Ce devoir 3 du semestre 1 pour la 1ère Bac Sc Ex est proposé avec des exercices corrigés et des corrections détaillées pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.
Devoir 3 Semestre 1 corrigé 1ère Bac
Devoirs 3 Semestre 1 · Série de synthèse 1ère Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
Suite arithmétique et somme de termes
1) \((u_n)_{n\ge1}\) arithmétique de raison \(r\) avec \(u_3=11\) et \(u_7=3\). Montrer que \(r=-2\) et écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Méthodes : minoration/majoration : récurrence ; monotonie : signe de \(u_{n+1}-u_n\) ; suite auxiliaire \(v_n\) : exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) ; arithmétique : \(u_n=u_p+(n-p)r\) ; géométrique : \(u_n=u_pq^{n-p}\) ; somme de \(k\) termes consécutifs : arithmétique \(k\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}2\), géométrique \(\text{1er}\times\dfrac{1-q^k}{1-q}\).
🔢 Étape 1 : \(u_7=u_3+4r\Rightarrow3=11+4r\Rightarrow r=-2\).
🔢 Étape 2 : \(u_n=u_3+(n-3)r=11-2(n-3)\).
✅ \(r=-2\) et \(u_n=17-2n\) (contrôle : \(u_7=3\) ✓).
2) Calculer \(S=u_3+u_4+\dots+u_{20}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Nombre de termes : \(20-3+1=18\). \(u_{20}=17-40=-23\).
🔢 Étape 2 : \(S=18\times\dfrac{u_3+u_{20}}2=18\times\dfrac{11-23}2\).
✅ \(S=-108\).
Exercice 2
Suite homographique \(\dfrac{u_n-3}{u_n+5}\)
1) \(u_0=0\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n-3}{u_n+5}\). Calculer \(u_1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Méthodes : minoration/majoration : récurrence ; monotonie : signe de \(u_{n+1}-u_n\) ; suite auxiliaire \(v_n\) : exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) ; arithmétique : \(u_n=u_p+(n-p)r\) ; géométrique : \(u_n=u_pq^{n-p}\) ; somme de \(k\) termes consécutifs : arithmétique \(k\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}2\), géométrique \(\text{1er}\times\dfrac{1-q^k}{1-q}\).
🔢 \(u_1=\dfrac{0-3}{0+5}\).
✅ \(u_1=-\dfrac35\).
2) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N,\ u_n>-1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_0=0>-1\). Hérédité : \(u_{n+1}+1=\dfrac{u_n-3+u_n+5}{u_n+5}=\dfrac{2(u_n+1)}{u_n+5}\).
🔢 Étape 2 : Si \(u_n>-1\) : \(u_n+1>0\) et \(u_n+5>0\), donc \(u_{n+1}+1>0\).
✅ \(u_n>-1\) pour tout \(n\) ✓.
3.a) Montrer que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(u_n+1)(u_n+3)}{u_n+5}\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-3-u_n(u_n+5)}{u_n+5}=\dfrac{-u_n^2-4u_n-3}{u_n+5}=\dfrac{-(u_n+1)(u_n+3)}{u_n+5}\).
✅ Égalité vérifiée ✓.
3.b) Étudier la monotonie de \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n>-1\Rightarrow u_n+1>0,\ u_n+3>0,\ u_n+5>0\) : le quotient est négatif.
✅ \(u_{n+1}<u_n\) : \((u_n)\) est strictement décroissante.
3.c) En déduire \(-1<u_n\le0\).
Correction détaillée
🔢 Décroissante : \(u_n\le u_0=0\) ; et \(u_n>-1\).
✅ \(\forall n,\ -1<u_n\le0\).
4.a) \(v_n=\dfrac{u_n+1}{u_n+3}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\) et calculer \(v_0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}+1=\dfrac{2(u_n+1)}{u_n+5}\) et \(u_{n+1}+3=\dfrac{u_n-3+3u_n+15}{u_n+5}=\dfrac{4(u_n+3)}{u_n+5}\).
🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac{2(u_n+1)}{4(u_n+3)}=\dfrac12v_n\).
✅ Géométrique de raison \(\dfrac12\), \(v_0=\dfrac13\).
4.b) Écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=v_0q^n\).
✅ \(v_n=\dfrac13\left(\dfrac12\right)^n\).
4.c) Montrer que \(u_n=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^n}{\frac13\left(\frac12\right)^n-1}\).
Correction détaillée
⚠️ Le signe « − » éventuel placé devant la fraction dans le scan est lu comme une écriture équivalente : le calcul donne exactement la forme ci-dessus.
🔢 Étape 1 : \(v_n(u_n+3)=u_n+1\Rightarrow u_n(v_n-1)=1-3v_n\Rightarrow u_n=\dfrac{1-3v_n}{v_n-1}\).
🔢 Étape 2 : Avec \(3v_n=\left(\frac12\right)^n\) et \(v_n=\frac13\left(\frac12\right)^n\) : \(u_n=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^n}{\frac13\left(\frac12\right)^n-1}\).
