Ce devoir 1 du semestre 1 pour la 1ère Bac Sc Ex est proposé avec des exercices corrigés et des corrections détaillées pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.
Devoir 1 Semestre 1 corrigé 1ère Bac
Devoirs 1 Semestre 1 · Série de synthèse 1ère Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
Valeurs de vérité (propositions simples)
1) Déterminer la valeur de vérité de \(P:\left(\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3\right)\) ou « 4 est premier ».
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \(P\) ou \(Q\) est vraie dès que l’une des deux l’est ; \(P\) et \(Q\) est vraie seulement si les deux le sont ; une proposition \(\forall\) est fausse dès qu’on trouve un contre-exemple ; une proposition \(\exists\) est vraie dès qu’on trouve un exemple.
🔢 Étape 1 : \(\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3\) : la première proposition est vraie.
🔢 Étape 2 : 4 = 2×2 n’est pas premier : la seconde est fausse. Avec « ou », il suffit qu’une soit vraie.
✅ \(P\) est vraie.
2) Valeur de vérité de \(Q:(2{,}3\notin\mathbb N\) et \(|1-\sqrt2|=1-\sqrt2)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2{,}3\notin\mathbb N\) est vraie.
🔢 Étape 2 : \(1-\sqrt2<0\) donc \(|1-\sqrt2|=\sqrt2-1\neq1-\sqrt2\) : la seconde est fausse. Avec « et », il faut les deux.
✅ \(Q\) est fausse.
3) Valeur de vérité de \(R:(\forall x\in\mathbb R,\ x^2\ge x)\).
Correction détaillée
🔢 Contre-exemple : \(x=\dfrac12\) : \(x^2=\dfrac14<\dfrac12=x\).
✅ \(R\) est fausse.
4) Valeur de vérité de \(S:(\exists n\in\mathbb N,\ n^2-2n+1=0)\).
Correction détaillée
🔢 \(n^2-2n+1=(n-1)^2=0\iff n=1\in\mathbb N\).
✅ \(S\) est vraie (exemple \(n=1\)).
5) Valeur de vérité de \(P:(\sqrt4+\sqrt1=\sqrt{4+1}\) et \(\pi\in\mathbb Z)\) et de \(Q:(\sqrt2+\sqrt3<\sqrt5\) ou \(\sqrt{(-2)^2}=2)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt4+\sqrt1=3\neq\sqrt5\) et \(\pi\notin\mathbb Z\) : \(P\) est fausse.
🔢 Étape 2 : \(\sqrt2+\sqrt3\approx3{,}15>\sqrt5\approx2{,}24\) : première proposition fausse. \(\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2\) : seconde vraie.
✅ \(P\) est fausse ; \(Q\) est vraie (« ou »).
Exercice 2
Valeurs de vérité (encore)
1) Valeur de vérité de \(P:\left(\dfrac{25}9=\dfrac53\right)\) ou « 3 divise 213 ».
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac53=\dfrac{15}9\neq\dfrac{25}9\) : première fausse.
🔢 Étape 2 : \(213=3\times71\) : seconde vraie.
✅ \(P\) est vraie.
2) Valeur de vérité de \(Q:\left(-\dfrac52<-\dfrac12\right.\) et \(\left.|-4|=4\right)\).
Correction détaillée
⚠️ Dans le scan on lit « \(|-4|=\cdot4\) » ; je l’ai interprété comme \(|-4|=4\).
🔢 \(-2{,}5<-0{,}5\) vraie ; \(|-4|=4\) vraie.
✅ \(Q\) est vraie.
3) Valeur de vérité de \(R:(\exists n\in\mathbb Z,\ n^2-1=0)\) et de \(S:\left(\forall n\in\mathbb N,\ \dfrac{n+3}5\in\mathbb N\right)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(R\) : \(n=1\) (ou \(-1\)) convient, donc vraie.
🔢 Étape 2 : \(S\) : pour \(n=0\), \(\dfrac35\notin\mathbb N\) : contre-exemple.
✅ \(R\) est vraie ; \(S\) est fausse.
Exercice 3
Négation d’une proposition quantifiée
1) Donner la négation de \(T:(\forall x\in\mathbb R,\ x<1\Rightarrow x^2<1)\) et en déduire que \(T\) est fausse.
Correction détaillée
📘 Méthode : Négation : \(\forall\leftrightarrow\exists\) ; « \(P\Rightarrow Q\) » devient « \(P\) et non \(Q\) » ; « \(P\) et \(Q\) » devient « non \(P\) ou non \(Q\) ». On prouve qu’une proposition est fausse en prouvant que sa négation est vraie.
🔢 Étape 1 : \(\overline{P\Rightarrow Q}\) équivaut à \(P\) et \(\overline Q\) ; la négation de \(\forall\) est \(\exists\).
🔢 Étape 2 : \(\overline T:(\exists x\in\mathbb R,\ x<1\) et \(x^2\ge1)\).
🔢 Étape 3 : Prenons \(x=-2\) : \(-2<1\) et \((-2)^2=4\ge1\) : \(\overline T\) est vraie.
✅ \(\overline T:(\exists x\in\mathbb R,\ x<1\ \text{et}\ x^2\ge1)\) est vraie, donc \(T\) est fausse.
2) Donner la négation de \(R:(\forall x\in\mathbb R,\ x^2=25\Rightarrow x=5)\) et conclure.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\overline R:(\exists x\in\mathbb R,\ x^2=25\) et \(x\neq5)\).
🔢 Étape 2 : \(x=-5\) convient : \((-5)^2=25\) et \(-5\neq5\).
✅ \(R\) est fausse.
3) Donner la négation de \(T:(\forall x\in\mathbb R,\ 3x^2-4x+2\le0)\) et déterminer sa valeur de vérité.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\overline T:(\exists x\in\mathbb R,\ 3x^2-4x+2>0)\).
🔢 Étape 2 : \(x=0\) : \(2>0\). (De plus \(\Delta=16-24<0\) : le trinôme est toujours strictement positif.)
✅ \(\overline T\) est vraie : \(T\) est fausse.
Exercice 4
Négation avec quantificateurs imbriqués
1) Donner la négation de \((P):\forall x\in\mathbb R\ ;\ \exists k\in\mathbb Z\ /\ k\le x<k+1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : On inverse chaque quantificateur : \(\exists x\in\mathbb R\ ;\ \forall k\in\mathbb Z\ :\) non\((k\le x<k+1)\).
🔢 Étape 2 : non\((k\le x\ \text{et}\ x<k+1)\) = \((x<k\) ou \(x\ge k+1)\).
✅ \(\overline P:\ \exists x\in\mathbb R,\ \forall k\in\mathbb Z,\ (x<k\ \text{ou}\ x\ge k+1)\). (\(P\) est vraie : \(k=\lfloor x\rfloor\).)
2) Donner la négation de \((Q):\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\ ;\ (\alpha-\beta>1\Rightarrow\exists N\in\mathbb Z\ /\ \alpha<N<\beta)\).
Correction détaillée
⚠️ Telle qu’elle est lue, \(Q\) est fausse (si \(\alpha-\beta>1\), l’intervalle \(]\alpha;\beta[\) est vide : \(\alpha=3,\beta=0\)). L’énoncé voulait sans doute « \(\beta-\alpha>1\) » (alors \(N=\lfloor\alpha\rfloor+1\) convient) ; la négation reste calculée sur le texte lu.
