Cette série d’exercices corrigés de calcul trigonométrique pour la 1ère Bac Sc Ex travaille le cercle trigonométrique, les formules d’addition et les équations, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Exercices corrigés de calcul trigonométrique 1ère Bac

Calcul trigonométrique · Série de synthèse 1ère Bac

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape

Exercice 1

1) Calculer \(\cos\dfrac\pi{12}\) et \(\sin\dfrac\pi{12}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formules : \(\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\) ; \(\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\) ; \(\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}\) ; \(\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a\) ; \(\sin2a=2\sin a\cos a\) ; \(\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}\) ; avec \(t=\tan\dfrac a2\) : \(\cos a=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\), \(\sin a=\dfrac{2t}{1+t^2}\), \(\tan a=\dfrac{2t}{1-t^2}\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac\pi{12}=\dfrac\pi3-\dfrac\pi4\).

🔢 Étape 2 : \(\cos\dfrac\pi{12}=\cos\dfrac\pi3\cos\dfrac\pi4+\sin\dfrac\pi3\sin\dfrac\pi4=\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt2}2+\dfrac{\sqrt3}2\cdot\dfrac{\sqrt2}2\).

🔢 Étape 3 : \(\sin\dfrac\pi{12}=\sin\dfrac\pi3\cos\dfrac\pi4-\cos\dfrac\pi3\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

✅ \(\cos\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\) et \(\sin\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

2) Calculer \(\cos\dfrac{5\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{5\pi}{12}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac\pi2-\dfrac\pi{12}\), donc \(\cos\dfrac{5\pi}{12}=\sin\dfrac\pi{12}\) et \(\sin\dfrac{5\pi}{12}=\cos\dfrac\pi{12}\).

✅ \(\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\) et \(\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\).

3) Montrer que \(\cos x=\cos\left(x+\dfrac\pi3\right)+\cos\left(x-\dfrac\pi3\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\cos\left(x+\dfrac\pi3\right)+\cos\left(x-\dfrac\pi3\right)=2\cos x\cos\dfrac\pi3\) (les termes en \(\sin\) s’annulent).

🔢 Étape 2 : \(\cos\dfrac\pi3=\dfrac12\).

✅ \(\cos\left(x+\frac\pi3\right)+\cos\left(x-\frac\pi3\right)=\cos x\) ✓.

4) Montrer que \(\sin\left(x+\dfrac{2\pi}3\right)+\sin\left(x-\dfrac{2\pi}3\right)+\sin x=0\).

Correction détaillée

🔢 \(\sin\left(x+\dfrac{2\pi}3\right)+\sin\left(x-\dfrac{2\pi}3\right)=2\sin x\cos\dfrac{2\pi}3=-\sin x\).

✅ La somme vaut \(-\sin x+\sin x=0\) ✓.

Exercice 2

1) Soient \(0<a<\dfrac\pi2\), \(0<b<\dfrac\pi2\) avec \(\cos a=\sin b=\dfrac12\). Calculer \(\sin a\) et \(\cos b\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin a=\sqrt{1-\cos^2a}=\sqrt{1-\frac14}\) (positif car \(a\in]0;\frac\pi2[\)).

🔢 Étape 2 : \(\cos b=\sqrt{1-\sin^2b}=\sqrt{\frac34}\).

✅ \(\sin a=\cos b=\dfrac{\sqrt3}2\).

2) Calculer \(\sin(a+b)\).

Correction détaillée

🔢 \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b=\dfrac{\sqrt3}2\cdot\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac34+\dfrac14\).

✅ \(\sin(a+b)=1\) (en effet \(a=b=\dfrac\pi3\)).

Exercice 3

Calculer \(\cos\dfrac{11\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{11\pi}{12}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{11\pi}{12}=\pi-\dfrac\pi{12}\) : \(\cos(\pi-a)=-\cos a\), \(\sin(\pi-a)=\sin a\).

✅ \(\cos\dfrac{11\pi}{12}=-\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\) et \(\sin\dfrac{11\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

Exercice 4

Calculer \(\cos\dfrac\pi8\) et \(\sin\dfrac\pi8\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\cos\dfrac\pi4=2\cos^2\dfrac\pi8-1\Rightarrow\cos^2\dfrac\pi8=\dfrac{1+\frac{\sqrt2}2}2=\dfrac{2+\sqrt2}4\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac\pi8\in]0;\dfrac\pi2[\) : \(\cos\dfrac\pi8>0\). De même \(\cos\dfrac\pi4=1-2\sin^2\dfrac\pi8\Rightarrow\sin^2\dfrac\pi8=\dfrac{2-\sqrt2}4\).

✅ \(\cos\dfrac\pi8=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\) et \(\sin\dfrac\pi8=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}2\).

Exercice 5

Sachant que \(\sin x=\dfrac12\) et \(0<x<\dfrac\pi2\), calculer \(\cos2x\) et \(\sin2x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\cos x=\sqrt{1-\frac14}=\dfrac{\sqrt3}2\).

🔢 Étape 2 : \(\cos2x=1-2\sin^2x=1-\dfrac12\) ; \(\sin2x=2\sin x\cos x=2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}2\).

✅ \(\cos2x=\dfrac12\) et \(\sin2x=\dfrac{\sqrt3}2\).

Exercice 6

Calculer \(\tan\dfrac{11\pi}{12}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\tan\dfrac{11\pi}{12}=\tan\left(\pi-\dfrac\pi{12}\right)=-\tan\dfrac\pi{12}\).

🔢 Étape 2 : \(\tan\dfrac\pi{12}=\tan\left(\dfrac\pi3-\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}2=2-\sqrt3\).

✅ \(\tan\dfrac{11\pi}{12}=\sqrt3-2\).

Exercice 7

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \(x^2+2x-1=0\).

Correction détaillée

🔢 \(\Delta=4+4=8\), \(\sqrt\Delta=2\sqrt2\).

✅ \(x=-1+\sqrt2\) ou \(x=-1-\sqrt2\).

2) En déduire \(\tan\dfrac\pi8\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Posons \(t=\tan\dfrac\pi8\). \(\tan\dfrac\pi4=1=\dfrac{2t}{1-t^2}\iff t^2+2t-1=0\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac\pi8\in]0;\dfrac\pi2[\) : \(t>0\).

✅ \(\tan\dfrac\pi8=\sqrt2-1\).

Exercice 8

Soit \(a\in\mathbb R\) tel que \(\tan\dfrac a2=\sqrt2\). Calculer \(\cos a\), \(\sin a\) et \(\tan a\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Avec \(t=\sqrt2\) : \(\cos a=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}=\dfrac{1-2}{1+2}\) ; \(\sin a=\dfrac{2t}{1+t^2}=\dfrac{2\sqrt2}3\).