✅ \(u_n=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^n}{\frac13\left(\frac12\right)^n-1}\) (contrôle : \(u_0=0\), \(u_1=\dfrac{1/2}{-5/6}=-\dfrac35\) ✓).
5.a) Montrer que \(u_{n+1}+1\le\dfrac12(u_n+1)\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}+1=\dfrac{2}{u_n+5}(u_n+1)\). Or \(u_n+5>4\), donc \(\dfrac2{u_n+5}<\dfrac12\), et \(u_n+1>0\).
✅ \(u_{n+1}+1\le\dfrac12(u_n+1)\) ✓.
5.b) En déduire \(u_n+1\le\left(\dfrac12\right)^n\).
Correction détaillée
🔢 Par récurrence (ou en itérant) : \(u_n+1\le\left(\dfrac12\right)^n(u_0+1)=\left(\dfrac12\right)^n\).
✅ \(u_n+1\le\left(\dfrac12\right)^n\) ✓.
Exercice 3
Suite homographique \(\dfrac{3U_n}{2(3-U_n)}\)
1) \(U_1=1\), \(U_{n+1}=\dfrac{3U_n}{2(3-U_n)}\), \(V_n=\dfrac{U_n}{2U_n-3}\). Montrer que \(\forall n\ge1,\ 0<U_n<\dfrac32\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Méthodes : minoration/majoration : récurrence ; monotonie : signe de \(u_{n+1}-u_n\) ; suite auxiliaire \(v_n\) : exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) ; arithmétique : \(u_n=u_p+(n-p)r\) ; géométrique : \(u_n=u_pq^{n-p}\) ; somme de \(k\) termes consécutifs : arithmétique \(k\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}2\), géométrique \(\text{1er}\times\dfrac{1-q^k}{1-q}\).
🔢 Étape 1 : \(U_1=1\). Hérédité : si \(0<U_n<\frac32\), alors \(3-U_n>0\) donc \(U_{n+1}>0\).
🔢 Étape 2 : \(U_{n+1}<\dfrac32\iff3U_n<3(3-U_n)\iff U_n<\dfrac32\) ✓.
✅ \(0<U_n<\dfrac32\) pour tout \(n\ge1\).
2) Montrer que \((U_n)\) est décroissante.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(U_{n+1}-U_n=\dfrac{3U_n-2U_n(3-U_n)}{2(3-U_n)}=\dfrac{U_n(2U_n-3)}{2(3-U_n)}\).
🔢 Étape 2 : Numérateur \(<0\) (\(U_n>0\), \(2U_n-3<0\)), dénominateur \(>0\).
✅ \(U_{n+1}<U_n\) : décroissante.
3.a) Montrer que \((V_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2U_{n+1}-3=\dfrac{3U_n-3(3-U_n)}{3-U_n}=\dfrac{3(2U_n-3)}{3-U_n}\).
🔢 Étape 2 : \(V_{n+1}=\dfrac{\frac{3U_n}{2(3-U_n)}}{\frac{3(2U_n-3)}{3-U_n}}=\dfrac{U_n}{2(2U_n-3)}=\dfrac12V_n\).
✅ Géométrique de raison \(\dfrac12\), \(V_1=\dfrac1{2-3}=-1\).
3.b) Montrer que \(U_n=\dfrac3{2+2^{n-1}}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(V_n=-\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).
🔢 Étape 2 : \(V_n(2U_n-3)=U_n\Rightarrow U_n(2V_n-1)=3V_n\Rightarrow U_n=\dfrac{3V_n}{2V_n-1}=\dfrac{-3/2^{n-1}}{-2/2^{n-1}-1}=\dfrac3{2+2^{n-1}}\).
✅ \(U_n=\dfrac3{2+2^{n-1}}\) (contrôle : \(U_1=1\), \(U_2=\dfrac34\) ✓).
4.a) Montrer que \(U_{n+1}\le\dfrac34U_n\).
Correction détaillée
🔢 \(U_{n+1}=U_n\cdot\dfrac3{2(3-U_n)}\). Comme \(U_n\le U_1=1\) : \(3-U_n\ge2\), donc \(\dfrac3{2(3-U_n)}\le\dfrac34\).
✅ \(U_{n+1}\le\dfrac34U_n\) ✓ (car \(U_n>0\)).
4.b) En déduire une majoration de \(U_n\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan lit « \(U_n\le\left(\frac34\right)^n\) » (exposant peut-être \(n-1\), petit et illisible). Avec l’exposant \(n\) c’est faux pour \(n=1\) (\(U_1=1>\frac34\)) ; l’exposant correct est \(n-1\).
🔢 Par récurrence : \(U_n\le\left(\dfrac34\right)^{n-1}U_1=\left(\dfrac34\right)^{n-1}\).
✅ \(U_n\le\left(\dfrac34\right)^{n-1}\) pour tout \(n\ge1\).
