Ce devoir 2 du semestre 1 pour la 1ère Bac Sc Ex est proposé avec des exercices corrigés et des corrections détaillées pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Devoir 2 Semestre 1 corrigé 1ère Bac

Devoirs 2 Semestre 1 · Série de synthèse 1ère Bac

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Exercice 1

Suite homographique \(\dfrac{16}{8-U_n}\) et suite arithmétique

1.a) Soit \((U_n)_{n\ge1}\) : \(U_1=0\) et \(U_{n+1}=\dfrac{16}{8-U_n}\). Vérifier que \(4-U_{n+1}=\dfrac{4(4-U_n)}{4+(4-U_n)}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Méthodes : monotonie : signe de \(U_{n+1}-U_n\) ; suite auxiliaire \(V_n\) : calculer \(V_{n+1}\) en fonction de \(V_n\) ; arithmétique \(V_{n+1}-V_n=r\), \(V_n=V_p+(n-p)r\) ; géométrique \(V_{n+1}=qV_n\), \(V_n=V_pq^{n-p}\) ; somme géométrique \(S=\text{1er terme}\times\dfrac{1-q^{\text{nb de termes}}}{1-q}\).

🔢 Étape 1 : \(4-U_{n+1}=4-\dfrac{16}{8-U_n}=\dfrac{32-4U_n-16}{8-U_n}=\dfrac{4(4-U_n)}{8-U_n}\).

🔢 Étape 2 : Et \(8-U_n=4+(4-U_n)\).

✅ \(4-U_{n+1}=\dfrac{4(4-U_n)}{4+(4-U_n)}\) ✓.

1.b) Montrer par récurrence que \(\forall n\in\mathbb N^*,\ 4-U_n>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(4-U_1=4>0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(4-U_n>0\), alors \(4-U_{n+1}=\dfrac{4(4-U_n)}{4+(4-U_n)}>0\) (numérateur et dénominateur positifs).

✅ \(\forall n\ge1,\ U_n<4\) ✓.

2) Étudier la monotonie de \((U_n)_{n\ge1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(U_{n+1}-U_n=\dfrac{16}{8-U_n}-U_n=\dfrac{16-8U_n+U_n^2}{8-U_n}=\dfrac{(U_n-4)^2}{8-U_n}\).

🔢 Étape 2 : \(U_n<4\Rightarrow8-U_n>4>0\) et \((U_n-4)^2>0\).

✅ \(U_{n+1}-U_n>0\) : \((U_n)\) est strictement croissante (et majorée par 4).

3.a) On pose \(V_n=\dfrac4{4-U_n}\). Montrer que \((V_n)_{n\ge1}\) est arithmétique de raison \(r=1\).

Correction détaillée

🔢 \(V_{n+1}=\dfrac4{4-U_{n+1}}=\dfrac{4\left(4+(4-U_n)\right)}{4(4-U_n)}=\dfrac{4+(4-U_n)}{4-U_n}=\dfrac4{4-U_n}+1\).

✅ \(V_{n+1}=V_n+1\) : arithmétique de raison \(1\) et de premier terme \(V_1=\dfrac44=1\).

3.b) Montrer que \(U_n=4-\dfrac4n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(V_n=V_1+(n-1)\times1=n\).

🔢 Étape 2 : \(V_n=\dfrac4{4-U_n}\Rightarrow4-U_n=\dfrac4{V_n}=\dfrac4n\).

✅ \(U_n=4-\dfrac4n\) (contrôle : \(U_1=0\), \(U_2=2=\dfrac{16}{8}\) ✓).

Exercice 2

Suite homographique \(\dfrac{5U_n+3}{U_n+3}\) et suite géométrique

1.a) Soit \(U_0=2\) et \(U_{n+1}=\dfrac{5U_n+3}{U_n+3}\). Vérifier que \(U_{n+1}=5-\dfrac{12}{U_n+3}\).

Correction détaillée

🔢 \(5-\dfrac{12}{U_n+3}=\dfrac{5U_n+15-12}{U_n+3}=\dfrac{5U_n+3}{U_n+3}\).

✅ Égalité vérifiée ✓.

1.b) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N,\ 0<U_n<3\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(U_0=2\in]0;3[\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(0<U_n<3\) alors \(3<U_n+3<6\), donc \(2<\dfrac{12}{U_n+3}<4\) et \(1<5-\dfrac{12}{U_n+3}<3\).

🔢 Étape 3 : Donc \(0<1<U_{n+1}<3\).

✅ \(0<U_n<3\) pour tout \(n\) ✓.

2.a) On pose \(V_n=\dfrac{U_n-3}{U_n+1}\). Montrer que \((V_n)\) est géométrique de raison \(q=\dfrac13\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(U_{n+1}-3=\dfrac{5U_n+3-3U_n-9}{U_n+3}=\dfrac{2(U_n-3)}{U_n+3}\) et \(U_{n+1}+1=\dfrac{5U_n+3+U_n+3}{U_n+3}=\dfrac{6(U_n+1)}{U_n+3}\).

🔢 Étape 2 : \(V_{n+1}=\dfrac{2(U_n-3)}{6(U_n+1)}=\dfrac13V_n\).

✅ \((V_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac13\), \(V_0=\dfrac{2-3}{2+1}=-\dfrac13\).

2.b) Montrer que \(U_n=\dfrac{3+V_n}{1-V_n}\) et en déduire \(U_n=\dfrac{3^{n+2}-1}{3^{n+1}+1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(V_n(U_n+1)=U_n-3\Rightarrow U_n(V_n-1)=-3-V_n\Rightarrow U_n=\dfrac{3+V_n}{1-V_n}\).

🔢 Étape 2 : \(V_n=-\dfrac13\left(\dfrac13\right)^n=-\dfrac1{3^{n+1}}\).

🔢 Étape 3 : \(U_n=\dfrac{3-\frac1{3^{n+1}}}{1+\frac1{3^{n+1}}}=\dfrac{3^{n+2}-1}{3^{n+1}+1}\).

