Cette série d’exercices corrigés sur la rotation dans le plan pour la 1ère Bac Sc Ex travaille la définition, les propriétés et l’image d’une figure, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.
Exercices corrigés sur la rotation dans le plan 1ère Bac
La rotation dans le plan · Série de synthèse 1ère Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
Images par une rotation dans un carré
1) \(ABCD\) carré de centre \(O\), \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\) positif. \(r_A\) rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac\pi2\). Déterminer \(r_A(A)\), \(r_A(B)\), \(r_A(D)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \(r(\Omega,\theta)\) : \(r(M)=M’\iff\Omega M’=\Omega M\) et \((\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r(\Omega)=\Omega\). La rotation conserve les distances, les angles orientés, l’alignement, et transforme une droite en une droite, deux droites parallèles en deux droites parallèles ; l’image d’une droite par une rotation d’angle \(\theta\) fait avec elle l’angle \(\theta\) (perpendiculaire si \(\theta=\dfrac\pi2\)). Si \(r(A)=A’\) et \(r(B)=B’\), alors \(A’B’=AB\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r\) transforme \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{A’B’}\) (donc \(\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{A’I’}=k\overrightarrow{A’B’}\)).
🔢 Étape 1 : \(r_A(A)=A\) (centre).
🔢 Étape 2 : \(AB=AD\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\dfrac\pi2\) : \(r_A(B)=D\).
🔢 Étape 3 : \(r_A(D)=D’\) avec \(AD’=AD\) et \((\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AD’})=\dfrac\pi2\) ; alors \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD’})=\pi\) : \(D’\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\).
✅ \(r_A(A)=A\), \(r_A(B)=D\), \(r_A(D)=B’\) symétrique de \(B\) par rapport à \(A\).
2) \(r_O\) rotation de centre \(O\) et d’angle \(\alpha\). Comment choisir \(\alpha\) pour avoir \(r_O(A)=B\) ? \(r_O(A)=C\) ?
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Les diagonales du carré sont perpendiculaires et de même longueur : \(OA=OB\) et \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\dfrac\pi2\) (car \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})>0\) donne le sens direct).
🔢 Étape 2 : \(C\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) : \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})=\pi\).
✅ \(r_O(A)=B\) pour \(\alpha=\dfrac\pi2\) ; \(r_O(A)=C\) pour \(\alpha=\pi\) (modulo \(2\pi\)).
Exercice 2
Deux triangles isocèles rectangles sur les côtés d’un triangle
1) \(ABC\) triangle ; on construit à l’extérieur les triangles \(ABD\) et \(ACE\) isocèles rectangles en \(A\). Montrer que \(BE=CD\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \(r(\Omega,\theta)\) : \(r(M)=M’\iff\Omega M’=\Omega M\) et \((\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r(\Omega)=\Omega\). La rotation conserve les distances, les angles orientés, l’alignement, et transforme une droite en une droite, deux droites parallèles en deux droites parallèles ; l’image d’une droite par une rotation d’angle \(\theta\) fait avec elle l’angle \(\theta\) (perpendiculaire si \(\theta=\dfrac\pi2\)). Si \(r(A)=A’\) et \(r(B)=B’\), alors \(A’B’=AB\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r\) transforme \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{A’B’}\) (donc \(\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{A’I’}=k\overrightarrow{A’B’}\)).
🔢 Étape 1 : On suppose \(ABC\) direct. Soit \(r\) la rotation de centre \(A\), d’angle \(\dfrac\pi2\).
🔢 Étape 2 : \(ACE\) est isocèle rectangle en \(A\), à l’extérieur : \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE})=\dfrac\pi2\) donc \(r(C)=E\).
🔢 Étape 3 : \(ABD\) est à l’extérieur du côté opposé à \(C\) : \((\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB})=\dfrac\pi2\) donc \(r(D)=B\).