Exercice 4
Suite homographique \(\dfrac{6u_n-4}{u_n+2}\)
1.a) \(u_0=3\), \(u_{n+1}=\dfrac{6u_n-4}{u_n+2}\). Montrer par récurrence que \(u_n>2\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Méthodes : minoration/majoration : récurrence ; monotonie : signe de \(u_{n+1}-u_n\) ; suite auxiliaire \(v_n\) : exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) ; arithmétique : \(u_n=u_p+(n-p)r\) ; géométrique : \(u_n=u_pq^{n-p}\) ; somme de \(k\) termes consécutifs : arithmétique \(k\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}2\), géométrique \(\text{1er}\times\dfrac{1-q^k}{1-q}\).
🔢 \(u_0=3>2\). \(u_{n+1}-2=\dfrac{6u_n-4-2u_n-4}{u_n+2}=\dfrac{4(u_n-2)}{u_n+2}>0\) si \(u_n>2\).
✅ \(u_n>2\) pour tout \(n\) ✓.
1.b) Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(u_n-2)^2}{u_n+2}\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{6u_n-4-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\dfrac{-(u_n^2-4u_n+4)}{u_n+2}\).
✅ Égalité vérifiée ✓.
1.c) Étudier la monotonie de \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 \(-(u_n-2)^2<0\) (car \(u_n\neq2\)) et \(u_n+2>0\).
✅ \((u_n)\) est strictement décroissante.
1.d) En déduire \(2<u_n\le3\).
Correction détaillée
🔢 Décroissante : \(u_n\le u_0=3\), et \(u_n>2\).
✅ \(2<u_n\le3\).
2.a) \(V_n=\dfrac2{u_n-2}\). Montrer que \((V_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac12\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé note la raison « \(q=\frac12\) » alors qu’il s’agit d’une raison arithmétique \(r\).
🔢 \(u_{n+1}-2=\dfrac{4(u_n-2)}{u_n+2}\Rightarrow V_{n+1}=\dfrac{2(u_n+2)}{4(u_n-2)}=\dfrac{(u_n-2)+4}{2(u_n-2)}=\dfrac12+\dfrac2{u_n-2}\).
✅ \(V_{n+1}=V_n+\dfrac12\) : arithmétique de raison \(\dfrac12\).
2.b) Calculer \(V_0\) puis écrire \(V_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(V_0=\dfrac2{3-2}=2\). \(V_n=V_0+n\cdot\dfrac12\).
✅ \(V_0=2\) ; \(V_n=2+\dfrac n2=\dfrac{n+4}2\).
2.c) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n=2+\dfrac2{V_n}=2+\dfrac4{n+4}\).
✅ \(u_n=\dfrac{2n+12}{n+4}\) (contrôle : \(u_0=3\), \(u_1=\dfrac{14}5\) ✓).
2.d) Écrire \(S_n=V_0+V_1+\dots+V_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(n+1\) termes : \(S_n=(n+1)\dfrac{V_0+V_n}2=(n+1)\dfrac{2+\frac{n+4}2}2\).
✅ \(S_n=\dfrac{(n+1)(n+8)}4\) (contrôle : \(S_0=2\) ✓).
Exercice 5
Suite homographique \(\dfrac{4u_n}{u_n+2}\)
1.a) \(u_0=5\), \(u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{u_n+2}\). Vérifier que \(u_{n+1}=4-\dfrac8{u_n+2}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Méthodes : minoration/majoration : récurrence ; monotonie : signe de \(u_{n+1}-u_n\) ; suite auxiliaire \(v_n\) : exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) ; arithmétique : \(u_n=u_p+(n-p)r\) ; géométrique : \(u_n=u_pq^{n-p}\) ; somme de \(k\) termes consécutifs : arithmétique \(k\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}2\), géométrique \(\text{1er}\times\dfrac{1-q^k}{1-q}\).
🔢 \(4-\dfrac8{u_n+2}=\dfrac{4u_n+8-8}{u_n+2}\).
✅ Égalité vérifiée ✓.
1.b) Montrer par récurrence que \(u_n>2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=5>2\). Si \(u_n>2\) : \(u_n+2>4\Rightarrow\dfrac8{u_n+2}<2\Rightarrow u_{n+1}>4-2=2\).
✅ \(u_n>2\) pour tout \(n\) ✓.
2.a) Montrer que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n(2-u_n)}{u_n+2}\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n-u_n(u_n+2)}{u_n+2}=\dfrac{u_n(2-u_n)}{u_n+2}\).
✅ Égalité vérifiée ✓.
2.b) Monotonie de \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n>2\Rightarrow2-u_n<0\), \(u_n>0\), \(u_n+2>0\).
✅ \((u_n)\) est décroissante.
2.c) En déduire \(2<u_n\le5\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n\le u_0=5\) et \(u_n>2\).
✅ \(2<u_n\le5\).