🔢 Étape 2 : \(\tan a=\dfrac{\sin a}{\cos a}=\dfrac{2t}{1-t^2}=\dfrac{2\sqrt2}{-1}\).

✅ \(\cos a=-\dfrac13\), \(\sin a=\dfrac{2\sqrt2}3\), \(\tan a=-2\sqrt2\).

Exercice 9

1) Montrer que \(\tan\dfrac\pi{12}=2-\sqrt3\).

Correction détaillée

🔢 \(\tan\left(\dfrac\pi3-\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\dfrac{4-2\sqrt3}2\).

✅ \(\tan\dfrac\pi{12}=2-\sqrt3\) ✓.

2.a) \((E):2\cos x-2\sin x-1-\sqrt3=0\). Vérifier que \(\pi+2k\pi\) n’est pas solution.

Correction détaillée

🔢 Pour \(x=\pi+2k\pi\) : \(\cos x=-1\), \(\sin x=0\) : \(-2-1-\sqrt3=-3-\sqrt3\neq0\).

✅ \(\pi+2k\pi\) n’est pas solution : on peut poser \(t=\tan\dfrac x2\).

2.b) En posant \(t=\tan\dfrac x2\), résoudre \((E)\) (remarquer que \(4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\), \(\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}\). On multiplie par \(1+t^2\) : \(2(1-t^2)-4t-(1+\sqrt3)(1+t^2)=0\).

🔢 Étape 2 : \(\iff(3+\sqrt3)t^2+4t+(\sqrt3-1)=0\). \(\Delta=16-4(3+\sqrt3)(\sqrt3-1)=16-8\sqrt3=4(\sqrt3-1)^2\).

🔢 Étape 3 : \(t_1=\dfrac{-4+2(\sqrt3-1)}{2(3+\sqrt3)}=\dfrac{\sqrt3-3}{3+\sqrt3}=\sqrt3-2=-\tan\dfrac\pi{12}\) ; \(t_2=\dfrac{-4-2(\sqrt3-1)}{2(3+\sqrt3)}=-\dfrac1{\sqrt3}=-\tan\dfrac\pi6\).

🔢 Étape 4 : \(\tan\dfrac x2=\tan\left(-\dfrac\pi{12}\right)\Rightarrow x=-\dfrac\pi6+2k\pi\) ; \(\tan\dfrac x2=\tan\left(-\dfrac\pi6\right)\Rightarrow x=-\dfrac\pi3+2k\pi\).

🔢 Étape 5 : Contrôle : \(x=-\dfrac\pi3\) : \(2\cdot\dfrac12+2\cdot\dfrac{\sqrt3}2-1-\sqrt3=0\) ✓.

✅ \(S=\left\{-\dfrac\pi6+2k\pi\ ;\ -\dfrac\pi3+2k\pi\ ,\ k\in\mathbb Z\right\}\).

3) Représenter les images des solutions sur le cercle trigonométrique.

Correction détaillée

🔢 Deux familles de solutions \(\Rightarrow\) deux points (période \(2\pi\)) : les points d’angles \(-\dfrac\pi6\) et \(-\dfrac\pi3\).

✅ Les images sont les deux points \(M_1\) (angle \(-30^\circ\)) et \(M_2\) (angle \(-60^\circ\)) du cercle trigonométrique.

Exercice 10

1) Montrer que \(\dfrac{\sin3x}{\sin x}-\dfrac{\cos3x}{\cos x}=2\) pour tout \(x\in\left]0;\dfrac\pi2\right[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formules : \(\cos p+\cos q=2\cos\dfrac{p+q}2\cos\dfrac{p-q}2\) ; \(\cos p-\cos q=-2\sin\dfrac{p+q}2\sin\dfrac{p-q}2\) ; \(\sin p+\sin q=2\sin\dfrac{p+q}2\cos\dfrac{p-q}2\) ; \(\sin p-\sin q=2\cos\dfrac{p+q}2\sin\dfrac{p-q}2\) ; \(\cos a\cos b=\dfrac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]\) ; \(\sin a\sin b=\dfrac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\) ; \(\sin a\cos b=\dfrac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]\).

🔢 Étape 1 : Mise au même dénominateur : \(\dfrac{\sin3x\cos x-\cos3x\sin x}{\sin x\cos x}=\dfrac{\sin(3x-x)}{\sin x\cos x}\).

🔢 Étape 2 : \(\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x\).

✅ \(\dfrac{\sin2x}{\frac12\sin2x}=2\) ✓ (\(\sin2x\neq0\) sur \(]0;\frac\pi2[\)).

Exercice 11

1) Montrer que \(1-\cos x+\sin x=2\sin\dfrac x2\left(\sin\dfrac x2+\cos\dfrac x2\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(1-\cos x=2\sin^2\dfrac x2\) et \(\sin x=2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2\).

🔢 Étape 2 : On additionne et on factorise \(2\sin\dfrac x2\).

✅ \(1-\cos x+\sin x=2\sin\dfrac x2\left(\sin\dfrac x2+\cos\dfrac x2\right)\) ✓.

2) Si \(\alpha\in\mathbb R\) et \(\sin\alpha\neq-1\), montrer que \(\dfrac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}=\tan^2\left(\dfrac\pi4-\dfrac\alpha2\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Posons \(\beta=\dfrac\pi2-\alpha\) : \(\sin\alpha=\cos\beta\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{1-\cos\beta}{1+\cos\beta}=\dfrac{2\sin^2(\beta/2)}{2\cos^2(\beta/2)}=\tan^2\dfrac\beta2\) et \(\dfrac\beta2=\dfrac\pi4-\dfrac\alpha2\).

✅ \(\dfrac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}=\tan^2\left(\dfrac\pi4-\dfrac\alpha2\right)\) ✓ (la condition \(\sin\alpha\ne-1\) assure \(\cos\frac\beta2\neq0\)).

Exercice 12

1) Montrer que \(\sin^2x-\cos2x-1=-2\cos^2x\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit « \(\sin^2x-\cos2x-1=-2\cos^2x\,\times\cos2x\) » (illisible) ; avec \(\cos2x\) l’égalité est fausse (\(x=\frac\pi2\) donne \(1\neq0\)). On démontre la version cohérente \(\sin^2x-\cos^2x-1=-2\cos^2x\).

🔢 Étape 1 : \(\cos2x=\cos^2x-\sin^2x\) donc \(\sin^2x-\cos2x-1=2\sin^2x-\cos^2x-1\).

