+18)\sqrt3=27\sqrt3\).
🔢 \((\sqrt3+\sqrt2-\sqrt5)(\sqrt3-\sqrt2+\sqrt5)=3-(\sqrt2-\sqrt5)^2=3-(7-2\sqrt{10})=-4+2\sqrt{10}\).
🔢 \(\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}-\dfrac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}=\dfrac{4\sqrt6}{2-3}=-4\sqrt6\).
✅ \(27\sqrt3\) ; \(2\sqrt{10}-4\) ; \(-4\sqrt6\).
4) \(A=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}\times\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}\times\sqrt{2+\sqrt2}\times\sqrt2\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}\) et \((u-v)(u+v)=u^2-v^2\).
🔢 \(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}\times\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}=\sqrt{4-(2+\sqrt2)}=\sqrt{2-\sqrt2}\).
🔢 \(\sqrt{2-\sqrt2}\times\sqrt{2+\sqrt2}=\sqrt{4-2}=\sqrt2\), puis \(\sqrt2\times\sqrt2=2\).
✅ \(A=2\).
Exercice 6.3
Écrire sans radical au dénominateur (rendre le dénominateur rationnel)
1) \(A=\dfrac{3\sqrt{360}-2\sqrt{180}}{\sqrt{10}-\sqrt2}\) ; \(B=\dfrac2{\sqrt{33}}\times\dfrac{\sqrt{363}}{\sqrt2-1}\).
Correction détaillée
🔢 On multiplie par le conjugué \(\sqrt{10}+\sqrt2\) : \(3\sqrt{360}=18\sqrt{10}\), \(2\sqrt{180}=12\sqrt5\).
🔢 \(A=\dfrac{(18\sqrt{10}-12\sqrt5)(\sqrt{10}+\sqrt2)}{8}=\dfrac{180+36\sqrt5-60\sqrt2-12\sqrt{10}}8=\dfrac{45+9\sqrt5-15\sqrt2-3\sqrt{10}}2\).
🔢 \(B=\dfrac2{\sqrt{33}}\times\dfrac{11\sqrt3}{\sqrt2-1}=\dfrac{2\sqrt{11}}{\sqrt2-1}=2\sqrt{11}(\sqrt2+1)=2\sqrt{22}+2\sqrt{11}\).
✅ \(A=\frac{45+9\sqrt5-15\sqrt2-3\sqrt{10}}2\) ; \(B=2\sqrt{22}+2\sqrt{11}\).
2) \(\dfrac7{2\sqrt3}\) ; \(\dfrac{14}{3\sqrt7}\) ; \(\dfrac1{2+\sqrt5}\) ; \(\dfrac{2+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}\) ; \(\dfrac{\sqrt2-\sqrt5}{\sqrt2+\sqrt5}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
🔢 \(\dfrac7{2\sqrt3}=\dfrac{7\sqrt3}6\) ; \(\dfrac{14}{3\sqrt7}=\dfrac{2\sqrt7}3\) ; \(\dfrac1{2+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-2}{5-4}=\sqrt5-2\).
🔢 \(\dfrac{2+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}=\dfrac{(2+\sqrt{10})(\sqrt{10}-1)}{9}=\dfrac{8+\sqrt{10}}9\).
🔢 \(\dfrac{\sqrt2-\sqrt5}{\sqrt2+\sqrt5}=\dfrac{(\sqrt2-\sqrt5)^2}{2-5}=\dfrac{2\sqrt{10}-7}3\).
✅ \(\frac{7\sqrt3}6\) ; \(\frac{2\sqrt7}3\) ; \(\sqrt5-2\) ; \(\frac{8+\sqrt{10}}9\) ; \(\frac{2\sqrt{10}-7}3\).
3) \(\dfrac{2-\sqrt3}{1-\sqrt3}\) ; \(\dfrac1{\sqrt2+1}\) ; \(\dfrac1{\sqrt2-1}\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{2-\sqrt3}{1-\sqrt3}=\dfrac{(2-\sqrt3)(1+\sqrt3)}{1-3}=\dfrac{-1+\sqrt3}{-2}=\dfrac{1-\sqrt3}2\).
🔢 \(\dfrac1{\sqrt2+1}=\sqrt2-1\) ; \(\dfrac1{\sqrt2-1}=\sqrt2+1\).
✅ \(\frac{1-\sqrt3}2\) ; \(\sqrt2-1\) ; \(\sqrt2+1\).
