Généralités sur les fonctions 1 Bac SC Ex · exercices corrigés

Cette série d’exercices corrigés sur les généralités sur les fonctions pour la 1ère Bac Sc Ex couvre le domaine, la parité, les variations et les extremums, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Exercices corrigés de généralités sur les fonctions 1ère Bac

Généralités sur les fonctions · Série de synthèse 1ère Bac

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape
Partie I. Domaine de définition
Exercice 1
Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de chacune des fonctions suivantes.
1) \(f(x)=3x^2-x+1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappel : \(\frac{u}{v}\) exige \(v\neq0\) ; \(\sqrt{u}\) exige \(u\geq0\) ; \(\frac1{\sqrt u}\) exige \(u>0\) ; \(\tan\) ou \(\frac1{\cos}\) exigent \(\cos x\neq0\). Le domaine est l’intersection de toutes les conditions ; on le note \(D_f\).
🔢 Polynôme : aucune condition.
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2) \(f(x)=\dfrac{x^3}{2x-4}\).
Correction détaillée
🔢 \(2x-4=0\iff x=2\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}\).
3) \(f(x)=\dfrac{2x^4}{x^2-4}\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-4=0\iff x=2\) ou \(x=-2\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-2;2\}\).
4) \(f(x)=\dfrac{7x-1}{x^3-2x}\).
Correction détaillée
🔢 \(x^3-2x=x(x^2-2)=0\iff x=0\) ou \(x=\pm\sqrt2\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-\sqrt2;0;\sqrt2\}\).
5) \(f(x)=\sqrt{-3x+6}\).
Correction détaillée
🔢 \(-3x+6\geq0\iff x\leq2\).
✅ \(D_f=]-\infty;2]\).
6) \(f(x)=\dfrac{x-5}{2x^2-5x-3}\).
Correction détaillée
🔢 \(\Delta=25+24=49\), racines \(x=\frac{5\pm7}{4}\), c’est-à-dire \(3\) et \(-\frac12\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-\frac12;3\}\).
7) \(f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), de racines \(1\) et \(2\).
🔢 Étape 2 : Un trinôme de coefficient dominant positif est \(\geq0\) à l’extérieur des racines.
✅ \(D_f=]-\infty;1]\cup[2;+\infty[\).
8) \(f(x)=\sqrt{\dfrac{-3x+9}{x+1}}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Il faut \(x\neq-1\) et \(\frac{-3x+9}{x+1}\geq0\).
🔢 Étape 2 : Tableau de signes : \(-3x+9>0\iff x<3\) ; \(x+1>0\iff x>-1\). Le quotient est négatif sur \(]-\infty;-1[\), positif sur \(]-1;3]\) (il s’annule en \(3\)), négatif sur \(]3;+\infty[\).
✅ \(D_f=]-1;3]\).
9) \(f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{-2x^2+x+3}}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Il faut \(-2x^2+x+3>0\) (strict, car au dénominateur).
🔢 Étape 2 : \(\Delta=1+24=25\), racines \(\frac{-1\pm5}{-4}\), c’est-à-dire \(-1\) et \(\frac32\). Le coefficient dominant est négatif : le trinôme est positif entre les racines.
✅ \(D_f=]-1;\frac32[\).
10) \(f(x)=\dfrac{|x-5|}{x^2+1}\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2+1\geq1>0\) pour tout \(x\), donc le dénominateur ne s’annule jamais.
✅ \(D_f=\mathbb R\).
11) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{|x|}}{x}\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{|x|}\) existe toujours ; il reste \(x\neq0\).
✅ \(D_f=\mathbb R^*\).
12) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}\).
Correction détaillée
🔢 \(x+2\geq0\iff x\geq-2\) et \(x\neq1\).
✅ \(D_f=[-2;+\infty[\setminus\{1\}=[-2;1[\cup]1;+\infty[\).
13) \(f(x)=3x^2-\dfrac1x+\sqrt{-x}\).
Correction détaillée
⚠️ Lecture retenue : \(3x^2-\frac1x+\sqrt{-x}\). Si l’énoncé est \(\frac{3x^2-1}{x}+\sqrt{-x}\), le domaine est le même.
🔢 \(x\neq0\) (dénominateur) et \(-x\geq0\iff x\leq0\).
✅ \(D_f=]-\infty;0[\).
14) \(f(x)=\dfrac{x}{|2x-4|-|x-1|}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(|2x-4|=|x-1|\iff 2x-4=x-1\) ou \(2x-4=-(x-1)\).
🔢 Étape 2 : Première équation : \(x=3\). Deuxième : \(3x=5\), \(x=\frac53\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{\frac53;3\}\).
15) \(f(x)=\dfrac{2\sin x}{2\cos x-1}\).
Correction détaillée
🔢 \(2\cos x-1=0\iff\cos x=\frac12=\cos\frac\pi3\iff x=\pm\frac\pi3+2k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{\pm\frac\pi3+2k\pi\ ;\ k\in\mathbb Z\}\).
16) \(f(x)=\sqrt{\dfrac{-2x^2+2x+13}{x^2-x-6}}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Numérateur : \(\Delta=4+104=108=(6\sqrt3)^2\), racines \(x_1=\frac{1-3\sqrt3}{2}\approx-2{,}10\) et \(x_2=\frac{1+3\sqrt3}{2}\approx3{,}10\) ; positif entre elles.
🔢 Étape 2 : Dénominateur : racines \(-2\) et \(3\) ; positif à l’extérieur, nul interdit.
🔢 Étape 3 : Signe du quotient : négatif sur \(]-\infty;x_1[\), positif sur \([x_1;-2[\), négatif sur \(]-2;3[\), positif sur \(]3;x_2]\), négatif sur \(]x_2;+\infty[\).
✅ \(D_f=\left[\frac{1-3\sqrt3}{2};-2\right[\cup\left]3;\frac{1+3\sqrt3}{2}\right]\).
17) \(f(x)=\sqrt{x^2+(2\sqrt3-\sqrt2)x-2\sqrt6}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\Delta=(2\sqrt3-\sqrt2)^2+8\sqrt6=14+4\sqrt6=(2\sqrt3+\sqrt2)^2\).
🔢 Étape 2 : Racines : \(x=\frac{-(2\sqrt3-\sqrt2)\pm(2\sqrt3+\sqrt2)}{2}\), soit \(\sqrt2\) et \(-2\sqrt3\) (leur produit vaut bien \(-2\sqrt6\)).
🔢 Étape 3 : Il faut le trinôme \(\geq0\) : à l’extérieur des racines.
✅ \(D_f=]-\infty;-2\sqrt3]\cup[\sqrt2;+\infty[\).
18) \(f(x)=\dfrac{|x-4|-|x-1|}{x^2+2|x|-3}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Si \(x\geq0\) : \(x^2+2x-3=(x+3)(x-1)=0\iff x=1\) (car \(-3<0\)).
🔢 Étape 2 : Si \(x<0\) : \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0\iff x=-1\) (car \(3>0\)).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1;1\}\).
19) \(f(x)=\sqrt{2x-1}+\sqrt{3-5x}\).
Correction détaillée
⚠️ Le second radicande est lu \(3-5x\) (scan peu net).
🔢 \(2x-1\geq0\iff x\geq\frac12\) et \(3-5x\geq0\iff x\leq\frac35\).
✅ \(D_f=\left[\frac12;\frac35\right]\).
Exercice 2
Soit \(f(x)=\dfrac{x-1}{x^2+x+m}\) où \(m\) est un paramètre réel.
1) Déterminer \(m\) pour que \(D_f=\mathbb R\), où \(f(x)=\dfrac{x-1}{x^2+x+m}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\) si et seulement si \(x^2+x+m\) ne s’annule jamais, soit \(\Delta<0\).
🔢 Étape 2 : \(\Delta=1-4m<0\iff m>\frac14\).
✅ \(D_f=\mathbb R\iff m>\frac14\).
2) On pose \(g(x)=\dfrac1{x+2}\). Déterminer \(m\) pour que \(f(x)=g(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\setminus\{-2;1\}\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan indique « \(\forall x\in\{-2;1\}\) » ; lu comme \(\mathbb R\setminus\{-2;1\}\), seule lecture cohérente.
🔢 Étape 1 : \(f(x)=g(x)\iff (x-1)(x+2)=x^2+x+m\) (produit en croix).
🔢 Étape 2 : \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\), donc \(m=-2\).
🔢 Étape 3 : Vérification : pour \(m=-2\), \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), donc \(D_f=\mathbb R\setminus\{-2;1\}\) et \(f(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x+2)}=\frac1{x+2}=g(x)\).
✅ \(m=-2\).
Partie II. Parité et symétrie
Exercice 3
Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes.
1) Étudier la parité de \(f(x)=3x^2-5\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Méthode : on vérifie d’abord que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\) (\(x\in D_f\Rightarrow-x\in D_f\)), puis on compare \(f(-x)\) à \(f(x)\). Si \(f(-x)=f(x)\) : \(f\) est paire (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées). Si \(f(-x)=-f(x)\) : \(f\) est impaire (courbe symétrique par rapport à l’origine).