🔢 Étape 2 : Avec \(\sin^2x=1-\cos^2x\), ce membre vaut \(1-3\cos^2x\), différent de \(-2\cos^2x\). En revanche \(\sin^2x-\cos^2x-1=(1-\cos^2x)-\cos^2x-1=-2\cos^2x\).

✅ L’identité vraie est \(\sin^2x-\cos^2x-1=-2\cos^2x\).

2) Montrer que \(2\sin^2x+12\cos^2x=5\cos2x+7\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2\sin^2x+12\cos^2x=2+10\cos^2x\).

🔢 Étape 2 : \(5\cos2x+7=5(2\cos^2x-1)+7=10\cos^2x+2\).

✅ Les deux membres valent \(10\cos^2x+2\) ✓.

Exercice 13

1) Transformer en produit \(A(x)=\sin2x+\sin4x\).

Correction détaillée

🔢 \(\sin p+\sin q\) avec \(p=2x\), \(q=4x\) : \(2\sin3x\cos(-x)\).

✅ \(A(x)=2\sin3x\cos x\).

2) Transformer en produit \(B(x)=\cos x+\cos2x+\cos3x+\cos4x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Groupes : \((\cos x+\cos3x)+(\cos2x+\cos4x)=2\cos2x\cos x+2\cos3x\cos x\).

🔢 Étape 2 : \(=2\cos x(\cos2x+\cos3x)=2\cos x\cdot2\cos\dfrac{5x}2\cos\dfrac x2\).

✅ \(B(x)=4\cos x\cos\dfrac{5x}2\cos\dfrac x2\).

Exercice 14

Écrire sous forme d’une somme : 1) \(\cos2x\sin4x\) ; 2) \(\sin x\sin3x\) ; 3) \(\cos4x\cos6x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : 1) \(\sin4x\cos2x=\dfrac12[\sin6x+\sin2x]\).

🔢 Étape 2 : 2) \(\sin x\sin3x=\dfrac12[\cos2x-\cos4x]\).

🔢 Étape 3 : 3) \(\cos4x\cos6x=\dfrac12[\cos10x+\cos2x]\).

✅ 1) \(\dfrac12(\sin6x+\sin2x)\) ; 2) \(\dfrac12(\cos2x-\cos4x)\) ; 3) \(\dfrac12(\cos10x+\cos2x)\).

Exercice 15

1) Calculer \(\cos\dfrac{7\pi}{12}\cos\dfrac{5\pi}{12}\).

Correction détaillée

🔢 \(=\dfrac12\left[\cos\pi+\cos\dfrac\pi6\right]=\dfrac12\left(-1+\dfrac{\sqrt3}2\right)\).

✅ \(\dfrac{\sqrt3-2}4\).

2) Calculer \(\sin\dfrac{7\pi}{12}\cos\dfrac{5\pi}{12}\).

Correction détaillée

🔢 \(=\dfrac12\left[\sin\pi+\sin\dfrac\pi6\right]=\dfrac12\times\dfrac12\).

✅ \(\dfrac14\).

Exercice 16

1) Montrer que \(\sin\dfrac{3\pi}{11}+\sin\dfrac{7\pi}{11}=2\sin\dfrac{5\pi}{11}\cos\dfrac{2\pi}{11}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{p+q}2=\dfrac{5\pi}{11}\) et \(\dfrac{p-q}2=-\dfrac{2\pi}{11}\) ; \(\cos\) est paire.

✅ Formule \(\sin p+\sin q\) ✓.

2) Montrer que \(\sin\dfrac{3\pi}{11}-\sin\dfrac{7\pi}{11}=-2\cos\dfrac{5\pi}{11}\sin\dfrac{2\pi}{11}\).

Correction détaillée

🔢 \(\sin p-\sin q=2\cos\dfrac{p+q}2\sin\dfrac{p-q}2=2\cos\dfrac{5\pi}{11}\sin\left(-\dfrac{2\pi}{11}\right)\).

✅ \(=-2\cos\dfrac{5\pi}{11}\sin\dfrac{2\pi}{11}\) ✓.

3) En déduire \(\dfrac{\sin\frac{3\pi}{11}+\sin\frac{7\pi}{11}}{\sin\frac{3\pi}{11}-\sin\frac{7\pi}{11}}=-\dfrac{\tan\frac{5\pi}{11}}{\tan\frac{2\pi}{11}}\).

Correction détaillée

🔢 Rapport : \(\dfrac{2\sin\frac{5\pi}{11}\cos\frac{2\pi}{11}}{-2\cos\frac{5\pi}{11}\sin\frac{2\pi}{11}}=-\dfrac{\sin\frac{5\pi}{11}}{\cos\frac{5\pi}{11}}\cdot\dfrac{\cos\frac{2\pi}{11}}{\sin\frac{2\pi}{11}}\).

✅ \(=-\dfrac{\tan\frac{5\pi}{11}}{\tan\frac{2\pi}{11}}\) ✓.

Exercice 17

Montrer que \(\dfrac{\cos2x-\cos4x}{\cos2x+\cos4x}=\tan3x\tan x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Numérateur : \(\cos2x-\cos4x=-2\sin3x\sin(-x)=2\sin3x\sin x\).

🔢 Étape 2 : Dénominateur : \(\cos2x+\cos4x=2\cos3x\cos x\).

✅ Quotient \(=\dfrac{\sin3x\sin x}{\cos3x\cos x}=\tan3x\tan x\) ✓.

Exercice 18

Montrer que pour tout \(x\in\mathbb R\) : \(\cos^2\dfrac{5x}2-\cos^2\dfrac{3x}2=-\sin4x\sin x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Identité remarquable : \(\left(\cos\dfrac{5x}2-\cos\dfrac{3x}2\right)\left(\cos\dfrac{5x}2+\cos\dfrac{3x}2\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\cos\dfrac{5x}2-\cos\dfrac{3x}2=-2\sin2x\sin\dfrac x2\) et \(\cos\dfrac{5x}2+\cos\dfrac{3x}2=2\cos2x\cos\dfrac x2\).

🔢 Étape 3 : Produit : \(-4\sin2x\cos2x\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2=-4\times\dfrac12\sin4x\times\dfrac12\sin x\).

✅ \(=-\sin4x\sin x\) ✓.

Exercice 19

1) \(\sin3x=\sin x\left(3-4\sin^2x\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=2\sin x\cos^2x+(1-2\sin^2x)\sin x\).

🔢 Étape 2 : \(=\sin x\left(2-2\sin^2x+1-2\sin^2x\right)\).