✅ \(U_n=\dfrac{3^{n+2}-1}{3^{n+1}+1}\) (contrôle : \(U_0=\dfrac{9-1}{3+1}=2\) et \(U_1=\dfrac{27-1}{9+1}=\dfrac{13}5\) ✓).

Exercice 3

Suite arithmético-géométrique \(U_{n+1}=\frac67U_n+\frac87\)

1) Soit \(U_0=7\) et \(U_{n+1}=\dfrac67U_n+\dfrac87\). Montrer que \(\forall n,\ U_n<8\).

Correction détaillée

🔢 \(U_0=7<8\). Hérédité : \(U_{n+1}-8=\dfrac{6U_n+8-56}7=\dfrac67(U_n-8)<0\) si \(U_n<8\).

✅ \(U_n<8\) pour tout \(n\) ✓.

2) Vérifier que \(U_{n+1}-U_n=\dfrac17(8-U_n)\) et en déduire la monotonie.

Correction détaillée

🔢 \(U_{n+1}-U_n=\dfrac{6U_n+8-7U_n}7=\dfrac{8-U_n}7>0\).

✅ \((U_n)\) est strictement croissante.

3.a) On pose \(X_n=U_n-8\). Montrer que \((X_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac67\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé numérote cette question « 4 » après la question 2 (il manque le 3) ; je l’ai appelée 3.

🔢 \(X_{n+1}=U_{n+1}-8=\dfrac67(U_n-8)=\dfrac67X_n\) (calcul du 1).

✅ Géométrique de raison \(\dfrac67\), \(X_0=-1\).

3.b) Déterminer \(U_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(X_n=-\left(\dfrac67\right)^n\) donc \(U_n=8+X_n\).

✅ \(U_n=8-\left(\dfrac67\right)^n\).

3.c) Calculer \(S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^nU_k\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(S_n=8(n+1)-\displaystyle\sum_{k=0}^n\left(\dfrac67\right)^k=8(n+1)-\dfrac{1-\left(\frac67\right)^{n+1}}{1-\frac67}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac1{1-\frac67}=7\).

✅ \(S_n=8(n+1)-7\left[1-\left(\dfrac67\right)^{n+1}\right]=8n+1+7\left(\dfrac67\right)^{n+1}\) (contrôle : \(S_0=7\), \(S_1=14{,}14\ldots\)).

Exercice 4

Suite homographique \(\dfrac{3u_n}{u_n-2}\)

1.a) Soit \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{u_n-2}\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_1=\dfrac{9}{3-2}=9\) ; \(u_2=\dfrac{27}{9-2}=\dfrac{27}7\).

✅ \(u_1=9\) ; \(u_2=\dfrac{27}7\).

1.b) La suite \((u_n)\) est-elle monotone ?

Correction détaillée

🔢 \(u_0=3<u_1=9\) mais \(u_1=9>u_2=\dfrac{27}7\approx3{,}86\).

✅ Non : elle n’est ni croissante ni décroissante.

2) Montrer par récurrence que \(3\le u_n\le9\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_0=3\). On a \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{u_n-2}=3+\dfrac6{u_n-2}\).

🔢 Étape 2 : Si \(3\le u_n\le9\) alors \(1\le u_n-2\le7\), donc \(\dfrac67\le\dfrac6{u_n-2}\le6\) et \(\dfrac{27}7\le u_{n+1}\le9\), d’où \(3\le u_{n+1}\le9\).

✅ \(3\le u_n\le9\) pour tout \(n\) ✓.

3.a) Soit \(v_n=\dfrac{u_n-5}{u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(-\dfrac23\).

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=\dfrac{\frac{3u_n}{u_n-2}-5}{\frac{3u_n}{u_n-2}}=\dfrac{3u_n-5(u_n-2)}{3u_n}=\dfrac{10-2u_n}{3u_n}=-\dfrac23\cdot\dfrac{u_n-5}{u_n}\).

✅ \(v_{n+1}=-\dfrac23v_n\), \(v_0=-\dfrac23\).

3.b) Écrire \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=v_0q^n=-\dfrac23\left(-\dfrac23\right)^n=\left(-\dfrac23\right)^{n+1}\).

🔢 Étape 2 : \(v_n=1-\dfrac5{u_n}\Rightarrow u_n=\dfrac5{1-v_n}\).

✅ \(v_n=\left(-\dfrac23\right)^{n+1}\) et \(u_n=\dfrac5{1-\left(-\frac23\right)^{n+1}}\) (contrôle : \(u_0=3\), \(u_1=9\)).

3.c) Calculer \(S_n=v_1+v_2+\dots+v_{n+2}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(n+2\) termes, premier terme \(v_1=\dfrac49\), raison \(-\dfrac23\).

🔢 Étape 2 : \(S_n=\dfrac49\cdot\dfrac{1-\left(-\frac23\right)^{n+2}}{1+\frac23}=\dfrac49\cdot\dfrac35\left(1-\left(-\dfrac23\right)^{n+2}\right)\).

✅ \(S_n=\dfrac4{15}\left[1-\left(-\dfrac23\right)^{n+2}\right]\).

Exercice 5

Suite arithmétique à partir de deux termes

1) Soit \((w_n)_{n\ge2}\) arithmétique avec \(w_3=-11\) et \(w_7=-19\). Calculer la raison \(r\) et \(w_2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(w_7=w_3+4r\Rightarrow-19=-11+4r\Rightarrow r=-2\).

🔢 Étape 2 : \(w_2=w_3-r=-11+2\).

✅ \(r=-2\) et \(w_2=-9\).

2) Écrire \(w_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(w_n=w_2+(n-2)r=-9-2(n-2)\).

✅ \(w_n=-2n-5\) (contrôle : \(w_3=-11\), \(w_7=-19\) ✓).

Exercice 6

Produit scalaire et angle orienté

1.a) \(A(6;2)\), \(B(5;-2)\), \(C(1;-1)\). Calculer \(AB\), \(AC\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rappels : \(\vec u\cdot\vec v=xx’+yy’\) ; \(\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) ; \(\sin(\vec u,\vec v)=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) avec \(\det=xy’-yx’\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(-1;-4)\), \(\overrightarrow{AC}(-5;-3)\).

