Cette série d’exercices corrigés sur le barycentre dans le plan pour la 1ère Bac Sc Ex travaille la définition, l’associativité et les lignes de niveau, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Exercices corrigés sur le barycentre dans le plan 1ère Bac

Le barycentre dans le plan · Série de synthèse 1ère Bac

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape

Exercice 1

Construire le barycentre \(G\) des points pondérés donnés.

1) Construire \(G=\mathrm{Bar}\{(A;4);(B;-5)\}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Définition : si \(a+b\neq0\), le barycentre de \(\{(A;a);(B;b)\}\) est l’unique point \(G\) tel que \(a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec0\). Il est sur \((AB)\) et \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\). Si \(a+b=0\) (avec \(a\neq 0\)), il n’existe pas. Pour tout point \(M\) : \(a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=(a+b)\overrightarrow{MG}\).

🔢 Étape 1 : \(a+b=-1\neq0\) : \(G\) existe.

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AG}=\frac{-5}{-1}\overrightarrow{AB}=5\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\) est sur la demi-droite \([AB)\) avec \(AG=5\,AB\) : \(B\) est entre \(A\) et \(G\) (\(BG=4\,AB\)).

2) Construire \(G=\mathrm{Bar}\{(A;\sqrt8);(B;-\sqrt2)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sqrt8=2\sqrt2\), donc \(a+b=\sqrt2\neq0\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AG}=\frac{-\sqrt2}{\sqrt2}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\).

Exercice 2

\(AB=6\) cm. Construire, s’il existe, le barycentre de \((A;\alpha),(B;\beta)\).

1) \(\alpha=4,\ \beta=-1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On calcule \(a+b\). Si \(a+b=0\) : pas de barycentre. Sinon \(\overrightarrow{AG}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\), puis on place \(G\) en mesurant \(AG=\left|\frac{b}{a+b}\right|\times AB\), du côté de \(B\) si \(\frac{b}{a+b}>0\), du côté opposé sinon.

🔢 \(\alpha+\beta=3\) ; \(\overrightarrow{AG}=-\frac13\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\) existe : \(AG=2\) cm, sur \((AB)\), du côté opposé à \(B\) (à l’extérieur de \([AB]\), côté \(A\)).

2) \(\alpha=2,\ \beta=1\).

Correction détaillée

🔢 \(\alpha+\beta=3\) ; \(\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\in[AB]\) avec \(AG=2\) cm (tiers de \([AB]\), le plus près de \(A\) car \(A\) a le plus grand poids).

3) \(\alpha=2,\ \beta=-2\).

Correction détaillée

🔢 \(\alpha+\beta=0\).

✅ Le barycentre n’existe pas.

4) \(\alpha=\frac1{10},\ \beta=\frac15\).

Correction détaillée

🔢 \(\alpha+\beta=\frac3{10}\) ; \(\overrightarrow{AG}=\frac{1/5}{3/10}\overrightarrow{AB}=\frac23\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\in[AB]\) avec \(AG=4\) cm.

Exercice 3

\(AB=9\) cm. Même consigne.

1) \(\alpha=4,\ \beta=5\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AG}=\frac59\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\in[AB]\), \(AG=5\) cm.

2) \(\alpha=8,\ \beta=-5\).

Correction détaillée

🔢 \(\alpha+\beta=3\) ; \(\overrightarrow{AG}=-\frac53\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\) est du côté de \(A\), hors de \([AB]\), avec \(AG=15\) cm.

3) \(\alpha=-11,\ \beta=2\).

Correction détaillée

🔢 \(\alpha+\beta=-9\) ; \(\overrightarrow{AG}=\frac{2}{-9}\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\) est du côté de \(A\) opposé à \(B\), avec \(AG=2\) cm.

4) \(\alpha=\frac12,\ \beta=-\frac12\).

Correction détaillée

🔢 \(\alpha+\beta=0\).

✅ Pas de barycentre.

5) \(\alpha=-1,\ \beta=-5\).

Correction détaillée

🔢 \(\alpha+\beta=-6\) ; \(\overrightarrow{AG}=\frac{-5}{-6}\overrightarrow{AB}=\frac56\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\in[AB]\), \(AG=7{,}5\) cm (deux poids négatifs : même résultat qu’avec \(1\) et \(5\)).

6) \(\alpha=0,\ \beta=2011\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AG}=\frac{2011}{2011}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G=B\) (un point de poids nul n’intervient pas).

Exercice 4

\(AB=8\). Construire le barycentre \(G\) de \((A;a)\) et \((B;b)\).

a) \(a=3\) et \(b=1\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AG}=\frac14\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\in[AB]\) avec \(AG=2\) cm.

b) \(a=3\) et \(b=-1\).

Correction détaillée

🔢 \(a+b=2\) ; \(\overrightarrow{AG}=-\frac12\overrightarrow{AB}\).

✅ \(G\) est à \(4\) cm de \(A\), sur \((AB)\), du côté opposé à \(B\).

Exercice 5

Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(G\) soit le barycentre de \((A;a),(B;b)\), dans chacun des cas.

a) \(2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}=\vec0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On écrit la relation sous la forme \(a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec0\) en utilisant \(\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{GA}\) et Chasles.

🔢 On passe aux vecteurs d’origine \(G\) : \(-2\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}=\vec0\), donc \(2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\vec0\).

✅ \(a=2,\ b=1\).

b) \(2\overrightarrow{GA}-3\overrightarrow{BG}=\vec0\).

Correction détaillée

🔢 \(-3\overrightarrow{BG}=3\overrightarrow{GB}\).

✅ \(a=2,\ b=3\) (\(2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0\)).

c) \(\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{BA}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GA}\) : \(\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{BG}+3\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{BG}-3\overrightarrow{AG}\), donc \(4\overrightarrow{AG}-3\overrightarrow{BG}=\vec0\).

🔢 Étape 2 : Soit \(-4\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0\).

✅ \(a=-4,\ b=3\) (vérification : \(\overrightarrow{AG}=\frac3{-1}\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{BA}\) ✓).

d) \(5\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{AB}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{BG}\).

🔢 Étape 2 : \(5\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{BG}\Rightarrow4\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{BG}=\vec0\Rightarrow-4\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\vec0\).

✅ \(a=-4,\ b=1\).

Exercice 6

Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(G\) soit le barycentre de \((A;\alpha),(B;\beta)\).

1) \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{GB}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}\), donc \(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GB}\), soit \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GB}\).

✅ \(G\) est le milieu de \([AB]\) : \(\alpha=\beta=1\).

2) \(2\overrightarrow{GB}-3\overrightarrow{AB}=\vec0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}\) : \(2\overrightarrow{GB}-3\overrightarrow{AG}-3\overrightarrow{GB}=\vec0\), donc \(3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\vec0\).

🔢 Étape 2 : Soit \(-3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\vec0\).

✅ \(\alpha=-3,\ \beta=1\).

3) \(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{GB}=\vec0\).

Correction détaillée

⚠️ Lecture de la relation : \(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{GB}=\vec0\) ; elle donne \(G=A\) (poids de \(B\) nul).

🔢 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}\) : \(2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{GA}=\vec0\).

✅ \(G=A\) : c’est le barycentre de \((A;\alpha),(B;0)\), \(\alpha\neq0\).

Exercice 7

Simplifier : a) \(\overrightarrow{MA}-\frac12\overrightarrow{MB}\) ; b) \(6\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}\), sachant que \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;-\frac12)\}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Propriété de réduction : \(a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=(a+b)\overrightarrow{MG}\).

🔢 Étape 1 : \(1-\frac12=\frac12\neq0\), donc pour tout \(M\) : \(\overrightarrow{MA}-\frac12\overrightarrow{MB}=\frac12\overrightarrow{MG}\).

🔢 Étape 2 : \(6\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=6\left(\overrightarrow{MA}-\frac12\overrightarrow{MB}\right)\).

✅ a) \(\frac12\overrightarrow{MG}\) ; b) \(3\overrightarrow{MG}\).

Exercice 8

1) Pour \(\overrightarrow{NA}=-\frac12\overrightarrow{NB}\) : montrer que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN}\) sont colinéaires.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NB}=-\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=\frac12\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NB}=\frac32\overrightarrow{NB}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(\overrightarrow{NB}=\frac23\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NB}=\frac13\overrightarrow{AB}\).

✅ \(\overrightarrow{AN}=\frac13\overrightarrow{AB}\) : colinéaires.

2) Placer \(N\).

Correction détaillée

🔢 \(N\in[AB]\) au tiers de \([AB]\) à partir de \(A\).

✅ \(N\) est le point de \([AB]\) tel que \(AN=\frac13AB\).

3) Exprimer \(N\) comme barycentre de \(A\) et \(B\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{NA}=-\frac12\overrightarrow{NB}\iff2\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=\vec0\).

✅ \(N=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;1)\}\) (\(\overrightarrow{AN}=\frac13\overrightarrow{AB}\) ✓).

Exercice 9

\(B\) est le milieu de \([AC]\). Montrer que \(\mathrm{Bar}\{(A;1);(C;3)\}=\mathrm{Bar}\{(B;2);(C;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(G_1=\mathrm{Bar}\{(A;1);(C;3)\}\) : \(\overrightarrow{AG_1}=\frac34\overrightarrow{AC}\).

🔢 Étape 2 : \(G_2=\mathrm{Bar}\{(B;2);(C;2)\}\) est le milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{BG_2}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac14\overrightarrow{AC}\) (car \(\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{AC}\)).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{AG_2}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG_2}=\frac12\overrightarrow{AC}+\frac14\overrightarrow{AC}=\frac34\overrightarrow{AC}\).

✅ \(\overrightarrow{AG_1}=\overrightarrow{AG_2}\) donc \(G_1=G_2\). (Autre preuve : \(B=\mathrm{Bar}\{(A;1);(C;1)\}\), on remplace \((A;1)\) par \((B;2)\) et \((C;1)\) en regroupant avec \((C;2)\).)

Exercice 10

Une balance.

1) Balance : on pose une masse \(M=2\) kg en \(A\) et la masse \(m\) en \(B\). Où fixer le crochet \(G\) sur \([AB]\) pour \(m=3\), puis \(m=5\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : En physique, le point d’équilibre d’une tige portant deux masses est leur barycentre (centre d’inertie).

🔢 À l’équilibre, \(G\) est le barycentre de \((A;M)\) et \((B;m)\) : \(M\overrightarrow{GA}+m\overrightarrow{GB}=\vec0\), donc \(\overrightarrow{AG}=\frac{m}{M+m}\overrightarrow{AB}\).

✅ \(m=3\) : \(AG=\frac35AB\). \(m=5\) : \(AG=\frac57AB\).

2) Si \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AB}\), quelle masse \(m\) est pesée (\(M=2\) kg) ?

Correction détaillée

🔢 \(\frac{m}{2+m}=\frac23\iff3m=4+2m\).

✅ \(m=4\) kg.

