Cette série d’exercices corrigés sur les notions d’arithmétique pour le Tronc Commun travaille la divisibilité, les nombres premiers, le PGCD et le PPCM, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Exercices corrigés sur les notions d’arithmétique Tronc Commun
Notions d’arithmétique · Série d’exercices Tronc Commun
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1.1
Déterminer la parité des nombres suivants
1) \(n\in\mathbb N\), \(m\in\mathbb N\). Déterminer la parité :
1) \(375^2+648^2\) ;
2) \(2n+16\) ;
3) \(10n+5\) ;
4) \(18n+4m+24\) ;
5) \(2n^2+7\) ;
6) \(8n^2+12nm+3\) ;
7) \(26n+10m+7\) ;
8) \(n^2+11n+17\) ;
9) \(n^2+7n+20\) ;
10) \((n+1)^2+7n^2\) ;
11) \(n^2+5n\) ;
12) \(n^2+8n\) ;
13) \(n^2+n\) ;
14) \(n^3-n\) ;
15) \(5n^2+n\) ;
16) \(4n^2+4n+1\) ;
17) \(n^2+13n+17\) ;
18) \(n+(n+1)+(n+2)\).
1) \(375^2+648^2\) ;
2) \(2n+16\) ;
3) \(10n+5\) ;
4) \(18n+4m+24\) ;
5) \(2n^2+7\) ;
6) \(8n^2+12nm+3\) ;
7) \(26n+10m+7\) ;
8) \(n^2+11n+17\) ;
9) \(n^2+7n+20\) ;
10) \((n+1)^2+7n^2\) ;
11) \(n^2+5n\) ;
12) \(n^2+8n\) ;
13) \(n^2+n\) ;
14) \(n^3-n\) ;
15) \(5n^2+n\) ;
16) \(4n^2+4n+1\) ;
17) \(n^2+13n+17\) ;
18) \(n+(n+1)+(n+2)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : pair \(\pm\) pair = pair ; impair \(\pm\) impair = pair ; pair \(\pm\) impair = impair ; pair \(\times\) tout entier = pair ; impair \(\times\) impair = impair. De plus \(n(n+k)\) est pair si \(k\) est impair.
🔢 1) \(375^2\) impair, \(648^2\) pair : somme impaire. 2) \(2n+16=2(n+8)\) pair. 3) \(10n+5=2(5n+2)+1\) impair. 4) \(2(9n+2m+12)\) pair.
🔢 5) \(2n^2\) pair, \(+7\) : impair. 6) \(8n^2+12nm\) pair, \(+3\) : impair. 7) \(26n+10m\) pair, \(+7\) : impair.
🔢 8) \(n^2+11n=n(n+11)\) : \(n\) et \(n+11\) n’ont pas la même parité, le produit est pair ; \(+17\) : impair. 9) \(n(n+7)\) pair, \(+20\) : pair.
🔢 10) \((n+1)^2\) a la parité de \(n+1\) et \(7n^2\) celle de \(n\) : deux parités différentes, la somme est impaire.
🔢 11) \(n(n+5)\) : pair. 12) \(n^2+8n\) a la parité de \(n\) (\(8n\) pair). 13) \(n(n+1)\) : pair. 14) \(n^3-n=(n-1)n(n+1)\) : pair.
🔢 15) \(5n^2+n=n(5n+1)\) : pair. 16) \(4n^2+4n\) pair, \(+1\) : impair. 17) \(n(n+13)\) pair, \(+17\) : impair. 18) \(3n+3=3(n+1)\) a la parité de \(n+1\).
✅ 1) impair ; 2) pair ; 3) impair ; 4) pair ; 5) impair ; 6) impair ; 7) impair ; 8) impair ; 9) pair ; 10) impair ; 11) pair ; 12) même parité que \(n\) ; 13) pair ; 14) pair ; 15) pair ; 16) impair ; 17) impair ; 18) même parité que \(n+1\).
2) Déterminer les nombres pairs et les nombres impairs : \(2^2+1\) ; \(15^2\times9^2\) ; \(15^2-13^2\) ; \(15^3+12^3\) ; \(642\times97681\) ; \((41^2+765^2)^7\) ; \(2176543\times34569820\) ; \(97^3\times97^2\).
Correction détaillée
🔢 \(2^2+1=5\) impair. \(15^2\times9^2\) : produit d’impairs, impair. \(15^2-13^2=225-169=56\) pair. \(15^3+12^3\) : impair + pair = impair.
🔢 \(642\times97681\) : \(642\) pair, donc produit pair. \((41^2+765^2)^7\) : \(41^2+765^2\) est impair + impair = pair, donc sa puissance est paire.
🔢 \(2176543\times34569820\) : \(34569820\) pair, donc produit pair. \(97^3\times97^2\) : produit d’impairs, impair.
✅ Impairs : \(2^2+1\), \(15^2\times9^2\), \(15^3+12^3\), \(97^3\times97^2\). Pairs : les quatre autres.
3) Déterminer la parité (\(n\in\mathbb N\)) : \(2n+8\) ; \(4n^2+1\) ; \(n(n+1)\) ; \(3n^2+n\) ; \(n+(n+1)+(n+2)\) ; \(5n^2+5n+1\) ; \(8n^2+8n+1\) ; \((n+1)(n+2)(n+3)\) ; \(2n^2+4n+7\) ; \(20122n+20092\) ; \((2n+5)(2n+6)\) ; \(n(n+3)\) ; \(1+(n+1)^2+(n+2)^2\) ; \(n^2-3n+4\) ; \(n^2+3n+4\).
Correction détaillée
🔢 \(2n+8\) pair ; \(4n^2+1\) impair ; \(n(n+1)\) pair ; \(3n^2+n=n(3n+1)\) pair ; \(n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)\) : parité de \(n+1\).
🔢 \(5n^2+5n+1=5n(n+1)+1\) impair ; \(8n^2+8n+1\) impair ; \((n+1)(n+2)(n+3)\) pair (contient deux consécutifs) ; \(2n^2+4n+7\) impair ; \(20122n+20092\) pair.
🔢 \((2n+5)(2n+6)\) pair (\(2n+6\) pair) ; \(n(n+3)\) pair ; \(1+(n+1)^2+(n+2)^2\) : \((n+1)^2+(n+2)^2\) est impair, donc la somme est paire ; \(n^2-3n+4\) et \(n^2+3n+4\) : \(n(n\mp3)\) pair, \(+4\) : pair.
✅ Pairs : \(2n+8\), \(n(n+1)\), \(3n^2+n\), \((n+1)(n+2)(n+3)\), \(20122n+20092\), \((2n+5)(2n+6)\), \(n(n+3)\), \(1+(n+1)^2+(n+2)^2\), \(n^2-3n+4\), \(n^2+3n+4\). Impairs : \(4n^2+1\), \(5n^2+5n+1\), \(8n^2+8n+1\), \(2n^2+4n+7\). \(n+(n+1)+(n+2)\) a la parité de \(n+1\).
4) Soient \(m,n\) deux entiers naturels non nuls. Étudier la parité de : \(A=4m+1\) ; \(B=2n+3\) ; \(C=2m+6n+2014\) ; \(D=(2m+1)^2+2^{n+1}\) ; \(E=n^2+m^2+n+m\) ; \(G=(2n+1)^{2014}+(2m+1)^{2015}\).
Correction détaillée
🔢 \(A=2(2m)+1\) impair ; \(B=2(n+1)+1\) impair ; \(C=2(m+3n+1007)\) pair.
🔢 \(D\) : \((2m+1)^2\) impair, \(2^{n+1}\) pair (\(n+1\ge1\)) : impair.
🔢 \(E=n(n+1)+m(m+1)\) : somme de deux pairs, pair.
🔢 \(G\) : \((2n+1)^{2014}\) et \((2m+1)^{2015}\) sont impairs : leur somme est paire.
✅ \(A\) et \(B\) impairs ; \(C\) pair ; \(D\) impair ; \(E\) pair ; \(G\) pair.
5) Déterminer la parité : \(A=11^2+12^2\) ; \(B=15^2-12^2\) ; \(C=(22^3+23^3)^7\) ; \(6n+3\) ; \(2n+7\) ; \(n(n+1)(n+2)\) (\(n\) entier).
Correction détaillée
🔢 \(A=121+144=265\) impair ; \(B=225-144=81\) impair ; \(C\) : \(22^3\) pair, \(23^3\) impair, la somme est impaire et sa puissance \(7\) aussi.
🔢 \(6n+3=2(3n+1)+1\) impair ; \(2n+7=2(n+3)+1\) impair ; \(n(n+1)(n+2)\) contient le produit de deux consécutifs : pair.
✅ \(A\), \(B\), \(C\), \(6n+3\), \(2n+7\) impairs ; \(n(n+1)(n+2)\) pair.
6) Soient \(x\) pair et \(y\) impair. Déterminer la parité de : \(A=x+132y\) ; \(B=11x+7y\) ; \(C=9x+18y\) ; \(D=37x^5+y^2+2019\) ; \(E=x^{2019}+11xy^2+17\) ; \(F=x(x+1)+(y+2)(y+3)\).
Correction détaillée
🔢 \(A\) : pair + pair = pair. \(B\) : pair + impair = impair. \(C\) : pair + pair = pair.
🔢 \(D\) : pair + impair + impair = pair. \(E\) : pair + pair + impair = impair.
🔢 \(F\) : \(x(x+1)\) pair et \((y+2)(y+3)\) pair (deux consécutifs) : somme paire.
✅ \(A\), \(C\), \(D\), \(F\) pairs ; \(B\), \(E\) impairs.
7) Soient \(x\) pair et \(y\) impair. Déterminer la parité de : \(A=x+124y\) ; \(B=9x+19y\) ; \(C=9x+18y\) ; \(D=11x^{11}+y^4+19\) ; \(E=x(x+9)+(y+18)(y+11)\).
Correction détaillée
🔢 \(A\) pair ; \(B\) : pair + impair = impair ; \(C\) pair ; \(D\) : pair + impair + impair = pair.
🔢 \(E\) : \(x\) pair donc \(x(x+9)\) pair ; \(y+11\) pair donc \((y+18)(y+11)\) pair ; somme paire.
✅ \(A\), \(C\), \(D\), \(E\) pairs ; \(B\) impair.
Exercice 1.2
Étudier la parité
1) Soient \(x=4n+3\) et \(y=6n+2\) (\(n\in\mathbb N\)). Étudier la parité de \(x\), \(y\) et \(2x\).
Correction détaillée
🔢 \(x=2(2n+1)+1\) : impair. \(y=2(3n+1)\) : pair. \(2x\) est pair (multiple de \(2\)).
✅ \(x\) impair ; \(y\) pair ; \(2x\) pair.
Exercice 2.1
Montrer que… (parité d’une somme, d’un produit, d’un carré)
1) Soient \(a,b\in\mathbb N\). Montrer que si \(a\) est pair et \(b\) impair, alors \(a+b\) est impair.
Correction détaillée
📘 Méthode : un entier pair s’écrit \(2k\), un entier impair s’écrit \(2k+1\).
🔢 \(a=2k\) et \(b=2l+1\) avec \(k,l\in\mathbb N\).
🔢 \(a+b=2k+2l+1=2(k+l)+1\).
✅ \(a+b\) est impair.
2) Soit \(a\in\mathbb N\). Montrer que si \(a\) est impair, alors \(a^2\) est un nombre impair.
Correction détaillée
🔢 \(a=2k+1\), donc \(a^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\).
✅ \(a^2\) est impair.
3) Soit \(a\in\mathbb N\). Montrer que si \(a^2\) est impair, alors \(a\) est impair.
Correction détaillée
🔢 Raisonnons par contraposée : si \(a\) est pair, \(a=2k\) et \(a^2=4k^2=2(2k^2)\) est pair.
🔢 Donc si \(a^2\) est impair, \(a\) ne peut pas être pair.
✅ \(a\) est impair.
4) Soit \(n\in\mathbb N\). Montrer que si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair.
Correction détaillée
🔢 Contraposée : si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair (question précédente).
✅ Donc si \(n^2\) est pair, \(n\) est pair.
5) Montrer que le produit de deux nombres consécutifs est un nombre pair.
Correction détaillée
🔢 Soit \(n(n+1)\). Si \(n=2k\), le produit \(2k(2k+1)\) est pair. Si \(n=2k+1\), \(n+1=2k+2=2(k+1)\) et le produit est pair.
✅ \(n(n+1)\) est pair pour tout \(n\in\mathbb N\).
6) Soit \(a\) un entier naturel non nul.
1) Montrer que \(a^{2014}+a^{2015}\) est pair.
2) Montrer que \(a+a^3\) est pair.
1) Montrer que \(a^{2014}+a^{2015}\) est pair.
2) Montrer que \(a+a^3\) est pair.
Correction détaillée
🔢 1) \(a^{2014}+a^{2015}=a^{2014}(1+a)\). Si \(a\) est pair, \(a^{2014}\) est pair ; si \(a\) est impair, \(1+a\) est pair. Dans les deux cas le produit est pair.
🔢 2) \(a+a^3=a(1+a^2)\). Si \(a\) est pair, le produit est pair ; si \(a\) est impair, \(a^2\) est impair et \(1+a^2\) est pair.
✅ Les deux nombres sont pairs.
7) Soit \(n\in\mathbb N^*\).
1) Montrer que \(n^2+n\) est pair.
2) En déduire que \(n^2\) et \(n\) ont la même parité.
1) Montrer que \(n^2+n\) est pair.
2) En déduire que \(n^2\) et \(n\) ont la même parité.
Correction détaillée
🔢 1) \(n^2+n=n(n+1)\) : produit de deux consécutifs, pair.
🔢 2) Si \(n^2+n\) est pair, alors \(n^2\) et \(n\) ont la même parité (une somme est paire si et seulement si les termes ont la même parité).
✅ \(n^2+n\) est pair et \(n^2\), \(n\) ont la même parité.
Exercice 2.2
Montrer que… (parité d’une somme, d’un produit, d’un carré) (suite)
1) Soit \(n\) un entier naturel non nul. Montrer que \(n^2+5n+3\) est impair.
Correction détaillée
🔢 \(n^2+5n=n(n+5)\) : \(n\) et \(n+5\) ont des parités différentes, donc le produit est pair.
🔢 \(n^2+5n+3\) est pair + impair.
✅ \(n^2+5n+3\) est impair.