Exercice 6.4
Développer (et simplifier)
1) \((\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)\) ; \((2\sqrt5+1)(2\sqrt5-1)\) ; \((\sqrt3+\sqrt5)^2+(\sqrt{15}-1)^2\) ; \((\sqrt{4-\sqrt7}+\sqrt{3+\sqrt7})^2\) ; \((\sqrt{3-2\sqrt2}+\sqrt{3+2\sqrt2})^2\) ; \((\sqrt{10-2\sqrt5})^2+(1+\sqrt5)^2\).
Correction détaillée
🔢 \((\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)=7-3=4\) ; \((2\sqrt5+1)(2\sqrt5-1)=20-1=19\).
🔢 \((\sqrt3+\sqrt5)^2+(\sqrt{15}-1)^2=8+2\sqrt{15}+16-2\sqrt{15}=24\).
🔢 \((\sqrt{4-\sqrt7}+\sqrt{3+\sqrt7})^2=7+2\sqrt{(4-\sqrt7)(3+\sqrt7)}=7+2\sqrt{5+\sqrt7}\).
🔢 \((\sqrt{3-2\sqrt2}+\sqrt{3+2\sqrt2})^2=6+2\sqrt{9-8}=8\) ; \((\sqrt{10-2\sqrt5})^2+(1+\sqrt5)^2=10-2\sqrt5+6+2\sqrt5=16\).
✅ \(4\) ; \(19\) ; \(24\) ; \(7+2\sqrt{5+\sqrt7}\) ; \(8\) ; \(16\).
2) \(E=\left(\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4\right)^2+\left(\dfrac{1+\sqrt5}4\right)^2\) ; \(F=(\sqrt2+\sqrt7)^2\) ; \(G=(2a+\sqrt b)^2+(1-2a\sqrt b)^2-(2a\sqrt b)^2\).
Correction détaillée
🔢 \(E=\dfrac{10-2\sqrt5}{16}+\dfrac{6+2\sqrt5}{16}=1\).
🔢 \(F=2+7+2\sqrt{14}=9+2\sqrt{14}\).
🔢 \(G=4a^2+4a\sqrt b+b+1-4a\sqrt b+4a^2b-4a^2b=4a^2+b+1\).
✅ \(E=1\) ; \(F=9+2\sqrt{14}\) ; \(G=4a^2+b+1\).
3) \(x\in\mathbb R\) : \(A=\left(\sqrt5+\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt5-\sqrt2\right)^2\) ; \(B=\left[\left(\sqrt2-\sqrt3\right)\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\right]^2\) ; \(C=\left(\sqrt2+1\right)^3\) ; \(D=(3x-2)^3\) ; \(E=(x+2)(x^2-2x+4)\) ; \(F=(200520052006)^2-(200520052005\times200520052007)\) (sans calculatrice).
Correction détaillée
🔢 \(A=4\sqrt5\sqrt2=4\sqrt{10}\) (car \((u+v)^2-(u-v)^2=4uv\)) ; \(B=[2-3]^2=1\).
🔢 \(C=(\sqrt2)^3+3(\sqrt2)^2+3\sqrt2+1=7+5\sqrt2\) ; \(D=27x^3-54x^2+36x-8\) ; \(E=x^3+8\).
🔢 \(F\) : avec \(n=200520052006\), \(F=n^2-(n-1)(n+1)=n^2-(n^2-1)=1\).
✅ \(A=4\sqrt{10}\) ; \(B=1\) ; \(C=7+5\sqrt2\) ; \(D=27x^3-54x^2+36x-8\) ; \(E=x^3+8\) ; \(F=1\).
4) \(A=(3+\sqrt{11})^2-(3-\sqrt{11})^2\) ; \(B=\left(4\sqrt3-7\right)^{2015}\left(4\sqrt3+7\right)^{2015}\) ; \(C=(\sqrt{75}-\sqrt{98})\times(5\sqrt3+7\sqrt2)\) ; \(D=(5x+2)^3\) ; \(E=(\sqrt3-1)^3\) ; \(F=(2x-3)(4x^2+6x+9)\) ; \(G=(2015200052004)^2-(2015200052002\times2015200052006)\).
Correction détaillée
🔢 \(A=4\times3\sqrt{11}=12\sqrt{11}\) ; \(B=\left[(4\sqrt3)^2-7^2\right]^{2015}=(-1)^{2015}=-1\).
🔢 \(C=(5\sqrt3-7\sqrt2)(5\sqrt3+7\sqrt2)=75-98=-23\) ; \(D=125x^3+150x^2+60x+8\) ; \(E=(\sqrt3-1)^3=6\sqrt3-10\) ; \(F=8x^3-27\).
🔢 \(G=n^2-(n-2)(n+2)=4\) avec \(n=2015200052004\).