3.a) Montrer que \(\dfrac2{u_n+2}\le\dfrac12\) et \(u_{n+1}-2\le\dfrac12(u_n-2)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_n+2>4\Rightarrow\dfrac2{u_n+2}<\dfrac12\).
🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-2=\dfrac{4u_n-2u_n-4}{u_n+2}=\dfrac2{u_n+2}(u_n-2)\le\dfrac12(u_n-2)\) car \(u_n-2>0\).
✅ \(u_{n+1}-2\le\dfrac12(u_n-2)\) ✓.
3.b) En déduire \(0<u_n-2\le3\left(\dfrac12\right)^n\).
Correction détaillée
🔢 Récurrence : \(u_n-2\le\left(\dfrac12\right)^n(u_0-2)=3\left(\dfrac12\right)^n\).
✅ \(0<u_n-2\le3\left(\dfrac12\right)^n\) ; on en déduit \(u_n\to2\).
Exercice 6
Produit scalaire et angle orienté (1)
1) \(A(2;2)\), \(B(4;4)\), \(C(6;2)\). Calculer \(AB\), \(AC\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \(\vec u\cdot\vec v=xx’+yy’\) ; \(\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) ; \(\sin(\vec u,\vec v)=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\), \(\det=xy’-yx’\).
🔢 \(\overrightarrow{AB}(2;2)\), \(\overrightarrow{AC}(4;0)\). \(AB=2\sqrt2\), \(AC=4\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8\).
✅ \(AB=2\sqrt2\), \(AC=4\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8\).
2.a) Calculer \(\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) et \(\sin(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).
Correction détaillée
🔢 \(\cos=\dfrac8{2\sqrt2\times4}=\dfrac{\sqrt2}2\) ; \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=2\cdot0-2\cdot4=-8\Rightarrow\sin=\dfrac{-8}{8\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}2\).
✅ \(\cos=\dfrac{\sqrt2}2\) et \(\sin=-\dfrac{\sqrt2}2\).
2.b) Mesure principale de \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).
Correction détaillée
🔢 \(\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}2\), \(\sin\theta<0\).
✅ \(-\dfrac\pi4\).
3) Calculer \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) et en déduire la nature de \(ABC\).
Correction détaillée
🔢 \(\overrightarrow{BA}(-2;-2)\), \(\overrightarrow{BC}(2;-2)\) : \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-4+4=0\). \(BA=BC=2\sqrt2\).
✅ \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(B\).
Exercice 7
Produit scalaire, angle orienté et projeté orthogonal
1) \(A(3;2)\), \(B(5;4)\), \(C(1;4)\). Calculer \(BA\), \(BC\) et \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \(\vec u\cdot\vec v=xx’+yy’\) ; \(\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) ; \(\sin(\vec u,\vec v)=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\), \(\det=xy’-yx’\).
🔢 \(\overrightarrow{BA}(-2;-2)\), \(\overrightarrow{BC}(-4;0)\). \(BA=2\sqrt2\), \(BC=4\), \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=8\).
✅ \(BA=2\sqrt2\), \(BC=4\), \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=8\).
2) Calculer \(\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})\), \(\sin(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})\) et la mesure principale de \((\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})\).
Correction détaillée
🔢 \(\cos=\dfrac8{8\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\) ; \(\det(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=(-2)(0)-(-2)(-4)=-8\Rightarrow\sin=-\dfrac{\sqrt2}2\).
✅ \(\cos=\dfrac{\sqrt2}2\), \(\sin=-\dfrac{\sqrt2}2\), mesure principale \(-\dfrac\pi4\).
3) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(ABC\) est rectangle et isocèle.
Correction détaillée
🔢 \(\overrightarrow{AB}(2;2)\), \(\overrightarrow{AC}(-2;2)\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-4+4=0\). \(AB=AC=2\sqrt2\).
✅ \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(A\).
4.a) \((D):x+2y-1=0\). Équation de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \((D)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Vecteur normal à \((D)\) : \((1;2)\), vecteur directeur de \((\Delta)\). Un vecteur normal de \((\Delta)\) est donc \((2;-1)\).
🔢 Étape 2 : \(2(x-3)-(y-2)=0\).
✅ \((\Delta):2x-y-4=0\).
4.b) Coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \((D)\).
Correction détaillée
🔢 \(H=(\Delta)\cap(D)\) : \(y=2x-4\) et \(x+2(2x-4)-1=0\Rightarrow5x=9\).
✅ \(H\left(\dfrac95;-\dfrac25\right)\) (contrôle : \(\dfrac95-\dfrac45-1=0\) ✓).
Exercice 8
Cercle défini par un produit scalaire, tangente, droites
1.a) \(A(1;3)\), \(B(3;1)\), \((\mathcal C)\) : \(\{M:\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=3\}\). Montrer que \((\mathcal C):x^2+y^2-4x-4y+3=0\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan écrit « \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AM}=3\) » ; avec le même vecteur on obtiendrait \(AM^2=3\) (cercle centré en \(A\)), ce qui ne donne pas l’équation annoncée. Le produit \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}\) redonne exactement l’équation de la question, c’est donc lui qui est traité.
