Cette série d’exercices corrigés sur les suites numériques pour la 1ère Bac Sc Ex porte sur les suites arithmétiques et géométriques, la monotonie et la récurrence, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.
Exercices corrigés sur les suites numériques 1ère Bac
Les suites numériques · Série de synthèse 1ère Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
Pour chacune des suites \((u_n)\) ci-dessous, calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_6\).
1) \(u_n=\dfrac{7n-2}{n+4}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : une suite \((u_n)\) est définie soit explicitement (\(u_n=f(n)\), on remplace \(n\)), soit par récurrence (\(u_0\) donné et \(u_{n+1}=f(u_n)\), on calcule de proche en proche), soit par une propriété de \(n\).
🔢 \(u_1=\dfrac55\), \(u_2=\dfrac{12}6\), \(u_3=\dfrac{19}7\), \(u_6=\dfrac{40}{10}\).
✅ \(u_1=1\), \(u_2=2\), \(u_3=\dfrac{19}7\), \(u_6=4\).
2) \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=2u_n+3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_1=2\times2+3=7\) ; \(u_2=2\times7+3=17\) ; \(u_3=2\times17+3=37\).
🔢 Étape 2 : \(u_4=77\), \(u_5=157\), \(u_6=2\times157+3=317\).
✅ \(u_1=7\), \(u_2=17\), \(u_3=37\), \(u_6=317\).
3) \(u_n\) est le \(n\)-ième nombre premier.
Correction détaillée
🔢 Nombres premiers : \(2,3,5,7,11,13,\dots\).
✅ \(u_1=2\), \(u_2=3\), \(u_3=5\), \(u_6=13\).
4) \(u_n\) est la somme des \(n\) premiers nombres pairs strictement positifs.
Correction détaillée
🔢 \(u_n=2+4+\dots+2n=n(n+1)\).
✅ \(u_1=2\), \(u_2=6\), \(u_3=12\), \(u_6=42\).
5) \(u_n\) est le nombre de diviseurs positifs de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Diviseurs de \(1\) : \(\{1\}\) ; de \(2\) : \(\{1,2\}\) ; de \(3\) : \(\{1,3\}\) ; de \(6\) : \(\{1,2,3,6\}\).
✅ \(u_1=1\), \(u_2=2\), \(u_3=2\), \(u_6=4\).
6) Je place \(1\,000\) Dh sur un livret à \(2{,}5\%\) par an ; \(u_n\) est la somme dont je dispose la \(n\)-ième année.
Correction détaillée
⚠️ Convention choisie : \(u_1=1\,000\) Dh est la somme disponible la 1re année (avant tout intérêt).
🔢 Étape 1 : Année 1 : \(u_1=1\,000\). Chaque année la somme est multipliée par \(1{,}025\).
🔢 Étape 2 : \(u_2=1\,025\) ; \(u_3=1\,025\times1{,}025=1\,050{,}625\) ; \(u_6=1\,000\times1{,}025^5\approx1\,131{,}41\).
✅ \(u_1=1\,000\), \(u_2=1\,025\), \(u_3\approx1\,050{,}63\), \(u_6\approx1\,131{,}41\) Dh.
7) \(u_n\) est la \(n\)-ième décimale de \(\pi\).
Correction détaillée
🔢 \(\pi=3{,}14159265\dots\)
✅ \(u_1=1\), \(u_2=4\), \(u_3=1\), \(u_6=2\).
Exercice 2
Calculer les premiers termes demandés.
1) \(u_n=2n+3\) : calculer les quatre premiers termes puis \(u_{n+1}-u_n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_0=3\), \(u_1=5\), \(u_2=7\), \(u_3=9\).
🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=2(n+1)+3-(2n+3)=2\).
✅ \(3,5,7,9\) et \(u_{n+1}-u_n=2\) pour tout \(n\).
2) \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=5u_n-7\) : calculer \(u_1,u_2,u_3\).
Correction détaillée
🔢 \(u_1=10-7=3\) ; \(u_2=15-7=8\) ; \(u_3=40-7=33\).
✅ \(u_1=3\), \(u_2=8\), \(u_3=33\).
3) (Suite du second ordre) \(v_0=1\), \(v_1=-1\), \(v_{n+2}=2v_{n+1}-3v_n\) : calculer \(v_2,v_3,v_4\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Chaque terme se calcule à partir des deux précédents.
🔢 Étape 1 : \(v_2=2v_1-3v_0=-2-3=-5\).
🔢 Étape 2 : \(v_3=2v_2-3v_1=-10+3=-7\).
🔢 Étape 3 : \(v_4=2v_3-3v_2=-14+15=1\).
✅ \(v_2=-5\), \(v_3=-7\), \(v_4=1\).
Exercice 3
Étudier le sens de variation des suites \((u_n)\) suivantes.
1) \(u_n=3n-5\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Méthodes : \((u_n)\) est croissante (resp. décroissante) si \(u_{n+1}-u_n\ge0\) (resp. \(\le0\)) pour tout \(n\) ; si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) ; si \(u_n=f(n)\) avec \(f\) monotone sur \([0;+\infty[\), \((u_n)\) a la même monotonie.
🔢 \(u_{n+1}-u_n=3(n+1)-5-(3n-5)=3>0\).
✅ \((u_n)\) est strictement croissante.
2) \(u_n=-n^2+5n-2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=-(n+1)^2+5(n+1)-2+n^2-5n+2=-2n-1+5=4-2n\).
🔢 Étape 2 : \(4-2n>0\) pour \(n<2\), \(=0\) pour \(n=2\), \(<0\) pour \(n>2\). Termes : \(u_0=-2,u_1=2,u_2=4,u_3=4,u_4=2\).
✅ \((u_n)\) croît pour \(n\le2\) puis décroît à partir de \(n=3\) : elle n’est pas monotone.
3) \(u_n=\dfrac{n+1}{n+2}\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+2}{n+3}-\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{(n+2)^2-(n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}=\dfrac{1}{(n+2)(n+3)}>0\).
✅ \((u_n)\) est strictement croissante.
4) \(u_n=\dfrac{3^n}2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3^{n+1}-3^n}2=3^n>0\).
✅ \((u_n)\) est strictement croissante.
5) \(u_n=\sqrt{n^2+3}\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n>0\) et \(u_{n+1}^2-u_n^2=(n+1)^2-n^2=2n+1>0\), donc \(u_{n+1}>u_n\) (racine croissante).
✅ \((u_n)\) est strictement croissante.
6) \(u_n=\left(-\dfrac12\right)^n\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=1\), \(u_1=-\dfrac12\), \(u_2=\dfrac14\), \(u_3=-\dfrac18\) : les termes alternent de signe.
✅ \(u_1<u_0\) mais \(u_2>u_1\) : \((u_n)\) n’est pas monotone.
7) \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=u_n+3\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=3>0\).
✅ \((u_n)\) est strictement croissante (\(u_n=3n\)).
8) \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac12u_n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Par récurrence \(u_n>0\) (\(u_n=\dfrac1{2^n}\)).
🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=-\dfrac12u_n<0\).
✅ \((u_n)\) est strictement décroissante.
9) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n\) (plus difficile).
Correction détaillée
📘 Méthode : Pour une différence de racines, multiplier par la quantité conjuguée.
🔢 Étape 1 : Quantité conjuguée : \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\), strictement positive.
🔢 Étape 2 : \(n\mapsto\sqrt{n+1}+\sqrt n\) est croissante, donc \(u_n\) (son inverse) est décroissante.
✅ \((u_n)\) est strictement décroissante.
Exercice 4
Étudier la monotonie de chaque suite.
1) \(u_n=-\dfrac{n}{n+2}\). Montrer que \(u_{n+1}-u_n\le0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=-\dfrac{n+1}{n+3}+\dfrac n{n+2}=\dfrac{-(n+1)(n+2)+n(n+3)}{(n+2)(n+3)}\).
🔢 Étape 2 : Numérateur : \(-n^2-3n-2+n^2+3n=-2\).
✅ \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-2}{(n+2)(n+3)}<0\) : \((u_n)\) est décroissante.
2) \(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{2^k}{k}\), \(n\ge1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Pour une somme, écrire \(u_{n+1}-u_n\) : il ne reste que les termes qui diffèrent.
🔢 \(u_{n+1}=u_n+\dfrac{2^{n+1}}{n+1}\), donc \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}>0\).
✅ \((u_n)\) est strictement croissante.
3) \(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}=\dfrac1{n+1}+\dots+\dfrac1{2n}\), \(n\ge1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}=\dfrac1{n+2}+\dots+\dfrac1{2n}+\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n+2}\).
🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n+2}-\dfrac1{n+1}=\dfrac1{2n+1}-\dfrac1{2n+2}>0\).
✅ \((u_n)\) est strictement croissante.
Exercice 5
Soit \(u_n=5-\dfrac1n\) pour \(n\in\mathbb N^*\). Montrer que \((u_n)\) est bornée.
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels : \((u_n)\) est majorée s’il existe \(M\) avec \(u_n\le M\) pour tout \(n\) ; minorée s’il existe \(m\) avec \(u_n\ge m\) ; bornée si elle est majorée et minorée. Méthodes : encadrer l’expression, étudier le signe de \(u_n-M\), ou démontrer par récurrence (initialisation, hérédité).
🔢 Étape 1 : \(n\ge1\Rightarrow0<\dfrac1n\le1\), donc \(-1\le-\dfrac1n<0\).
🔢 Étape 2 : On ajoute \(5\) : \(4\le u_n<5\).
✅ \(4\le u_n<5\) : \((u_n)\) est bornée.
Exercice 6
a) \(u_n=\dfrac{2n+1}{n+2}\), \(n\in\mathbb N^*\). Montrer que \((u_n)\) est majorée par \(2\).
Correction détaillée
🔢 \(2-u_n=\dfrac{2n+4-2n-1}{n+2}=\dfrac3{n+2}>0\).
✅ \(u_n<2\) : \((u_n)\) est majorée par \(2\).
b) Montrer que \((u_n)\) est minorée par \(\dfrac12\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n-\dfrac12=\dfrac{2(2n+1)-(n+2)}{2(n+2)}=\dfrac{3n}{2(n+2)}>0\) pour \(n\ge1\).
✅ \(u_n>\dfrac12\) : \((u_n)\) est minorée par \(\dfrac12\).
Exercice 7
\(u_n=-n^2+8n+1\), \(n\in\mathbb N^*\). Montrer que \((u_n)\) est majorée par \(17\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Forme canonique : \(u_n=-(n-4)^2+17\).
🔢 Étape 2 : \((n-4)^2\ge0\).
✅ \(u_n\le17\) (maximum atteint pour \(n=4\)).
Exercice 8
\(u_n=\dfrac{n+1}{2n+1}\). Montrer que \(\dfrac12<u_n\le1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_n-\dfrac12=\dfrac{2n+2-2n-1}{2(2n+1)}=\dfrac1{2(2n+1)}>0\).
🔢 Étape 2 : \(1-u_n=\dfrac{2n+1-n-1}{2n+1}=\dfrac n{2n+1}\ge0\).
✅ \(\dfrac12<u_n\le1\).
Exercice 9
1) \(v_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n\), \(n\ge1\). Montrer que \((v_n)\) est minorée par \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}>0\) (conjuguée).
✅ \(v_n>0\).
2) Montrer que \((v_n)\) est majorée par \(\dfrac12\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(n\ge1\) : \(\sqrt{n+1}+\sqrt n\ge\sqrt2+1>2\), donc \(v_n<\dfrac12\).
✅ \(v_n<\dfrac12\).
3) Que peut-on déduire ?
Correction détaillée
🔢 \(0<v_n<\dfrac12\).
✅ \((v_n)\) est bornée (et décroissante, voir Partie II). Cela couvre aussi la question « majorée et minorée » d’un autre énoncé.