2) Montrer que pour tout entier \(n\) :
1) \(3n^2+15n+7\) est impair ;
2) \(5n^2-7n+4\) est pair.
1) \(3n^2+15n+7\) est impair ;
2) \(5n^2-7n+4\) est pair.
Correction détaillée
🔢 1) \(3n^2+15n=3n(n+5)\) est pair (\(n(n+5)\) pair), donc \(3n^2+15n+7\) est impair.
🔢 2) \(5n^2-7n=n(5n-7)\) : \(n\) et \(5n-7\) ont des parités différentes (\(5n\) a la parité de \(n\), \(-7\) est impair), produit pair ; \(+4\) : pair.
✅ Le premier est impair, le second est pair.
3) Soit \(n\in\mathbb N\).
1) Montrer que \(n^2+n+2\) est pair.
2) Déterminer la parité de \(n^2+n+4\).
1) Montrer que \(n^2+n+2\) est pair.
2) Déterminer la parité de \(n^2+n+4\).
Correction détaillée
🔢 \(n^2+n=n(n+1)\) est pair. Donc \(n^2+n+2\) et \(n^2+n+4\) sont pairs (pair + pair).
✅ \(n^2+n+2\) et \(n^2+n+4\) sont pairs.
4) Soit \(n\in\mathbb N\) et \(A=(3n+2)^2-5n\left(n+\dfrac85\right)-3\).
1) Développer \(A\).
2) En déduire que \(A\) est un carré parfait.
3) Déterminer la parité de \(A\).
1) Développer \(A\).
2) En déduire que \(A\) est un carré parfait.
3) Déterminer la parité de \(A\).
Correction détaillée
🔢 1) \(A=9n^2+12n+4-5n^2-8n-3=4n^2+4n+1\).
🔢 2) \(A=(2n+1)^2\) : carré de l’entier \(2n+1\).
🔢 3) \(A=2(2n^2+2n)+1\) est impair.
✅ \(A=4n^2+4n+1=(2n+1)^2\), carré parfait impair.
5) Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels tels que \(a>2b\).
1) Montrer que \(a-2b\) et \(a+2b\) ont la même parité.
2) Résoudre dans \(\mathbb N\times\mathbb N\) l’équation \(a^2-4b^2=36\). Même question avec \(366\) au lieu de \(36\).
1) Montrer que \(a-2b\) et \(a+2b\) ont la même parité.
2) Résoudre dans \(\mathbb N\times\mathbb N\) l’équation \(a^2-4b^2=36\). Même question avec \(366\) au lieu de \(36\).
Correction détaillée
🔢 1) \((a+2b)-(a-2b)=4b\) est pair : deux nombres dont la différence est paire ont la même parité.
🔢 2) \((a-2b)(a+2b)=36\), même parité : les deux facteurs sont pairs, \(a-2b<a+2b\) : \((2;18)\) et \((6;6)\).
🔢 \(a-2b=2\) et \(a+2b=18\) donnent \(a=10\), \(b=4\) ; \(a-2b=6\) et \(a+2b=6\) donnent \(a=6\), \(b=0\).
🔢 Avec \(366=2\times183\) : deux facteurs de même parité dont le produit est \(366\) seraient pairs, donc le produit serait multiple de \(4\), or \(366\) n’est pas multiple de \(4\).
✅ Pour \(36\) : \(S=\{(10;4),(6;0)\}\). Pour \(366\) : aucune solution.
6) Soient \(m,n\in\mathbb N\) tels que \(m>n\).
1) Montrer que \(m+n\) et \(m-n\) ont la même parité.
2) Résoudre dans \(\mathbb N\times\mathbb N\) : \(m^2-n^2=196\).
1) Montrer que \(m+n\) et \(m-n\) ont la même parité.
2) Résoudre dans \(\mathbb N\times\mathbb N\) : \(m^2-n^2=196\).
Correction détaillée
🔢 1) \((m+n)-(m-n)=2n\) est pair, donc \(m+n\) et \(m-n\) ont la même parité.
🔢 2) \((m-n)(m+n)=196=2^2\times7^2\), les deux facteurs sont de même parité donc pairs : \(196=2\times98=14\times14\) avec \(m-n\le m+n\).
🔢 \(m-n=2\), \(m+n=98\) : \(m=50\), \(n=48\) ; \(m-n=14\), \(m+n=14\) : \(m=14\), \(n=0\).
✅ \(S=\{(50;48),(14;0)\}\).
7) 1) Développer et simplifier \((n+1)^2-n^2\).
2) Montrer que chaque entier naturel impair est la différence des carrés de deux entiers consécutifs.
3) Appliquer à \(17\) ; \(45\) ; \(101\).
2) Montrer que chaque entier naturel impair est la différence des carrés de deux entiers consécutifs.
3) Appliquer à \(17\) ; \(45\) ; \(101\).
Correction détaillée
🔢 1) \((n+1)^2-n^2=2n+1\).
🔢 2) Tout impair s’écrit \(2n+1\) donc \(=(n+1)^2-n^2\).
🔢 3) \(17=2\times8+1=9^2-8^2\) ; \(45=2\times22+1=23^2-22^2\) ; \(101=2\times50+1=51^2-50^2\).
✅ \(17=9^2-8^2\) ; \(45=23^2-22^2\) ; \(101=51^2-50^2\).
Exercice 2.3
Montrer que… (parité d’une somme, d’un produit, d’un carré) (suite)
1) Pour tout entier \(n\) on pose \(A=2^n+129\).
1) Déterminer \(n\) pour que \(A\) soit entier.
2) Montrer que pour tout \(n>7\) : \(A=2^7(2^{n-7}+1)+1\).
3) En déduire la nature (parité) de \(A\) pour \(n>7\).
4) Écrire \(1025\) sous la forme \(2^7(2^{n-7}+1)+1\).
1) Déterminer \(n\) pour que \(A\) soit entier.
2) Montrer que pour tout \(n>7\) : \(A=2^7(2^{n-7}+1)+1\).
3) En déduire la nature (parité) de \(A\) pour \(n>7\).
4) Écrire \(1025\) sous la forme \(2^7(2^{n-7}+1)+1\).
Correction détaillée
🔢 1) \(2^n\) est entier si et seulement si \(n\ge0\) (pour \(n<0\), \(2^n=\frac1{2^{-n}}\) n’est pas entier).
🔢 2) \(2^7(2^{n-7}+1)+1=2^n+2^7+1=2^n+129\).
🔢 3) Pour \(n>7\), \(2^{n-7}\) est pair, \(2^{n-7}+1\) impair, \(2^7\times\) impair est pair, et \(+1\) donne un impair : \(A\) est impair.
🔢 4) \(1025-1=1024=2^7\times8\), il faudrait \(2^{n-7}+1=8\), soit \(2^{n-7}=7\) : impossible. En revanche \(1025=2^7\times8+1\) avec \(8=2^3\) : \(1025=2^{10}+1\).
✅ 1) \(n\in\mathbb N\) ; 3) \(A\) est impair ; 4) \(1025\) ne s’écrit pas sous cette forme (\(1025=2^{10}+1=2^7\times2^3+1\)).
⚠️ Question 4 : l’énoncé semble avoir une coquille ; j’ai donné la forme \(2^7\times2^3+1\).
2) Soit \(x=2n+7\) et \(y=4n+2\) (\(n\in\mathbb N\)). Montrer que \(x\) est impair et que \(y\) est pair.
Correction détaillée
🔢 \(x=2(n+3)+1\) : impair. \(y=2(2n+1)\) : pair.
✅ \(x\) impair, \(y\) pair.
3) Montrer que le nombre \(2\times9\times7+3\) est impair.
Correction détaillée
🔢 \(2\times9\times7\) est pair (facteur \(2\)), \(+3\) donne un impair.
✅ \(2\times9\times7+3=129\) est impair.
Exercice 3.1
Déterminer les multiples d’un nombre
1) Donner tous les multiples de \(14\) inférieurs à \(80\).
Correction détaillée
📘 Méthode : les multiples de \(a\) sont les nombres \(a\times k\) avec \(k\in\mathbb N\).
🔢 On calcule \(14\times0,14\times1,14\times2,\ldots\) tant que le résultat est \(<80\) : \(0,14,28,42,56,70\) (\(14\times6=84>80\)).
✅ \(\{0;14;28;42;56;70\}\).
2) Donner tous les multiples de \(25\) compris entre \(50\) et \(170\).
Correction détaillée
🔢 \(25\times2=50\), \(25\times3=75\), \(25\times4=100\), \(25\times5=125\), \(25\times6=150\), \(25\times7=175>170\).
✅ \(50;75;100;125;150\).
3) Déterminer les multiples de \(9\) compris entre \(23\) et \(59\).
Correction détaillée
🔢 \(9\times3=27\), \(9\times4=36\), \(9\times5=45\), \(9\times6=54\), \(9\times7=63>59\) et \(9\times2=18<23\).
✅ \(27;36;45;54\).
4) Déterminer les multiples inférieurs à \(200\) du nombre \(14\).
Correction détaillée
🔢 \(14\times k\le200\) donne \(k\le14\) (\(14\times14=196\), \(14\times15=210\)).
✅ \(0;14;28;42;56;70;84;98;112;126;140;154;168;182;196\).
Exercice 3.2
Est-ce un multiple ?
1) Est-ce que \(13\) divise \(704\) ? Justifier.
Correction détaillée
🔢 \(704=13\times54+2\) : le reste est \(2\neq0\).
✅ Non, \(13\) ne divise pas \(704\) (\(704\) n’est pas un multiple de \(13\)).
2) Est-ce que \(2352\) est un multiple de \(21\) ? Justifier.
Correction détaillée
🔢 \(2352=21\times112\) (\(21\times112=2352\)).
✅ Oui, \(2352\) est un multiple de \(21\).
3) Déterminer, parmi les nombres suivants, les multiples de \(17\) : \(340\) ; \(39\) ; \(51\) ; \(0\) ; \(187\) ; \(2018\).
Correction détaillée
🔢 \(340=17\times20\) ✔ ; \(39=17\times2+5\) ✘ ; \(51=17\times3\) ✔ ; \(0=17\times0\) ✔ ; \(187=17\times11\) ✔ ; \(2018=17\times118+12\) ✘.
✅ Multiples de \(17\) : \(340\), \(51\), \(0\), \(187\).
Exercice 3.3
Critères de divisibilité
1) Déterminer le chiffre \(x\) pour que \(532x\) soit divisible par \(9\).
Correction détaillée
📘 Critères : un nombre est divisible par \(2\) si son dernier chiffre est pair ; par \(5\) si il finit par \(0\) ou \(5\) ; par \(4\) si ses deux derniers chiffres forment un multiple de \(4\) ; par \(3\) (resp. \(9\)) si la somme de ses chiffres est un multiple de \(3\) (resp. \(9\)).
🔢 \(5+3+2+x=10+x\) doit être multiple de \(9\) : \(10+x=18\) donc \(x=8\).
✅ \(x=8\) (\(5328=9\times592\)).
2) Montrer que \(26820\) est divisible par \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) et \(9\).
Correction détaillée
🔢 Dernier chiffre \(0\) : divisible par \(2\) et \(5\). \(20\) est multiple de \(4\) : divisible par \(4\).
🔢 Somme des chiffres \(2+6+8+2+0=18\) : divisible par \(3\) et par \(9\).
✅ \(26820\) est divisible par \(2,3,4,5,9\).
3) Déterminer la valeur de \(n\) (\(0\le n\le9\)) pour que \(\overline{n15n}\) soit un multiple de \(2\) ; de \(4\) ; de \(3\) ; de \(9\).
Correction détaillée
🔢 Multiple de \(2\) : \(n\) pair. Multiple de \(4\) : \(\overline{5n}\) multiple de \(4\) : \(n=2\) ou \(6\).
🔢 Multiple de \(3\) : \(n+1+5+n=2n+6\) multiple de \(3\) : \(n\in\{0,3,6,9\}\). Multiple de \(9\) : \(2n+6=18\) donc \(n=6\).
✅ Par \(2\) : \(n\in\{0,2,4,6,8\}\) ; par \(4\) : \(n\in\{2,6\}\) ; par \(3\) : \(n\in\{0,3,6,9\}\) ; par \(9\) : \(n=6\).
⚠️ Énoncé ambigu (« \(2;4;3\) et \(9\) ») : j’ai traité chaque divisibilité séparément.
4) Déterminer le chiffre \(a\) pour que \(\overline{2a56}\) soit divisible par \(3\).
Correction détaillée
🔢 \(2+a+5+6=13+a\) multiple de \(3\) : \(13+a\in\{15,18,21\}\).
✅ \(a\in\{2,5,8\}\).
5) Déterminer le chiffre \(b\) pour que \(\overline{253b}\) soit divisible par \(4\) et par \(3\).
Correction détaillée
🔢 Par \(4\) : \(\overline{3b}\) multiple de \(4\) : \(b=2\) ou \(6\). Par \(3\) : \(10+b\) multiple de \(3\) : \(b\in\{2,5,8\}\).
✅ \(b=2\) (\(2532=4\times633\)).
6) Déterminer le chiffre \(c\) pour que \(\overline{2c37}\) soit divisible par \(3\) et pas par \(9\).
Correction détaillée
🔢 \(2+c+3+7=12+c\) multiple de \(3\) : \(c\in\{0,3,6,9\}\). Multiple de \(9\) si \(12+c=18\), soit \(c=6\) : à exclure.
✅ \(c\in\{0,3,9\}\).
7) Déterminer le chiffre \(a\) pour que \(\overline{23a4}\) soit divisible par \(3\) ; puis divisible par \(3\) mais non par \(9\).
Correction détaillée
🔢 \(2+3+a+4=9+a\) : multiple de \(3\) pour \(a\in\{0,3,6,9\}\). Multiple de \(9\) pour \(a\in\{0,9\}\).
✅ Divisible par \(3\) : \(a\in\{0,3,6,9\}\) ; par \(3\) et pas par \(9\) : \(a\in\{3,6\}\).
Exercice 3.4
Critères de divisibilité (suite)
1) Déterminer les chiffres \(b\) et \(c\) pour que \(\overline{23b5c}\) soit divisible par \(5\) et par \(3\).
Correction détaillée
🔢 Par \(5\) : \(c\in\{0,5\}\). Par \(3\) : \(2+3+b+5+c=10+b+c\) multiple de \(3\).