🔢 Étape 2 : \(AB=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\) ; \(AC=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\) ; \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5+12=17\).

✅ \(AB=\sqrt{17}\), \(AC=\sqrt{34}\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=17\).

1.b) Calculer \(\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) et \(\sin(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\cos=\dfrac{17}{\sqrt{17}\sqrt{34}}=\dfrac{17}{17\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\).

🔢 Étape 2 : \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(-1)(-3)-(-4)(-5)=3-20=-17\), donc \(\sin=\dfrac{-17}{17\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}2\).

✅ \(\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\sqrt2}2\) et \(\sin(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-\dfrac{\sqrt2}2\).

1.c) En déduire la mesure principale de l’angle orienté \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).

Correction détaillée

🔢 \(\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}2\) et \(\sin\theta=-\dfrac{\sqrt2}2\) : \(\theta=-\dfrac\pi4\).

✅ Mesure principale : \(-\dfrac\pi4\).

2) Calculer \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) et en déduire que \(ABC\) est rectangle et isocèle.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{BA}(1;4)\), \(\overrightarrow{BC}(-4;1)\) : \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-4+4=0\) : angle droit en \(B\).

🔢 Étape 2 : \(BA=\sqrt{17}\) et \(BC=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\).

✅ \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(B\) (cohérent avec \(\widehat A=45^\circ\)).

Exercice 7

Cercle, droite paramétrée, tangentes

1) \(A(2;1)\), \(B(4;3)\), \(C(3-\sqrt3;2+\sqrt3)\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\), \(\sin(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\), puis la nature de \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(2;2)\), \(\overrightarrow{AC}(1-\sqrt3;1+\sqrt3)\). \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2(1-\sqrt3)+2(1+\sqrt3)=4\).

🔢 Étape 2 : \(AB=2\sqrt2\) ; \(AC=\sqrt{(1-\sqrt3)^2+(1+\sqrt3)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2\).

🔢 Étape 3 : \(\cos=\dfrac4{8}=\dfrac12\) ; \(\det=2(1+\sqrt3)-2(1-\sqrt3)=4\sqrt3\) donc \(\sin=\dfrac{4\sqrt3}8=\dfrac{\sqrt3}2\) : angle \(\dfrac\pi3\).

🔢 Étape 4 : \(AB=AC\) et angle de \(60^\circ\) en \(A\).

✅ \(ABC\) est équilatéral (angle \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac\pi3\)).

2.a) \((\mathcal C):x^2+y^2-4x-2y-3=0\). Déterminer centre et rayon.

Correction détaillée

📘 Méthode : Cercle : mettre sous forme canonique \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\). Tangence : \(d(\Omega,\Delta)=R\), avec \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

🔢 \((x-2)^2+(y-1)^2=3+4+1=8\).

✅ Centre \(\Omega(2;1)\) (c’est le point \(A\)), rayon \(R=2\sqrt2\).

2.b) Équation cartésienne de \((AB)\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AB}(2;2)\) est colinéaire à \((1;1)\) : pente 1, passe par \(A(2;1)\) : \(y-1=x-2\).

✅ \((AB):x-y-1=0\) (vérifié avec \(B\) : \(4-3-1=0\)).

2.c) Valeur de \(m\) pour que \((\Delta):mx+y-7m=0\) soit perpendiculaire à \((AB)\).

Correction détaillée

🔢 Vecteur directeur de \((\Delta)\) : \((1;-m)\) ; de \((AB)\) : \((1;1)\). Orthogonalité : \(1-m=0\).

✅ \(m=1\).

2.d) Calculer \(d(\Omega,(\Delta))\) puis les valeurs de \(m\) pour que \((\Delta)\) soit tangente à \((\mathcal C)\), avec le point de contact.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,\Delta)=\dfrac{|2m+1-7m|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{|1-5m|}{\sqrt{m^2+1}}\).

🔢 Étape 2 : Tangente \(\iff d=2\sqrt2\iff(1-5m)^2=8(m^2+1)\iff17m^2-10m-7=0\) ; \(\Delta’=576=24^2\) : \(m=\dfrac{10\pm24}{34}\).

🔢 Étape 3 : \(m=1\) : \((\Delta):x+y-7=0\), point de contact = projeté de \(\Omega\) : \(\Omega+2(1;1)=(4;3)=B\).

🔢 Étape 4 : \(m=-\dfrac7{17}\) : \((\Delta):7x-17y-49=0\), projeté de \(\Omega\) : \(\Omega+\dfrac2{13}(7;-17)=\left(\dfrac{40}{13};-\dfrac{21}{13}\right)\). Vérification : \(\left(\dfrac{14}{13}\right)^2+\left(\dfrac{34}{13}\right)^2=8\) ✓.

✅ \(m=1\) (contact en \(B(4;3)\)) ou \(m=-\dfrac7{17}\) (contact en \(\left(\dfrac{40}{13};-\dfrac{21}{13}\right)\)).

3) Équation du cercle \((\mathcal C’)\) de diamètre \([AB]\).

Correction détaillée

🔢 Centre : milieu \(\omega(3;2)\) ; rayon \(\dfrac{AB}2=\sqrt2\).

✅ \((\mathcal C’):(x-3)^2+(y-2)^2=2\), soit \(x^2+y^2-6x-4y+11=0\).

4) Vérifier que \(C\) est à l’extérieur de \((\mathcal C’)\).

Correction détaillée

🔢 \(\omega C^2=(-\sqrt3)^2+(\sqrt3)^2=6\), donc \(\omega C=\sqrt6>\sqrt2\).

✅ \(C\) est à l’extérieur de \((\mathcal C’)\).

5) Équations des tangentes à \((\mathcal C’)\) passant par \(C\).

Correction détaillée

⚠️ Les « points communs » sont ceux de tangence ; le calcul de leurs coordonnées n’est pas demandé.

🔢 Étape 1 : Droite de pente \(m\) par \(C\) : \(y-(2+\sqrt3)=m(x-3+\sqrt3)\) soit \(mx-y+(2+\sqrt3)-m(3-\sqrt3)=0\).