Exercice 10
\(u_0=-1\) et \(u_{n+1}=u_n^2+2u_n+2\). Calculer \(u_1\) et montrer que \((u_n)\) est minorée par \(1\).
Correction détaillée
⚠️ Pour \(n=0\), \(u_0=-1<1\) : la minoration par \(1\) vaut pour \(n\ge1\) (l’énoncé « pour tout \(n\in\mathbb N\) » ne peut donc pas être pris au pied de la lettre ; \((u_n)\) est de toute façon minorée par \(-1\)).
🔢 Étape 1 : \(u_1=1-2+2=1\).
🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}=(u_n+1)^2+1\ge1\) pour tout \(n\) (un carré plus \(1\)).
✅ \(u_1=1\) et \(u_n\ge1\) pour tout \(n\ge1\).
Exercice 11
\(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{7u_n}{2u_n+1}\). Montrer que \(1\le u_n\le3\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Récurrence : vérifier pour \(n=0\), puis supposer la propriété au rang \(n\) et la démontrer au rang \(n+1\).
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1\in[1;3]\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : supposons \(1\le u_n\le3\). \(u_{n+1}-1=\dfrac{7u_n-2u_n-1}{2u_n+1}=\dfrac{5u_n-1}{2u_n+1}>0\) et \(3-u_{n+1}=\dfrac{6u_n+3-7u_n}{2u_n+1}=\dfrac{3-u_n}{2u_n+1}\ge0\).
✅ Pour tout \(n\), \(1\le u_n\le3\).
Exercice 12
\(u_n=3n^2+6n-4\). Montrer que \((u_n)\) est minorée.
Correction détaillée
🔢 \(u_n=3(n+1)^2-7\ge3-7=-4\) pour \(n\ge0\).
✅ \(u_n\ge-4\) : \((u_n)\) est minorée par \(-4\).
Exercice 13
\(u_n=\dfrac{2+\cos n}{3-\sin\sqrt n}\). Montrer que \((u_n)\) est bornée.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(-1\le\cos n\le1\Rightarrow1\le2+\cos n\le3\).
🔢 Étape 2 : \(-1\le\sin\sqrt n\le1\Rightarrow2\le3-\sin\sqrt n\le4\).
🔢 Étape 3 : Donc \(\dfrac14\le u_n\le\dfrac32\).
✅ \(\dfrac14\le u_n\le\dfrac32\) : \((u_n)\) est bornée.
Exercice 14
\(u_n=(-1)^n\sin\sqrt n\). Montrer que \((u_n)\) est bornée.
Correction détaillée
🔢 \(|u_n|=|\sin\sqrt n|\le1\).
✅ \(-1\le u_n\le1\) : \((u_n)\) est bornée.
Exercice 15
1) \(u_0=0\), \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\) : calculer les trois premiers termes.
Correction détaillée
🔢 \(u_0=0\), \(u_1=\sqrt2\), \(u_2=\sqrt{2+\sqrt2}\).
✅ \(0,\ \sqrt2,\ \sqrt{2+\sqrt2}\approx1{,}85\).
2) Montrer par récurrence que \(0\le u_n\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=0\ge0\). Si \(u_n\ge0\), \(u_n+2>0\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\ge0\).
✅ \(u_n\ge0\) pour tout \(n\).
3) Montrer par récurrence que \(u_n\le2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=0\le2\). Si \(u_n\le2\) : \(u_n+2\le4\), puis \(\sqrt{u_n+2}\le\sqrt4=2\) (racine croissante).
✅ \(0\le u_n\le2\) pour tout \(n\).
Exercice 16
\(u_0=1\), \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\). Montrer par récurrence que \(u_n\le u_{n+1}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Pour une suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f\) croissante, la monotonie se transmet de proche en proche.
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1\le u_1=\sqrt3\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_n\le u_{n+1}\Rightarrow u_n+2\le u_{n+1}+2\Rightarrow\sqrt{u_n+2}\le\sqrt{u_{n+1}+2}\), soit \(u_{n+1}\le u_{n+2}\).
✅ \((u_n)\) est croissante.
Exercice 17
\(u_0=1\), \(u_1=1\), \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n-2\). L’énoncé demande de montrer que \((u_n)_{n\ge1}\) est croissante.
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé annonce « croissante » : c’est faux (\(u_2=-1<u_1=1\)). Nous démontrons le résultat correct (décroissante).
🔢 Étape 1 : Posons \(d_n=u_{n+1}-u_n\). Alors \(d_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=u_{n+1}-u_n-2=d_n-2\).
🔢 Étape 2 : \((d_n)\) est arithmétique de raison \(-2\) avec \(d_0=0\) : \(d_n=-2n\).
🔢 Étape 3 : \(u_2=2\times1-1-2=-1<u_1\) : la suite n’est pas croissante.
🔢 Étape 4 : \(u_n=u_0+\sum_{k=0}^{n-1}d_k=1-n(n-1)\) (vérification : \(u_2=-1\)).
✅ \(d_n=-2n\le0\) : la suite est décroissante (strictement pour \(n\ge1\)), avec \(u_n=1-n(n-1)\).
Exercice 18
1) \(u_0=3\), \(u_{n+1}=\dfrac{8(u_n-1)}{u_n+2}\). Montrer que \((u_n)\) est minorée par \(2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-2=\dfrac{8u_n-8-2u_n-4}{u_n+2}=\dfrac{6(u_n-2)}{u_n+2}\).
🔢 Étape 2 : Initialisation \(u_0=3>2\) ; si \(u_n>2\), alors \(u_{n+1}-2>0\).
✅ \(u_n>2\) pour tout \(n\).
2) Montrer que \((u_n)\) est majorée par \(4\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(4-u_{n+1}=\dfrac{4u_n+8-8u_n+8}{u_n+2}=\dfrac{4(4-u_n)}{u_n+2}\).
🔢 Étape 2 : \(u_0=3<4\) ; si \(u_n<4\), \(4-u_{n+1}>0\).
✅ \(u_n<4\) pour tout \(n\).
3) Étudier la monotonie de \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{8u_n-8-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\dfrac{-(u_n^2-6u_n+8)}{u_n+2}=\dfrac{-(u_n-2)(u_n-4)}{u_n+2}\).
🔢 Étape 2 : Comme \(2<u_n<4\) : \((u_n-2)>0\), \((u_n-4)<0\), donc le numérateur est positif.
✅ \(u_{n+1}-u_n>0\) : \((u_n)\) est strictement croissante et \(3\le u_n<4\).
Exercice 19
1) \(u_0\in\,]-1;0[\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n+2}}\). Montrer que \(-1<u_n<0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Si \(-1<u_n<0\) : \(1<u_n+2<2\), donc \(\sqrt{u_n+2}>1\).
🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}\) a le signe de \(u_n\) (négatif) et \(|u_{n+1}|=\dfrac{|u_n|}{\sqrt{u_n+2}}<|u_n|<1\).
✅ \(-1<u_n<0\) pour tout \(n\) (récurrence).
2) Montrer que \((u_n)\) est strictement croissante.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=u_n\left(\dfrac1{\sqrt{u_n+2}}-1\right)=u_n\,\dfrac{1-\sqrt{u_n+2}}{\sqrt{u_n+2}}\).
🔢 Étape 2 : \(u_n<0\) et \(1-\sqrt{u_n+2}<0\) : le produit est strictement positif.
✅ \((u_n)\) est strictement croissante.
3) Montrer que \(u_{n+1}\ge\dfrac{u_n}{\sqrt{u_0+2}}\), puis que \(u_n\ge\dfrac{u_0}{\left(\sqrt{u_0+2}\right)^n}\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan écrit \(\dfrac{u_n}{\sqrt{u_0+2}}\) (la lecture \(u_0\) au dénominateur est la seule qui conduise à la conclusion demandée).
🔢 Étape 1 : \((u_n)\) croissante : \(u_n\ge u_0\), donc \(\sqrt{u_n+2}\ge\sqrt{u_0+2}>0\).
🔢 Étape 2 : Comme \(u_n<0\), \(\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n+2}}\ge\dfrac{u_n}{\sqrt{u_0+2}}\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\ge\dfrac{u_n}{\sqrt{u_0+2}}\).
🔢 Étape 3 : Récurrence : \(u_0\ge\dfrac{u_0}{1}\) ; si \(u_n\ge\dfrac{u_0}{c^n}\) (avec \(c=\sqrt{u_0+2}>0\)), alors \(u_{n+1}\ge\dfrac{u_n}c\ge\dfrac{u_0}{c^{n+1}}\).
✅ \(u_n\ge\dfrac{u_0}{\left(\sqrt{u_0+2}\right)^n}\) pour tout \(n\).
Exercice 20
On définit pour tout \(n\) la suite \((u_n)\) par \(u_n=3n-2\). Montrer que \((u_n)\) est arithmétique.
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels (arithmétique) : \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(u_{n+1}=u_n+r\) (on vérifie que \(u_{n+1}-u_n\) est constant). \(u_n=u_0+nr=u_p+(n-p)r\). Somme de termes consécutifs : \(S=(\text{nombre de termes})\times\dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}2\).
🔢 \(u_{n+1}-u_n=3(n+1)-2-(3n-2)=3\), constante.
✅ \((u_n)\) est arithmétique de raison \(3\) et de premier terme \(u_0=-2\).
Exercice 21
a) \((u_n)\) arithmétique de premier terme \(u_0=5\) et de raison \(\dfrac13\). Calculer \(u_9\).
Correction détaillée
🔢 \(u_9=u_0+9r=5+9\times\dfrac13=8\).
✅ \(u_9=8\).
b) Calculer la somme \(S=u_0+u_1+\dots+u_8\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_8=5+\dfrac83=\dfrac{23}3\). Il y a \(9\) termes.
🔢 Étape 2 : \(S=9\times\dfrac{5+\frac{23}3}2=9\times\dfrac{38}6\).
✅ \(S=57\).
Exercice 22
a) \((v_n)\) arithmétique de premier terme \(v_1=2\) et de raison \(-2\). Calculer \(v_{15}\).
Correction détaillée
🔢 \(v_{15}=v_1+14r=2-28\).
✅ \(v_{15}=-26\).
b) Calculer \(\Sigma=v_7+v_8+\dots+v_{15}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_7=2+6\times(-2)=-10\). Nombre de termes : \(15-7+1=9\).
🔢 Étape 2 : \(\Sigma=9\times\dfrac{-10+(-26)}2\).
✅ \(\Sigma=-162\).
Exercice 23
Calculer \(S=11+14+17+\dots+170+173\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Raison \(3\) ; nombre de termes : \(\dfrac{173-11}3+1=55\).
🔢 Étape 2 : \(S=55\times\dfrac{11+173}2=55\times92\).
✅ \(S=5\,060\).
Exercice 24
a) \(u_0=2\), \(u_{n+1}=u_n-3\) et \(v_n=n^2+2\). Étudier la nature de \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=-3\) constante.
✅ \((u_n)\) est arithmétique de raison \(-3\) (\(u_n=2-3n\)).
b) Étudier la nature de \((v_n)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_0=2\), \(v_1=3\), \(v_2=6\).
🔢 Étape 2 : \(v_1-v_0=1\neq v_2-v_1=3\) : pas arithmétique ; \(\dfrac{v_1}{v_0}=\dfrac32\neq\dfrac{v_2}{v_1}=2\) : pas géométrique.
✅ \((v_n)\) n’est ni arithmétique ni géométrique.
Exercice 25
Déterminer le réel \(x\) pour que \(3x-1\), \(1-4x\) et \(x-5\) soient trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, et préciser la raison.
Correction détaillée
📘 Méthode : \(a,b,c\) arithmétiques \(\iff2b=a+c\) ; géométriques (non nuls) \(\iff b^2=ac\).
🔢 Étape 1 : Trois termes consécutifs \(a,b,c\) : \(2b=a+c\).