🔢 Si \(c=0\) : \(b\in\{2,5,8\}\). Si \(c=5\) : \(15+b\) multiple de \(3\) : \(b\in\{0,3,6,9\}\).
✅ \((b;c)\in\{(2;0),(5;0),(8;0),(0;5),(3;5),(6;5),(9;5)\}\).
2) Déterminer le chiffre \(d\) pour que \(\overline{47d35}\) soit divisible par \(3\) et pas par \(9\).
Correction détaillée
🔢 \(4+7+d+3+5=19+d\) multiple de \(3\) : \(d\in\{2,5,8\}\) (sommes \(21,24,27\)). \(27\) est multiple de \(9\) : on exclut \(d=8\).
✅ \(d\in\{2,5\}\).
3) Vérifier que les entiers suivants sont des multiples de \(37\) :
1) trois chiffres identiques (\(222\), \(888\), …) ;
2) six chiffres identiques (\(555555\), \(999999\), …) ;
3) six chiffres obtenus en juxtaposant trois fois deux chiffres identiques (\(717171\), …).
1) trois chiffres identiques (\(222\), \(888\), …) ;
2) six chiffres identiques (\(555555\), \(999999\), …) ;
3) six chiffres obtenus en juxtaposant trois fois deux chiffres identiques (\(717171\), …).
Correction détaillée
🔢 1) \(\overline{ddd}=111d=3\times37\times d\).
🔢 2) \(\overline{dddddd}=111111d=3\times7\times11\times13\times37\times d\).
🔢 3) \(\overline{ababab}=10101\times\overline{ab}\) et \(10101=3\times7\times13\times37\).
✅ Dans chaque cas le nombre est multiple de \(37\).
Exercice 4.1
Montrer que… est un multiple de …
1) Soit \(n\in\mathbb N\), \(x=2n+7\) et \(y=4n+2\). Montrer que \(x+y\) est un multiple de \(3\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on factorise pour faire apparaître le nombre dont on veut montrer qu’il est facteur.
🔢 \(x+y=6n+9=3(2n+3)\).
✅ \(x+y\) est un multiple de \(3\).
2) Soit \(n\) un entier impair.
1) Vérifier que \(n^2-1\) est un multiple de \(8\) pour \(n=1\) ; \(3\) ; \(5\) ; \(7\).
2) Montrer que \(n^2-1\) est un multiple de \(4\), puis de \(8\).
3) En déduire que \(n^4-1\) est un multiple de \(16\).
4) Montrer que si \(n\) et \(m\) sont impairs, \(n^2+m^2+6\) est un multiple de \(8\).
1) Vérifier que \(n^2-1\) est un multiple de \(8\) pour \(n=1\) ; \(3\) ; \(5\) ; \(7\).
2) Montrer que \(n^2-1\) est un multiple de \(4\), puis de \(8\).
3) En déduire que \(n^4-1\) est un multiple de \(16\).
4) Montrer que si \(n\) et \(m\) sont impairs, \(n^2+m^2+6\) est un multiple de \(8\).
Correction détaillée
🔢 1) \(1^2-1=0\) ; \(3^2-1=8\) ; \(5^2-1=24\) ; \(7^2-1=48\) : tous multiples de \(8\).
🔢 2) \(n=2k+1\) : \(n^2-1=4k^2+4k=4k(k+1)\). Comme \(k(k+1)\) est pair, \(n^2-1=8\times\frac{k(k+1)}2\).
🔢 3) \(n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)\) : \(n^2-1\) est multiple de \(8\) et \(n^2+1\) est pair (impair + 1), donc le produit est multiple de \(16\).
🔢 4) \(n^2+m^2+6=(n^2-1)+(m^2-1)+8\) : somme de trois multiples de \(8\).
✅ Les quatre propriétés sont démontrées.
3) Montrer que \(n^4-n^2\) est un multiple de \(4\) (\(n\in\mathbb N^*\)).
Correction détaillée
🔢 \(n^4-n^2=n^2(n^2-1)\). Si \(n\) est pair, \(n^2\) est multiple de \(4\). Si \(n\) est impair, \(n^2-1\) est multiple de \(8\), donc de \(4\).
✅ \(n^4-n^2\) est un multiple de \(4\).
4) Montrer que \(A=n^4-n^2+16\) est un multiple de \(4\) (\(n\in\mathbb N\)).
Correction détaillée
🔢 \(n^4-n^2\) est multiple de \(4\) (question précédente) et \(16=4\times4\).
✅ \(A\) est un multiple de \(4\).
5) Montrer que \(B=5^{n+2}-5^n\) est un multiple de \(3\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 \(B=5^n(5^2-1)=24\times5^n=3\times(8\times5^n)\).
✅ \(B\) est un multiple de \(3\) (même de \(24\)).
6) Montrer que \(36\times5\times7+27\) est un multiple de \(9\).
Correction détaillée
🔢 \(36\times5\times7+27=9\times(4\times35)+9\times3=9\times(140+3)=9\times143\).
✅ C’est un multiple de \(9\).
7) Soit \(k\) un entier naturel. Montrer que :
1) \(A=7k^2+21k+35\) est un multiple de \(7\) ;
2) \(B=(2k-6)^2+8k+k(k+1)\) est pair ;
3) \(C=(4k-10)^2+4k+(k(k-1))^2\) est divisible par \(4\).
1) \(A=7k^2+21k+35\) est un multiple de \(7\) ;
2) \(B=(2k-6)^2+8k+k(k+1)\) est pair ;
3) \(C=(4k-10)^2+4k+(k(k-1))^2\) est divisible par \(4\).
Correction détaillée
🔢 1) \(A=7(k^2+3k+5)\).
🔢 2) \((2k-6)^2=4(k-3)^2\) pair, \(8k\) pair, \(k(k+1)\) pair : somme paire.
🔢 3) \((4k-10)^2=4(2k-5)^2\) multiple de \(4\) ; \(4k\) multiple de \(4\) ; \(k(k-1)\) est pair donc \((k(k-1))^2\) est multiple de \(4\).
✅ \(A\) multiple de \(7\) ; \(B\) pair ; \(C\) divisible par \(4\).
Exercice 4.2
Montrer que… est un multiple de … (suite)
1) Soit \(\overline{xy}\) un entier à deux chiffres (\(y\) chiffre des unités, \(x\) des dizaines). Montrer que \(\overline{xy}+\overline{yx}\) est divisible par \(11\).
Correction détaillée
🔢 \(\overline{xy}+\overline{yx}=10x+y+10y+x=11x+11y=11(x+y)\).
✅ La somme est divisible par \(11\).
2) Soit \(N=\overline{xyz}=100x+10y+z\).
1) Montrer que \(n=\overline{xyz}-\overline{zyx}\) (\(x>z\)) est un multiple de \(99\).
2) Montrer que si \(x+y+z=9\), alors \(N\) est divisible par \(9\).
3) Montrer que si \(y=x+z\), alors \(N\) est divisible par \(11\).
1) Montrer que \(n=\overline{xyz}-\overline{zyx}\) (\(x>z\)) est un multiple de \(99\).
2) Montrer que si \(x+y+z=9\), alors \(N\) est divisible par \(9\).
3) Montrer que si \(y=x+z\), alors \(N\) est divisible par \(11\).
Correction détaillée
🔢 1) \(n=100x+10y+z-100z-10y-x=99x-99z=99(x-z)\).
🔢 2) \(N=99x+9y+(x+y+z)=9(11x+y)+9=9(11x+y+1)\).
🔢 3) \(N=100x+10(x+z)+z=110x+11z=11(10x+z)\).
✅ Les trois propriétés sont démontrées.
3) Soit \(\overline{xyz}=100x+10y+z\).
1) Montrer que si \(x+y+z\) est un multiple de \(3\), alors \(\overline{xyz}\) est un multiple de \(3\).
2) Montrer que si \(y=x+z\), alors \(\overline{xyz}\) est un multiple de \(11\).
3) Parmi \(675\) ; \(198\) ; \(831\) ; \(963\) ; \(297\) ; \(673\), déterminer les multiples de \(3\) et de \(11\).
1) Montrer que si \(x+y+z\) est un multiple de \(3\), alors \(\overline{xyz}\) est un multiple de \(3\).
2) Montrer que si \(y=x+z\), alors \(\overline{xyz}\) est un multiple de \(11\).
3) Parmi \(675\) ; \(198\) ; \(831\) ; \(963\) ; \(297\) ; \(673\), déterminer les multiples de \(3\) et de \(11\).
Correction détaillée
🔢 1) \(\overline{xyz}=99x+9y+(x+y+z)\) : somme de multiples de \(3\).
🔢 2) \(\overline{xyz}=11(10x+z)\).
🔢 3) Sommes des chiffres : \(18,18,12,18,18,16\) : multiples de \(3\) : \(675,198,831,963,297\). Pour \(11\), on teste \(x-y+z\) (multiple de \(11\)) : \(4,0,6,6,0,2\) : \(198\) et \(297\) (\(198=11\times18\), \(297=11\times27\)).
✅ Multiples de \(3\) : \(675,198,831,963,297\) ; multiples de \(11\) : \(198,297\) ; multiples de \(3\) et \(11\) : \(198\) et \(297\).
4) Montrer que \(499999^2+999999\) est divisible par \(25\).
Correction détaillée
🔢 \(999999=2\times499999+1\), donc \(499999^2+999999=(499999+1)^2=500000^2=25\times10^{10}\).
✅ Le nombre est divisible par \(25\).
5) Montrer que la somme de cinq entiers naturels consécutifs est divisible par \(5\).
Correction détaillée
🔢 \(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10=5(n+2)\).
✅ La somme est divisible par \(5\).
6) Soient \(n,m,k\) des entiers naturels. Montrer que si \(3n+2m\) et \(7n+5m\) sont des multiples de \(k\), alors \(n\) et \(m\) sont des multiples de \(k\).
Correction détaillée
🔢 On écrit \(3n+2m=ka\) et \(7n+5m=kb\).
🔢 \(5(3n+2m)-2(7n+5m)=n\), donc \(n=k(5a-2b)\). \(3(7n+5m)-7(3n+2m)=m\), donc \(m=k(3b-7a)\).
✅ \(n\) et \(m\) sont des multiples de \(k\).
7) Soient \(n\) et \(k\) deux entiers naturels.
1) Si \(n=5k+1\) ou \(n=5k+4\), vérifier que \(n^2-1\) est divisible par \(5\).
2) Si \(n=5k+2\) ou \(n=5k+3\), vérifier que \(n^2+1\) est divisible par \(5\).
3) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(n(n^4-1)\) est divisible par \(5\).
1) Si \(n=5k+1\) ou \(n=5k+4\), vérifier que \(n^2-1\) est divisible par \(5\).
2) Si \(n=5k+2\) ou \(n=5k+3\), vérifier que \(n^2+1\) est divisible par \(5\).
3) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(n(n^4-1)\) est divisible par \(5\).
Correction détaillée
🔢 1) \((5k+1)^2-1=5(5k^2+2k)\) ; \((5k+4)^2-1=25k^2+40k+15=5(5k^2+8k+3)\).
🔢 2) \((5k+2)^2+1=25k^2+20k+5=5(5k^2+4k+1)\) ; \((5k+3)^2+1=25k^2+30k+10=5(5k^2+6k+2)\).
🔢 3) \(n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)\). Selon le reste de \(n\) dans la division par \(5\) : reste \(0\) : \(n\) est multiple de \(5\) ; reste \(1\) ou \(4\) : \(n^2-1\) l’est ; reste \(2\) ou \(3\) : \(n^2+1\) l’est.
✅ \(n(n^4-1)\) est divisible par \(5\).
8) Soit \(n\) un entier naturel non nul. Montrer que :
1) \(n(n^2-1)\) est divisible par \(3\) ;
2) \(n^2(n^2-1)\) est divisible par \(4\).
1) \(n(n^2-1)\) est divisible par \(3\) ;
2) \(n^2(n^2-1)\) est divisible par \(4\).
Correction détaillée
🔢 1) \(n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)\) : parmi trois entiers consécutifs, l’un est multiple de \(3\).
🔢 2) Si \(n\) est pair, \(n^2\) est multiple de \(4\) ; si \(n\) est impair, \(n^2-1\) est multiple de \(8\).
✅ Les deux propriétés sont démontrées.
9) Soit \(n\in\mathbb N\) et \(F=7^{n+3}\times3^{n+1}-49\). Montrer que \(F\) est divisible par \(98\).
Correction détaillée
🔢 \(7^{n+3}\times3^{n+1}=7^2\times3\times7\times7^{n}\times3^{n}=49\times21^{n+1}\).
🔢 \(F=49(21^{n+1}-1)\). \(21^{n+1}\) est impair, donc \(21^{n+1}-1\) est pair : \(F=49\times2\times k=98k\).
✅ \(F\) est divisible par \(98\).
Exercice 4.3
Division euclidienne et restes
1) Déterminer le reste de la division euclidienne de \(13^{10}+3\) par \(13\).
Correction détaillée
🔢 \(13^{10}\) est un multiple de \(13\) ; donc \(13^{10}+3=13q+3\) avec \(3<13\).
✅ Le reste est \(3\).
2) Déterminer le reste de la division euclidienne de \((17^{13}+5)^2\) par \(17\).
Correction détaillée
🔢 \((17^{13}+5)^2=17^{26}+10\times17^{13}+25\). \(17^{26}\) et \(10\times17^{13}\) sont des multiples de \(17\) ; \(25=17+8\).
✅ Le reste est \(8\).
3) Le reste de la division euclidienne d’un entier naturel \(X\) par \(12\) est \(6\). Quel est le reste de la division de \(X\) par \(4\) ; \(3\) ; \(2\) ?
Correction détaillée
🔢 \(X=12q+6\). Par \(4\) : \(X=4(3q+1)+2\) ; par \(3\) : \(X=3(4q+2)\) ; par \(2\) : \(X=2(6q+3)\).
✅ Restes : \(2\) (par \(4\)) ; \(0\) (par \(3\)) ; \(0\) (par \(2\)).
4) Développer \((10^6-1)^3\) et en déduire le reste de la division de \(999999^3\) par \(5\).
Correction détaillée
🔢 \((10^6-1)^3=10^{18}-3\times10^{12}+3\times10^6-1\).
