Cette série d’exercices corrigés sur le produit scalaire dans le plan pour la 1ère Bac Sc Ex traite de l’expression analytique, de l’orthogonalité, des droites et des cercles, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Exercices corrigés de produit scalaire dans le plan 1ère Bac

Le produit scalaire dans le plan · Série de synthèse 1ère Bac

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape

Exercice 1

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(5\) et \(I\) le milieu de \([BC]\).

1) Calculer \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rappels : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}\) ; \(\vec u\cdot\vec v=\dfrac12\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\right)\) ; en repère orthonormé, \(\vec u(x;y)\cdot\vec v(x’;y’)=xx’+yy’\) ; \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\) ; \(\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec{v’}\) où \(\vec{v’}\) est la projection orthogonale de \(\vec v\) sur la direction de \(\vec u\).

🔢 Étape 1 : Les vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) font l’angle \(\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{3}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=BA\times BC\times\cos\dfrac\pi3=5\times5\times\dfrac12\).

✅ \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{25}{2}\).

2) Calculer \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CI}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I\) milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{CI}=\dfrac12\overrightarrow{CB}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CI}=\dfrac12\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=\dfrac12\times5\times5\times\cos\dfrac\pi3=\dfrac12\times\dfrac{25}2\).

✅ \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CI}=\dfrac{25}{4}\).

3) Calculer \((\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AI}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\) (relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\)).

🔢 Étape 2 : Dans le triangle équilatéral, la médiane \((AI)\) est aussi la hauteur : \((AI)\perp(BC)\), donc \(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AI}=0\).

✅ \((\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AI}=0\).

Exercice 2

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=2\), \(AC=3\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\).

Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Utiliser \(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) puis la réciproque de Pythagore.

🔢 Étape 1 : Calculons \(BC^2\) : \(BC^2=\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\|^2=AC^2+AB^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=9+4-8=5\).

🔢 Étape 2 : Comparons : \(AB^2+BC^2=4+5=9=AC^2\).

🔢 Étape 3 : D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en \(B\).

🔢 Étape 4 : Remarque : en \(A\), \(\cos\widehat A=\dfrac{4}{6}=\dfrac23\neq0\), donc \(A\) n’est pas l’angle droit.

✅ \(ABC\) est rectangle en \(B\) (avec \(BC=\sqrt5\)).

Exercice 3

Soit \(ABCD\) un parallélogramme tel que \(AB=4\), \(AD=5\) et \(AC=7\).

1) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(ABCD\) parallélogramme : \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).

🔢 Étape 2 : \(AC^2=AB^2+AD^2+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\), soit \(49=16+25+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=4\).

2) Calculer \(\|\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\|^2\).

Correction détaillée

🔢 \(\|\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\|^2=AD^2+AB^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=25+16-8\).

✅ \(\|\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\|^2=33\).

3) En déduire la longueur \(BD\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}\), donc \(BD^2=33\).

✅ \(BD=\sqrt{33}\).

Exercice 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soient \(A(3;6)\), \(B(-1;-2)\) et \(\vec u(1;m)\) où \(m\in\mathbb R\).

1.a) Déterminer \(m\) pour que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\vec u\) soient orthogonaux.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(-1-3\,;\,-2-6)=(-4;-8)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\perp\vec u\iff-4\times1-8\times m=0\iff m=-\dfrac12\).

✅ \(m=-\dfrac12\).

1.b) Déterminer \(m\) pour que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\vec u\) soient colinéaires.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Colinéarité : \(\det(\overrightarrow{AB},\vec u)=-4\times m-(-8)\times1=0\).

🔢 Étape 2 : \(-4m+8=0\iff m=2\).

✅ \(m=2\).

2.a) Pour \(m=-3\), calculer \(\vec u\cdot\overrightarrow{AB}\).

Correction détaillée

🔢 \(\vec u(1;-3)\) et \(\overrightarrow{AB}(-4;-8)\) : \(\vec u\cdot\overrightarrow{AB}=1\times(-4)+(-3)\times(-8)=-4+24\).

✅ \(\vec u\cdot\overrightarrow{AB}=20\).

2.b) En déduire \(\cos(\vec u,\overrightarrow{AB})\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\|\vec u\|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\) et \(\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt5\).

🔢 Étape 2 : \(\cos(\vec u,\overrightarrow{AB})=\dfrac{\vec u\cdot\overrightarrow{AB}}{\|\vec u\|\,\|\overrightarrow{AB}\|}=\dfrac{20}{\sqrt{10}\times4\sqrt5}=\dfrac{20}{4\sqrt{50}}=\dfrac{20}{20\sqrt2}\).

✅ \(\cos(\vec u,\overrightarrow{AB})=\dfrac{\sqrt2}{2}\).

3) Déterminer une équation cartésienne de la droite orthogonale à \((AB)\) passant par \(A\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Une droite de vecteur normal \(\vec n(a;b)\) a pour équation \(ax+by+c=0\) ; on détermine \(c\) avec un point.

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(-4;-8)\) est un vecteur normal de cette droite, donc \(-4x-8y+c=0\) ou, en simplifiant par \(-4\) : \(x+2y+c’=0\).

🔢 Étape 2 : Elle passe par \(A(3;6)\) : \(3+12+c’=0\Rightarrow c’=-15\).

✅ Équation : \(x+2y-15=0\).

Exercice 5

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère \(A(2;-3)\), \(B(-2;1)\) et \(C(3;4)\).

1) Déterminer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\), puis calculer \(AB\) et \(AC\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(-4;4)\), \(\overrightarrow{AC}(1;7)\), \(\overrightarrow{BC}(5;3)\).

🔢 Étape 2 : \(AB=\sqrt{16+16}=4\sqrt2\) ; \(AC=\sqrt{1+49}=5\sqrt2\).

✅ \(AB=4\sqrt2\) et \(AC=5\sqrt2\).

2) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-4)(1)+4\times7=-4+28\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=24\).

3) En déduire \(\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) et \(\sin(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Dans un repère orthonormé direct : \(\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) et \(\sin(\vec u,\vec v)=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\).

🔢 Étape 1 : \(\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{24}{4\sqrt2\times5\sqrt2}=\dfrac{24}{40}=\dfrac35\).

🔢 Étape 2 : Déterminant : \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(-4)(7)-(4)(1)=-32\), et \(\sin(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}{AB\times AC}=\dfrac{-32}{40}\).

✅ \(\cos=\dfrac35\) et \(\sin=-\dfrac45\) (vérification : \(\dfrac9{25}+\dfrac{16}{25}=1\)).

Exercice 6

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soient \(A(1;-3)\), \(B(3;7)\) et \(C(-3;1)\).

1) Montrer que \(ABC\) est rectangle en \(C\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{CA}(4;-4)\) et \(\overrightarrow{CB}(6;6)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=24-24=0\).

✅ \(\overrightarrow{CA}\perp\overrightarrow{CB}\) : \(ABC\) est rectangle en \(C\).

2) Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(CA=\sqrt{32}=4\sqrt2\) et \(CB=\sqrt{72}=6\sqrt2\).

🔢 Étape 2 : Triangle rectangle en \(C\) : aire \(=\dfrac12CA\times CB=\dfrac12\times4\sqrt2\times6\sqrt2\).

✅ Aire \(=24\) unités d’aire.

Exercice 7

Dans un repère orthonormé direct, \(A(5;0)\), \(B(2;1)\) et \(C(6;3)\).

1) Calculer \(\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) et \(\sin(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(-3;1)\), \(\overrightarrow{AC}(1;3)\) ; \(AB=AC=\sqrt{10}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-3+3=0\) donc \(\cos=0\).

🔢 Étape 3 : \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(-3)(3)-(1)(1)=-10\), donc \(\sin=\dfrac{-10}{10}=-1\).

✅ \(\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\) et \(\sin(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-1\).

2) En déduire une mesure de l’angle orienté \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).

Correction détaillée

🔢 \(\cos\theta=0\) et \(\sin\theta=-1\).

✅ \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv-\dfrac\pi2\ [2\pi]\) : \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).

Exercice 8

Dans un repère orthonormé direct : \(A(1;-1)\), \(B(4;-1)\), \(C(-2;2)\).

1) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(3;0)\), \(\overrightarrow{AC}(-3;3)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-9+0=-9\) ; \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=3\times3-0\times(-3)=9\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-9\) et \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=9\).

2) Déterminer une mesure de l’angle \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(AB=3\), \(AC=3\sqrt2\).

🔢 Étape 2 : \(\cos=\dfrac{-9}{9\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}2\) et \(\sin=\dfrac{9}{9\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\).

✅ \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv\dfrac{3\pi}4\ [2\pi]\).

3) Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 Aire \(=\dfrac12|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|=\dfrac92\).

✅ Aire \(=\dfrac92\).

4) Écrire une équation de la hauteur issue de \(A\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Elle est orthogonale à \((BC)\) : \(\overrightarrow{BC}(-6;3)\) est un vecteur normal.

🔢 Étape 2 : \(M(x;y)\) appartient à la hauteur \(\iff\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=0\iff-6(x-1)+3(y+1)=0\).

✅ \(2x-y-3=0\) (vérification : \(A(1;-1)\) : \(2+1-3=0\)).

5) Écrire une équation de la bissectrice de \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\vec e_1,\vec e_2\) sont unitaires, \(\vec e_1+\vec e_2\) dirige la bissectrice de l’angle formé par ces vecteurs (losange).

🔢 Étape 1 : Les vecteurs unitaires \(\vec e_1=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{AB}=(1;0)\) et \(\vec e_2=\dfrac{\overrightarrow{AC}}{AC}=\left(-\dfrac{\sqrt2}2;\dfrac{\sqrt2}2\right)\) ont même norme : \(\vec e_1+\vec e_2\) dirige la bissectrice.

🔢 Étape 2 : \(\vec e_1+\vec e_2=\left(1-\dfrac{\sqrt2}2;\dfrac{\sqrt2}2\right)\), colinéaire à \((\sqrt2-1\,;\,1)\).

🔢 Étape 3 : Vecteur normal : \((1\,;-(\sqrt2-1))\). Équation : \((x-1)-(\sqrt2-1)(y+1)=0\).

✅ Bissectrice : \(x-(\sqrt2-1)y-\sqrt2=0\).

Exercice 9

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle \(ABC\) avec \(A(2;1)\), \(B(5;0)\), \(C(7;6)\).