🔢 Étape 2 : \(2(1-4x)=(3x-1)+(x-5)\iff2-8x=4x-6\iff x=\dfrac23\).
🔢 Étape 3 : Termes : \(1\), \(-\dfrac53\), \(-\dfrac{13}3\).
✅ \(x=\dfrac23\), raison \(r=-\dfrac83\).
Exercice 26
1) \((u_n)\) arithmétique avec \(u_1=3\) et \(u_5=9\). Déterminer la raison.
Correction détaillée
🔢 \(u_5=u_1+4r\iff9=3+4r\).
✅ \(r=\dfrac32\).
2) Déterminer \(u_0\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=u_1-r=3-\dfrac32\).
✅ \(u_0=\dfrac32\).
3) Écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n=u_0+nr=\dfrac32+\dfrac32n\).
✅ \(u_n=\dfrac32(n+1)\).
Exercice 27
1) Calculer \(s_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\dots+n\).
Correction détaillée
🔢 Suite arithmétique de raison \(1\), \(n\) termes : \(s_n=n\times\dfrac{1+n}2\).
✅ \(s_n=\dfrac{n(n+1)}2\).
2) Calculer \(s’_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(2k+1)=1+3+5+\dots+(2n+1)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(n+1\) termes, raison \(2\), premier \(1\), dernier \(2n+1\).
🔢 Étape 2 : \(s’_n=(n+1)\times\dfrac{1+(2n+1)}2\).
✅ \(s’_n=(n+1)^2\).
Exercice 28
1) Une entreprise possède \(40\) camions en décembre 1991 et en achète \(8\) de plus chaque année. Calculer le nombre de camions en 1992, 1993 et 1994.
Correction détaillée
🔢 On ajoute \(8\) chaque année : \(40+8=48\), \(56\), \(64\).
✅ 1992 : \(48\) ; 1993 : \(56\) ; 1994 : \(64\).
2.a) Donner la nature de la suite des nombres de camions.
Correction détaillée
🔢 \(U_{n+1}=U_n+8\).
✅ Suite arithmétique de raison \(8\).
2.b) Préciser le premier terme \(u_1\) et la raison.
Correction détaillée
🔢 On prend \(u_1=40\) (année 1991).
✅ \(u_1=40\), \(r=8\).
2.c) Donner l’expression du nombre \(U_n\) de camions de l’année \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(U_n=u_1+(n-1)r=40+8(n-1)\).
✅ \(U_n=8n+32\) (l’année \(1990+n\)).
3) Quel est le nombre de camions en 2002 ?
Correction détaillée
🔢 2002 correspond à \(n=12\) : \(U_{12}=8\times12+32\).
✅ \(128\) camions.
Exercice 29
Soit \((u_n)\) géométrique avec \(u_1=\dfrac32\) et \(u_4=\dfrac3{16}\). Déterminer sa raison \(q\) puis écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels (géométrique) : \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(u_{n+1}=q\,u_n\). \(u_n=u_0q^n=u_pq^{n-p}\). Pour \(q\ne1\) : \(S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\).
🔢 Étape 1 : \(u_4=u_1q^3\Rightarrow q^3=\dfrac{3/16}{3/2}=\dfrac18\), donc \(q=\dfrac12\).
🔢 Étape 2 : \(u_n=u_1q^{n-1}=\dfrac32\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).
✅ \(q=\dfrac12\) et \(u_n=\dfrac{3}{2^n}\).
Exercice 30
1) \(u_n=\dfrac{7^{n+1}}5\), \(n\in\mathbb N\). Montrer que \((u_n)\) est géométrique ; raison et premier terme.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{7^{n+2}/5}{7^{n+1}/5}=7\).
✅ Géométrique de raison \(7\) et de premier terme \(u_0=\dfrac75\).
2) \(u_1=\dfrac1{81}\) et \(q=-3\). Calculer \(u_7\) puis \(S=u_1+\dots+u_7\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_7=u_1q^6=\dfrac{729}{81}=9\).
🔢 Étape 2 : \(S=u_1\dfrac{1-q^7}{1-q}=\dfrac1{81}\times\dfrac{1+2187}{4}=\dfrac{2188}{324}\).
✅ \(u_7=9\) et \(S=\dfrac{547}{81}\).
3) Calculer \(\Sigma=1+2+4+8+\dots+4\,096\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(4\,096=2^{12}\) : \(13\) termes, raison \(2\).
🔢 Étape 2 : \(\Sigma=\dfrac{1-2^{13}}{1-2}=2^{13}-1\).
✅ \(\Sigma=8\,191\).
Exercice 31
Calculer en fonction de \(n\) : \(S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac12\right)^k=1+\dfrac12+\left(\dfrac12\right)^2+\dots+\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(n\) termes, premier \(1\), raison \(\dfrac12\).
🔢 Étape 2 : \(S_n=\dfrac{1-(1/2)^n}{1-1/2}\).
✅ \(S_n=2\left(1-\dfrac1{2^n}\right)=2-\dfrac1{2^{n-1}}\).
Exercice 32
Déterminer le réel \(x\) pour que \(1+x^2\), \(3+x\) et \(10\) soient trois termes consécutifs d’une suite géométrique (dans cet ordre) et déterminer la raison.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((3+x)^2=10(1+x^2)\iff9+6x+x^2=10+10x^2\iff9x^2-6x+1=0\iff(3x-1)^2=0\).
🔢 Étape 2 : \(x=\dfrac13\) : termes \(\dfrac{10}9,\ \dfrac{10}3,\ 10\).
✅ \(x=\dfrac13\) et la raison est \(q=3\).
Exercice 33
Un jeune homme prépare le baccalauréat. Son père lui demande ce qu’il désire en récompense : « Mon examen a lieu le 20 juin : donne-moi 1 centime le 1er juin, 2 centimes le lendemain, 4 centimes le surlendemain, en doublant chaque jour jusqu’au 20 inclusivement, et donne-moi la somme. » Avec quelle somme le fils pourra-t-il partir en vacances ?
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappels (géométrique) : \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(u_{n+1}=q\,u_n\). \(u_n=u_0q^n=u_pq^{n-p}\). Pour \(q\ne1\) : \(S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\).
🔢 Étape 1 : Du 1er au 20 juin : \(20\) jours ; les sommes quotidiennes (en centimes) \(1,2,4,\dots,2^{19}\) forment une suite géométrique de raison \(2\).
🔢 Étape 2 : Total : \(S=\dfrac{1-2^{20}}{1-2}=2^{20}-1=1\,048\,575\) centimes.
✅ \(S=1\,048\,575\) centimes, soit \(10\,485{,}75\) Dh : le père s’est trompé !
Exercice 34
1) Une population de village diminue de \(20\%\) par an ; elle est de \(1\,875\) habitants en 1996. Compléter le tableau de 1996 à 2000.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Diminution de \(20\%\) : multiplication par \(0{,}8\).
🔢 Étape 2 : \(1\,875\to1\,500\to1\,200\to960\to768\).
✅ 1996 : \(1\,875\) ; 1997 : \(1\,500\) ; 1998 : \(1\,200\) ; 1999 : \(960\) ; 2000 : \(768\).
2) Montrer que ces nombres sont les termes d’une suite dont on précisera la nature et la raison.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}=u_n-0{,}2u_n=0{,}8u_n\).
✅ Suite géométrique de raison \(0{,}8\) et de premier terme \(1\,875\) : \(u_n=1\,875\times0{,}8^n\) (\(n\) = nombre d’années après 1996).
3.a) Déterminer la population en 2010.
Correction détaillée
🔢 2010 : \(n=14\), \(u_{14}=1\,875\times0{,}8^{14}\approx1\,875\times0{,}044\).
✅ \(\approx82\) habitants.
3.b) Donner l’année d’extinction si on suppose la diminution constante.
Correction détaillée
⚠️ Interprétation : « diminution constante » = perte constante de \(375\) habitants par an.
🔢 Étape 1 : « Diminution constante » : on perd chaque année \(20\%\) de \(1\,875\), soit \(375\) habitants (suite arithmétique de raison \(-375\)).
🔢 Étape 2 : \(1\,875-375n=0\iff n=5\).
✅ La population s’éteint en 2001.
Exercice 35
1) Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+3\). Calculer \(u_1,u_2,u_3\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Méthode : pour une suite \(u_{n+1}=au_n+b\) (\(a\ne1\)), on cherche le point fixe \(\ell=a\ell+b\) puis on pose \(v_n=u_n-\ell\) : \(v_{n+1}=av_n\) est géométrique. Une suite auxiliaire donnée par l’énoncé se traite en exprimant \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) (en remplaçant \(u_{n+1}\) par sa formule) et en simplifiant.
🔢 \(u_1=1+3=4\) ; \(u_2=2+3=5\) ; \(u_3=\dfrac52+3\).
✅ \(u_1=4\), \(u_2=5\), \(u_3=\dfrac{11}2\).
2) Soit \(v_n=u_n-6\). Démontrer que \((v_n)\) est géométrique et déterminer sa raison.
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}=u_{n+1}-6=\dfrac12u_n+3-6=\dfrac12u_n-3=\dfrac12(u_n-6)=\dfrac12v_n\).
✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), \(v_0=u_0-6=-4\).
3) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_n=v_0q^n=-4\left(\dfrac12\right)^n\).
🔢 Étape 2 : \(u_n=v_n+6\).
✅ \(v_n=-\dfrac4{2^n}\) et \(u_n=6-\dfrac4{2^n}\).
4) Calculer \(S=v_0+\dots+v_9\) puis \(S’=u_0+\dots+u_9\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(S=v_0\dfrac{1-q^{10}}{1-q}=-4\times\dfrac{1-2^{-10}}{1/2}=-8\left(1-\dfrac1{1024}\right)=-\dfrac{1023}{128}\).
🔢 Étape 2 : \(S’=\sum(v_k+6)=S+10\times6=60-\dfrac{1023}{128}\).
✅ \(S=-\dfrac{1023}{128}\approx-7{,}99\) et \(S’=\dfrac{6\,657}{128}\approx52{,}01\).
Exercice 36
Une personne loue une maison à partir du 1er janvier 1991 pour 9 années complètes ; le loyer annuel initial est de \(4\,800\) Dh (valeurs arrondies au centime). Deux contrats sont possibles ; on note \(u_n\) (contrat 1) et \(v_n\) (contrat 2) le loyer payé la \((n+1)\)-ième année.
1.a) Contrat 1 (+5 % par an) : calculer le loyer \(u_1\) de la 2e année.
Correction détaillée
🔢 \(u_1=4\,800\times1{,}05\).
✅ \(u_1=5\,040\) Dh.
1.b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Chaque année multiplie le loyer par \(1{,}05\) : suite géométrique de raison \(1{,}05\) et de premier terme \(4\,800\).
✅ \(u_n=4\,800\times1{,}05^n\).
1.c) Calculer \(u_8\).
Correction détaillée
🔢 \(u_8=4\,800\times1{,}05^8\approx4\,800\times1{,}47746\).
✅ \(u_8\approx7\,091{,}79\) Dh.
1.d) Calculer la somme payée à l’issue des 9 années.
Correction détaillée
🔢 \(S=u_0+\dots+u_8=4\,800\times\dfrac{1-1{,}05^9}{1-1{,}05}=4\,800\times\dfrac{1{,}05^9-1}{0{,}05}\).
✅ \(S\approx52\,927{,}51\) Dh.
2.a) Contrat 2 (+300 Dh par an) : calculer le loyer \(v_1\) de la 2e année.
Correction détaillée
🔢 \(v_1=4\,800+300\).
✅ \(v_1=5\,100\) Dh.
2.b) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Suite arithmétique de raison \(300\) et de premier terme \(4\,800\).
✅ \(v_n=4\,800+300n\).
2.c) Calculer la somme payée à l’issue des 9 années. Quel est le contrat le plus avantageux ?