✅ \(\sin3x=\sin x(3-4\sin^2x)\) ✓.

2) \(\cos3x=\cos x\left(4\cos^2x-3\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\cos3x=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x=(2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2x\cos x\).

🔢 Étape 2 : \(=\cos x(2\cos^2x-1-2+2\cos^2x)\).

✅ \(\cos3x=\cos x(4\cos^2x-3)\) ✓.

3) \(\cos4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1\).

Correction détaillée

🔢 \(\cos4x=2\cos^22x-1=2(2\cos^2x-1)^2-1=2(4\cos^4x-4\cos^2x+1)-1\).

✅ \(\cos4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1\) ✓.

4) \(\sin4x=4\sin x\left(2\cos^3x-\cos x\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(\sin4x=2\sin2x\cos2x=4\sin x\cos x(2\cos^2x-1)\).

✅ \(\sin4x=4\sin x(2\cos^3x-\cos x)\) ✓.

5) \(\cos^3x=\dfrac14(3\cos x+\cos3x)\).

Correction détaillée

🔢 D’après 2) : \(\cos3x=4\cos^3x-3\cos x\).

✅ \(\cos^3x=\dfrac{3\cos x+\cos3x}4\) ✓.

Exercice 20

Soient \(P(x)=\sin2x-\sin x\) et \(Q(x)=1+\cos x+\cos2x\). Montrer que \(P(x)=\sin x(2\cos x-1)\) et \(Q(x)=\cos x(2\cos x+1)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(P(x)=2\sin x\cos x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)\).

🔢 Étape 2 : \(Q(x)=1+\cos x+2\cos^2x-1=\cos x+2\cos^2x=\cos x(1+2\cos x)\).

✅ \(P(x)=\sin x(2\cos x-1)\) et \(Q(x)=\cos x(2\cos x+1)\) ✓.

Exercice 21

1) Linéariser \(2\cos^2x\sin2x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2\cos^2x=1+\cos2x\), donc \(2\cos^2x\sin2x=\sin2x+\sin2x\cos2x\).

🔢 Étape 2 : \(\sin2x\cos2x=\dfrac12\sin4x\).

✅ \(2\cos^2x\sin2x=\sin2x+\dfrac12\sin4x\).

2) Linéariser \(\cos^3x\).

Correction détaillée

🔢 Voir l’exercice précédent : \(\cos^3x=\dfrac{3\cos x+\cos3x}4\).

✅ \(\cos^3x=\dfrac34\cos x+\dfrac14\cos3x\).

Exercice 22

1) Soit \(A=\sin\dfrac\pi9\sin\dfrac{2\pi}9\sin\dfrac{3\pi}9\sin\dfrac{4\pi}9\). Montrer que \(\sin\dfrac\pi9\sin\dfrac{4\pi}9=\dfrac12\left(\dfrac12-\cos\dfrac{5\pi}9\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin a\sin b=\dfrac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\) : \(a-b=-\dfrac{3\pi}9=-\dfrac\pi3\), \(a+b=\dfrac{5\pi}9\).

🔢 Étape 2 : \(\cos\dfrac\pi3=\dfrac12\).

✅ \(\sin\dfrac\pi9\sin\dfrac{4\pi}9=\dfrac12\left(\dfrac12-\cos\dfrac{5\pi}9\right)\) ✓.

2) Montrer que \(\cos\dfrac{5\pi}9\sin\dfrac{2\pi}9=\dfrac12\left(\sin\dfrac{7\pi}9-\dfrac{\sqrt3}2\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin a\cos b=\dfrac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]\) avec \(a=\dfrac{2\pi}9\), \(b=\dfrac{5\pi}9\) : \(a+b=\dfrac{7\pi}9\), \(a-b=-\dfrac\pi3\).

🔢 Étape 2 : \(\sin\left(-\dfrac\pi3\right)=-\dfrac{\sqrt3}2\).

✅ \(\cos\dfrac{5\pi}9\sin\dfrac{2\pi}9=\dfrac12\left(\sin\dfrac{7\pi}9-\dfrac{\sqrt3}2\right)\) ✓.

3) En déduire que \(A=\dfrac3{16}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin\dfrac{3\pi}9=\dfrac{\sqrt3}2\). \(A=\dfrac{\sqrt3}2\cdot\sin\dfrac{2\pi}9\cdot\sin\dfrac\pi9\sin\dfrac{4\pi}9\).

🔢 Étape 2 : \(\sin\dfrac{2\pi}9\sin\dfrac\pi9\sin\dfrac{4\pi}9=\dfrac14\sin\dfrac{2\pi}9-\dfrac12\cos\dfrac{5\pi}9\sin\dfrac{2\pi}9=\dfrac14\sin\dfrac{2\pi}9-\dfrac14\sin\dfrac{7\pi}9+\dfrac{\sqrt3}8\).

🔢 Étape 3 : \(\sin\dfrac{7\pi}9=\sin\left(\pi-\dfrac{2\pi}9\right)=\sin\dfrac{2\pi}9\) : les deux premiers termes s’annulent ; reste \(\dfrac{\sqrt3}8\).

🔢 Étape 4 : \(A=\dfrac{\sqrt3}2\times\dfrac{\sqrt3}8\).

✅ \(A=\dfrac3{16}\) ✓.

Exercice 23

1) Soit \(\theta\in\left]0;\dfrac\pi2\right[\) tel que \(3\sin\theta+5\cos\theta=5\). Montrer que \(5\sin\theta-3\cos\theta=3\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((3\sin\theta+5\cos\theta)^2+(5\sin\theta-3\cos\theta)^2=34(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=34\), donc \((5\sin\theta-3\cos\theta)^2=34-25=9\).

🔢 Étape 2 : Si \(5\sin\theta-3\cos\theta=-3\), alors \(\sin\theta=\dfrac{3\cos\theta-3}5\le0\), impossible car \(\theta\in]0;\frac\pi2[\).

✅ \(5\sin\theta-3\cos\theta=3\) ✓.

2) Déduire \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Système : \(3s+5c=5\) (1) et \(5s-3c=3\) (2). Combinons \(3\times(1)+5\times(2)\) : \(9s+15c+25s-15c=15+15\).

🔢 Étape 2 : Donc \(34s=30\), \(s=\dfrac{15}{17}\). Puis \(5c=5-3s=5-\dfrac{45}{17}=\dfrac{40}{17}\), \(c=\dfrac8{17}\).

✅ \(\sin\theta=\dfrac{15}{17}\) et \(\cos\theta=\dfrac8{17}\) (vérification : \(\dfrac{225+64}{289}=1\)).