🔢 Étape 1 : \(\overline Q:\exists(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\ ;\ \alpha-\beta>1\) et \(\forall N\in\mathbb Z,\ \text{non}(\alpha<N<\beta)\).
🔢 Étape 2 : non\((\alpha<N<\beta)\) = \((N\le\alpha\) ou \(N\ge\beta)\).
✅ \(\overline Q:\exists(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2,\ \alpha-\beta>1\ \text{et}\ \forall N\in\mathbb Z,\ (N\le\alpha\ \text{ou}\ N\ge\beta)\).
Exercice 5
Négation et équation
1) Soit \(f(x)=\sqrt{x^2+3}-2\) et \(P:(\forall(a,b)\in\mathbb R^2,\ f(a)=f(b)\Rightarrow a=b)\). Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \(f(x)=0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=0\iff\sqrt{x^2+3}=2\iff x^2+3=4\iff x^2=1\).
✅ \(S=\{-1;1\}\).
2) Donner la négation de \(P\).
Correction détaillée
🔢 \(\overline P:(\exists(a,b)\in\mathbb R^2,\ f(a)=f(b)\ \text{et}\ a\neq b)\).
✅ \(\overline P:\exists(a,b)\in\mathbb R^2,\ f(a)=f(b)\ \text{et}\ a\neq b\).
3) En déduire que \(P\) est fausse.
Correction détaillée
🔢 \(a=-1\), \(b=1\) : \(f(-1)=f(1)=0\) et \(-1\neq1\) : \(\overline P\) est vraie.
✅ \(P\) est fausse (\(f\) n’est pas injective : elle est paire).
Exercice 6
Raisonnement par équivalences successives
1) Montrer que \(\forall x\in\mathbb R,\ \sqrt{x^4+3x^2+1}\ge x^2+1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Équivalences successives : partir de l’inégalité à démontrer et la transformer par des équivalences (élever au carré des nombres positifs, multiplier par un nombre de signe connu) jusqu’à une proposition évidemment vraie.
🔢 Étape 1 : Les deux membres sont positifs (\(x^4+3x^2+1\ge1>0\) et \(x^2+1>0\)) : on peut élever au carré, c’est une équivalence.
🔢 Étape 2 : \(\sqrt{x^4+3x^2+1}\ge x^2+1\iff x^4+3x^2+1\ge(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1\iff x^2\ge0\).
🔢 Étape 3 : La dernière proposition est vraie.
✅ Par équivalences successives, \(\forall x\in\mathbb R,\ \sqrt{x^4+3x^2+1}\ge x^2+1\) ✓.
2) Montrer que \(\forall x\in\mathbb R,\ \dfrac{4x}{x^2+4}\le1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2+4>0\) : \(\dfrac{4x}{x^2+4}\le1\iff4x\le x^2+4\iff x^2-4x+4\ge0\iff(x-2)^2\ge0\).
🔢 Étape 2 : Cette dernière est vraie.
✅ \(\forall x\in\mathbb R,\ \dfrac{4x}{x^2+4}\le1\) ✓ (égalité pour \(x=2\)).
3) Montrer que \(\forall x\in\mathbb R^*_+,\ \dfrac{x+\sqrt x+3}{\sqrt x+1}\le\sqrt x+3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Posons \(t=\sqrt x>0\). Alors \(t+1>0\) et \(x=t^2\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{t^2+t+3}{t+1}\le t+3\iff t^2+t+3\le(t+3)(t+1)=t^2+4t+3\iff0\le3t\).
🔢 Étape 3 : Vraie car \(t>0\).
✅ L’inégalité est vraie pour tout \(x>0\) ✓.
Exercice 7
Raisonnement par contraposée
1) Montrer par contraposée : \(\forall(x,y)\in\mathbb R_+^2,\ \left(x\neq y\ \text{et}\ xy\neq1\right)\Rightarrow\dfrac{\sqrt x}{x+\sqrt x+1}\neq\dfrac{\sqrt y}{y+\sqrt y+1}\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé dit « \((x,y)\in\mathbb R^2 \) » ; comme \(\sqrt x,\sqrt y\) apparaissent, on prend \(x,y\ge0\).
📘 Méthode : Contraposée : pour montrer \(P\Rightarrow Q\), on montre \(\overline Q\Rightarrow\overline P\) (équivalente). Utile quand \(\overline Q\) est une égalité facile à exploiter.
🔢 Étape 1 : Contraposée : \(\dfrac{\sqrt x}{x+\sqrt x+1}=\dfrac{\sqrt y}{y+\sqrt y+1}\Rightarrow(x=y\ \text{ou}\ xy=1)\).
🔢 Étape 2 : Produit en croix : \(\sqrt x\,(y+\sqrt y+1)=\sqrt y\,(x+\sqrt x+1)\), soit \(\sqrt xy+\sqrt x\sqrt y+\sqrt x=\sqrt yx+\sqrt x\sqrt y+\sqrt y\).
🔢 Étape 3 : \(\sqrt x\sqrt y(\sqrt y-\sqrt x)+(\sqrt x-\sqrt y)=0\iff(\sqrt x-\sqrt y)(1-\sqrt{xy})=0\).
🔢 Étape 4 : Donc \(\sqrt x=\sqrt y\) (\(x=y\)) ou \(\sqrt{xy}=1\) (\(xy=1\)).
✅ La contraposée est vraie, donc l’implication aussi ✓.
2) Montrer par contraposée : \(\forall n\in\mathbb N,\ \dfrac{n^2}3\in\mathbb N\Rightarrow\dfrac n3\in\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Contraposée : \(\dfrac n3\notin\mathbb N\Rightarrow\dfrac{n^2}3\notin\mathbb N\), i.e. si \(3\nmid n\) alors \(3\nmid n^2\).
🔢 Étape 2 : Si \(3\nmid n\) : \(n=3k+1\) ou \(n=3k+2\) (\(k\in\mathbb N\)).
🔢 Étape 3 : \(n=3k+1\) : \(\dfrac{n^2}3=3k^2+2k+\dfrac13\notin\mathbb N\). \(n=3k+2\) : \(\dfrac{n^2}3=3k^2+4k+\dfrac43=3k^2+4k+1+\dfrac13\notin\mathbb N\).
✅ La contraposée est vraie, donc \(\dfrac{n^2}3\in\mathbb N\Rightarrow\dfrac n3\in\mathbb N\) ✓.
3) Montrer par contraposée : \(\forall(x,y)\in\mathbb R^2,\ (y\neq x\ \text{et}\ x+y\neq1)\Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}\neq\sqrt{y^2-y+1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Contraposée : \(\sqrt{x^2-x+1}=\sqrt{y^2-y+1}\Rightarrow(x=y\ \text{ou}\ x+y=1)\). (Les radicandes sont \(>0\) : \(\Delta=1-4<0\).)
🔢 Étape 2 : On élève au carré : \(x^2-x=y^2-y\iff x^2-y^2-(x-y)=0\iff(x-y)(x+y-1)=0\).