Exercice 11

1) Pour \(I\) milieu de \([AB]\), \(\overrightarrow{AJ}=\frac25\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AL}=3\overrightarrow{AC}\), \((D)\parallel(AC)\) passant par \(J\) et coupant \((BC)\) en \(K\) : exprimer que \(I\) est barycentre de \(A,B\) ; \(L\) de \(A,C\) ; \(K\) de \(B,C\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1)\}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AL}=3\overrightarrow{AC}\iff L=\mathrm{Bar}\{(A;-2);(C;3)\}\) (\(\frac{3}{-2+3}=3\)).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{AJ}=\frac25\overrightarrow{AB}\), donc \(BJ=\frac35BA\) ; Thales dans \(ABC\) (\((JK)\parallel(AC)\)) : \(\overrightarrow{BK}=\frac35\overrightarrow{BC}\), d’où \(K=\mathrm{Bar}\{(B;2);(C;3)\}\).

✅ \(I=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1)\}\) ; \(L=\mathrm{Bar}\{(A;-2);(C;3)\}\) ; \(K=\mathrm{Bar}\{(B;2);(C;3)\}\).

Exercice 12

Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\). Démontrer que \(2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rappels : relation de Chasles \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\) ; \(I\) milieu de \([AB]\iff\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0\) ; trois points \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires ; dans un repère, \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x’;y’)\) sont colinéaires si et seulement si \(xy’-x’y=0\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\) et \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\).

🔢 Étape 2 : Somme : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})=2\overrightarrow{AI}\), car \(I\) est le milieu de \([BC]\).

✅ \(2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) ✓.

Exercice 13

1) \(ABCD\) quadrilatère, \(I\) milieu de \([AD]\), \(J\) milieu de \([BC]\). Écrire \(\overrightarrow{IJ}\) comme somme de \(\overrightarrow{AB}\) et de deux autres vecteurs.

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}\).

✅ \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}\).

2) Décomposer \(\overrightarrow{IJ}\) en utilisant \(\overrightarrow{DC}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CJ}\).

✅ \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CJ}\).

3) En déduire \(2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On additionne : \(2\overrightarrow{IJ}=(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID})+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+(\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CJ})\).

🔢 Étape 2 : \(I\) milieu de \([AD]\) : \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=\vec0\) ; \(J\) milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CJ}=\vec0\).

✅ \(2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\) ✓.

Exercice 14

1) \(ABCD\) parallélogramme de centre \(O\), \(I\) milieu de \([AB]\), \(J\) tel que \(\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{OC}\). Exprimer \(\overrightarrow{OI}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit « \(\overrightarrow{OI’}\) » ; lu \(\overrightarrow{OI}\).

🔢 \(O\) milieu de \([AC]\) et \(I\) milieu de \([AB]\) : \(\overrightarrow{OI}=\frac12(\overrightarrow{CB})\) (théorème des milieux dans \(ABC\)) ; on le vérifie : \(\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{CA}+\frac12\overrightarrow{AB}=\frac12\overrightarrow{CB}\).

✅ \(\overrightarrow{OI}=-\frac12\overrightarrow{BC}\).

2) Justifier \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OJ}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(O\) milieu de \([BD]\) : \(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}\), donc \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}\).

✅ \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OJ}\) ✓.

3) Quel théorème permet de conclure que \(O,I,J\) sont alignés ?

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{OI}=-\frac12\overrightarrow{BC}=-\frac12\overrightarrow{OJ}\).

✅ Si \(\overrightarrow{OI}=k\overrightarrow{OJ}\), les vecteurs sont colinéaires, donc \(O,I,J\) sont alignés (propriété : deux vecteurs colinéaires de même origine ont leurs extrémités alignées).

Exercice 15

\(ABC\) triangle, \(\overrightarrow{AE}=\frac13\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CI}=\frac23\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{AF}=\frac13\overrightarrow{AC}\). Démontrer que \(I,E,F\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) : \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\), \(\overrightarrow{BC}(-1;1)\).

🔢 Étape 2 : \(E\) : \(\overrightarrow{AE}=\frac13\overrightarrow{BC}\), donc \(E\left(-\frac13;\frac13\right)\). \(F\left(0;\frac13\right)\).

🔢 Étape 3 : \(I\) : \(\overrightarrow{CI}=\frac23\overrightarrow{CB}=\frac23(1;-1)\), donc \(I=\left(\frac23;1-\frac23\right)=\left(\frac23;\frac13\right)\).

✅ \(E,F,I\) ont la même ordonnée \(\frac13\) : ils sont alignés sur la parallèle à \((AB)\) passant par \(F\).

Exercice 16

1) \(ABCD\) parallélogramme, \(\overrightarrow{DM}=\frac45\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{AN}=\frac34\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CQ}=\frac23\overrightarrow{CD}\). Dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\), calculer les coordonnées de \(M,N,Q\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(D(0;1)\), \(C(1;1)\).

🔢 Étape 2 : \(M=D+\frac45\overrightarrow{DA}=(0;1)+\frac45(0;-1)=\left(0;\frac15\right)\).

🔢 Étape 3 : \(N\left(\frac34;0\right)\). \(Q=C+\frac23\overrightarrow{CD}=(1;1)+\frac23(-1;0)=\left(\frac13;1\right)\).

✅ \(M\left(0;\frac15\right)\), \(N\left(\frac34;0\right)\), \(Q\left(\frac13;1\right)\).

2) Justifier que \(P\), point de \((BC)\) tel que \(\overrightarrow{BP}=k\overrightarrow{AD}\), a pour coordonnées \((1;k)\).

Correction détaillée

🔢 \(P\in(BC)\) : \(\overrightarrow{BP}=k\overrightarrow{AD}=k(0;1)\), donc \(P=(1;0)+(0;k)\).

✅ \(P(1;k)\).

3) En déduire que \(\overrightarrow{MQ}\) et \(\overrightarrow{NP}\) sont colinéaires et calculer \(k\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{MQ}\left(\frac13;\frac45\right)\) et \(\overrightarrow{NP}\left(\frac14;k\right)\) (car \((NP)\parallel(MQ)\)).

🔢 Étape 2 : Colinéarité : \(\frac13k-\frac45\times\frac14=0\iff\frac k3=\frac15\).

✅ \(k=\frac35\).

Exercice 17

\(I\) milieu de \([BC]\), \(\overrightarrow{AJ}=\frac13\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AK}=\frac14\overrightarrow{BC}\). Dans \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\), calculer les coordonnées de \(I,J,K\) et prouver qu’ils sont alignés.

Correction détaillée

⚠️ Lecture : \(\overrightarrow{AK}=\frac14\overrightarrow{BC}\) (le scan est peu net ; avec cette valeur l’alignement se vérifie).

🔢 Étape 1 : \(B(1;0)\), \(C(0;1)\), \(I\left(\frac12;\frac12\right)\), \(J\left(0;\frac13\right)\), \(\overrightarrow{BC}(-1;1)\) donc \(K\left(-\frac14;\frac14\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{IJ}\left(-\frac12;-\frac16\right)\), \(\overrightarrow{IK}\left(-\frac34;-\frac14\right)\).

🔢 Étape 3 : Déterminant : \(\left(-\frac12\right)\left(-\frac14\right)-\left(-\frac16\right)\left(-\frac34\right)=\frac18-\frac18=0\).

✅ \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\) sont colinéaires : \(I,J,K\) sont alignés.

Exercice 18

Dans \((O;\vec\imath,\vec\jmath)\), \(A(3;2)\), \(B(4;1)\), \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;-5)\}\). Déterminer les coordonnées de \(G\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formule : si \(G=\mathrm{Bar}\{(A_i;a_i)\}\) avec \(\sum a_i\neq0\), alors \(x_G=\dfrac{\sum a_ix_{A_i}}{\sum a_i}\) et \(y_G=\dfrac{\sum a_iy_{A_i}}{\sum a_i}\).

🔢 Étape 1 : \(1-5=-4\neq0\).

🔢 Étape 2 : \(x_G=\frac{3-20}{-4}=\frac{17}4\) ; \(y_G=\frac{2-5}{-4}=\frac34\).

✅ \(G\left(\frac{17}4;\frac34\right)\).

Exercice 19

Dans \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\), déterminer les coordonnées de \(I=\mathrm{Bar}\{(B;4);(C;-3)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(B(1;0)\), \(C(0;1)\), \(4-3=1\).

🔢 Étape 2 : \(x_I=\frac{4\cdot1-3\cdot0}{1}=4\), \(y_I=\frac{4\cdot0-3\cdot1}1=-3\).

✅ \(I(4;-3)\).

Exercice 20

1) Pour \(A(0;5)\), \(B(3;2)\), calculer les coordonnées de \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(1+2=3\) ; \(x_G=\frac{0+6}3=2\) ; \(y_G=\frac{5+4}3=3\).

✅ \(G(2;3)\).

Exercice 21

1) \(A(-1;1)\), \(B(0;2)\), \(C(1;-1)\), \(D(1;0)\). Coordonnées de \(K=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;3)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(2+3=5\) ; \(x_K=\frac{-2+0}5=-\frac25\) ; \(y_K=\frac{2+6}5=\frac85\).

✅ \(K\left(-\frac25;\frac85\right)\).

2) Coordonnées de \(L\), centre de gravité du triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 \(L=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1);(C;1)\}\) : \(x_L=\frac{-1+0+1}3=0\) ; \(y_L=\frac{1+2-1}3=\frac23\).

✅ \(L\left(0;\frac23\right)\).

3) Coordonnées du barycentre de \((A;2),(B;3),(C;1),(D;-1)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2+3+1-1=5\neq0\).

🔢 Étape 2 : \(x=\frac{-2+0+1-1}5=-\frac25\) ; \(y=\frac{2+6-1+0}5=\frac75\).

✅ \(\left(-\frac25;\frac75\right)\).

Exercice 22

1) Placer \(A(1;2)\), \(B(-3;4)\), \(C(-2;5)\) et calculer les coordonnées de \(G=\mathrm{Bar}\{(A;3);(B;2);(C;-4)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(3+2-4=1\).

🔢 Étape 2 : \(x_G=3(1)+2(-3)-4(-2)=3-6+8=5\) ; \(y_G=3(2)+2(4)-4(5)=6+8-20=-6\).

✅ \(G(5;-6)\).

2) La droite \((BG)\) passe-t-elle par l’origine ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{BG}(8;-10)\) et \(\overrightarrow{BO}(3;-4)\).

🔢 Étape 2 : Déterminant : \(8\times(-4)-3\times(-10)=-32+30=-2\neq0\).

✅ Non : \(B,G,O\) ne sont pas alignés. (L’équation de \((BG)\) est \(y=-\frac54x+\frac14\), de pente \(-\frac54\) et d’ordonnée à l’origine \(\frac14\ne0\).)

Exercice 23

1) Pour \(A(2;1)\), \(B(-1;4)\), \(C(-3;-2)\) : coordonnées du centre de gravité \(G\) de \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 \(x_G=\frac{2-1-3}3=-\frac23\) ; \(y_G=\frac{1+4-2}3=1\).

✅ \(G\left(-\frac23;1\right)\).