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=3(-x)^2-5=3x^2-5=f(x)\).
✅ \(f\) est paire.
2) Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac3x\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R^*\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=\frac{3}{-x}=-\frac3x=-f(x)\).
✅ \(f\) est impaire.
3) Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R^*\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=\frac{x^2-1}{-x}=-f(x)\).
✅ \(f\) est impaire.
4) Étudier la parité de \(f(x)=x^2+\dfrac1{x^2}\).
Correction détaillée
⚠️ Lu \(x^2+\frac1{x^2}\). Si l’énoncé est \(x^2+\frac1x\) : \(f(1)=2\) et \(f(-1)=0\), donc \(f\) n’est ni paire ni impaire.
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R^*\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=(-x)^2+\frac1{(-x)^2}=x^2+\frac1{x^2}=f(x)\).
✅ \(f\) est paire.
5) Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac{|x|}{x^2-1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1;1\}\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=\frac{|-x|}{(-x)^2-1}=\frac{|x|}{x^2-1}=f(x)\).
✅ \(f\) est paire.
6) Étudier la parité de \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=[-1;1]\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=\sqrt{1-x^2}=f(x)\).
✅ \(f\) est paire.
7) Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac{2x^3}{x^2+5}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=\frac{-2x^3}{x^2+5}=-f(x)\).
✅ \(f\) est impaire.
8) Étudier la parité de \(f(x)=|x|-\sqrt{2x^2+4}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=|x|-\sqrt{2x^2+4}=f(x)\).
✅ \(f\) est paire.
9) Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac{\sqrt x}{2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=[0;+\infty[\) n’est pas symétrique par rapport à \(0\) : \(1\in D_f\) mais \(-1\notin D_f\).
🔢 Étape 2 : Une fonction paire ou impaire a un domaine symétrique.
✅ \(f\) n’est ni paire ni impaire.
10) Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac{x}{x-2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}\) n’est pas symétrique : \(-2\in D_f\) mais \(2\notin D_f\).
🔢 Étape 2 : Donc la parité n’a pas de sens ici.
✅ \(f\) n’est ni paire ni impaire.
Exercice 4
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb R\) telle que \(5f(x)+f(-x)=2x^3-3x\) pour tout \(x\in\mathbb R\).
1) Montrer que \(f\) est impaire.
Correction détaillée
📘 Méthode : Appliquer la relation en \(-x\), puis combiner avec la relation de départ.
🔢 Étape 1 : Remplaçons \(x\) par \(-x\) dans la relation : \(5f(-x)+f(x)=-2x^3+3x\).
🔢 Étape 2 : On additionne avec \(5f(x)+f(-x)=2x^3-3x\) : \(6\big(f(x)+f(-x)\big)=0\).
✅ \(f(-x)=-f(x)\) pour tout \(x\) : \(f\) est impaire.
2) Déterminer \(f(x)\).
Correction détaillée
🔢 Comme \(f(-x)=-f(x)\), la relation devient \(5f(x)-f(x)=4f(x)=2x^3-3x\).
✅ \(f(x)=\dfrac{2x^3-3x}{4}\). (Vérification : \(5f(x)+f(-x)=4f(x)\) ✓.)
Exercice 5
Soit \(f(x)=\dfrac{|x|+1}{2|x|-3}\). Montrer que \((C_f)\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2|x|-3=0\iff|x|=\frac32\) : \(D_f=\mathbb R\setminus\{-\frac32;\frac32\}\), symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=\frac{|-x|+1}{2|-x|-3}=\frac{|x|+1}{2|x|-3}=f(x)\).
✅ \(f\) est paire, donc \((C_f)\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Exercice 6
Soit \(f(x)=\cos(\pi x)\).
1) Étudier la parité de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\), symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=\cos(-\pi x)=\cos(\pi x)=f(x)\).
✅ \(f\) est paire.
2) Montrer que \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x+2)=f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x+2)=\cos(\pi x+2\pi)=\cos(\pi x)\), car le cosinus est \(2\pi\)-périodique.
✅ \(f(x+2)=f(x)\) pour tout \(x\).
3) En déduire que \(f\) est périodique.
Correction détaillée
🔢 \(f(x+T)=f(x)\) avec \(T=2\neq0\) et \(x\pm2\in\mathbb R\) pour tout \(x\in\mathbb R\).
✅ \(f\) est périodique de période \(2\).
Exercice 7
Soit \(f(x)=|x-1|+|x+1|\).
1) Étudier la parité de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x)\).
✅ \(f\) est paire.
2) Vérifier que \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\geq2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Inégalité triangulaire : \(|a|+|b|\geq|a+b|\) avec \(a=x+1\), \(b=1-x\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)=|x+1|+|1-x|\geq|(x+1)+(1-x)|=2\).
✅ \(f(x)\geq2\) pour tout \(x\).
3) Résoudre \(f(x)=2\) et en déduire une valeur minimale de \(f\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Si \(x\in[-1;1]\) : \(f(x)=(1-x)+(x+1)=2\).
🔢 Étape 2 : Si \(x>1\) : \(f(x)=2x=2\Rightarrow x=1\) (exclu). Si \(x<-1\) : \(f(x)=-2x=2\Rightarrow x=-1\) (exclu).
✅ \(S=[-1;1]\). Comme \(f\geq2\) et \(f(0)=2\), \(2\) est la valeur minimale de \(f\) sur \(\mathbb R\) (atteinte sur tout \([-1;1]\)).
Exercice 8
Parité et tableau de variations.
1) Compléter le tableau de variation de \(f\) sachant que \(f\) est paire et que son domaine d’étude est \(D_E=]3;+\infty[\) : sur \(D_E\), \(f\) croît de \(-2\) à \(5\) (sur \(]3;7]\)), décroît de \(5\) à \(0\) (sur \([7;10]\)), croît de \(0\) à \(7\) (sur \([10;20]\)), puis décroît sur \([20;+\infty[\).
Correction détaillée
⚠️ Tableau lu : 4 flèches ↗ ↘ ↗ ↘ sur \(3;7;10;20;+\infty\), valeurs \(-2,5,0,7\) (le scan ne donne pas de valeur en \(+\infty\)).
🔢 Étape 1 : \(f\) paire : si \(f\) est monotone sur \(I\), elle l’est sur \(-I\) avec le sens contraire (\(f(x_1)<f(x_2)\) pour \(x_1<x_2\in I\) donne \(f(-x_1)<f(-x_2)\) alors que \(-x_1>-x_2\)).
🔢 Étape 2 : Le domaine est donc \(]-\infty;-3[\cup]3;+\infty[\) et les valeurs se correspondent : \(f(-7)=5\), \(f(-10)=0\), \(f(-20)=7\).
🔢 Étape 3 : Tableau complété sur \(]-\infty;-3[\) : \(f\) croît sur \(]-\infty;-20]\), décroît de \(7\) à \(0\) sur \([-20;-10]\), croît de \(0\) à \(5\) sur \([-10;-7]\), décroît de \(5\) à \(-2\) sur \([-7;-3[\).
✅ On obtient le tableau symétrique : variations inversées sur l’intervalle opposé, mêmes extremums \(5\) (en \(\pm7\)), \(0\) (en \(\pm10\)), \(7\) (en \(\pm20\)).
Exercice 9
Compléter une courbe.
1) Soit \(f\) définie et paire sur \(D_f\). Compléter sa courbe \((C_f)\) (partie dessinée pour \(x>0\) avec asymptote verticale d’abscisse \(-4\) à compléter).
Correction détaillée
⚠️ Figure non reproductible ici : seule la méthode est donnée.
🔢 Étape 1 : \(f\) paire \(\Rightarrow\) \((C_f)\) symétrique par rapport à l’axe \((Oy)\).
🔢 Étape 2 : À tout point \(M(a;b)\in(C_f)\) correspond le point \(M'(-a;b)\), symétrique par rapport à \((Oy)\).
✅ On complète la partie \(x<0\) par symétrie d’axe \((Oy)\) ; les asymptotes se transforment aussi : une asymptote verticale \(x=4\) donne \(x=-4\).
2) Soit \(f\) définie et impaire sur \(D_f\). Compléter sa courbe (partie dessinée pour \(x<0\)).
Correction détaillée
⚠️ Figure non reproductible ici : seule la méthode est donnée.
🔢 Étape 1 : \(f\) impaire \(\Rightarrow\) \((C_f)\) symétrique par rapport à l’origine \(O\).
🔢 Étape 2 : À tout point \(M(a;b)\) correspond \(M'(-a;-b)\).
✅ On complète la partie \(x>0\) par symétrie centrale de centre \(O\) (les asymptotes verticales \(x=a\) donnent \(x=-a\)).
Exercice 10
Compléments de parité.
1) Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac{6x}{1+x^2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\) (\(1+x^2>0\)).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=\frac{-6x}{1+x^2}=-f(x)\).
✅ \(f\) est impaire.
2) Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac{x^2+9}{x}\) (\(D_f=\mathbb R^*\)).