📘 Méthode : Cercle : \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) ; la tangente en \(A\) est la droite passant par \(A\) et orthogonale à \(\overrightarrow{\Omega A}\) ; une droite est tangente si \(d(\Omega,D)=R\) ; \(d(\Omega,D)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; pour les tangentes issues d’un point extérieur, on pose une droite \(y-y_B=m(x-x_B)\) et on écrit \(d=R\) (sans oublier la verticale).
🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AM}(x-1;y-3)\), \(\overrightarrow{BM}(x-3;y-1)\).
🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=(x-1)(x-3)+(y-3)(y-1)=x^2-4x+3+y^2-4y+3\). L’égalité \(=3\) donne \(x^2+y^2-4x-4y+3=0\).
✅ \((\mathcal C):x^2+y^2-4x-4y+3=0\) ✓.
1.b) Montrer que \((\mathcal C)\) est un cercle de centre \(\Omega(2;2)\) et de rayon \(\sqrt5\).
Correction détaillée
🔢 \((x-2)^2+(y-2)^2=-3+4+4=5\).
✅ Cercle de centre \(\Omega(2;2)\) (milieu de \([AB]\)) et de rayon \(\sqrt5\).
2.a) Montrer que \(H(1;4)\in(\mathcal C)\).
Correction détaillée
🔢 \(1+16-4-16+3=0\).
✅ \(H\in(\mathcal C)\) ✓.
2.b) Équation de la tangente \((D)\) à \((\mathcal C)\) en \(H\).
Correction détaillée
🔢 \(\overrightarrow{\Omega H}(-1;2)\) est normal à \((D)\) : \(-(x-1)+2(y-4)=0\).
✅ \((D):x-2y+7=0\).
3.a) \((\Delta):x+3y-3=0\). Montrer que \((\Delta)\) coupe \((\mathcal C)\) en deux points distincts.
Correction détaillée
🔢 \(d(\Omega,\Delta)=\dfrac{|2+6-3|}{\sqrt{10}}=\dfrac5{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}2\approx1{,}58<\sqrt5\).
✅ \(d<R\) : deux points d’intersection distincts.
3.b) Coordonnées de \(E\) et \(F\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x=3-3y\) : \((3-3y)^2+y^2-4(3-3y)-4y+3=0\iff10y^2-10y=0\iff y=0\) ou \(y=1\).
🔢 Étape 2 : \(y=0\Rightarrow x=3\) ; \(y=1\Rightarrow x=0\).
✅ \(E(3;0)\) et \(F(0;1)\).
3.c) Résoudre graphiquement \(\begin{cases}x+3y-3>0\\x^2+y^2-4x-4y+3\le0\end{cases}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Deuxième inéquation : le disque fermé de frontière \((\mathcal C)\). Première : le demi-plan ouvert au-dessus de \((\Delta)\) (\(\Omega\) vérifie \(2+6-3=5>0\), l’origine non).
🔢 Étape 2 : On garde la partie du disque située du côté de \(\Omega\), la corde \([EF]\) étant exclue.
✅ L’ensemble des points du disque fermé strictement du côté de \(\Omega\) par rapport à \((EF)\) : le grand segment circulaire, arc \(EF\) inclus, corde \([EF]\) exclue.
4) \((D_m):x+my-1=0\), \(m\in\mathbb R\). Déterminer \(m\) pour que \((D_m)\) soit tangente à \((\mathcal C)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,D_m)=\dfrac{|2+2m-1|}{\sqrt{1+m^2}}=\dfrac{|1+2m|}{\sqrt{1+m^2}}\).
🔢 Étape 2 : Tangente \(\iff(1+2m)^2=5(1+m^2)\iff m^2-4m+4=0\iff(m-2)^2=0\).
✅ \(m=2\) : \((D_2):x+2y-1=0\) est tangente à \((\mathcal C)\).
Exercice 9
Cercle : tangente, intersection, tangentes issues d’un point
1) \((\mathcal C):x^2+y^2-2x+2y-3=0\). Montrer que c’est un cercle de centre \(\Omega(1;-1)\) et de rayon \(\sqrt5\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Cercle : \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) ; la tangente en \(A\) est la droite passant par \(A\) et orthogonale à \(\overrightarrow{\Omega A}\) ; une droite est tangente si \(d(\Omega,D)=R\) ; \(d(\Omega,D)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; pour les tangentes issues d’un point extérieur, on pose une droite \(y-y_B=m(x-x_B)\) et on écrit \(d=R\) (sans oublier la verticale).
🔢 \((x-1)^2+(y+1)^2=3+1+1=5\).
✅ Cercle de centre \(\Omega(1;-1)\), rayon \(\sqrt5\).