2) Coordonnées de \(G’=\mathrm{Bar}\{(A;-2);(B;3);(C;1)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(-2+3+1=2\) ; \(x_{G’}=\frac{-4-3-3}2=-5\) ; \(y_{G’}=\frac{-2+12-2}2=4\).

✅ \(G'(-5;4)\).

3) Les points \(O,G,G’\) sont-ils alignés ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{OG}\left(-\frac23;1\right)\), \(\overrightarrow{OG’}(-5;4)\).

🔢 Étape 2 : Déterminant : \(-\frac23\times4-1\times(-5)=-\frac83+5=\frac73\neq0\).

✅ Non, ils ne sont pas alignés.

Exercice 24

1) Placer \(A(1;3)\), \(B(2;1)\) ; calculer les coordonnées de \(M=\mathrm{Bar}\{(A;-1);(B;3)\}\) et \(N=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;-1)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(M\) : somme \(2\) ; \(x=\frac{-1+6}2=\frac52\) ; \(y=\frac{-3+3}2=0\).

🔢 Étape 2 : \(N\) : somme \(1\) ; \(x=2-2=0\) ; \(y=6-1=5\).

✅ \(M\left(\frac52;0\right)\), \(N(0;5)\).

2) Coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

Correction détaillée

🔢 \(I\left(\frac{1+2}2;\frac{3+1}2\right)\).

✅ \(I\left(\frac32;2\right)\).

3) Trouver \(k\) tel que \(\overrightarrow{MI}=k\overrightarrow{MN}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{MI}\left(-1;2\right)\) et \(\overrightarrow{MN}\left(-\frac52;5\right)\).

🔢 Étape 2 : \(-1=k\times(-\frac52)\Rightarrow k=\frac25\) ; vérification : \(2=\frac25\times5\) ✓.

✅ \(k=\frac25\).

4) En déduire \(\alpha,\beta\) tels que \(I\) soit le barycentre de \((M;\alpha),(N;\beta)\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{MI}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{MN}\), d’où \(\frac\beta{\alpha+\beta}=\frac25\) : \(5\beta=2\alpha+2\beta\).

✅ \(3\beta=2\alpha\) : par exemple \(\alpha=3,\ \beta=2\).

Exercice 25

Existence et position.

1) Rectangle \(ABCD\) (repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\) : \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(1;1)\), \(D(0;1)\)). Justifier l’existence et donner les coordonnées de \(G=\mathrm{Bar}\{(A;-1);(B;2);(C;2);(D;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(-1+2+2+2=5\neq0\).

🔢 Étape 2 : \(x_G=\frac{0+2+2+0}5=\frac45\) ; \(y_G=\frac{0+0+2+2}5=\frac45\).

✅ \(G\left(\frac45;\frac45\right)\).

2) Parallélogramme : \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;-3);(C;2);(D;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme \(3\neq0\).

🔢 Étape 2 : \(x_G=\frac{0-3+2+0}3=-\frac13\) ; \(y_G=\frac{0+0+2+2}3=\frac43\).

✅ \(G\left(-\frac13;\frac43\right)\) (dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\)).

3) Quadrilatère quelconque : \(G=\mathrm{Bar}\{(A;-1);(B;3);(C;2);(D;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme \(6\neq0\) : \(G\) existe.

🔢 Étape 2 : Avec l’origine \(A\) : \(\overrightarrow{AG}=\frac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AD}}6\) ; on construit par associativité (voir partie suivante).

✅ \(\overrightarrow{AG}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}+\frac13\overrightarrow{AD}\).

Exercice 26

\(ABCD\) rectangle : placer \(G=\mathrm{Bar}\{(A;\alpha);(B;\beta);(C;\gamma);(D;\delta)\}\).

1) Rectangle, repère comme ci-dessus. Construire \(G\) pour \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)=(-2,3,1,1)\) ; \((-3,2,1,-3)\) ; \((-\frac18,\frac38,\frac14,\frac12)\).

Correction détaillée

⚠️ Les cas se placent au choix par coordonnées ou par associativité ; les valeurs ci-dessus supposent le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\).

🔢 Étape 1 : \((-2,3,1,1)\) : somme \(3\) ; \(x=\frac{0+3+1+0}3=\frac43\), \(y=\frac{0+0+1+1}3=\frac23\).

🔢 Étape 2 : \((-3,2,1,-3)\) : somme \(-3\) ; \(x=\frac{0+2+1+0}{-3}=-1\), \(y=\frac{0+0+1-3}{-3}=\frac23\).

🔢 Étape 3 : \((-\frac18,\frac38,\frac14,\frac12)\) : somme \(1\) ; \(x=\frac38+\frac14=\frac58\), \(y=\frac14+\frac12=\frac34\).

✅ \(G_1\left(\frac43;\frac23\right)\), \(G_2\left(-1;\frac23\right)\), \(G_3\left(\frac58;\frac34\right)\) (coordonnées exprimées dans les unités \(AB\) et \(AD\)).

Exercice 27

\(ABC\) est un triangle.

1) \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;-1);(C;3)\}\) : construire \(G\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Associativité : si \(G=\mathrm{Bar}\{(A;a);(B;b);(C;c)\}\) et si \(a+b\neq0\), alors en notant \(H=\mathrm{Bar}\{(A;a);(B;b)\}\) on a \(G=\mathrm{Bar}\{(H;a+b);(C;c)\}\). On peut donc construire \(G\) en deux étapes (ou plus), et prouver des alignements : \(G\) est sur \((HC)\).
Homogénéité : on peut multiplier tous les poids par un même réel non nul. Centre de gravité de \(ABC\) : \(\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1);(C;1)\}\) ; milieu : \(\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1)\}\).

🔢 Étape 1 : Somme \(3\). \(\overrightarrow{AG}=\frac{-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}3=-\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).

🔢 Étape 2 : Associativité : \(H=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;-1)\}\) n’existe pas (somme nulle) ; on regroupe plutôt \(K=\mathrm{Bar}\{(B;-1);(C;3)\}\) (somme \(2\), \(\overrightarrow{BK}=\frac32\overrightarrow{BC}\)), puis \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(K;2)\}\) : \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AK}\).

✅ On construit \(K\), puis \(G\) au deux tiers de \([AK]\) à partir de \(A\) (ou par \(\overrightarrow{AG}=-\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)).

2) \(G=\mathrm{Bar}\{(A;4);(B;\frac12);(C;-3)\}\) : construire \(G\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme \(\frac32\). \(\overrightarrow{AG}=\frac{\frac12\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}}{3/2}=\frac13\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\).

🔢 Étape 2 : Ou : \(H=\mathrm{Bar}\{(A;4);(B;\frac12)\}\) (\(\overrightarrow{AH}=\frac19\overrightarrow{AB}\)), puis \(G=\mathrm{Bar}\{(H;\frac92);(C;-3)\}\) : \(\overrightarrow{HG}=\frac{-3}{3/2}\overrightarrow{HC}=-2\overrightarrow{HC}\).

✅ \(\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\), \(G\) tel que \(\overrightarrow{HG}=-2\overrightarrow{HC}\).

Exercice 28

\(ABC\) triangle et \(G\) point tel que \(2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{GB}\).

1) Montrer que \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1);(C;2)\}\) lorsque \(2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{GB}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{GB}\), donc \(-\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}=\vec0\).

🔢 Étape 2 : C’est \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{GC}=\vec0\).

✅ \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1);(C;2)\}\) (somme \(4\)).

2) Construire \(G\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I\) milieu de \([AB]\) : \(\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1)\}=(I;2)\).

🔢 Étape 2 : \(G=\mathrm{Bar}\{(I;2);(C;2)\}\).

✅ \(G\) est le milieu de \([IC]\).

Exercice 29

Construire le barycentre \(G\) de \(\{(A;2);(B;-3);(C;5)\}\) en utilisant l’associativité.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme \(4\). \(H=\mathrm{Bar}\{(B;-3);(C;5)\}\) : somme \(2\), \(\overrightarrow{BH}=\frac52\overrightarrow{BC}\).

🔢 Étape 2 : \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(H;2)\}\).

✅ \(G\) est le milieu de \([AH]\), avec \(\overrightarrow{BH}=\frac52\overrightarrow{BC}\).

Exercice 30

1) \(G\) centre de gravité de \(ABC\), \(I\) milieu de \([BC]\) : montrer que \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(I;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1);(C;1)\}\) et \(\mathrm{Bar}\{(B;1);(C;1)\}=(I;2)\) : on remplace \((B;1),(C;1)\) par \((I;2)\).

✅ \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(I;2)\}\), donc \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}\).

2) \(G’=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;1);(C;1)\}\) : où est \(G’\) sur \((AI)\) ?

Correction détaillée

🔢 \(G’=\mathrm{Bar}\{(A;2);(I;2)\}\) (car \((B;1),(C;1)\) équivalent à \((I;2)\)).

✅ \(G’\) est le milieu de \([AI]\).

Exercice 31

Le centre de gravité comme isobarycentre.

1) \(G\) centre de gravité de \(ABC\), \(A’\) milieu de \([BC]\) : quelle égalité vectorielle lie \(\overrightarrow{GA}\) et \(\overrightarrow{GA’}\) ?

Correction détaillée

🔢 \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(A’;2)\}\) : \(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GA’}=\vec0\).

✅ \(\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GA’}\).

2.a) Prouver \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GA’}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA’}+\overrightarrow{A’B}+\overrightarrow{GA’}+\overrightarrow{A’C}=2\overrightarrow{GA’}+\vec0\).

✅ Vrai (\(A’\) milieu de \([BC]\)).

2.b) En déduire : \(G\) centre de gravité \(\iff\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GA’}\), nul si et seulement si \(\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GA’}\), c’est-à-dire \(G\) au tiers de \([AA’]\) : c’est le centre de gravité.

✅ Équivalence démontrée (le centre de gravité est l’isobarycentre).

3) Interprétation physique et traduction en barycentre.

Correction détaillée

🔢 Trois masses égales aux sommets : le point d’équilibre est \(G\), centre d’inertie du système.

✅ \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\) signifie \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1);(C;1)\}\).

Exercice 32

1) \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;4);(C;-3)\}\). Construire \(I=\mathrm{Bar}\{(B;4);(C;-3)\}\).

Correction détaillée

🔢 Somme \(1\) ; \(\overrightarrow{BI}=\frac{-3}{1}\overrightarrow{BC}=-3\overrightarrow{BC}\).

✅ \(I\) est sur \((BC)\), du côté de \(B\) opposé à \(C\), avec \(BI=3\,BC\).

2) Montrer que \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GI}=\vec0\) ; position de \(G\) sur \((AI)\).

Correction détaillée

🔢 \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(I;1)\}\) (poids de \(I\) : \(4-3=1\)).

✅ \(G\) est le milieu de \([AI]\).

Exercice 33

1) \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;1);(C;1)\}\), \(I\) milieu de \([BC]\) : démontrer \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{GI}\).

✅ Démontré.

2) En déduire que \(G\) est barycentre de \(A\) et \(I\).