Correction détaillée
🔢 \(f(-x)=\frac{x^2+9}{-x}=-f(x)\).
✅ \(f\) est impaire.
3) Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac{x^2+4}{x}\) (\(D_f=\mathbb R^*\)) et de \(f(x)=x+\dfrac1x\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(-x)=\frac{x^2+4}{-x}=-f(x)\).
🔢 Étape 2 : \(x+\frac1x\) : \(f(-x)=-x-\frac1x=-f(x)\).
✅ Les deux fonctions sont impaires ; leurs courbes sont symétriques par rapport à l’origine.
Exercice 11
Soit \(f(x)=x\sqrt{4-x^2}\).
1) Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f(x)=x\sqrt{4-x^2}\).
Correction détaillée
🔢 \(4-x^2\geq0\iff x^2\leq4\iff-2\leq x\leq2\).
✅ \(D_f=[-2;2]\).
2) Étudier la parité de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=-x\sqrt{4-x^2}=-f(x)\).
✅ \(f\) est impaire.
3) Déterminer le signe de \(\big(f(x)\big)^2-4\) et en déduire que \(f\) admet une valeur maximale sur \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)^2-4=x^2(4-x^2)-4=-x^4+4x^2-4=-(x^2-2)^2\leq0\).
🔢 Étape 2 : Donc \(f(x)^2\leq4\), c’est-à-dire \(-2\leq f(x)\leq2\).
🔢 Étape 3 : \(f(\sqrt2)=\sqrt2\cdot\sqrt{4-2}=\sqrt2\cdot\sqrt2=2\).
✅ \(f(x)\leq2=f(\sqrt2)\) : \(f\) admet le maximum \(2\), atteint en \(\sqrt2\) (et le minimum \(-2\) en \(-\sqrt2\), par imparité).
Partie III. Variations et taux d’accroissement
Exercice 12
Variations de fonctions affine et inverse.
1) Étudier les variations de \(f(x)=7x-5\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Méthode : pour \(x\neq y\) dans \(I\), on calcule \(T(x,y)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\). Si \(T>0\) sur \(I\) : \(f\) est strictement croissante sur \(I\) ; si \(T<0\) : strictement décroissante ; si \(T\) est de signe variable : \(f\) n’est pas monotone sur \(I\).
🔢 \(T(x,y)=\frac{7x-7y}{x-y}=7>0\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
2) Étudier les variations de \(g(x)=\dfrac2x\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_g=\mathbb R^*\) ; \(g(x)-g(y)=\frac{2y-2x}{xy}\), donc \(T(x,y)=-\frac{2}{xy}\).
🔢 Étape 2 : Sur \(]0;+\infty[\) et sur \(]-\infty;0[\) : \(xy>0\) donc \(T<0\).
✅ \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\) (mais pas sur \(\mathbb R^*\) : \(g(-1)<g(1)\)).
Exercice 13
Étudier les variations de \(f(x)=3x^2+2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(T(x,y)=\frac{3(x^2-y^2)}{x-y}=3(x+y)\).
🔢 Étape 2 : Sur \([0;+\infty[\) : \(x+y>0\) donc \(T>0\). Sur \(]-\infty;0]\) : \(x+y<0\) donc \(T<0\).
✅ \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\) ; minimum \(f(0)=2\).
Exercice 14
Étudier les variations de \(g(x)=\dfrac{x}{x+1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_g=\mathbb R\setminus\{-1\}\).
🔢 Étape 2 : \(g(x)-g(y)=\frac{x(y+1)-y(x+1)}{(x+1)(y+1)}=\frac{x-y}{(x+1)(y+1)}\), donc \(T(x,y)=\frac1{(x+1)(y+1)}\).
🔢 Étape 3 : Sur \(]-1;+\infty[\) et sur \(]-\infty;-1[\), \((x+1)(y+1)>0\) donc \(T>0\).
✅ \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\).
Exercice 15
Soit \(f(x)=x+\dfrac1x\).
1) Déterminer \(D_f\) et étudier la parité.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R^*\), symétrique.
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=-x-\frac1x=-f(x)\).
✅ \(D_f=\mathbb R^*\) ; \(f\) est impaire.
2) Calculer le taux d’accroissement \(T(x_1;x_2)\) de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)\left(1-\frac1{x_1x_2}\right)\).
✅ \(T(x_1;x_2)=1-\dfrac1{x_1x_2}=\dfrac{x_1x_2-1}{x_1x_2}\).
3) Étudier les variations de \(f\) sur \(I=]0;1]\) puis sur \(J=[1;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \(I\), \(x_1,x_2\in]0;1]\) distincts : \(0<x_1x_2<1\), donc \(x_1x_2-1<0\) et \(T<0\).
🔢 Étape 2 : Sur \(J\), \(x_1,x_2\geq1\) distincts : \(x_1x_2>1\), donc \(T>0\).
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(]0;1]\), strictement croissante sur \([1;+\infty[\).
4) En déduire les variations de \(f\) sur \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) étant impaire, elle a la même monotonie sur deux intervalles symétriques par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : Donc \(f\) est décroissante sur \([-1;0[\) et croissante sur \(]-\infty;-1]\).
✅ \(f\nearrow\) sur \(]-\infty;-1]\), \(\searrow\) sur \([-1;0[\), \(\searrow\) sur \(]0;1]\), \(\nearrow\) sur \([1;+\infty[\).
5) Dresser le tableau de variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=2\) et \(f(-1)=-2\).
✅ Tableau :
x−∞−101+∞
f(x)↗−2↘|↘2↗
Exercice 16
Fonctions usuelles.
1) Étudier les variations de \(k(x)=\dfrac6x\) et \(f(x)=x^2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(k\) : comme pour \(\frac2x\), \(T=-\frac6{xy}<0\) sur chacun des intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(f\) : \(T=x+y\) : négatif sur \(]-\infty;0]\), positif sur \([0;+\infty[\).
✅ \(k\searrow\) sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\) ; \(f\searrow\) sur \(]-\infty;0]\), \(\nearrow\) sur \([0;+\infty[\).
2) Étudier les variations de \(g(x)=-\dfrac{x^2}{2}\) et \(h(x)=-\dfrac{x^2}2+5\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Règles : \(f+c\) a les mêmes variations que \(f\) ; \(\lambda f\) (\(\lambda>0\)) aussi, \(\lambda f\) (\(\lambda<0\)) les renverse.
🔢 Étape 1 : \(g=-\frac12f\) : multiplier par un négatif renverse les variations.
🔢 Étape 2 : \(h=g+5\) : ajouter une constante ne change pas les variations (\(T_h=T_g\)).
✅ \(g\) et \(h\) sont croissantes sur \(]-\infty;0]\), décroissantes sur \([0;+\infty[\) ; maximum \(g(0)=0\), \(h(0)=5\).
Exercice 17
Soit \(f(x)=\dfrac{x^2+9}{x}\) (\(x\neq0\)). On a vu que \(f\) est impaire.
1) Montrer que \(\forall x\neq y\) dans \(\mathbb R^*\), \(\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{xy-9}{xy}\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x+\frac9x\) (\(D_f=\mathbb R^*\)), d’où \(f(x)-f(y)=(x-y)\left(1-\frac9{xy}\right)\).
✅ \(T(x,y)=1-\dfrac9{xy}=\dfrac{xy-9}{xy}\).
2) Pour \(x\neq y\) dans \(]0;3]\), montrer que \(xy-9<0\) ; en déduire la monotonie de \(f\) sur \(]0;3]\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(0<x,y\leq3\Rightarrow0<xy<9\) (le produit ne vaut \(9\) que si \(x=y=3\)).
🔢 Étape 2 : Donc \(xy-9<0\) et \(xy>0\) : \(T<0\).
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(]0;3]\).
3) Pour \(x\neq y\) dans \([3;+\infty[\), montrer que \(xy-9>0\) ; en déduire la monotonie sur \([3;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(x,y\geq3\) distincts : \(xy>9\), donc \(T>0\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \([3;+\infty[\).
4) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R^*\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est impaire (\(f(-x)=-f(x)\)) : mêmes sens sur \(]-\infty;-3]\) et \([3;+\infty[\), sens contraire à celui de \(]0;3]\) sur \([-3;0[\).
🔢 Étape 2 : \(f(3)=6\), \(f(-3)=-6\).
✅ Tableau :
x−∞−303+∞
f(x)↗−6↘|↘6↗
Exercice 18
Soit \(f(x)=\dfrac{x^2+4}{x}\) (\(x\neq0\)).
1) Montrer que pour \(x\neq y\) dans \(\mathbb R^*\), \(\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=1-\dfrac4{xy}\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x+\frac4x\), donc \(f(x)-f(y)=(x-y)\left(1-\frac4{xy}\right)\).
✅ Identité démontrée.
2) Étudier les variations de \(f\) sur \(]0;2]\) et sur \([2;+\infty[\), puis dresser le tableau sur \(\mathbb R^*\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \(]0;2]\) : \(0<xy<4\) donc \(T<0\) : \(f\searrow\).