Exercice 24

Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(\sin x+\sin3x+\sin5x+\sin7x=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rappels : \(\cos x=\cos a\iff x=a+2k\pi\) ou \(x=-a+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin a\iff x=a+2k\pi\) ou \(x=\pi-a+2k\pi\) ; \(\tan x=\tan a\iff x=a+k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)). On ramène \(a\cos x+b\sin x\) à \(r\cos(x-\varphi)\) avec \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) (\(\cos\varphi=\frac ar\), \(\sin\varphi=\frac br\)). On retient ensuite les solutions de l’intervalle demandé.

🔢 Étape 1 : On groupe : \((\sin x+\sin7x)+(\sin3x+\sin5x)=2\sin4x\cos3x+2\sin4x\cos x\).

🔢 Étape 2 : \(=2\sin4x(\cos3x+\cos x)=4\sin4x\cos2x\cos x\).

🔢 Étape 3 : Produit nul : \(\sin4x=0\) ou \(\cos2x=0\) ou \(\cos x=0\).

🔢 Étape 4 : \(\sin4x=0\iff x=\dfrac{k\pi}4\) ; \(\cos2x=0\iff x=\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2\) ; \(\cos x=0\iff x=\dfrac\pi2+k\pi\). Les deux dernières familles sont contenues dans \(x=\frac{k\pi}4\).

✅ \(S=\left\{\dfrac{k\pi}4\ ,\ k\in\mathbb Z\right\}\).

Exercice 25

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(\cos\left(2x+\dfrac\pi4\right)=-\dfrac{\sqrt3}2\) et représenter les images des solutions sur le cercle trigonométrique.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(-\dfrac{\sqrt3}2=\cos\dfrac{5\pi}6\).

🔢 Étape 2 : \(2x+\dfrac\pi4=\dfrac{5\pi}6+2k\pi\) ou \(2x+\dfrac\pi4=-\dfrac{5\pi}6+2k\pi\).

🔢 Étape 3 : \(2x=\dfrac{7\pi}{12}+2k\pi\) ou \(2x=-\dfrac{13\pi}{12}+2k\pi\).

✅ \(S=\left\{\dfrac{7\pi}{24}+k\pi\ ;\ -\dfrac{13\pi}{24}+k\pi\right\}\) ; sur le cercle : 4 points d’angles \(\dfrac{7\pi}{24}\), \(\dfrac{7\pi}{24}+\pi=\dfrac{31\pi}{24}\), \(-\dfrac{13\pi}{24}\), \(\dfrac{11\pi}{24}\) (période \(\pi\) pour \(x\) : deux points par famille sur \([0;2\pi[\)).

2) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(\cos\left(x+\dfrac\pi4\right)=\sin\left(3x-\dfrac\pi6\right)\), puis déterminer les solutions dans \(]-\pi;\pi]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin\left(3x-\dfrac\pi6\right)=\cos\left(\dfrac\pi2-3x+\dfrac\pi6\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi}3-3x\right)\).

🔢 Étape 2 : (a) \(x+\dfrac\pi4=\dfrac{2\pi}3-3x+2k\pi\iff4x=\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi\iff x=\dfrac{5\pi}{48}+\dfrac{k\pi}2\).

🔢 Étape 3 : (b) \(x+\dfrac\pi4=-\dfrac{2\pi}3+3x+2k\pi\iff2x=\dfrac{11\pi}{12}-2k\pi\iff x=\dfrac{11\pi}{24}-k\pi\).

🔢 Étape 4 : Dans \(]-\pi;\pi]\) : (a) \(k=-2,-1,0,1\) : \(-\dfrac{43\pi}{48},-\dfrac{19\pi}{48},\dfrac{5\pi}{48},\dfrac{29\pi}{48}\) ; (b) \(k=0,1\) : \(\dfrac{11\pi}{24},-\dfrac{13\pi}{24}\).

✅ Dans \(\mathbb R\) : \(S=\left\{\dfrac{5\pi}{48}+\dfrac{k\pi}2\right\}\cup\left\{\dfrac{11\pi}{24}+k\pi\right\}\) ; dans \(]-\pi;\pi]\) : \(\left\{-\dfrac{43\pi}{48},-\dfrac{13\pi}{24},-\dfrac{19\pi}{48},\dfrac{5\pi}{48},\dfrac{11\pi}{24},\dfrac{29\pi}{48}\right\}\).

Exercice 26

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(\sin\left(3x+\dfrac\pi6\right)=-\dfrac{\sqrt2}2\) et représenter les images sur le cercle trigonométrique.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(-\dfrac{\sqrt2}2=\sin\left(-\dfrac\pi4\right)\).

🔢 Étape 2 : \(3x+\dfrac\pi6=-\dfrac\pi4+2k\pi\) ou \(3x+\dfrac\pi6=\pi+\dfrac\pi4+2k\pi\).

🔢 Étape 3 : \(3x=-\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi\) ou \(3x=\dfrac{13\pi}{12}+2k\pi\).

✅ \(S=\left\{-\dfrac{5\pi}{36}+\dfrac{2k\pi}3\ ;\ \dfrac{13\pi}{36}+\dfrac{2k\pi}3\right\}\) ; sur le cercle : \(6\) points (deux familles de période \(\dfrac{2\pi}3\)).

2) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(-\cos\left(3x+\dfrac\pi3\right)=\sin\left(x-\dfrac\pi6\right)\), puis dans \(]-\pi;\pi]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(-\cos\theta=\cos(\pi-\theta)\) : \(-\cos\left(3x+\dfrac\pi3\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi}3-3x\right)\) et \(\sin\left(x-\dfrac\pi6\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi}3-x\right)\).

🔢 Étape 2 : (a) \(\dfrac{2\pi}3-3x=\dfrac{2\pi}3-x+2k\pi\iff x=-k\pi\).

🔢 Étape 3 : (b) \(\dfrac{2\pi}3-3x=-\dfrac{2\pi}3+x+2k\pi\iff x=\dfrac\pi3-\dfrac{k\pi}2\).

🔢 Étape 4 : Dans \(]-\pi;\pi]\) : (a) \(0,\pi\) ; (b) \(\dfrac\pi3\), \(-\dfrac\pi6\), \(-\dfrac{2\pi}3\), \(\dfrac{5\pi}6\).

✅ Dans \(]-\pi;\pi]\) : \(S=\left\{-\dfrac{2\pi}3,-\dfrac\pi6,0,\dfrac\pi3,\dfrac{5\pi}6,\pi\right\}\).

Exercice 27

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(\tan\left(2x+\dfrac\pi6\right)=-1\).