Correction détaillée

🔢 \(2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\Rightarrow2\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GI}=\vec0\).

✅ \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(I;2)\}\) (ou \((A;1),(I;1)\)).

3) Conclure.

Correction détaillée

🔢 Poids égaux.

✅ \(G\) est le milieu de \([AI]\), au milieu de la médiane issue de \(A\).

Exercice 34

\(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;-3);(C;2)\}\), \(I\) milieu de \([AC]\) : montrer que \(4\overrightarrow{IG}-3\overrightarrow{BG}=\vec0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Réduction avec \(M=I\) : \(2\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=(2-3+2)\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IG}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=\vec0\), donc \(-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IG}\).

🔢 Étape 3 : \(4\overrightarrow{IG}-3\overrightarrow{BG}=4\overrightarrow{IG}-3(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IG})=\overrightarrow{IG}+3\overrightarrow{IB}\).

✅ \(\overrightarrow{IG}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IG}-(-3\overrightarrow{IB})=\vec0\) ✓.

Exercice 35

Un carré et trois barycentres.

1) \(ABCD\) carré, \(K=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;-1);(C;2);(D;1)\}\), \(I=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;-1)\}\), \(J=\mathrm{Bar}\{(C;2);(D;1)\}\). Placer \(I\) et \(J\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I\) : somme \(1\), \(\overrightarrow{AI}=\frac{-1}{1}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}\) : \(I\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\).

🔢 Étape 2 : \(J\) : somme \(3\), \(\overrightarrow{CJ}=\frac13\overrightarrow{CD}\).

✅ \(I\) symétrique de \(B\) par rapport à \(A\) ; \(J\in[CD]\) au tiers de \([CD]\) à partir de \(C\).

2) Écrire \(2\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KB}\) et \(2\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}\) en fonction de \(\overrightarrow{KI}\) et \(\overrightarrow{KJ}\) ; en déduire que \(K=\mathrm{Bar}\{(I;1);(J;3)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{KI}\) (somme \(1\)) ; \(2\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}=3\overrightarrow{KJ}\) (somme \(3\)).

🔢 Étape 2 : \(K\) vérifie \(2\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}=\vec0\), soit \(\overrightarrow{KI}+3\overrightarrow{KJ}=\vec0\).

✅ \(K=\mathrm{Bar}\{(I;1);(J;3)\}\), donc \(\overrightarrow{IK}=\frac34\overrightarrow{IJ}\).

3) Construire \(K\). Dans \(R(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\) avec \(A(1;2)\), \(B(2;3)\) (repère donné), calculer \(I\).

Correction détaillée

⚠️ Les données numériques « \(A(1;2)\), \(B(2;3)\) » viennent d’une question séparée de la série de Benmoussa : traitées comme coordonnées dans un repère quelconque.

🔢 Étape 1 : \(K\in[IJ]\) aux trois quarts à partir de \(I\).

🔢 Étape 2 : Avec \(A(1;2)\), \(B(2;3)\) : \(I=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;-1)\}\) : \(x_I=2\cdot1-2=0\), \(y_I=2\cdot2-3=1\).

✅ \(K\) placé ainsi ; \(I(0;1)\).

Exercice 36

\(ABCD\) quadrilatère convexe.

1) \(H=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;5);(C;-1)\}\), \(K=\mathrm{Bar}\{(B;5);(C;-1);(D;-6)\}\), \(E=\mathrm{Bar}\{(C;-1);(B;5)\}\). Montrer que \(\overrightarrow{BE}=-\frac14\overrightarrow{BC}\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan ne laisse pas lire le poids de \(D\) dans \(K\) : on retient \(-6\) (cohérent avec la question 3 : \(K=\mathrm{Bar}\{(D;-3);(E;2)\}\)).

🔢 Somme \(4\) ; \(\overrightarrow{BE}=\frac{-1}{4}\overrightarrow{BC}\) (le poids de \(C\) sur la somme).

✅ \(\overrightarrow{BE}=-\frac14\overrightarrow{BC}\) : \(E\) sur \((BC)\), à l’extérieur de \([BC]\), côté \(B\), à \(\frac14BC\).

2) Montrer que \(H=\mathrm{Bar}\{(A;1);(E;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(H=\mathrm{Bar}\{(A;2);(E;4)\}\) car \((B;5),(C;-1)\) équivalent à \((E;4)\).

✅ \(H=\mathrm{Bar}\{(A;1);(E;2)\}\) (division des poids par \(2\)).

3) Montrer que \(K=\mathrm{Bar}\{(D;-3);(E;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(K=\mathrm{Bar}\{(E;4);(D;-6)\}\) (somme \(-2\)), poids divisés par \(2\).

✅ \(K=\mathrm{Bar}\{(D;-3);(E;2)\}\).

4.a) Montrer que \(D=\mathrm{Bar}\{(K;1);(E;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(K=\frac{-3D+2E}{-1}=3D-2E\) donc \(D=\frac{K+2E}3\).

✅ \(D=\mathrm{Bar}\{(K;1);(E;2)\}\).

4.b) En déduire \((AK)\parallel(DH)\).

Correction détaillée

🔢 \(H=\frac{A+2E}3\), \(D=\frac{K+2E}3\) : \(\overrightarrow{DH}=\frac{A-K}3=\frac13\overrightarrow{KA}\).

✅ \(\overrightarrow{DH}\) et \(\overrightarrow{KA}\) sont colinéaires : \((AK)\parallel(DH)\).

Exercice 37

1) \(AI=\frac23AB\) (\(I\in[AB]\)), \(K\) symétrique de \(A\) par rapport à \(C\), \(J\) milieu de \([BC]\). Exprimer \(I,J,K\) comme barycentres.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;2)\}\) (\(\overrightarrow{AI}=\frac23\overrightarrow{AB}\)).

🔢 Étape 2 : \(J=\mathrm{Bar}\{(B;1);(C;1)\}\).

🔢 Étape 3 : \(C\) milieu de \([AK]\) : \(K=2C-A\), donc \(K=\mathrm{Bar}\{(A;-1);(C;2)\}\).

✅ \(I=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;2)\}\), \(J=\mathrm{Bar}\{(B;1);(C;1)\}\), \(K=\mathrm{Bar}\{(A;-1);(C;2)\}\).

2) Quel est le barycentre des points \((A;1),(B;2),(B;-2),(C;-2)\) ?

Correction détaillée

⚠️ Système lu : \((A;1),(B;2),(B;-2),(C;-2)\) (scan peu net).

🔢 Étape 1 : Les poids de \(B\) se compensent : \(\mathrm{Bar}\{(A;1);(C;-2)\}=\mathrm{Bar}\{(A;-1);(C;2)\}=K\).

🔢 Étape 2 : En regroupant autrement : \((A;1),(B;2)\to(I;3)\) et \((B;-2),(C;-2)\to(J;-4)\) : le barycentre est \(\mathrm{Bar}\{(I;3);(J;-4)\}\).

✅ C’est \(K\), et aussi \(\mathrm{Bar}\{(I;3);(J;-4)\}\).

3) Montrer que \(I,J,K\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 \(K=\mathrm{Bar}\{(I;3);(J;-4)\}\) d’après la question 2 : \(K\) est sur la droite \((IJ)\).

✅ \(I,J,K\) sont alignés (avec \(\overrightarrow{IK}=4\overrightarrow{IJ}\)).

Exercice 38

1) \(ABCD\) carré, \(I,J\) milieux de \([BC],[CD]\), \(\overrightarrow{AM}=\frac14\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AN}=\frac14\overrightarrow{AD}\). Déterminer les barycentres de \(\{(A;3);(B;1)\}\) et \(\{(A;3);(D;1)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AG_1}=\frac14\overrightarrow{AB}\) pour \(G_1=\mathrm{Bar}\{(A;3);(B;1)\}\) ; idem pour \(D\).

✅ \(M=\mathrm{Bar}\{(A;3);(B;1)\}\) et \(N=\mathrm{Bar}\{(A;3);(D;1)\}\).

2) \(G=\mathrm{Bar}\{(A;3);(B;1);(C;1);(D;1)\}\) : montrer que \(G\) existe (somme \(6\)).

Correction détaillée

🔢 \(3+1+1+1=6\neq0\).

✅ \(G\) existe.

3) Montrer que \((MJ)\), \((NI)\), \((AC)\) sont concourantes en \(G\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((A;3),(B;1)\to(M;4)\) et \((C;1),(D;1)\to(J;2)\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(M;4);(J;2)\}\in(MJ)\).

🔢 Étape 2 : \((A;3),(D;1)\to(N;4)\) et \((B;1),(C;1)\to(I;2)\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(N;4);(I;2)\}\in(NI)\).

🔢 Étape 3 : \((B;1),(D;1)\to(O;2)\), \(O\) centre du carré, \(O\in(AC)\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(A;3);(C;1);(O;2)\}\), trois points alignés sur \((AC)\).

✅ Les trois droites passent par \(G\).

Exercice 39

1) \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;3);(C;-3)\}\) : démontrer \(\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{CB}\) et la position de \((AG)\) par rapport à \((BC)\).

Correction détaillée

⚠️ Même exercice dans les séries Atmani et Benmoussa (fusionnés).

🔢 Étape 1 : Somme \(1\) : \(\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{CB}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{CB}\) sont colinéaires et \(A\notin(BC)\).

✅ \(\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{CB}\) : \((AG)\) est parallèle à \((BC)\) (et distincte).

2) Pour \(A(1;2)\), \(B(2;3)\), \(C(-4;5)\) : coordonnées de \(G\).

Correction détaillée

🔢 \(x_G=1+3(2)-3(-4)=1+6+12=19\) ; \(y_G=2+9-15=-4\).

✅ \(G(19;-4)\) ; contrôle : \(\overrightarrow{AG}(18;-6)=3\overrightarrow{CB}(6;-2)\) ✓.

Exercice 40

\(A’=\mathrm{Bar}\{(B;2);(C;-3)\}\), \(B’=\mathrm{Bar}\{(A;5);(C;-3)\}\), \(C’=\mathrm{Bar}\{(A;5);(B;2)\}\). Montrer que \((AA’)\), \((BB’)\), \((CC’)\) sont concourantes.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(G=\mathrm{Bar}\{(A;5);(B;2);(C;-3)\}\) (somme \(4\)).

🔢 Étape 2 : \(G=\mathrm{Bar}\{(A;5);(A’;-1)\}\) car \((B;2),(C;-3)\to(A’;-1)\) : \(G\in(AA’)\).

🔢 Étape 3 : De même \(G=\mathrm{Bar}\{(B;2);(B’;2)\}\in(BB’)\) et \(G=\mathrm{Bar}\{(C;-3);(C’;7)\}\in(CC’)\).

✅ Les trois droites sont concourantes en \(G\).

Exercice 41

1) \(G\) centre de gravité, \(\overrightarrow{AP}=\frac13\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AQ}=\frac23\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AR}=\frac13\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AS}=\frac23\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BU}=\frac13\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{BV}=\frac23\overrightarrow{BC}\). Montrer que \(P=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;1)\}\) et \(V=\mathrm{Bar}\{(C;2);(B;1)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\iff P=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;1)\}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{BV}=\frac23\overrightarrow{BC}\iff V=\mathrm{Bar}\{(B;1);(C;2)\}\).