1.a) Montrer que \(ABC\) est rectangle en \(B\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{BA}(-3;1)\) et \(\overrightarrow{BC}(2;6)\) ; \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-6+6=0\).

✅ \(ABC\) est rectangle en \(B\).

1.b) En déduire les coordonnées du centre \(\Omega\) du cercle circonscrit à \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse \([AC]\).

✅ \(\Omega\left(\dfrac{9}{2};\dfrac72\right)\).

2) Déterminer les coordonnées du centre de gravité \(G\).

Correction détaillée

🔢 \(G\left(\dfrac{2+5+7}3;\dfrac{1+0+6}3\right)\).

✅ \(G\left(\dfrac{14}3;\dfrac73\right)\).

3) Déterminer les coordonnées de l’orthocentre \(H\).

Correction détaillée

🔢 Triangle rectangle en \(B\) : les hauteurs issues de \(A\) et de \(C\) sont \((AB)\) et \((CB)\), qui se coupent en \(B\).

✅ \(H=B(5;0)\).

4) Vérifier que \(\Omega\), \(G\), \(H\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{\Omega G}\left(\dfrac16;-\dfrac76\right)\) et \(\overrightarrow{\Omega H}\left(\dfrac12;-\dfrac72\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{\Omega H}=3\overrightarrow{\Omega G}\) (les deux coordonnées sont multipliées par \(3\)).

✅ \(\Omega,G,H\) sont alignés (droite d’Euler).

Exercice 10

\(ABCD\) est un rectangle avec \(AB=L\), \(AD=l\) (\(L>l\)). \(H\) et \(K\) sont les projetés orthogonaux de \(B\) et \(D\) sur \((AC)\).

1.a) Montrer que \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BD}=L^2-l^2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{CA}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\) et \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BD}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=-(AD^2-AB^2)\) (car \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\)).

✅ \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BD}=L^2-l^2\).

1.b) Exprimer \(HK\) en fonction de \(L\) et \(l\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Produit scalaire par projection : \(\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec{v’}\).

🔢 Étape 1 : Les projetés de \(B\) et \(D\) sur \((AC)\) sont \(H\) et \(K\), donc \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{HK}\).

🔢 Étape 2 : \(AC=\sqrt{L^2+l^2}\). Sur \(\left[AC\right]\) : \(AH=\dfrac{L^2}{AC}\) et \(AK=\dfrac{l^2}{AC}\), \(\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{HK}\) ont même sens, d’où \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{HK}=AC\times HK\).

🔢 Étape 3 : \(HK=\dfrac{L^2-l^2}{AC}\).

✅ \(HK=\dfrac{L^2-l^2}{\sqrt{L^2+l^2}}\).

2) Comment choisir \(L\) et \(l\) pour que \(AC=2HK\) ?

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt{L^2+l^2}=\dfrac{2(L^2-l^2)}{\sqrt{L^2+l^2}}\iff L^2+l^2=2L^2-2l^2\iff L^2=3l^2\).

✅ \(L=l\sqrt3\) (par exemple \(l=1\), \(L=\sqrt3\)).

Exercice 11

Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\) avec \(BI=CI=2\), \(AI=3\) et \(\widehat{AIB}=\dfrac\pi3\) (d’après la figure).

1) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

⚠️ L’angle \(\dfrac\pi3\) est lu sur la figure du scan.

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB})\cdot(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC})=AI^2+\overrightarrow{AI}\cdot(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IC}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec0\) et \(\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IC}=-IB^2=-4\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=9-4=5\).

2) Calculer \(AB^2+AC^2\).

Correction détaillée

🔢 Théorème de la médiane : \(AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}2=2\times9+\dfrac{16}2\).

✅ \(AB^2+AC^2=26\).

3) Calculer \(AB^2-AC^2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(AB^2-AC^2=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{CB}\cdot2\overrightarrow{AI}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{IB}\), donc \(AB^2-AC^2=4\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IA}=-2\times3\times\cos\dfrac\pi3=-3\).

✅ \(AB^2-AC^2=-12\).

4) En déduire \(AB\) et \(AC\).

Correction détaillée

🔢 \(2AB^2=26-12=14\) et \(2AC^2=26+12=38\).

✅ \(AB=\sqrt7\) et \(AC=\sqrt{19}\).

Exercice 12

Soit \(\mathcal C(O,R)\) un cercle, \(A\) un point fixe du plan et \((d)\) une droite variable passant par \(A\) et coupant le cercle en \(P\) et \(Q\). On veut montrer que \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}\) ne dépend pas de \((d)\).

1) Soit \(P’\) le point diamétralement opposé à \(P\). Montrer que \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP’}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \([PP’]\) est un diamètre : \(\widehat{PQP’}=90^\circ\), donc \(Q\) est le projeté orthogonal de \(P’\) sur \((d)=(AP)\).

🔢 Étape 2 : Par projection : \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP’}=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}\).

✅ \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP’}\).

2) Montrer que \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP’}=AO^2-R^2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(O\) milieu de \([PP’]\) : \(\overrightarrow{OP’}=-\overrightarrow{OP}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP’}=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{OP})=AO^2-OP^2\).

✅ \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP’}=AO^2-R^2\).

3) Conclure.

Correction détaillée

🔢 D’après 1) et 2) : \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=AO^2-R^2\), quantité indépendante de \((d)\).

✅ \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=AO^2-R^2\) (puissance du point \(A\) par rapport au cercle).

Exercice 13

Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs, \(\vec u\neq\vec0\), et \(f(x)=(x\vec u+\vec v)^2\) pour \(x\in\mathbb R\).

1) Développer \(f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=x^2\vec u^{\,2}+2x\,\vec u\cdot\vec v+\vec v^{\,2}\).

✅ \(f(x)=\|\vec u\|^2x^2+2(\vec u\cdot\vec v)x+\|\vec v\|^2\).

2) Quel est le signe de \(f(x)\) ?

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=\|x\vec u+\vec v\|^2\) est un carré.

✅ \(f(x)\ge0\) pour tout réel \(x\).

3) Déterminer le discriminant de \(f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(\Delta=(2\,\vec u\cdot\vec v)^2-4\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2\).

✅ \(\Delta=4\left[(\vec u\cdot\vec v)^2-\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2\right]\).

4) En déduire l’inégalité de Cauchy–Schwarz : \(|\vec u\cdot\vec v|\le\|\vec u\|\,\|\vec v\|\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le trinôme \(f\) a un coefficient dominant \(\|\vec u\|^2>0\) et reste positif sur \(\mathbb R\) : son discriminant est \(\le0\).

🔢 Étape 2 : \((\vec u\cdot\vec v)^2\le\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2\), puis racine carrée.

✅ \(|\vec u\cdot\vec v|\le\|\vec u\|\,\|\vec v\|\).

5) Quand a-t-on égalité ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Égalité \(\iff\Delta=0\iff f\) s’annule pour une valeur \(x_0\).

🔢 Étape 2 : \(f(x_0)=0\iff x_0\vec u+\vec v=\vec0\).

✅ Égalité si et seulement si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.

Exercice 14

On sait que pour trois points \(A,B,M\) on a \(MA+MB\ge AB\) ; on veut le démontrer. Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) non nuls.

1) Développer \((\vec u+\vec v)^2\).

Correction détaillée

🔢 \((\vec u+\vec v)^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\).

✅ \(\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\).

2) En utilisant l’inégalité précédente, montrer que \(\|\vec u+\vec v\|\le\|\vec u\|+\|\vec v\|\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Cauchy–Schwarz : \(\vec u\cdot\vec v\le\|\vec u\|\|\vec v\|\).

✅ \(\|\vec u+\vec v\|\le\|\vec u\|+\|\vec v\|\) (inégalité triangulaire).

3) Quand a-t-on l’égalité ?

Correction détaillée

🔢 Égalité \(\iff\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\iff\cos(\vec u,\vec v)=1\).

✅ Égalité si et seulement si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires et de même sens.

Application : montrer que \(MA+MB\ge AB\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\) avec \(\|\overrightarrow{AM}\|=MA\) et \(\|\overrightarrow{MB}\|=MB\).

🔢 Étape 2 : Inégalité triangulaire : \(AB\le MA+MB\).

✅ \(MA+MB\ge AB\), avec égalité si et seulement si \(M\in[AB]\).

Exercice 15

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère \(A(-2;2)\) et \(B(2;2)\).

1) Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

Correction détaillée

🔢 \(I\left(\dfrac{-2+2}2;\dfrac{2+2}2\right)\).

✅ \(I(0;2)\).

2) Montrer que pour tout point \(M\) : \(MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rappels : théorème de la médiane : si \(I\) est le milieu de \([AB]\), \(MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}2\) ; \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}4\) ; \(MA^2-MB^2=2\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{BA}\) ; si \(\alpha+\beta\ne0\) et \(G=\mathrm{Bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\), \(\alpha MA^2+\beta MB^2=(\alpha+\beta)MG^2+\alpha GA^2+\beta GB^2\) ; \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=k\) : droite perpendiculaire à \((AB)\).

🔢 Étape 1 : \(MA^2=\|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\|^2=MI^2+IA^2+2\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IA}\) et \(MB^2=MI^2+IB^2+2\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IB}\).

🔢 Étape 2 : On additionne : \(MA^2+MB^2=2MI^2+IA^2+IB^2+2\overrightarrow{MI}\cdot(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})\).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0\) et \(IA=IB=\dfrac{AB}2\), donc \(IA^2+IB^2=\dfrac{AB^2}2\).

✅ \(MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}2\) ✓.

3) Déterminer l’ensemble \((E)\) des points \(M\) tels que \(MA^2+MB^2=40\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(AB=4\), donc \(\dfrac{AB^2}2=8\).

🔢 Étape 2 : \(MA^2+MB^2=40\iff2MI^2+8=40\iff MI^2=16\iff MI=4\).

✅ \((E)\) est le cercle de centre \(I(0;2)\) et de rayon \(4\).

4) Écrire une équation de \((E)\).

Correction détaillée

🔢 \(M(x;y)\in(E)\iff(x-0)^2+(y-2)^2=16\).

✅ \(x^2+(y-2)^2=16\), soit \(x^2+y^2-4y-12=0\).

5) Déterminer les points d’intersection de \((E)\) avec l’axe des abscisses.