Correction détaillée
🔢 \(S’=9\times\dfrac{v_0+v_8}2=9\times\dfrac{4\,800+7\,200}2=9\times6\,000=54\,000\).
✅ \(S’=54\,000\) Dh. Comme \(52\,927{,}51<54\,000\), le contrat 1 est le plus avantageux pour le locataire.
Exercice 37
1) \(u_0=0\), \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n+1}4\) ; \(v_0=2\), \(v_{n+1}=\dfrac{3v_n+1}4\). Calculer \(u_1,u_2,u_3\) et \(v_1,v_2,v_3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_1=\dfrac14\), \(u_2=\dfrac{3/4+1}4=\dfrac7{16}\), \(u_3=\dfrac{21/16+1}4=\dfrac{37}{64}\).
🔢 Étape 2 : \(v_1=\dfrac74\), \(v_2=\dfrac{25}{16}\), \(v_3=\dfrac{91}{64}\).
✅ \(u:\ \dfrac14,\dfrac7{16},\dfrac{37}{64}\) ; \(v:\ \dfrac74,\dfrac{25}{16},\dfrac{91}{64}\).
2) Dans un repère orthonormal (unité 5 cm), tracer \(D:y=\dfrac{3x+1}4\) et \(\Delta:y=x\) ; construire \(A_1,A_2,A_3\) d’abscisses \(u_1,u_2,u_3\) et \(B_1,B_2,B_3\) d’abscisses \(v_1,v_2,v_3\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Construction en « escalier » ou « toile d’araignée » avec la droite \(y=f(x)\) et la droite \(y=x\).
🔢 Étape 1 : \(D\) passe par \((0;\frac14)\) et \((1;1)\) ; \(\Delta\) est la première bissectrice ; elles se coupent en \((1;1)\).
🔢 Étape 2 : Escalier : de \(u_0\) on monte verticalement jusqu’à \(D\), on va horizontalement jusqu’à \(\Delta\), on redescend sur l’axe : on lit \(u_1\), etc. Même chose depuis \(v_0=2\) (on descend vers \(1\)).
✅ Les points \(A_n\) se rapprochent de \(1\) par la gauche (\(u_n\) croissante), les \(B_n\) par la droite (\(v_n\) décroissante).
3.a) \(s_n=u_n+v_n\) : calculer \(s_0,s_1,s_2,s_3\) et conjecturer.
Correction détaillée
🔢 \(s_0=2\), \(s_1=\dfrac14+\dfrac74=2\), \(s_2=\dfrac7{16}+\dfrac{25}{16}=2\), \(s_3=\dfrac{37+91}{64}=2\).
✅ Conjecture : \((s_n)\) est constante égale à \(2\).
3.b) On admet que \((s_n)\) est constante égale à \(2\) (preuve hors programme). En déduire une relation entre \(u_n\) et \(v_n\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n+v_n=2\).
✅ \(v_n=2-u_n\).
4.a) \(d_n=v_n-u_n\). Montrer que \((d_n)\) est géométrique.
Correction détaillée
🔢 \(d_{n+1}=\dfrac{3v_n+1}4-\dfrac{3u_n+1}4=\dfrac34(v_n-u_n)=\dfrac34d_n\).
✅ \((d_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac34\), \(d_0=2\).
4.b) Donner \(d_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(d_n=d_0q^n\).
✅ \(d_n=2\left(\dfrac34\right)^n\).
5) En utilisant 3.b) et 4.b), exprimer \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_n+v_n=2\) et \(v_n-u_n=2\left(\dfrac34\right)^n\).
🔢 Étape 2 : En additionnant : \(2v_n=2+2\left(\dfrac34\right)^n\) ; en soustrayant : \(2u_n=2-2\left(\dfrac34\right)^n\).
✅ \(u_n=1-\left(\dfrac34\right)^n\) et \(v_n=1+\left(\dfrac34\right)^n\) (vérification : \(u_1=\dfrac14\)).
Exercice 38
1) \(u_0=2\), \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n-1}{u_n}\) et \(v_n=\dfrac1{u_n-1}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-1=\dfrac{2u_n-1-u_n}{u_n}=\dfrac{u_n-1}{u_n}\), donc \(v_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n-1}=1+\dfrac1{u_n-1}=1+v_n\).
✅ \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\), \(v_0=1\).
2) Écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=1+n\). De \(v_n=\dfrac1{u_n-1}\) : \(u_n=1+\dfrac1{v_n}\).
✅ \(u_n=1+\dfrac1{n+1}=\dfrac{n+2}{n+1}\).
Exercice 39
1) \(u_0=\dfrac12\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3-u_n}\) et \(v_n=1-\dfrac2{u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}=1-\dfrac{2(3-u_n)}{u_n}=1-\dfrac6{u_n}+2=3-\dfrac6{u_n}=3\left(1-\dfrac2{u_n}\right)=3v_n\).
✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(3\), \(v_0=1-4=-3\).
2) Écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=-3\times3^n=-3^{n+1}\). De \(v_n=1-\dfrac2{u_n}\) : \(u_n=\dfrac2{1-v_n}\).
✅ \(u_n=\dfrac2{1+3^{n+1}}\) (vérification : \(u_0=\dfrac24=\dfrac12\)).
Exercice 40
1) \(u_0=2\), \(u_1=\dfrac49\), \(u_{n+2}=\dfrac1{27}\left(12u_{n+1}-u_n\right)\) et \(v_n=u_n-\dfrac1{3^n}\). Montrer que \(u_{n+1}=\dfrac19u_n+\dfrac2{3^{n+2}}\).
Correction détaillée
⚠️ Les relations de l’énoncé sont lues ainsi (\(u_{n+2}=\frac1{27}(12u_{n+1}-u_n)\), \(u_0=2\), \(u_1=\frac49\)) ; elles sont cohérentes entre elles.
🔢 Étape 1 : Récurrence : \(n=0\) : \(\dfrac29+\dfrac29=\dfrac49=u_1\) ✓.
🔢 Étape 2 : Si \(u_{n+1}=\dfrac19u_n+\dfrac2{3^{n+2}}\), alors \(u_n=9u_{n+1}-\dfrac2{3^n}\) et \(u_{n+2}=\dfrac{12u_{n+1}-9u_{n+1}+2/3^n}{27}=\dfrac{u_{n+1}}9+\dfrac2{3^{n+3}}\) ✓.
✅ \(u_{n+1}=\dfrac19u_n+\dfrac2{3^{n+2}}\) pour tout \(n\).
2.a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique ; raison et premier terme.
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac1{3^{n+1}}=\dfrac19u_n+\dfrac2{3^{n+2}}-\dfrac3{3^{n+2}}=\dfrac19u_n-\dfrac1{3^{n+2}}=\dfrac19\left(u_n-\dfrac1{3^n}\right)\).
✅ Raison \(\dfrac19\), premier terme \(v_0=2-1=1\).
2.b) Écrire \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=\left(\dfrac19\right)^n\), \(u_n=v_n+\dfrac1{3^n}\).
✅ \(v_n=\dfrac1{9^n}\) et \(u_n=\dfrac1{9^n}+\dfrac1{3^n}\) (vérification : \(u_1=\dfrac49\)).
2.c) Calculer \(S_n=u_0+u_1+\dots+u_n\).
Correction détaillée
🔢 \(\sum_{k=0}^n\dfrac1{9^k}=\dfrac{1-9^{-(n+1)}}{1-1/9}=\dfrac98\left(1-\dfrac1{9^{n+1}}\right)\) et \(\sum_{k=0}^n\dfrac1{3^k}=\dfrac32\left(1-\dfrac1{3^{n+1}}\right)\).
✅ \(S_n=\dfrac98\left(1-\dfrac1{9^{n+1}}\right)+\dfrac32\left(1-\dfrac1{3^{n+1}}\right)\).
Exercice 41
1) \(u_0=17\), \(u_{n+1}=\dfrac14u_n+12\). Montrer par récurrence que \(u_n>16\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan écrit « \(u_{n-1}=\frac14u_n+12\) » ; lu \(u_{n+1}=\frac14u_n+12\).
🔢 \(u_0=17>16\). Si \(u_n>16\) : \(u_{n+1}>\dfrac{16}4+12=16\).
✅ \(u_n>16\) pour tout \(n\).
2) Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=12-\dfrac34u_n=\dfrac34(16-u_n)<0\).
✅ \((u_n)\) est strictement décroissante.
3) \(v_n=u_n-16\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}=\dfrac14u_n+12-16=\dfrac14u_n-4=\dfrac14(u_n-16)\).
✅ Géométrique de raison \(\dfrac14\), \(v_0=1\).
4) Montrer que \(u_n=\left(\dfrac14\right)^n+16\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=\left(\dfrac14\right)^n\) et \(u_n=v_n+16\).
✅ \(u_n=\left(\dfrac14\right)^n+16\) ✓.
5) Calculer \(S_n=v_0+\dots+v_n\) et \(T_n=u_0+\dots+u_n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(S_n=\dfrac{1-(1/4)^{n+1}}{1-1/4}=\dfrac43\left(1-\dfrac1{4^{n+1}}\right)\).
🔢 Étape 2 : \(T_n=S_n+16(n+1)\).
✅ \(S_n=\dfrac43\left(1-\dfrac1{4^{n+1}}\right)\) et \(T_n=\dfrac43\left(1-\dfrac1{4^{n+1}}\right)+16(n+1)\).
Exercice 42
1) \(u_1=5\), \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n-4}{1+u_n}\) (\(n\ge1\)). Montrer par récurrence que \(u_n>2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_1=5>2\). \(u_{n+1}-2=\dfrac{5u_n-4-2-2u_n}{1+u_n}=\dfrac{3(u_n-2)}{1+u_n}>0\) si \(u_n>2\).
✅ \(u_n>2\) pour tout \(n\ge1\).
2.a) \(v_n=\dfrac3{u_n-2}\) (\(n\ge1\)). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\).
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}=\dfrac3{u_{n+1}-2}=\dfrac{3(1+u_n)}{3(u_n-2)}=\dfrac{u_n+1}{u_n-2}=1+\dfrac3{u_n-2}=1+v_n\).
✅ Arithmétique de raison \(1\) et de premier terme \(v_1=1\).
2.b) Montrer que \(u_n=2+\dfrac3n\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=v_1+(n-1)=n\), et \(u_n=2+\dfrac3{v_n}\).
✅ \(u_n=2+\dfrac3n\) ✓.
Exercice 43
1) \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n-8}{2u_n-5}\). Montrer par récurrence que \(u_n<2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=1<2\). \(2-u_{n+1}=\dfrac{4u_n-10-3u_n+8}{2u_n-5}=\dfrac{u_n-2}{2u_n-5}\). Si \(u_n<2\), \(u_n-2<0\) et \(2u_n-5<0\) (car \(u_n<\frac52\)), donc le quotient est \(>0\).
✅ \(u_n<2\) pour tout \(n\).
2) \(v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n-2}\). Démontrer que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-3=\dfrac{3u_n-8-6u_n+15}{2u_n-5}=\dfrac{7-3u_n}{2u_n-5}\) et \(u_{n+1}-2=\dfrac{2-u_n}{2u_n-5}\).
🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac{7-3u_n}{2-u_n}=\dfrac{3u_n-7}{u_n-2}=\dfrac{(u_n-3)+2(u_n-2)}{u_n-2}=v_n+2\).
✅ \((v_n)\) est arithmétique de raison \(2\), \(v_0=\dfrac{-2}{-1}=2\).
3) En déduire \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé (numérotation 1, 2, 3, 4) est lu : récurrence \(u_n<2\), \(v_n\) arithmétique de raison \(2\), puis \(v_n\) et \(u_n\).
🔢 \(v_n=2+2n\). \(v_n(u_n-2)=u_n-3\Rightarrow u_n(v_n-1)=2v_n-3\).
✅ \(v_n=2(n+1)\) et \(u_n=\dfrac{2v_n-3}{v_n-1}=\dfrac{4n+1}{2n+1}\).