✅ Résultat établi.

2) En déduire que \(G\) est le milieu de \([PV]\).

Correction détaillée

🔢 \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;2);(C;2)\}\) ; \((A;2),(B;1)\to(P;3)\) et \((B;1),(C;2)\to(V;3)\) : \(B\) a bien le poids \(2\) au total.

✅ \(G=\mathrm{Bar}\{(P;3);(V;3)\}\) : milieu de \([PV]\).

3) Montrer de même que \(G\) est le milieu de \([RU]\) et de \([SQ]\) ; \(RPUV\) est-il un parallélogramme ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(R=\mathrm{Bar}\{(A;2);(C;1)\}\), \(U=\mathrm{Bar}\{(B;2);(C;1)\}\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(R;3);(U;3)\}\).

🔢 Étape 2 : \(S=\mathrm{Bar}\{(A;1);(C;2)\}\), \(Q=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;2)\}\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(S;3);(Q;3)\}\).

🔢 Étape 3 : Les diagonales \([RU]\) et \([PV]\) de \(RPUV\) ont le même milieu \(G\).

✅ \(RPUV\) est un parallélogramme.

Exercice 42

\(\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{GB}-3\overrightarrow{GC}=\vec0\) : \(G\) est-il le barycentre de \((A;5),(B;1),(C;3)\) ?

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}\) : \(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}-4\overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{GB}-3\overrightarrow{GC}=-5\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-3\overrightarrow{GC}=\vec0\).

✅ \(5\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}=\vec0\), somme \(9\neq0\) : oui, \(G=\mathrm{Bar}\{(A;5);(B;1);(C;3)\}\).

Exercice 43

\(ABCD\) quadrilatère : construire \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1);(C;3);(D;3)\}\) et expliquer.

Correction détaillée

⚠️ La figure de l’exercice voisin (construction de \(G\) pour \((A;1),(B;3),(C;1),(D;1)\)) n’est pas lisible ; seule la méthode est donnée.

🔢 Étape 1 : Somme \(8\neq0\).

🔢 Étape 2 : \(I\) milieu de \([AB]\) : \((A;1),(B;1)\to(I;2)\). \(J\) milieu de \([CD]\) : \((C;3),(D;3)\to(J;6)\).

🔢 Étape 3 : \(G=\mathrm{Bar}\{(I;2);(J;6)\}\).

✅ \(G\) est sur \([IJ]\) avec \(\overrightarrow{IG}=\frac34\overrightarrow{IJ}\). (Même principe pour \(\{(A;1),(B;3),(C;1),(D;1)\}\) en regroupant \((A;1),(C;1)\to(\text{milieu};2)\), puis le reste.)

Exercice 44

\(E\) milieu de \([AB]\), \(G=\mathrm{Bar}\{(A;-2);(B;-2);(C;15)\}\). Démontrer que \(G,C,E\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme \(11\neq0\).

🔢 Étape 2 : \((A;-2),(B;-2)\to(E;-4)\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(E;-4);(C;15)\}\).

✅ \(G\in(EC)\) : \(G,C,E\) alignés.

Exercice 45

1) \(ABCD\) quadrilatère, \(G\) son isobarycentre, \(I\) milieu de \([AC]\), \(J\) milieu de \([BD]\) : montrer que \(G=\mathrm{Bar}\{(I;2);(J;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1);(C;1);(D;1)\}\) ; \((A;1),(C;1)\to(I;2)\) ; \((B;1),(D;1)\to(J;2)\).

✅ \(G=\mathrm{Bar}\{(I;2);(J;2)\}\).

2) Conclure et faire une figure.

Correction détaillée

🔢 Poids égaux.

✅ \(G\) est le milieu de \([IJ]\) (milieu du segment joignant les milieux des diagonales).

3) Si \(ABCD\) est un parallélogramme ?

Correction détaillée

🔢 Les diagonales se coupent en leur milieu : \(I=J=O\).

✅ \(G=O\) : le centre du parallélogramme.

Exercice 46

1) \(Y\) milieu de \([BC]\). Placer \(U=\mathrm{Bar}\{(A;4);(C;1)\}\), puis \(E=\mathrm{Bar}\{(A;4);(B;1)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AU}=\frac15\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{AE}=\frac15\overrightarrow{AB}\).

✅ \(U\) au cinquième de \([AC]\) et \(E\) au cinquième de \([AB]\) à partir de \(A\).

2) \(G=\mathrm{Bar}\{(A;4);(B;1);(C;1)\}\) : montrer que \(G=\mathrm{Bar}\{(E;5);(C;1)\}\).

Correction détaillée

🔢 \((A;4),(B;1)\to(E;5)\).

✅ \(G=\mathrm{Bar}\{(E;5);(C;1)\}\).

3) Démontrer que \((EC)\), \((AY)\), \((BU)\) sont concourantes.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((EC)\ni G\) (question 2).

🔢 Étape 2 : \((B;1),(C;1)\to(Y;2)\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(A;4);(Y;2)\}\in(AY)\).

🔢 Étape 3 : \((A;4),(C;1)\to(U;5)\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(B;1);(U;5)\}\in(BU)\).

✅ Les trois droites passent par \(G\).

Exercice 47

1) \(G\) centre de gravité de \(ABC\), \(I,J\) milieux de \([AB],[BC]\), \(L=\mathrm{Bar}\{(A;1);(D;3)\}\), \(K=\mathrm{Bar}\{(C;1);(D;3)\}\), \(H=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;1);(C;1);(D;3)\}\). Placer \(L\) et \(K\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AL}=\frac34\overrightarrow{AD}\) ; \(\overrightarrow{CK}=\frac34\overrightarrow{CD}\).

✅ \(L\) aux trois quarts de \([AD]\) depuis \(A\) ; \(K\) aux trois quarts de \([CD]\) depuis \(C\).

2) \(H\) est le barycentre de \(G\) et \(D\).

Correction détaillée

🔢 \((A;1),(B;1),(C;1)\to(G;3)\).

✅ \(H=\mathrm{Bar}\{(G;3);(D;3)\}\) : milieu de \([GD]\).

3) \(H\) est le barycentre de \(J\) et \(L\).

Correction détaillée

🔢 \((B;1),(C;1)\to(J;2)\) ; \((A;1),(D;3)\to(L;4)\).

✅ \(H=\mathrm{Bar}\{(J;2);(L;4)\}\).

4) \(H\) est le barycentre de \(I\) et \(K\).

Correction détaillée

🔢 \((A;1),(B;1)\to(I;2)\) ; \((C;1),(D;3)\to(K;4)\).

✅ \(H=\mathrm{Bar}\{(I;2);(K;4)\}\).

5) Conclure.

Correction détaillée

🔢 \(H\in(DG)\cap(JL)\cap(IK)\).

✅ Les droites \((IK)\), \((JL)\), \((DG)\) sont concourantes en \(H\).

Exercice 48

1) \(2\overrightarrow{BI}=3\overrightarrow{BC}\) : montrer que \(I=\mathrm{Bar}\{(B;\frac12);(C;-\frac32)\}\).

Correction détaillée

⚠️ Données : \(2\overrightarrow{BI}=3\overrightarrow{BC}\), \(8\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{CA}\), \(5\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AB}\).

🔢 \(\overrightarrow{BI}=\frac32\overrightarrow{BC}\) : pour \(\mathrm{Bar}\{(B;b);(C;c)\}\), \(\overrightarrow{BI}=\frac{c}{b+c}\overrightarrow{BC}\) ; avec \(b=\frac12\), \(c=-\frac32\) on a \(\frac{-3/2}{-1}=\frac32\) ✓.

✅ \(I=\mathrm{Bar}\{(B;\frac12);(C;-\frac32)\}\).

2.a) Dans \(R(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\), déterminer les coordonnées de \(J\).

Correction détaillée

🔢 \(B(1;0)\), \(C(0;1)\) ; \(\overrightarrow{CJ}=\frac18\overrightarrow{CA}\), donc \(J=(0;1)+\frac18(0;-1)=\left(0;\frac78\right)\).

✅ \(J\left(0;\frac78\right)\) (avec \(3\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{CA}\) on aurait \(J\left(0;\frac23\right)\), voir remarque).

2.b) Équation cartésienne de \((IK)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I=B+\frac32\overrightarrow{BC}=\left(-\frac12;\frac32\right)\) ; \(K=\frac25\overrightarrow{AB}=\left(\frac25;0\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{IK}\left(\frac9{10};-\frac32\right)\), pente \(-\frac53\) ; \(y=-\frac53\left(x-\frac25\right)\).

✅ \((IK):\ 5x+3y-2=0\).

2.c) Montrer que \(I,J,K\) sont alignés.

Correction détaillée

⚠️ Avec \(8\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{CA}\) tel que lu sur le scan, \(I,J,K\) ne sont PAS alignés ; l’énoncé vise vraisemblablement \(3\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{CA}\).

🔢 Étape 1 : Test de \(J\) dans \(5x+3y-2=0\) : \(5\times0+3\times\frac78-2=\frac58\neq0\) si \(J\left(0;\frac78\right)\).

🔢 Étape 2 : Avec \(3\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{CA}\) : \(J\left(0;\frac23\right)\) et \(5\cdot0+3\cdot\frac23-2=0\) ✓.

✅ Les points \(I,J,K\) sont alignés exactement lorsque \(3\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{CA}\) (c’est certainement la valeur voulue).

Exercice 49

1) \(G\) centre de gravité de \(ABC\), \(I\) milieu de \([BC]\), \((\Delta)\parallel(BC)\) par \(G\) coupe \((AC)\) en \(E\), \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}\). Montrer \(\overrightarrow{AE}=\frac23\overrightarrow{AC}\) et trouver \(a,c\) avec \(E=\mathrm{Bar}\{(A;a);(C;c)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Dans le triangle \(AIC\), \(G\in[AI]\), \(E\in[AC]\) et \((GE)\parallel(IC)\) (car \((\Delta)\parallel(BC)\)) ; Thalès : \(\frac{AE}{AC}=\frac{AG}{AI}=\frac23\), donc \(\overrightarrow{AE}=\frac23\overrightarrow{AC}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AE}=\frac c{a+c}\overrightarrow{AC}=\frac23\) donne \(a=1,\ c=2\).

✅ \(E=\mathrm{Bar}\{(A;1);(C;2)\}\).

2) Montrer que \(B=\mathrm{Bar}\{(A;1);(D;1)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}\) : \(B\) milieu de \([AD]\).

✅ \(B=\mathrm{Bar}\{(A;1);(D;1)\}\).

3.a) Montrer que \(I=\mathrm{Bar}\{(A;1);(D;1);(C;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 \((A;1),(D;1)\to(B;2)\) ; \(\mathrm{Bar}\{(B;2);(C;2)\}\) est le milieu de \([BC]\).