🔢 \(10^{18}-3\times10^{12}+3\times10^6\) est un multiple de \(5\) (chaque terme est multiple de \(10\)). Donc \(999999^3=5q-1=5(q-1)+4\).
✅ Le reste est \(4\).
Exercice 5.1
Déterminer des multiples communs
1) Déterminer les multiples communs de \(a\) et \(b\) : \(a=37\), \(b=79\) ; \(a=65\), \(b=42\) ; \(a=70\), \(b=14\) ; \(a=46\), \(b=76\).
Correction détaillée
📘 Méthode : un nombre est multiple commun de \(a\) et \(b\) si et seulement s’il est multiple de \(PPCM(a;b)\).
🔢 Les multiples communs de \(a\) et \(b\) sont les multiples de \(PPCM(a;b)\).
🔢 \(37\) est premier et \(79\) est premier : \(PPCM(37;79)=2923\). (\(37\) et \(79\) sont premiers)
🔢 \(65=5\times13\) et \(42=2\times3\times7\) : \(PPCM(65;42)=2730\).
🔢 \(70=2\times5\times7\) et \(14=2\times7\) : \(PPCM(70;14)=70\).
🔢 \(46=2\times23\) et \(76=2^{2}\times19\) : \(PPCM(46;76)=1748\).
✅ Multiples de \(2923\) ; de \(2730\) ; de \(70\) ; de \(1748\) respectivement.
2) Chercher les multiples de \(15\) qui sont aussi multiples de \(22\) ; de \(30\) ; de \(99\).
Correction détaillée
🔢 \(15=3\times5\), \(22=2\times11\) : \(PPCM=330\). \(30=2\times3\times5\) : \(PPCM(15;30)=30\). \(99=3^2\times11\) : \(PPCM(15;99)=3^2\times5\times11=495\).
✅ Multiples de \(330\) ; multiples de \(30\) ; multiples de \(495\).
3) Les élèves d’un établissement peuvent être répartis en classes contenant le même nombre d’élèves : ce nombre peut être \(24\), \(28\) ou \(36\). Déterminer le nombre d’élèves de cet établissement sachant qu’il est compris entre \(1500\) et \(2000\).
Correction détaillée
🔢 Le nombre \(N\) est un multiple commun de \(24=2^3\times3\), \(28=2^2\times7\), \(36=2^2\times3^2\) : \(PPCM=2^3\times3^2\times7=504\).
🔢 \(N=504k\) avec \(1500\le N\le2000\) : \(504\times3=1512\) ; \(504\times4=2016>2000\).
✅ \(N=1512\) élèves.
Exercice 6.1
Déterminer le PPCM de deux nombres
1) Déterminer le plus petit multiple commun de \(x\) et \(y\) dans chaque cas : \(x=75,y=325\) ; \(x=330,y=420\) ; \(x=214,y=816\) ; \(x=575,y=1275\) ; \(x=132,y=666\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(PPCM(a;b)=\dfrac{a\times b}{PGCD(a;b)}\), ou on prend tous les facteurs premiers avec leur plus grand exposant.
🔢 \(75=3\times5^{2}\) et \(325=5^{2}\times13\) : \(PPCM(75;325)=975\).
🔢 \(330=2\times3\times5\times11\) et \(420=2^{2}\times3\times5\times7\) : \(PPCM(330;420)=4620\).
🔢 \(214=2\times107\) et \(816=2^{4}\times3\times17\) : \(PPCM(214;816)=87312\).
🔢 \(575=5^{2}\times23\) et \(1275=3\times5^{2}\times17\) : \(PPCM(575;1275)=29325\).
🔢 \(132=2^{2}\times3\times11\) et \(666=2\times3^{2}\times37\) : \(PPCM(132;666)=14652\).
✅ \(975\) ; \(4620\) ; \(87312\) ; \(29325\) ; \(14652\).
2) Déterminer le PPCM des nombres \(a\) et \(b\) : \(a=27,b=42\) ; \(a=72,b=35\) ; \(a=19,b=37\) ; \(a=81,b=126\) ; \(a=35,b=72\).
Correction détaillée
🔢 \(27=3^{3}\) et \(42=2\times3\times7\) : \(PPCM(27;42)=378\).
🔢 \(72=2^{3}\times3^{2}\) et \(35=5\times7\) : \(PPCM(72;35)=2520\).
🔢 \(19\) est premier et \(37\) est premier : \(PPCM(19;37)=703\).
🔢 \(81=3^{4}\) et \(126=2\times3^{2}\times7\) : \(PPCM(81;126)=1134\).
🔢 \(35=5\times7\) et \(72=2^{3}\times3^{2}\) : \(PPCM(35;72)=2520\).
✅ \(378\) ; \(2520\) ; \(703\) ; \(1134\) ; \(2520\).
3) Déterminer le plus petit multiple commun de \(a\) et \(b\) : \(a=12,b=8\) ; \(a=9,b=4\) ; \(a=5,b=20\).
Correction détaillée
🔢 \(12=2^{2}\times3\) et \(8=2^{3}\) : \(PPCM(12;8)=24\).
🔢 \(9=3^{2}\) et \(4=2^{2}\) : \(PPCM(9;4)=36\).
🔢 \(20\) est multiple de \(5\) : \(PPCM(5;20)=20\).
✅ \(24\) ; \(36\) ; \(20\).
⚠️ L’énoncé dit « grand multiple commun » : il n’en existe pas (il y en a une infinité) ; j’ai lu « plus petit multiple commun ».
4) Calculer \(PPCM(255;165)\). Utiliser ce PPCM pour calculer \(A=\dfrac1{165}+\dfrac1{255}\).
Correction détaillée
🔢 \(255=3\times5\times17\) et \(165=3\times5\times11\) : \(PPCM(255;165)=2805\).
🔢 \(2805=165\times17=255\times11\), donc \(A=\dfrac{17}{2805}+\dfrac{11}{2805}=\dfrac{28}{2805}\).
✅ \(PPCM(255;165)=2805\) et \(A=\dfrac{28}{2805}\).
5) Deux voitures partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours d’un même circuit. La voiture A fait le tour en \(36\) minutes et la voiture B en \(30\) minutes.
1) Y a-t-il des moments (autres que le départ) où les voitures se croisent sur la ligne de départ ?
2) Préciser le nombre de tours de chaque voiture entre deux passages simultanés.
1) Y a-t-il des moments (autres que le départ) où les voitures se croisent sur la ligne de départ ?
2) Préciser le nombre de tours de chaque voiture entre deux passages simultanés.
Correction détaillée
🔢 1) Les voitures passent ensemble sur la ligne aux instants multiples de \(36\) et de \(30\) : multiples de \(PPCM(36;30)=180\) minutes.
🔢 2) Entre deux passages simultanés (\(180\) min) : voiture A : \(180\div36=5\) tours ; voiture B : \(180\div30=6\) tours.
✅ Oui, toutes les \(180\) minutes (\(3\) h) ; A fait \(5\) tours et B \(6\) tours.
6) Sur la côte de Larache, un phare maritime émet indépendamment des signaux rouges et verts : un signal rouge toutes les \(10\) secondes et un signal vert toutes les \(14\) secondes. Les deux signaux sont émis tous les deux à \(7\) h du soir pour la première fois.
1) Après quel intervalle de temps le phare émet-il les deux signaux en même temps pour la deuxième fois ?
2) Combien de fois le phare émet-il les deux signaux en même temps pendant l’intervalle \([7\text{ h};8\text{ h }3\text{ min}]\) ?
1) Après quel intervalle de temps le phare émet-il les deux signaux en même temps pour la deuxième fois ?
2) Combien de fois le phare émet-il les deux signaux en même temps pendant l’intervalle \([7\text{ h};8\text{ h }3\text{ min}]\) ?
Correction détaillée
🔢 1) \(PPCM(10;14)=70\) : les deux signaux coïncident toutes les \(70\) secondes.
🔢 2) De \(7\) h à \(8\) h \(3\) min il y a \(63\) min \(=3780\) s. \(3780\div70=54\) : coïncidences aux instants \(70k\) s avec \(k=0,1,\ldots,54\).
✅ 1) \(70\) secondes ; 2) \(55\) fois (en comptant l’émission de \(7\) h et celle de \(8\) h \(3\) min).
⚠️ J’ai compté la coïncidence de départ (\(7\) h) ; sans elle on obtient \(54\).
7) Soient \(m\) et \(n\) deux entiers naturels tels que \(PGCD(m;n)=24\) et \(n\le m\). Soit \(m\times n=3456\). Calculer \(PPCM(m;n)\) puis conclure pour \(n\) et \(m\).
Correction détaillée
🔢 \(PGCD\times PPCM=m\times n\), donc \(PPCM=\dfrac{3456}{24}=144\).
🔢 \(m=24a\), \(n=24b\) avec \(a\wedge b=1\) et \(ab=\dfrac{144}{24}=6\), \(a\ge b\) : \((a;b)=(6;1)\) ou \((3;2)\).
✅ \((m;n)=(144;24)\) ou \((72;48)\).
Exercice 7.1
Déterminer les diviseurs d’un nombre
1) Donner les diviseurs de chacun des nombres \(8\) ; \(36\) ; \(24\) ; \(30\) ; \(2\) et \(5\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on teste tous les entiers \(d\) avec \(d\le\sqrt n\) ; chaque diviseur \(d\) trouvé donne le diviseur \(\frac nd\).
🔢 \(D_{8}=\{1;2;4;8\}\) (4 diviseurs)
🔢 \(D_{36}=\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\}\) (9 diviseurs)
🔢 \(D_{24}=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}\) (8 diviseurs)
🔢 \(D_{30}=\{1;2;3;5;6;10;15;30\}\) (8 diviseurs)
🔢 \(D_{2}=\{1;2\}\) (2 diviseurs)
🔢 \(D_{5}=\{1;5\}\) (2 diviseurs)
✅ \(D_{8}=\{1;2;4;8\}\) ; \(D_{36}=\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\}\) ; \(D_{24}=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}\) ; \(D_{30}=\{1;2;3;5;6;10;15;30\}\) ; \(D_{2}=\{1;2\}\) ; \(D_{5}=\{1;5\}\).
2) Déterminer les diviseurs de \(28\). Montrer que la somme des inverses de ces diviseurs est un entier naturel.
Correction détaillée
🔢 \(D_{28}=\{1;2;4;7;14;28\}\).
🔢 \(1+\frac12+\frac14+\frac17+\frac1{14}+\frac1{28}=\dfrac{28+14+7+4+2+1}{28}=\dfrac{56}{28}=2\).
✅ \(D_{28}=\{1;2;4;7;14;28\}\) et la somme des inverses vaut \(2\in\mathbb N\).
3) Déterminer les diviseurs de \(1470\).
Correction détaillée
🔢 \(1470=2\times3\times5\times7^2\) : \(2\times2\times2\times3=24\) diviseurs.
🔢 \(D_{1470}=\{1;2;3;5;6;7;10;14;15;21;30;35;42;49;70;98;105;147;210;245;294;490;735;1470\}\)
✅ \(D_{1470}=\{1;2;3;5;6;7;10;14;15;21;30;35;42;49;70;98;105;147;210;245;294;490;735;1470\}\).
4) Déterminer l’ensemble des diviseurs de \(12\).
Correction détaillée
🔢 \(D_{12}=\{1;2;3;4;6;12\}\)
✅ \(D_{12}=\{1;2;3;4;6;12\}\).
5) Déterminer les diviseurs de \(15\). En déduire les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \((x+3)(y+1)=15\). Déterminer les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \(xy+x+3y=12\).
Correction détaillée
🔢 \(D_{15}=\{1;3;5;15\}\).
🔢 \(x+3\ge3\) est un diviseur de \(15\) : \(x+3\in\{3;5;15\}\), d’où \(y+1\in\{5;3;1\}\) : \((x;y)=(0;4),(2;2),(12;0)\).
🔢 \(xy+x+3y=12\iff xy+x+3y+3=15\iff(x+3)(y+1)=15\) : mêmes solutions.
✅ \(S=\{(0;4),(2;2),(12;0)\}\) pour les deux équations.
6) Déterminer tous les diviseurs du nombre \(26\). En déduire tous les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \((x+1)(y+2)=26\). Déterminer tous les entiers naturels \(x,y\) tels que \((x+1)(y+1)=17\).
Correction détaillée
🔢 \(D_{26}=\{1;2;13;26\}\).
🔢 \(y+2\ge2\) : \(y+2\in\{2;13;26\}\), \(x+1\in\{13;2;1\}\) : \((x;y)=(12;0),(1;11),(0;24)\).
🔢 \(17\) est premier : \(D_{17}=\{1;17\}\) : \((x+1;y+1)=(1;17)\) ou \((17;1)\).
✅ \((x+1)(y+2)=26\) : \(\{(12;0),(1;11),(0;24)\}\) ; \((x+1)(y+1)=17\) : \(\{(0;16),(16;0)\}\).
7) Soit, dans \(\mathbb N^2\), le système \((I)\) : \((x-3)(y-2)=12\) (a) et \(x<y+1\) (b).
a) Montrer que \(x-3<y-2\).
b) Résoudre le système \((I)\).
a) Montrer que \(x-3<y-2\).
b) Résoudre le système \((I)\).
Correction détaillée
🔢 a) \(x<y+1\iff x-3<y+1-3=y-2\).
🔢 b) \(u=x-3\ge-3\), \(v=y-2\ge-2\), \(uv=12\), \(u<v\). Les produits négatifs sont impossibles (\(uv>0\)) ; avec \(u,v<0\) on aurait \(u\ge-3\), \(v\ge-2\) et \(uv\le6<12\). Donc \(u,v>0\) : \((u;v)=(1;12),(2;6),(3;4)\).
✅ \((x;y)\in\{(4;14),(5;8),(6;6)\}\).
Exercice 7.2
Déterminer les diviseurs d’un nombre (suite)
1) Décomposer \(60\) en produit de facteurs premiers et en déduire tous ses diviseurs.
Correction détaillée
🔢 \(60=2^2\times3\times5\) : \((2+1)(1+1)(1+1)=12\) diviseurs.
🔢 \(D_{60}=\{1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60\}\)
✅ \(D_{60}=\{1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60\}\).
2) Décomposer \(1344\) en produit de facteurs premiers et en déduire le nombre de diviseurs de \(1344\).
Correction détaillée
📘 Méthode : si \(n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}\), le nombre de diviseurs est \((a_1+1)\cdots(a_k+1)\).