Correction détaillée

🔢 On pose \(y=0\) : \(x^2+4=16\iff x^2=12\).

✅ \(x=\pm2\sqrt3\) : points \((-2\sqrt3;0)\) et \((2\sqrt3;0)\).

6) Soit \(\lambda<0\). Déterminer \(\lambda\) pour que \(Z(\sqrt7;\lambda)\) appartienne à \((E)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(Z\in(E)\iff7+(\lambda-2)^2=16\iff(\lambda-2)^2=9\).

🔢 Étape 2 : \(\lambda-2=3\) ou \(\lambda-2=-3\), soit \(\lambda=5\) ou \(\lambda=-1\). Comme \(\lambda<0\) :

✅ \(\lambda=-1\), donc \(Z(\sqrt7;-1)\).

7) Écrire une équation de la tangente à \((E)\) en \(Z\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : La tangente est orthogonale à \((IZ)\) : \(\overrightarrow{IZ}(\sqrt7;-3)\) est un vecteur normal.

🔢 Étape 2 : \(M(x;y)\) est sur la tangente \(\iff\overrightarrow{ZM}\cdot\overrightarrow{IZ}=0\iff\sqrt7(x-\sqrt7)-3(y+1)=0\).

✅ Tangente : \(\sqrt7\,x-3y-10=0\) (vérification : \(\sqrt7\times\sqrt7+3-10=0\)).

Exercice 16

Soit \(O\) et \(A\) deux points tels que \(OA=2\) cm.

1) Construire le point \(H\) de la droite \((OA)\) tel que \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}=10\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(H\) est sur \((OA)\) : \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}=OA\times\overline{OH}\) (mesure algébrique).

🔢 Étape 2 : \(2\times\overline{OH}=10\Rightarrow\overline{OH}=5\).

✅ \(H\) est sur la demi-droite \([OA)\), à \(5\) cm de \(O\).

2) Déterminer l’ensemble \((E)\) des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}=10\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=k\) : on cherche le point \(H\) de \((AB)\) tel que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=k\) ; l’ensemble est la perpendiculaire en \(H\).

🔢 Étape 1 : Soit \(M’\) le projeté orthogonal de \(M\) sur \((OA)\) : \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM’}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}=10=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}\iff\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{HM}=0\).

✅ \((E)\) est la droite perpendiculaire à \((OA)\) passant par \(H\).

Exercice 17

Soit \(ABCD\) un rectangle avec \(AB=2BC=4\). \(O\) est le milieu de \([AB]\), \(J\) le point de \([CD]\) tel que \(CJ=1\), \(I=(AC)\cap(BJ)\). Repère orthonormé \((A;\vec i,\vec j)\) avec \(\vec i=\dfrac{\overrightarrow{AB}}4\), \(\vec j=\dfrac{\overrightarrow{AD}}2\) : \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(4;2)\), \(D(0;2)\), \(O(2;0)\), \(J(3;2)\).

1.a) Calculer \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CJ}\) et montrer que \((AC)\perp(BJ)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{CA}(-4;-2)\), \(\overrightarrow{CB}(0;-2)\), \(\overrightarrow{CJ}(-1;0)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0+4=4\) ; \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CJ}=4+0=4\).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{AC}(4;2)\) et \(\overrightarrow{BJ}(-1;2)\) : \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BJ}=-4+4=0\).

✅ \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=4\), \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CJ}=4\) et \((AC)\perp(BJ)\).

1.b) Calculer \(BJ\) et la distance de \(B\) à \((AC)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(BJ=\sqrt{1+4}=\sqrt5\).

🔢 Étape 2 : \(I\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\) (car \((BJ)\perp(AC)\)). Aire de \(ABC\) : \(\dfrac12\times4\times2=4=\dfrac12AC\times BI\) avec \(AC=2\sqrt5\).

✅ \(BJ=\sqrt5\) et \(d(B,(AC))=BI=\dfrac{4}{\sqrt5}=\dfrac{4\sqrt5}5\).

2) Déterminer l’ensemble \((F)\) des points \(M\) tels que \(MA^2+MB^2=24\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(O\) milieu de \([AB]\) : \(MA^2+MB^2=2MO^2+\dfrac{AB^2}2=2MO^2+8\).

🔢 Étape 2 : \(2MO^2+8=24\iff MO^2=8\).

✅ \((F)\) est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(2\sqrt2\).

3.a) Soit \(H\) le point tel que \(BH=2\sqrt3\) et \(\widehat{ABH}=\dfrac\pi6\), et \(E\) défini par \(\overrightarrow{HB}+2\overrightarrow{HE}=\vec0\). Placer \(H\) et \(E\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé de la question 3.a) n’est pas lisible sur le scan ; elle est remplacée par la construction de \(H\) et \(E\) nécessaire aux questions suivantes.

🔢 Étape 1 : \(H\) est sur la demi-droite faisant avec \([BA)\) un angle de \(30^\circ\), à la distance \(2\sqrt3\) de \(B\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{HE}=-\dfrac12\overrightarrow{HB}=\dfrac12\overrightarrow{BH}\), donc \(E=H+\dfrac12\overrightarrow{BH}\) : \(E\) est au-delà de \(H\), sur \((BH)\), avec \(HE=\sqrt3\).

✅ \(H\) et \(E\) sont alignés avec \(B\) (\(BE=3\sqrt3\)). Par exemple (repère ci-dessus, \(H\) au-dessus de \((AB)\)) : \(H(1;\sqrt3)\), \(E\left(-\dfrac12;\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)\).

3.b) Calculer \(AH\) et déterminer la nature du triangle \(ABH\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Al-Kashi dans \(ABH\) : \(AH^2=AB^2+BH^2-2\,AB\cdot BH\cos\dfrac\pi6=16+12-2\times4\times2\sqrt3\times\dfrac{\sqrt3}2=28-24=4\).

🔢 Étape 2 : \(AH=2\) et \(AH^2+BH^2=4+12=16=AB^2\).

✅ \(AH=2\) et \(ABH\) est rectangle en \(H\) (c’est un demi-triangle équilatéral).

3.c) Déterminer l’ensemble \((F’)\) des points \(M\) tels que \(MB^2+2ME^2=30\). Montrer que \(A\in(F’)\) et construire \((F’)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Barycentre : \(\alpha MA^2+\beta MB^2=(\alpha+\beta)MG^2+\alpha GA^2+\beta GB^2\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{HB}+2\overrightarrow{HE}=\vec0\) signifie que \(H=\mathrm{Bar}\{(B;1),(E;2)\}\) (somme des poids \(=3\neq0\)).

🔢 Étape 2 : \(MB^2+2ME^2=3MH^2+HB^2+2HE^2=3MH^2+12+2\times3=3MH^2+18\) (\(HB=2\sqrt3\), \(HE=\sqrt3\)).

🔢 Étape 3 : \(3MH^2+18=30\iff MH^2=4\iff MH=2\).

🔢 Étape 4 : \(AH=2\) d’après 3.b) : \(A\) appartient à \((F’)\).

✅ \((F’)\) est le cercle de centre \(H\), de rayon \(2\) ; il passe par \(A\).

Exercice 18

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=6\), \(AC=4\) et \(BC=2\sqrt{19}\).

1.a) Montrer que \(\widehat{BAC}=\dfrac{2\pi}3\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), soit \(76=36+16-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-12\).

🔢 Étape 2 : \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{-12}{6\times4}=-\dfrac12\).

✅ \(\widehat{BAC}=\dfrac{2\pi}3\) ✓.

1.b) Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Calculer \(CI\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Théorème de la médiane dans \(ABC\) pour \(I\), milieu de \([AB]\) : \(CA^2+CB^2=2CI^2+\dfrac{AB^2}2\).

🔢 Étape 2 : \(16+76=2CI^2+18\iff CI^2=37\).

✅ \(CI=\sqrt{37}\).

2.a) Déterminer l’ensemble \((E)\) des points \(M\) tels que \(MA^2+MB^2=92\).

Correction détaillée

🔢 \(MA^2+MB^2=2MI^2+18=92\iff MI^2=37\).

✅ \((E)\) est le cercle de centre \(I\), de rayon \(\sqrt{37}\) ; il passe par \(C\) (\(CI=\sqrt{37}\)).

2.b) Déterminer l’ensemble \((F)\) des points \(M\) tels que \(MA^2-MB^2=-60\). Vérifier que \(C\in(F)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(MA^2-MB^2=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})=\overrightarrow{BA}\cdot2\overrightarrow{MI}\), donc l’égalité s’écrit \(-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{MI}=-60\), soit \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}=-30\).

🔢 Étape 2 : Sur la droite \((AB)\), orientée de \(A\) vers \(B\), le point \(H\) tel que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IH}=-30\) vérifie \(6\times\overline{IH}=-30\) : \(\overline{IH}=-5\). \(H\) est donc à \(5\) de \(I\) du côté de \(A\) (donc à \(2\) de \(A\) vers l’extérieur).

🔢 Étape 3 : Vérification : \(CA^2-CB^2=16-76=-60\) ✓.

✅ \((F)\) est la perpendiculaire à \((AB)\) menée par \(H\) (\(\overline{IH}=-5\)) ; elle passe par \(C\) : c’est la hauteur issue de \(C\).

2.c) Déterminer l’ensemble \((\Gamma)\) des points \(M\) tels que \(MB^2-4MA^2=12\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Poids \(1\) et \(-4\), somme \(-3\neq0\) : \(G=\mathrm{Bar}\{(B;1),(A;-4)\}\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{GB}-4\overrightarrow{GA}=\vec0\). On en tire \(\overrightarrow{AG}=-\dfrac13\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est sur \((AB)\), du côté opposé à \(B\), avec \(GA=2\) et \(GB=8\).

🔢 Étape 2 : \(MB^2-4MA^2=-3MG^2+GB^2-4GA^2=-3MG^2+64-16=-3MG^2+48\).

🔢 Étape 3 : \(-3MG^2+48=12\iff MG^2=12\).

✅ \((\Gamma)\) est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\sqrt3\).

Exercice 19

Soient \(A\) et \(B\) deux points tels que \(AB=3\).

1) Soit \(G=\mathrm{Bar}\{(A;1),(B;4)\}\). Déterminer \(GA^2\) et \(GB^2\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan indique \(\{B;4\}\) ; avec ce poids \(G\) est entre \(A\) et \(B\). Pour la question 2, c’est le barycentre de poids \(1\) et \(-4\) qui sert (voir ci-dessous).