✅ \(12\sqrt{11}\) ; \(-1\) ; \(-23\) ; \(125x^3+150x^2+60x+8\) ; \(6\sqrt3-10\) ; \(8x^3-27\) ; \(4\).
5) Développer et simplifier \((x+2)(x-2)-x^2\), puis calculer sans calculatrice \(564111232\times564111228-564111230^2\).
Correction détaillée
🔢 \((x+2)(x-2)-x^2=x^2-4-x^2=-4\).
🔢 Avec \(m=564111230\) : \((m+2)(m-2)-m^2=-4\).
✅ \(-4\) dans les deux cas.
6) Remplir les blancs : \(10-4\sqrt6=(\ldots-\ldots)^2\) et \(4+2\sqrt2=(\ldots+\ldots)^2\).
Correction détaillée
🔢 \(10-4\sqrt6=(\sqrt6-2)^2\) car \(6+4-2\times2\sqrt6=10-4\sqrt6\).
🔢 \(4+2\sqrt2=\left(\sqrt{2+\sqrt2}+\sqrt{2-\sqrt2}\right)^2\) car \(4+2\sqrt{4-2}=4+2\sqrt2\).
✅ \(10-4\sqrt6=(\sqrt6-2)^2\) ; \(4+2\sqrt2=(\sqrt{2+\sqrt2}+\sqrt{2-\sqrt2})^2\).
Exercice 6.5
Calculer \(X^2\) puis en déduire \(X\) (radicaux emboîtés)
1) \(X=\sqrt{10-\sqrt{84}}+\sqrt{10+\sqrt{84}}\) ; \(Y=\sqrt{3-\sqrt5}-\sqrt{3+\sqrt5}\) ; \(Z=\sqrt{15-\sqrt{216}}+\sqrt{15+\sqrt{216}}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on calcule le carré, puis on choisit la racine selon le signe de l’expression.
🔢 \(X^2=10-\sqrt{84}+10+\sqrt{84}+2\sqrt{100-84}=20+8=28\), \(X>0\) donc \(X=2\sqrt7\).
🔢 \(Y^2=6-2\sqrt{9-5}=2\) et \(Y<0\) donc \(Y=-\sqrt2\).
🔢 \(Z^2=30+2\sqrt{225-216}=36\), \(Z>0\) donc \(Z=6\).
✅ \(X=2\sqrt7\) ; \(Y=-\sqrt2\) ; \(Z=6\).
2) Calculer \((1+\sqrt5)^2\) et \((2-\sqrt5)^2\), puis simplifier \(\sqrt{9-4\sqrt5}\) et \(\sqrt{6+2\sqrt5}\).
Correction détaillée
🔢 \((1+\sqrt5)^2=6+2\sqrt5\) ; \((2-\sqrt5)^2=9-4\sqrt5\).
🔢 \(\sqrt{9-4\sqrt5}=|2-\sqrt5|=\sqrt5-2\) ; \(\sqrt{6+2\sqrt5}=1+\sqrt5\).
✅ \(\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt5-2\) ; \(\sqrt{6+2\sqrt5}=1+\sqrt5\).
3) Simplifier \(\sqrt{21-6\sqrt6}\) ; \(\sqrt{7-2\sqrt{10}}\) ; \(\sqrt{\sqrt{3-2\sqrt2}+\sqrt{6-4\sqrt2}}\).
Correction détaillée
🔢 \(21-6\sqrt6=(3\sqrt2-\sqrt3)^2\) donc \(\sqrt{21-6\sqrt6}=3\sqrt2-\sqrt3\).
🔢 \(7-2\sqrt{10}=(\sqrt5-\sqrt2)^2\) donc \(\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt5-\sqrt2\).
🔢 \(\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1\) ; \(\sqrt{6-4\sqrt2}=2-\sqrt2\) ; la somme vaut \(1\), donc la racine vaut \(1\).
✅ \(3\sqrt2-\sqrt3\) ; \(\sqrt5-\sqrt2\) ; \(1\).
4) Montrer que \(\sqrt{7+\sqrt{48}}+\sqrt{7-\sqrt{48}}=4\) et que \(\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{9+4\sqrt5}=-4\).
Correction détaillée
🔢 \(7+\sqrt{48}=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2\) et \(7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2\) : somme \(=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4\).
🔢 \(9\mp4\sqrt5=(\sqrt5\mp2)^2\) : \(\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{9+4\sqrt5}=(\sqrt5-2)-(\sqrt5+2)=-4\).
✅ Les deux égalités sont démontrées.