🔢 \(1344=2^6\times3\times7\).
🔢 Nombre de diviseurs : \((6+1)(1+1)(1+1)=28\).
✅ \(1344=2^6\times3\times7\) a \(28\) diviseurs.
3) On pose \(A=2\times3^2\times7^3\).
1) Déterminer le nombre de diviseurs de \(A\).
2) Déterminer les diviseurs de \(A\).
1) Déterminer le nombre de diviseurs de \(A\).
2) Déterminer les diviseurs de \(A\).
Correction détaillée
🔢 1) \((1+1)(2+1)(3+1)=24\) diviseurs.
🔢 2) \(A=6174\) et \(D_{6174}=\{1;2;3;6;7;9;14;18;21;42;49;63;98;126;147;294;343;441;686;882;1029;2058;3087;6174\}\)
✅ \(24\) diviseurs : \(D_{6174}=\{1;2;3;6;7;9;14;18;21;42;49;63;98;126;147;294;343;441;686;882;1029;2058;3087;6174\}\).
4) Soient \(x=4n+3\) et \(y=6n+2\). Calculer \(x\) et \(y\) pour \(n=7\), puis déduire les diviseurs et les multiples de \(x\) et de \(y\).
Correction détaillée
🔢 \(x=31\) et \(y=44\).
🔢 \(31\) est premier : diviseurs \(1;31\), multiples \(31k\). \(44=2^2\times11\) : diviseurs \(1;2;4;11;22;44\), multiples \(44k\) (\(k\in\mathbb N\)).
✅ \(x=31\), \(D_{31}=\{1;31\}\) ; \(y=44\), \(D_{44}=\{1;2;4;11;22;44\}\).
Exercice 8.1
Montrer qu’un nombre divise un autre
1) On pose \(x=3\times5\times7\times12\) et \(y=2\times5\times3\times5\). Sans calculer \(x\) et \(y\), montrer que :
1) \(75\) divise \(y\) ;
2) \(105\) divise \(x\).
1) \(75\) divise \(y\) ;
2) \(105\) divise \(x\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(a\) divise \(b\) si \(b=a\times k\) avec \(k\in\mathbb N\) ; avec les décompositions, il suffit de comparer les exposants.
🔢 1) \(y=2\times3\times5^2\) et \(75=3\times5^2\) : \(y=75\times2\).
🔢 2) \(105=3\times5\times7\) et \(x=(3\times5\times7)\times12\) : \(x=105\times12\).
✅ \(75\mid y\) et \(105\mid x\).
2) Déterminer la valeur de \(n\) telle que \(n+4\) divise \(n+17\).
Correction détaillée
🔢 \(n+17=(n+4)+13\). Si \(n+4\) divise \(n+17\), alors \(n+4\) divise \(13\).
🔢 \(n+4\ge4\) et \(D_{13}=\{1;13\}\) : \(n+4=13\), donc \(n=9\). Vérification : \(13\mid26\).
✅ \(n=9\).
3) Soit \(n\in\mathbb N^*\).
1) Montrer que \(n^3-n=(n+2)(n^2-2n+3)-6\).
2) En déduire les valeurs de \(n\) telles que \(\dfrac{n^3-n}{n+2}\in\mathbb N\).
1) Montrer que \(n^3-n=(n+2)(n^2-2n+3)-6\).
2) En déduire les valeurs de \(n\) telles que \(\dfrac{n^3-n}{n+2}\in\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 1) \((n+2)(n^2-2n+3)=n^3-2n^2+3n+2n^2-4n+6=n^3-n+6\).
🔢 2) \(\dfrac{n^3-n}{n+2}=n^2-2n+3-\dfrac6{n+2}\) : il faut que \(n+2\) divise \(6\). Comme \(n+2\ge3\) : \(n+2\in\{3;6\}\), soit \(n=1\) ou \(n=4\).
🔢 Vérification : \(n=1\) : \(\frac03=0\in\mathbb N\) ; \(n=4\) : \(\frac{60}6=10\in\mathbb N\).
✅ \(n=1\) ou \(n=4\).
4) Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p>3\).
1) Montrer que \(3\mid p^2-1\).
2) Montrer que \(8\mid p^2-1\).
3) On admet que si \(N\) est divisible par \(p\) et \(q\) avec \(p\wedge q=1\), alors \(N\) est divisible par \(pq\). En déduire que \(24\mid p^2-1\).
1) Montrer que \(3\mid p^2-1\).
2) Montrer que \(8\mid p^2-1\).
3) On admet que si \(N\) est divisible par \(p\) et \(q\) avec \(p\wedge q=1\), alors \(N\) est divisible par \(pq\). En déduire que \(24\mid p^2-1\).
Correction détaillée
🔢 1) \(p\) n’est pas multiple de \(3\), donc \(p=3k+1\) ou \(3k+2\). \(p^2-1=(p-1)(p+1)\) : si \(p=3k+1\), \(p-1=3k\) ; si \(p=3k+2\), \(p+1=3(k+1)\).
🔢 2) \(p\) est premier \(>3\) donc impair : \(p^2-1\) est multiple de \(8\) (voir « \(n\) impair »).
🔢 3) \(3\wedge8=1\) : \(p^2-1\) est divisible par \(3\times8=24\).
✅ \(3\mid p^2-1\), \(8\mid p^2-1\) et \(24\mid p^2-1\).
Exercice 9.1
Diviseurs communs et PGCD
1) Déterminer les diviseurs communs de \(a\) et \(b\) : \(a=54,b=42\) ; \(a=336,b=80\) ; \(a=35,b=72\) ; \(a=83,b=67\).
Correction détaillée
📘 Méthode : les diviseurs communs de \(a\) et \(b\) sont exactement les diviseurs de \(PGCD(a;b)\).
🔢 Les diviseurs communs sont les diviseurs du PGCD.
🔢 \(54=2\times3^{3}\) et \(42=2\times3\times7\) : \(PGCD(54;42)=6\). Donc \(D=\{1;2;3;6\}\).
🔢 \(336=2^{4}\times3\times7\) et \(80=2^{4}\times5\) : \(PGCD(336;80)=16\). Donc \(D=\{1;2;4;8;16\}\).
🔢 \(35=5\times7\) et \(72=2^{3}\times3^{2}\) : \(PGCD(35;72)=1\). Donc seul \(1\).
🔢 \(83\) est premier et \(67\) est premier : \(PGCD(83;67)=1\). (\(83\) et \(67\) sont premiers). Donc seul \(1\).
✅ \(\{1;2;3;6\}\) ; \(\{1;2;4;8;16\}\) ; \(\{1\}\) ; \(\{1\}\).
2) Dresser la liste des diviseurs de \(420\) puis celle des diviseurs de \(1386\). Dresser la liste des diviseurs communs. Calculer le PGCD de \(420\) et \(1386\). Quels sont les diviseurs de ce PGCD ?
Correction détaillée
🔢 \(420=2^2\times3\times5\times7\) : \(D_{420}=\{1;2;3;4;5;6;7;10;12;14;15;20;21;28;30;35;42;60;70;84;105;140;210;420\}\)
🔢 \(1386=2\times3^2\times7\times11\) : \(D_{1386}=\{1;2;3;6;7;9;11;14;18;21;22;33;42;63;66;77;99;126;154;198;231;462;693;1386\}\)
🔢 Diviseurs communs : \(1;2;3;6;7;14;21;42\). \(PGCD=2\times3\times7=42\) et \(D_{42}=\{1;2;3;6;7;14;21;42\}\) : ce sont les diviseurs communs.
✅ \(PGCD(420;1386)=42\) ; diviseurs communs = diviseurs de \(42\).
3) Déterminer le plus grand diviseur commun de \(x\) et \(y\) : \(x=75,y=325\) ; \(x=330,y=420\) ; \(x=214,y=816\) ; \(x=575,y=1275\) ; \(x=132,y=666\).
Correction détaillée
🔢 \(75=3\times5^{2}\) et \(325=5^{2}\times13\) : \(PGCD(75;325)=25\).
🔢 \(330=2\times3\times5\times11\) et \(420=2^{2}\times3\times5\times7\) : \(PGCD(330;420)=30\).
🔢 \(214=2\times107\) et \(816=2^{4}\times3\times17\) : \(PGCD(214;816)=2\).
🔢 \(575=5^{2}\times23\) et \(1275=3\times5^{2}\times17\) : \(PGCD(575;1275)=25\).
🔢 \(132=2^{2}\times3\times11\) et \(666=2\times3^{2}\times37\) : \(PGCD(132;666)=6\).
✅ \(25\) ; \(30\) ; \(2\) ; \(25\) ; \(6\).
4) En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le plus grand diviseur commun de \(x\) et \(y\) : \(x=837,y=1085\) ; \(x=5128,y=9615\) ; \(x=1789,y=1515\).
Correction détaillée
🔢 Algorithme d’Euclide : \(1085=837\times1+248\) ; \(837=248\times3+93\) ; \(248=93\times2+62\) ; \(93=62\times1+31\) ; \(62=31\times2+0\). Le dernier reste non nul est \(31\) : \(PGCD(837;1085)=31\).
🔢 Algorithme d’Euclide : \(9615=5128\times1+4487\) ; \(5128=4487\times1+641\) ; \(4487=641\times7+0\). Le dernier reste non nul est \(641\) : \(PGCD(5128;9615)=641\).
🔢 Algorithme d’Euclide : \(1789=1515\times1+274\) ; \(1515=274\times5+145\) ; \(274=145\times1+129\) ; \(145=129\times1+16\) ; \(129=16\times8+1\) ; \(16=1\times16+0\). Le dernier reste non nul est \(1\) : \(PGCD(1789;1515)=1\).
✅ \(31\) ; \(641\) ; \(1\).
⚠️ L’énoncé dit « plus petit diviseur commun » (qui vaudrait toujours \(1\)) : j’ai lu « plus grand » (PGCD).
5) Déterminer le PGCD de \(103\,950\) et \(8\,820\) par la méthode d’Euclide, puis le PGCD de \(a=2^2\times3^2\times5^9\) et \(b=2\times3^4\times5^2\times7^3\).
Correction détaillée
🔢 Algorithme d’Euclide : \(103950=8820\times11+6930\) ; \(8820=6930\times1+1890\) ; \(6930=1890\times3+1260\) ; \(1890=1260\times1+630\) ; \(1260=630\times2+0\). Le dernier reste non nul est \(630\) : \(PGCD(103950;8820)=630\).
🔢 \(PGCD(a;b)=2^{1}\times3^{2}\times5^{2}=450\) (plus petits exposants).
✅ \(PGCD(103950;8820)=630\) ; \(PGCD(a;b)=450\).
6) Déterminer \(PGCD(1240;1488)\). Écrire le nombre \(\dfrac{1240}{1488}\) sous forme irréductible.
Correction détaillée
🔢 Algorithme d’Euclide : \(1488=1240\times1+248\) ; \(1240=248\times5+0\). Le dernier reste non nul est \(248\) : \(PGCD(1240;1488)=248\).
🔢 \(\dfrac{1240}{1488}=\dfrac{1240\div248}{1488\div248}=\dfrac56\).
✅ \(PGCD=248\) et \(\dfrac{1240}{1488}=\dfrac56\).
7) Déterminer \((360\wedge123)\) avec la méthode de l’algorithme d’Euclide.
Correction détaillée
🔢 Algorithme d’Euclide : \(360=123\times2+114\) ; \(123=114\times1+9\) ; \(114=9\times12+6\) ; \(9=6\times1+3\) ; \(6=3\times2+0\). Le dernier reste non nul est \(3\) : \(PGCD(360;123)=3\).
✅ \(360\wedge123=3\).
8) Une pièce d’or a pour longueur \(280\) cm et pour largeur \(210\) cm. On veut découper cette pièce sous forme de carrés identiques de dimensions entières, en en obtenant le maximum possible et sans perte. Déterminer le côté des pièces carrées et calculer leur nombre.
Correction détaillée
🔢 Le côté \(c\) divise \(280\) et \(210\) et doit être le plus grand possible : \(c=PGCD(280;210)\). \(280=2^3\times5\times7\), \(210=2\times3\times5\times7\) : \(c=70\).
🔢 Nombre de carrés : \(\dfrac{280}{70}\times\dfrac{210}{70}=4\times3=12\).
✅ Le côté est \(70\) cm et on obtient \(12\) carrés.
Exercice 9.2
PGCD et PPCM par décomposition
1) Déterminer le PGCD et le PPCM des entiers \(a\) et \(b\) : \(a=125,b=650\) ; \(a=660,b=210\) ; \(a=107,b=408\) ; \(a=1150,b=1250\).
Correction détaillée
📘 Méthode : PGCD = facteurs communs aux plus petits exposants ; PPCM = tous les facteurs aux plus grands exposants ; \(PGCD\times PPCM=a\times b\).
🔢 \(125=5^{3}\) et \(650=2\times5^{2}\times13\) : \(PGCD=25\) et \(PPCM=3250\).
🔢 \(660=2^{2}\times3\times5\times11\) et \(210=2\times3\times5\times7\) : \(PGCD=30\) et \(PPCM=4620\).
🔢 \(107\) est premier et \(408=2^{3}\times3\times17\) : \(PGCD=1\) et \(PPCM=43656\).
🔢 \(1150=2\times5^{2}\times23\) et \(1250=2\times5^{4}\) : \(PGCD=50\) et \(PPCM=28750\).
✅ \(25\) et \(3250\) ; \(30\) et \(4620\) ; \(1\) et \(43656\) ; \(50\) et \(28750\) respectivement.
2) Calculer en utilisant les décompositions en facteurs premiers : \(PGCD(48;72)\) et \(PPCM(48;72)\) ; \(PGCD(125;175)\) et \(PPCM(125;175)\) ; \(PGCD(74;185)\) et \(PPCM(74;185)\).
Correction détaillée
🔢 \(48=2^{4}\times3\) et \(72=2^{3}\times3^{2}\) : \(PGCD=24\) et \(PPCM=144\).
🔢 \(125=5^{3}\) et \(175=5^{2}\times7\) : \(PGCD=25\) et \(PPCM=875\).
🔢 \(74=2\times37\) et \(185=5\times37\) : \(PGCD=37\) et \(PPCM=370\).
✅ \(24\) et \(144\) ; \(25\) et \(875\) ; \(37\) et \(370\).