🔢 Étape 1 : \(G\) est tel que \(\overrightarrow{GA}+4\overrightarrow{GB}=\vec0\) : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac45\overrightarrow{AB}\).

🔢 Étape 2 : \(GA=\dfrac45\times3=\dfrac{12}5\) et \(GB=\dfrac15\times3=\dfrac35\).

✅ \(GA^2=\dfrac{144}{25}\) et \(GB^2=\dfrac9{25}\).

2) Déterminer et construire l’ensemble \((E)=\{M\,/\,MA^2-4MB^2=6\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Poids \(1\) et \(-4\), somme \(-3\neq0\) : soit \(G’=\mathrm{Bar}\{(A;1),(B;-4)\}\), \(\overrightarrow{G’A}=4\overrightarrow{G’B}\) ; \(G’\) est sur \((AB)\), \(\overrightarrow{AG’}=\dfrac43\overrightarrow{AB}\) : \(G’A=4\), \(G’B=1\) (\(G’\) au-delà de \(B\)).

🔢 Étape 2 : \(MA^2-4MB^2=-3MG’^2+G’A^2-4G’B^2=-3MG’^2+16-4=-3MG’^2+12\).

🔢 Étape 3 : \(-3MG’^2+12=6\iff MG’^2=2\).

✅ \((E)\) est le cercle de centre \(G’\) et de rayon \(\sqrt2\) (avec \(G’\) sur \((AB)\), \(BG’=1\), hors de \([AB]\)).

Exercice 20

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=AC=5\) et \(BC=6\) ; \(I\) est le milieu de \([BC]\).

1) Calculer \(AI\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit \(I=A*B\), mais la question 4 (\(f(M)=MG^2+f(G)\)) n’est vraie que si \(AI\) est la médiane issue de \(A\) : on lit donc \(I=B*C\) (milieu de \([BC]\)) et \(AI=4\).

🔢 Triangle isocèle : \((AI)\) est la médiane et la hauteur, donc \(AI^2=AB^2-BI^2=25-9=16\).

✅ \(AI=4\).

2) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=7\).

Correction détaillée

🔢 \(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) : \(36=50-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=7\) ✓.

3) Déterminer \((E)=\{M\,/\,MA^2-3MI^2=44\}\).

Correction détaillée

⚠️ Avec les données lues, l’ensemble est vide (la valeur maximale de \(MA^2-3MI^2\) est \(24\)). Si l’énoncé portait sur \(MA^2+3MI^2=44\), on obtiendrait le cercle de centre \(\mathrm{Bar}\{(A;1),(I;3)\}\) et de rayon \(2\sqrt2\).

🔢 Étape 1 : Poids \(1\) et \(-3\) (somme \(-2\)) : \(G_1=\mathrm{Bar}\{(A;1),(I;-3)\}\), \(\overrightarrow{AG_1}=\dfrac32\overrightarrow{AI}\) : \(G_1A=6\), \(G_1I=2\).

🔢 Étape 2 : \(MA^2-3MI^2=-2MG_1^2+G_1A^2-3G_1I^2=-2MG_1^2+36-12=-2MG_1^2+24\).

🔢 Étape 3 : \(-2MG_1^2+24=44\iff MG_1^2=-10<0\).

✅ \((E)=\varnothing\).

4.a) \(G\) est le centre de gravité de \(ABC\) et \(f(M)=\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}-\dfrac23\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{MG}\). Calculer \(f(A)\) et \(f(C)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Repère : \(I(0;0)\), \(B(-3;0)\), \(C(3;0)\), \(A(0;4)\), \(G\left(0;\dfrac43\right)\). \(\overrightarrow{AI}(0;-4)\).

🔢 Étape 2 : \(f(A)=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\dfrac23\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AG}=7-\dfrac23\times(0\times0+(-4)\left(-\dfrac83\right))=7-\dfrac23\times\dfrac{32}3=7-\dfrac{64}9\).

🔢 Étape 3 : \(f(C)=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CC}-\dfrac23\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{CG}=0-\dfrac23\times(-4)\times\dfrac43\)\(\,=\dfrac{32}9\).

✅ \(f(A)=-\dfrac19\) et \(f(C)=\dfrac{32}9\).

4.b) Montrer que pour tout \(M\) : \(f(M)=MG^2+f(G)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})\cdot(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})=MG^2+\overrightarrow{MG}\cdot(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}=MG^2-\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}\) (car \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\)).

🔢 Étape 2 : Or \(\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AG}=-\dfrac23\overrightarrow{AI}\) (\(G\) au tiers de la médiane \([AI]\)), donc \(-\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GA}=\dfrac23\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{MG}\).

🔢 Étape 3 : Ainsi \(f(M)=MG^2+\dfrac23\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}-\dfrac23\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{MG}=MG^2+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}\).

🔢 Étape 4 : En \(M=G\) : \(f(G)=\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}\).

✅ \(f(M)=MG^2+f(G)\) ✓ avec \(f(G)=\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}=-9+\dfrac{16}9=-\dfrac{65}9\).

4.c) Déterminer \(F_a=\{M\,/\,f(M)=a\}\) suivant le réel \(a\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(M)=a\iff MG^2=a-f(G)=a+\dfrac{65}9\).

🔢 Étape 2 : Discussion selon le signe de \(a+\dfrac{65}9\).

✅ Si \(a<-\dfrac{65}9\) : \(F_a=\varnothing\) ; si \(a=-\dfrac{65}9\) : \(F_a=\{G\}\) ; si \(a>-\dfrac{65}9\) : cercle de centre \(G\), rayon \(\sqrt{a+\dfrac{65}9}\).

Exercice 21

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts et \(I\) le milieu de \([AB]\).

1.a) Construire le point \(C\) tel que \(AIC\) soit rectangle et isocèle en \(I\).

Correction détaillée

🔢 \(IC\perp(AB)\) en \(I\) et \(IC=IA\).

✅ \(C\) est un des deux points de la médiatrice de \([AB]\) situés à la distance \(IA\) de \(I\).

1.b) Calculer \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan donne « \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=-\dfrac{AI^2}2\) », valeur incompatible avec la construction demandée (\(IC=IA=IB\) donne \(0\)) ; la valeur exacte \(0\) est celle qui est démontrée ici.

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IA})\cdot(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IB})=CI^2+\overrightarrow{CI}\cdot(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}=CI^2-IA^2\).

🔢 Étape 2 : Or \(CI=IA\).

✅ \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\) : \(C\) est sur le cercle de diamètre \([AB]\), donc \(ACB\) est rectangle en \(C\).

3) Déterminer puis construire \((E)=\{M\,/\,\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\dfrac{AB^2}8\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}4\) (médiane).

🔢 Étape 2 : \(MI^2-\dfrac{AB^2}4=\dfrac{AB^2}8\iff MI^2=\dfrac{3AB^2}8\).

✅ \((E)\) est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(\dfrac{AB\sqrt6}4\).

Exercice 22

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct de côté \(a>0\) et \(D\) le point tel que \(2\overrightarrow{DA}-2\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\vec0\).

1) Calculer \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) en fonction de \(a\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=a\times a\times\cos\dfrac\pi3\).

✅ \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{a^2}2\).

2) Montrer que \((AB)\parallel(DC)\).

Correction détaillée

🔢 \(2\overrightarrow{DA}-2\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{BA}\), donc \(2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DC}=\vec0\).

✅ \(\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{BA}\) : \((DC)\parallel(AB)\).

3) Calculer \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}\). En déduire une construction de \(D\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BA}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}=BC^2-2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=a^2-2\times\dfrac{a^2}2=0\).

✅ \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\). Construction : \(D\) est l’intersection de la perpendiculaire à \((BC)\) en \(B\) et de la parallèle à \((AB)\) passant par \(C\).

4.a) \(f(M)=2MA^2-2MB^2-MC^2\). Vérifier que \(f(C)=0\).

Correction détaillée

🔢 \(f(C)=2CA^2-2CB^2-0=2a^2-2a^2\).

✅ \(f(C)=0\) ✓.

4.b) Exprimer \(f(M)\) en fonction de \(MD\) et \(a\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Poids \(2,-2,-1\), somme \(-1\neq0\) et \(D=\mathrm{Bar}\{(A;2),(B;-2),(C;-1)\}\).

🔢 Étape 2 : \(f(M)=-MD^2+2DA^2-2DB^2-DC^2\).

🔢 Étape 3 : Repère \(B(0;0)\), \(C(a;0)\), \(A\left(\dfrac a2;\dfrac{a\sqrt3}2\right)\) : \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BA}=(0;-a\sqrt3)\), \(D(0;-a\sqrt3)\). \(DB^2=3a^2\), \(DC^2=a^2+3a^2=4a^2\), \(DA^2=\dfrac{a^2}4+\dfrac{27a^2}4=7a^2\).

🔢 Étape 4 : \(2DA^2-2DB^2-DC^2=14a^2-6a^2-4a^2=4a^2\).

✅ \(f(M)=4a^2-MD^2\).

4.c) En déduire l’ensemble \(F\) des points \(M\) tels que \(f(M)=0\).

Correction détaillée

🔢 \(f(M)=0\iff MD^2=4a^2\iff MD=2a\).

✅ \(F\) est le cercle de centre \(D\) et de rayon \(2a\) (il passe par \(C\) : \(DC=2a\)).

5) Soit \(g(M)=2\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{DB}+a^2\). Déterminer l’ensemble \(G\) des points \(M\) tels que \(g(M)=a^2\).

Correction détaillée

⚠️ Le signe et le terme \(a^2\) de \(g(M)\) sont partiellement masqués sur le scan (lu : \(g(M)=2\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{DB}+a^2\)).

🔢 Étape 1 : \(g(M)=a^2\iff\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{DB}=0\).

🔢 Étape 2 : \((DB)\perp(BC)\), donc le point \(M\) vérifie : \(\overrightarrow{CM}\perp\overrightarrow{DB}\), c’est-à-dire \(M\) est sur la perpendiculaire à \((DB)\) passant par \(C\).

✅ \(G\) est la droite \((BC)\).

6) Soit \(I\) l’autre point d’intersection de \(F\) et \(G\). Montrer que \(CDI\) est équilatéral.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Dans le repère : \(G=(BC)\) a pour équation \(y=0\) ; \(F\) : \(x^2+(y+a\sqrt3)^2=4a^2\).