🔢 Étape 2 : Sur \([2;+\infty[\) : \(xy>4\) donc \(T>0\) : \(f\nearrow\).
🔢 Étape 3 : Imparité : sens inversés/identiques symétriquement ; \(f(2)=4\), \(f(-2)=-4\).
✅ Tableau :
x−∞−202+∞
f(x)↗−4↘|↘4↗
Exercice 19
Soit \(f(x)=\dfrac{6x}{1+x^2}\) sur \(\mathbb R\).
1) Étudier la parité de \(f\) et montrer \(\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{6(1-xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est impaire (vu en partie II).
🔢 Étape 2 : \(f(x)-f(y)=6\,\frac{x(1+y^2)-y(1+x^2)}{(1+x^2)(1+y^2)}=6\,\frac{(x-y)-xy(x-y)}{(1+x^2)(1+y^2)}=\frac{6(x-y)(1-xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}\).
✅ Identité démontrée.
2) Montrer que \(1-xy>0\) pour \(x\neq y\) dans \([0;1]\), puis étudier la monotonie sur \([0;1]\).
Correction détaillée
🔢 \(0\leq x,y\leq1\) et \(x\neq y\) : \(xy<1\) (le produit ne vaut \(1\) que si \(x=y=1\)).
✅ \(T>0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0;1]\).
3) Montrer que \(1-xy<0\) pour \(x\neq y\) dans \([1;+\infty[\) ; en déduire la monotonie.
Correction détaillée
🔢 \(x,y\geq1\) distincts : \(xy>1\), donc \(T<0\).
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \([1;+\infty[\).
4) Tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Par imparité : \(f\nearrow\) sur \([-1;0]\) aussi ; \(f\searrow\) sur \(]-\infty;-1]\).
🔢 Étape 2 : \(f(1)=3\), \(f(-1)=-3\) ; \(f(0)=0\).
✅ Tableau :
x−∞−11+∞
f(x)0⁻↘−3↗3↘0⁺
(les valeurs \(0^\pm\) aux extrémités se lisent sur la courbe : \(f(x)\) tend vers \(0\) quand \(|x|\) devient grand).
Exercice 20
Deux fonctions sur \(\mathbb R^+\).
1) Soit \(f(x)=x^2+2x\) sur \(\mathbb R^+\). Déterminer la monotonie de \(f\) sur \(\mathbb R^+\) et montrer que \(f(x)\geq0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(T(x,y)=x+y+2>0\) pour \(x,y\geq0\).
🔢 Étape 2 : Comme \(f(0)=0\) et \(f\) est croissante, \(f(x)\geq f(0)=0\) ; ou \(f(x)=x(x+2)\geq0\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R^+\) et \(f(x)\geq0\).
2) Soit \(g(x)=-1+\sqrt{1+x}\) sur \(\mathbb R^+\). Déterminer la monotonie de \(g\) et montrer que \(g(x)\geq0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(T(x,y)=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+y}}{x-y}=\frac1{\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}}>0\) (quantité conjuguée).
🔢 Étape 2 : \(x\geq0\Rightarrow\sqrt{1+x}\geq1\Rightarrow g(x)\geq0\).
✅ \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb R^+\) et \(g(x)\geq0\).
Partie IV. Étude et représentation graphique de fonctions usuelles
Exercice 21
Pour chacune des fonctions suivantes : étudier les variations, dresser le tableau, tracer la courbe. (a) \(f(x)=2x^2-4x-2\).
1) Étudier les variations de \(f(x)=2x^2-4x-2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Forme canonique : \(f(x)=2(x-1)^2-4\).
🔢 Étape 2 : \(T(x,y)=2(x+y)-4=2(x+y-2)\) : négatif si \(x,y\leq1\), positif si \(x,y\geq1\).
✅ \(f\searrow\) sur \(]-\infty;1]\), \(\nearrow\) sur \([1;+\infty[\) ; minimum \(f(1)=-4\).
2) Tableau de variations.
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=-4\).
✅ Tableau :
x−∞1+∞
f(x)+∞↘−4↗+∞
(les limites en \(\pm\infty\) se lisent : \(f\) croît sans borne quand \(|x|\) grandit).
3) Tracer la courbe.
Correction détaillée
📘 Méthode : Tracé : on place les points du tableau de valeurs, les asymptotes (droites en pointillés) éventuelles, puis on relie par une courbe respectant les variations.
🔢 Étape 1 : Parabole de sommet \(S(1;-4)\), d’axe \(x=1\), tournée vers le haut. Points :
x−10123
f(x)4−2−4−24
🔢 Étape 2 : Intersection avec \((Ox)\) : \(2x^2-4x-2=0\iff x=1\pm\sqrt2\) ; avec \((Oy)\) : \((0;-2)\).
✅ Courbe : parabole passant par \((-1;4)\), \((0;-2)\), \(S(1;-4)\), \((2;-2)\), \((3;4)\).
Exercice 22
(b) \(g(x)=-\dfrac{x^2}2+2x+1\).
1) Étudier les variations de \(g(x)=-\dfrac{x^2}2+2x+1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Forme canonique : \(g(x)=-\frac12(x-2)^2+3\).
🔢 Étape 2 : \(T(x,y)=-\frac12(x+y)+2\) : positif pour \(x,y\leq2\), négatif pour \(x,y\geq2\).
✅ \(g\nearrow\) sur \(]-\infty;2]\), \(\searrow\) sur \([2;+\infty[\) ; maximum \(g(2)=3\).
2) Tableau de variations.
Correction détaillée
🔢 \(g(2)=-2+4+1=3\).
✅ Tableau :
x−∞2+∞
f(x)−∞↗3↘−∞
3) Tracer la courbe.
Correction détaillée
📘 Méthode : Tracé : on place les points du tableau de valeurs, les asymptotes (droites en pointillés) éventuelles, puis on relie par une courbe respectant les variations.
🔢 Parabole de sommet \(S(2;3)\), tournée vers le bas :
x01234
f(x)1\(\frac{5}{2}\)3\(\frac{5}{2}\)1
✅ Courbe : parabole de sommet \(S(2;3)\) passant par \((0;1)\) et \((4;1)\).
Exercice 23
(c) \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\).
1) Étudier les variations de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\setminus\{1\}\) et \(f(x)=2+\frac3{x-1}\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)-f(y)=3\,\frac{(y-1)-(x-1)}{(x-1)(y-1)}=\frac{-3(x-y)}{(x-1)(y-1)}\), donc \(T=-\frac{3}{(x-1)(y-1)}\).
🔢 Étape 3 : \(T<0\) sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\) (produit \((x-1)(y-1)>0\)).
✅ \(f\searrow\) sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
2) Tableau et tracé.
Correction détaillée
📘 Méthode : Tracé : on place les points du tableau de valeurs, les asymptotes (droites en pointillés) éventuelles, puis on relie par une courbe respectant les variations.
🔢 Étape 1 : Hyperbole de centre \(\Omega(1;2)\), asymptotes \(x=1\) et \(y=2\) :
x−2−10234
f(x)1\(\frac{1}{2}\)−15\(\frac{7}{2}\)3
🔢 Étape 2 : Intersections : \(f(x)=0\iff x=-\frac12\) ; \(f(0)=-1\).
✅ Tableau :
x−∞1+∞
f(x)2⁻↘|↘2⁺
Courbe : deux branches ; d’après la table, \(f<2\) si \(x<1\) (branche à gauche de \(x=1\), sous l’asymptote horizontale) et \(f>2\) si \(x>1\) (branche au-dessus).
Exercice 24
(d) \(g(x)=\dfrac{-x}{x-2}\).
1) Étudier les variations de \(g(x)=\dfrac{-x}{x-2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_g=\mathbb R\setminus\{2\}\) et \(g(x)=-1-\frac2{x-2}\).
🔢 Étape 2 : \(g(x)-g(y)=-2\,\frac{(y-2)-(x-2)}{(x-2)(y-2)}=\frac{2(x-y)}{(x-2)(y-2)}\), donc \(T=\frac{2}{(x-2)(y-2)}>0\) sur chaque intervalle.
✅ \(g\nearrow\) sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\).
2) Tableau et tracé.
Correction détaillée
📘 Méthode : Tracé : on place les points du tableau de valeurs, les asymptotes (droites en pointillés) éventuelles, puis on relie par une courbe respectant les variations.
🔢 Étape 1 : Hyperbole de centre \(\Omega(2;-1)\), asymptotes \(x=2\), \(y=-1\) :
x−201346
f(x)−\(\frac{1}{2}\)01−3−2−\(\frac{3}{2}\)
🔢 Étape 2 : Intersections avec les axes : \(g(0)=0\) (l’origine, seul point commun).
✅ Tableau :
x−∞2+∞
f(x)−1⁻↗|↗−1⁺
(\(g>-1\) si \(x<2\), \(g<-1\) si \(x>2\)).
Exercice 25
(e) \(f(x)=\dfrac{x^3}{4}\).