Correction détaillée

🔢 \(\tan\left(-\dfrac\pi4\right)=-1\) : \(2x+\dfrac\pi6=-\dfrac\pi4+k\pi\).

✅ \(x=-\dfrac{5\pi}{24}+\dfrac{k\pi}2\), \(k\in\mathbb Z\) (conditions d’existence : \(2x+\frac\pi6\neq\frac\pi2+k\pi\), vérifiées).

2) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(\cos x-\sqrt3\sin x=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Si \(\cos x=0\) alors \(\sin x=\pm1\) et l’équation donnerait \(\mp\sqrt3=0\) : impossible, donc \(\cos x\neq0\).

🔢 Étape 2 : On divise par \(\cos x\) : \(1=\sqrt3\tan x\iff\tan x=\dfrac1{\sqrt3}\).

✅ \(x=\dfrac\pi6+k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).

Exercice 28

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(\cos2x=\cos\left(x-\dfrac\pi3\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(2x=x-\dfrac\pi3+2k\pi\) ou \(2x=-x+\dfrac\pi3+2k\pi\).

✅ \(x=-\dfrac\pi3+2k\pi\) ou \(x=\dfrac\pi9+\dfrac{2k\pi}3\).

2) Résoudre dans \([0;\pi]\) : \(\sin\left(2x-\dfrac\pi3\right)=\sin\left(\dfrac\pi4-x\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : (a) \(2x-\dfrac\pi3=\dfrac\pi4-x+2k\pi\iff3x=\dfrac{7\pi}{12}+2k\pi\iff x=\dfrac{7\pi}{36}+\dfrac{2k\pi}3\).

🔢 Étape 2 : (b) \(2x-\dfrac\pi3=\pi-\dfrac\pi4+x+2k\pi\iff x=\dfrac{13\pi}{12}+2k\pi\).

🔢 Étape 3 : Dans \([0;\pi]\) : (a) \(k=0\) : \(\dfrac{7\pi}{36}\) ; \(k=1\) : \(\dfrac{31\pi}{36}\) ; (b) \(\dfrac{13\pi}{12}>\pi\) : aucune.

✅ \(S=\left\{\dfrac{7\pi}{36},\dfrac{31\pi}{36}\right\}\).

3) Résoudre dans \(\left]-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right[\) : \(\tan\left(2x-\dfrac\pi5\right)=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2x-\dfrac\pi5=\dfrac\pi4+k\pi\iff x=\dfrac{9\pi}{40}+\dfrac{k\pi}2\).

🔢 Étape 2 : Dans \(]-\frac{20\pi}{40};\frac{20\pi}{40}[\) : \(k=0\) : \(\dfrac{9\pi}{40}\) ; \(k=-1\) : \(-\dfrac{11\pi}{40}\) ; les autres sortent de l’intervalle.

✅ \(S=\left\{-\dfrac{11\pi}{40},\dfrac{9\pi}{40}\right\}\).

Exercice 29

Exemple : écrire \(\cos x-\sin x\) sous la forme \(r\cos(x+\varphi)\) (\(a=1\), \(b=-1\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(a\cos x+b\sin x\) : factoriser \(\sqrt{a^2+b^2}\), reconnaître \(\cos\varphi\) et \(\sin\varphi\), appliquer la formule d’addition.

🔢 Étape 1 : \(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2\).

🔢 Étape 2 : \(\cos x-\sin x=\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}2\cos x-\dfrac{\sqrt2}2\sin x\right)=\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4\cos x-\sin\dfrac\pi4\sin x\right)\).

✅ \(\cos x-\sin x=\sqrt2\cos\left(x+\dfrac\pi4\right)\).

Exercice 30

Résoudre dans \([0;2\pi]\) : \(\sqrt3\cos x+\sin x=\sqrt3\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(r=\sqrt{3+1}=2\) : \(\sqrt3\cos x+\sin x=2\left(\dfrac{\sqrt3}2\cos x+\dfrac12\sin x\right)=2\cos\left(x-\dfrac\pi6\right)\).

🔢 Étape 2 : L’équation devient \(\cos\left(x-\dfrac\pi6\right)=\dfrac{\sqrt3}2=\cos\dfrac\pi6\).

🔢 Étape 3 : \(x-\dfrac\pi6=\pm\dfrac\pi6+2k\pi\iff x=\dfrac\pi3+2k\pi\) ou \(x=2k\pi\).

✅ Dans \([0;2\pi]\) : \(S=\left\{0,\dfrac\pi3,2\pi\right\}\).

Exercice 31

Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(\sqrt3\cos3x+\sin3x+2=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sqrt3\cos3x+\sin3x=2\cos\left(3x-\dfrac\pi6\right)\).

🔢 Étape 2 : L’équation devient \(\cos\left(3x-\dfrac\pi6\right)=-1\iff3x-\dfrac\pi6=\pi+2k\pi\).

✅ \(x=\dfrac{7\pi}{18}+\dfrac{2k\pi}3\), \(k\in\mathbb Z\).

Exercice 32

1) Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) : \(\sqrt3\cos x-\sin x=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sqrt3\cos x-\sin x=2\left(\dfrac{\sqrt3}2\cos x-\dfrac12\sin x\right)=2\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)=\dfrac12\iff x+\dfrac\pi6=\pm\dfrac\pi3+2k\pi\iff x=\dfrac\pi6+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac\pi2+2k\pi\).

✅ Dans \([-\pi;\pi]\) : \(S=\left\{-\dfrac\pi2,\dfrac\pi6\right\}\).

Exercice 33

a) Résoudre dans \(\mathbb R\) : \(2\sin^2x-9\sin x-5=0\) et en déduire les solutions dans \([0;2\pi]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation du second degré en \(\sin x\) (ou \(\cos x\)) : poser \(t=\sin x\), résoudre, rejeter \(|t|>1\).

🔢 Étape 1 : Posons \(s=\sin x\) : \(2s^2-9s-5=0\), \(\Delta=81+40=121\), \(s=\dfrac{9\pm11}4\), soit \(s=5\) ou \(s=-\dfrac12\).

🔢 Étape 2 : \(\sin x=5\) est impossible. \(\sin x=-\dfrac12=\sin\left(-\dfrac\pi6\right)\) : \(x=-\dfrac\pi6+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{7\pi}6+2k\pi\).

✅ Dans \(\mathbb R\) : \(\left\{-\dfrac\pi6+2k\pi,\ \dfrac{7\pi}6+2k\pi\right\}\) ; dans \([0;2\pi]\) : \(S=\left\{\dfrac{7\pi}6,\dfrac{11\pi}6\right\}\).