🔢 Étape 4 : \(r\) transforme le segment \([DC]\) en le segment \([BE]\) : conservation des distances.
✅ \(BE=CD\) ✓.
2) Montrer que \((BE)\perp(CD)\).
Correction détaillée
🔢 Une rotation d’angle \(\dfrac\pi2\) transforme toute droite en une droite perpendiculaire : \(r((DC))=(BE)\).
✅ \((BE)\perp(CD)\) ✓ (\((\overrightarrow{DC},\overrightarrow{BE})=\dfrac\pi2\)).
Exercice 3
Deux carrés sur les côtés d’un triangle
1) \(ABC\) tel que \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) positif ; on construit à l’extérieur les carrés \(ABDE\) et \(ACFG\). \(r\) : rotation de centre \(A\), d’angle \(\dfrac\pi2\). Déterminer \(r(E)\) et \(r(C)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \(r(\Omega,\theta)\) : \(r(M)=M’\iff\Omega M’=\Omega M\) et \((\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r(\Omega)=\Omega\). La rotation conserve les distances, les angles orientés, l’alignement, et transforme une droite en une droite, deux droites parallèles en deux droites parallèles ; l’image d’une droite par une rotation d’angle \(\theta\) fait avec elle l’angle \(\theta\) (perpendiculaire si \(\theta=\dfrac\pi2\)). Si \(r(A)=A’\) et \(r(B)=B’\), alors \(A’B’=AB\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r\) transforme \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{A’B’}\) (donc \(\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{A’I’}=k\overrightarrow{A’B’}\)).
🔢 Étape 1 : Dans \(ABDE\), \(AE\) est un côté issu de \(A\), \(AE=AB\), perpendiculaire à \((AB)\), du côté opposé à \(C\) : \((\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB})=\dfrac\pi2\) donc \(r(E)=B\).
🔢 Étape 2 : Dans \(ACFG\), \(AG=AC\) et \(G\) est du côté opposé à \(B\) par rapport à \((AC)\) : \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AG})=\dfrac\pi2\) donc \(r(C)=G\).
✅ \(r(E)=B\) et \(r(C)=G\).
2) Montrer que \((\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CE})\equiv(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB})\ [2\pi]\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(r(C)=G\), \(r(A)=A\), \(r(E)=B\).
🔢 Étape 2 : Une rotation conserve les angles orientés : \((\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CE})\equiv(\overrightarrow{r(C)r(A)},\overrightarrow{r(C)r(E)})=(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB})\).
✅ \((\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CE})\equiv(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB})\ [2\pi]\) ✓.
Exercice 4
Points à un quart des côtés d’un carré
1) \(ABCD\) carré de centre \(O\), \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\) positif ; \(I\) et \(J\) tels que \(\overrightarrow{AI}=\dfrac14\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BJ}=\dfrac14\overrightarrow{BC}\). Montrer que \((OI)\perp(OJ)\) et \(OI=OJ\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \(r(\Omega,\theta)\) : \(r(M)=M’\iff\Omega M’=\Omega M\) et \((\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r(\Omega)=\Omega\). La rotation conserve les distances, les angles orientés, l’alignement, et transforme une droite en une droite, deux droites parallèles en deux droites parallèles ; l’image d’une droite par une rotation d’angle \(\theta\) fait avec elle l’angle \(\theta\) (perpendiculaire si \(\theta=\dfrac\pi2\)). Si \(r(A)=A’\) et \(r(B)=B’\), alors \(A’B’=AB\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r\) transforme \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{A’B’}\) (donc \(\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{A’I’}=k\overrightarrow{A’B’}\)).
🔢 Étape 1 : Soit \(r\) la rotation de centre \(O\), d’angle \(\dfrac\pi2\) : \(r(A)=B\) et \(r(B)=C\).
🔢 Étape 2 : \(r\) transforme \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{BC}\). Si \(r(I)=I’\) alors \(\overrightarrow{BI’}=\dfrac14\overrightarrow{BC}\), donc \(I’=J\).