✅ \(x=y\) ou \(x+y=1\) : la contraposée est vraie ✓.
4) Montrer par contraposée : \(\forall(x,y)\in\mathbb R^{*2},\ (x\neq y\ \text{et}\ xy\neq2)\Rightarrow\dfrac{x^2+2}x\neq\dfrac{y^2+2}y\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Contraposée : \(\dfrac{x^2+2}x=\dfrac{y^2+2}y\Rightarrow(x=y\ \text{ou}\ xy=2)\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{x^2+2}x=x+\dfrac2x\). Donc \(x+\dfrac2x=y+\dfrac2y\iff x-y+\dfrac{2(y-x)}{xy}=0\iff(x-y)\left(1-\dfrac2{xy}\right)=0\).
✅ \(x=y\) ou \(xy=2\) : la contraposée est vraie ✓.
5) Montrer par contraposée : \(\forall(x,y)\in\mathbb R^2,\ (x\neq y\ \text{et}\ xy\neq1)\Rightarrow\dfrac x{x^2+x+1}\neq\dfrac y{y^2+y+1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Contraposée : \(\dfrac x{x^2+x+1}=\dfrac y{y^2+y+1}\Rightarrow(x=y\ \text{ou}\ xy=1)\). (Dénominateurs \(>0\) : \(\Delta=-3\).)
🔢 Étape 2 : Produit en croix : \(x(y^2+y+1)=y(x^2+x+1)\iff xy^2+xy+x=x^2y+xy+y\).
🔢 Étape 3 : \(xy(y-x)+(x-y)=0\iff(x-y)(1-xy)=0\).
✅ \(x=y\) ou \(xy=1\) ✓ : l’implication est vraie.
Exercice 8
Raisonnement par l’absurde (sommes nulles)
1) Soit \(a,b\in\mathbb R_+\) tels que \(a+b=0\). Montrer par l’absurde que \(a=b=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Absurde : supposer la négation de ce qu’on veut prouver et aboutir à une contradiction.
🔢 Étape 1 : Supposons \(a\neq0\) ou \(b\neq0\) ; par exemple \(a>0\) (car \(a\ge0\)).
🔢 Étape 2 : Alors \(a+b\ge a>0\) (car \(b\ge0\)), ce qui contredit \(a+b=0\). Le cas \(b>0\) est symétrique.
✅ Contradiction : donc \(a=0\) et \(b=0\) ✓.
2) Résoudre dans \(\mathbb R^2\) : \(x^2+y^2-2x+4y+5=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2-2x+1+y^2+4y+4=0\iff(x-1)^2+(y+2)^2=0\).
🔢 Étape 2 : Somme de deux carrés nulle : chacun est nul.
✅ \(x=1\) et \(y=-2\) : \(S=\{(1;-2)\}\).
3) Résoudre dans \(\mathbb R^2\) : \(\sqrt{x^2-4}+\sqrt{y^2+2}=0\).
Correction détaillée
⚠️ Le texte lu est « \(\sqrt{y^2+2}\) » ; si c’était \(\sqrt{y^2-2}\) on obtiendrait \(|x|=2\) et \(|y|=\sqrt2\) (4 couples).
🔢 Étape 1 : Les deux racines sont \(\ge0\) et leur somme est nulle : chacune est nulle (question 1).
🔢 Étape 2 : \(\sqrt{y^2+2}=0\iff y^2=-2\) : impossible (\(y^2+2\ge2>0\)).
✅ \(S=\varnothing\).
Exercice 9
Raisonnement par l’absurde (irrationalité, inégalité)
1) Montrer par l’absurde que \(\sqrt3\notin\mathbb Q\) (utiliser le résultat « \(\dfrac{n^2}3\in\mathbb N\Rightarrow\dfrac n3\in\mathbb N\) »).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Supposons \(\sqrt3\in\mathbb Q\) : \(\sqrt3=\dfrac pq\) avec \(p,q\in\mathbb N^*\) premiers entre eux.
🔢 Étape 2 : \(3q^2=p^2\), donc \(\dfrac{p^2}3=q^2\in\mathbb N\). Par le résultat rappelé, \(\dfrac p3\in\mathbb N\) : \(p=3k\).
🔢 Étape 3 : Alors \(9k^2=3q^2\Rightarrow q^2=3k^2\Rightarrow\dfrac{q^2}3\in\mathbb N\Rightarrow\dfrac q3\in\mathbb N\) : \(3\) divise \(p\) et \(q\), contradiction avec « premiers entre eux ».
✅ Donc \(\sqrt3\notin\mathbb Q\) ✓.
2) Montrer par l’absurde que \(\forall x>0,\ \sqrt x\neq\dfrac{x+2}{\sqrt{x+4}}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Supposons \(\sqrt x=\dfrac{x+2}{\sqrt{x+4}}\). Alors \(\sqrt x\sqrt{x+4}=x+2\).
🔢 Étape 2 : On élève au carré : \(x(x+4)=(x+2)^2\iff x^2+4x=x^2+4x+4\iff0=4\) : absurde.
✅ L’égalité est impossible : \(\sqrt x\neq\dfrac{x+2}{\sqrt{x+4}}\) ✓.
Exercice 10
Raisonnement par récurrence (sommes et divisibilité)
1) Montrer \(\forall n\in\mathbb N,\ 1+11+11^2+\dots+11^n=\dfrac1{10}\left(11^{n+1}-1\right)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation, (2) hérédité (\(P(n)\Rightarrow P(n+1)\) pour un \(n\) fixé), (3) conclusion.
🔢 Étape 1 : Initialisation \(n=0\) : \(1\) et \(\dfrac{11-1}{10}=1\) ✓.
🔢 Étape 2 : Hérédité : supposons \(1+11+\dots+11^n=\dfrac{11^{n+1}-1}{10}\). Alors \(1+\dots+11^n+11^{n+1}=\dfrac{11^{n+1}-1}{10}+11^{n+1}=\dfrac{11^{n+1}-1+10\cdot11^{n+1}}{10}=\dfrac{11^{n+2}-1}{10}\).
✅ La propriété est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\) ✓.
2) Montrer que \(3^{3n+2}-2^{n+2}\) est divisible par 5 pour tout \(n\in\mathbb N\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan montre « \(2^{n-2}\) ». Avec \(n-2\) l’énoncé n’a de sens que pour \(n\ge2\) ; comme \(2^4\equiv1\ [5]\), \(2^{n-2}\equiv2^{n+2}\ [5]\) et le résultat est identique (initialisation \(n=2\) : \(3^8-1=6560=5\times1312\)). J’ai traité \(2^{n+2}\).
🔢 Étape 1 : Initialisation \(n=0\) : \(9-4=5\) ✓.
🔢 Étape 2 : Hérédité : supposons \(3^{3n+2}-2^{n+2}=5k\). Alors \(3^{3n+5}-2^{n+3}=27\cdot3^{3n+2}-2\cdot2^{n+2}=27\left(3^{3n+2}-2^{n+2}\right)+25\cdot2^{n+2}=5(27k+5\cdot2^{n+2})\).
✅ Divisible par 5 pour tout \(n\) ✓.