5) Calculer \(\left(\sqrt{\dfrac34}-\sqrt{\dfrac43}\right)^2\) et \(\left(\sqrt{\dfrac52}+\sqrt{\dfrac25}\right)^2\). Que remarque-t-on ? Montrer le cas général avec \(\left(\sqrt a-\sqrt{\dfrac1a}\right)^2\) et \(\left(\sqrt a+\sqrt{\dfrac1a}\right)^2\), \(a\) rationnel non nul.
Correction détaillée
🔢 \(\left(\sqrt{\frac34}-\sqrt{\frac43}\right)^2=\frac34+\frac43-2=\frac1{12}\) ; \(\left(\sqrt{\frac52}+\sqrt{\frac25}\right)^2=\frac52+\frac25+2=\frac{49}{10}\).
🔢 Cas général : \(\left(\sqrt a\mp\sqrt{\frac1a}\right)^2=a+\dfrac1a\mp2\). Ce sont des rationnels si \(a\in\mathbb Q^*\).
✅ On remarque que ces carrés sont rationnels (\(\frac1{12}\) et \(\frac{49}{10}\)), et le cas général le confirme.
6) \(a\in\mathbb R_+^*\), \(b\in\mathbb R_+^*\), \(a\ge b\). Montrer que \(\sqrt{a+\sqrt{a^2-b^2}}=\dfrac{\sqrt2}2\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}\right)\).
Correction détaillée
🔢 Le carré du second membre : \(\dfrac12\left(a-b+a+b+2\sqrt{a^2-b^2}\right)=a+\sqrt{a^2-b^2}\).
🔢 Les deux membres sont positifs et ont le même carré, donc ils sont égaux.
✅ \(\sqrt{a+\sqrt{a^2-b^2}}=\dfrac{\sqrt2}2\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}\right)\).
7) On considère \(a=1+\sqrt2+\sqrt3\), \(b=1+\sqrt2-\sqrt3\), \(c=1-\sqrt2+\sqrt3\), \(d=1-\sqrt2-\sqrt3\). Calculer \(a\times b\) et \(c\times d\), puis en déduire \(a\times b\times c\times d\).
Correction détaillée
🔢 \(ab=(1+\sqrt2)^2-3=2\sqrt2\) ; \(cd=(1-\sqrt2)^2-3=-2\sqrt2\).
🔢 \(abcd=2\sqrt2\times(-2\sqrt2)=-8\).
✅ \(ab=2\sqrt2\) ; \(cd=-2\sqrt2\) ; \(abcd=-8\).
8) Calculer \(\sqrt{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}}+\sqrt{\dfrac{3-2\sqrt2}{3+2\sqrt2}}\).
Correction détaillée
🔢 \(3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2\) et \(3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2\).
🔢 Le premier radical : \(\dfrac{1+\sqrt2}{\sqrt2-1}=(1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2\) ; le second : \(\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=3-2\sqrt2\).
✅ La somme vaut \(6\).
Exercice 6.6
Factoriser
1) \(A=4x^2-9+2(3-2x)\) ; \(B=x^3-8+4(x-4)-3(x-2)\) ; \(C=8x^3+1-2(1-4x^2)\) ; \(D=x^5+x^3-x^2-1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\), et facteur commun.
🔢 \(A=(2x-3)(2x+3)-2(2x-3)=(2x-3)(2x+1)\).
🔢 \(B\) tel qu’écrit : \(x^3+x-18\) n’a pas de facteur évident ; si le terme est \(4(x-2)\) : \(B=(x-2)(x^2+2x+5)\).
🔢 \(C=(2x+1)(4x^2-2x+1)-2(1-2x)(1+2x)=(2x+1)(4x^2+2x-1)\).
🔢 \(D=x^3(x^2+1)-(x^2+1)=(x^2+1)(x-1)(x^2+x+1)\).
✅ \(A=(2x-3)(2x+1)\) ; \(C=(2x+1)(4x^2+2x-1)\) ; \(D=(x^2+1)(x-1)(x^2+x+1)\) ; \(B\) : voir ⚠️.
2) \(x\in\mathbb R\) : \(49x^2-81\) ; \(x^3-8\) ; \(C=(a+1)(2a-3)+6(a+1)\) ; \(D=27x^3+1\) ; \(B=16-25x^2\) ; \(C=1-(1-3x)^2\) ; \(D=(2x-1)^3-8\) ; \(E=27+x^3\) ; \(F=x^{12}-2x^6+1\) ; \(H=x^3+1+2(x^2-1)-(x+1)\) ; \(G=x^5+x^3-x^2-1\) ; \(16x^2-8x+1\).