Exercice 34

Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) : \(\cos x\ge\dfrac12\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Méthode : on repère sur le cercle trigonométrique (ou sur la courbe) les arcs où \(\cos x\), \(\sin x\) ou \(\tan x\) vérifie l’inégalité sur une période, puis on ajoute les multiples de la période et on retient l’intersection avec l’intervalle demandé. Pour \(\cos x\ge c\) : arc centré en \(0\) ; pour \(\sin x\ge c\) : arc centré en \(\frac\pi2\) ; pour \(\tan x\ge c\) : intervalle \([\arctan c+k\pi;\frac\pi2+k\pi[\). Pour un polynôme en \(\cos x\) ou \(\sin x\), on étudie le signe en la variable \(t=\cos x\) puis on revient à \(x\).

🔢 \(\cos x=\dfrac12\) pour \(x=\pm\dfrac\pi3\). Sur le cercle, \(\cos x\ge\dfrac12\) (abscisse \(\ge\dfrac12\)) pour les points de l’arc centré en \(0\).

✅ \(S=\left[-\dfrac\pi3;\dfrac\pi3\right]\).

Exercice 35

Résoudre dans \([0;3\pi]\) : \(2\cos x+\sqrt3\le0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\cos x\le-\dfrac{\sqrt3}2\). Sur une période : \(x\in\left[\dfrac{5\pi}6;\dfrac{7\pi}6\right]+2k\pi\).

🔢 Étape 2 : \(k=0\) : \(\left[\dfrac{5\pi}6;\dfrac{7\pi}6\right]\) ; \(k=1\) : \(\left[\dfrac{17\pi}6;\dfrac{19\pi}6\right]\), à restreindre à \(3\pi=\dfrac{18\pi}6\).

✅ \(S=\left[\dfrac{5\pi}6;\dfrac{7\pi}6\right]\cup\left[\dfrac{17\pi}6;3\pi\right]\).

Exercice 36

Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\sin x\ge\dfrac12\).

Correction détaillée

🔢 \(\sin x=\dfrac12\) pour \(x=\dfrac\pi6\) et \(\dfrac{5\pi}6\) ; \(\sin x\ge\dfrac12\) sur l’arc de ces deux points qui contient \(\dfrac\pi2\).

✅ \(S=\left[\dfrac\pi6;\dfrac{5\pi}6\right]\).

Exercice 37

Résoudre dans \([0;2\pi]\) : \(\tan x-1\ge0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\tan x\ge1\), \(x\neq\dfrac\pi2+k\pi\). \(\tan\) est croissante sur chaque intervalle \(]-\frac\pi2+k\pi;\frac\pi2+k\pi[\) et \(\tan\dfrac\pi4=1\).

🔢 Étape 2 : Sur \([0;\pi[\) : \(x\in\left[\dfrac\pi4;\dfrac\pi2\right[\) ; on ajoute \(\pi\) pour \([\pi;2\pi]\).

✅ \(S=\left[\dfrac\pi4;\dfrac\pi2\right[\cup\left[\dfrac{5\pi}4;\dfrac{3\pi}2\right[\).

Exercice 38

Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) : \(3\tan x-\sqrt3\ge0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\tan x\ge\dfrac{\sqrt3}3=\tan\dfrac\pi6\).

🔢 Étape 2 : Sur \(\left]-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right[\) : \(\left[\dfrac\pi6;\dfrac\pi2\right[\) ; on décale de \(-\pi\) pour la partie négative : \(\left[-\dfrac{5\pi}6;-\dfrac\pi2\right[\).

✅ \(S=\left[-\dfrac{5\pi}6;-\dfrac\pi2\right[\cup\left[\dfrac\pi6;\dfrac\pi2\right[\).

Exercice 39

2) Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) : \(\sqrt3\cos x-\sin x\ge1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)\ge1\iff\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)\ge\dfrac12\).

🔢 Étape 2 : Pour \(x\in[-\pi;\pi]\), \(x+\dfrac\pi6\in\left[-\dfrac{5\pi}6;\dfrac{7\pi}6\right]\) : \(\cos\ge\dfrac12\iff x+\dfrac\pi6\in\left[-\dfrac\pi3;\dfrac\pi3\right]\).

✅ \(x\in\left[-\dfrac\pi2;\dfrac\pi6\right]\).

b) Résoudre dans \([0;2\pi]\) : \(2\sin^2x-9\sin x-5\le0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après la factorisation \(2t^2-9t-5=2(t-5)\left(t+\dfrac12\right)\), avec \(t=\sin x\le1<5\) : \(t-5<0\), donc l’inégalité \(\iff t+\dfrac12\ge0\iff\sin x\ge-\dfrac12\).

🔢 Étape 2 : \(\sin x<-\dfrac12\) pour \(x\in\left]\dfrac{7\pi}6;\dfrac{11\pi}6\right[\).

✅ \(S=\left[0;\dfrac{7\pi}6\right]\cup\left[\dfrac{11\pi}6;2\pi\right]\).

2) Résoudre dans \([0;\pi]\) : \((2\cos x-1)(\tan x+1)\ge0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\tan x\) n’existe pas en \(\dfrac\pi2\). Signes : \(2\cos x-1\ge0\iff x\in\left[0;\dfrac\pi3\right]\).

🔢 Étape 2 : \(\tan x+1\ge0\) : sur \(\left[0;\dfrac\pi2\right[\), \(\tan x\ge0\) donc vrai ; sur \(\left]\dfrac\pi2;\pi\right]\), \(\tan x\ge-1\iff x\le\dfrac{3\pi}4\). Donc \(\tan x+1\ge0\) sur \(\left[0;\dfrac\pi2\right[\cup\left]\dfrac\pi2;\dfrac{3\pi}4\right]\) et \(<0\) sur \(\left]\dfrac{3\pi}4;\pi\right]\).

🔢 Étape 3 : Produit \(\ge0\) : deux facteurs \(\ge0\) : \(\left[0;\dfrac\pi3\right]\) ; ou deux facteurs \(\le0\) : \(2\cos x-1\le0\) (\(x\ge\frac\pi3\)) et \(\tan x+1\le0\) (\(x\in[\frac{3\pi}4;\pi]\)) : \(\left[\dfrac{3\pi}4;\pi\right]\).

✅ \(S=\left[0;\dfrac\pi3\right]\cup\left[\dfrac{3\pi}4;\pi\right]\).

3) Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) : \(\dfrac{1+\tan x}{\sin2x}\ge0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Existence : \(\cos x\neq0\) et \(\sin2x\neq0\), c’est-à-dire \(x\notin\left\{-\pi,-\dfrac\pi2,0,\dfrac\pi2,\pi\right\}\).