2.a) \(A(2;1)\), \(B(4;-2)\). Montrer que \(A\in(\mathcal C)\) et que \(B\) est à l’extérieur.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(A\) : \(4+1-4+2-3=0\) ✓.
🔢 Étape 2 : \(\Omega B^2=(4-1)^2+(-2+1)^2=10>5\) (ou : \(16+4-8-4-3=5>0\)).
✅ \(A\in(\mathcal C)\) et \(B\) est extérieur à \((\mathcal C)\) (\(\Omega B=\sqrt{10}>\sqrt5\)).
2.b) Équation de la tangente \((T)\) en \(A\).
Correction détaillée
🔢 \(\overrightarrow{\Omega A}(1;2)\) est normal : \((x-2)+2(y-1)=0\).
✅ \((T):x+2y-4=0\).
3.a) \((D):x+3y-3=0\). Montrer que \((D)\) coupe \((\mathcal C)\) en deux points \(E\) et \(F\).
Correction détaillée
🔢 \(d(\Omega,D)=\dfrac{|1-3-3|}{\sqrt{10}}=\dfrac5{\sqrt{10}}\approx1{,}58<\sqrt5\approx2{,}24\).
✅ Deux points d’intersection.
3.b) Coordonnées de \(E\) et \(F\).
Correction détaillée
🔢 \(x=3-3y\) : \(10y^2-10y=0\) (calcul : \(9-18y+9y^2+y^2-6+6y+2y-3\)).
✅ \(E(3;0)\) et \(F(0;1)\).
4) Équations des deux tangentes \((\Delta_1)\), \((\Delta_2)\) à \((\mathcal C)\) passant par \(B(4;-2)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Droite \(y+2=m(x-4)\) : \(mx-y-4m-2=0\). \(d(\Omega,\cdot)=\dfrac{|m+1-4m-2|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{|3m+1|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt5\).
🔢 Étape 2 : \((3m+1)^2=5(m^2+1)\iff2m^2+3m-2=0\iff m=\dfrac12\) ou \(m=-2\).
🔢 Étape 3 : La verticale \(x=4\) est à distance \(3\) de \(\Omega\) : pas tangente.
✅ \((\Delta_1):x-2y-8=0\) et \((\Delta_2):2x+y-6=0\).
Exercice 10
Cercle tangent à une droite, tangentes issues d’un point
1.a) \((\mathcal C)\) de centre \(\Omega(2;1)\), tangent à \((D):x-2y+10=0\). Montrer que \(R=2\sqrt5\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Cercle : \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) ; la tangente en \(A\) est la droite passant par \(A\) et orthogonale à \(\overrightarrow{\Omega A}\) ; une droite est tangente si \(d(\Omega,D)=R\) ; \(d(\Omega,D)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; pour les tangentes issues d’un point extérieur, on pose une droite \(y-y_B=m(x-x_B)\) et on écrit \(d=R\) (sans oublier la verticale).
🔢 \(R=d(\Omega,D)=\dfrac{|2-2+10|}{\sqrt5}=\dfrac{10}{\sqrt5}\).
✅ \(R=2\sqrt5\).
1.b) Montrer que \(x^2+y^2-4x-2y-15=0\) est une équation de \((\mathcal C)\).
Correction détaillée
🔢 \((x-2)^2+(y-1)^2=20\iff x^2+y^2-4x-2y+5-20=0\).
✅ \((\mathcal C):x^2+y^2-4x-2y-15=0\) ✓.
2) Vérifier que \(A(4;-3)\in(\mathcal C)\) et donner l’équation de la tangente \((T)\) en \(A\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(16+9-16+6-15=0\) ✓.
🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{\Omega A}(2;-4)\) normal : \(2(x-4)-4(y+3)=0\).
✅ \((T):x-2y-10=0\) (parallèle à \((D)\), de l’autre côté du cercle).
3.a) \((\Delta):x+y-1=0\). Montrer que \((\Delta)\) coupe \((\mathcal C)\) en deux points \(E\) et \(F\).
Correction détaillée
🔢 \(d(\Omega,\Delta)=\dfrac{|2+1-1|}{\sqrt2}=\sqrt2<2\sqrt5\).
✅ Deux points d’intersection.
3.b) Coordonnées de \(E\) et \(F\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(y=1-x\) : \(x^2+(1-x)^2-4x-2(1-x)-15=0\iff2x^2-4x-16=0\iff x^2-2x-8=0\).
🔢 Étape 2 : \(x=4\Rightarrow y=-3\) ; \(x=-2\Rightarrow y=3\).
✅ \(E(4;-3)\) (c’est le point \(A\)) et \(F(-2;3)\).
3.c) Résoudre graphiquement \(\begin{cases}x^2+y^2-4x-2y-15<0\\x+y-1\ge0\end{cases}\).
Correction détaillée
🔢 Intérieur ouvert du disque, et demi-plan fermé du côté de \(\Omega\) (\(2+1-1=2\ge0\)).