3) Montrer \(\forall n\in\mathbb N,\ 5^0+5^1+\dots+5^n=\dfrac{5^{n+1}-1}4\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(n=0\) : \(1=\dfrac{5-1}4\) ✓.
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(\dfrac{5^{n+1}-1}4+5^{n+1}=\dfrac{5^{n+1}-1+4\cdot5^{n+1}}4=\dfrac{5^{n+2}-1}4\).
✅ Vraie pour tout \(n\in\mathbb N\) ✓.
4) Montrer \(\forall n\in\mathbb N,\ 1+7+7^2+\dots+7^n=\dfrac{7^{n+1}-1}6\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(n=0\) : \(1=\dfrac{7-1}6\) ✓.
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(\dfrac{7^{n+1}-1}6+7^{n+1}=\dfrac{7^{n+1}-1+6\cdot7^{n+1}}6=\dfrac{7^{n+2}-1}6\).
✅ Vraie pour tout \(n\in\mathbb N\) ✓. (Cas général : \(1+q+\dots+q^n=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}\), \(q\neq1\).)
5) Montrer \(\forall n\in\mathbb N^*,\ 1\cdot(3\cdot1+1)+2(3\cdot2+1)+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(n=1\) : \(1\times4=4=1\times2^2\) ✓.
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(n(n+1)^2+(n+1)(3(n+1)+1)=(n+1)\left[n(n+1)+3n+4\right]=(n+1)(n^2+4n+4)=(n+1)(n+2)^2\).
✅ Vraie pour tout \(n\ge1\) ✓.
6) Soit \(q\in\mathbb R_+\setminus\{1\}\). Montrer \(\forall n\in\mathbb N^*,\ q+q^2+\dots+q^n=\dfrac{q^n-1}{q-1}\times q\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(n=1\) : \(q=\dfrac{q-1}{q-1}q\) ✓.
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(\dfrac{q(q^n-1)}{q-1}+q^{n+1}=\dfrac{q\left[(q^n-1)+q^n(q-1)\right]}{q-1}=\dfrac{q(q^{n+1}-1)}{q-1}\).
✅ Vraie pour tout \(n\ge1\) ✓.
Exercice 11
Domaine de définition et parité
1) \(f(x)=\dfrac{3x^2+5}{|x|-3}\) : déterminer \(D_f\) et étudier la parité.
Correction détaillée
📘 Méthode : Domaine : \(\frac1{u}\) exige \(u\neq0\) ; \(\sqrt u\) exige \(u\ge0\). Parité : \(D\) doit être symétrique par rapport à 0 ; \(f\) est paire si \(f(-x)=f(x)\), impaire si \(f(-x)=-f(x)\).
🔢 Étape 1 : \(f(x)\) existe \(\iff|x|-3\neq0\iff x\neq3\) et \(x\neq-3\) : \(D_f=\mathbb R\setminus\{-3;3\}\).
🔢 Étape 2 : \(D_f\) est symétrique par rapport à 0. Pour \(x\in D_f\) : \(f(-x)=\dfrac{3(-x)^2+5}{|-x|-3}=\dfrac{3x^2+5}{|x|-3}=f(x)\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-3;3\}\) et \(f\) est paire.
2) \(f(x)=\dfrac{3x|x|+x^3}{\sqrt{x^2+9}-5}\) : déterminer \(D_f\) et étudier la parité.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt{x^2+9}-5=0\iff x^2+9=25\iff x=4\) ou \(x=-4\). \(x^2+9>0\) toujours : \(D_f=\mathbb R\setminus\{-4;4\}\).
🔢 Étape 2 : \(D_f\) symétrique. Numérateur : \(3(-x)|-x|+(-x)^3=-(3x|x|+x^3)\). Dénominateur : \(\sqrt{(-x)^2+9}-5=\sqrt{x^2+9}-5\).
🔢 Étape 3 : Donc \(f(-x)=-f(x)\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-4;4\}\) et \(f\) est impaire.
3) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x^2+5}\) : déterminer \(D_f\) et étudier la parité.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2+5>0\) toujours ; \(x^2-4\ge0\iff x\le-2\) ou \(x\ge2\).
🔢 Étape 2 : \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\) symétrique ; \(f(-x)=\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x^2+5}=f(x)\).
✅ \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\) et \(f\) est paire.
Exercice 12
Composée \(g\circ f\) : domaine et expression
1) Soit \(f(x)=\sqrt{x^2+2x}\) et \(g(x)=\dfrac1{x^4-x^2}\). Déterminer \(D_f\) et \(D_g\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Domaine d’une composée : \(D_{g\circ f}=\{x\in D_f\ /\ f(x)\in D_g\}\) ; \(g\circ f(x)=g(f(x))\).
🔢 Étape 1 : \(x^2+2x=x(x+2)\ge0\iff x\le-2\) ou \(x\ge0\) (tableau de signe).
🔢 Étape 2 : \(x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)=0\iff x\in\{-1;0;1\}\).
✅ \(D_f=]-\infty;-2]\cup[0;+\infty[\) ; \(D_g=\mathbb R\setminus\{-1;0;1\}\).
2) Déterminer \(D_{g\circ f}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f\) et \(f(x)\notin\{-1;0;1\}\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)\ge0\) donc \(f(x)\neq-1\) toujours.
🔢 Étape 3 : \(f(x)=0\iff x^2+2x=0\iff x=0\) ou \(x=-2\) (dans \(D_f\)).
🔢 Étape 4 : \(f(x)=1\iff x^2+2x-1=0\iff x=-1\pm\sqrt2\) ; \(-1+\sqrt2\approx0{,}41\) et \(-1-\sqrt2\approx-2{,}41\) appartiennent bien à \(D_f\).
✅ \(D_{g\circ f}=D_f\setminus\{-1-\sqrt2;-2;0;-1+\sqrt2\}\), soit \(]-\infty;-1-\sqrt2[\cup]-1-\sqrt2;-2[\cup]0;-1+\sqrt2[\cup]-1+\sqrt2;+\infty[\).
3) Donner \(g\circ f(x)\) pour \(x\in D_{g\circ f}\).
Correction détaillée
🔢 \(g(f(x))=\dfrac1{f(x)^4-f(x)^2}=\dfrac1{(x^2+2x)^2-(x^2+2x)}\).
✅ \(g\circ f(x)=\dfrac1{(x^2+2x)(x^2+2x-1)}\).
Exercice 13
Composée, domaine et variations
1.a) Soit \(f(x)=\sqrt{x-1}\) et \(g(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}\). Déterminer \(D_f\) et \(D_g\).
Correction détaillée
🔢 \(x-1\ge0\iff x\ge1\). \(x+3\neq0\iff x\neq-3\).
✅ \(D_f=[1;+\infty[\) ; \(D_g=\mathbb R\setminus\{-3\}\).
1.b) En déduire \(D_{f\circ g}\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé de la question 3 parle de « \(]-\infty;-3[\) et \([2;+\infty[\) » : cela correspond à \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x+3}\) (alors \(g(x)-1=\dfrac{x-2}{x+3}\), \(D_{f\circ g}=]-\infty;-3[\cup[2;+\infty[\) et \(f\circ g(x)=\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}\)). Le scan lit « \(2x-1\) » : j’ai traité le texte tel que lu, et la méthode est identique avec \(2x+1\).