⚠️ Dans l’énoncé le troisième PPCM est écrit « \(PPMC(48;72)\) » : j’ai lu \(PPCM(74;185)\).
Exercice 9.3
Systèmes et nombres premiers entre eux
1) Résoudre dans \(\mathbb N^2\) le système : \(\begin{cases}a\wedge b=30\\ ab=2700\end{cases}\) ; puis \(\begin{cases}x\wedge y=5\\ x+y=15\end{cases}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : si \(a\wedge b=d\), on écrit \(a=da’\), \(b=db’\) avec \(a’\wedge b’=1\).
🔢 1) \(a=30a’\), \(b=30b’\) avec \(a’\wedge b’=1\) : \(ab=900a’b’=2700\) donc \(a’b’=3\) : \((a’;b’)=(1;3)\) ou \((3;1)\).
🔢 2) \(x=5x’\), \(y=5y’\) avec \(x’\wedge y’=1\) : \(x’+y’=3\) donc \((x’;y’)=(1;2)\) ou \((2;1)\).
✅ 1) \(\{(30;90),(90;30)\}\) ; 2) \(\{(5;10),(10;5)\}\).
2) Soient \(x<y\) deux entiers naturels. Déterminer les valeurs possibles de \(x\) et \(y\) sachant que \(x\wedge y=24\) et \(x\times y=2880\).
Correction détaillée
🔢 \(x=24a\), \(y=24b\), \(a\wedge b=1\), \(a<b\) : \(576ab=2880\) donc \(ab=5\) : \((a;b)=(1;5)\).
✅ \(x=24\) et \(y=120\).
3) Soient \(a,b\) deux entiers naturels tels que \(a\wedge b=18\) et \(a<b\).
1) Déterminer tous les diviseurs communs de \(a\) et \(b\).
2) Déterminer les facteurs premiers communs de \(a\) et \(b\).
3) Déterminer les valeurs possibles de \(a\) et \(b\) sachant que \(ab=1944\).
1) Déterminer tous les diviseurs communs de \(a\) et \(b\).
2) Déterminer les facteurs premiers communs de \(a\) et \(b\).
3) Déterminer les valeurs possibles de \(a\) et \(b\) sachant que \(ab=1944\).
Correction détaillée
🔢 1) Les diviseurs communs sont ceux de \(18\) : \(1;2;3;6;9;18\). 2) \(18=2\times3^2\) : facteurs communs \(2\) et \(3\).
🔢 3) \(a=18a’\), \(b=18b’\), \(a’\wedge b’=1\), \(324a’b’=1944\) donc \(a’b’=6\), \(a'<b’\) : \((1;6)\) ou \((2;3)\).
✅ \((a;b)=(18;108)\) ou \((36;54)\).
4) Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls tels que \(ab=a\vee b\). Montrer que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.
Correction détaillée
🔢 \(PGCD(a;b)\times PPCM(a;b)=ab\). Comme \(PPCM=ab\), \(PGCD(a;b)\times ab=ab\), donc \(PGCD(a;b)=1\).
✅ \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.
5) Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels premiers entre eux.
1) Montrer que \((a+b)\wedge b=1\) et \((a+b)\wedge ab=1\).
2)
a) Montrer que \((n+1)\wedge(n+2)=1\), puis en déduire que \(\dfrac{2n+3}{n^2+3n+2}\) ne peut pas être simplifiée.
b) Montrer que \(\dfrac{39}{380}\) ne peut pas être simplifiée.
1) Montrer que \((a+b)\wedge b=1\) et \((a+b)\wedge ab=1\).
2)
a) Montrer que \((n+1)\wedge(n+2)=1\), puis en déduire que \(\dfrac{2n+3}{n^2+3n+2}\) ne peut pas être simplifiée.
b) Montrer que \(\dfrac{39}{380}\) ne peut pas être simplifiée.
Correction détaillée
🔢 1) Si \(d\) divise \(a+b\) et \(b\), alors \(d\) divise \(a\) : \(d\mid a\wedge b=1\). Si un premier \(p\) divise \(a+b\) et \(ab\), il divise \(a\) ou \(b\) ; s’il divise \(a\), alors il divise \(b=(a+b)-a\), ce qui contredit \(a\wedge b=1\) (de même pour \(b\)).
🔢 2) a) Si \(d\mid n+1\) et \(d\mid n+2\), \(d\mid1\). Ensuite \(n^2+3n+2=(n+1)(n+2)\) et \(2n+3=(n+1)+(n+2)\) : d’après 1) avec \(a=n+1\), \(b=n+2\), \(\dfrac{2n+3}{(n+1)(n+2)}\) est irréductible.
🔢 b) \(39=3\times13\) et \(380=2^2\times5\times19\) n’ont aucun facteur commun.
✅ Les trois résultats sont démontrés.
6) Soient \(n\) et \(m\) deux entiers naturels tels que \(PGCD(m;n)=24\) et \(n\le m\). Déterminer les facteurs premiers communs de \(n\) et \(m\).
Correction détaillée
🔢 \(24=2^3\times3\) : les facteurs premiers communs sont ceux de \(PGCD\).
✅ Les facteurs premiers communs sont \(2\) et \(3\).
Exercice 10.1
Nombres premiers : reconnaître et démontrer
1) Déterminer les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(100\). En déduire le plus grand nombre premier inférieur à \(100\) et les nombres premiers inférieurs à \(60\).
Correction détaillée
📘 Méthode : un entier \(n\ge2\) est premier s’il n’est divisible par aucun nombre premier \(p\) tel que \(p^2\le n\).
🔢 On utilise le crible d’Ératosthène : on barre les multiples de \(2\), \(3\), \(5\), \(7\) (car \(11^2=121>100\)).
🔢 Les nombres premiers restants sont : 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97.
🔢 Parmi eux, ceux qui sont \(<60\) : 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59.
✅ \(25\) nombres premiers \(\le100\) ; le plus grand est \(97\).
2) Est-ce que les nombres suivants sont premiers ? Justifier : \(0\) ; \(1\) ; \(2\) ; \(17\) ; \(21\) ; \(41\) ; \(87\) ; \(105\) ; \(239\) ; \(2787\) ; \(191\) ; \(1004001\).
Correction détaillée
🔢 \(0\) et \(1\) ne sont pas premiers (un nombre premier a exactement deux diviseurs). \(2\), \(17\), \(41\) sont premiers.
🔢 \(21=3\times7\) ; \(87=3\times29\) ; \(105=3\times5\times7\) : non premiers. \(2787\) (somme des chiffres \(24\)) et \(1004001\) (somme \(6\)) sont divisibles par \(3\) : non premiers.
🔢 \(239\) : non divisible par \(2,3,5,7,11,13\) (\(13^2=169<239<17^2=289\)) : premier. \(191\) : non divisible par \(2,3,5,7,11,13\) : premier.
✅ Premiers : \(2\), \(17\), \(41\), \(239\), \(191\). Non premiers : \(0\), \(1\), \(21\), \(87\), \(105\), \(2787\), \(1004001\).
3) Vérifier si les nombres \(49\) ; \(239\) ; \(407\) ; \(387\) ; \(1559\) ; \(8367\) sont premiers.
Correction détaillée
🔢 \(49=7^2\) ; \(407=11\times37\) ; \(387=3^2\times43\) ; \(8367\) (somme des chiffres \(24\)) divisible par \(3\) : non premiers.
🔢 \(239\) est premier (voir ci-dessus). \(1559\) : \(\sqrt{1559}<40\), on teste \(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37\) : aucun ne divise \(1559\) : premier.
✅ Premiers : \(239\) et \(1559\). Non premiers : \(49,407,387,8367\).
4) Déterminer si le nombre \(11\,309\) est premier ; justifier.
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{11309}\approx106\). En testant les nombres premiers on trouve \(11309=43\times263\).
✅ \(11309=43\times263\) n’est pas premier.
5) Le nombre \(123456789\) est-il premier ? Justifier. Soient \(p\) et \(q\) deux nombres premiers supérieurs à \(2\). Montrer que \(p+q\) n’est pas premier.
Correction détaillée
🔢 La somme des chiffres de \(123456789\) est \(45\) : il est divisible par \(3\) (et par \(9\)), donc non premier.
🔢 \(p>2\) et \(q>2\) premiers sont impairs ; \(p+q\) est pair et \(p+q>4\) : divisible par \(2\) avec \(p+q\neq2\).
✅ \(123456789\) n’est pas premier ; \(p+q\) n’est pas premier.
6) Est-ce que \(111111\) est un nombre premier ? Justifier.
Correction détaillée
🔢 Somme des chiffres \(6\) : divisible par \(3\). \(111111=3\times37037=3\times7\times11\times13\times37\).
✅ \(111111\) n’est pas premier.
7) Montrer que \(1000000001\) ; \(3^{20}-1\) et \(7^{24}-1\) ne sont pas des nombres premiers. Montrer que \(7123^5\) n’est pas premier.
Correction détaillée
📘 Méthode : un nombre qui s’écrit comme produit de deux entiers \(>1\) n’est pas premier.
🔢 \(1000000001=10^9+1=(10^3)^3+1=(10^3+1)(10^6-10^3+1)=1001\times999001\).
🔢 \(3^{20}-1=(3^{10}-1)(3^{10}+1)\) et \(7^{24}-1=(7^{12}-1)(7^{12}+1)\) : produits de deux entiers \(>1\).
🔢 \(7123^5=7123\times7123^4\) avec \(7123>1\) et \(7123^4>1\).
✅ Aucun de ces nombres n’est premier.
Exercice 10.2
Nombres premiers : reconnaître et démontrer (suite)
1) Montrer que \(123456^3\) n’est pas premier.
Correction détaillée
🔢 \(123456^3=123456\times123456^2\) : produit de deux entiers \(>1\).
✅ \(123456^3\) n’est pas premier.
⚠️ Écriture « 123 4 5 6³ » peu lisible dans le PDF : j’ai lu \(123456^3\).
2) Soit \(x\) un nombre premier différent de \(2\). Montrer que \(x+1\) n’est pas premier.
Correction détaillée
🔢 \(x\) premier \(\ne2\) donc impair, \(x\ge3\) : \(x+1\) est pair et \(x+1\ge4\) : divisible par \(2\) et différent de \(2\).
✅ \(x+1\) n’est pas premier.
3) \(p\) est un entier naturel supérieur à \(1\).
1) Factoriser \(4p^4+1\).
2) En déduire que \(4p^4+1\) n’est pas premier.
3) Montrer que \(400000001\) n’est pas premier.
1) Factoriser \(4p^4+1\).
2) En déduire que \(4p^4+1\) n’est pas premier.
3) Montrer que \(400000001\) n’est pas premier.
Correction détaillée
🔢 1) \(4p^4+1=(2p^2+1)^2-4p^2=(2p^2+1-2p)(2p^2+1+2p)=(2p^2-2p+1)(2p^2+2p+1)\).
🔢 2) Pour \(p\ge2\) : \(2p^2-2p+1=p^2+(p-1)^2>1\) et \(2p^2+2p+1>1\) : deux facteurs \(>1\).
🔢 3) \(400000001=4\times10^8+1=4\times100^4+1\) avec \(p=100\).
✅ \(4p^4+1=(2p^2-2p+1)(2p^2+2p+1)\), non premier ; \(400000001\) n’est pas premier.
4) Soit \(x\ge2\).
1) Montrer que \(x^4+4=\big((x-1)^2+1\big)\big((x+1)^2+1\big)\).
2) Montrer que \(x^4+4\) n’est pas premier.
1) Montrer que \(x^4+4=\big((x-1)^2+1\big)\big((x+1)^2+1\big)\).
2) Montrer que \(x^4+4\) n’est pas premier.
Correction détaillée
🔢 1) \(\big((x-1)^2+1\big)\big((x+1)^2+1\big)=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)=(x^2+2)^2-4x^2=x^4+4\).
🔢 2) Pour \(x\ge2\) : \((x-1)^2+1\ge2\) et \((x+1)^2+1\ge10\) : deux facteurs \(>1\).
✅ \(x^4+4\) n’est pas premier pour \(x\ge2\).
⚠️ Dans un des PDF l’énoncé écrit \((x+1)^4+1\) : c’est une coquille, j’ai corrigé en \((x+1)^2+1\).
5) Soit \(n\ge2\) un entier.
1) Écrire \(n^4+1\) sous forme de différence de deux carrés parfaits.
2) Montrer que \(n^4+1\) n’est pas premier.
1) Écrire \(n^4+1\) sous forme de différence de deux carrés parfaits.
2) Montrer que \(n^4+1\) n’est pas premier.
Correction détaillée
🔢 \(n^4+1\) n’est pas toujours composé : pour \(n=2\), \(n^4+1=17\) est premier. L’énoncé est donc faux tel quel.
🔢 Version correcte : \(n^4+4=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)\), qui n’est pas premier pour \(n\ge2\).
✅ L’énoncé \(n^4+1\) est faux (\(n=2\) donne \(17\)) ; il s’agit de \(n^4+4\) : voir l’exercice précédent.
⚠️ Coquille probable dans l’énoncé : \(n^4+1\) au lieu de \(n^4+4\).
Exercice 11.1
Décomposer et appliquer (PGCD, PPCM, fractions, racines)
1) Décomposer en produit de puissances de facteurs premiers : \(161\) ; \(144\) ; \(10000\) ; \(23000\) ; \(1080\) ; \(1400\times49\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on divise successivement par les nombres premiers \(2,3,5,7,\ldots\) jusqu’à obtenir \(1\), puis on regroupe en puissances.
🔢 \(161=7\times23\) ; \(144=2^{4}\times3^{2}\) ; \(10000=2^{4}\times5^{4}\) ; \(23000=2^{3}\times5^{3}\times23\) ; \(1080=2^{3}\times3^{3}\times5\).
🔢 \(1400\times49=(2^{3}\times5^{2}\times7)\times7^2=2^{3}\times5^{2}\times7^{3}\).
✅ \(161=7\times23\) ; \(144=2^{4}\times3^{2}\) ; \(10000=2^{4}\times5^{4}\) ; \(23000=2^{3}\times5^{3}\times23\) ; \(1080=2^{3}\times3^{3}\times5\) ; \(1400\times49=2^{3}\times5^{2}\times7^{3}\).