✅ L’intérieur du disque situé du côté de \(\Omega\) par rapport à \((EF)\), corde \([EF]\) incluse (hors points \(E,F\) eux-mêmes, qui sont sur le cercle).
5.a) Vérifier que \(B(-1;5)\) est à l’extérieur de \((\mathcal C)\).
Correction détaillée
🔢 \((-1)^2+5^2-4(-1)-2(5)-15=5>0\) ; ou \(\Omega B^2=(-3)^2+4^2=25>20\).
✅ \(B\) est à l’extérieur (\(\Omega B=5>2\sqrt5\)).
5.b) Équations des tangentes \((\Delta_1)\), \((\Delta_2)\) à \((\mathcal C)\) passant par \(B\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Droite \(y-5=m(x+1)\) : \(mx-y+m+5=0\) ; \(d(\Omega,\cdot)=\dfrac{|3m+4|}{\sqrt{m^2+1}}=2\sqrt5\).
🔢 Étape 2 : \((3m+4)^2=20(m^2+1)\iff11m^2-24m+4=0\) ; \(\Delta=400\) : \(m=2\) ou \(m=\dfrac2{11}\).
🔢 Étape 3 : La verticale \(x=-1\) est à distance \(3<2\sqrt5\) : sécante.
✅ \((\Delta_1):2x-y+7=0\) et \((\Delta_2):2x-11y+57=0\).
Exercice 11
Barycentre : associativité et concours de droites
1) \(ABC\) triangle, \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac23\overrightarrow{AC}\), \(G=\text{bar}\{(B,1),(J,2)\}\). Montrer que \(J=\text{bar}\{(A,1),(C,2)\}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Associativité : on peut remplacer un groupe de points par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients ; on peut multiplier tous les coefficients par un même réel non nul.
🔢 \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac2{1+2}\overrightarrow{AC}=\dfrac23\overrightarrow{AC}\) : c’est la relation donnée.
✅ \(J=\text{bar}\{(A,1),(C,2)\}\) (somme 3).
2) Prouver que \(G=\text{bar}\{(A,2),(B,3),(C,4)\}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(J\) est le barycentre de \((A,1),(C,2)\) de poids 3 ; \(G=\text{bar}\{(B,1),(J,2)\}\) donne à \(J\) le poids 2 : on multiplie par \(\dfrac23\) les poids de \(A\) et \(C\) : \((A,\frac23),(C,\frac43)\).
🔢 Étape 2 : \(G=\text{bar}\{(B,1),(A,\frac23),(C,\frac43)\}\), puis on multiplie tout par 3.
✅ \(G=\text{bar}\{(A,2),(B,3),(C,4)\}\) (somme 9).
3.a) \(K\) tel que \(B=\text{bar}\{(A,2),(K,-5)\}\). Montrer que \(K=\text{bar}\{(A,2),(B,3)\}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Somme \(-3\) : \(-3\overrightarrow{B}=2\overrightarrow{A}-5\overrightarrow{K}\) (avec origine \(O\)), soit \(5\overrightarrow{K}=2\overrightarrow{A}+3\overrightarrow{B}\).
🔢 Étape 2 : Donc \(K=\dfrac{2A+3B}5\).
✅ \(K=\text{bar}\{(A,2),(B,3)\}\) (somme 5).
3.b) En déduire que \((BJ)\) et \((CK)\) se coupent en \(G\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(G\in(BJ)\) car \(G\) est barycentre de \(B\) et \(J\).
🔢 Étape 2 : \(G=\text{bar}\{(K,5),(C,4)\}\) (associativité avec 3.a) : \(G\in(CK)\).
🔢 Étape 3 : Les deux droites sont distinctes (sinon \(A,B,C\) alignés).
✅ \((BJ)\cap(CK)=\{G\}\).
Exercice 12
Exprimer \(\sin(2x+\pi)\)
\(f(x)=\sin(2x+\pi)\). Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(\sin x\) et \(\cos x\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Formules : \(\sin(a+\pi)=-\sin a\) ; \(\sin2x=2\sin x\cos x\) ; \(\cos2x=2\cos^2x-1\) ; \((\sin u)’=u’\cos u\), \((\cos u)’=-u’\sin u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; tangente en \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
🔢 Étape 1 : \(\sin(2x+\pi)=-\sin2x\) (car \(\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha\)).
🔢 Étape 2 : \(\sin2x=2\sin x\cos x\).
✅ \(f(x)=-2\sin x\cos x\).
Exercice 13
Dérivée d’un produit trigonométrique
\(f(x)=\cos x\sin2x-2\sin x\). Donner la forme factorisée de \(f’\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=-\sin x\sin2x+2\cos x\cos2x-2\cos x\).
🔢 Étape 2 : On remplace : \(\sin2x=2\sin x\cos x\), \(\cos2x=2\cos^2x-1\) : \(f'(x)=-2\sin^2x\cos x+2\cos x(2\cos^2x-1)-2\cos x=-2\sin^2x\cos x+4\cos x(\cos^2x-1)\).