🔢 Étape 1 : \(x\in D_{f\circ g}\iff x\neq-3\) et \(g(x)\ge1\).
🔢 Étape 2 : \(g(x)-1=\dfrac{2x-1-(x+3)}{x+3}=\dfrac{x-4}{x+3}\ge0\) : tableau de signe : \(x<-3\) ou \(x\ge4\).
✅ \(D_{f\circ g}=]-\infty;-3[\cup[4;+\infty[\).
2) Étudier les variations de \(f\) et \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) : si \(1\le a<b\) alors \(a-1<b-1\) et \(\sqrt{a-1}<\sqrt{b-1}\) : \(f\) est strictement croissante sur \([1;+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(g(x)=2-\dfrac7{x+3}\) : si \(a<b\) dans le même intervalle de \(D_g\), \(\dfrac1{a+3}>\dfrac1{b+3}\) donc \(g(a)<g(b)\).
✅ \(f\) est croissante sur \([1;+\infty[\) ; \(g\) est croissante sur \(]-\infty;-3[\) et sur \(]-3;+\infty[\).
3) En déduire les variations de \(f\circ g\) sur \(]-\infty;-3[\) et sur l’intervalle où \(g(x)\ge1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Théorème : si \(g\) est croissante sur \(I\), \(g(I)\subset J\) et \(f\) croissante sur \(J\), alors \(f\circ g\) est croissante sur \(I\).
🔢 Étape 2 : \(g\) croissante sur \(]-\infty;-3[\) avec \(g(x)>2\ge1\) (\(g(x)\in]2;+\infty[\) sur cet intervalle) : \(f\circ g\) croissante. De même sur \([4;+\infty[\).
✅ \(f\circ g\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-3[\) et sur \([4;+\infty[\) (resp. \([2;+\infty[\) avec \(2x+1\)).
4) Calculer \(f\circ g(x)\) pour tout \(x\in D_{f\circ g}\).
Correction détaillée
🔢 \(f(g(x))=\sqrt{g(x)-1}=\sqrt{\dfrac{x-4}{x+3}}\).
✅ \(f\circ g(x)=\sqrt{\dfrac{x-4}{x+3}}\).
Exercice 14
Fonction rationnelle : majorée, minimum, composée
1) Soit \(f(x)=\dfrac{x^2-x}{x^2-x+2}\). Montrer que \(D_f=\mathbb R\) et que \(f\) est majorée par 1.
Correction détaillée
📘 Méthode : Majorée / minorée : étudier le signe de \(M-f(x)\) ou \(f(x)-m\). Extremum : une valeur est un maximum (minimum) si elle est atteinte.
🔢 Étape 1 : \(x^2-x+2\) a \(\Delta=1-8<0\) : toujours \(>0\). \(D_f=\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(1-f(x)=\dfrac{2}{x^2-x+2}>0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\) et \(\forall x,\ f(x)<1\) : \(f\) est majorée par 1.
2) Montrer que \(f\) admet une valeur minimale en \(a=\dfrac12\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2-x+2=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac74\ge\dfrac74\), donc \(\dfrac2{x^2-x+2}\le\dfrac87\) et \(f(x)=1-\dfrac2{x^2-x+2}\ge-\dfrac17\).
🔢 Étape 2 : \(f\left(\dfrac12\right)=\dfrac{-1/4}{7/4}=-\dfrac17\) : la valeur est atteinte.
✅ \(-\dfrac17\) est la valeur minimale de \(f\), atteinte en \(\dfrac12\).
3) Soit \(h(x)=\dfrac x{x+2}\). Déterminer \(D_h\) et les variations de \(h\) sur \(D_h\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_h=\mathbb R\setminus\{-2\}\).
🔢 Étape 2 : \(h(x)=1-\dfrac2{x+2}\) : sur chaque intervalle, \(x\mapsto\dfrac1{x+2}\) est décroissante, donc \(h\) est croissante.
✅ \(D_h=\mathbb R\setminus\{-2\}\) ; \(h\) est croissante sur \(]-\infty;-2[\) et sur \(]-2;+\infty[\).
4) En remarquant que \(f=h\circ u\) avec \(u(x)=x^2-x\), déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(h(u(x))=\dfrac{x^2-x}{x^2-x+2}=f(x)\) ✓.
🔢 Étape 2 : \(u(x)\ge-\dfrac14>-2\) : \(u(\mathbb R)\subset]-2;+\infty[\) où \(h\) est croissante.
🔢 Étape 3 : \(u\) est décroissante sur \(]-\infty;\dfrac12]\) et croissante sur \([\dfrac12;+\infty[\) ; \(h\) croissante conserve le sens de variation.
✅ \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;\dfrac12]\) et croissante sur \([\dfrac12;+\infty[\) (minimum \(-\dfrac17\) en \(\dfrac12\)).
Exercice 15
Bornes et extremum d’une fonction rationnelle (1)
1) Soit \(f(x)=\dfrac{x^2-6x+4}{x^2-6x+10}\). Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1>0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2) Montrer que \(f\) est bornée par \(-5\) et \(1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=1-\dfrac6{(x-3)^2+1}\).
🔢 Étape 2 : \(0<\dfrac6{(x-3)^2+1}\le6\) car \((x-3)^2+1\ge1\). Donc \(-5\le f(x)<1\).
✅ \(\forall x\in\mathbb R,\ -5\le f(x)\le1\).
3.a) \(-5\) est-il une valeur minimale de \(f\) ?
Correction détaillée
🔢 \(f(3)=\dfrac{9-18+4}{9-18+10}=\dfrac{-5}1=-5\) : atteinte.
✅ Oui : \(-5=f(3)\) est la valeur minimale.
3.b) \(1\) est-il une valeur maximale de \(f\) ?
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=1\iff\dfrac6{(x-3)^2+1}=0\) : impossible.
✅ Non : \(1\) n’est jamais atteinte, c’est un majorant strict (pas de maximum).
Exercice 16
Bornes et extremum d’une fonction rationnelle (2)
1) Soit \(f(x)=\dfrac{-2x+4}{x^2-x+2}\). Montrer que \(x^2-x+2>0\) et en déduire \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(\Delta=1-8<0\) et coefficient de \(x^2\) positif.
✅ \(x^2-x+2>0\) pour tout \(x\) : \(D_f=\mathbb R\).
2) Montrer que \(f\) est majorée par 2 sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 \(2-f(x)=\dfrac{2x^2-2x+4+2x-4}{x^2-x+2}=\dfrac{2x^2}{x^2-x+2}\ge0\).
✅ \(f(x)\le2\) pour tout \(x\) (égalité en \(x=0\) : 2 est même un maximum).
3.a) Montrer que \(f\) est minorée par \(-1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)+1=\dfrac{-2x+4+x^2-x+2}{x^2-x+2}=\dfrac{x^2-3x+6}{x^2-x+2}\).
🔢 Étape 2 : \(x^2-3x+6\) : \(\Delta=9-24<0\) donc \(>0\).
✅ \(f(x)>-1\) pour tout \(x\) : \(f\) est minorée par \(-1\).
3.b) \(-1\) est-il une valeur minimale de \(f\) ?