🔢 Étape 3 : Ainsi \(r(I)=J\) : \(OI=OJ\) et \((\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})=\dfrac\pi2\).
✅ \(OI=OJ\) et \((OI)\perp(OJ)\) : le triangle \(OIJ\) est isocèle rectangle en \(O\).
Exercice 5
Droite parallèle à une diagonale
1) \(ABCD\) carré de centre \(O\), \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\) positif. \((D)\) parallèle à \((BD)\) coupe \((AD)\) en \(M\) et \((AB)\) en \(N\). \(r\) : rotation de centre \(O\), d’angle \(\dfrac\pi2\) ; \(E=r(M)\), \(F=r(N)\). Faire une figure et montrer que \((EF)\perp(MN)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \(r(\Omega,\theta)\) : \(r(M)=M’\iff\Omega M’=\Omega M\) et \((\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r(\Omega)=\Omega\). La rotation conserve les distances, les angles orientés, l’alignement, et transforme une droite en une droite, deux droites parallèles en deux droites parallèles ; l’image d’une droite par une rotation d’angle \(\theta\) fait avec elle l’angle \(\theta\) (perpendiculaire si \(\theta=\dfrac\pi2\)). Si \(r(A)=A’\) et \(r(B)=B’\), alors \(A’B’=AB\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r\) transforme \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{A’B’}\) (donc \(\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{A’I’}=k\overrightarrow{A’B’}\)).
🔢 \(r\) transforme la droite \((MN)\) en la droite \((EF)\) ; l’angle de la rotation est \(\dfrac\pi2\).
✅ \((EF)\perp(MN)\) ✓.
2) Déterminer l’image de la droite \((BD)\) par \(r\).
Correction détaillée
🔢 \(r(B)=C\) et \(r(D)=A\) (rotation d’angle \(\dfrac\pi2\) autour du centre du carré).
✅ \(r((BD))=(CA)\).
3) Montrer que \(DN=FA\) et \((EF)\parallel(AC)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(r(D)=A\) et \(r(N)=F\) : \(DN=AF\).
🔢 Étape 2 : \((MN)\parallel(BD)\), donc leurs images par \(r\) sont parallèles : \((EF)\parallel r((BD))=(AC)\).
✅ \(DN=FA\) et \((EF)\parallel(AC)\) ✓.
Exercice 6
Triangle isocèle rectangle et milieu de l’hypoténuse
1) \(ABC\) isocèle rectangle en \(A\), \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) positif, \(O\) milieu de \([BC]\). \(D,E\) tels que \(\overrightarrow{AD}=\dfrac23\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CE}=\dfrac23\overrightarrow{CA}\). Montrer que \(ODE\) est isocèle rectangle en \(O\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \(r(\Omega,\theta)\) : \(r(M)=M’\iff\Omega M’=\Omega M\) et \((\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r(\Omega)=\Omega\). La rotation conserve les distances, les angles orientés, l’alignement, et transforme une droite en une droite, deux droites parallèles en deux droites parallèles ; l’image d’une droite par une rotation d’angle \(\theta\) fait avec elle l’angle \(\theta\) (perpendiculaire si \(\theta=\dfrac\pi2\)). Si \(r(A)=A’\) et \(r(B)=B’\), alors \(A’B’=AB\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r\) transforme \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{A’B’}\) (donc \(\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{A’I’}=k\overrightarrow{A’B’}\)).
🔢 Étape 1 : \(O\) est équidistant de \(A,B,C\) et les rayons \([OB],[OC],[OA]\) sont orthogonaux deux à deux. Soit \(r\) la rotation de centre \(O\), d’angle \(\dfrac\pi2\) : \(r(C)=A\) et \(r(A)=B\) (vérifié avec \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\), \(O(\frac12;\frac12)\)).