🔢 Étape 2 : Distance de \(\omega(3;2)\) : \(\dfrac{|3m-2+2+\sqrt3-3m+m\sqrt3|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{\sqrt3|1+m|}{\sqrt{m^2+1}}\).

🔢 Étape 3 : Tangence : \(3(1+m)^2=2(m^2+1)\iff m^2+6m+1=0\iff m=-3\pm2\sqrt2\).

🔢 Étape 4 : (La droite verticale \(x=3-\sqrt3\) est à distance \(\sqrt3>\sqrt2\) de \(\omega\) : pas tangente.)

✅ \(y=(2\sqrt2-3)\left(x-3+\sqrt3\right)+2+\sqrt3\) et \(y=-(3+2\sqrt2)\left(x-3+\sqrt3\right)+2+\sqrt3\).

Exercice 8

Centre de gravité et point \(D\)

1) \(ABC\) triangle, \(I\) milieu de \([BC]\), \(G\) centre de gravité, \(D=\text{bar}\{(A,2),(G,-3)\}\). Construire \(D\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rappels : si \(\alpha+\beta\neq0\), \(G=\text{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\iff\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec0\iff\overrightarrow{AG}=\dfrac\beta{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\) ; associativité : on peut remplacer des points par leur barycentre partiel affecté de la somme des coefficients ; fonction de Leibniz : \(\sum\alpha_i\overrightarrow{MA_i}=(\sum\alpha_i)\overrightarrow{MG}\) si \(\sum\alpha_i\neq0\) ; si \(\sum\alpha_i=0\) le vecteur est constant.

🔢 Somme \(=-1\neq0\) : \(\overrightarrow{AD}=\dfrac{-3}{-1}\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}\).

✅ \(D\) est le point de la droite \((AG)\) tel que \(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}\).

2.a) Écrire \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{ID}\) en fonction de \(\overrightarrow{AG}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(G\) est au deux tiers de la médiane : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AI}\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac32\overrightarrow{AG}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AG}-\dfrac32\overrightarrow{AG}=\dfrac32\overrightarrow{AG}\).

✅ \(\overrightarrow{AI}=\dfrac32\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{ID}=\dfrac32\overrightarrow{AG}\).

2.b) En déduire que \(ABDC\) est un parallélogramme.

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{ID}\) : \(I\) est le milieu de \([AD]\). Mais \(I\) est aussi le milieu de \([BC]\).

✅ Les diagonales \([AD]\) et \([BC]\) ont même milieu : \(ABDC\) est un parallélogramme.

3) Déterminer l’ensemble \((\Delta)\) des points \(M\) tels que \(\|-3\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{MA}\|=BI\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(D=\text{bar}\{(A,2),(G,-3)\}\), somme \(-1\) : \(2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MG}=-\overrightarrow{MD}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(MD=BI=\dfrac{BC}2\).

✅ \((\Delta)\) est le cercle de centre \(D\) et de rayon \(BI=\dfrac{BC}2\).

4) Repère orthonormé, \(A(-2;-1)\), \(B(-3;4)\), \(C(1;3)\). Coordonnées de \(D\) et \(G\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(G=\left(\dfrac{-2-3+1}3;\dfrac{-1+4+3}3\right)=\left(-\dfrac43;2\right)\).

🔢 Étape 2 : \(D=3G-2A=(-4+4;6+2)=(0;8)\) (formule de barycentre \(\dfrac{2A-3G}{-1}\)).

🔢 Étape 3 : Contrôle : \(I=(-1;3{,}5)\) milieu de \([BC]\) et de \([AD]\) ✓.

✅ \(G\left(-\dfrac43;2\right)\) et \(D(0;8)\).

Exercice 9

Barycentre de trois points (coefficients négatifs)

1.a) \(G=\text{bar}\{(A,-2),(B,1),(C,-1)\}\), \(I\) milieu de \([BC]\). Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac12\overrightarrow{BC}\) et construire la figure.

Correction détaillée

🔢 Somme \(=-2\). \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{-2}\left(1\cdot\overrightarrow{AB}-1\cdot\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac12\overrightarrow{CB}=\dfrac12\overrightarrow{BC}\).

✅ \(\overrightarrow{AG}=\dfrac12\overrightarrow{BC}\) ✓ : \(G\) est l’image de \(A\) par la translation de vecteur \(\dfrac12\overrightarrow{BC}\).

1.b) En déduire que \(AGCI\) est un parallélogramme.

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{IC}=\dfrac12\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AG}\).

✅ \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{IC}\) : \(AGCI\) est un parallélogramme.

2.a) \(K=(CG)\cap(AB)\). Écrire \(G\) comme barycentre de \(C\) et \(K\).

Correction détaillée

⚠️ \(K\) est bien l’intersection de \((CG)\) et \((AB)\) : il est sur \((AB)\) par construction et sur \((CG)\) car \(G\) est barycentre de \(C\) et \(K\).

🔢 Étape 1 : Associativité : \(K=\text{bar}\{(A,-2),(B,1)\}\) (somme \(-1\)), \(\overrightarrow{AK}=\dfrac1{-1}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}\), c.-à-d. \(K=2A-B\).

🔢 Étape 2 : \(G=\text{bar}\{(K,-1),(C,-1)\}\) (somme \(-2\)).

✅ \(G=\text{bar}\{(C,-1),(K,-1)\}\).

2.b) En déduire que \(G\) est le milieu de \([CK]\) et que \(\overrightarrow{KA}=\dfrac12\overrightarrow{KB}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Poids égaux \(-1\) et \(-1\) : \(G\) est le milieu de \([CK]\).

🔢 Étape 2 : \(K=2A-B\Rightarrow\overrightarrow{KA}=A-K=B-A=\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{KB}=B-K=2(B-A)=2\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\) milieu de \([CK]\) et \(\overrightarrow{KA}=\dfrac12\overrightarrow{KB}\) ✓.

3) Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(\|-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\|\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme \(=-2\) : \(-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MG}\), de norme \(2MG\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\), de norme \(AB\). Donc \(2MG=AB\).