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=-1\iff x^2-3x+6=0\), sans solution réelle (\(\Delta<0\)).
✅ Non : \(-1\) n’est pas atteinte.
Exercice 17
Bornes et extremum d’une fonction rationnelle (3)
1) Soit \(f(x)=\dfrac{3x^2-6x+7}{x^2-2x+3}\). Montrer que \(x^2-2x+3>0\) et en déduire \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-2x+3=(x-1)^2+2\ge2>0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2) Montrer que \(f(1)=2\) est une valeur minimale de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=3-\dfrac2{x^2-2x+3}\). Comme \(x^2-2x+3\ge2\), \(\dfrac2{x^2-2x+3}\le1\), donc \(f(x)\ge2\).
🔢 Étape 2 : \(f(1)=\dfrac{3-6+7}{1-2+3}=\dfrac42=2\).
✅ \(\forall x,\ f(x)\ge2=f(1)\) : minimum \(2\) atteint en 1.
3.a) Montrer que \(f\) est majorée par 3.
Correction détaillée
🔢 \(3-f(x)=\dfrac2{x^2-2x+3}>0\).
✅ \(f(x)<3\) pour tout \(x\).
3.b) \(3\) est-il une valeur maximale ?
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=3\iff\dfrac2{x^2-2x+3}=0\) : impossible.
✅ Non : 3 n’est pas atteinte.
Exercice 18
Bornes et extremum d’une fonction rationnelle (4)
1) Soit \(f(x)=\dfrac{x^2-4x+6}{x^2-4x+8}\). Montrer que \(x^2-4x+8>0\) et déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-4x+8=(x-2)^2+4\ge4>0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2) Montrer que \(f(2)=\dfrac12\) est une valeur minimale.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=1-\dfrac2{(x-2)^2+4}\) et \((x-2)^2+4\ge4\Rightarrow\dfrac2{(x-2)^2+4}\le\dfrac12\), d’où \(f(x)\ge\dfrac12\).
🔢 Étape 2 : \(f(2)=\dfrac{4-8+6}{4-8+8}=\dfrac24=\dfrac12\).
✅ \(\dfrac12\) est la valeur minimale, atteinte en \(x=2\).
3.a) Montrer que \(f(x)\le1\) pour tout \(x\in\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 \(1-f(x)=\dfrac2{(x-2)^2+4}>0\).
✅ \(f(x)<1\) : \(f\) est majorée par 1.
3.b) \(1\) est-il une valeur maximale ?
Correction détaillée
🔢 L’égalité \(f(x)=1\) donnerait \(\dfrac2{(x-2)^2+4}=0\), impossible.
✅ Non : 1 n’est pas atteinte.
Exercice 19
Parabole et hyperbole : variations, intersection
1) Soit \(f(x)=x^2-2x-3\) et \(g(x)=\dfrac{x+1}{1-x}\). Dresser les tableaux de variation de \(f\) et de \(g\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) a pour courbe une parabole de sommet \(S(\alpha;\beta)\) et d’axe \(x=\alpha\) ; \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\) a pour courbe une hyperbole de centre \(\Omega\) et d’asymptotes \(x=-\dfrac dc\), \(y=\dfrac ac\). Pour étudier les variations : comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) pour \(a<b\) dans un intervalle.
🔢 Étape 1 : \(f(x)=(x-1)^2-4\) : décroissante sur \(]-\infty;1]\), croissante sur \([1;+\infty[\), minimum \(f(1)=-4\).
🔢 Étape 2 : \(g\) est définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\) et \(g(x)=-1+\dfrac2{1-x}\). Pour \(a<b<1\) : \(1-a>1-b>0\Rightarrow\dfrac2{1-a}<\dfrac2{1-b}\Rightarrow g(a)<g(b)\). Pour \(1<a<b\) : \(1-a>1-b\) (négatifs), donc \(\dfrac1{1-a}<\dfrac1{1-b}\) et \(g(a)<g(b)\).
🔢 Étape 3 :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\searrow\) | \(-4\) | \(\nearrow\) | ||
| \(g(x)\) | \(\nearrow\) | \(\parallel\) | \(\nearrow\) |
✅ \(f\) : décroissante puis croissante (minimum \(-4\) en 1) ; \(g\) : croissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
2.a) Résoudre \(f(x)=0\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\).
✅ \(S=\{-1;3\}\).
2.b) Interpréter géométriquement.
Correction détaillée
🔢 Les solutions de \(f(x)=0\) sont les abscisses des points d’intersection de \(C_f\) avec l’axe \((Ox)\).
✅ \(C_f\) coupe \((Ox)\) en \(A(-1;0)\) et \(B(3;0)\).
3) Nature de \(C_f\) et \(C_g\) et éléments caractéristiques.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=(x-1)^2-4\) : \(C_f\) est une parabole de sommet \(S(1;-4)\), d’axe \(x=1\), tournée vers le haut.
🔢 Étape 2 : \(g(x)=\dfrac{-x-1}{x-1}\) : \(C_g\) est une hyperbole de centre \(\Omega(1;-1)\), d’asymptotes \(x=1\) et \(y=-1\).
✅ Parabole de sommet \(S(1;-4)\) ; hyperbole de centre \(\Omega(1;-1)\) (asymptotes \(x=1\), \(y=-1\)).
4.a) Montrer que \(\forall x\neq1,\ f(x)=g(x)\iff(x+1)(x-2)^2=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Pour \(x\neq1\) : \((x+1)(x-3)=\dfrac{x+1}{1-x}\iff(x+1)\left[(x-3)(1-x)-1\right]=0\).
🔢 Étape 2 : \((x-3)(1-x)-1=-x^2+4x-3-1=-(x-2)^2\). Donc \(f(x)=g(x)\iff-(x+1)(x-2)^2=0\).
✅ \(f(x)=g(x)\iff(x+1)(x-2)^2=0\) ✓.
4.b) En déduire que \(C_f\) et \(C_g\) se coupent en deux points.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Solutions : \(x=-1\) ou \(x=2\) (racine double), toutes deux différentes de 1.
🔢 Étape 2 : \(f(-1)=0\) ; \(f(2)=4-4-3=-3=g(2)\).
✅ \(C_f\cap C_g=\{(-1;0),(2;-3)\}\) : deux points (la racine double indique que les courbes sont tangentes au point \((2;-3)\)).
5) Tracer \(C_f\) et \(C_g\).
Correction détaillée
🔢 \(C_f\) : sommet \((1;-4)\), points \((-1;0)\), \((3;0)\), \((0;-3)\), \((2;-3)\), \((4;5)\). \(C_g\) : asymptotes \(x=1\), \(y=-1\) ; points \((0;1)\), \((-1;0)\), \((2;-3)\), \((3;-2)\), \((-3;-0{,}5)\).
✅ Voir tracé : parabole + hyperbole, se coupant en \((-1;0)\) et touchant en \((2;-3)\).
Exercice 20
Parabole et racine carrée, fonction avec valeur absolue
1) Soit \(f(x)=x^2-3x+2\) et \(g(x)=\sqrt{x+1}\). Dresser leurs tableaux de variation.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=\left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac14\) : décroissante sur \(]-\infty;\dfrac32]\), croissante sur \([\dfrac32;+\infty[\), minimum \(-\dfrac14\).