🔢 Étape 2 : Avec \(y=0\) : \(x^2+3a^2=4a^2\iff x=\pm a\). On retrouve \(C(a;0)\) et \(I(-a;0)\).

🔢 Étape 3 : \(DC=DI=2a\) (rayon de \(F\)) et \(CI=2a\).

✅ \(DC=DI=CI=2a\) : \(CDI\) est équilatéral ✓.

Exercice 23

Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A(0;1)\) et de vecteur normal \(\vec n(2;1)\).

Équation de \((D)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rappels (repère orthonormé) : la droite d’équation \(ax+by+c=0\) a pour vecteur normal \(\vec n(a;b)\) et pour vecteur directeur \(\vec u(-b;a)\) ; la droite de vecteur normal \(\vec n(a;b)\) passant par \(A(x_A;y_A)\) a pour équation \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\) ; \(d(M_0,(D))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; deux droites sont parallèles (resp. perpendiculaires) si leurs vecteurs normaux sont colinéaires (resp. orthogonaux).

🔢 \(M(x;y)\in(D)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\iff2(x-0)+1\times(y-1)=0\).

✅ \((D):2x+y-1=0\).

Exercice 24

Donner un vecteur normal à chacune des droites \((D)\) suivantes.

1) \((D):x-2y+5=0\).

Correction détaillée

🔢 Les coefficients de \(x\) et \(y\) donnent un vecteur normal : \((1;-2)\).

✅ \(\vec n(1;-2)\).

2) \((D):2y-3=0\).

Correction détaillée

🔢 \(0\cdot x+2y-3=0\) : \(\vec n(0;2)\) (ou \((0;1)\)). Droite horizontale \(y=\dfrac32\).

✅ \(\vec n(0;2)\).

3) \((D):x-1=0\).

Correction détaillée

🔢 \(1\cdot x+0\cdot y-1=0\) : droite verticale \(x=1\).

✅ \(\vec n(1;0)\).

Exercice 25

Soient \(A(-3;0)\), \(B(3;0)\) et \(C(1;5)\).

1) Déterminer l’équation de la droite \((D)\) perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(C\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AB}(6;0)\) est normal à \((D)\) : \(6(x-1)+0\cdot(y-5)=0\).

✅ \((D):x=1\).

2) Déterminer l’équation de la droite \((\Delta)\) parallèle à \((AB)\) passant par \(C\).

Correction détaillée

🔢 \((AB)\) est l’axe des abscisses ; \((\Delta)\) est la droite horizontale passant par \(C\).

✅ \((\Delta):y=5\).

Exercice 26

Soient \(A(1;2)\), \(B(-2;3)\) et \(C(0;4)\).

1) Déterminer une équation de la médiatrice \((D)\) de \([AB]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : La médiatrice de \([AB]\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(MA=MB\) ; c’est la perpendiculaire à \((AB)\) en son milieu.

🔢 Étape 1 : Milieu de \([AB]\) : \(K\left(-\dfrac12;\dfrac52\right)\). \(\overrightarrow{AB}(-3;1)\) est normal à \((D)\).

🔢 Étape 2 : \(-3\left(x+\dfrac12\right)+1\cdot\left(y-\dfrac52\right)=0\iff-3x+y-4=0\).

✅ \((D):3x-y+4=0\) (vérification : \(K\) : \(-\dfrac32-\dfrac52+4=0\)).

2) Déterminer l’équation de la hauteur \((\Delta)\) du triangle \(ABC\) issue de \(A\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((\Delta)\perp(BC)\) : \(\overrightarrow{BC}(2;1)\) est normal à \((\Delta)\).

🔢 Étape 2 : \(2(x-1)+(y-2)=0\).

✅ \((\Delta):2x+y-4=0\).

Exercice 27

Étudier la position relative des droites \((D):2x+3y-1=0\) et \((D’):\dfrac32x-y+4=0\).

Position relative de \((D)\) et \((D’)\).

Correction détaillée

⚠️ Le coefficient de \(x\) dans \((D’)\) est lu \(\dfrac32\) sur le scan ; avec cette lecture les droites sont perpendiculaires.

🔢 Étape 1 : Vecteurs normaux : \(\vec n(2;3)\) et \(\vec n’\left(\dfrac32;-1\right)\).

🔢 Étape 2 : Déterminant : \(2\times(-1)-3\times\dfrac32=-\dfrac{13}2\neq0\) : les droites sont sécantes.

🔢 Étape 3 : Produit scalaire : \(\vec n\cdot\vec n’=3-3=0\) : elles sont même perpendiculaires.

🔢 Étape 4 : Point d’intersection : \(y=\dfrac32x+4\) dans \(2x+3y-1=0\) : \(2x+\dfrac92x+12-1=0\Rightarrow x=-\dfrac{22}{13}\), \(y=\dfrac{19}{13}\).

✅ \((D)\) et \((D’)\) sont perpendiculaires, sécantes en \(\left(-\dfrac{22}{13};\dfrac{19}{13}\right)\).

Exercice 28

Soit \((D):3x+4y+5=0\) et \(O\) l’origine du repère.

1) Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(O\) sur \((D)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(H\in(D)\) et \(\overrightarrow{OH}=t\,\vec n\) avec \(\vec n(3;4)\) : \(H(3t;4t)\).

🔢 Étape 2 : \(3(3t)+4(4t)+5=0\iff25t+5=0\iff t=-\dfrac15\).

✅ \(H\left(-\dfrac35;-\dfrac45\right)\).

2) Calculer \(d(O,(D))\).

Correction détaillée

🔢 \(d(O,(D))=\dfrac{|3\times0+4\times0+5|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac55\) (ou \(OH=\sqrt{\dfrac9{25}+\dfrac{16}{25}}\)).

✅ \(d(O,(D))=1\).

3) Déterminer le symétrique \(O’\) de \(O\) par rapport à \((D)\).

Correction détaillée

🔢 \(H\) est le milieu de \([OO’]\) : \(O’=2H\).

✅ \(O’\left(-\dfrac65;-\dfrac85\right)\).

Exercice 29

Soit \((D):2x-y+1=0\) et \(N\) le point de \((D)\) d’abscisse \(\alpha\).

1) Déterminer les coordonnées de \(N\).

Correction détaillée

🔢 \(N\in(D)\) : \(y=2\alpha+1\).

✅ \(N(\alpha;2\alpha+1)\).

2) Déterminer la distance \(ON\).

Correction détaillée

🔢 \(ON^2=\alpha^2+(2\alpha+1)^2=5\alpha^2+4\alpha+1\).

✅ \(ON=\sqrt{5\alpha^2+4\alpha+1}\).

3) Pour quelle valeur de \(\alpha\) la distance \(ON\) est-elle minimale ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(5\alpha^2+4\alpha+1=5\left(\alpha+\dfrac25\right)^2+\dfrac15\), minimal pour \(\alpha=-\dfrac25\).

🔢 Étape 2 : Valeur minimale : \(ON^2=\dfrac15\). On retrouve \(d(O,(D))=\dfrac{1}{\sqrt5}\).

✅ \(\alpha=-\dfrac25\), \(N\left(-\dfrac25;\dfrac15\right)\) = projeté orthogonal de \(O\) sur \((D)\) ; \(ON_{\min}=\dfrac{\sqrt5}5\).

Exercice 30

Soient la parabole \((P):y=x^2\) et la droite \((D):y=x-1\).

1) Tracer \((D)\) et \((P)\).

Correction détaillée

🔢 \((P)\) : sommet \(O\), points \((\pm1;1)\), \((\pm2;4)\). \((D)\) : points \((0;-1)\) et \((1;0)\).

✅ Voir tracé (la droite est sous la parabole : \(x-1<x^2\)).

2.a) Soit \(N_\alpha(\alpha;\alpha^2)\) un point de \((P)\). Exprimer \(d(N_\alpha,(D))\) en fonction de \(\alpha\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((D):x-y-1=0\). \(d(N_\alpha,(D))=\dfrac{|\alpha-\alpha^2-1|}{\sqrt2}\).

🔢 Étape 2 : \(\alpha^2-\alpha+1=\left(\alpha-\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0\), donc \(|\alpha-\alpha^2-1|=\alpha^2-\alpha+1\).

✅ \(d(N_\alpha,(D))=\dfrac{\alpha^2-\alpha+1}{\sqrt2}\).

2.b) Pour quelle valeur de \(\alpha\) cette distance est-elle minimale ?

Correction détaillée

🔢 \(\alpha^2-\alpha+1\) est minimal pour \(\alpha=\dfrac12\), valeur \(\dfrac34\).

✅ \(\alpha=\dfrac12\), \(N\left(\dfrac12;\dfrac14\right)\) et \(d_{\min}=\dfrac{3}{4\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}8\).

Exercice 31

Écrire l’équation du cercle de centre \(\Omega(-1;2)\) et de rayon \(3\).

Équation du cercle.

Correction détaillée

📘 Méthode : Rappels : le cercle de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(R\) a pour équation \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), soit \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\) avec \(c=a^2+b^2-R^2\). Réciproquement, pour \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\), on met sous forme canonique : \(\left(x+\dfrac\alpha2\right)^2+\left(y+\dfrac\beta2\right)^2=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}4-\gamma=k\) ; si \(k>0\) cercle de rayon \(\sqrt k\), si \(k=0\) un point, si \(k<0\) l’ensemble vide. Cercle de diamètre \([AB]\) : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).

🔢 Étape 1 : \((x+1)^2+(y-2)^2=9\).

🔢 Étape 2 : Développée : \(x^2+2x+1+y^2-4y+4-9=0\).

✅ \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\).

Exercice 32

Déterminer l’ensemble \((E)\) des points \(M(x;y)\) vérifiant chacune des équations.

1) \(x^2+y^2-x+3y-4=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14+\left(y+\dfrac32\right)^2-\dfrac94-4=0\).

🔢 Étape 2 : \(\left(x-\dfrac12\right)^2+\left(y+\dfrac32\right)^2=\dfrac{26}4=\dfrac{13}2>0\).

✅ Cercle de centre \(\left(\dfrac12;-\dfrac32\right)\) et de rayon \(\sqrt{\dfrac{13}2}=\dfrac{\sqrt{26}}2\).