✅ Cercle de centre \(G\) et de rayon \(\dfrac{AB}2\).

Exercice 10

Barycentre : construction, coordonnées, lignes de niveau

1.a) \(G=\text{bar}\{(A,3),(B,-2),(C,3)\}\). Construire \(I=\text{bar}\{(A,3),(C,3)\}\).

Correction détaillée

🔢 Poids égaux : \(I\) est le milieu de \([AC]\).

✅ \(I\) milieu de \([AC]\).

1.b) Montrer que \(G=\text{bar}\{(B,-1),(I,3)\}\).

Correction détaillée

🔢 Associativité : \((A,3),(C,3)\to(I,6)\), donc \(G=\text{bar}\{(B,-2),(I,6)\}\). On divise les coefficients par 2.

✅ \(G=\text{bar}\{(B,-1),(I,3)\}\) ✓.

1.c) Construire \(G\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{BG}=\dfrac{3}{-1+3}\overrightarrow{BI}=\dfrac32\overrightarrow{BI}\).

✅ \(G\) est sur la droite \((BI)\) avec \(\overrightarrow{BG}=\dfrac32\overrightarrow{BI}\).

2.a) \(\overrightarrow{AJ}=-2\overrightarrow{AB}\). Montrer que \(J=\text{bar}\{(A,3),(B,-2)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{-2}{3-2}\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}\) : exactement la relation donnée.

✅ \(J=\text{bar}\{(A,3),(B,-2)\}\) (somme \(1\)).

2.b) Montrer que \((CJ)\) et \((BI)\) se coupent en \(G\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(G\in(BI)\) par 1.b).

🔢 Étape 2 : \(G=\text{bar}\{(J,1),(C,3)\}\) (associativité) donc \(G\in(CJ)\).

🔢 Étape 3 : Les deux droites sont distinctes (\(J\notin(BI)\)).

✅ \((CJ)\cap(BI)=\{G\}\).

3) \(A(1;1)\), \(B(-1;2)\), \(C(1;-1)\). Coordonnées de \(G\).

Correction détaillée

🔢 \(G=\dfrac{3A-2B+3C}4\) : \(x=\dfrac{3+2+3}4=2\), \(y=\dfrac{3-4-3}4=-1\).

✅ \(G(2;-1)\).

4) Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(\|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\|=4\|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\|\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\) (somme 4) et \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MJ}\) (somme 1).

🔢 Étape 2 : \(4MG=4MJ\iff MG=MJ\).

✅ Médiatrice du segment \([GJ]\) (\(J(5;-1)\), \(G(2;-1)\) : la droite \(x=\dfrac72\)).

5.a) \(\overrightarrow{U}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\) et \(\overrightarrow{V}=3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\). Montrer que \(\overrightarrow{U}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{V}=4\overrightarrow{MG}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme des coefficients de \(\overrightarrow{U}\) : \(0\) : \(\overrightarrow{U}=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{V}\) : somme \(4\) : \(\overrightarrow{V}=4\overrightarrow{MG}\).

✅ \(\overrightarrow{U}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) (vecteur constant) et \(\overrightarrow{V}=4\overrightarrow{MG}\).

5.b) Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{U}\) et \(\overrightarrow{V}\) soient colinéaires.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Coordonnées : \(\overrightarrow{AB}(-2;1)\), \(\overrightarrow{AC}(0;-2)\), donc \(\overrightarrow{U}=(2;1)\neq\vec0\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{U}\) et \(4\overrightarrow{MG}\) colinéaires \(\iff M=G\) ou \(\overrightarrow{GM}\parallel\overrightarrow{U}\).

✅ La droite passant par \(G\) et dirigée par \(\overrightarrow{U}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) (ici \(\vec u(2;1)\), d’équation \(x-2y-4=0\)).

Exercice 11

Barycentre : triangle isocèle, ensembles de points

1) \(AB=AC=7\). Construire \(J=\text{bar}\{(A,3),(C,4)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac47\overrightarrow{AC}\).

✅ \(J\in[AC]\) avec \(AJ=4\) (\(AJ=\dfrac47\times7\)).

2.a) \(\overrightarrow{AI}=-2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CG}=\dfrac15\overrightarrow{CI}\). Montrer que \(I=\text{bar}\{(A,3),(B,-2)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{-2}{3-2}\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}\) ✓.

✅ \(I=\text{bar}\{(A,3),(B,-2)\}\) (somme 1).

2.b) Montrer que \(G=\text{bar}\{(A,3),(B,-2),(C,4)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(I\) affecté de \(3-2=1\). \(\overrightarrow{CG}=\dfrac15\overrightarrow{CI}\) équivaut à \(G=\text{bar}\{(C,4),(I,1)\}\) (\(\overrightarrow{CG}=\dfrac1{4+1}\overrightarrow{CI}\)).

✅ Par associativité, \(G=\text{bar}\{(A,3),(B,-2),(C,4)\}\) (somme 5).

2.c) En déduire que \(J\) est le point d’intersection de \((BG)\) et \((AC)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(G=\text{bar}\{(B,-2),(J,7)\}\) (car \((A,3),(C,4)\to(J,7)\)) : \(G\in(BJ)\).

🔢 Étape 2 : \(J\in(AC)\) par définition ; \((BG)\ne(AC)\).

✅ \(J=(BG)\cap(AC)\).

3.a) \(\overrightarrow{u}=-3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\). Montrer que \(\overrightarrow{u}\) est constant.

Correction détaillée

⚠️ Le scan donne « \(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\) ». Avec les coefficients lus \((-3;1;2)\) on trouve \(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\) correspondrait à \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\) (coefficients \((1;1;-2)\)). La méthode est identique.

🔢 Somme \(-3+1+2=0\) : \(\overrightarrow{u}=(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA})+2(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA})=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\).

✅ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\) (indépendant de \(M\)).

3.b) Déterminer \((E_1)\) : \(\|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\|=\|-3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\|\).

Correction détaillée

🔢 \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}\) (\(I\), somme 1). Le second membre vaut \(\|\overrightarrow{u}\|\) (constant).

✅ \((E_1)\) est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(\|\overrightarrow{u}\|=\|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\|\).