🔢 Étape 2 : \(D_g=[-1;+\infty[\) et \(g\) est croissante (\(a<b\Rightarrow\sqrt{a+1}<\sqrt{b+1}\)), \(g(-1)=0\).
✅ \(f\) : \(\searrow\) puis \(\nearrow\) (minimum \(-\frac14\) en \(\frac32\)) ; \(g\) : \(\nearrow\) sur \([-1;+\infty[\).
2) Déterminer les points d’intersection de \(C_f\) avec les axes.
Correction détaillée
🔢 \((Oy)\) : \(f(0)=2\). \((Ox)\) : \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0\).
✅ \(C_f\cap(Oy)=\{(0;2)\}\) ; \(C_f\cap(Ox)=\{(1;0),(2;0)\}\).
3) Tracer \(C_f\) et \(C_g\) dans un repère (on remarque \(f(3)=g(3)=2\)).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(3)=9-9+2=2\) et \(g(3)=\sqrt4=2\) : les courbes passent par \((3;2)\).
🔢 Étape 2 : Points de \(C_g\) : \((-1;0)\), \((0;1)\), \((3;2)\), \((8;3)\).
✅ Parabole de sommet \((\frac32;-\frac14)\) ; \(C_g\) demi-parabole couchée d’origine \((-1;0)\) ; elles se coupent en \((3;2)\) (et en un point d’abscisse \(\approx0{,}32\)).
4.a) Soit \(H(x)=x^2-3|x|+2\). Déterminer \(D_H\) et montrer que \(H\) est paire.
Correction détaillée
🔢 \(D_H=\mathbb R\), symétrique. \(H(-x)=x^2-3|-x|+2=H(x)\).
✅ \(H\) est paire.
4.b) Montrer que \(H(x)=f(x)\) pour \(x\ge0\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x\ge0\), \(|x|=x\) et \(H(x)=x^2-3x+2=f(x)\).
✅ \(H=f\) sur \([0;+\infty[\).
4.c) Tracer \(C_H\) (et préciser l’extremum de \(H\)).
Correction détaillée
⚠️ Dans le scan, une question de l’énoncé se lit « montrer que 1 est valeur minimale… » (illisible). Mathématiquement, \(H(1)=0\) et le minimum de \(H\) est \(-\dfrac14\) : j’ai donné ce résultat (la valeur \(1\) n’est pas un minimum de \(H\)).
🔢 Étape 1 : On trace la partie de \(C_f\) pour \(x\ge0\), puis on la complète par symétrie par rapport à \((Oy)\) (parité).
🔢 Étape 2 : Sur \([0;+\infty[\), \(H\) décroît jusqu’à \(\dfrac32\) (valeur \(-\dfrac14\)) puis croît. Donc le minimum de \(H\) est \(-\dfrac14\), atteint en \(\pm\dfrac32\).
✅ \(C_H\) a une forme de « W » : minimum \(-\dfrac14\) en \(\pm\dfrac32\), maximum local \(H(0)=2\), zéros \(\pm1\) et \(\pm2\).
Exercice 21
Parabole et hyperbole : positions relatives
1) Soit \(f(x)=x^2-6x\) et \(g(x)=\dfrac{-2x}{x-3}\). Étudier les variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=(x-3)^2-9\).
✅ \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;3]\), croissante sur \([3;+\infty[\) ; minimum \(-9\) en 3.
2) Étudier les variations de \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_g=\mathbb R\setminus\{3\}\) et \(g(x)=\dfrac{-2(x-3)-6}{x-3}=-2-\dfrac6{x-3}\).
🔢 Étape 2 : \(x\mapsto\dfrac1{x-3}\) est décroissante sur chaque intervalle, donc \(g\) est croissante.
✅ \(g\) est croissante sur \(]-\infty;3[\) et sur \(]3;+\infty[\).
3) Calculer \(f(0),f(5),f(4),g(0),g(5),g(4),f(6)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(0)=0\), \(f(5)=25-30=-5\), \(f(4)=16-24=-8\), \(f(6)=0\).
🔢 Étape 2 : \(g(0)=0\), \(g(5)=\dfrac{-10}2=-5\), \(g(4)=\dfrac{-8}1=-8\).
✅ \(f(0)=g(0)=0\), \(f(5)=g(5)=-5\), \(f(4)=g(4)=-8\), \(f(6)=0\).
4) Tracer \(C_f\) et \(C_g\) dans le même repère.
Correction détaillée
🔢 \(C_f\) : parabole de sommet \((3;-9)\) passant par \((0;0)\), \((6;0)\), \((4;-8)\), \((5;-5)\). \(C_g\) : hyperbole de centre \((3;-2)\), asymptotes \(x=3\) et \(y=-2\), passant par \((0;0)\), \((4;-8)\), \((5;-5)\), \((6;-4)\).
✅ Les courbes se coupent en trois points : \((0;0)\), \((4;-8)\), \((5;-5)\).
5) Résoudre graphiquement \(f(x)\ge g(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Vérification algébrique : \(f(x)-g(x)=\dfrac{(x^2-6x)(x-3)+2x}{x-3}=\dfrac{x(x-4)(x-5)}{x-3}\) (car \(x^2-9x+20=(x-4)(x-5)\)).
🔢 Étape 2 : Tableau de signe avec les valeurs \(0,3,4,5\) : positif sur \(]-\infty;0]\), \(]3;4]\), \([5;+\infty[\).
✅ \(S=]-\infty;0]\cup]3;4]\cup[5;+\infty[\) (là où \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\)).
Exercice 22
Cubique et racine carrée : équation à solution unique
1.a) Soit \(f(x)=\dfrac12x^3\) et \(g(x)=\sqrt{x+3}\). Déterminer \(D_f\) et le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f=\mathbb R\). \(x\mapsto x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), donc \(f\) aussi ; \(f(0)=0\).
✅ \(f\) est croissante sur \(\mathbb R\).
1.b) Déterminer \(D_g\) et le tableau de variation de \(g\).
Correction détaillée
🔢 \(x+3\ge0\iff x\ge-3\) ; \(g\) est croissante, \(g(-3)=0\).
✅ \(D_g=[-3;+\infty[\) ; \(g\) croissante de 0 à \(+\infty\).
1.c) Tracer \(C_f\) et \(C_g\).
Correction détaillée
🔢 \(C_f\) : \((0;0)\), \((1;\frac12)\), \((2;4)\), \((-2;-4)\), \((-1;-\frac12)\). \(C_g\) : \((-3;0)\), \((-2;1)\), \((1;2)\), \((6;3)\).
✅ Courbes tracées dans le même repère orthonormé.
2.a) \(E:x^3-2\sqrt{x+3}=0\). Montrer que \(E\iff f(x)=g(x)\) et déduire que \(E\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \([-3;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En divisant par 2 : \(\dfrac12x^3=\sqrt{x+3}\iff f(x)=g(x)\).
🔢 Étape 2 : Sur \([-3;0]\) : \(f(x)\le0\) et \(g(x)\ge0\) avec \(g(x)>0\) pour \(x>-3\) ; en \(-3\), \(f(-3)=-13{,}5<0=g(-3)\) ; en \(0\), \(f(0)=0<\sqrt3\). Pas de solution.