2) Décomposer en produit de facteurs premiers : \(147\) ; \(264\) ; \(81\) ; \(10500\) ; \(621\) ; \(12100\) ; \(1250\) ; \(28\times169\) ; \(819000\) ; \(63000\).
Correction détaillée
🔢 \(147=3\times7^{2} ; 264=2^{3}\times3\times11 ; 81=3^{4} ; 10500=2^{2}\times3\times5^{3}\times7 ; 621=3^{3}\times23 ; 12100=2^{2}\times5^{2}\times11^{2} ; 1250=2\times5^{4} ; 28\times169=2^{2}\times7\times13^{2} ; 819000=2^{3}\times3^{2}\times5^{3}\times7\times13 ; 63000=2^{3}\times3^{2}\times5^{3}\times7\).
✅ \(147=3\times7^{2}\) ; \(264=2^{3}\times3\times11\) ; \(81=3^{4}\) ; \(10500=2^{2}\times3\times5^{3}\times7\) ; \(621=3^{3}\times23\) ; \(12100=2^{2}\times5^{2}\times11^{2}\) ; \(1250=2\times5^{4}\) ; \(28\times169=2^{2}\times7\times13^{2}\) ; \(819000=2^{3}\times3^{2}\times5^{3}\times7\times13\) ; \(63000=2^{3}\times3^{2}\times5^{3}\times7\).
3) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres \(50\) ; \(360\) ; \(60\) ; \(24\) ; \(56\) ; \(14\) ; \(42\). Calculer \(PGCD(50;360)\) ; \(PGCD(60;50)\) ; \(PGCD(56;14)\) ; \(PGCD(56;42)\) ; \(PGCD(24;60)\).
Correction détaillée
🔢 \(50=2\times5^{2}\) ; \(360=2^{3}\times3^{2}\times5\) ; \(60=2^{2}\times3\times5\) ; \(24=2^{3}\times3\) ; \(56=2^{3}\times7\) ; \(14=2\times7\) ; \(42=2\times3\times7\).
🔢 \(50=2\times5^{2}\) et \(360=2^{3}\times3^{2}\times5\) : \(PGCD(50;360)=10\).
🔢 \(60=2^{2}\times3\times5\) et \(50=2\times5^{2}\) : \(PGCD(60;50)=10\).
🔢 \(56=2^{3}\times7\) et \(14=2\times7\) : \(PGCD(56;14)=14\).
🔢 \(56=2^{3}\times7\) et \(42=2\times3\times7\) : \(PGCD(56;42)=14\).
🔢 \(24=2^{3}\times3\) et \(60=2^{2}\times3\times5\) : \(PGCD(24;60)=12\).
✅ \(PGCD(50;360)=10\) ; \(PGCD(60;50)=10\) ; \(PGCD(56;14)=14\) ; \(PGCD(56;42)=14\) ; \(PGCD(24;60)=12\).
4) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres \(170\) ; \(68\) ; \(60\) ; \(220\) ; \(340\). Calculer \(PPCM(68;170)\) et \(PPCM(220;340)\).
Correction détaillée
🔢 \(170=2\times5\times17\) ; \(68=2^{2}\times17\) ; \(60=2^{2}\times3\times5\) ; \(220=2^{2}\times5\times11\) ; \(340=2^{2}\times5\times17\).
🔢 \(68=2^{2}\times17\) et \(170=2\times5\times17\) : \(PPCM(68;170)=340\).
🔢 \(220=2^{2}\times5\times11\) et \(340=2^{2}\times5\times17\) : \(PPCM(220;340)=3740\).
✅ \(PPCM(68;170)=340\) ; \(PPCM(220;340)=3740\).
5) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres \(675\) ; \(16650\) ; \(5292\) ; \(6250\).
Correction détaillée
🔢 \(675=3^{3}\times5^{2}\) ; \(16650=2\times3^{2}\times5^{2}\times37\) ; \(5292=2^{2}\times3^{3}\times7^{2}\) ; \(6250=2\times5^{5}\).
✅ \(675=3^{3}\times5^{2}\) ; \(16650=2\times3^{2}\times5^{2}\times37\) ; \(5292=2^{2}\times3^{3}\times7^{2}\) ; \(6250=2\times5^{5}\).
6) Soit \(A=35280\) et \(B=218295\).
1) Décomposer \(A\) et \(B\) en facteurs premiers.
2) En déduire le \(PGCD(A;B)\) et le \(PPCM(A;B)\).
3) Vérifier que \(PGCD(A;B)\times PPCM(A;B)=A\times B\).
1) Décomposer \(A\) et \(B\) en facteurs premiers.
2) En déduire le \(PGCD(A;B)\) et le \(PPCM(A;B)\).
3) Vérifier que \(PGCD(A;B)\times PPCM(A;B)=A\times B\).
Correction détaillée
🔢 1) \(A=2^{4}\times3^{2}\times5\times7^{2}\) ; \(B=3^{4}\times5\times7^{2}\times11\).
🔢 2) \(35280=2^{4}\times3^{2}\times5\times7^{2}\) et \(218295=3^{4}\times5\times7^{2}\times11\) : \(PGCD=2205\) et \(PPCM=3492720\).
🔢 3) \(2205\times3492720=7701447600\) et \(A\times B=7701447600\).
✅ \(PGCD=2205\), \(PPCM=3492720\) et \(PGCD\times PPCM=A\times B\).
7) Décomposer en facteurs premiers \(3528\) ; \(32400\) ; \(9702\). Conclure : \((9702\vee3528)\) ; \((9702\wedge3528)\) ; \((3528\wedge32400)\).
Correction détaillée
📘 Notation : \(a\wedge b=PGCD(a;b)\) et \(a\vee b=PPCM(a;b)\).
🔢 \(3528=2^{3}\times3^{2}\times7^{2}\) ; \(32400=2^{4}\times3^{4}\times5^{2}\) ; \(9702=2\times3^{2}\times7^{2}\times11\).
🔢 \(9702=2\times3^{2}\times7^{2}\times11\) et \(3528=2^{3}\times3^{2}\times7^{2}\) : \(PGCD=882\) et \(PPCM=38808\).
🔢 \(3528=2^{3}\times3^{2}\times7^{2}\) et \(32400=2^{4}\times3^{4}\times5^{2}\) : \(PGCD(3528;32400)=72\).
✅ \(9702\vee3528=38808\) ; \(9702\wedge3528=882\) ; \(3528\wedge32400=72\).
Exercice 11.2
Décomposer et appliquer (PGCD, PPCM, fractions, racines) (suite)
1) Soient \(a=2352\) et \(b=14850\).
1) Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
2) Donner le nombre de diviseurs de chacun.
3) Déterminer \(a\wedge b\) et \(a\vee b\).
4) Déterminer le plus petit entier \(p\) tel que \(pa\) soit un carré parfait.
5) Déterminer le plus petit entier \(q\) tel que \(qb\) soit un cube parfait.
6) Simplifier \(\dfrac ab\) et \(\sqrt{ab}\).
1) Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
2) Donner le nombre de diviseurs de chacun.
3) Déterminer \(a\wedge b\) et \(a\vee b\).
4) Déterminer le plus petit entier \(p\) tel que \(pa\) soit un carré parfait.
5) Déterminer le plus petit entier \(q\) tel que \(qb\) soit un cube parfait.
6) Simplifier \(\dfrac ab\) et \(\sqrt{ab}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on décompose en facteurs premiers ; \(a\wedge b\) = facteurs communs (plus petit exposant), \(a\vee b\) = tous les facteurs (plus grand exposant), \(\sqrt{ab}\) en sortant les carrés.
🔢 \(a=2352=2^{4}\times3\times7^{2}\) ; \(b=14850=2\times3^{3}\times5^{2}\times11\).
🔢 Nombre de diviseurs : \(a\) : \((4+1)\times(1+1)\times(2+1)=30\) ; \(b\) : \((1+1)\times(3+1)\times(2+1)\times(1+1)=48\).
🔢 \(a\wedge b=6\) et \(a\vee b=5821200\).
🔢 \(pa\) carré parfait : tous les exposants doivent être pairs, \(p=3\). \(qb\) cube parfait : tous les exposants multiples de \(3\), \(q=2420\).
🔢 \(\dfrac ab=\dfrac{392}{2475}\) et \(\sqrt{ab}=\sqrt{2^{5}\times3^{4}\times5^{2}\times7^{2}\times11}=1260\sqrt{22}\).
✅ \(a=2^{4}\times3\times7^{2}\), \(b=2\times3^{3}\times5^{2}\times11\) ; \(a\) a \(30\) diviseurs, \(b\) en a \(48\) ; \(a\wedge b=6\), \(a\vee b=5821200\) ; \(p=3\), \(q=2420\) ; \(\frac ab=\frac{392}{2475}\), \(\sqrt{ab}=1260\sqrt{22}\).
2) Soient \(a=45\times8^3\times120\) et \(b=14\times850\).
1) Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
2) Donner le nombre de diviseurs de chacun.
3) Déterminer \(a\wedge b\) et \(a\vee b\).
4) Simplifier \(\dfrac ab\) et \(\sqrt{ab}\).
1) Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
2) Donner le nombre de diviseurs de chacun.
3) Déterminer \(a\wedge b\) et \(a\vee b\).
4) Simplifier \(\dfrac ab\) et \(\sqrt{ab}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on décompose en facteurs premiers ; \(a\wedge b\) = facteurs communs (plus petit exposant), \(a\vee b\) = tous les facteurs (plus grand exposant), \(\sqrt{ab}\) en sortant les carrés.
🔢 \(a=45\times8^3\times120=2^{12}\times3^{3}\times5^{2}\) ; \(b=14\times850=2^{2}\times5^{2}\times7\times17\).
🔢 Nombre de diviseurs : \(a\) : \((12+1)\times(3+1)\times(2+1)=156\) ; \(b\) : \((2+1)\times(2+1)\times(1+1)\times(1+1)=36\).
🔢 \(a\wedge b=100\) et \(a\vee b=329011200\).
🔢 \(\dfrac ab=\dfrac{27648}{119}\) et \(\sqrt{ab}=\sqrt{2^{14}\times3^{3}\times5^{4}\times7\times17}=9600\sqrt{357}\).
✅ \(a=2^{12}\times3^{3}\times5^{2}\), \(b=2^{2}\times5^{2}\times7\times17\) ; \(a\) a \(156\) diviseurs, \(b\) en a \(36\) ; \(a\wedge b=100\), \(a\vee b=329011200\) ; \(\frac ab=\frac{27648}{119}\), \(\sqrt{ab}=9600\sqrt{357}\).
3) Décomposer \(a=2356\) et \(b=1612\) en produit de facteurs premiers. Déduire \(PGCD(a;b)\) et \(PPCM(a;b)\), donner la forme irréductible de \(\dfrac ab\) et simplifier \(\sqrt{ab}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : on décompose en facteurs premiers ; \(a\wedge b\) = facteurs communs (plus petit exposant), \(a\vee b\) = tous les facteurs (plus grand exposant), \(\sqrt{ab}\) en sortant les carrés.
🔢 \(a=2356=2^{2}\times19\times31\) ; \(b=1612=2^{2}\times13\times31\).
🔢 \(a\wedge b=124\) et \(a\vee b=30628\).
🔢 \(\dfrac ab=\dfrac{19}{13}\) et \(\sqrt{ab}=\sqrt{2^{4}\times13\times19\times31^{2}}=124\sqrt{247}\).
✅ \(a=2^{2}\times19\times31\), \(b=2^{2}\times13\times31\) ; \(a\wedge b=124\), \(a\vee b=30628\) ; \(\frac ab=\frac{19}{13}\), \(\sqrt{ab}=124\sqrt{247}\).
4) Soient \(a=2646\) et \(b=2100\).
1) Décomposer \(a\) et \(b\) en facteurs premiers.
2) Simplifier \(\dfrac ab\).
3) Simplifier \(\sqrt a\) et \(\sqrt b\).
4) Décomposer \(c=a^3b^2\).
1) Décomposer \(a\) et \(b\) en facteurs premiers.
2) Simplifier \(\dfrac ab\).
3) Simplifier \(\sqrt a\) et \(\sqrt b\).
4) Décomposer \(c=a^3b^2\).
Correction détaillée
🔢 1) \(a=2\times3^{3}\times7^{2}\) ; \(b=2^{2}\times3\times5^{2}\times7\).
🔢 2) \(\dfrac ab=\dfrac{2\times3^3\times7^2}{2^2\times3\times5^2\times7}=\dfrac{3^2\times7}{2\times5^2}=\dfrac{63}{50}\).
🔢 3) \(\sqrt a=\sqrt{2\times3^3\times7^2}=3\times7\sqrt{6}=21\sqrt6\) ; \(\sqrt b=\sqrt{2^2\times3\times5^2\times7}=2\times5\sqrt{21}=10\sqrt{21}\).
🔢 4) \(c=a^3b^2=(2\times3^3\times7^2)^3\times(2^2\times3\times5^2\times7)^2=2^{3+4}\times3^{9+2}\times5^{4}\times7^{6+2}=2^7\times3^{11}\times5^4\times7^8\).
✅ \(a=2\times3^{3}\times7^{2}\), \(b=2^{2}\times3\times5^{2}\times7\) ; \(\frac ab=\frac{63}{50}\) ; \(\sqrt a=21\sqrt6\), \(\sqrt b=10\sqrt{21}\) ; \(c=2^7\times3^{11}\times5^4\times7^8\).
5) Soient \(a=1400\) et \(b=1540\).
1) Décomposer \(a\) et \(b\) en facteurs premiers.
2) En déduire leur plus grand diviseur commun.
3) En déduire leur plus petit multiple commun.
1) Décomposer \(a\) et \(b\) en facteurs premiers.
2) En déduire leur plus grand diviseur commun.
3) En déduire leur plus petit multiple commun.
Correction détaillée
📘 Méthode : on décompose en facteurs premiers ; \(a\wedge b\) = facteurs communs (plus petit exposant), \(a\vee b\) = tous les facteurs (plus grand exposant), \(\sqrt{ab}\) en sortant les carrés.
🔢 \(a=1400=2^{3}\times5^{2}\times7\) ; \(b=1540=2^{2}\times5\times7\times11\).
🔢 \(a\wedge b=140\) et \(a\vee b=15400\).
✅ \(a=2^{3}\times5^{2}\times7\), \(b=2^{2}\times5\times7\times11\) ; \(a\wedge b=140\), \(a\vee b=15400\).