1) Déterminer \(D_f\) et étudier les variations de \(f(x)=\dfrac{x^3}4\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(T(x,y)=\frac{x^2+xy+y^2}{4}\), et \(x^2+xy+y^2=\left(x+\frac y2\right)^2+\frac34y^2>0\) pour \(x\neq y\) (sinon \(x=y=0\)).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
2) Tableau et tracé.
Correction détaillée
📘 Méthode : Tracé : on place les points du tableau de valeurs, les asymptotes (droites en pointillés) éventuelles, puis on relie par une courbe respectant les variations.
🔢 \(f\) est impaire :
x−2−1012
f(x)−2−\(\frac{1}{4}\)0\(\frac{1}{4}\)2
✅ Tableau :
x−∞+∞
f(x)−∞↗+∞
Courbe symétrique par rapport à l’origine, point d’inflexion à l’origine.
Exercice 26
(f) \(f(x)=\sqrt{x+2}\).
1) Déterminer \(D_f\) et étudier les variations de \(f(x)=\sqrt{x+2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x+2\geq0\iff x\geq-2\).
🔢 Étape 2 : \(T(x,y)=\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{y+2}}{x-y}=\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}>0\).
✅ \(D_f=[-2;+\infty[\) ; \(f\) est strictement croissante.
2) Tableau et tracé.
Correction détaillée
📘 Méthode : Tracé : on place les points du tableau de valeurs, les asymptotes (droites en pointillés) éventuelles, puis on relie par une courbe respectant les variations.
🔢 Valeurs : \(f(-2)=0\), \(f(-1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(7)=3\).
✅ Tableau :
x−2+∞
f(x)0↗+∞
Courbe : demi-parabole couchée, d’origine \((-2;0)\), passant par \((-1;1)\), \((2;2)\), \((7;3)\).
Partie V. Majorant, minorant, extremums
Exercice 27
Montrer que \(f(x)=-x^2+x\) est majorée sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Définitions : \(f\) est majorée sur \(I\) s’il existe \(M\) avec \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\in I\) ; minorée s’il existe \(m\) avec \(f(x)\geq m\) ; bornée si elle est majorée et minorée. \(M\) est un maximum (valeur maximale) si de plus \(M=f(x_0)\) pour un \(x_0\in I\) ; de même pour le minimum.
Méthode : étudier le signe de \(M-f(x)\) ou \(f(x)-m\) (forme canonique, identité remarquable, factorisation), puis chercher \(x_0\) où l’égalité est atteinte.
🔢 \(f(x)=-\left(x-\frac12\right)^2+\frac14\), et \(\left(x-\frac12\right)^2\geq0\).
✅ \(f(x)\leq\frac14\) : \(f\) est majorée par \(\frac14\) (maximum atteint en \(x=\frac12\)).
Exercice 28
Montrer que \(g(x)=4\sin x-3\) est bornée sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 \(-1\leq\sin x\leq1\Rightarrow-4\leq4\sin x\leq4\Rightarrow-7\leq g(x)\leq1\).
✅ \(g\) est bornée : minorée par \(-7\), majorée par \(1\) (valeurs atteintes en \(\sin x=\mp1\)).
Exercice 29
Soit \(f(x)=\dfrac1{x^2+1}\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2+1\geq1>0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2) Montrer que \(f\) est majorée.
Correction détaillée
🔢 \(x^2+1\geq1\Rightarrow0<\frac1{x^2+1}\leq1\).
✅ \(f(x)\leq1\) : majorée par \(1\) ; et \(f(0)=1\) : maximum.
3) Montrer que \(f\) est minorée.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)>0\) pour tout \(x\).
✅ \(f\) est minorée par \(0\) (qui n’est pas atteint : \(\frac1{x^2+1}\neq0\)). Elle est donc bornée : \(0<f(x)\leq1\).
Exercice 30
Soit \(f(x)=\dfrac{2x^2+7x+7}{x^2+3x+3}\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2+3x+3\) a \(\Delta=9-12=-3<0\) : il ne s’annule jamais.
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2) Montrer que \(f\) est minorée par \(1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)-1=\frac{2x^2+7x+7-x^2-3x-3}{x^2+3x+3}=\frac{x^2+4x+4}{x^2+3x+3}=\frac{(x+2)^2}{x^2+3x+3}\).
🔢 Étape 2 : Numérateur \(\geq0\), dénominateur \(>0\).
✅ \(f(x)\geq1\) ; de plus \(f(-2)=1\) : \(1\) est le minimum de \(f\).
3) Montrer que \(f\) est majorée par \(\frac73\).
Correction détaillée
🔢 \(\frac73-f(x)=\frac{7x^2+21x+21-3(2x^2+7x+7)}{3(x^2+3x+3)}=\frac{x^2}{3(x^2+3x+3)}\geq0\).
✅ \(f(x)\leq\frac73\) ; \(f(0)=\frac73\) : maximum. Donc \(1\leq f\leq\frac73\), \(f\) est bornée.
Exercice 31
Montrer que \(f(x)=5x^2+3\) admet un minimum.
Correction détaillée
🔢 \(x^2\geq0\Rightarrow f(x)\geq3\) et \(f(0)=3\).
✅ \(f\) admet le minimum \(3\), atteint en \(0\).
Exercice 32
Montrer que \(g(x)=-4x^2+1\) admet un maximum.
Correction détaillée
🔢 \(-4x^2\leq0\Rightarrow g(x)\leq1\) et \(g(0)=1\).
✅ \(g\) admet le maximum \(1\), atteint en \(0\).
Exercice 33
Trinôme.
1) Montrer que \(f(x)=-4x^2+4x+5\) vérifie \(f(x)=6-(2x-1)^2\).
Correction détaillée
🔢 \(6-(4x^2-4x+1)=-4x^2+4x+5\).
✅ Identité vérifiée.
2) En déduire \(f(x)\leq6\).
Correction détaillée
🔢 \((2x-1)^2\geq0\).
✅ \(f(x)\leq6\) pour tout \(x\).
3) Calculer \(f\left(\frac12\right)\) et conclure sur les extremums.
Correction détaillée
🔢 \(f\left(\frac12\right)=-1+2+5=6\).
✅ \(6=f\left(\frac12\right)\) et \(f\leq6\) : \(f\) admet le maximum \(6\) en \(x=\frac12\) (pas de minimum : \(f(x)\to-\infty\)).
Exercice 34
Soit \(f\) la fonction de tableau de variations suivant sur \([-5;5]\) : \(f(-5)=5\), \(f\searrow\) jusqu’à \(f(-2)=0{,}5\), \(f\nearrow\) jusqu’à \(f(2)=2\), \(f\searrow\) jusqu’à \(f(5)=-2\). Déduire les extremums de \(f\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Un extremum global est la plus grande (ou petite) valeur parmi les valeurs en tous les points de changement de variation et aux bornes de l’intervalle.
🔢 Étape 1 : Extremums locaux : minimum local \(0{,}5\) en \(x=-2\) ; maximum local \(2\) en \(x=2\).
🔢 Étape 2 : Extremums globaux sur \([-5;5]\) : on compare les valeurs aux « bouts » : \(f(-5)=5\) est la plus grande valeur, \(f(5)=-2\) la plus petite.
✅ Maximum global \(5\) (en \(-5\)), minimum global \(-2\) (en \(5\)) ; \(f\) est bornée sur \([-5;5]\).
Exercice 35
Montrer que \(1\) est la valeur maximale de \(f(x)=-x^2+4x-3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(1-f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geq0\).
🔢 Étape 2 : \(f(2)=-4+8-3=1\).
✅ \(f(x)\leq1=f(2)\) : le maximum de \(f\) est \(1\), atteint en \(x=2\).
Exercice 36
Soit \(f(x)=\dfrac{2x^2+3}{x^2+1}\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2+1>0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2.a) Montrer que \(f\) est majorée par \(3\).
Correction détaillée
🔢 \(3-f(x)=\frac{3x^2+3-2x^2-3}{x^2+1}=\frac{x^2}{x^2+1}\geq0\).
✅ \(f(x)\leq3\).
2.b) \(3\) est-il la valeur maximale de \(f\) ?
Correction détaillée
🔢 \(f(0)=\frac31=3\).
✅ Oui : \(3=f(0)\) est le maximum de \(f\).
3.a) Montrer que \(f\) est minorée par \(2\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-2=\frac{2x^2+3-2x^2-2}{x^2+1}=\frac1{x^2+1}>0\).
✅ \(f(x)>2\) donc \(f\) est minorée par \(2\).
3.b) \(2\) est-il la valeur minimale de \(f\) ?
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=2\iff\frac1{x^2+1}=0\), impossible.
✅ Non : \(2\) n’est jamais atteint (\(f(x)>2\) strictement), donc \(2\) n’est pas un minimum.
Exercice 37
Sur \(]1;+\infty[\).
1) Étudier le signe de \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt2}{x-1}\) sur \(]1;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Multiplions par la quantité conjuguée : \(f(x)=\frac{(x+1)-2}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt2)}=\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt2}\).
✅ \(f(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\).