🔢 Étape 3 : Sur \(]0;+\infty[\) : \(f(x)=g(x)\iff x^6=4(x+3)\iff\varphi(x)=x^6-4x-12=0\). \(\varphi'(x)=6x^5-4\) : \(\varphi\) décroît puis croît, \(\varphi(0)=-12<0\) et \(\varphi\to+\infty\) : une seule racine. Graphiquement : \(C_f\) coupe \(C_g\) en un seul point.
✅ \(E\) admet une unique solution \(\alpha\in[-3;+\infty[\) (abscisse du point d’intersection).
2.b) Montrer que \(1<\alpha<2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(1)=\dfrac12<g(1)=2\) et \(f(2)=4>g(2)=\sqrt5\approx2{,}24\).
🔢 Étape 2 : \(f-g\) change de signe entre 1 et 2.
✅ \(1<\alpha<2\) (en fait \(\alpha\approx1{,}63\)).
2.c) Résoudre graphiquement dans \([-3;+\infty[\) l’inéquation \(F:x^3-2\sqrt{x+3}>0\).
Correction détaillée
🔢 \(F\iff f(x)>g(x)\) : \(C_f\) au-dessus de \(C_g\), c’est-à-dire à droite de \(\alpha\).
✅ \(S=]\alpha;+\infty[\).
Exercice 23
Parabole et racine carrée : équation à solution unique
1.a) Soit \(f(x)=x^2-6x+8\) et \(g(x)=\sqrt{x-3}\). Tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=(x-3)^2-1\) : décroissante sur \(]-\infty;3]\), croissante sur \([3;+\infty[\), minimum \(-1\).
✅ \(f\) : \(\searrow\) jusqu’à \(f(3)=-1\), puis \(\nearrow\).
1.b) Nature de \(C_f\) et éléments caractéristiques.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=(x-3)^2-1\) : parabole de sommet \(S(3;-1)\), d’axe \(x=3\).
✅ Parabole de sommet \(S(3;-1)\), axe de symétrie \(x=3\).
1.c) Intersection de \(C_f\) avec \((Ox)\) et \((Oy)\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\) ; \(f(0)=8\).
✅ \(C_f\cap(Ox)=\{(2;0),(4;0)\}\) ; \(C_f\cap(Oy)=\{(0;8)\}\).
2) Déterminer \(D_g\) et le tableau de variation de \(g\).
Correction détaillée
🔢 \(x-3\ge0\iff x\ge3\) ; \(g\) croissante, \(g(3)=0\).
✅ \(D_g=[3;+\infty[\) ; \(g\) croissante.
3) Construire \(C_f\) et \(C_g\) dans le même repère.
Correction détaillée
🔢 \(C_f\) : \((3;-1),(2;0),(4;0),(5;3),(0;8),(6;8)\). \(C_g\) : \((3;0),(4;1),(7;2),(12;3)\).
✅ Tracé : parabole et demi-parabole couchée de sommet \((3;0)\).
4.a) Montrer graphiquement que \(E:x^2-6x+8-\sqrt{x-3}=0\) admet une seule solution \(\alpha\in[3;+\infty[\) et \(4<\alpha<5\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(E\iff f(x)=g(x)\). Sur \([3;+\infty[\) : en 3, \(f(3)=-1<g(3)=0\) ; \(C_f\) finit par dépasser \(C_g\) et ne la recoupe plus.
🔢 Étape 2 : Preuve : avec \(t=\sqrt{x-3}\ge0\), \(f(x)=t^4-1\) et \(E\iff t^4-t-1=0\) ; \(\psi(t)=t^4-t-1\) décroît puis croît (\(\psi'(t)=4t^3-1\)), \(\psi(0)=-1<0\) : une seule racine \(t_0>0\).
🔢 Étape 3 : \(f(4)=0<g(4)=1\) et \(f(5)=3>g(5)=\sqrt2\) : \(4<\alpha<5\).
✅ \(E\) a une unique solution \(\alpha\in]4;5[\) (\(\alpha\approx4{,}49\)).
4.b) Résoudre graphiquement \(x^2-6x+8-\sqrt{x-3}\le0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)\le g(x)\) : \(C_f\) en dessous de \(C_g\), pour \(3\le x\le\alpha\).
✅ \(S=[3;\alpha]\).
Exercice 24
Hyperbole et cubique : inéquation graphique
1) Soit \(f(x)=\dfrac{2(x-1)}{2-x}\) et \(g(x)=\dfrac23x^3\). Dresser les tableaux de variation de \(f\) et \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}\) et \(f(x)=-2+\dfrac2{2-x}\). Sur chaque intervalle \(\dfrac1{2-x}\) est croissante, donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\) (asymptotes \(x=2\), \(y=-2\)).
🔢 Étape 2 : \(g\) est croissante sur \(\mathbb R\) (\(g(0)=0\)).
✅ \(f\) croissante sur chaque intervalle de \(D_f\) ; \(g\) croissante sur \(\mathbb R\).
2) Résoudre dans \(]-\infty;2[\) l’équation \(f(x)=0\) et interpréter.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=0\iff x-1=0\iff x=1\in]-\infty;2[\).
✅ \(S=\{1\}\) : \(C_f\) coupe \((Ox)\) au point \((1;0)\).
3) Tracer \(C_f\) et \(C_g\).
Correction détaillée
🔢 \(C_f\) : hyperbole de centre \((2;-2)\), points \((1;0)\), \((0;-1)\), \((3;-4)\), \((4;-3)\). \(C_g\) : \((0;0)\), \((1;\frac23)\), \((-1;-\frac23)\), \((2;\frac{16}3)\).
✅ Courbes dans le même repère.
4) On admet que \(f(x)=g(x)\) a deux solutions \(\alpha<\beta\) dans \(]-\infty;2[\). Résoudre graphiquement dans \(\mathbb R^*\setminus\{2\}\) : \(\dfrac{3(x-1)}{x^2}\le x(2-x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Cas \(x>2\) : \(\dfrac{3(x-1)}{x^2}>0>x(2-x)\) : aucune solution.
🔢 Étape 2 : Cas \(x<2,\ x\neq0\) : on multiplie par \(x^2>0\) : \(3(x-1)\le x^3(2-x)\), puis on divise par \(2-x>0\) : \(\dfrac{3(x-1)}{2-x}\le x^3\iff\dfrac{2(x-1)}{2-x}\le\dfrac23x^3\iff f(x)\le g(x)\).
🔢 Étape 3 : \(f(x)=g(x)\iff3(x-1)=x^3(2-x)\iff x^4-2x^3+3x-3=0\) : \(\alpha\approx-1{,}28\) et \(\beta\approx1{,}56\).
🔢 Étape 4 : Test : \(x=1\) : \(f=0<g=\frac23\) ✓ ; \(x=-2\) : \(f=-1{,}5>g\approx-5{,}3\) ✗ ; \(x=1{,}8\) : \(f=8>g\approx3{,}9\) ✗. \(C_f\) est sous \(C_g\) entre \(\alpha\) et \(\beta\). On exclut \(x=0\) (dénominateur nul).
✅ \(S=[\alpha;0[\cup]0;\beta]\).