Exercice 44
1) \(u_0=0\), \(u_{n+1}=3u_n-2n+3\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_1=0-0+3=3\) ; \(u_2=9-2+3=10\).
✅ \(u_1=3\), \(u_2=10\).
2) Montrer par récurrence que \(u_n\ge n\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=0\ge0\). Si \(u_n\ge n\) : \(u_{n+1}=3u_n-2n+3\ge3n-2n+3=n+3\ge n+1\).
✅ \(u_n\ge n\) pour tout \(n\).
3) Démontrer que \((u_n)\) est croissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=2u_n-2n+3\ge2n-2n+3=3>0\).
✅ \((u_n)\) est strictement croissante.
4.a) \(v_n=u_n-n+1\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)+1=3u_n-2n+3-n=3u_n-3n+3=3(u_n-n+1)=3v_n\).
✅ Géométrique de raison \(3\), \(v_0=1\).
4.b) Écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=v_03^n\).
✅ \(v_n=3^n\).
4.c) En déduire que \(u_n=3^n+n-1\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n=v_n+n-1\).
✅ \(u_n=3^n+n-1\) ✓ (\(u_1=3\), \(u_2=10\)).
5) \(S_n=v_0+\dots+v_{n-1}\) et \(T_n=u_0+\dots+u_{n-1}\) : calculer \(S_n\) et \(T_n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(S_n=\dfrac{1-3^n}{1-3}=\dfrac{3^n-1}2\).
🔢 Étape 2 : \(T_n=\sum_{k=0}^{n-1}(3^k+k-1)=S_n+\dfrac{n(n-1)}2-n\).
✅ \(S_n=\dfrac{3^n-1}2\) et \(T_n=\dfrac{3^n-1}2+\dfrac{n(n-3)}2\).
Exercice 45
1.a) \(u_0=3\), \(u_{n+1}=3-\dfrac9{4u_n}\). Montrer que pour tout \(n\) : \(u_n>\dfrac32\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_0=3>\dfrac32\).
🔢 Étape 2 : Si \(u_n>\dfrac32\) : \(u_{n+1}-\dfrac32=\dfrac32-\dfrac9{4u_n}=\dfrac{3(2u_n-3)}{4u_n}>0\).
✅ \(u_n>\dfrac32\) pour tout \(n\).
1.b) Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=3-u_n-\dfrac9{4u_n}=-\dfrac{4u_n^2-12u_n+9}{4u_n}=-\dfrac{(2u_n-3)^2}{4u_n}\le0\).
✅ \((u_n)\) est (strictement) décroissante.
2.a) \(v_n=\dfrac2{2u_n-3}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac23\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2u_{n+1}-3=3-\dfrac9{2u_n}=\dfrac{3(2u_n-3)}{2u_n}\).
🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac{2\times2u_n}{3(2u_n-3)}=\dfrac23\times\dfrac{2u_n}{2u_n-3}=\dfrac23\left(1+\dfrac3{2u_n-3}\right)=\dfrac23+\dfrac2{2u_n-3}\).
✅ \(v_{n+1}=v_n+\dfrac23\) : arithmétique de raison \(\dfrac23\) et \(v_0=\dfrac23\).
2.b) Écrire \(v_n\) en fonction de \(n\) puis montrer que \(u_n=\dfrac32\cdot\dfrac{n+2}{n+1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_n=\dfrac23+\dfrac23n=\dfrac{2(n+1)}3\).
🔢 Étape 2 : \(2u_n-3=\dfrac2{v_n}=\dfrac3{n+1}\), donc \(u_n=\dfrac32+\dfrac3{2(n+1)}\).
✅ \(u_n=\dfrac32\cdot\dfrac{n+2}{n+1}\) ✓.
2.c) Calculer \(S_n=\displaystyle\sum_{j=0}^nv_j\).
Correction détaillée
🔢 \(n+1\) termes : \(S_n=(n+1)\dfrac{v_0+v_n}2=(n+1)\dfrac{\frac23+\frac{2(n+1)}3}2\).
✅ \(S_n=\dfrac{(n+1)(n+2)}3\).
Exercice 46
1) \(u_0=\dfrac12\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3-2u_n}\). Montrer que \(0<u_n<1\) puis étudier la monotonie de \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Si \(0<u_n<1\) : \(3-2u_n\in]1;3[\), donc \(u_{n+1}>0\) ; et \(u_{n+1}<1\iff u_n<3-2u_n\iff u_n<1\) ✓.
🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-3u_n+2u_n^2}{3-2u_n}=\dfrac{2u_n(u_n-1)}{3-2u_n}<0\).
✅ \(0<u_n<1\) et \((u_n)\) est strictement décroissante.
2.a) \(v_n=\dfrac{u_n}{a+u_n}\). Déterminer \(a\) pour que \((v_n)\) soit géométrique.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\dfrac{u_n}{a(3-2u_n)+u_n}=\dfrac{u_n}{3a+(1-2a)u_n}\). On veut \(v_{n+1}=qv_n=\dfrac{qu_n}{a+u_n}\) pour tout \(u_n\) : \(a+u_n=q\left(3a+(1-2a)u_n\right)\).
🔢 Étape 2 : Identification : \(a=3aq\) et \(1=q(1-2a)\). Pour \(a\ne0\) : \(q=\dfrac13\), puis \(1=\dfrac{1-2a}3\iff a=-1\).
✅ \(a=-1\) (suite non constante), alors \(q=\dfrac13\). (Pour \(a=0\), \(v_n=1\) est constante.)
2.b) Pour \(a=-1\), écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(v_0=\dfrac{u_0}{u_0-1}=\dfrac{1/2}{-1/2}=-1\). \(v_n=-\left(\dfrac13\right)^n\).
✅ \(v_n=-\dfrac1{3^n}\).
2.c) Montrer que \(0<u_n<\dfrac1{3^n}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n-1}\Rightarrow u_n=\dfrac{v_n}{v_n-1}=\dfrac{-1/3^n}{-1/3^n-1}=\dfrac1{1+3^n}\).
🔢 Étape 2 : \(0<\dfrac1{1+3^n}<\dfrac1{3^n}\).
✅ \(u_n=\dfrac1{3^n+1}\), donc \(0<u_n<\dfrac1{3^n}\).
Exercice 47
1) \(u_0=1\), \(u_1=2\), \(u_n=\dfrac{3u_{n-1}u_{n-2}}{u_{n-2}+2u_{n-1}}\) (\(n\ge2\)) et \(v_n=\dfrac1{u_n}-\dfrac1{u_{n-1}}\) (\(n\ge1\)). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Les termes sont strictement positifs (récurrence). En inversant : \(\dfrac1{u_n}=\dfrac{u_{n-2}+2u_{n-1}}{3u_{n-1}u_{n-2}}=\dfrac1{3u_{n-1}}+\dfrac2{3u_{n-2}}\).
🔢 Étape 2 : \(v_n=\dfrac1{u_n}-\dfrac1{u_{n-1}}=-\dfrac23\left(\dfrac1{u_{n-1}}-\dfrac1{u_{n-2}}\right)=-\dfrac23v_{n-1}\).
✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(-\dfrac23\), \(v_1=\dfrac12-1=-\dfrac12\).
2) Écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_k=-\dfrac12\left(-\dfrac23\right)^{k-1}\). \(\dfrac1{u_n}=\dfrac1{u_0}+v_1+\dots+v_n=1-\dfrac12\cdot\dfrac{1-(-2/3)^n}{1+2/3}\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac1{u_n}=1-\dfrac3{10}\left(1-\left(-\dfrac23\right)^n\right)=\dfrac7{10}+\dfrac3{10}\left(-\dfrac23\right)^n\).
✅ \(u_n=\dfrac{10}{7+3\left(-\frac23\right)^n}\) (vérification : \(u_0=1\), \(u_1=\dfrac{10}5=2\)).
Exercice 48
1) \(a_0=a\), \(a_{n+1}=\dfrac13(2a_n+b_n)\) ; \(b_0=b\), \(b_{n+1}=\dfrac13(a_n+2b_n)\). On pose \(u_n=a_n+b_n\), \(v_n=a_n-b_n\). Montrer que \((u_n)\) est constante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}=\dfrac{2a_n+b_n+a_n+2b_n}3=a_n+b_n=u_n\).
✅ \(u_n=u_0=a+b\) pour tout \(n\).
2.a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}=\dfrac{2a_n+b_n-a_n-2b_n}3=\dfrac{a_n-b_n}3=\dfrac13v_n\).
✅ Géométrique de raison \(\dfrac13\) et de premier terme \(v_0=a-b\).
2.b) Écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=v_0q^n\).
✅ \(v_n=\dfrac{a-b}{3^n}\).
2.c) Déterminer \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(a_n=\dfrac{u_n+v_n}2\) et \(b_n=\dfrac{u_n-v_n}2\).
✅ \(a_n=\dfrac{a+b}2+\dfrac{a-b}{2\cdot3^n}\) et \(b_n=\dfrac{a+b}2-\dfrac{a-b}{2\cdot3^n}\).
Exercice 49
1) \(u_0=-1\), \(u_1=\dfrac12\), \(u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac14u_n\). Calculer \(u_2\) et \(u_3\).
Correction détaillée
⚠️ La valeur \(u_0=-1\) est partiellement masquée sur le scan ; elle est confirmée par la forme finale \(u_n=\dfrac{2n-1}{2^n}\) (pour \(n=0\)).
🔢 Étape 1 : \(u_2=\dfrac12+\dfrac14=\dfrac34\).
🔢 Étape 2 : \(u_3=\dfrac34-\dfrac18=\dfrac58\).
✅ \(u_2=\dfrac34\), \(u_3=\dfrac58\).
2.a) \(v_n=u_{n+1}-\dfrac12u_n\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=u_{n+2}-\dfrac12u_{n+1}=\dfrac12u_{n+1}-\dfrac14u_n=\dfrac12v_n\).
🔢 Étape 2 : \(v_0=\dfrac12+\dfrac12=1\).
✅ Géométrique de raison \(\dfrac12\), \(v_n=\dfrac1{2^n}\).
2.b) \(w_n=\dfrac{u_n}{v_n}\). Montrer que \((w_n)\) est une suite de nature simple dont on précisera les éléments.
Correction détaillée
⚠️ Le scan indique « géométrique » pour \((w_n)\) : c’est inexact, \(w_{n+1}=w_n+2\) (arithmétique). Résultat conforme à \(u_n=\dfrac{2n-1}{2^n}\).
🔢 \(u_{n+1}=v_n+\dfrac12u_n\), donc \(w_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}=\dfrac{v_n+\frac12u_n}{\frac12v_n}=2+w_n\).
✅ \((w_n)\) est arithmétique de raison \(2\) et de premier terme \(w_0=-1\).
2.c) En déduire que \(u_n=\dfrac{2n-1}{2^n}\).
Correction détaillée
🔢 \(w_n=-1+2n=2n-1\) et \(u_n=w_nv_n\).
✅ \(u_n=\dfrac{2n-1}{2^n}\) ✓.
3.a) Montrer que pour \(n\ge4\) : \(2n^2\ge(n+1)^2\).
Correction détaillée
🔢 \(2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1=(n-1)^2-2\ge9-2>0\) pour \(n\ge4\).
✅ \(2n^2\ge(n+1)^2\) pour \(n\ge4\).
3.b) Montrer par récurrence que \(2^n\ge n^2\) pour \(n\ge4\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan écrit \(n\in\mathbb N^*\setminus\{1,2,3\}\), c’est-à-dire \(n\ge4\).
🔢 Étape 1 : \(n=4\) : \(16\ge16\).
🔢 Étape 2 : Si \(2^n\ge n^2\) : \(2^{n+1}\ge2n^2\ge(n+1)^2\) d’après 3.a).