🔢 Étape 2 : \(r\) transforme \(\overrightarrow{CA}\) en \(\overrightarrow{AB}\). Soit \(r(E)=E’\) : \(\overrightarrow{AE’}=\dfrac23\overrightarrow{AB}\), donc \(E’=D\).
🔢 Étape 3 : \(r(E)=D\) : \(OE=OD\) et \((\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OD})=\dfrac\pi2\).
✅ \(ODE\) est isocèle rectangle en \(O\) ✓.
Exercice 7
Alignement de trois points avec deux triangles équilatéraux
1) \(ABCD\) carré avec \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\) positif, \(AED\) et \(AFB\) triangles équilatéraux (directs). Montrer que \(E,C,F\) sont alignés.
Correction détaillée
⚠️ Le scan ne précise pas la position des triangles équilatéraux. Pour que l’alignement soit vrai, il faut \(AED\) et \(AFB\) de même orientation (tous deux directs : \(E\) à l’intérieur du carré, \(F\) à l’extérieur sous \((AB)\)). C’est cette lecture qui est traitée (vérifiée numériquement : \(E(0{,}87;0{,}5)\), \(F(0{,}5;-0{,}87)\), \(C(1;1)\)). Si les deux triangles étaient à l’intérieur (ou tous deux à l’extérieur) du carré, \(E,C,F\) ne seraient pas alignés.
📘 Méthode : Rappels : \(r(\Omega,\theta)\) : \(r(M)=M’\iff\Omega M’=\Omega M\) et \((\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r(\Omega)=\Omega\). La rotation conserve les distances, les angles orientés, l’alignement, et transforme une droite en une droite, deux droites parallèles en deux droites parallèles ; l’image d’une droite par une rotation d’angle \(\theta\) fait avec elle l’angle \(\theta\) (perpendiculaire si \(\theta=\dfrac\pi2\)). Si \(r(A)=A’\) et \(r(B)=B’\), alors \(A’B’=AB\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r\) transforme \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{A’B’}\) (donc \(\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{A’I’}=k\overrightarrow{A’B’}\)).
🔢 Étape 1 : Repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\), plan complexe : \(A=0\), \(B=1\), \(D=i\), \(C=1+i\).
🔢 Étape 2 : \(AED\) direct équilatéral : \(r_{A,\pi/3}(E)=D\), donc \(e=e^{-i\pi/3}\cdot i=e^{i\pi/6}=\dfrac{\sqrt3+i}2\). \(AFB\) direct : \(r_{A,\pi/3}(F)=B\), donc \(f=e^{-i\pi/3}=\dfrac{1-i\sqrt3}2\).
🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{CE}\) a pour affixe \(e-c=\dfrac{\sqrt3-2}2-\dfrac i2\) et \(\overrightarrow{EF}\) a pour affixe \(f-e=\dfrac{1-\sqrt3}2-\dfrac{\sqrt3+1}2i\).
🔢 Étape 4 : Avec \(\lambda=\dfrac{\sqrt3-1}2\) : \(\lambda\cdot\dfrac{1-\sqrt3}2=\dfrac{-(\sqrt3-1)^2}4=\dfrac{\sqrt3-2}2\) et \(\lambda\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3+1}2\right)=-\dfrac12\) : \(\overrightarrow{CE}=\lambda\overrightarrow{EF}\).
✅ \(\overrightarrow{CE}=\dfrac{\sqrt3-1}2\overrightarrow{EF}\) : \(C,E,F\) sont alignés (\(E\) entre \(C\) et \(F\)).