2) \(x^2+y^2-6x+2y+10=0\).

Correction détaillée

🔢 \((x-3)^2-9+(y+1)^2-1+10=0\iff(x-3)^2+(y+1)^2=0\).

✅ \((E)=\{(3;-1)\}\) (un seul point).

3) \(x^2+y^2-4x+5=0\).

Correction détaillée

🔢 \((x-2)^2-4+y^2+5=0\iff(x-2)^2+y^2=-1<0\).

✅ \((E)=\varnothing\).

Exercice 33

Déterminer l’équation du cercle de diamètre \([AB]\) avec \(A(1;2)\) et \(B(-3;1)\).

Équation du cercle de diamètre \([AB]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Cercle de diamètre \([AB]\) : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) (ou centre = milieu, rayon \(=\dfrac{AB}2\)).

🔢 Étape 1 : \(M(x;y)\) est sur le cercle \(\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff(1-x)(-3-x)+(2-y)(1-y)=0\).

🔢 Étape 2 : \(\iff(x-1)(x+3)+(y-2)(y-1)=0\iff x^2+2x-3+y^2-3y+2=0\).

🔢 Étape 3 : Contrôle : centre \(\left(-1;\dfrac32\right)\), \(R^2=\dfrac{AB^2}4=\dfrac{17}4\).

✅ \(x^2+y^2+2x-3y-1=0\).

Exercice 34

Déterminer l’équation du cercle circonscrit au triangle donné, dans chacun des cas.

1) \(A(2;3)\), \(B(0;1)\), \(C(-4;5)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Trois points non alignés déterminent un cercle : écrire que leurs coordonnées vérifient \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) et résoudre le système.

🔢 Étape 1 : On cherche \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) : \(A\) : \(13+2a+3b+c=0\) ; \(B\) : \(1+b+c=0\) ; \(C\) : \(41-4a+5b+c=0\).

🔢 Étape 2 : \(c=-1-b\). \(A\) : \(a+b=-6\). \(C\) : \(-a+b=-10\). Donc \(b=-8\), \(a=2\), \(c=7\).

🔢 Étape 3 : Contrôle : \(A\) : \(4+9+4-24+7=0\) ✓ ; centre \((-1;4)\), \(R^2=1+16-7=10\).

✅ \(x^2+y^2+2x-8y+7=0\) : centre \((-1;4)\), rayon \(\sqrt{10}\).

2) \(O(0;0)\), \(E(5;2)\), \(F(2;4)\).

Correction détaillée

⚠️ Le sommet \(O\) du second triangle est lu « \(OEF\) » sur le scan (\(O\) = origine).

🔢 Étape 1 : \(O\) : \(c=0\). \(E\) : \(29+5a+2b=0\). \(F\) : \(20+2a+4b=0\iff a=-10-2b\).

🔢 Étape 2 : \(29-50-10b+2b=0\iff b=-\dfrac{21}8\), puis \(a=-10+\dfrac{21}4=-\dfrac{19}4\).

✅ \(x^2+y^2-\dfrac{19}4x-\dfrac{21}8y=0\), soit \(8x^2+8y^2-38x-21y=0\) ; centre \(\left(\dfrac{19}8;\dfrac{21}{16}\right)\).

3) \(A(3;4)\), \(B(4;1)\), \(C(2;-3)\) (montrer d’abord que les points ne sont pas alignés).

Correction détaillée

⚠️ Les points \(A(-1;0)\), \(B(1;2)\), \(C(5;-2)\) (même énoncé dans la série « Exercices non corrigés ») se traitent par la même méthode : doublon non repris.

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(1;-3)\), \(\overrightarrow{AC}(-1;-7)\) : \(\det=1\times(-7)-(-3)(-1)=-10\neq0\), donc non alignés.

🔢 Étape 2 : Système : \(A\) : \(25+3a+4b+c=0\) ; \(B\) : \(17+4a+b+c=0\) ; \(C\) : \(13+2a-3b+c=0\).

🔢 Étape 3 : \(A-B\) : \(8-a+3b=0\) ; \(B-C\) : \(4+2a+4b=0\). Donc \(a=8+3b\) et \(a=-2-2b\) : \(b=-2\), \(a=2\), \(c=-23\).

✅ \(x^2+y^2+2x-2y-23=0\) : centre \((-1;1)\), rayon \(5\).

Exercice 35

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère \(A(2;6)\), \(B(8;2)\) et \(C(-3;-9)\).

1) Montrer que l’ensemble \((\mathcal C)\) des points \(M(x;y)\) vérifiant \(x^2+y^2-2x+4y-60=0\) est un cercle dont on précisera le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\).

Correction détaillée

🔢 \((x-1)^2-1+(y+2)^2-4-60=0\iff(x-1)^2+(y+2)^2=65\).

✅ \((\mathcal C)\) est le cercle de centre \(\Omega(1;-2)\), de rayon \(R=\sqrt{65}\).

2) Montrer que \((\mathcal C)\) est le cercle circonscrit à \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A\) : \(4+36-4+24-60=0\) ✓.

🔢 Étape 2 : \(B\) : \(64+4-16+8-60=0\) ✓.

🔢 Étape 3 : \(C\) : \(9+81+6-36-60=0\) ✓.

✅ \(A,B,C\in(\mathcal C)\) : c’est le cercle circonscrit à \(ABC\).

3) Donner l’équation de la droite \((D)\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{BC}(-11;-11)\), colinéaire à \((1;1)\) : \(\vec n(1;1)\) normal à \((D)\).

🔢 Étape 2 : \((x-2)+(y-6)=0\).

✅ \((D):x+y-8=0\).

4) Que représente \((D)\) pour le triangle \(ABC\) ?

Correction détaillée

🔢 \((D)\) passe par le sommet \(A\) et est perpendiculaire au côté opposé \((BC)\).

✅ \((D)\) est la hauteur du triangle \(ABC\) issue de \(A\).

Exercice 36

Repère orthonormé direct ; \(A(-1;1)\), \(B(1;3)\) et \(C(3;1)\).

1) Déterminer le milieu \(I\) de \([AC]\) et le centre de gravité \(G\) de \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I\left(\dfrac{-1+3}2;\dfrac{1+1}2\right)=(1;1)\).

🔢 Étape 2 : \(G\left(\dfrac{-1+1+3}3;\dfrac{1+3+1}3\right)\).

✅ \(I(1;1)\) et \(G\left(1;\dfrac53\right)\).

2.a) Vérifier que \(A\), \(B\), \(C\) vérifient \((\mathcal C):x^2+y^2-2x-2y-2=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A\) : \(1+1+2-2-2=0\) ✓.

🔢 Étape 2 : \(B\) : \(1+9-2-6-2=0\) ✓.

🔢 Étape 3 : \(C\) : \(9+1-6-2-2=0\) ✓.

✅ Les trois points appartiennent à \((\mathcal C)\).

2.b) Déterminer l’ensemble \((\mathcal C)\) des points \(M(x;y)\) vérifiant cette équation.

Correction détaillée

🔢 \((x-1)^2+(y-1)^2=1+1+2=4\).

✅ Cercle de centre \(\Omega(1;1)\) et de rayon \(2\).

2.c) Que représente \((\mathcal C)\) pour le triangle \(ABC\) ?

Correction détaillée

🔢 \(A,B,C\in(\mathcal C)\). De plus \(\Omega=I\), milieu de \([AC]\), et \(R=\dfrac{AC}2=2\) : \([AC]\) est un diamètre ; \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-2)(2)+(-2)(-2)=0\).

✅ \((\mathcal C)\) est le cercle circonscrit à \(ABC\) ; le triangle est rectangle en \(B\) et \([AC]\) en est l’hypoténuse.

2.d) Donner l’équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal C)\) en \(A\).

Correction détaillée

📘 Méthode : La tangente en \(A\in(\mathcal C)\) est la perpendiculaire à \((\Omega A)\) en \(A\) : \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).

🔢 \(\overrightarrow{\Omega A}(-2;0)\) est normal à \((T)\) : \(-2(x+1)=0\).

✅ \((T):x=-1\).

2.e) Donner l’équation de la droite \((\Delta)\) passant par \(E(-2;0)\) et de vecteur normal \(\vec n(1;-1)\).

Correction détaillée

🔢 \(1(x+2)-1(y-0)=0\).

✅ \((\Delta):x-y+2=0\).

2.f) Vérifier que \((\Delta)\) passe par \(A\) et \(B\).

Correction détaillée

🔢 \(A\) : \(-1-1+2=0\) ✓ ; \(B\) : \(1-3+2=0\) ✓.

✅ \((\Delta)=(AB)\).

2.g) Montrer que la droite \((D):y+1=0\) est tangente à \((\mathcal C)\) en un point \(F\) à déterminer.

Correction détaillée

📘 Méthode : \(d(\Omega,(D))=R\iff(D)\) tangente à \((\mathcal C)\).

🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,(D))=|1+1|=2=R\), donc tangente.

🔢 Étape 2 : Le point de contact est le projeté de \(\Omega\) sur \((D)\) : \(F(1;-1)\).

✅ \((D)\) est tangente à \((\mathcal C)\) en \(F(1;-1)\).

3) Construire le cercle \((\mathcal C)\) puis la droite d’équation \(x-y+2=0\).

Correction détaillée

🔢 Centre \(\Omega(1;1)\), rayon \(2\) ; la droite passe par \(E(-2;0)\), \(A(-1;1)\), \(B(1;3)\).

✅ La droite est la sécante \((AB)\).

4) Représenter l’ensemble des points vérifiant \(x^2+y^2-2x-2y-2<0\) et \(x-y+2\ge0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^2+y^2-2x-2y-2<0\iff\Omega M<2\) : disque ouvert.

🔢 Étape 2 : \(x-y+2\ge0\iff y\le x+2\) : demi-plan fermé contenant \(\Omega\) (\(1-1+2=2>0\)) et limité par \((AB)\).

✅ C’est la partie du disque ouvert située du même côté de \((AB)\) que le centre \(\Omega\) (la plus grande des deux parties), frontière \((AB)\) incluse.

Exercice 37

Étudier la position relative du cercle \((\mathcal C)\) de centre \(\Omega(1;2)\) et de rayon \(R\) et de la droite \((D)\), dans chaque cas.