2.a) Montrer que \(f\) est majorée par \(\frac{\sqrt2}4\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x>1\Rightarrow x+1>2\Rightarrow\sqrt{x+1}>\sqrt2\Rightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt2>2\sqrt2\).
🔢 Étape 2 : Donc \(f(x)<\frac1{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}4\).
✅ \(f(x)<\frac{\sqrt2}4\).
2.b) \(\frac{\sqrt2}4\) est-elle une valeur maximale ?
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\frac{\sqrt2}4\iff\sqrt{x+1}=\sqrt2\iff x=1\notin]1;+\infty[\).
✅ Non : l’inégalité est stricte, \(\frac{\sqrt2}4\) n’est pas atteint, donc pas un maximum.
Exercice 38
Fonction irrationnelle.
1) Déterminer \(D_f\) pour \(f(x)=\dfrac{\sqrt x-2}{\sqrt x+2}\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan indique un intervalle d’étude \(]1;+\infty[\) ; la question 2 (\(-1\) valeur minimale, \(f(0)=-1\)) impose \(0\in D_f\). Domaine retenu : \([0;+\infty[\).
🔢 \(x\geq0\) ; \(\sqrt x+2\geq2>0\).
✅ \(D_f=[0;+\infty[\).
2) Montrer que \(-1\) est la valeur minimale de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)+1=\frac{\sqrt x-2+\sqrt x+2}{\sqrt x+2}=\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+2}\geq0\).
🔢 Étape 2 : \(f(0)=\frac{-2}{2}=-1\).
✅ \(f\geq-1=f(0)\) : minimum \(-1\) atteint en \(0\).
3) Montrer que \(f\) est majorée par \(1\). \(1\) est-il maximal ?
Correction détaillée
🔢 \(1-f(x)=\frac{\sqrt x+2-\sqrt x+2}{\sqrt x+2}=\frac4{\sqrt x+2}>0\).
✅ \(f(x)<1\) : majorée par \(1\), mais \(1\) n’est jamais atteint : ce n’est pas un maximum.
Exercice 39
Un trinôme minoré.
1) Pour \(f(x)=x^2-2x+3\), montrer que \(f\) est minorée et qu’elle a un minimum.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=(x-1)^2+2\geq2\) ; \(f(1)=2\).
✅ \(f\) est minorée par \(2\), et \(2=f(1)\) est le minimum.
2) Montrer que \(f\) n’est pas majorée.
Correction détaillée
🔢 Supposons \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\). Prenons \(x=1+\sqrt{|M|+1}\) : \(f(x)=|M|+1+2=|M|+3>M\). Contradiction.
✅ \(f\) n’est pas majorée sur \(\mathbb R\).
Exercice 40
Avec radicaux.
1) Pour \(f(x)=\sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x\) : déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt x\) exige \(x\geq0\), et alors \(x+\sqrt x\geq0\).
✅ \(D_f=[0;+\infty[\).
2) Montrer que \(f\) est minorée.
Correction détaillée
🔢 \(x+\sqrt x\geq x\Rightarrow\sqrt{x+\sqrt x}\geq\sqrt x\).
✅ \(f(x)\geq0\) ; \(f(0)=0\) : minimum \(0\).
3) Montrer que \(f\) est majorée par \(\frac12\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Conjuguée : \(f(x)=\frac{(x+\sqrt x)-x}{\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt x}=\frac{\sqrt x}{\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt x}\).
🔢 Étape 2 : Pour \(x>0\), \(\sqrt{x+\sqrt x}>\sqrt x\), donc le dénominateur est \(>2\sqrt x\) et \(f(x)<\frac12\) ; pour \(x=0\), \(f(0)=0<\frac12\).
✅ \(0\leq f(x)<\frac12\) : \(f\) est bornée.
Exercice 41
Un minimum non trivial.
1) Pour \(f(x)=x^2+2x\sqrt x+x-4\) : justifier que \(f\) admet un minimum.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=[0;+\infty[\) et \(x^2+2x\sqrt x+x=(x+\sqrt x)^2\) (car \((\sqrt x)^2=x\)), donc \(f(x)=(x+\sqrt x)^2-4\geq-4\).
🔢 Étape 2 : \(f(0)=-4\).
✅ Le minimum de \(f\) est \(-4\), atteint en \(0\).
3) Montrer que \(f\) n’est pas majorée.
Correction détaillée
⚠️ Le scan numérote 1) puis 3) (la question 2 n’apparaît pas).
🔢 \(x+\sqrt x\geq x\geq0\Rightarrow(x+\sqrt x)^2\geq x^2\), d’où \(f(x)\geq x^2-4\), qui dépasse tout réel \(M\) dès que \(x>\sqrt{|M|+4}\).
✅ \(f\) n’est pas majorée.
Exercice 42
Max et min d’un quotient.
1) Montrer que \(f(2)\) est la valeur maximale de \(f(x)=\dfrac{4x-3}{x^2+1}\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(2)=\frac55=1\).
🔢 Étape 2 : \(1-f(x)=\frac{x^2+1-4x+3}{x^2+1}=\frac{(x-2)^2}{x^2+1}\geq0\).
✅ \(f\leq1=f(2)\) : maximum \(1\).
2) Montrer que \(f\left(-\frac12\right)\) est la valeur minimale de \(f\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\left(-\frac12\right)=\frac{-5}{5/4}=-4\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)+4=\frac{4x-3+4x^2+4}{x^2+1}=\frac{(2x+1)^2}{x^2+1}\geq0\).
✅ \(f\geq-4=f\left(-\frac12\right)\) : minimum \(-4\).
Exercice 43
Soit \(f(x)=\dfrac{3x^2+1}{x^2+1}\).
1) Montrer que \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)=\dfrac{3x^2+1}{x^2+1}=3-\dfrac2{x^2+1}\).
Correction détaillée
🔢 \(3-\frac2{x^2+1}=\frac{3x^2+3-2}{x^2+1}=\frac{3x^2+1}{x^2+1}\).
✅ Identité vérifiée (\(D_f=\mathbb R\)).
2) Montrer que \(f\) est majorée par \(3\) et minorée par \(1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\frac2{x^2+1}>0\Rightarrow f(x)<3\).
🔢 Étape 2 : \(x^2+1\geq1\Rightarrow\frac2{x^2+1}\leq2\Rightarrow f(x)\geq3-2=1\).
✅ \(1\leq f(x)<3\) : \(f\) est bornée ; \(f(0)=1\) est le minimum, \(3\) n’est pas atteint.
Exercice 44
Minimum d’une fonction avec radical.
1) Soit \(h(x)=x+5-\sqrt{x+5}\). Déterminer \(D_h\) et montrer que \(h(x)\geq-\dfrac14\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan imprime « \(\geq-\frac{19}{4}\) » en 2) mais « \(\geq-\frac14\) » en 4.g : seul \(-\frac14\) est le minimum (\(-\frac{19}4\) est l’abscisse du minimum). Question 2 lue avec \(-\frac14\) ; \(-\frac{19}4\) est bien un minorant mais pas optimal.
🔢 Étape 1 : \(D_h=[-5;+\infty[\).
🔢 Étape 2 : Posons \(t=\sqrt{x+5}\geq0\) : \(h(x)=t^2-t=\left(t-\frac12\right)^2-\frac14\geq-\frac14\).
✅ \(D_h=[-5;+\infty[\) ; \(h\geq-\frac14\), égalité si \(t=\frac12\), c’est-à-dire \(x=-\frac{19}4\) : minimum \(-\frac14\).
2) Résoudre \(h(x)=5\) dans \(D_h\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(t^2-t=5\iff t^2-t-5=0\) : \(\Delta=21\), \(t=\frac{1\pm\sqrt{21}}2\). Seule \(t=\frac{1+\sqrt{21}}2>0\) convient.
🔢 Étape 2 : \(x=t^2-5=\frac{22+2\sqrt{21}}4-5=\frac{1+\sqrt{21}}2\).
✅ \(S=\left\{\frac{1+\sqrt{21}}2\right\}\approx2{,}79\).
Exercice 45
Soit \(f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}\).
1) Déterminer \(D_f\) et montrer que \(f(x)=\dfrac1{1+\sqrt{1+x}}\) pour tout \(x\in D_f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=[-1;+\infty[\setminus\{0\}\).
🔢 Étape 2 : Conjuguée : \(f(x)=\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac1{1+\sqrt{1+x}}\).
✅ \(D_f=[-1;0[\cup]0;+\infty[\) et \(f(x)=\dfrac1{1+\sqrt{1+x}}\).
2) Montrer que \(f\) est décroissante sur \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x\mapsto1+\sqrt{1+x}\) est croissante et positive ; son inverse est donc décroissante : pour \(x<y\) dans \(D_f\), \(f(x)>f(y)\).
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \([-1;0[\) et sur \(]0;+\infty[\) (et sur \(D_f\) entier).
3) Montrer que \(0<f(x)\leq1\) et conclure.
Correction détaillée
🔢 \(1+\sqrt{1+x}\geq1\Rightarrow0<f(x)\leq1\) ; \(f(-1)=\frac1{1+0}=1\).