4.a) \(H=\text{bar}\{(A,-2),(B,4),(C,5)\}\). Construire \(H\).

Correction détaillée

🔢 Somme \(7\). \(L=\text{bar}\{(A,-2),(B,4)\}\) (somme 2) : \(\overrightarrow{AL}=2\overrightarrow{AB}\). Puis \(H=\text{bar}\{(L,2),(C,5)\}\) : \(\overrightarrow{LH}=\dfrac57\overrightarrow{LC}\).

✅ On construit \(L\) puis \(H\) sur \([LC]\) avec \(\overrightarrow{LH}=\dfrac57\overrightarrow{LC}\).

4.b) \(A(1;0)\), \(B(0;1)\), \(C(-1;2)\). Coordonnées de \(H\).

Correction détaillée

🔢 \(x_H=\dfrac{-2\cdot1+4\cdot0+5\cdot(-1)}7=\dfrac{-7}7=-1\) ; \(y_H=\dfrac{0+4+10}7=2\).

✅ \(H(-1;2)\) : c’est le point \(C\) (ici \(A,B,C\) sont alignés et \(B\) est le milieu de \([AC]\)).

4.c) Déterminer \((E_2)\) : \(M\) tel que \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) soient colinéaires.

Correction détaillée

🔢 \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}\). \(\overrightarrow{MI}\parallel\overrightarrow{AC}\iff M\) est sur la droite passant par \(I\) de direction \(\overrightarrow{AC}\).

✅ \((E_2)\) est la droite passant par \(I\) et parallèle à \((AC)\).

Exercice 12

Barycentre : alignement et ensembles de points

1.a) \(\overrightarrow{AI}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}\), \(G=\text{bar}\{(A,3),(B,-1),(C,3)\}\). Construire \(I\).

Correction détaillée

🔢 \(I\) est sur \((AB)\) à l’opposé de \(B\) : \(AI=\dfrac12AB\).

✅ \(I\) est sur la droite \((AB)\), du côté opposé à \(B\) par rapport à \(A\), avec \(AI=\dfrac12AB\).

1.b) Montrer que \(I=\text{bar}\{(A,3),(B,-1)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{-1}{3-1}\overrightarrow{AB}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}\) ✓.

✅ \(I=\text{bar}\{(A,3),(B,-1)\}\) (somme 2).

1.c) En déduire \(G=\text{bar}\{(I,2),(C,3)\}\) et construire \(G\).

Correction détaillée

🔢 Associativité : \((A,3),(B,-1)\to(I,2)\), donc \(G=\text{bar}\{(I,2),(C,3)\}\) ; \(\overrightarrow{IG}=\dfrac35\overrightarrow{IC}\).

✅ \(G\in[IC]\) avec \(\overrightarrow{IG}=\dfrac35\overrightarrow{IC}\).

2) \(J\) milieu de \([AC]\). Montrer que \(G\), \(J\), \(B\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 \(G=\text{bar}\{(A,3),(C,3),(B,-1)\}=\text{bar}\{(J,6),(B,-1)\}\).

✅ \(G\) est barycentre de \(J\) et \(B\) : \(G,J,B\) sont alignés.

3) \(K=\text{bar}\{(A,1),(B,-1),(C,3)\}\). Écrire \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{AK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AK}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac1{5}\left(-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac15\overrightarrow{AB}+\dfrac35\overrightarrow{AC}\) (somme 5).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AK}=\dfrac13\left(-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) (somme 3).

🔢 Étape 3 : \(\dfrac35\overrightarrow{AK}=-\dfrac15\overrightarrow{AB}+\dfrac35\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}\).

✅ \(\overrightarrow{AG}=\dfrac35\overrightarrow{AK}\) : \(A,G,K\) sont alignés.

4.a) Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(\|3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\|=15\).

Correction détaillée

🔢 \(3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=5\overrightarrow{MG}\), donc \(5MG=15\).

✅ Cercle de centre \(G\) et de rayon \(3\).

4.b) Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(\|3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\|=\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\|\).

Correction détaillée

🔢 \(3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) ; \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}\). Donc \(MI=MJ\).

✅ Médiatrice du segment \([IJ]\).

Exercice 13

Cubique, homographique et composée

1) \(f(x)=x^3-3x+3\) sur \([0;+\infty[\) (courbe : \(f(0)=3\), minimum \(f(1)=1\)). Tableau de variation de \(f\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Composée : si \(f\) est monotone sur \(I\), \(f(I)\subset J\) et \(g\) monotone sur \(J\) : \(g\circ f\) est croissante sur \(I\) si \(f\) et \(g\) ont le même sens de variation, décroissante sinon. \(f(I)\) (image d’un intervalle) se lit sur la courbe.

🔢 Étape 1 : D’après la courbe : \(f\) décroît de 3 à 1 sur \([0;1]\), puis croît sur \([1;+\infty[\).

🔢 Étape 2 : Preuve : \(f(b)-f(a)=(b-a)(a^2+ab+b^2-3)\) ; sur \([0;1]\), \(a^2+ab+b^2<3\) (décroissante) ; sur \([1;+\infty[\), \(a^2+ab+b^2>3\) (croissante).

✅ \(f\) décroissante sur \([0;1]\), croissante sur \([1;+\infty[\), minimum \(f(1)=1\).

2) Déterminer graphiquement \(f([0;1])\) et \(f([1;+\infty[)\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) décroît de 3 à 1 sur \([0;1]\) ; elle croît de 1 à \(+\infty\) sur \([1;+\infty[\).

✅ \(f([0;1])=[1;3]\) et \(f([1;+\infty[)=[1;+\infty[\).

3) \(g(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\) : domaine et tableau de variation.

Correction détaillée

🔢 \(D_g=\mathbb R\setminus\{-1\}\). \(g(x)=1+\dfrac1{x+1}\) : décroissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\).

✅ \(D_g=\mathbb R\setminus\{-1\}\) ; \(g\) décroissante sur chaque intervalle.