✅ \(2^n\ge n^2\) pour tout \(n\ge4\).
4) Démontrer que \(0<u_n<\dfrac2n\) pour \(n\ge1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_n>0\) car \(2n-1>0\).
🔢 Étape 2 : \(u_n<\dfrac2n\iff n(2n-1)<2\cdot2^n\). Pour \(n\ge4\) : \(2\cdot2^n\ge2n^2>2n^2-n\) (3.b). Vérification directe : \(n=1:1<4\), \(n=2:6<8\), \(n=3:15<16\).
✅ \(0<u_n<\dfrac2n\) pour tout \(n\ge1\).
Exercice 50
1) \(u_n=\dfrac14(2^n+4n-5)\) et \(v_n=\dfrac14(2^n-4n+5)\). Calculer \(u_0,u_1,v_0,v_1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_0=\dfrac{1-5}4=-1\), \(u_1=\dfrac{2+4-5}4=\dfrac14\).
🔢 Étape 2 : \(v_0=\dfrac{1+5}4=\dfrac32\), \(v_1=\dfrac{2-4+5}4=\dfrac34\).
✅ \(u_0=-1\), \(u_1=\dfrac14\), \(v_0=\dfrac32\), \(v_1=\dfrac34\).
2.a) \(a_n=u_n+v_n\) : montrer que \((a_n)\) est géométrique de raison \(2\).
Correction détaillée
🔢 \(a_n=\dfrac14\times2\times2^n=2^{n-1}\).
✅ \(a_n=2^{n-1}\) : géométrique de raison \(2\), \(a_0=\dfrac12\).
2.b) Calculer \(S_1=\sum_{i=0}^na_i\).
Correction détaillée
🔢 \(S_1=\dfrac12\cdot\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}\).
✅ \(S_1=\dfrac{2^{n+1}-1}2\).
3.a) \(b_n=u_n-v_n\) : montrer que \((b_n)\) est arithmétique de raison \(2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(b_n=\dfrac14(8n-10)=2n-\dfrac52\).
🔢 Étape 2 : \(b_{n+1}-b_n=2\).
✅ \(b_n=2n-\dfrac52\), arithmétique de raison \(2\) et de premier terme \(-\dfrac52\).
3.b) Calculer \(S_2=\sum_{i=0}^nb_i\).
Correction détaillée
🔢 \(S_2=(n+1)\dfrac{b_0+b_n}2=(n+1)\dfrac{-\frac52+2n-\frac52}2\).
✅ \(S_2=\dfrac{(n+1)(2n-5)}2\).
3.c) En déduire \(S_3=\sum u_i\) et \(S_4=\sum v_i\).
Correction détaillée
⚠️ Pour la question 3 du scan, l’énoncé dit « arithmétique de raison 2 » : exact (\(b_n=2n-\frac52\)).
🔢 \(u_i=\dfrac{a_i+b_i}2\) et \(v_i=\dfrac{a_i-b_i}2\), donc \(S_3=\dfrac{S_1+S_2}2\) et \(S_4=\dfrac{S_1-S_2}2\).
✅ \(S_3=\dfrac{2^{n+1}-1+(n+1)(2n-5)}4\) et \(S_4=\dfrac{2^{n+1}-1-(n+1)(2n-5)}4\).
Exercice 51
1) \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{3+\sqrt{u_n}}\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_1=\dfrac{2}{3+1}=\dfrac12\).
🔢 Étape 2 : \(u_2=\dfrac{1}{3+\sqrt{1/2}}=\dfrac{2}{6+\sqrt2}\).
✅ \(u_1=\dfrac12\), \(u_2=\dfrac2{6+\sqrt2}\approx0{,}27\).
2) Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Récurrence : \(u_n>0\) pour tout \(n\) (quotient de termes positifs).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac2{3+\sqrt{u_n}}<\dfrac23<1\).
✅ \((u_n)\) est décroissante.
3) Montrer que \(u_{n+1}\le\dfrac23u_n\) et en déduire \(0<u_n\le\left(\dfrac23\right)^n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(3+\sqrt{u_n}\ge3\Rightarrow\dfrac2{3+\sqrt{u_n}}\le\dfrac23\), donc \(u_{n+1}\le\dfrac23u_n\).
🔢 Étape 2 : Récurrence : \(u_0=1\le1\) ; \(u_{n+1}\le\dfrac23u_n\le\dfrac23\left(\dfrac23\right)^n\).
✅ \(0<u_n\le\left(\dfrac23\right)^n\).
Exercice 52
1) \(u_0=3\), \(u_{n+1}=\dfrac2{1+u_n}\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_1=\dfrac24=\dfrac12\) ; \(u_2=\dfrac2{3/2}=\dfrac43\).
✅ \(u_1=\dfrac12\), \(u_2=\dfrac43\).
2) Montrer par récurrence que \(0\le u_n\le3\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=3\). Si \(0\le u_n\le3\) : \(1\le1+u_n\le4\), donc \(\dfrac12\le u_{n+1}\le2\), en particulier dans \([0;3]\).
✅ \(0\le u_n\le3\).
3) \(v_n=\dfrac{u_n-1}{2+u_n}\). Calculer \(v_0\) et \(v_1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_0=\dfrac{3-1}{5}=\dfrac25\).
🔢 Étape 2 : \(v_1=\dfrac{\frac12-1}{\frac52}=-\dfrac15\).
✅ \(v_0=\dfrac25\), \(v_1=-\dfrac15\).
4.a) Montrer que \((v_n)\) est une suite de raison à préciser.
Correction détaillée
⚠️ Le scan indique « arithmétique de raison \(\frac12\) » : c’est inexact (\(v_0=\frac25\), \(v_1=-\frac15\)). La suite est géométrique de raison \(-\frac12\).
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-1=\dfrac{1-u_n}{1+u_n}\) et \(2+u_{n+1}=\dfrac{2u_n+4}{1+u_n}\).
🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac{1-u_n}{2(u_n+2)}=-\dfrac12v_n\).
✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(-\dfrac12\) (\(v_1=-\dfrac12v_0\) ✓).
4.b) Écrire \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\), puis donner \(u_{10}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_n=\dfrac25\left(-\dfrac12\right)^n\).
🔢 Étape 2 : \(v_n(2+u_n)=u_n-1\Rightarrow u_n=\dfrac{1+2v_n}{1-v_n}\).
🔢 Étape 3 : \(v_{10}=\dfrac25\times\dfrac1{1024}=\dfrac1{2560}\) ; \(u_{10}=\dfrac{1+\frac1{1280}}{1-\frac1{2560}}=\dfrac{2562}{2559}\).
✅ \(u_n=\dfrac{1+2v_n}{1-v_n}\) et \(u_{10}=\dfrac{854}{853}\approx1{,}001\).
Exercice 53
1) \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+1\), \(f(x)=\dfrac12x+1\). Construire sur l’axe des abscisses \(A_0,A_1,A_2,A_3,A_4\) d’abscisses \(u_0,\dots,u_4\) (avec \(u_1=\frac32\), \(u_2=\frac74\), \(u_3=\frac{15}8\), \(u_4=\frac{31}{16}\)).
Correction détaillée
📘 Méthode : Méthode graphique : pour \(u_{n+1}=f(u_n)\), on trace \(C_f\) et \(\Delta:y=x\). Depuis \(u_0\) sur l’axe des abscisses, on monte verticalement jusqu’à \(C_f\) (point d’ordonnée \(u_1\)), on va horizontalement jusqu’à \(\Delta\), puis on redescend verticalement sur l’axe : on lit \(u_1\), et on recommence. Les points d’intersection de \(C_f\) et \(\Delta\) correspondent aux solutions de \(f(x)=x\) (limites possibles).
🔢 Étape 1 : Vérification : \(u_1=\dfrac12+1=\dfrac32\), \(u_2=\dfrac34+1=\dfrac74\), \(u_3=\dfrac78+1=\dfrac{15}8\), \(u_4=\dfrac{15}{16}+1=\dfrac{31}{16}\).
🔢 Étape 2 : Construction : \(C_f\) passe par \((0;1)\) et \((2;2)\) ; \(\Delta\) coupe \(C_f\) en \((2;2)\). Escalier à partir de \(A_0(1;0)\).
✅ Les points \(A_n\) se déplacent vers la droite et s’accumulent vers \(2\).
2) Décrire l’itinéraire à suivre à partir de \(A_0\) pour obtenir \(u_1,u_2,u_3,u_4\) sans utiliser leurs valeurs.
Correction détaillée
🔢 De \(A_0\) : verticale jusqu’à \(C_f\) ; horizontale jusqu’à \(\Delta\) ; verticale jusqu’à l’axe : on obtient \(A_1\). On répète depuis \(A_1\), etc.
✅ Itinéraire en « escalier » entre \(C_f\) et \(\Delta\), de plus en plus petit vers le point \((2;2)\).
3) Quelle est la conjecture ? Et si \(u_0=4\) ?
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Avec \(u_0=1\) : \(u_n\) croît et semble tendre vers \(2\).
🔢 Étape 2 : Avec \(u_0=4\) : \(u_1=3\), \(u_2=2{,}5\), \(u_3=2{,}25\) : la suite décroît et tend aussi vers \(2\).
✅ Conjecture : \((u_n)\) converge vers \(2\) (abscisse du point d’intersection \(C_f\cap\Delta\)), croissante si \(u_0<2\), décroissante si \(u_0>2\).
4.a) Méthode analytique : donner le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac12>0\) (ou \(f\) affine de coefficient directeur \(\dfrac12>0\)).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\) (de \(-\infty\) à \(+\infty\)).
4.b) Donner une expression de \((u_n)\) en fonction de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}=f(u_n)\).
✅ \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\).
4.c) Montrer que \(1\le u_n\le2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=1\). Si \(1\le u_n\le2\) : \(f\) croissante donne \(f(1)\le u_{n+1}\le f(2)\), soit \(\dfrac32\le u_{n+1}\le2\).
✅ \(1\le u_n\le2\) pour tout \(n\).
4.d) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=1-\dfrac12u_n=\dfrac{2-u_n}2\ge0\).
✅ \((u_n)\) est croissante.
4.e) Quelles constatations sur les termes \(u_n\) pour \(n\) grand ?
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-2=\dfrac12(u_n-2)\), donc \(u_n=2-\dfrac1{2^n}\).
✅ \(u_n=2-\dfrac1{2^n}\) : les termes se rapprochent de \(2\) sans le dépasser (limite \(2\), hors programme).
5.a) Application : \(u_0=2\), \(u_{n+1}=\dfrac35u_n+3\), \(f(x)=\dfrac35x+3\). Construire \(C_f\) et \(\Delta\), puis \(A_0,\dots,A_4\) sans calculer.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(C_f\) passe par \((0;3)\) et \((5;6)\) ; elle coupe \(\Delta\) en \(\left(\dfrac{15}2;\dfrac{15}2\right)\) (\(\dfrac35x+3=x\iff x=7{,}5\)).
🔢 Étape 2 : Escalier à partir de \(A_0(2;0)\) entre \(C_f\) et \(\Delta\).
✅ Escalier croissant vers le point \((7{,}5;7{,}5)\).
5.b) Calculer \(u_1,u_2,u_3,u_4\).
Correction détaillée
🔢 \(u_1=\dfrac65+3=4{,}2\) ; \(u_2=2{,}52+3=5{,}52\) ; \(u_3=3{,}312+3=6{,}312\) ; \(u_4=3{,}7872+3\).
✅ \(u_1=4{,}2\), \(u_2=5{,}52\), \(u_3=6{,}312\), \(u_4=6{,}7872\).
5.c) À quelle valeur \(u_n\) s’approche-t-elle quand \(n\) est grand ?
Correction détaillée
🔢 Point fixe : \(\ell=\dfrac35\ell+3\Rightarrow\ell=\dfrac{15}2\).