1) \(R=2\) et \((D):x+y+2=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rappels : pour un cercle \((\mathcal C)\) de centre \(\Omega\) et de rayon \(R\), et une droite \((D)\), on pose \(d=d(\Omega,(D))\) : si \(d>R\), la droite est extérieure ; si \(d=R\), elle est tangente (le point de contact est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((D)\)) ; si \(d<R\), elle est sécante en deux points. Tangente en \(A\in(\mathcal C)\) : \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\). Un point \(M\) est intérieur (resp. extérieur) si \(\Omega M<R\) (resp. \(>R\)).

🔢 \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|1+2+2|}{\sqrt2}=\dfrac5{\sqrt2}\approx3{,}54\).

✅ \(d>R\) : la droite est extérieure au cercle (pas d’intersection).

2) \(R=2\) et \((D):x-y+2=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(d=\dfrac{|1-2+2|}{\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}<2\).

🔢 Étape 2 : Points d’intersection : \(y=x+2\) dans \((x-1)^2+(y-2)^2=4\) : \((x-1)^2+x^2=4\iff2x^2-2x-3=0\), \(x=\dfrac{1\pm\sqrt7}2\).

✅ \(d<R\) : sécante, en \(\left(\dfrac{1\pm\sqrt7}2\,;\dfrac{5\pm\sqrt7}2\right)\).

3) \(R=1\) et \((D):y=3\).

Correction détaillée

🔢 \(d=|2-3|=1=R\).

✅ La droite est tangente au cercle au point \(H(1;3)\) (projeté de \(\Omega\)).

Exercice 38

Résoudre graphiquement chaque système d’inéquations.

1) \((S):\ x^2+y^2-2x-4y+\dfrac{11}4<0\) et \(x^2+y^2-4x-4>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : 1re : \((x-1)^2+(y-2)^2<5-\dfrac{11}4=\dfrac94\) : disque ouvert de centre \(\Omega_1(1;2)\), rayon \(\dfrac32\).

🔢 Étape 2 : 2e : \((x-2)^2+y^2>8\) : extérieur du cercle de centre \(\Omega_2(2;0)\), rayon \(2\sqrt2\).

🔢 Étape 3 : \(\Omega_1\Omega_2=\sqrt5\approx2{,}24\) ; \(R_2-R_1\approx1{,}33<\sqrt5<R_1+R_2\) : les cercles se coupent.

✅ Les solutions forment la partie du disque ouvert \(D(\Omega_1;\tfrac32)\) extérieure au disque (fermé) de centre \(\Omega_2\) : un « croissant » (frontières exclues).

2) \((S):\ x^2+y^2-4x<0\) et \(x-y-1>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : 1re : \((x-2)^2+y^2<4\) : disque ouvert de centre \((2;0)\), rayon \(2\).

🔢 Étape 2 : 2e : \(y<x-1\) : demi-plan ouvert situé sous la droite \(y=x-1\).

🔢 Étape 3 : La droite coupe le cercle (\(d=\dfrac1{\sqrt2}<2\)) aux points d’abscisses \(\dfrac{3\pm\sqrt7}2\).

✅ Les solutions sont les points du disque ouvert situés strictement sous la droite \(y=x-1\) (segment circulaire).

Exercice 39

Soit \((\mathcal C):x^2+y^2-4x-2y+1=0\).

1) Montrer que \(A(0;1)\in(\mathcal C)\).

Correction détaillée

🔢 \(0+1-0-2+1=0\) ✓. Forme canonique : \((x-2)^2+(y-1)^2=4\) : centre \(\Omega(2;1)\), rayon \(2\).

✅ \(A\in(\mathcal C)\).

2) Déterminer l’équation de la tangente à \((\mathcal C)\) en \(A\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{\Omega A}(-2;0)\) est normal à la tangente : \(-2(x-0)+0\cdot(y-1)=0\).

✅ Tangente : \(x=0\) (l’axe des ordonnées).

Exercice 40

Repère orthonormé. \(A(1;1)\) et \((\Delta):2x-y-3=0\). Soit \((\mathcal C)\) le cercle de centre \(\Omega(3;2)\) et de rayon \(\sqrt5\).

1) Calculer \(d(A,(\Delta))\).

Correction détaillée

🔢 \(d(A,(\Delta))=\dfrac{|2\times1-1-3|}{\sqrt{4+1}}=\dfrac2{\sqrt5}\).

✅ \(d(A,(\Delta))=\dfrac{2\sqrt5}5\) (donc \(A\notin(\Delta)\)).

2) Déterminer l’équation cartésienne de \((\mathcal C)\).

Correction détaillée

🔢 \((x-3)^2+(y-2)^2=5\).

✅ \(x^2+y^2-6x-4y+8=0\) ; \(A\in(\mathcal C)\) car \(1+1-6-4+8=0\).

3) Montrer que \((\Delta)\) est tangente à \((\mathcal C)\) en \(A\).

Correction détaillée

⚠️ Incohérence de l’énoncé : avec \(A(1;1)\) et \((\Delta):2x-y-3=0\), \(A\notin(\Delta)\) ; la tangente en \(A\) à \((\mathcal C)\) est \(2x+y-3=0\). On a corrigé l’énoncé tel que lu, et indiqué la droite probablement voulue.

🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,(\Delta))=\dfrac{|6-2-3|}{\sqrt5}=\dfrac1{\sqrt5}\neq\sqrt5\).

🔢 Étape 2 : Par ailleurs \(A\notin(\Delta)\) (question 1).

✅ Avec l’énoncé lu, \((\Delta)\) n’est pas tangente : elle coupe \((\mathcal C)\). La tangente en \(A\) est \(2x+y-3=0\) (normal \(\overrightarrow{\Omega A}(-2;-1)\)), ce qui est sans doute l’énoncé voulu.

Exercice 41

Soit \((\mathcal C):(x-2)^2+(y-1)^2=4\), \(A(5;6)\) et \(B(4;5)\).

1) Vérifier que \(A\) est à l’extérieur de \((\mathcal C)\).

Correction détaillée

🔢 \(\Omega(2;1)\), \(\Omega A^2=9+25=34>4\).

✅ \(\Omega A=\sqrt{34}>2\) : \(A\) est extérieur.

2.a) Équation de la droite \((\delta)\) passant par \(A\), parallèle à l’axe des ordonnées.

Correction détaillée

🔢 Droite verticale d’abscisse \(5\).

✅ \((\delta):x=5\).

2.b) \((\delta)\) est-elle tangente à \((\mathcal C)\) ?

Correction détaillée

🔢 \(d(\Omega,(\delta))=|5-2|=3\neq2\).

✅ Non : \(d=3>R=2\), \((\delta)\) est extérieure.

3.a) Soit \((\Delta):y=mx+p\) une droite passant par \(A\), non parallèle à \((Oy)\). Déterminer \(p\) en fonction de \(m\).

Correction détaillée

🔢 \(A\in(\Delta)\) : \(6=5m+p\).

✅ \(p=6-5m\), donc \((\Delta):mx-y+6-5m=0\).

3.b) Déterminer \(m\) pour que \((\Delta)\) soit tangente à \((\mathcal C)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,(\Delta))=\dfrac{|2m-1+6-5m|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{|5-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=2\).

🔢 Étape 2 : \((5-3m)^2=4(m^2+1)\iff9m^2-30m+25=4m^2+4\iff5m^2-30m+21=0\).

🔢 Étape 3 : \(\Delta’=900-420=480\), \(m=\dfrac{30\pm4\sqrt{30}}{10}\).

✅ \(m=3\pm\dfrac{2\sqrt{30}}5\) : il y a deux tangentes issues de \(A\).

4.a) Montrer que la droite passant par \(B\) et parallèle à l’axe des ordonnées est tangente à \((\mathcal C)\).

Correction détaillée

🔢 La droite est \(x=4\) ; \(d(\Omega,\cdot)=|4-2|=2=R\).

✅ Tangente en \(T(4;1)\).

4.b) Soit \((\Delta’):y=mx+p\) une droite passant par \(B\), non parallèle à \((Oy)\). Déterminer \(m\) pour qu’elle soit tangente à \((\mathcal C)\).

Correction détaillée

⚠️ La fin de l’énoncé (« Déterminer \(m\) pour que \((\Delta)\) soit tangente ») est coupée sur le scan ; lu avec \((\Delta’)\).

🔢 Étape 1 : \(p=5-4m\) : \(mx-y+5-4m=0\).

🔢 Étape 2 : \(d(\Omega,(\Delta’))=\dfrac{|2m-1+5-4m|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{|4-2m|}{\sqrt{m^2+1}}=2\iff(2-m)^2=m^2+1\iff4-4m=1\).

✅ \(m=\dfrac34\), \(p=2\) : \((\Delta’):y=\dfrac34x+2\). (Avec \(x=4\) : les deux tangentes issues de \(B\).)

Exercice 42

Résoudre graphiquement l’inéquation \((x^2+y^2-4x-6y+9)(2x-y+1)\le0\).

Résolution graphique.

Correction détaillée

📘 Méthode : Étudier le signe de chaque facteur sur le plan (cercle / droite), puis la règle des signes d’un produit.

🔢 Étape 1 : Premier facteur : \(x^2+y^2-4x-6y+9=(x-2)^2+(y-3)^2-4\) : négatif à l’intérieur du cercle \((\mathcal C)\) de centre \(\Omega(2;3)\), rayon \(2\), positif à l’extérieur.

🔢 Étape 2 : Second facteur : \(2x-y+1\) est \(\ge0\) du côté de \(\Omega\) (\(4-3+1=2>0\)), c’est-à-dire sous la droite \((D):y=2x+1\), et \(\le0\) au-dessus.

🔢 Étape 3 : \(d(\Omega,(D))=\dfrac2{\sqrt5}<2\) : \((D)\) coupe le cercle.

🔢 Étape 4 : Produit \(\le0\) : facteurs de signes contraires (ou nul).

✅ Le produit est \(\le0\) dans deux cas : (disque fermé) \(\cap\) (\(2x-y+1\ge0\), c’est-à-dire sous la droite \((D)\)) ; ou (extérieur du disque, cercle inclus) \(\cap\) (\(2x-y+1\le0\), c’est-à-dire sur ou au-dessus de \((D)\)). Les points du cercle et de la droite sont inclus (produit nul).

Exercice 43

Donner une représentation paramétrique du cercle de centre \(\Omega(1;-2)\) et de rayon \(\sqrt2\).