4.a) Montrer graphiquement que \(\forall x\ge0,\ f(x)\neq-1\) et en déduire \(D_{g\circ f}=[0;+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)\ge1\) sur \([0;+\infty[\) (minimum 1) : la courbe ne touche jamais \(y=-1\). Donc \(f(x)\in D_g\) pour tout \(x\ge0\).

✅ \(D_{g\circ f}=[0;+\infty[\).

4.b) Déterminer \(g\circ f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(g(f(x))=\dfrac{f(x)+2}{f(x)+1}=\dfrac{x^3-3x+5}{x^3-3x+4}\).

✅ \(g\circ f(x)=\dfrac{x^3-3x+5}{x^3-3x+4}\).

4.c) Variations de \(g\circ f\) sur \([0;1]\) et \([1;+\infty[\) ; tableau.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \([0;1]\) : \(f\) décroissante, \(f([0;1])=[1;3]\subset]-1;+\infty[\) où \(g\) est décroissante : \(g\circ f\) est croissante.

🔢 Étape 2 : Sur \([1;+\infty[\) : \(f\) croissante, \(f(x)\ge1\) et \(g\) décroissante : \(g\circ f\) est décroissante.

🔢 Étape 3 : Valeurs : \(g\circ f(0)=\dfrac54\), \(g\circ f(1)=\dfrac32\), limite en \(+\infty\) : \(1\).

✅ \(g\circ f\) croît sur \([0;1]\) (de \(\frac54\) à \(\frac32\)) puis décroît vers 1 : maximum \(\dfrac32\) en \(x=1\).

4.d) En déduire \(\forall x\ge0,\ \dfrac{x^3-3x+5}{x^3-3x+4}\le\dfrac32\).

Correction détaillée

🔢 Le maximum de \(g\circ f\) est \(g\circ f(1)=\dfrac{1+2}{1+1}=\dfrac32\).

✅ \(g\circ f(x)\le\dfrac32\) pour tout \(x\ge0\) ✓. (Directement : \(1+\dfrac1{f(x)+1}\le1+\dfrac12\) car \(f(x)+1\ge2\).)

Exercice 14

Parabole, cubique et inéquation graphique

1.a) \(f(x)=\dfrac12x^2+x+1\) et \(g(x)=-\dfrac12x^3\). Tableau de variation de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=\dfrac12\left[(x+1)^2+1\right]\) : parabole de sommet \(\left(-1;\dfrac12\right)\).

✅ \(f\) décroît sur \(]-\infty;-1]\), croît sur \([-1;+\infty[\), minimum \(\dfrac12\).

1.b) Tableau de variation de \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(x\mapsto x^3\) est croissante, donc \(x\mapsto-\dfrac12x^3\) est décroissante.

✅ \(g\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\) (\(g(0)=0\)).

2) Construire \(C_f\) et \(C_g\).

Correction détaillée

🔢 \(C_f\) : \((-1;\frac12)\), \((0;1)\), \((1;\frac52)\), \((-2;1)\), \((2;5)\). \(C_g\) : \((0;0)\), \((1;-\frac12)\), \((-1;\frac12)\), \((-2;4)\), \((2;-4)\).

✅ Les deux courbes se coupent au point \(\left(-1;\dfrac12\right)\).

3) Résoudre graphiquement \(x^3+x^2+2x+2<0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\times\dfrac12\) : \(\dfrac12x^3+\dfrac12x^2+x+1<0\iff f(x)<g(x)\) (car \(f(x)-g(x)=\dfrac12x^3+\dfrac12x^2+x+1\)).

🔢 Étape 2 : Factorisation : \(x^3+x^2+2x+2=(x+1)(x^2+2)\), du signe de \(x+1\).

🔢 Étape 3 : Graphiquement : \(C_f\) est sous \(C_g\) à gauche de leur point commun d’abscisse \(-1\).

✅ \(S=]-\infty;-1[\).

Exercice 15

Fonction rationnelle avec courbe donnée et composée

1.a) \(f(x)=\dfrac{-x^2+6x-2}{x+1}\) sur \([0;+\infty[\) (courbe : \(f(0)=-2\), maximum \(f(2)=2\), \(f(8)=-2\)). Déterminer graphiquement \(f([0;2])\) et \(f([2;8])\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) croît de \(-2\) à \(2\) sur \([0;2]\) ; elle décroît de \(2\) à \(-2\) sur \([2;8]\).

🔢 Étape 2 : Vérification : \(f(2)=\dfrac{-4+12-2}3=2\), \(f(8)=\dfrac{-64+48-2}9=-2\).

✅ \(f([0;2])=[-2;2]\) et \(f([2;8])=[-2;2]\).

1.b) Tableau de variation de \(f\) sur \([0;+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Preuve algébrique : \(f(x)=-x+7-\dfrac9{x+1}\) et \(f(b)-f(a)=\dfrac{(b-a)\left[9-(a+1)(b+1)\right]}{(a+1)(b+1)}\) ; \(9-(a+1)(b+1)>0\) sur \([0;2]\) et \(<0\) sur \([2;+\infty[\).

✅ \(f\) croît de \(-2\) à \(2\) sur \([0;2]\), décroît ensuite (maximum 2 en \(x=2\)).

1.c) Résoudre graphiquement \(f(x)\ge-2\).

Correction détaillée

🔢 Vérification : \(f(x)+2=\dfrac{-x^2+8x}{x+1}=\dfrac{x(8-x)}{x+1}\ge0\iff0\le x\le8\).

✅ \(S=[0;8]\) (courbe au-dessus de la droite \(y=-2\)).

2.a) \(g(x)=\sqrt{x+2}\) : domaine et tableau de variation.

Correction détaillée

🔢 \(x+2\ge0\iff x\ge-2\) ; \(g\) croissante.

✅ \(D_g=[-2;+\infty[\), \(g\) croissante, \(g(-2)=0\).

3.a) Montrer que \(D_{g\circ f}=[0;8]\).

Correction détaillée

🔢 \(x\in D_{g\circ f}\iff x\ge0\) et \(f(x)\ge-2\iff x\ge0\) et \(x\in[0;8]\).

✅ \(D_{g\circ f}=[0;8]\).