✅ \(u_n\) s’approche de \(7{,}5\) (en effet \(u_n=7{,}5-5{,}5\left(\dfrac35\right)^n\)).
Exercice 54
1) \(u_0=-3\), \(u_{n+1}=\dfrac9{6-u_n}\) ; \(v_n=\dfrac1{u_n-3}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-3=\dfrac{9-18+3u_n}{6-u_n}=\dfrac{3(u_n-3)}{6-u_n}\).
🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac{6-u_n}{3(u_n-3)}=\dfrac{3-(u_n-3)}{3(u_n-3)}=\dfrac1{u_n-3}-\dfrac13=v_n-\dfrac13\).
✅ Arithmétique de raison \(-\dfrac13\) et de premier terme \(v_0=-\dfrac16\).
2) Écrire \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_n=-\dfrac16-\dfrac n3=-\dfrac{2n+1}6\).
🔢 Étape 2 : \(u_n=3+\dfrac1{v_n}\).
✅ \(u_n=3-\dfrac6{2n+1}\) (\(u_0=-3\), \(u_1=1\)).
3.a) Montrer que \(-3\le u_n\le3\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac6{2n+1}>0\Rightarrow u_n<3\) ; et \(\dfrac6{2n+1}\le6\Rightarrow u_n\ge-3\).
✅ \(-3\le u_n\le3\).
3.b) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{9-6u_n+u_n^2}{6-u_n}=\dfrac{(u_n-3)^2}{6-u_n}\ge0\) car \(u_n\le3<6\).
✅ \((u_n)\) est croissante.
4) 2e méthode (graphique), \(f(x)=\dfrac9{6-x}\) : calculer \(u_1,u_2,u_3\), construire \(A_0,\dots,A_3\), décrire l’itinéraire, conjecturer. Que se passe-t-il pour \(u_0=3\) ?
Correction détaillée
📘 Méthode : Méthode graphique : pour \(u_{n+1}=f(u_n)\), on trace \(C_f\) et \(\Delta:y=x\). Depuis \(u_0\) sur l’axe des abscisses, on monte verticalement jusqu’à \(C_f\) (point d’ordonnée \(u_1\)), on va horizontalement jusqu’à \(\Delta\), puis on redescend verticalement sur l’axe : on lit \(u_1\), et on recommence. Les points d’intersection de \(C_f\) et \(\Delta\) correspondent aux solutions de \(f(x)=x\) (limites possibles).
🔢 Étape 1 : \(u_1=\dfrac9{9}=1\), \(u_2=\dfrac95\), \(u_3=\dfrac9{6-\frac95}=\dfrac{15}7\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)=x\iff x^2-6x+9=0\iff x=3\) : \(C_f\) est tangente à \(\Delta\) en \((3;3)\).
✅ Conjecture : \((u_n)\) est croissante, majorée par \(3\) et tend vers \(3\). Pour \(u_0=3\), \(f(3)=3\) : la suite est constante.
5) 3e méthode (analytique) : tableau de \(f\) sur \(\mathbb R\), \(f([-3;3])\subset[-3;3]\), expression de \((u_n)\) avec \(f\), et démonstration de \(-3\le u_n\le3\) et de la croissance.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\dfrac9{(6-x)^2}>0\) sur \(]-\infty;6[\) : \(f\) est croissante sur \([-3;3]\).
🔢 Étape 2 : \(f(-3)=1\) et \(f(3)=3\), donc \(f([-3;3])=[1;3]\subset[-3;3]\).
🔢 Étape 3 : \(u_{n+1}=f(u_n)\) : par récurrence, \(u_0=-3\in[-3;3]\) puis \(u_n\in[-3;3]\Rightarrow u_{n+1}\in[1;3]\).
🔢 Étape 4 : Croissance : voir 3.b).
✅ \(-3\le u_n\le3\) et \((u_n)\) croissante (limite \(3\), hors programme).
Exercice 55
1) On construit une pyramide d’allumettes (figure) ; \(u_n\) est le nombre d’allumettes de l’étage \(n\). Quelle est la nature de \((u_n)\) ?
Correction détaillée
⚠️ Le comptage est fait d’après la figure du scan (étage \(n\) = \(n\) cases ouvertes).
🔢 Étape 1 : L’étage \(n\) comporte \(n\) cases ouvertes : \(n\) allumettes horizontales et \(n+1\) allumettes verticales.
🔢 Étape 2 : \(u_n=2n+1\) : \(u_1=3\), \(u_2=5\), \(u_3=7\), \(u_4=9\), et \(u_{n+1}-u_n=2\).
✅ \((u_n)\) est arithmétique de raison \(2\), de premier terme \(u_1=3\).
2) Quel est le nombre d’allumettes pour une pyramide de \(100\) étages ?
Correction détaillée
🔢 \(\sum_{n=1}^{100}(2n+1)=100\times\dfrac{u_1+u_{100}}2=100\times\dfrac{3+201}2\).
✅ \(10\,200\) allumettes.
Exercice 56
1) \(u_0=5\), \(u_{n+1}=-u_n+4v_n\) ; \(v_0=-2\), \(v_{n+1}=2u_n-3v_n\). Calculer \(u_1\) et \(v_1\).
Correction détaillée
🔢 \(u_1=-5-8=-13\) ; \(v_1=10+6=16\).
✅ \(u_1=-13\), \(v_1=16\).
2.a) \(a_n=u_n+v_n\) : montrer que \((a_n)\) est constante.
Correction détaillée
🔢 \(a_{n+1}=-u_n+4v_n+2u_n-3v_n=u_n+v_n=a_n\).
✅ \(a_n=a_0=3\) pour tout \(n\).
2.b) \(b_n=u_n-2v_n\) : montrer que \((b_n)\) est géométrique.
Correction détaillée
🔢 \(b_{n+1}=(-u_n+4v_n)-2(2u_n-3v_n)=-5u_n+10v_n=-5(u_n-2v_n)\).
✅ Géométrique de raison \(-5\) et de premier terme \(b_0=5+4=9\).
2.c) Écrire \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\) ; donner \(u_{10}\).
Correction détaillée
⚠️ La numérotation du scan (1 puis 4) est lue 1, 2 ; la dernière question est lue « écrire \(u_n\) et \(v_n\) puis \(u_{10}\) ».
🔢 Étape 1 : \(b_n=9(-5)^n\). Système \(u_n+v_n=3\), \(u_n-2v_n=9(-5)^n\) : \(3v_n=3-9(-5)^n\), soit \(v_n=1-3(-5)^n\).
🔢 Étape 2 : \(u_n=3-v_n=2+3(-5)^n\). \(u_{10}=2+3\times5^{10}=2+3\times9\,765\,625\).
✅ \(u_n=2+3(-5)^n\), \(v_n=1-3(-5)^n\), \(u_{10}=29\,296\,877\).
Exercice 57
1) \(u_0=2\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3+2u_n}\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_1=\dfrac2{7}\) ; \(u_2=\dfrac{2/7}{3+4/7}=\dfrac{2/7}{25/7}\).
✅ \(u_1=\dfrac27\), \(u_2=\dfrac2{25}\).
2) Montrer que \(u_n>0\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0>0\) et, si \(u_n>0\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3+2u_n}>0\).
✅ \(u_n>0\) pour tout \(n\).
3) Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-3u_n-2u_n^2}{3+2u_n}=\dfrac{-2u_n(1+u_n)}{3+2u_n}<0\).
✅ \((u_n)\) est strictement décroissante.
4) Montrer que \(u_{n+1}\le\dfrac13u_n\).
Correction détaillée
🔢 \(3+2u_n\ge3\Rightarrow\dfrac1{3+2u_n}\le\dfrac13\).
✅ \(u_{n+1}\le\dfrac13u_n\).
5) Montrer que \(u_n\le2\left(\dfrac13\right)^n\) et en déduire \(0<u_n\le2\left(\dfrac13\right)^n\).
Correction détaillée
⚠️ Cet exercice figure deux fois dans la série (avec \(u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+3}\) à la fin) : traité une seule fois.
🔢 Récurrence : \(u_0=2\) ; \(u_{n+1}\le\dfrac13u_n\le\dfrac13\cdot2\left(\dfrac13\right)^n\).
✅ \(0<u_n\le\dfrac2{3^n}\).
Exercice 58
1) \(u_n=\dfrac12(3\times2^n-4n+3)\) et \(v_n=\dfrac12(3\times2^n+4n-3)\). Calculer \(u_0,u_1,v_0\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=\dfrac{3+3}2=3\) ; \(u_1=\dfrac{6-4+3}2=\dfrac52\) ; \(v_0=\dfrac{3-3}2=0\).
✅ \(u_0=3\), \(u_1=\dfrac52\), \(v_0=0\).
2.a) \(a_n=u_n+v_n\) : montrer que \((a_n)\) est géométrique de raison \(2\) et donner \(a_n\).
Correction détaillée
🔢 \(a_n=\dfrac12\times6\times2^n=3\times2^n\).
✅ \(a_n=3\times2^n\), raison \(2\), \(a_0=3\).
2.b) Calculer \(S_1=\sum_{i=0}^na_i\).
Correction détaillée
🔢 \(S_1=3\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}\).
✅ \(S_1=3(2^{n+1}-1)\).
3.a) \(b_n=u_n-v_n\) : montrer que \((b_n)\) est arithmétique de raison \(-4\) et donner \(b_n\).
Correction détaillée
🔢 \(b_n=\dfrac12(-8n+6)=3-4n\) ; \(b_{n+1}-b_n=-4\).
✅ \(b_n=3-4n\).
3.b) Calculer \(S_2=\sum_{i=0}^nb_i\).
Correction détaillée
🔢 \(S_2=(n+1)\dfrac{b_0+b_n}2=(n+1)\dfrac{3+3-4n}2\).
✅ \(S_2=(n+1)(3-2n)\).
3.c) En déduire \(S_3=\sum u_i\) et \(S_4=\sum v_i\).
Correction détaillée
🔢 \(S_3=\dfrac{S_1+S_2}2\) et \(S_4=\dfrac{S_1-S_2}2\).
✅ \(S_3=\dfrac{3(2^{n+1}-1)+(n+1)(3-2n)}2\) et \(S_4=\dfrac{3(2^{n+1}-1)-(n+1)(3-2n)}2\).
Exercice 59
1) \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{3+\sqrt{u_n}}\) (même suite qu’à la partie VI). Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_1=\dfrac12\), \(u_2=\dfrac2{6+\sqrt2}\).
✅ \(u_1=\dfrac12\), \(u_2\approx0{,}27\).
2) L’énoncé demande de montrer que \(u_n>3\) pour tout \(n\).
Correction détaillée
⚠️ Énoncé incohérent sur le scan : avec \(u_0=1\) et cette récurrence, \(u_n\to0\). Probablement une autre suite (par exemple de valeur initiale supérieure à \(3\)) était voulue ; les questions 2 à 4 sont donc laissées sans démonstration.
🔢 \(u_0=1<3\) : l’inégalité est fausse dès \(n=0\). De plus \(u_{n+1}\le\dfrac23u_n\) donc \(u_n\le\left(\dfrac23\right)^n\le1\).
✅ Avec les données lues, \(u_n\le1<3\) pour tout \(n\) : les questions 2, 3, 4 (\(u_n>3\), \(u_{n+1}-3>\frac32(u_n-3)\), \(u_n>\left(\frac32\right)^n+3\)) ne peuvent pas être démontrées.
Exercice 60
1) \(0<a<b\), \(u_0=a\), \(u_{n+1}=\dfrac2{\frac1{u_n}+\frac1{v_n}}\) ; \(v_0=b\), \(v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2\). Montrer que les suites sont strictement positives.
Correction détaillée
🔢 Récurrence : \(u_0,v_0>0\). Si \(u_n,v_n>0\) : \(v_{n+1}\) est la moyenne de deux positifs et \(u_{n+1}=\dfrac{2u_nv_n}{u_n+v_n}>0\).