Représentation paramétrique.

Correction détaillée

📘 Méthode : Rappels : le cercle de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(R\) a pour représentation paramétrique \(\begin{cases}x=a+R\cos\theta\\y=b+R\sin\theta\end{cases}\), \(\theta\in[0;2\pi[\). Pour une famille \((\mathcal C_m)\), on met l’équation sous forme canonique pour trouver centre et rayon en fonction de \(m\) ; un point fixe est un point dont les coordonnées annulent les coefficients de \(m\).

🔢 \(x=1+\sqrt2\cos\theta\) et \(y=-2+\sqrt2\sin\theta\).

✅ \(\begin{cases}x=1+\sqrt2\cos\theta\\y=-2+\sqrt2\sin\theta\end{cases}\), \(\theta\in[0;2\pi[\).

Exercice 44

Déterminer l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(x=3+\sqrt3\cos\theta\), \(y=1+\sqrt3\sin\theta\), \(\theta\in\mathbb R\).

Ensemble des points \(M\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x-3=\sqrt3\cos\theta\), \(y-1=\sqrt3\sin\theta\).

🔢 Étape 2 : \((x-3)^2+(y-1)^2=3(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=3\).

✅ Cercle de centre \((3;1)\) et de rayon \(\sqrt3\).

Exercice 45

Soit \((\mathcal C)\) l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(x=2+2\cos\theta\) et \(y=2\sin\theta\).

1) Montrer que \((\mathcal C)\) est un cercle ; donner son centre \(\Omega\), son rayon \(R\) et une équation cartésienne.

Correction détaillée

⚠️ Les questions suivantes sont lues comme la suite de cet exercice (cercle \(x^2+y^2=4x\)), seule lecture cohérente avec \((\Delta):y=x\) et \(\dfrac{x^2+y^2}4\le x\le y\).

🔢 \((x-2)^2+y^2=4(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=4\).

✅ Cercle de centre \(\Omega(2;0)\), de rayon \(R=2\) ; \(x^2+y^2-4x=0\).

2) Soit \(A(-1;0)\). Montrer que \(A\) est extérieur à \((\mathcal C)\) et déterminer les équations des deux tangentes issues de \(A\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\Omega A=3>2\) : \(A\) est extérieur.

🔢 Étape 2 : La droite \(x=-1\) est à la distance \(3\) de \(\Omega\) : non tangente. Une tangente non verticale s’écrit \(y=m(x+1)\iff mx-y+m=0\).

🔢 Étape 3 : \(d(\Omega,\cdot)=\dfrac{|2m+m|}{\sqrt{m^2+1}}=2\iff9m^2=4m^2+4\iff m^2=\dfrac45\).

✅ \(m=\pm\dfrac{2}{\sqrt5}\) : tangentes \(y=\dfrac{2\sqrt5}5(x+1)\) et \(y=-\dfrac{2\sqrt5}5(x+1)\).

3) Déterminer les équations des deux tangentes à \((\mathcal C)\) parallèles à \((D):3x-4y=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Une droite parallèle à \((D)\) a pour équation \(3x-4y+k=0\).

🔢 Étape 2 : Tangente : \(\dfrac{|6+k|}{5}=2\iff6+k=\pm10\iff k=4\) ou \(k=-16\).

✅ \(3x-4y+4=0\) et \(3x-4y-16=0\).

4.a) La droite \((\Delta):y=x\) coupe \((\mathcal C)\) en deux points : les déterminer.

Correction détaillée

🔢 \(x^2+x^2-4x=0\iff2x(x-2)=0\).

✅ \(O(0;0)\) et \(P(2;2)\).

4.b) Représenter l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(\dfrac{x^2+y^2}4\le x\le y\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{x^2+y^2}4\le x\iff x^2+y^2-4x\le0\) : disque fermé de centre \(\Omega(2;0)\), rayon \(2\).

🔢 Étape 2 : \(x\le y\) : demi-plan fermé situé au-dessus de la droite \(y=x\).

✅ C’est le segment circulaire délimité par la corde \([OP]\) et l’arc de cercle situé au-dessus de \((\Delta)\) (frontières incluses), du côté qui ne contient pas \(\Omega\).

Exercice 46

Soit \((\mathcal C_m):x^2+y^2-2mx+2y+2m=0\), \(m\in\mathbb R\).

1) Déterminer l’ensemble \((\mathcal C_1)\).

Correction détaillée

🔢 \(m=1\) : \(x^2+y^2-2x+2y+2=0\iff(x-1)^2+(y+1)^2=0\).

✅ \((\mathcal C_1)=\{(1;-1)\}\).

2.a) Pour \(m\neq1\), montrer que \((\mathcal C_m)\) est un cercle de centre \(\Omega_m\) et de rayon \(R_m\).

Correction détaillée

🔢 \((x-m)^2-m^2+(y+1)^2-1+2m=0\iff(x-m)^2+(y+1)^2=m^2-2m+1=(m-1)^2\).

✅ \(\Omega_m(m;-1)\), \(R_m=|m-1|>0\).

2.b) Déterminer l’ensemble des centres \(\Omega_m\).

Correction détaillée

🔢 \(\Omega_m(m;-1)\) : l’ordonnée est constante.

✅ Les centres décrivent la droite \(y=-1\) (privée de \(I(1;-1)\) car \(m\neq1\)).

2.c) Montrer que tous les cercles passent par un point fixe \(I\) ; tracer \((\mathcal C_0)\), \((\mathcal C_2)\), \((\mathcal C_3)\).

Correction détaillée

⚠️ Les valeurs \(0,2,3\) de \(m\) sont lues « \(C_0,C_2,C_3\) » sur le scan.

🔢 Étape 1 : Équation en \(m\) : \(x^2+y^2+2y+m(2-2x)=0\). Ce point est fixe s’il vérifie : \(2-2x=0\) et \(x^2+y^2+2y=0\).

🔢 Étape 2 : \(x=1\) puis \(1+y^2+2y=0\iff(y+1)^2=0\iff y=-1\).

🔢 Étape 3 : \(\mathcal C_0\) : centre \((0;-1)\), \(R=1\) ; \(\mathcal C_2\) : \((2;-1)\), \(R=1\) ; \(\mathcal C_3\) : \((3;-1)\), \(R=2\).

✅ Point fixe \(I(1;-1)\) ; les cercles sont tous tangents entre eux en \(I\).

3.a) Montrer que la droite \((\Delta):x=1\) est tangente à tous les cercles \((\mathcal C_m)\).

Correction détaillée

🔢 \(d(\Omega_m,(\Delta))=|m-1|=R_m\).

✅ \((\Delta)\) est tangente à \((\mathcal C_m)\) au point \(I(1;-1)\).

3.b) Soit \(m>-\dfrac32\), \(m\neq1\), et \(A(0;1)\). Montrer que \(A\) est extérieur à \((\mathcal C_m)\) et que \((AI)\) n’est pas tangente à \((\mathcal C_m)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\Omega_mA^2=m^2+4\) et \(R_m^2=m^2-2m+1\) ; \(\Omega_mA^2-R_m^2=2m+3>0\iff m>-\dfrac32\).

🔢 Étape 2 : La tangente en \(I\) à \((\mathcal C_m)\) est \((\Delta):x=1\). \(\overrightarrow{AI}(1;-2)\) n’est pas vertical : \((AI)\neq(\Delta)\).

🔢 Étape 3 : \((AI)\) passe par \(I\in(\mathcal C_m)\) et n’est pas la tangente en \(I\).

✅ \(A\) est extérieur à \((\mathcal C_m)\), et \((AI)\) est sécante à \((\mathcal C_m)\) (coupe aussi en un second point) : elle n’est pas tangente.

Exercice 47

Soit \((\mathcal C_m):x^2+y^2-2mx+4my+4m^2-1=0\), \(m\in\mathbb R\).

1) Montrer que pour tout \(m\), \((\mathcal C_m)\) est un cercle ; préciser son centre.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((x-m)^2-m^2+(y+2m)^2-4m^2+4m^2-1=0\iff(x-m)^2+(y+2m)^2=m^2+1\).

🔢 Étape 2 : \(m^2+1\ge1>0\) pour tout \(m\).

✅ Cercle de centre \(\Omega_m(m;-2m)\) et de rayon \(\sqrt{m^2+1}\).

2) Déterminer l’équation cartésienne du plus petit cercle \((\mathcal C_m)\).

Correction détaillée

🔢 Le rayon \(\sqrt{m^2+1}\) est minimal pour \(m=0\) (valeur \(1\)).

✅ \((\mathcal C_0):x^2+y^2=1\).

3) Déterminer l’ensemble des centres \(\Omega_m\) quand \(m\) décrit \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(x=m\), \(y=-2m\), donc \(y=-2x\).

✅ Les centres décrivent la droite \(y=-2x\).

4.a) Pour quelles valeurs de \(m\) le point \(A(-1;2)\) appartient-il à \((\mathcal C_m)\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(1+4+2m+8m+4m^2-1=0\iff4m^2+10m+4=0\iff2m^2+5m+2=0\).

🔢 Étape 2 : \(\Delta=25-16=9\), \(m=\dfrac{-5\pm3}4\).

✅ \(m=-\dfrac12\) ou \(m=-2\).

4.b) Soit \(M_0(x_0;y_0)\) donné. Existe-t-il toujours des réels \(m\) tels que \(M_0\in(\mathcal C_m)\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(M_0\in(\mathcal C_m)\iff4m^2+(4y_0-2x_0)m+x_0^2+y_0^2-1=0\) : équation du second degré en \(m\).

🔢 Étape 2 : \(\Delta=(4y_0-2x_0)^2-16(x_0^2+y_0^2-1)=-12x_0^2-16x_0y_0+16\).

✅ Non, pas toujours : il existe des valeurs de \(m\) si et seulement si \(3x_0^2+4x_0y_0-4\le0\) (deux valeurs si \(<0\), une si \(=0\), aucune sinon).

5) Déterminer s’il existe un point commun à tous les cercles \((\mathcal C_m)\).

Correction détaillée

🔢 Un point commun vérifie \(4m^2+(4y-2x)m+x^2+y^2-1=0\) pour tout \(m\) : polynôme nul, donc le coefficient de \(m^2\), qui vaut \(4\), serait nul.

✅ Impossible : l’intersection de tous les cercles \((\mathcal C_m)\) est vide.