✅ \(I=\mathrm{Bar}\{(A;1);(D;1);(C;2)\}\).

3.b) En déduire que \(I,D,E\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 \((A;1),(C;2)\to(E;3)\) : \(I=\mathrm{Bar}\{(D;1);(E;3)\}\).

✅ \(I\in(DE)\) : \(I,D,E\) alignés.

Exercice 50

1) \(I=\mathrm{Bar}\{(A;2);(C;1)\}\), \(J=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;2)\}\), \(K=\mathrm{Bar}\{(C;1);(B;-4)\}\). Construire \(I,J,K\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AI}=\frac13\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{AJ}=\frac23\overrightarrow{AB}\) ; somme \(-3\) : \(\overrightarrow{CK}=\frac{-4}{-3}\overrightarrow{CB}=\frac43\overrightarrow{CB}\).

✅ \(K\) sur \((BC)\) tel que \(CK=\frac43CB\) (au-delà de \(B\)).

2) Montrer que \(B=\mathrm{Bar}\{(K;3);(C;1)\}\).

Correction détaillée

🔢 \(K=\frac{C-4B}{-3}\Rightarrow3K=-C+4B\Rightarrow B=\frac{3K+C}4\).

✅ \(B=\mathrm{Bar}\{(K;3);(C;1)\}\).

3.a) \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(K;3);(C;1)\}\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(I;3);(K;3)\}\).

Correction détaillée

🔢 \((A;2),(C;1)\to(I;3)\).

✅ Vrai.

3.b) Position de \(J\) par rapport à \([KI]\).

Correction détaillée

🔢 \(G\) est le milieu de \([IK]\) (poids égaux) ; voir 3.c).

✅ \(G\) est le milieu de \([KI]\) et on va voir que \(J=G\).

3.c) Montrer que \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;4)\}\).

Correction détaillée

🔢 \((K;3),(C;1)\to(B;4)\) d’après la question 2.

✅ \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;4)\}=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;2)\}\).

3.d) En déduire \(G=J\).

Correction détaillée

🔢 \(J=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;2)\}\).

✅ \(G=J\) : \(J\) est le milieu de \([IK]\).

Exercice 51

1) \(G\) centre de gravité de \(ABC\), \(G’\) symétrique de \(G\) par rapport au milieu \(A’\) de \([BC]\). Montrer que \(G\) est le milieu de \([G’A]\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GA’}\) et \(\overrightarrow{GG’}=2\overrightarrow{GA’}\) (\(A’\) milieu de \([GG’]\)).

✅ \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GG’}\) : \(G\) est le milieu de \([AG’]\).

2) Justifier \(\overrightarrow{G’G}=\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{G’C}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{G’C}=2\overrightarrow{G’A’}=\overrightarrow{G’G}\) (\(A’\) milieu de \([BC]\) et de \([GG’]\)).

✅ Justifié (le quadrilatère \(BGCG’\) est un parallélogramme).

3) Exprimer \(\overrightarrow{G’A}\) en fonction de \(\overrightarrow{G’B}\) et \(\overrightarrow{G’C}\) ; en déduire que \(G’\) est un barycentre de \(A,B,C\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{G’A}=2\overrightarrow{G’G}=2\overrightarrow{G’B}+2\overrightarrow{G’C}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(\overrightarrow{G’A}-2\overrightarrow{G’B}-2\overrightarrow{G’C}=\vec0\).

✅ \(G’=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;-2);(C;-2)\}\) (somme \(-3\neq0\)).

Exercice 52

Trois points : construction.

1) Construire \(G=\mathrm{Bar}\{(A;\alpha);(B;\beta);(C;\gamma)\}\) : \((3,2,1)\) ; \((1,-1,-3)\) ; \((\frac12,-\frac13,-\frac16)\) ; \((2,1,2)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((3,2,1)\) : \(H=\mathrm{Bar}\{(A;3);(B;2)\}\), \(\overrightarrow{AH}=\frac25\overrightarrow{AB}\) ; \(G=\mathrm{Bar}\{(H;5);(C;1)\}\), \(\overrightarrow{HG}=\frac16\overrightarrow{HC}\).

🔢 Étape 2 : \((1,-1,-3)\) : somme \(-3\). \(H=\mathrm{Bar}\{(B;-1);(C;-3)\}\) (somme \(-4\)) : \(\overrightarrow{BH}=\frac34\overrightarrow{BC}\) ; \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(H;-4)\}\) : \(\overrightarrow{AG}=\frac{-4}{-3}\overrightarrow{AH}=\frac43\overrightarrow{AH}\).

🔢 Étape 3 : \((\frac12,-\frac13,-\frac16)\) : somme \(\frac12-\frac13-\frac16=0\) : le barycentre n’existe pas.

🔢 Étape 4 : \((2,1,2)\) : \(H=\mathrm{Bar}\{(A;2);(C;2)\}\) milieu de \([AC]\) ; \(G=\mathrm{Bar}\{(H;4);(B;1)\}\) : \(\overrightarrow{HG}=\frac15\overrightarrow{HB}\).

✅ Constructions : voir ci-dessus ; le troisième système n’a pas de barycentre.

Exercice 53

1) \(I=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;1)\}\), \(J=\mathrm{Bar}\{(B;1);(C;-2)\}\), \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;1);(C;-2)\}\). Pourquoi \(A,J,G\) puis \(C,I,G\) sont-ils alignés ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Associativité : \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(J;-1)\}\) (poids de \(J\) : \(1-2=-1\)) donc \(G\in(AJ)\).

🔢 Étape 2 : \(G=\mathrm{Bar}\{(I;3);(C;-2)\}\) donc \(G\in(CI)\).

✅ \(A,J,G\) sont alignés et \(C,I,G\) sont alignés (théorème d’associativité).

2) En déduire que \(G=(AJ)\cap(CI)\).

Correction détaillée

🔢 \(G\) est sur les deux droites, qui sont sécantes.

✅ \(G\) est le point d’intersection de \((AJ)\) et \((CI)\).

3) Montrer que \((BG)\parallel(AC)\).

Correction détaillée

🔢 \(2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC}=\vec0\Rightarrow\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GC}-2\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{AC}\).

✅ \(\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{AC}\) : \((BG)\parallel(AC)\).

Exercice 54

1) Existence de \(G\) : rectangle \((A;-1),(B;2),(C;2),(D;2)\) ; parallélogramme \((A;2),(B;-3),(C;2),(D;2)\) ; quadrilatère \((A;-1),(B;3),(C;2),(D;2)\).

Correction détaillée

🔢 Sommes : \(5\), \(3\), \(6\), toutes non nulles.

✅ \(G\) existe dans les trois cas (coordonnées en partie III).

Exercice 55

La droite d’Euler.

1) \(O\) centre du cercle circonscrit à \(ABC\), \(A’\) milieu de \([BC]\), \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) \([1]\). Montrer \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA’}\) \([2]\).

Correction détaillée

🔢 \(A’\) milieu de \([BC]\).

✅ Relation du milieu : \([2]\) ✓.

2) Déduire de \([1]\) et \([2]\) que \(\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA’}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OA’}\), donc \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}\).

✅ \(\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA’}\).

3) En déduire que \(H\) est sur la hauteur issue de \(A\).

Correction détaillée

🔢 \(O\) équidistant de \(B\) et \(C\) : \(O\) est sur la médiatrice de \([BC]\), donc \((OA’)\perp(BC)\). Comme \(\overrightarrow{AH}\parallel\overrightarrow{OA’}\), \((AH)\perp(BC)\).

✅ \(H\) est sur la hauteur issue de \(A\) (et de même sur celles issues de \(B\) et \(C\), par symétrie des rôles).

4) Reconnaître \(H\).

Correction détaillée

🔢 \(H\) appartient aux trois hauteurs.

✅ \(H\) est l’orthocentre de \(ABC\).

5) \(G\) centre de gravité : \(O,G,H\) alignés et \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\).

Correction détaillée

🔢 \(G\) isobarycentre : pour tout \(M\), \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\) ; avec \(M=O\) : \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}\).

✅ \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\) : \(O,G,H\) alignés (droite d’Euler).

Exercice 56

Dans l’espace : une pyramide.

1) Pyramide \(ABCDE\) de base carrée \(BCDE\), \(G\) isobarycentre de \(A,B,C,D,E\), \(O\) centre du carré. Montrer que \(O\) est l’isobarycentre de \(B,C,D,E\).

Correction détaillée

🔢 \(O\) milieu de \([BD]\) et de \([CE]\) : \((B;1),(D;1)\to(O;2)\) et \((C;1),(E;1)\to(O;2)\).

✅ \(\mathrm{Bar}\{(B;1);(C;1);(D;1);(E;1)\}=\mathrm{Bar}\{(O;2);(O;2)\}=O\).

2) Montrer que \(G=\mathrm{Bar}\{(O;4);(A;1)\}\).

Correction détaillée

🔢 \((B;1),(C;1),(D;1),(E;1)\to(O;4)\).

✅ \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(O;4)\}\), \(\overrightarrow{AG}=\frac45\overrightarrow{AO}\).

3) \(G_1\) centre de gravité de \(ABE\), \(I\) milieu de \([CD]\) : montrer que \(G\in(G_1I)\).

Correction détaillée

🔢 \((A;1),(B;1),(E;1)\to(G_1;3)\) et \((C;1),(D;1)\to(I;2)\).

✅ \(G=\mathrm{Bar}\{(G_1;3);(I;2)\}\) : \(G\in(G_1I)\).

Exercice 57

Dans l’espace : un tétraèdre.

1) \(ABCD\) tétraèdre, \(G=\mathrm{Bar}\{(A;4);(B;1);(C;1);(D;1)\}\), \(H\) centre de gravité de \(BCD\). Montrer que \(G=\mathrm{Bar}\{(H;3);(A;4)\}\).

Correction détaillée

🔢 \((B;1),(C;1),(D;1)\to(H;3)\).

✅ \(G=\mathrm{Bar}\{(A;4);(H;3)\}\).

2) Situer \(G\) sur \((AH)\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AG}=\frac37\overrightarrow{AH}\).

✅ \(G\) est sur le segment \([AH]\), aux trois septièmes à partir de \(A\).

Exercice 58

1) \(E,F\) deux points, \(E\notin(AB)\), \(\overrightarrow{EG}=2\overrightarrow{EF}\), \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;-3)\}\). Montrer que \(G=\mathrm{Bar}\{(E;-1);(F;2)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Avec la relation de Chasles en \(G\) : \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GF}-\overrightarrow{GE}\) et \(\overrightarrow{EG}=-\overrightarrow{GE}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{EG}=2\overrightarrow{EF}\iff-\overrightarrow{GE}=2\overrightarrow{GF}-2\overrightarrow{GE}\iff\overrightarrow{GE}=2\overrightarrow{GF}\iff-\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=\vec0\).

✅ \(-\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=\vec0\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(E;-1);(F;2)\}\).

2) Montrer que \((EF)\) et \((AB)\) se coupent et déterminer le point d’intersection.