✅ \(f\) est bornée, avec le maximum \(1=f(-1)\) ; \(0\) n’est pas atteint.
Exercice 46
Soit \(f(x)=x^2+x\). Écrire \(f(x)\) sous forme canonique, vérifier \(f(x)\geq-\frac14\), résoudre \(f(x)=-\frac14\) et conclure sur une valeur minimale.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14\).
🔢 Étape 2 : Donc \(f(x)+\frac14=\left(x+\frac12\right)^2\geq0\).
🔢 Étape 3 : \(f(x)=-\frac14\iff\left(x+\frac12\right)^2=0\iff x=-\frac12\).
✅ \(f\geq-\frac14\) et \(f\left(-\frac12\right)=-\frac14\) : valeur minimale \(-\frac14\).
Exercice 47
Soient \(f(x)=3x-5\) et \(g(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+1}\).
1) Pour \(g(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+1}\) : montrer \(g(x)=1+\dfrac{x^2}{x^2+1}\) puis \(g(x)=2-\dfrac1{x^2+1}\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan donne la 2ᵉ forme \(2-\frac{x^2}{x^2+1}\), qui est fausse (elle vaut \(\frac{x^2+2}{x^2+1}\)). La forme correcte est \(2-\frac1{x^2+1}\) ; la conclusion \(1\leq g\leq2\) reste vraie.
🔢 Étape 1 : \(1+\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{2x^2+1}{x^2+1}\) ✓.
🔢 Étape 2 : \(2-\frac1{x^2+1}=\frac{2x^2+2-1}{x^2+1}=\frac{2x^2+1}{x^2+1}\) ✓.
✅ Les deux écritures sont exactes ; en déduire \(1\leq g<2\).
2) La fonction \(f(x)=3x-5\) est-elle bornée ? Montrer que \(f\circ g\) est bornée et que \(-2\leq f(g(x))\leq1\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan écrit \((g\circ f)\) aux questions 4–5, mais l’encadrement \(-2\leq\cdot\leq1\) n’est vrai que pour \(f\circ g\) (pour \(g\circ f\) on a seulement \(1\leq\cdot<2\)).
🔢 Étape 1 : \(f\) n’est ni majorée ni minorée (\(f(x)\to\pm\infty\)).
🔢 Étape 2 : \(1\leq g(x)\leq2\Rightarrow3\leq3g(x)\leq6\Rightarrow-2\leq3g(x)-5\leq1\).
✅ \(f\) n’est pas bornée ; \(f\circ g\) est bornée : \(-2\leq(f\circ g)(x)\leq1\).
Exercice 48
Graphiquement (courbe de \(f(x)=\dfrac{8x}{x^2+2}\)) : \(f\) est-elle minorée ? majorée ? bornée sur \(\mathbb R\) ?
Correction détaillée
⚠️ Lecture graphique (courbe non reproductible) ; extremums calculés.
🔢 Étape 1 : La courbe reste comprise entre deux droites horizontales : elle ne dépasse jamais environ \(2{,}8\) en haut et \(-2{,}8\) en bas.
🔢 Étape 2 : Vérification algébrique : \(2\sqrt2-f(x)=\frac{2\sqrt2(x-\sqrt2)^2}{x^2+2}\geq0\) et \(f(x)+2\sqrt2=\frac{2\sqrt2(x+\sqrt2)^2}{x^2+2}\geq0\).
✅ \(f\) est majorée, minorée donc bornée : \(-2\sqrt2\leq f(x)\leq2\sqrt2\), extremums atteints en \(x=\pm\sqrt2\).
Partie VI. Égalité et comparaison de fonctions, signe
Exercice 49
\(f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+3}}\) et \(g(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+3}}\) : sont-elles égales ?
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappel : \(f=g\) si et seulement si \(D_f=D_g\) et \(f(x)=g(x)\) pour tout \(x\) du domaine. Pour comparer (\(f\leq g\)), on étudie le signe de \(g(x)-f(x)\) : \(g-f\geq0\) signifie que \((C_g)\) est au-dessus de \((C_f)\).
🔢 Étape 1 : \(D_f\) : \(\frac{x-1}{x+3}\geq0\), \(x\neq-3\) : \(D_f=]-\infty;-3[\cup[1;+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(D_g\) : \(x-1\geq0\) et \(x+3>0\) : \(D_g=[1;+\infty[\).
✅ \(D_f\neq D_g\) (ex. \(x=-4\in D_f\setminus D_g\)) : \(f\neq g\). Elles coïncident seulement sur \([1;+\infty[\).
Exercice 50
Comparer \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=x^2+x+2\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f=D_g=\mathbb R\) et \(g(x)-f(x)=x^2+1>0\).
✅ \(g(x)>f(x)\) pour tout \(x\) : \((C_g)\) est strictement au-dessus de \((C_f)\).
Exercice 51
Comparer \(f(x)=x\) et \(g(x)=\dfrac1x\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\neq D_g=\mathbb R^*\) : \(f\neq g\) ; on compare sur \(\mathbb R^*\).
🔢 Étape 2 : \(g(x)-f(x)=\frac{1-x^2}{x}=\frac{(1-x)(1+x)}{x}\).
🔢 Étape 3 : Tableau de signes : numérateur \(1-x^2>0\) sur \(]-1;1[\) ; \(x\) change de signe en \(0\).
✅ \(g>f\) sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]0;1[\) ; \(g<f\) sur \(]-1;0[\) et sur \(]1;+\infty[\) ; \(g=f\) en \(x=\pm1\) (points \((\pm1;\pm1)\)).
Exercice 52
Comparer \(f(x)=\dfrac{3x^2+1}{\sqrt{x^2}}\) et \(g(x)=\dfrac{1+3x^2}{|x|}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt{x^2}=|x|\) pour tout réel \(x\).
🔢 Étape 2 : \(D_f=D_g=\mathbb R^*\).
✅ \(f=g\) (mêmes domaines et mêmes images).
Exercice 53
Comparer \(h(x)=\dfrac{x^2-x}{x}\) et \(t(x)=x-1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_h=\mathbb R^*\), \(D_t=\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : Pour \(x\neq0\) : \(h(x)=\frac{x(x-1)}{x}=x-1\).
✅ \(h\neq t\) car \(D_h\neq D_t\) (le point \(0\) manque), mais \(h(x)=t(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R^*\) : \((C_h)\) est la droite \(y=x-1\) privée du point \((0;-1)\).
Exercice 54
Étudier le signe de \(f(x)=\dfrac{(3x+1)(2-x)}{4x^2-1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Zéros du numérateur : \(x=-\frac13\), \(x=2\). Valeurs interdites : \(4x^2-1=0\iff x=\pm\frac12\).
🔢 Étape 2 : Classement : \(-\frac12<-\frac13<\frac12<2\).
🔢 Étape 3 : Tableau de signes :
x sur]−∞;−½[]−½;−⅓[]−⅓;½[]½;2[]2;+∞[
3x+1−−+++
2−x++++−
4x²−1+−−++
f(x)−+−+−
(signe de \(f\) par la règle des signes ; \(f\) s’annule en \(-\frac13\) et \(2\) et n’existe pas en \(\pm\frac12\).)
✅ \(f>0\) sur \(]-\frac12;-\frac13[\cup]\frac12;2[\) ; \(f<0\) sur \(]-\infty;-\frac12[\cup]-\frac13;\frac12[\cup]2;+\infty[\) ; \(f=0\) en \(-\frac13\) et \(2\).
Exercice 55
Soit \(f(x)=\dfrac{x}{x^2-x+4}\).
1) Pour \(f(x)=\dfrac{x}{x^2-x+4}\) : montrer \(x^2-x+4>0\) pour tout \(x\) et en déduire \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-x+4=\left(x-\frac12\right)^2+\frac{15}4>0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2) Soit \(g(x)=\dfrac1x\). Montrer que \(\forall x\in\mathbb R^*,\ g(x)-f(x)=\dfrac{4-x}{x(x^2-x+4)}\) et en déduire la position relative de \((C_f)\) et \((C_g)\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan imprime \(\frac{x-4}{x(x^2-x+4)}\), qui est \(f(x)-g(x)\) ; la différence \(g-f\) vaut \(\frac{4-x}{\ldots}\). Positions données avec la forme corrigée.
🔢 Étape 1 : \(g(x)-f(x)=\frac{x^2-x+4-x^2}{x(x^2-x+4)}=\frac{4-x}{x(x^2-x+4)}\).
🔢 Étape 2 : Comme \(x^2-x+4>0\), le signe est celui de \(\frac{4-x}{x}\) : \(x<0\) : négatif ; \(0<x<4\) : positif ; \(x>4\) : négatif.
✅ \((C_g)\) est au-dessus de \((C_f)\) sur \(]0;4[\), en dessous sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]4;+\infty[\), et les courbes se coupent en \(\left(4;\frac14\right)\).
3) Montrer que \(\forall x\in]0;+\infty[,\ f(x)=\dfrac1{\sqrt x}\iff x=16\).