Exercice 8
Carré, points au tiers des côtés et quadrilatère central
1) \(ABCD\) carré de centre \(O\), \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\) négatif ; \(\overrightarrow{DQ}=\dfrac13\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{CP}=\dfrac13\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{AM}=\dfrac13\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BN}=\dfrac13\overrightarrow{BC}\). \((AN)\) coupe \((DM)\) et \((BP)\) en \(E\), \(F\) ; \((CQ)\) coupe \((DM)\) et \((BP)\) en \(H\), \(G\). Faire une figure pour \(AB=6\) cm.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En cm, dans un repère orthonormé : \(A(0;6)\), \(B(6;6)\), \(C(6;0)\), \(D(0;0)\) (le sens \(A\to B\to C\to D\) est indirect, donc \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})<0\)).
🔢 Étape 2 : \(M(2;6)\), \(N(6;4)\), \(P(4;0)\), \(Q(0;2)\).
🔢 Étape 3 : Intersections : \(E(1{,}8;5{,}4)\), \(F(5{,}4;4{,}2)\), \(G(4{,}2;0{,}6)\), \(H(0{,}6;1{,}8)\).
✅ Figure : carré de côté 6 cm avec \(M,N,P,Q\) au tiers des côtés et le petit quadrilatère \(EFGH\) au centre.
2) \(r\) rotation de centre \(O\), d’angle \(-\dfrac\pi2\). Montrer que \(r(M)=N\), \(r(N)=P\), \(r(P)=Q\), \(r(Q)=M\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \(r(\Omega,\theta)\) : \(r(M)=M’\iff\Omega M’=\Omega M\) et \((\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r(\Omega)=\Omega\). La rotation conserve les distances, les angles orientés, l’alignement, et transforme une droite en une droite, deux droites parallèles en deux droites parallèles ; l’image d’une droite par une rotation d’angle \(\theta\) fait avec elle l’angle \(\theta\) (perpendiculaire si \(\theta=\dfrac\pi2\)). Si \(r(A)=A’\) et \(r(B)=B’\), alors \(A’B’=AB\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’})\equiv\theta\ [2\pi]\) ; \(r\) transforme \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{A’B’}\) (donc \(\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{A’I’}=k\overrightarrow{A’B’}\)).
🔢 Étape 1 : Le sens est indirect : \(r(A)=B\), \(r(B)=C\), \(r(C)=D\), \(r(D)=A\).
🔢 Étape 2 : \(r\) transforme \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{BC}\) en \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{CD}\) en \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{DA}\) en \(\overrightarrow{AB}\).
🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{AM}=\frac13\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{Br(M)}=\frac13\overrightarrow{BC}\) (image de \(\overrightarrow{AM}\)), donc \(r(M)=N\). De même \(\overrightarrow{BN}=\frac13\overrightarrow{BC}\Rightarrow r(N)=P\) ; \(\overrightarrow{CP}=\frac13\overrightarrow{CD}\Rightarrow r(P)=Q\) ; \(\overrightarrow{DQ}=\frac13\overrightarrow{DA}\Rightarrow r(Q)=M\).
✅ \(r(M)=N\), \(r(N)=P\), \(r(P)=Q\), \(r(Q)=M\) ✓.
3.a) Montrer que \(r(F)=G\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(r((AN))=(BP)\) car \(r(A)=B\), \(r(N)=P\). \(r((BP))=(CQ)\) car \(r(B)=C\), \(r(P)=Q\).
🔢 Étape 2 : \(F\in(AN)\cap(BP)\) donc \(r(F)\in r((AN))\cap r((BP))=(BP)\cap(CQ)=\{G\}\).
✅ \(r(F)=G\) ✓.
3.b) En déduire que \(FOG\) est isocèle rectangle en \(O\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(r(F)=G\) : \(OF=OG\) et \((\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OG})=-\dfrac\pi2\).
🔢 Étape 2 : Contrôle numérique : \(O(3;3)\), \(\overrightarrow{OF}(2{,}4;1{,}2)\), \(\overrightarrow{OG}(1{,}2;-2{,}4)\) : produit scalaire nul, normes égales à \(\dfrac{6\sqrt5}5\).
✅ \(FOG\) est isocèle rectangle en \(O\) ✓.