Correction détaillée

🔢 \(G\in(AB)\) (barycentre de \(A,B\)) et \(G\in(EF)\) (barycentre de \(E,F\)) ; \(E\notin(AB)\) donc les droites sont distinctes.

✅ \((EF)\) et \((AB)\) se coupent en \(G\).

Exercice 59

\(A(0;5)\), \(B(3;2)\) : déterminer l’ensemble \((C)\) des points \(M\) tels que \(\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\|=6\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Lignes de niveau : \(G=\mathrm{Bar}\{(A;a);(B;b)\}\), \(a+b\neq0\) : \(\|a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}\|=k\iff MG=\frac{k}{|a+b|}\) : cercle de centre \(G\) (vide si \(k<0\), réduit à \(\{G\}\) si \(k=0\)). Si \(a+b=0\), \(a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=b\overrightarrow{AB}\) est un vecteur constant. Autres cas : \(MA^2-MB^2=k\) : droite perpendiculaire à \((AB)\) ; \(MA^2+MB^2=k\) : cercle de centre \(I\) milieu de \([AB]\) (\(MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}2\)) ; \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k\) : cercle de centre \(I\) (\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\frac{AB^2}4\)) ; \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) : cercle de diamètre \([AB]\).

🔢 Étape 1 : \(1+2=3\neq0\) : \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MG}\) avec \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;2)\}=G(2;3)\).

🔢 Étape 2 : \(\|3\overrightarrow{MG}\|=6\iff MG=2\).

✅ \((C)\) est le cercle de centre \(G(2;3)\) et de rayon \(2\).

Exercice 60

Ensembles de points. \(V=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\) (\(ABC\) triangle).

1) \(V=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\) : réduire l’écriture de \(\vec V\) et montrer qu’il ne dépend pas de \(M\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme des poids \(2+1-3=0\).

🔢 Étape 2 : \(V=2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\).

✅ \(\vec V=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\), indépendant de \(M\).

2) \(K=\mathrm{Bar}\{(C;-3);(B;1)\}\) : montrer \(\vec V=2\overrightarrow{KA}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme \(-2\) : \(\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MK}\).

🔢 Étape 2 : \(\vec V=2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MK}=2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{KM})=2\overrightarrow{KA}\).

✅ \(\vec V=2\overrightarrow{KA}\) ✓.

3) \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;-1);(C;-3)\}\) : montrer que \(2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{GM}\).

Correction détaillée

🔢 Somme \(2-1-3=-2\neq0\) : \(2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MG}=2\overrightarrow{GM}\).

✅ Vrai pour tout \(M\).

4) Déduire l’ensemble des \(M\) tels que \(\|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\|=\|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\|\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit le second membre \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\) (c’est le vecteur \(\vec V\) de la question 1).

🔢 Étape 1 : Membre de gauche : \(2GM\). Membre de droite : \(\|\vec V\|=2KA\).

🔢 Étape 2 : Donc \(2GM=2KA\), soit \(GM=KA\).

✅ L’ensemble est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(KA\).

Exercice 61

\(ABC\) triangle, \(AC=6\), \(AB=5\), \(BC=4\).

a) \(AC=6\), \(AB=5\), \(BC=4\). Construire \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;2);(C;1)\}\).

Correction détaillée

🔢 \((A;1),(C;1)\to(H;2)\) avec \(H\) milieu de \([AC]\) ; \(G=\mathrm{Bar}\{(H;2);(B;2)\}\).

✅ \(G\) est le milieu de \([HB]\).

b) Ensemble \((E)\) des \(M\) tels que \(\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|=AC\).

Correction détaillée

🔢 Somme \(4\) : \(\|4\overrightarrow{MG}\|=6\).

✅ \((E)\) est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\frac64=\frac32\).

c) Ensemble \((F)\) des \(M\) tels que \(\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|=\|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MC}\|\).

Correction détaillée

⚠️ Second membre lu \(\|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MC}\|\) (scan peu net) ; l’ensemble se trouve par \(\|\vec u\|=\|\vec v\|\iff(\vec u-\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=0\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\) ; \(3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MC}=5\overrightarrow{MK}\) avec \(K=\mathrm{Bar}\{(A;3);(C;2)\}\).

🔢 Étape 2 : \(\|\vec u\|=\|\vec v\|\iff(\vec u-\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=0\) avec \(\vec u-\vec v=-2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MP}\) (\(P=\mathrm{Bar}\{(A;-2);(B;2);(C;-1)\}\), somme \(-1\)) et \(\vec u+\vec v=4\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=9\overrightarrow{MQ}\) (\(Q=\mathrm{Bar}\{(A;4);(B;2);(C;3)\}\), somme \(9\)).

🔢 Étape 3 : La condition devient \(\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MQ}=0\).

✅ \((F)\) est le cercle de diamètre \([PQ]\) (avec \(\overrightarrow{AP}=-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AQ}=\frac{2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}9\)).

Exercice 62

1) \(ABC\) isocèle en \(A\), \(BC=8\), \(BA=5\), \(I\) milieu de \([BC]\). Placer \(F\) tel que \(\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{BA}\) et montrer que \(F\) est barycentre de \(A,B\).

Correction détaillée

⚠️ Lecture : \(\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{BA}\).

🔢 \(F=\mathrm{Bar}\{(A;a);(B;b)\}\) : \(\overrightarrow{BF}=\frac{a}{a+b}\overrightarrow{BA}\). Il faut \(\frac a{a+b}=-1\), soit \(b=-2a\).

✅ \(F=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;-2)\}\) (somme \(-1\)) : \(F\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(B\).

2) Réduire (\(P\) quelconque) : \(\frac12\overrightarrow{PB}+\frac12\overrightarrow{PC}\) ; \(-\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}\) ; \(2\overrightarrow{PB}-2\overrightarrow{PA}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\frac12\overrightarrow{PB}+\frac12\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PI}\) (\(\frac12+\frac12=1\), barycentre \(I\)).

🔢 Étape 2 : \(-\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PF}\) car \(\overrightarrow{PA}-2\overrightarrow{PB}=-\overrightarrow{PF}\).

🔢 Étape 3 : \(2\overrightarrow{PB}-2\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{AB}\) (somme nulle : vecteur constant).

✅ \(\overrightarrow{PI}\) ; \(\overrightarrow{PF}\) ; \(2\overrightarrow{AB}\).

3) Déterminer l’ensemble des \(M\) tels que \(\|\frac12\overrightarrow{MB}+\frac12\overrightarrow{MC}\|=\|-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\|\).

Correction détaillée

🔢 D’après 2) : \(\|\overrightarrow{MI}\|=\|\overrightarrow{MF}\|\).

✅ \(MI=MF\) : la médiatrice du segment \([IF]\).

4) Déterminer l’ensemble des \(N\) tels que \(\|\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\|=\|2\overrightarrow{NB}-2\overrightarrow{NA}\|\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{NI}\) ; \(2\overrightarrow{NB}-2\overrightarrow{NA}=2\overrightarrow{AB}\).

🔢 Étape 2 : \(2NI=2AB\iff NI=AB=5\).

✅ Le cercle de centre \(I\) et de rayon \(5\).

Exercice 63

1) \(ABCD\) carré : ensemble \(E\) des \(M\) tels que \(\|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|=AB\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme \(2-1+1=2\neq0\) : \(\|2\overrightarrow{MG}\|=AB\) avec \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;-1);(C;1)\}\).

🔢 Étape 2 : Repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\) : \(G=\frac{2A-B+C}2=\left(\frac{0-1+1}2;\frac{0-0+1}2\right)=\left(0;\frac12\right)\), le milieu de \([AD]\).

✅ \(E\) est le cercle de centre \(G\) (milieu de \([AD]\)) et de rayon \(\frac{AB}2\), c’est-à-dire le cercle de diamètre \([AD]\).

2) Représenter \(E\).

Correction détaillée

🔢 Rayon \(\frac{AB}2\), centre au milieu de \([AD]\) : il passe par \(A\) et \(D\).

✅ Cercle de diamètre \([AD]\).

Exercice 64

1) \(ABC\) triangle de centre de gravité \(G\) : ensemble \(\Delta\) des \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\) soit colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\). Exprimer \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\) en fonction de \(\overrightarrow{MG}\).

Correction détaillée

🔢 \(G\) isobarycentre, somme \(3\).

✅ \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\).

2) Justifier : \(M\in\Delta\iff\overrightarrow{GM}\) colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\).

Correction détaillée

🔢 \(3\overrightarrow{MG}\) colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\iff\overrightarrow{GM}\) colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\) (on multiplie par le réel non nul \(-\frac13\)).

✅ Équivalence justifiée.

3) En déduire \(\Delta\) et la construire.

Correction détaillée

🔢 Les points \(M\) tels que \(\overrightarrow{GM}=t\overrightarrow{AB}\), \(t\in\mathbb R\).

✅ \(\Delta\) est la droite passant par \(G\) et parallèle à \((AB)\).

Exercice 65

1) \([AB]\) de longueur \(5\) cm. \(G=\mathrm{Bar}\{(A;2);(B;3)\}\) : réduire \(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\).

Correction détaillée

🔢 Somme \(5\).

✅ \(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{MG}\), avec \(AG=\frac35AB=3\) cm.

2) En déduire la nature de \(\Gamma=\{M\ ;\ \|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\|=10\}\) et la construire.

Correction détaillée

🔢 \(5MG=10\iff MG=2\).

✅ \(\Gamma\) est le cercle de centre \(G\) (\(AG=3\) cm) et de rayon \(2\) cm.

Exercice 66

1) \(ABC\) rectangle isocèle en \(A\), \(AB=4\), \(G=\mathrm{Bar}\{(A;-1);(B;1);(C;2)\}\) : réduire \(-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\).

Correction détaillée

🔢 Somme \(2\).

✅ \(-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MG}\).

2) Nature de \(\Gamma=\{M\ ;\ \|-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\|=4\}\).

Correction détaillée

🔢 \(2MG=4\iff MG=2\).

✅ \(\Gamma\) est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\).

3) Montrer que \(\Gamma\) passe par \(C\). Construire \(G\) puis \(\Gamma\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) en unités de \(4\) cm : \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(0;4)\) (repère orthonormé en cm car \(AB=AC=4\), \(\widehat A=90^\circ\)).

🔢 Étape 2 : \(G=\frac{-A+B+2C}{2}=\left(\frac{4}2;\frac{8}2\right)=(2;4)\).

🔢 Étape 3 : \(GC=\sqrt{(2-0)^2+(4-4)^2}=2\).

✅ \(G(2;4)\) et \(GC=2=\) rayon : \(C\in\Gamma\).

Exercice 67

1) \(ABC\) équilatéral de côté \(5\) : construire \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;-1);(C;1)\}\) et prouver que \(ABCG\) est un losange.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme \(1\) : \(\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BC}\) : \(ABCG\) est un parallélogramme (\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AG}\)) ; il a deux côtés consécutifs égaux (\(AB=BC=5\)).

✅ \(ABCG\) est un losange.