Correction détaillée
🔢 \(49x^2-81=(7x-9)(7x+9)\) ; \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\) ; \(C=(a+1)(2a+3)\) ; \(D=(3x+1)(9x^2-3x+1)\).
🔢 \(16-25x^2=(4-5x)(4+5x)\) ; \(1-(1-3x)^2=3x(2-3x)\) ; \((2x-1)^3-8=(2x-3)(4x^2+3)\) ; \(27+x^3=(3+x)(9-3x+x^2)\).
🔢 \(x^{12}-2x^6+1=(x^6-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2(x^2+x+1)^2(x^2-x+1)^2\).
🔢 \(H=(x+1)(x^2-x+1)+2(x-1)(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^2+x-2)=(x+1)(x-1)(x+2)\).
🔢 \(G=(x^2+1)(x-1)(x^2+x+1)\) ; \(16x^2-8x+1=(4x-1)^2\).
✅ Voir les factorisations ci-dessus.
3) Factoriser \((x+2)^2+x^2-4\) ; \((2x-1)^2-(3x+2)^2\) ; \(27x^3-8\) ; \(x^3+125-5x(x+5)\).
Correction détaillée
🔢 \((x+2)^2+x^2-4=(x+2)\left[(x+2)+(x-2)\right]=2x(x+2)\).
🔢 \((2x-1)^2-(3x+2)^2=(-x-3)(5x+1)=-(x+3)(5x+1)\).
🔢 \(27x^3-8=(3x-2)(9x^2+6x+4)\).
🔢 \(x^3+125-5x(x+5)=(x+5)(x^2-5x+25)-5x(x+5)=(x+5)(x-5)^2\).
✅ \(2x(x+2)\) ; \(-(x+3)(5x+1)\) ; \((3x-2)(9x^2+6x+4)\) ; \((x+5)(x-5)^2\).
Exercice 6.7
Écrire sous forme d’une puissance et simplifier
1) \(A=2^3\times(2^2)^4\times(2^{-5})^3\) ; \(B=(-3)^1\times(-3)^5\times(3)^2\times(-3)^{-10}\) ; \(C=\dfrac{3^{-5}\times4^{-2}}{12^3}\times\dfrac9{2^2}\) ; \(D=\dfrac{(-2)^3\times(4^2)^{-1}\times8}{1024\times(-16)^{-4}}\) ; \(E=\dfrac{10^{-8}\times10^9\times10^7\times10^{-4}}{10^{-2}\times10^3\times10^5}\).
Correction détaillée
🔢 \(A=2^{3+8-15}=2^{-4}\) ; \(B=(-3)^{1+5-10}\times3^2=3^{-4}\times3^2=3^{-2}\).
🔢 \(C=\dfrac{3^{-5}2^{-4}\times3^2}{2^63^3\times2^2}=\dfrac1{2^{12}3^6}=12^{-6}\).
🔢 \(D=\dfrac{-2^3\times2^{-4}\times2^3}{2^{10}\times2^{-16}}=\dfrac{-2^2}{2^{-6}}=-2^8=-256\).
🔢 \(E=\dfrac{10^{4}}{10^{6}}=10^{-2}\).
✅ \(A=2^{-4}\) ; \(B=3^{-2}\) ; \(C=12^{-6}\) ; \(D=-2^8=-256\) ; \(E=10^{-2}\).
2) Simplifier : \(3^3\times15^{-5}\times21^2\times(5^4)^{-1}\) et \(\sqrt{27}^{\,3}\times\sqrt3^{\,-4}\times\sqrt2^{\,3}\times\left(\dfrac1{\sqrt3}\right)^4\).
Correction détaillée
🔢 \(3^3\times(3\times5)^{-5}\times(3\times7)^2\times5^{-4}=3^{3-5+2}\times7^2\times5^{-5-4}=\dfrac{49}{5^9}\).
🔢 \((\sqrt{27})^3=81\sqrt3\), \((\sqrt3)^{-4}=\frac19\), \((\sqrt2)^3=2\sqrt2\), \(\left(\frac1{\sqrt3}\right)^4=\frac19\) : produit \(=\dfrac{81\sqrt3\times2\sqrt2}{81}=2\sqrt6\).
✅ \(\dfrac{49}{5^9}\) ; \(2\sqrt6\).
3) Simplifier les écritures suivantes en révélant les propriétés utilisées : \(7^6\times7^4\) ; \(\dfrac{2^n}{2^{n-1}}\) ; \(3^{n+1}-3^n\) ; \((a\sqrt3)^2\).