6) Écrire sous forme d’un produit de facteurs premiers : \(a=2^3\times3^2\times7+2^2\times3^3\times5\), \(b=2^3\times5^2\times7+2^2\times5^3\) et \(c=19\times4\times3+2^3\times3^2\). Déduire \(PGCD(a;b)\), \(PGCD(b;c)\) et \(PPCM(b;c)\).
Correction détaillée
🔢 \(a=504+540=1044=2^{2}\times3^{2}\times29\) (ou \(a=2^2\times3^2\times(2\times7+3\times5)=2^2\times3^2\times29\)).
🔢 \(b=1400+500=1900=2^{2}\times5^{2}\times19\) ; \(c=228+72=300=2^{2}\times3\times5^{2}\).
🔢 \(PGCD(a;b)=4\) ; \(PGCD(b;c)=100\) ; \(PPCM(b;c)=5700\).
✅ \(a=2^{2}\times3^{2}\times29\) ; \(b=2^{2}\times5^{2}\times19\) ; \(c=2^{2}\times3\times5^{2}\). \(PGCD(a;b)=4\) ; \(PGCD(b;c)=100\) ; \(PPCM(b;c)=5700\).
7) À l’aide de la décomposition en produit de facteurs premiers :
1) simplifier \(\dfrac{84}{60}\) ;
2) simplifier les racines carrées \(A=\sqrt{2100}\) et \(B=\sqrt{63}\times\sqrt{105}\).
1) simplifier \(\dfrac{84}{60}\) ;
2) simplifier les racines carrées \(A=\sqrt{2100}\) et \(B=\sqrt{63}\times\sqrt{105}\).
Correction détaillée
🔢 1) \(\dfrac{84}{60}=\dfrac{2^2\times3\times7}{2^2\times3\times5}=\dfrac75\).
🔢 2) \(\sqrt{2100}=\sqrt{2^2\times3\times5^2\times7}=2\times5\sqrt{21}=10\sqrt{21}\).
🔢 \(\sqrt{63}\times\sqrt{105}=\sqrt{3^2\times7\times3\times5\times7}=\sqrt{3^3\times5\times7^2}=3\times7\sqrt{15}=21\sqrt{15}\).
✅ \(\frac{84}{60}=\frac75\) ; \(A=10\sqrt{21}\) ; \(B=21\sqrt{15}\).
Exercice 11.3
Décomposer et appliquer (PGCD, PPCM, fractions, racines) (suite)
1) À l’aide de la décomposition en facteurs premiers, simplifier \(\dfrac{612}{1530}\) et écrire \(\sqrt{612\times1530}\) sous la forme \(m\sqrt n\) avec \(m\) et \(n\) entiers.
Correction détaillée
🔢 \(612=2^2\times3^2\times17\) et \(1530=2\times3^2\times5\times17\).
🔢 \(\dfrac{612}{1530}=\dfrac{2^2\times3^2\times17}{2\times3^2\times5\times17}=\dfrac25\). (Autre méthode : \(PGCD=306\), \(\frac{612\div306}{1530\div306}=\frac25\).)
🔢 \(\sqrt{612\times1530}=\sqrt{2^3\times3^4\times5\times17^2}=2\times3^2\times17\sqrt{2\times5}=306\sqrt{10}\).
✅ \(\dfrac{612}{1530}=\dfrac25\) et \(\sqrt{612\times1530}=306\sqrt{10}\).
⚠️ Le PDF donne \(\frac52\) dans sa solution : c’est l’inverse (\(612<1530\)), la fraction correcte est \(\frac25\).
2) Simplifier en utilisant la décomposition en facteurs premiers : \(\dfrac{1250}{625}\) ; \(\dfrac{2250}{750}\) ; \(\dfrac{585}{1275}\) ; \(\dfrac{1755}{2295}\) ; \(\dfrac{198}{726}\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{1250}{625}=\dfrac{2\times5^4}{5^4}=2\) ; \(\dfrac{2250}{750}=\dfrac{2\times3^2\times5^3}{2\times3\times5^3}=3\).
🔢 \(\dfrac{585}{1275}=\dfrac{3^2\times5\times13}{3\times5^2\times17}=\dfrac{39}{85}\) ; \(\dfrac{1755}{2295}=\dfrac{3^3\times5\times13}{3^3\times5\times17}=\dfrac{13}{17}\).
🔢 \(\dfrac{198}{726}=\dfrac{2\times3^2\times11}{2\times3\times11^2}=\dfrac3{11}\).
✅ \(2\) ; \(3\) ; \(\frac{39}{85}\) ; \(\frac{13}{17}\) ; \(\frac3{11}\).
3) Simplifier en utilisant la décomposition en facteurs premiers : \(\sqrt{54}\) ; \(\sqrt{189}\) ; \(\sqrt{845}\) ; \(\sqrt{246}\) ; \(\sqrt{363\times1044}\) ; \(\sqrt{62500}\) ; \(\sqrt{1080}\) ; \(\sqrt{7500}\) ; \(\sqrt{28\times63}\) ; \(\sqrt{325\times720}\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\) ; \(\sqrt{189}=3\sqrt{21}\) ; \(\sqrt{845}=13\sqrt{5}\) ; \(\sqrt{246}=\sqrt{2\times3\times41}\) (irréductible).
🔢 \(363\times1044=3\times11^2\times2^2\times3^2\times29\) : \(\sqrt{363\times1044}=66\sqrt{87}\).
🔢 \(\sqrt{62500}=250\) ; \(\sqrt{1080}=6\sqrt{30}\) ; \(\sqrt{7500}=50\sqrt{3}\) ; \(\sqrt{28\times63}=\sqrt{2^2\times3^2\times7^2}=42\) ; \(\sqrt{325\times720}=60\sqrt{65}\).
✅ \(3\sqrt{6}\) ; \(3\sqrt{21}\) ; \(13\sqrt{5}\) ; \(\sqrt{246}\) ; \(66\sqrt{87}\) ; \(250\) ; \(6\sqrt{30}\) ; \(50\sqrt{3}\) ; \(42\) ; \(60\sqrt{65}\).
4) Simplifier les écritures suivantes : \(\sqrt{75}\) ; \(\sqrt{164}\) ; \(\sqrt{738}\) ; \(\sqrt{1690}\) ; \(\sqrt{1044}\) ; \(\sqrt{34\times80\times51}\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) ; \(\sqrt{164}=2\sqrt{41}\) ; \(\sqrt{738}=3\sqrt{82}\) ; \(\sqrt{1690}=13\sqrt{10}\) ; \(\sqrt{1044}=6\sqrt{29}\) ; \(\sqrt{34\times80\times51}=\sqrt{2^5\times3\times5\times17^2}=68\sqrt{30}\).
✅ \(5\sqrt{3}\) ; \(2\sqrt{41}\) ; \(3\sqrt{82}\) ; \(13\sqrt{10}\) ; \(6\sqrt{29}\) ; \(68\sqrt{30}\).
⚠️ Le PDF est partiellement illisible (symboles de racines perdus) : j’ai lu \(\sqrt{75}\), \(\sqrt{164}\), \(\sqrt{738}\), \(\sqrt{1690}\), \(\sqrt{1044}\), \(\sqrt{34\times80\times51}\). L’exercice 3 (fractions à simplifier) est vide dans le PDF.
Exercice 11.4
Carrés parfaits
1) On pose \(A=2\times3^2\times7^3\). Déterminer le plus petit entier \(k\) tel que \(k\times A\) soit un carré parfait.
Correction détaillée
🔢 Un entier est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition sont pairs. Ici \(2^1\) et \(7^3\) ont des exposants impairs : il faut multiplier par \(2\times7\).
✅ \(k=14\) : \(14\times A=2^2\times3^2\times7^4=(2\times3\times7^2)^2=294^2\).
2) On considère \(a=2^3\times3^2\times7\).
1) Vérifier que \(a\) est divisible par \(24\).
2) Déterminer le plus petit entier \(k\) tel que \(ka\) soit un carré parfait.
1) Vérifier que \(a\) est divisible par \(24\).
2) Déterminer le plus petit entier \(k\) tel que \(ka\) soit un carré parfait.
Correction détaillée
📘 Méthode : on multiplie par les facteurs premiers qui ont un exposant impair.
🔢 1) \(24=2^3\times3\) et \(a=24\times(3\times7)=24\times21\) (\(a=504\)).
🔢 2) Exposants impairs : \(2^3\) et \(7^1\) : \(k=2\times7=14\) : \(14a=2^4\times3^2\times7^2=(2^2\times3\times7)^2=84^2\).
✅ \(504=24\times21\) ; \(k=14\) (c’est aussi le plus petit \(m\) tel que \(ma\) soit un carré d’entier).
3) Soit \(k\) un entier naturel. Montrer que les nombres suivants sont des carrés parfaits : \(1166400\) ; \(225\times17^{10}\) ; \(196\times49\) ; \(169\) ; \(121\) ; \(81\).
Correction détaillée
📘 Définition : un carré parfait est le carré d’un entier naturel (\(49=7^2\)).
🔢 \(1166400=1080^2\) (\(1080=2^3\times3^3\times5\), \(1080^2=1166400\)) ; \(225\times17^{10}=(15\times17^5)^2\) ; \(196\times49=(14\times7)^2=98^2\) ; \(169=13^2\) ; \(121=11^2\) ; \(81=9^2\).
✅ Tous sont des carrés d’entiers.
4) Montrer que \(A=9k^2+12k+4\) est un carré parfait. Montrer que \(A=9k^2+12k+5\) n’est pas un carré parfait. Le nombre \(15\) est-il un carré parfait ?
Correction détaillée
📘 Méthode : un entier strictement compris entre deux carrés parfaits successifs n’est pas un carré parfait.
🔢 \(9k^2+12k+4=(3k+2)^2\).
🔢 \(9k^2+12k+5=(3k+2)^2+1\) : strictement compris entre \((3k+2)^2\) et \((3k+3)^2=9k^2+18k+9\) (car \(12k+5<18k+9\)) : pas un carré parfait.
🔢 \(3^2=9<15<16=4^2\) : \(15\) n’est pas un carré parfait.
✅ \(9k^2+12k+4=(3k+2)^2\) ; les deux autres ne sont pas des carrés parfaits.
5) Soit \(n\) un entier naturel.
1) Montrer que sont des carrés parfaits : \(C=9n^2+6n+1\) ; \(B=4n^2+4n+1\) ; \(A=n^2+4n+4\) ; \(F=n(n+1)(n+2)(n+3)+1\) ; \(E=3n(3n+4)+4\) ; \(D=n^2(n^2+2)+1\).
2) Montrer que ne sont pas des carrés parfaits : \(K=9n^2+6n+4\) ; \(H=4n^2+4n+3\) ; \(G=n^2+4n+5\) (pour \(n\ge1\)).
3) Montrer que \(T=(n+2)(n-3)+8n^2+7(n+1)\) est un carré parfait.
1) Montrer que sont des carrés parfaits : \(C=9n^2+6n+1\) ; \(B=4n^2+4n+1\) ; \(A=n^2+4n+4\) ; \(F=n(n+1)(n+2)(n+3)+1\) ; \(E=3n(3n+4)+4\) ; \(D=n^2(n^2+2)+1\).
2) Montrer que ne sont pas des carrés parfaits : \(K=9n^2+6n+4\) ; \(H=4n^2+4n+3\) ; \(G=n^2+4n+5\) (pour \(n\ge1\)).
3) Montrer que \(T=(n+2)(n-3)+8n^2+7(n+1)\) est un carré parfait.
Correction détaillée
🔢 1) \(C=(3n+1)^2\) ; \(B=(2n+1)^2\) ; \(A=(n+2)^2\) ; \(F=(n^2+3n+1)^2\) ; \(E=9n^2+12n+4=(3n+2)^2\) ; \(D=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2\).
🔢 2) \(K=(3n+1)^2+3\), entre \((3n+1)^2\) et \((3n+2)^2\) pour \(n\ge1\) ; \(H=(2n+1)^2+2\) entre \((2n+1)^2\) et \((2n+2)^2\) ; \(G=(n+2)^2+1\) entre \((n+2)^2\) et \((n+3)^2\) pour \(n\ge1\).
🔢 3) \(T=n^2-n-6+8n^2+7n+7=9n^2+6n+1=(3n+1)^2\).
✅ \(C,B,A,F,E,D,T\) sont des carrés parfaits ; \(K,H,G\) n’en sont pas.
⚠️ Pour \(K\) j’ai supposé \(n\ge1\) (pour \(n=0\), \(K=4\) est un carré).
6) Soit \(a\in\mathbb N\). Montrer que \(a(a+1)(a+2)(a+3)+1\) est un carré parfait.
Correction détaillée
🔢 \(a(a+3)=a^2+3a\), \((a+1)(a+2)=a^2+3a+2\). Avec \(t=a^2+3a\) : \(t(t+2)+1=(t+1)^2\).
✅ \(a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2\).
7) 1) Déterminer le chiffre des unités de \(286429^{2012}\).
2) Calculer \(0^2,1^2,\ldots,9^2\).
3) Le nombre \(25164572\) peut-il être un carré parfait ? Justifier.
4) Donner une condition nécessaire pour qu’un entier soit un carré parfait. Cette condition est-elle suffisante ?
2) Calculer \(0^2,1^2,\ldots,9^2\).
3) Le nombre \(25164572\) peut-il être un carré parfait ? Justifier.
4) Donner une condition nécessaire pour qu’un entier soit un carré parfait. Cette condition est-elle suffisante ?
Correction détaillée
🔢 1) Les puissances de \(9\) se terminent par \(9\), \(1\), \(9\), \(1\), … : exposant pair \(\Rightarrow\) chiffre \(1\).
🔢 2) \(0,1,4,9,16,25,36,49,64,81\).
🔢 3) Les carrés se terminent par \(0,1,4,5,6,9\). \(25164572\) se termine par \(2\) : ce n’est pas un carré parfait.
🔢 4) Condition nécessaire : le chiffre des unités est \(0,1,4,5,6\) ou \(9\). Elle n’est pas suffisante : \(14\) se termine par \(4\) mais n’est pas un carré parfait (\(3^2=9<14<16=4^2\)).
✅ 1) \(1\) ; 3) non ; 4) chiffre des unités dans \(\{0,1,4,5,6,9\}\), condition non suffisante.