🔢 Étape 3 : \(\cos^2x-1=-\sin^2x\) : \(f'(x)=-2\sin^2x\cos x-4\sin^2x\cos x\).
✅ \(f'(x)=-6\sin^2x\cos x\) (contrôle : \(f(x)=2\sin x\cos^2x-2\sin x=-2\sin^3x\), dont la dérivée est \(-6\sin^2x\cos x\) ✓).
Exercice 14
Équation trigonométrique du second degré
\(f(x)=2\sin^2x+4\sin x+2\). Résoudre \(f(x)=0\) dans \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=2(\sin^2x+2\sin x+1)=2(\sin x+1)^2\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)=0\iff\sin x=-1\).
✅ \(S=\left\{-\dfrac\pi2+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\right\}\).
Exercice 15
Étude de \(f(x)=3\cos(2x+\pi/2)\)
1) \(f(x)=3\cos\left(2x+\dfrac\pi2\right)\). Montrer que \(\forall x,\ -3\le f(x)\le3\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Formules : \(\sin(a+\pi)=-\sin a\) ; \(\sin2x=2\sin x\cos x\) ; \(\cos2x=2\cos^2x-1\) ; \((\sin u)’=u’\cos u\), \((\cos u)’=-u’\sin u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; tangente en \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
🔢 \(-1\le\cos\left(2x+\frac\pi2\right)\le1\), on multiplie par 3.
✅ \(-3\le f(x)\le3\) ✓.
2) Déterminer la parité de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=3\cos\left(2x+\frac\pi2\right)=-3\sin2x\). \(D_f=\mathbb R\) est symétrique.
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=3\sin2x=-f(x)\).
✅ \(f\) est impaire.
3) Montrer que \(f(x+\pi)=f(x)\) et en déduire que \(f\) est périodique ; période ?
Correction détaillée
🔢 \(f(x+\pi)=3\cos\left(2x+2\pi+\frac\pi2\right)=3\cos\left(2x+\frac\pi2\right)=f(x)\).
✅ \(f\) est périodique de période \(\pi\).
4) Montrer que \(f'(x)=-6\sin\left(2x+\dfrac\pi2\right)\).
Correction détaillée
🔢 \(\left(\cos u\right)’=-u’\sin u\) avec \(u=2x+\frac\pi2\), \(u’=2\) : \(f'(x)=3\times\left(-2\sin\left(2x+\frac\pi2\right)\right)\).
✅ \(f'(x)=-6\sin\left(2x+\dfrac\pi2\right)\) ✓.
5.a) Montrer que si \(-\dfrac\pi4\le x\le\dfrac\pi4\) alors \(2x+\dfrac\pi2\in[0;\pi]\) ; en déduire le signe de \(f’\) sur \(\left[-\dfrac\pi4;\dfrac\pi4\right]\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(-\frac\pi2\le2x\le\frac\pi2\Rightarrow0\le2x+\frac\pi2\le\pi\).
🔢 Étape 2 : Sur \([0;\pi]\), \(\sin\ge0\), donc \(f'(x)=-6\sin(\cdot)\le0\).
✅ \(f'(x)\le0\) sur \(\left[-\dfrac\pi4;\dfrac\pi4\right]\).
5.b) Signe de \(f’\) sur \(\left[\dfrac\pi4;\dfrac{3\pi}4\right]\).
Correction détaillée
🔢 \(\frac\pi2\le2x\le\frac{3\pi}2\Rightarrow\pi\le2x+\frac\pi2\le2\pi\) : \(\sin\le0\).
✅ \(f'(x)\ge0\) sur \(\left[\dfrac\pi4;\dfrac{3\pi}4\right]\).
5.c) Tableau de variations de \(f\) sur \(\left[-\dfrac\pi4;\dfrac{3\pi}4\right]\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\left(-\frac\pi4\right)=3\cos0=3\) ; \(f\left(\frac\pi4\right)=3\cos\pi=-3\) ; \(f\left(\frac{3\pi}4\right)=3\cos2\pi=3\).
🔢 Étape 2 :
| \(x\) | \(-\frac\pi4\) | \(\frac\pi4\) | \(\frac{3\pi}4\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(3\) | \(\searrow\) | \(-3\) | \(\nearrow\) | \(3\) |
✅ \(f\) décroît de 3 à \(-3\) sur \(\left[-\frac\pi4;\frac\pi4\right]\), puis croît de \(-3\) à 3 sur \(\left[\frac\pi4;\frac{3\pi}4\right]\).
6) Équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(\dfrac\pi4\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\left(\frac\pi4\right)=-3\) ; \(f’\left(\frac\pi4\right)=-6\sin\pi=0\).
🔢 Étape 2 : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)=0\cdot\left(x-\frac\pi4\right)-3\).
✅ Tangente horizontale : \(y=-3\) (minimum de \(f\)).