Correction détaillée
🔢 \(7^6\times7^4=7^{10}\) (\(a^m a^n=a^{m+n}\)) ; \(\dfrac{2^n}{2^{n-1}}=2\) ; \(3^{n+1}-3^n=3^n(3-1)=2\times3^n\) ; \((a\sqrt3)^2=3a^2\).
✅ \(7^{10}\) ; \(2\) ; \(2\times3^n\) ; \(3a^2\).
4) Écrire plus simplement : \(A=(-2x)^2\) ; \(B=(-2x)^3\) ; \(C=3x^2y^3-y(xy)^2\) ; \(D=x^{-1}\times5x^3\).
Correction détaillée
🔢 \(A=4x^2\) ; \(B=-8x^3\) ; \(C=3x^2y^3-x^2y^3=2x^2y^3\) ; \(D=5x^2\).
✅ \(4x^2\) ; \(-8x^3\) ; \(2x^2y^3\) ; \(5x^2\).
5) \(a,b,c\) non nuls. Écrire sous la forme \(a^i\times b^j\times c^k\) : \(A=\dfrac c{\left(\frac ab\right)^2}\) ; \(B=a^5(bc)^2\times\dfrac1{(a^3b)^2}\) ; \(C=\dfrac{ab^2}{ca^{-2}}\).
Correction détaillée
🔢 \(A=c\times\dfrac{b^2}{a^2}=a^{-2}b^2c\) ; \(B=\dfrac{a^5b^2c^2}{a^6b^2}=a^{-1}c^2\) ; \(C=\dfrac{ab^2\times a^2}{c}=a^3b^2c^{-1}\).
✅ \(A=a^{-2}b^2c^1\) ; \(B=a^{-1}b^0c^2\) ; \(C=a^3b^2c^{-1}\).
Exercice 6.8
Simplifier les expressions suivantes / montrer l’égalité
1) \(\dfrac{\frac{a^2}b-\frac{b^2}a}{\frac ab+\frac ba-2}\) ; \(\dfrac{\frac ab-\frac ba}{\frac ab+\frac ba+2}\) ; \(\dfrac{x-1-\frac2x}{1-\frac2x}\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\frac{a^2}b-\frac{b^2}a}{\frac ab+\frac ba-2}=\dfrac{(a^3-b^3)/ab}{(a-b)^2/ab}=\dfrac{a^2+ab+b^2}{a-b}\).
🔢 \(\dfrac{(a^2-b^2)/ab}{(a+b)^2/ab}=\dfrac{a-b}{a+b}\).
🔢 \(\dfrac{(x^2-x-2)/x}{(x-2)/x}=\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1\).
✅ \(\frac{a^2+ab+b^2}{a-b}\) ; \(\frac{a-b}{a+b}\) ; \(x+1\) (conditions : \(a\ne b\), \(x\ne0\), \(x\ne2\)).
2) Montrer que \(\left(\dfrac xy\right)^2+\left(\dfrac yx\right)^2+2=\left(\dfrac{x^2+y^2}{xy}\right)^2\) (\(x\ne0\), \(y\ne0\)).
Correction détaillée
🔢 \(\left(\dfrac xy\right)^2+\left(\dfrac yx\right)^2+2=\dfrac{x^4+y^4+2x^2y^2}{x^2y^2}=\dfrac{(x^2+y^2)^2}{(xy)^2}\).
✅ L’égalité est démontrée.
3) Simplifier : \(-2(a+b-c)-3(a-b+c)+4(5a-b)\).
Correction détaillée
🔢 \(-2a-2b+2c-3a+3b-3c+20a-4b=15a-3b-c\).
✅ \(15a-3b-c\).
4) Montrer que \(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=(b-a)(a-c)(c-b)\).
Correction détaillée
🔢 On développe le membre de gauche : \(a^2b-a^2c+b^2c-ab^2+ac^2-bc^2\).
🔢 Et \((b-a)(a-c)(c-b)\) donne le même polynôme après développement.
✅ L’égalité est démontrée.
5) Montrer que \(\dfrac1{(a-b)(a-c)}+\dfrac1{(b-c)(b-a)}+\dfrac1{(c-a)(c-b)}=0\) (\(a\ne b\ne c\)).
Correction détaillée
🔢 Dénominateur commun \(D=(a-b)(b-c)(c-a)\) : les trois fractions valent \(-\dfrac{b-c}{D}\), \(-\dfrac{c-a}D\), \(-\dfrac{a-b}D\).
🔢 Somme \(=-\dfrac{(b-c)+(c-a)+(a-b)}D=0\).
✅ La somme est nulle.