2) Ensemble \(\Gamma\) des \(M\) tels que \(\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|=\frac{5\sqrt3}2\).

Correction détaillée

🔢 Somme \(1\) : \(\|\overrightarrow{MG}\|=\frac{5\sqrt3}2\).

✅ \(\Gamma\) est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\frac{5\sqrt3}2\).

3) Vérifier que le milieu \(K\) de \([AC]\) appartient à \(\Gamma\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Les diagonales du losange se coupent en leur milieu : \(K\) est milieu de \([BG]\), donc \(GK=\frac12BG=BK\).

🔢 Étape 2 : \(BK\) est la médiane (hauteur) du triangle équilatéral : \(BK=\frac{5\sqrt3}2\).

✅ \(GK=\frac{5\sqrt3}2\) : \(K\in\Gamma\).

Exercice 68

1) \(ABC\) rectangle en \(A\), \(I\) milieu de \([BC]\), \(\Gamma\) le cercle de centre \(A\) passant par \(I\), \(G\) point de \(\Gamma\) diamétralement opposé à \(I\). Prouver que \(G=\mathrm{Bar}\{(A;4);(B;-1);(C;-1)\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A\) milieu de \([IG]\) : \(\overrightarrow{GI}=2\overrightarrow{GA}\).

🔢 Étape 2 : \(I\) milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}=2\times2\overrightarrow{GA}=4\overrightarrow{GA}\).

✅ \(4\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\vec0\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(A;4);(B;-1);(C;-1)\}\) (somme \(2\)).

2) Trouver \(b,c\) avec \(A=\mathrm{Bar}\{(G;2);(B;b);(C;c)\}\).

Correction détaillée

🔢 De \(4\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) : \(\overrightarrow{GA}=\frac{\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}}4\) ; en \(A\) : \(2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec0\).

✅ \(b=c=1\) : \(A=\mathrm{Bar}\{(G;2);(B;1);(C;1)\}\) (poids total \(4\)).

3) Ensemble des \(M\) tels que \(\|2\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|=2\|\overrightarrow{BC}\|\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 2) : \(2\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MA}\).

🔢 Étape 2 : \(4MA=2BC\iff MA=\frac{BC}2\). Dans un triangle rectangle en \(A\) : \(AI=\frac{BC}2\).

✅ C’est le cercle de centre \(A\) et de rayon \(\frac{BC}2=AI\), c’est-à-dire \(\Gamma\) lui-même.

Exercice 69

1) \(AB=4\), \((F)=\{M\ ;\ \frac{MA}{MB}=3\}\). Montrer \(M\in(F)\iff MA^2-9MB^2=0\).

Correction détaillée

🔢 \(MA=3MB\iff MA^2=9MB^2\) (distances positives), \(M\neq B\).

✅ \(M\in(F)\iff MA^2-9MB^2=0\) (avec \(M\neq B\)).

2) \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;3)\}\), \(K=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;-3)\}\) : \(M\in(F)\iff\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{MK}=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(MA^2-9MB^2=(\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})\) (identité remarquable sur les vecteurs).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MG}\) et \(\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MK}\).

🔢 Étape 3 : Produit : \(-8\,\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{MG}\).

✅ \(M\in(F)\iff\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{KM}=0\iff\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{MK}=0\).

3) En déduire \((F)\) et le tracer.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{MK}=0\) : cercle de diamètre \([GK]\).

🔢 Étape 2 : Sur la droite \((AB)\) graduée avec \(A=0\), \(B=4\) : \(G=3\) (\(\overrightarrow{AG}=\frac34\overrightarrow{AB}\)), \(K=6\) (\(\overrightarrow{AK}=\frac{-3}{-2}\overrightarrow{AB}=\frac32\overrightarrow{AB}\)). Centre : \(4{,}5\), rayon : \(1{,}5\).

✅ \((F)\) est le cercle de diamètre \([GK]\) (cercle d’Apollonius), de centre le milieu de \([GK]\) à \(4{,}5\) cm de \(A\) et de rayon \(1{,}5\) cm.

Exercice 70

1) \(AB=4\), \(I\) milieu de \([AB]\), \((E)=\{M\ ;\ \overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=4\}\), \(H=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;3)\}\). Montrer \(H\in(E)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AH}=\frac34\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}\) : \(\overrightarrow{IH}=\frac14\overrightarrow{AB}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{IH}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac14AB^2=\frac14\times16=4\).

✅ \(H\in(E)\).

2) Vérifier \(M\in(E)\iff\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{AB}=0\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IH}+\overrightarrow{HM}\) : \(\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=4+\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{AB}\).

✅ \(\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=4\iff\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{AB}=0\).

3) Nature de \((E)\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{HM}\perp\overrightarrow{AB}\).

✅ \((E)\) est la droite passant par \(H\) et perpendiculaire à \((AB)\).

4) \((F)=\{M\ ;\ MA^2-MB^2=8\}\) : montrer \(MA^2-MB^2=2\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}\), puis \((F)=(E)\).

Correction détaillée

⚠️ Lecture : \(\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=4\) (confirmée par \(H\in(E)\) et \((F)=(E)\)).

🔢 Étape 1 : \(MA^2-MB^2=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})=\overrightarrow{BA}\cdot2\overrightarrow{MI}=2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}\).

🔢 Étape 2 : \(MA^2-MB^2=8\iff2\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=8\iff\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=4\).

✅ \((F)=(E)\) : la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(H\) (\(AH=3\)).

Exercice 71

1) \(AB=3\), \(I\) milieu de \([AB]\), \((C)=\{M\ ;\ MA^2+MB^2=9\}\). Montrer \(M\in(C)\iff MI=\frac32\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Théorème de la médiane : \(MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}2=2MI^2+\frac92\).

🔢 Étape 2 : \(2MI^2+\frac92=9\iff MI^2=\frac94\).

✅ \(M\in(C)\iff MI=\frac32\) : \((C)\) est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(\frac32\) (cercle de diamètre \([AB]\)).

2) \((C’)=\{M\ ;\ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-\frac54\}\) : montrer \(M\in(C’)\iff MI=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})\cdot(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})=MI^2-IA^2=MI^2-\frac94\).

🔢 Étape 2 : \(MI^2-\frac94=-\frac54\iff MI^2=1\).

✅ \((C’)\) est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(1\).

Exercice 72

1) Plaque \(P\) : carré \(OABC\) de côté \(8\) cm dont on retire le carré \(BIJK\) de côté \(4\) cm (en \(B\)). Position du centre d’inertie — méthode 1 (plaque pleine moins le trou).

Correction détaillée

⚠️ Figure lue : le carré retiré est le carré de côté \(4\) situé à l’angle \(B\) du grand carré.

📘 Méthode : Principe : le centre d’inertie d’une plaque homogène est le barycentre de ses parties pondérées par leurs masses (ou leurs aires). Une plaque trouée est une plaque pleine de masse positive à laquelle on ajoute la partie enlevée avec une masse négative. Une plaque posée sur une base reste en équilibre si la verticale du centre d’inertie passe par la base.

🔢 Étape 1 : Repère \(O(0;0)\), \(A(8;0)\), \(B(8;8)\), \(C(0;8)\). Carré entier : aire \(64\), centre \((4;4)\). Carré retiré : aire \(16\), centre \((6;6)\).

🔢 Étape 2 : \(G=\mathrm{Bar}\{((4;4);64);((6;6);-16)\}\), somme \(48\) : \(x_G=\frac{64\cdot4-16\cdot6}{48}=\frac{160}{48}\).

✅ \(G\left(\frac{10}3;\frac{10}3\right)\).

2) Méthode 2 : découper la plaque en deux rectangles.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Rectangle bas \([0;8]\times[0;4]\) : aire \(32\), centre \((4;2)\). Rectangle haut \([0;4]\times[4;8]\) : aire \(16\), centre \((2;6)\).

🔢 Étape 2 : \(x_G=\frac{32\cdot4+16\cdot2}{48}=\frac{160}{48}\) ; \(y_G=\frac{32\cdot2+16\cdot6}{48}=\frac{160}{48}\).

✅ On retrouve \(G\left(\frac{10}3;\frac{10}3\right)\).

Exercice 73

1) Rondelle évidée (disque de centre \(O\) et de rayon \(R\) dont on a retiré le disque de centre \(O’\) passant par \(O\)) avec \(OP=3OO’\) (\(P\) sur le bord). Position du centre d’inertie \(I\).

Correction détaillée

⚠️ Figure lue : \(O\) centre du grand disque, le trou passe par \(O\) (rayon \(OO’\)).

🔢 Étape 1 : Le rayon du trou est \(r=OO’\) et \(R=OP=3OO’\) : \(r=\frac R3\).

🔢 Étape 2 : Aires proportionnelles aux masses : disque plein \(\pi R^2=9\pi r^2\), trou \(\pi r^2\).

🔢 Étape 3 : \(I=\mathrm{Bar}\{(O;9);(O’;-1)\}\) (somme \(8\)) : \(\overrightarrow{OI}=\frac{-1}{8}\overrightarrow{OO’}\).

✅ \(I\) est sur \((OO’)\), du côté opposé à \(O’\), avec \(OI=\frac18OO’=\frac1{24}OP\).

2) \(M\) masse de la rondelle : quelle masse \(m\) placer en \(P\) pour que \(O\) soit le centre d’inertie de l’ensemble ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(O=\mathrm{Bar}\{(I;M);(P;m)\}\) : \(M\overrightarrow{OI}+m\overrightarrow{OP}=\vec0\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{OI}=-\frac1{24}\overrightarrow{OP}\) : \(-\frac M{24}+m=0\).

✅ \(m=\frac M{24}\).

Exercice 74

Plaque homogène formée d’un carré de côté \(10\) cm surmonté d’un rectangle de hauteur \(10\) cm et de longueur \(\ell\ge10\) (alignés à gauche). Déterminer la longueur maximale \(\ell_{\max}\) pour laquelle la plaque reste en équilibre sur la base \([AB]\) (\(AB=10\)).

Correction détaillée

⚠️ Figure lue : le rectangle déborde à droite du carré, les deux alignés à gauche.

🔢 Étape 1 : Repère : \(A(0;0)\), \(B(10;0)\). Carré \([0;10]\times[0;10]\) : aire \(100\), centre d’abscisse \(5\). Rectangle \([0;\ell]\times[10;20]\) : aire \(10\ell\), centre d’abscisse \(\frac\ell2\).

🔢 Étape 2 : \(x_G=\frac{100\times5+10\ell\times\frac\ell2}{100+10\ell}=\frac{100+\ell^2}{20+2\ell}\).

🔢 Étape 3 : Équilibre sur \([AB]\) : \(0\le x_G\le10\), c’est-à-dire \(100+\ell^2\le200+20\ell\iff\ell^2-20\ell-100\le0\).

🔢 Étape 4 : Racines : \(\ell=10\pm10\sqrt2\) ; avec \(\ell\ge10\) : \(\ell\le10+10\sqrt2\).

✅ \(\ell_{\max}=10(1+\sqrt2)\approx24{,}1\) cm.