3.b) Déterminer \(g\circ f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(g(f(x))=\sqrt{f(x)+2}=\sqrt{\dfrac{-x^2+8x}{x+1}}\).

✅ \(g\circ f(x)=\sqrt{\dfrac{-x^2+8x}{x+1}}\).

3.c) Monotonie de \(g\circ f\) sur \([0;2]\) et \([2;8]\).

Correction détaillée

🔢 \(g\) croissante : \(g\circ f\) a le même sens de variation que \(f\).

✅ \(g\circ f\) croissante sur \([0;2]\), décroissante sur \([2;8]\).

3.d) Tableau de variation de \(g\circ f\) et déduire \(\forall x\in[0;8],\ \sqrt{\dfrac{-x^2+8x}{x+1}}\le2\).

Correction détaillée

🔢 \(g\circ f(0)=0\), \(g\circ f(2)=\sqrt{2+2}=2\), \(g\circ f(8)=0\).

✅ Maximum \(2\) en \(x=2\) : \(\sqrt{\dfrac{-x^2+8x}{x+1}}\le2\) sur \([0;8]\) ✓.

Exercice 16

Parabole, racine carrée et composée

1.a) \(f(x)=x^2-4x+5\) et \(g(x)=\sqrt{x-1}\). Domaine et tableau de variation de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(D_f=\mathbb R\). \(f(x)=(x-2)^2+1\).

✅ \(f\) décroît sur \(]-\infty;2]\), croît sur \([2;+\infty[\), minimum \(f(2)=1\).

1.b) Domaine et tableau de variation de \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(x-1\ge0\iff x\ge1\) ; \(g\) croissante, \(g(1)=0\).

✅ \(D_g=[1;+\infty[\) ; \(g\) croissante.

2.a) Construire \(C_f\) et \(C_g\).

Correction détaillée

🔢 \(C_f\) : parabole de sommet \((2;1)\), points \((0;5)\), \((1;2)\), \((3;2)\), \((4;5)\). \(C_g\) : \((1;0)\), \((2;1)\), \((5;2)\), \((10;3)\). Les deux courbes passent par \((2;1)\).

✅ Tracé ; elles se coupent en \((2;1)\) et en un second point d’abscisse \(\approx2{,}45\).

2.b) Montrer graphiquement que \(\forall x\ge1,\ \sqrt{x-1}\le x^2-4x+5\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé lu demande de montrer \(\sqrt{x-1}\le x^2-4x+5\) pour tout \(x\ge1\) : c’est faux entre \(2\) et \(\approx2{,}45\) (les courbes se coupent en \(x=2\) puis en \(x\approx2{,}45\)). L’énoncé original est peut-être différent (autre inégalité ou autre intervalle) ; ici je donne ce que dit réellement le graphique.

🔢 Étape 1 : Avec \(t=\sqrt{x-1}\ge0\) : \(f(x)=(t^2-1)^2+1=t^4-2t^2+2\) et \(f(x)-g(x)=t^4-2t^2-t+2=(t-1)(t^3+t^2-t-2)\).

🔢 Étape 2 : Pour \(t=1\) (\(x=2\)) : égalité. Pour \(t\in]1;1{,}21[\) (\(x\in]2;\approx2{,}45[\)) : \(t-1>0\) et \(t^3+t^2-t-2<0\), donc \(f(x)<g(x)\).

✅ L’inégalité est vraie sur \([1;2]\) et sur \([\approx2{,}45;+\infty[\), mais fausse sur l’intervalle \(]2;\approx2{,}45[\) (par exemple \(f(2{,}2)\approx1{,}04<g(2{,}2)\approx1{,}10\)).

2.c) Déterminer graphiquement \(g([1;5])\) et \(g([5;+\infty[)\).

Correction détaillée

🔢 \(g\) croissante : \(g(1)=0\), \(g(5)=2\).

✅ \(g([1;5])=[0;2]\) et \(g([5;+\infty[)=[2;+\infty[\).

3.a) \(h=f\circ g\). Déterminer \(D_h\).

Correction détaillée

🔢 \(D_g=[1;+\infty[\) et \(g(x)\in\mathbb R=D_f\) toujours.

✅ \(D_h=[1;+\infty[\).

3.b) Calculer \(h(x)\) pour \(x\ge1\).

Correction détaillée

🔢 \(h(x)=f(\sqrt{x-1})=(x-1)-4\sqrt{x-1}+5\).

✅ \(h(x)=x+4-4\sqrt{x-1}\).

3.c) Variations de \(h\) sur \([1;5]\) et \([5;+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \([1;5]\) : \(g\) croissante, \(g([1;5])=[0;2]\) où \(f\) est décroissante : \(h\) décroissante.

🔢 Étape 2 : Sur \([5;+\infty[\) : \(g\) croissante, \(g(x)\ge2\) où \(f\) est croissante : \(h\) croissante.

✅ \(h\) décroît sur \([1;5]\) (de \(h(1)=5\) à \(h(5)=1\)), croît sur \([5;+\infty[\).

3.d) Tableau de \(h\) et déduire \(\forall x\ge1,\ x+3-4\sqrt{x-1}\ge0\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan lit « \(x-3-4\sqrt{x-1}\ge0\) », qui est faux (en \(x=5\) : \(2-8<0\)). La version cohérente avec le minimum de \(h\) est \(x+3-4\sqrt{x-1}\ge0\).

🔢 Étape 1 : Minimum \(h(5)=5+4-8=1\) : \(h(x)\ge1\iff x+3-4\sqrt{x-1}\ge0\).

🔢 Étape 2 : Contrôle : \(x+3-4\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2\ge0\).

✅ \(x+3-4\sqrt{x-1}\ge0\) ✓ (égalité en \(x=5\)).

4) \(u=g\circ g\). Déterminer \(D_u\).

Correction détaillée

🔢 \(x\in D_u\iff x\ge1\) et \(g(x)\ge1\iff\sqrt{x-1}\ge1\iff x\ge2\).

✅ \(D_u=[2;+\infty[\) (avec \(u(x)=\sqrt{\sqrt{x-1}-1}\)).