Exercice 6.9
Calculer en fonction de … (identités et relations)
1) Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x+y=\sqrt5\) et \(xy=\dfrac45\). Calculer \(x^2+y^2\), \(x^3+y^3\) et \(x^4+y^4\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5-\frac85=\frac{17}5\).
🔢 \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=5\sqrt5-\frac{12}5\sqrt5=\frac{13\sqrt5}5\).
🔢 \(x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2=\frac{289}{25}-\frac{32}{25}=\frac{257}{25}\).
✅ \(\frac{17}5\) ; \(\frac{13\sqrt5}5\) ; \(\frac{257}{25}\).
2) On pose \(a+b=1\) et \(a^2+b^2=2\). Calculer \(a^6+b^6\) et \(a^4+b^4\).
Correction détaillée
🔢 \(ab=\dfrac{1-2}2=-\dfrac12\).
🔢 \(a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=4-\frac12=\frac72\) ; \(a^6+b^6=(a^2+b^2)^3-3a^2b^2(a^2+b^2)=8-\frac32=\frac{13}2\).
✅ \(a^4+b^4=\frac72\) ; \(a^6+b^6=\frac{13}2\).
3) Soient \(x\ne y\) deux réels tels que \(2(x^2+y^2)=5xy\). Calculer \(\dfrac{x+y}{x-y}\).
Correction détaillée
🔢 \((x+y)^2=x^2+y^2+2xy=\frac92xy\) et \((x-y)^2=\frac12xy\).
🔢 Donc \(\left(\dfrac{x+y}{x-y}\right)^2=9\).
✅ \(\dfrac{x+y}{x-y}=3\) ou \(-3\) (selon l’ordre de \(x\) et \(y\)).
4) Soient \(a,b,c\in\mathbb R^*\) tels que \(ab+bc+ca=0\). Calculer \(\dfrac{b+c}a+\dfrac{c+a}b+\dfrac{a+b}c\).
Correction détaillée
🔢 Somme \(=(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)-3=\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}-3=-3\).
✅ La valeur est \(-3\).
5) Soit \(a\) un entier naturel non nul et \(A=a+\dfrac1a\). Calculer en fonction de \(A\) : \(a^2+\dfrac1{a^2}\) ; \(a^3+\dfrac1{a^3}\) ; \(a^4+\dfrac1{a^4}\).
Correction détaillée
🔢 \(a^2+\frac1{a^2}=A^2-2\) ; \(a^3+\frac1{a^3}=A^3-3A\) ; \(a^4+\frac1{a^4}=(A^2-2)^2-2=A^4-4A^2+2\).
✅ \(A^2-2\) ; \(A^3-3A\) ; \(A^4-4A^2+2\).
6) Soient \(x,y>0\) tels que \(\sqrt{\dfrac xy}+\sqrt{\dfrac yx}=\sqrt5\). Calculer \(\left(\sqrt{\dfrac xy}-\sqrt{\dfrac yx}\right)^2\), puis montrer que \(\sqrt{\dfrac xy}-\sqrt{\dfrac yx}=1\) ou \(-1\).
Correction détaillée
🔢 \(\left(\sqrt{\frac xy}+\sqrt{\frac yx}\right)^2=\frac xy+\frac yx+2=5\) donc \(\frac xy+\frac yx=3\).
🔢 \(\left(\sqrt{\frac xy}-\sqrt{\frac yx}\right)^2=3-2=1\).
✅ Le carré vaut \(1\), donc la différence vaut \(1\) ou \(-1\).
Partie VII. Écriture scientifique d’un nombre décimal
Exercice 7.1
Écrire en notation scientifique
1) \(158\) ; \(8\) ; \(174\) ; \(0{,}0478\) ; \(0{,}00000032\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(a\times10^n\) avec \(1\le a<10\) et \(n\in\mathbb Z\).
🔢 \(158=1{,}58\times10^2\) ; \(8=8\times10^0\) ; \(174=1{,}74\times10^2\) ; \(0{,}0478=4{,}78\times10^{-2}\) ; \(0{,}00000032=3{,}2\times10^{-7}\).
✅ Voir ci-dessus.
2) \(B=35\times10^6+3\times10^6+2{,}9\times10^6\) ; \(C=-0{,}8\times10^7+0{,}05\times10^7-2{,}32\times10^7\).
Correction détaillée
🔢 \(B=(35+3+2{,}9)\times10^6=40{,}9\times10^6=4{,}09\times10^7\).
🔢 \(C=(-0{,}8+0{,}05-2{,}32)\times10^7=-3{,}07\times10^7\).
✅ \(B=4{,}09\times10^7\) ; \(C=-3{,}07\times10^7\).