🔢 Étape 2 : \(1+\tan x=\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos x}\) et \(\sin2x=2\sin x\cos x\), donc le quotient \(=\dfrac{\cos x+\sin x}{2\sin x\cos^2x}\), du signe de \(\dfrac{\cos x+\sin x}{\sin x}\) avec \(\cos x+\sin x=\sqrt2\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)\).

🔢 Étape 3 : Si \(\sin x>0\) (\(x\in]0;\pi[\)) : il faut \(\sin\left(x+\frac\pi4\right)\ge0\iff x\le\dfrac{3\pi}4\) : \(]0;\frac\pi2[\cup]\frac\pi2;\frac{3\pi}4]\).

🔢 Étape 4 : Si \(\sin x<0\) (\(x\in]-\pi;0[\)) : il faut \(\sin\left(x+\frac\pi4\right)\le0\iff x\le-\dfrac\pi4\) : \(]-\pi;-\frac\pi2[\cup]-\frac\pi2;-\frac\pi4]\).

✅ \(S=\left]-\pi;-\dfrac\pi2\right[\cup\left]-\dfrac\pi2;-\dfrac\pi4\right]\cup\left]0;\dfrac\pi2\right[\cup\left]\dfrac\pi2;\dfrac{3\pi}4\right]\).

Exercice 40

1) Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) : \(\sin\left(3x+\dfrac\pi4\right)\le-\dfrac12\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Posons \(\theta=3x+\dfrac\pi4\in\left[-\dfrac{11\pi}4;\dfrac{13\pi}4\right]\). \(\sin\theta\le-\dfrac12\iff\theta\in\left[\dfrac{7\pi}6;\dfrac{11\pi}6\right]+2k\pi\).

🔢 Étape 2 : Intervalles retenus : \(\theta\in\left[-\dfrac{11\pi}4;-\dfrac{13\pi}6\right]\), \(\left[-\dfrac{5\pi}6;-\dfrac\pi6\right]\), \(\left[\dfrac{7\pi}6;\dfrac{11\pi}6\right]\), \(\left[\dfrac{19\pi}6;\dfrac{13\pi}4\right]\).

🔢 Étape 3 : On revient à \(x=\dfrac{\theta-\pi/4}3\).

✅ \(S=\left[-\pi;-\dfrac{29\pi}{36}\right]\cup\left[-\dfrac{13\pi}{36};-\dfrac{5\pi}{36}\right]\cup\left[\dfrac{11\pi}{36};\dfrac{19\pi}{36}\right]\cup\left[\dfrac{35\pi}{36};\pi\right]\).

2) Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) : \(4\cos^2x-2(1+\sqrt2)\cos x+\sqrt2\le0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Avec \(t=\cos x\) : \(4t^2-2(1+\sqrt2)t+\sqrt2\), \(\Delta=4(1+\sqrt2)^2-16\sqrt2=4(\sqrt2-1)^2\).

🔢 Étape 2 : Racines : \(t=\dfrac{2(1+\sqrt2)\pm2(\sqrt2-1)}8\), soit \(t=\dfrac12\) et \(t=\dfrac{\sqrt2}2\).

🔢 Étape 3 : Le trinôme est \(\le0\) entre ses racines : \(\dfrac12\le\cos x\le\dfrac{\sqrt2}2\).

✅ \(S=\left[-\dfrac\pi3;-\dfrac\pi4\right]\cup\left[\dfrac\pi4;\dfrac\pi3\right]\).

Exercice 41

Résoudre dans \(\left[-\dfrac{11\pi}5;\dfrac{14\pi}5\right]\) l’inéquation \(\sin3x\ge\dfrac12\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin3x\ge\dfrac12\iff3x\in\left[\dfrac\pi6;\dfrac{5\pi}6\right]+2k\pi\iff x\in\left[\dfrac{\pi}{18};\dfrac{5\pi}{18}\right]+\dfrac{2k\pi}3\), soit \(x\in\left[\dfrac{(12k+1)\pi}{18};\dfrac{(12k+5)\pi}{18}\right]\).

🔢 Étape 2 : L’intervalle \(\left[-\dfrac{11\pi}5;\dfrac{14\pi}5\right]=[-2{,}2\pi;2{,}8\pi]\) contient les intervalles complets pour \(k=-3,\dots,3\) ; pour \(k=4\) : \(\left[\dfrac{49\pi}{18};\dfrac{53\pi}{18}\right]\) est tronqué à \(\dfrac{14\pi}5\).

✅ \(S=\bigcup_{k=-3}^{3}\left[\dfrac{(12k+1)\pi}{18};\dfrac{(12k+5)\pi}{18}\right]\cup\left[\dfrac{49\pi}{18};\dfrac{14\pi}5\right]\).

Exercice 42

1) \(A(x)=\cos3x-3\sin x+3\sqrt2\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)\). Calculer \(\cos3x\) en fonction de \(\cos x\) et \(\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)\) en fonction de \(\cos x\) et \(\sin x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\cos3x=4\cos^3x-3\cos x\).

🔢 Étape 2 : \(\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)=\sin x\cos\dfrac\pi4+\cos x\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2(\sin x+\cos x)\).

✅ \(\cos3x=4\cos^3x-3\cos x\) et \(\sin\left(x+\frac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt2}2(\sin x+\cos x)\).

2) En déduire une écriture simple de \(A(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(3\sqrt2\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)=3(\sin x+\cos x)\).

🔢 Étape 2 : \(A(x)=4\cos^3x-3\cos x-3\sin x+3\sin x+3\cos x\).

✅ \(A(x)=4\cos^3x\).

3.a) Résoudre dans \(I=[-\pi;\pi]\) : \(A(x)=\dfrac12\).

Correction détaillée

🔢 \(4\cos^3x=\dfrac12\iff\cos^3x=\dfrac18\iff\cos x=\dfrac12\) (la fonction cube est bijective sur \(\mathbb R\)).

✅ \(S=\left\{-\dfrac\pi3,\dfrac\pi3\right\}\).

3.b) Résoudre dans \(I\) : \(A(x)\le\dfrac12\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(4\cos^3x\le\dfrac12\iff\cos^3x\le\dfrac18\iff\cos x\le\dfrac12\) (cube croissant).

🔢 Étape 2 : \(\cos x\le\dfrac12\iff|x|\ge\dfrac\pi3\).

✅ \(S=\left[-\pi;-\dfrac\pi3\right]\cup\left[\dfrac\pi3;\pi\right]\).