✅ \(u_n>0\) et \(v_n>0\) pour tout \(n\).
2) Montrer que \(u_n<v_n\).
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2-\dfrac{2u_nv_n}{u_n+v_n}=\dfrac{(u_n+v_n)^2-4u_nv_n}{2(u_n+v_n)}=\dfrac{(v_n-u_n)^2}{2(u_n+v_n)}\).
✅ \(v_{n+1}-u_{n+1}>0\) dès que \(v_n\ne u_n\) ; avec \(u_0<v_0\), par récurrence \(u_n<v_n\).
3.a) Montrer que pour \(0<x<y\) : \(\dfrac{y-x}{2(x+y)}<\dfrac12\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{y-x}{2(x+y)}<\dfrac12\iff y-x<x+y\iff0<2x\).
✅ Vrai car \(x>0\).
3.b) En déduire \(v_{n+1}-u_{n+1}<\dfrac12(v_n-u_n)\).
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}-u_{n+1}=(v_n-u_n)\cdot\dfrac{v_n-u_n}{2(u_n+v_n)}\) et \(\dfrac{v_n-u_n}{2(u_n+v_n)}<\dfrac12\) d’après 3.a) avec \(x=u_n\), \(y=v_n\).
✅ \(v_{n+1}-u_{n+1}<\dfrac12(v_n-u_n)\).
3.c) Montrer par récurrence que \(v_n-u_n<\left(\dfrac12\right)^n(v_0-u_0)\).
Correction détaillée
⚠️ Pour \(n=0\) il y a égalité : l’inégalité stricte demandée vaut pour \(n\ge1\).
🔢 Étape 1 : Pour \(n=0\) l’égalité \(v_0-u_0=v_0-u_0\) est vraie (inégalité stricte à partir de \(n=1\)).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(v_{n+1}-u_{n+1}<\dfrac12(v_n-u_n)\le\dfrac12\left(\dfrac12\right)^n(v_0-u_0)\).
✅ \(v_n-u_n\le\left(\dfrac12\right)^n(v_0-u_0)\), strictement pour \(n\ge1\).
3.d) Montrer que \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) décroissante.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=u_n\left(\dfrac{2v_n}{u_n+v_n}-1\right)=\dfrac{u_n(v_n-u_n)}{u_n+v_n}>0\).
🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n-v_n}2<0\).
✅ \((u_n)\) croissante et \((v_n)\) décroissante.
3.e) Montrer que le produit \(u_nv_n\) est constant.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}v_{n+1}=\dfrac{2u_nv_n}{u_n+v_n}\times\dfrac{u_n+v_n}2=u_nv_n\).
✅ \(u_nv_n=u_0v_0=ab\) pour tout \(n\).
Exercice 61
1) \(u_0=-3\), \(u_{n+1}=3u_n+8\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_1=-9+8=-1\) ; \(u_2=-3+8=5\).
✅ \(u_1=-1\), \(u_2=5\).
2.a) \(v_n=u_n+4\) : montrer que \((v_n)\) est géométrique.
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}=3u_n+12=3(u_n+4)=3v_n\).
✅ Géométrique de raison \(3\), \(v_0=1\).
2.b) Écrire \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=3^n\), \(u_n=v_n-4\).
✅ \(v_n=3^n\), \(u_n=3^n-4\).
3.a) \(w_n=v_n+3n-1-3^n\) : montrer que \((w_n)\) est arithmétique.
Correction détaillée
🔢 \(w_n=3^n+3n-1-3^n=3n-1\) ; \(w_{n+1}-w_n=3\).
✅ Arithmétique de raison \(3\), \(w_0=-1\).
3.b) Calculer \(S_v=\sum_{i=0}^nv_i\) et \(S_w=\sum_{i=0}^nw_i\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(S_v=\dfrac{3^{n+1}-1}2\).
🔢 Étape 2 : \(S_w=(n+1)\dfrac{-1+3n-1}2\).
✅ \(S_v=\dfrac{3^{n+1}-1}2\), \(S_w=\dfrac{(n+1)(3n-2)}2\).
Exercice 62
1) \(u_0=3\), \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n-1}{4u_n+1}\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_1=\dfrac{14}{13}\) ; \(u_2=\dfrac{70/13-1}{56/13+1}=\dfrac{57}{69}\).
✅ \(u_1=\dfrac{14}{13}\), \(u_2=\dfrac{19}{23}\).
2) Montrer que \(\dfrac12<u_n\le3\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-\dfrac12=\dfrac{3(2u_n-1)}{2(4u_n+1)}>0\) si \(u_n>\dfrac12\) ; et \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n-1}{4u_n+1}<\dfrac54\le3\) (car \(4(5u_n-1)<5(4u_n+1)\)). Initialisation : \(u_0=3\).
✅ \(\dfrac12<u_n\le3\).
3) Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{5u_n-1-4u_n^2-u_n}{4u_n+1}=-\dfrac{(2u_n-1)^2}{4u_n+1}<0\).
✅ \((u_n)\) est strictement décroissante.
4.a) \(v_n=\dfrac2{2u_n-1}\) : quelle est la nature de \((v_n)\) ?
Correction détaillée
⚠️ Le scan demande « géométrique » : c’est inexact (\(v_{n+1}=v_n+\frac43\)).
🔢 Étape 1 : \(2u_{n+1}-1=\dfrac{10u_n-2-4u_n-1}{4u_n+1}=\dfrac{3(2u_n-1)}{4u_n+1}\).
🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac{2(4u_n+1)}{3(2u_n-1)}=\dfrac23\left(2+\dfrac3{2u_n-1}\right)=\dfrac43+v_n\).
✅ \((v_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac43\), \(v_0=\dfrac25\).
4.b) Écrire \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_n=\dfrac25+\dfrac43n=\dfrac{6+20n}{15}\).
🔢 Étape 2 : \(u_n=\dfrac12+\dfrac1{v_n}\).
✅ \(u_n=\dfrac12+\dfrac{15}{6+20n}\) (vérification : \(u_1=\dfrac12+\dfrac{15}{26}=\dfrac{14}{13}\)).
4.c) Calculer \(S_n=\sum_{i=0}^nv_i\).
Correction détaillée
🔢 \(S_n=(n+1)\dfrac{v_0+v_n}2=(n+1)\left(\dfrac25+\dfrac23n\right)\).
✅ \(S_n=\dfrac{2(n+1)(5n+3)}{15}\).
Exercice 63
1) \(u_0=2\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{5-u_n}\). Vérifier que \(u_{n+1}-3=\dfrac{4(u_n-3)}{2+(3-u_n)}\), puis montrer par récurrence que \(u_n<3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-3=\dfrac{u_n+3-15+3u_n}{5-u_n}=\dfrac{4(u_n-3)}{5-u_n}\) et \(5-u_n=2+(3-u_n)\).
🔢 Étape 2 : \(u_0=2<3\). Si \(u_n<3\), \(2+(3-u_n)>0\) et \(u_n-3<0\), donc \(u_{n+1}-3<0\).
✅ \(u_n<3\) pour tout \(n\).
2.a) Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Correction détaillée
⚠️ Cette question (« Calculer \(u_1\) et \(u_2\) ») est placée en début de la page suivante du scan ; elle est rattachée ici au bloc de \(v_n\).
🔢 \(u_1=\dfrac{5}{3}\), \(u_2=\dfrac{5/3+3}{5-5/3}=\dfrac{14/3}{10/3}\).
✅ \(u_1=\dfrac53\), \(u_2=\dfrac75\).
2.b) \(v_n=\dfrac{u_n-1}{3-u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), puis que \(v_n=\left(\dfrac12\right)^n\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan écrit « raison \(\frac1{16}\) » pour cette question ; le calcul donne \(\frac12\), cohérent avec \(v_n=(\frac12)^n\) donné par l’énoncé.
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-1=\dfrac{2(u_n-1)}{5-u_n}\) et \(3-u_{n+1}=\dfrac{4(3-u_n)}{5-u_n}\).
🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac{2(u_n-1)}{4(3-u_n)}=\dfrac12v_n\) ; \(v_0=\dfrac{1}{1}=1\).
✅ Raison \(\dfrac12\), \(v_n=\left(\dfrac12\right)^n\).
2.c) Montrer que \(u_n=\dfrac{1+3v_n}{1+v_n}\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n(3-u_n)=u_n-1\Rightarrow3v_n+1=u_n(1+v_n)\).
✅ \(u_n=\dfrac{1+3v_n}{1+v_n}\).
2.d) Écrire \(u_n\) en fonction de \(n\) ; limite (hors programme).
Correction détaillée
🔢 \(u_n=\dfrac{1+3/2^n}{1+1/2^n}=\dfrac{2^n+3}{2^n+1}\).
✅ \(u_n=\dfrac{2^n+3}{2^n+1}\) ; \(u_n\to1\) (hors programme).
Exercice 64
1) \(u_0=2\), \(u_{n+1}=\dfrac1{16}u_n+\dfrac{15}{16}\). Montrer par récurrence que \(u_n>1\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=2>1\). \(u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{16}>0\) si \(u_n>1\).
✅ \(u_n>1\) pour tout \(n\).
2) Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{15}{16}(1-u_n)\), montrer que \((u_n)\) est décroissante puis convergente.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+15-16u_n}{16}=\dfrac{15(1-u_n)}{16}\le0\) car \(u_n>1\).
🔢 Étape 2 : Décroissante et minorée par \(1\) : elle converge (théorème admis).
✅ \((u_n)\) est décroissante, minorée, donc convergente.
3.a) \(v_n=u_n-1\) : montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac1{16}\) et écrire \(v_n\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan indique « raison \(\frac12\) » mais la forme demandée en 3.b) (\(u_n=1+(\frac1{16})^n\)) correspond à la raison \(\frac1{16}\).
🔢 \(v_{n+1}=\dfrac{u_n-1}{16}=\dfrac1{16}v_n\), \(v_0=1\).
✅ \(v_n=\left(\dfrac1{16}\right)^n\).
3.b) Montrer que \(u_n=1+\left(\dfrac1{16}\right)^n\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n=v_n+1\).
✅ \(u_n=1+\dfrac1{16^n}\) ; limite \(1\) (hors programme).
Exercice 65
1) \(u_0=\dfrac14\), \(u_{n+1}=u_n^2+\dfrac12u_n\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Correction détaillée
🔢 \(u_1=\dfrac1{16}+\dfrac18=\dfrac3{16}\) ; \(u_2=\dfrac9{256}+\dfrac3{32}=\dfrac{33}{256}\).
✅ \(u_1=\dfrac3{16}\), \(u_2=\dfrac{33}{256}\).
2.a) Montrer par récurrence que \(0<u_n\le\dfrac14\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}=u_n\left(u_n+\dfrac12\right)>0\) et, si \(u_n\le\dfrac14\), \(u_{n+1}\le\dfrac14\times\dfrac34=\dfrac3{16}<\dfrac14\).
✅ \(0<u_n\le\dfrac14\).
2.b) En déduire que \((u_n)\) est décroissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=u_n^2-\dfrac12u_n=u_n\left(u_n-\dfrac12\right)<0\) car \(0<u_n<\dfrac12\).
✅ \((u_n)\) est strictement décroissante.
3.a) Montrer que \(u_{n+1}\le\dfrac34u_n\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}=u_n\left(u_n+\dfrac12\right)\le u_n\left(\dfrac14+\dfrac12\right)\).
✅ \(u_{n+1}\le\dfrac34u_n\).
3.b) En déduire \(u_n\le\dfrac14\left(\dfrac34\right)^n\).
Correction détaillée
🔢 Récurrence : \(u_0=\dfrac14\) ; \(u_{n+1}\le\dfrac34u_n\le\dfrac34\cdot\dfrac14\left(\dfrac34\right)^n\).
✅ \(0<u_n\le\dfrac14\left(\dfrac34\right)^n\).