3) \(A=9\times10^{-3}+0{,}4\times10^{-2}-9\times10^{-4}\) en mettant d’abord \(10^{-4}\) en facteur et sans utiliser de calculatrice.
Correction détaillée
🔢 \(A=(90+40-9)\times10^{-4}=121\times10^{-4}=1{,}21\times10^{-2}\).
✅ \(A=1{,}21\times10^{-2}\).
4) Donner la notation scientifique des nombres suivants ainsi que l’ordre de grandeur :
   a) \(251{,}3\) ;
   b) \(0{,}095\) ;
   c) \(27{,}31\times10^3\) ;
   d) \(150\times10^{-3}\).
Correction détaillée
🔢 a) \(2{,}513\times10^2\) ; b) \(9{,}5\times10^{-2}\) ; c) \(2{,}731\times10^4\) ; d) \(1{,}5\times10^{-1}\).
🔢 Ordres de grandeur (si \(a<5\) : \(10^n\), sinon \(10^{n+1}\)) : a) \(10^2\) ; b) \(10^{-1}\) ; c) \(10^4\) ; d) \(10^{-1}\).
✅ Notations et ordres de grandeur ci-dessus.
Exercice 7.2
Écrire en utilisant les puissances de 10
1) \(0{,}000\,000\,1\) ; \(\dfrac{0{,}0001}{(100)^4}\) ; \(\dfrac{(1000)^3}{0{,}001}\) ; \((-0{,}0001)^2\).
Correction détaillée
🔢 \(0{,}0000001=10^{-7}\) ; \(\dfrac{10^{-4}}{(10^2)^4}=10^{-12}\) ; \(\dfrac{(10^3)^3}{10^{-3}}=10^{12}\) ; \((-10^{-4})^2=10^{-8}\).
✅ \(10^{-7}\) ; \(10^{-12}\) ; \(10^{12}\) ; \(10^{-8}\).
Exercice 7.3
Indiquer les nombres écrits en notation scientifique
1) Parmi les nombres suivants, indiquer ceux qui sont écrits en notation scientifique ; écrire les autres sous forme scientifique :
   a) \(12{,}10\times10^{-3}\) ;
   b) \(6{,}4\times10^5\) ;
   c) \(5{,}03\times10^{-4}\) ;
   d) \(0{,}124\times10^2\) ;
   e) \(-34{,}56\times10^2\).
Correction détaillée
🔢 a) \(12{,}10\times10^{-3}=1{,}21\times10^{-2}\) (non scientifique) ; b) oui ; c) oui ; d) \(0{,}124\times10^2=1{,}24\times10^1\) (non) ; e) \(-34{,}56\times10^2=-3{,}456\times10^3\) (non).
✅ Seuls b) et c) sont en notation scientifique.
Exercice 7.4
Calculer (ordre de grandeur et notation scientifique)
1) Donner l’ordre de grandeur du résultat des calculs suivants, puis effectuer les calculs et donner le résultat en notation scientifique ; comparer à l’ordre de grandeur trouvé :
   a) \(851{,}7\times0{,}0018\times0{,}073\) ;
   b) \(0{,}05\times1200\times10^{-3}\) ;
   c) \(5698{,}3\times2314{,}89\) ;
   d) \(\dfrac{181{,}47}{78{,}956}\).
Correction détaillée
🔢 a) ordre \(10^3\times10^{-3}\times10^{-1}=10^{-1}\) ; exact \(0{,}1119\ldots=1{,}119\times10^{-1}\).
🔢 b) ordre \(10^{-1}\times10^3\times10^{-3}=10^{-1}\) ; exact \(0{,}06=6\times10^{-2}\).
🔢 c) ordre \(10^4\times10^3=10^7\) ; exact \(13\,190\,937{,}687=1{,}319\times10^7\).
🔢 d) ordre \(10^2/10^2=1\) ; exact \(2{,}298\ldots=2{,}298\times10^0\).
✅ Les résultats exacts sont cohérents avec les ordres de grandeur.
2) Calculer \(\dfrac{450000\times(0{,}000002)^2}{0{,}0003}\) (donner le résultat en notation scientifique).
Correction détaillée
🔢 \(450000=4{,}5\times10^5\) ; \((0{,}000002)^2=4\times10^{-12}\) ; \(0{,}0003=3\times10^{-4}\).
🔢 \(\dfrac{4{,}5\times4}{3}\times10^{5-12+4}=6\times10^{-3}\).
✅ \(6\times10^{-3}\).

©2026 Prof.Jamal – Corrigé détaillé · Ensembles de nombres · Tronc Commun