Correction détaillée
⚠️ Énoncé du scan incohérent : \(f(16)=\frac{16}{244}\neq\frac14\). Corrigé donné pour \(f(\sqrt x)\).
🔢 Étape 1 : Posons \(t=\sqrt x>0\). \(f(x)=\frac{t^2}{t^4-t^2+4}\) et on veut \(=\frac1t\) : \(t^3=t^4-t^2+4\iff t^4-t^3-t^2+4=0\). Cette équation n’a aucune solution \(t>0\) (le minimum de \(t^4-t^3-t^2+4\) sur \(\mathbb R^+\) est \(\approx2{,}9>0\)).
🔢 Étape 2 : En revanche, l’équation \(f(\sqrt x)=\frac1{\sqrt x}\) donne \(\frac{\sqrt x}{x-\sqrt x+4}=\frac1{\sqrt x}\iff x=x-\sqrt x+4\iff\sqrt x=4\iff x=16\) : c’est l’équivalence attendue (cas \(f(x)=g(x)\) en \(x=4\), appliqué à \(\sqrt x\)).
✅ Telle qu’écrite (« \(f(x)=\frac1{\sqrt x}\) »), l’équivalence est fausse ; la version correcte est \(f(\sqrt x)=\frac1{\sqrt x}\iff x=16\), qui découle de \(f(t)=g(t)\iff t=4\) (position relative vue en 2).
Partie VII. Composée de fonctions, fonctions élémentaires
Exercice 56
1) Déterminer \(g\circ f\) pour \(f(x)=x^2-2x+3\) et \(g(x)=2x+1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappel : \((g\circ f)(x)=g(f(x))\). Domaine : \(D_{g\circ f}=\{x\in D_f\ ;\ f(x)\in D_g\}\). Monotonie : si \(f\) est monotone sur \(I\) et \(g\) monotone sur un intervalle \(J\supset f(I)\), alors \(g\circ f\) est croissante si \(f\) et \(g\) ont le même sens de variation, décroissante sinon.
🔢 \((g\circ f)(x)=2f(x)+1=2(x^2-2x+3)+1\).
✅ \((g\circ f)(x)=2x^2-4x+7\).
2) Déterminer \(f\circ g\).
Correction détaillée
🔢 \((f\circ g)(x)=(2x+1)^2-2(2x+1)+3=4x^2+4x+1-4x-2+3\).
✅ \((f\circ g)(x)=4x^2+2\) ; on constate \(f\circ g\neq g\circ f\) (la composition n’est pas commutative).
Exercice 57
1) Pour \(f(x)=3x+4\) et \(g(x)=\dfrac1{x+1}\), déterminer \(D_{g\circ f}\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f=\mathbb R\) ; il faut \(f(x)\in D_g=\mathbb R\setminus\{-1\}\), c’est-à-dire \(3x+4\neq-1\iff x\neq-\frac53\).
✅ \(D_{g\circ f}=\mathbb R\setminus\left\{-\frac53\right\}\).
2) Calculer \((g\circ f)(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(g(f(x))=\frac1{(3x+4)+1}\).
✅ \((g\circ f)(x)=\dfrac1{3x+5}\).
Exercice 58
1) Pour \(g(x)=\dfrac{x}{x+2}\), \(f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}\) et \(h=g\circ f\), déterminer \(D_h\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x\in D_f\iff x\neq-1\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)\in D_g\iff f(x)\neq-2\iff x+3\neq-2(x+1)\iff x\neq-\frac53\).
✅ \(D_h=\mathbb R\setminus\left\{-1;-\frac53\right\}\).
2) Calculer \(h(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(h(x)=\frac{\frac{x+3}{x+1}}{\frac{x+3}{x+1}+2}=\frac{x+3}{(x+3)+2(x+1)}\) (on multiplie numérateur et dénominateur par \(x+1\)).
✅ \(h(x)=\dfrac{x+3}{3x+5}\).
3) Soit \(k(x)=\dfrac{x+3}{3x+5}\). \(h\) et \(k\) sont-elles égales ?
Correction détaillée
🔢 \(D_k=\mathbb R\setminus\left\{-\frac53\right\}\) contient \(-1\), qui n’est pas dans \(D_h\).
✅ \(h\neq k\) (domaines différents) ; elles coïncident sur \(D_h\). Exemple : \(k(-1)=1\) existe, \(h(-1)\) n’existe pas.
Exercice 59
Décomposer en fonctions élémentaires.
1) Écrire \(h_1(x)=\dfrac1{3x-1}\) à l’aide de fonctions élémentaires.
Correction détaillée
🔢 \(x\mapsto3x-1\) puis \(t\mapsto\frac1t\).
✅ \(h_1=u\circ v\) avec \(v(x)=3x-1\), \(u(t)=\frac1t\).
2) Écrire \(h_2(x)=\sqrt x+3\) à l’aide de fonctions élémentaires.
Correction détaillée
🔢 \(x\mapsto\sqrt x\) puis \(t\mapsto t+3\).
✅ \(h_2=u\circ v\) avec \(v(x)=\sqrt x\), \(u(t)=t+3\).
3) Écrire \(h_3(x)=3\sqrt x+4\) à l’aide de fonctions élémentaires.
Correction détaillée
🔢 \(x\mapsto\sqrt x\), puis \(t\mapsto3t\), puis \(s\mapsto s+4\) (ou \(t\mapsto3t+4\)).
✅ \(h_3=u\circ v\) avec \(v(x)=\sqrt x\), \(u(t)=3t+4\).
Exercice 60
Décomposer \(f(x)=-5x^2+7\) sur \([0;+\infty[\) en fonctions élémentaires et étudier ses variations.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f=u\circ v\) avec \(v(x)=x^2\) (croissante sur \([0;+\infty[\)) et \(u(t)=-5t+7\) (décroissante sur \(\mathbb R\)).
🔢 Étape 2 : \(v\) croissante, \(u\) décroissante : \(u\circ v\) est décroissante.
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \([0;+\infty[\) ; \(f(0)=7\) est le maximum.
Exercice 61
1) Décomposer \(h(x)=\sqrt{1-x}\) en fonctions élémentaires.
Correction détaillée
🔢 \(D_h=]-\infty;1]\) car \(1-x\geq0\).
✅ \(h=u\circ v\) avec \(v(x)=1-x\) et \(u(t)=\sqrt t\).
2) Étudier les variations de \(h\) sur \(]-\infty;1]\).
Correction détaillée
🔢 \(v\) est décroissante sur \(]-\infty;1]\) et \(v(]-\infty;1])=[0;+\infty[\) ; \(u\) est croissante sur \([0;+\infty[\).
✅ \(v\searrow\), \(u\nearrow\) \(\Rightarrow\) \(h\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;1]\) ; \(h(1)=0\) est le minimum.
Exercice 62
1) Vérifier que \(h=f\circ g\) avec \(f(x)=-2x^3\), \(g(x)=-2x+1\) : écrire \(h(x)\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé écrit « \(h=f\circ g\) » à vérifier ; \(h\) n’est pas donnée explicitement, on prend \(h=f\circ g\).
🔢 \(h(x)=f(g(x))=-2(-2x+1)^3=-2(1-2x)^3\).
✅ \(h(x)=-2(1-2x)^3\).
2) Étudier la monotonie de \(h\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g\) est décroissante sur \(\mathbb R\) (\(-2<0\)).
🔢 Étape 2 : \(f\) est décroissante sur \(\mathbb R\) (\(x\mapsto x^3\) croissante, multipliée par \(-2\)).
🔢 Étape 3 : Deux fonctions décroissantes : la composée est croissante.
✅ \(h\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Exercice 63
Soient \(f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}\) et \(g(x)=\sqrt x\).
1) Pour \(f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}\), déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x+3\neq0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-3\}\).
2) Donner le nom de \((C_f)\) et ses caractéristiques.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=1-\frac4{x+3}\).
✅ \((C_f)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(-3;1)\), d’asymptotes \(x=-3\) et \(y=1\).
3) Coordonnées des points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=0\iff x=1\) ; \(f(0)=-\frac13\).
✅ Avec \((Ox)\) : \((1;0)\) ; avec \((Oy)\) : \(\left(0;-\frac13\right)\).
4) Tableau de variations de \(f\) et de \(g(x)=\sqrt x\).
Correction détaillée
🔢 \(T_f=\frac4{(x+3)(y+3)}>0\) sur chaque intervalle ; \(g\nearrow\) sur \([0;+\infty[\).
✅ \(f\nearrow\) sur \(]-\infty;-3[\) et \(]-3;+\infty[\) ; \(g\nearrow\) sur \([0;+\infty[\) avec \(g(0)=0\).
5) Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un même repère.
Correction détaillée
🔢 \((C_f)\) : points \((-5;3)\), \((-4;5)\), \((-2;-3)\), \((-1;-1)\), \((0;-\frac13)\), \((1;0)\), \((5;\frac12)\) ; \((C_g)\) : \((0;0)\), \((1;1)\), \((4;2)\), \((9;3)\).
✅ Deux courbes tracées par points ; \((C_f)\) reste sous \(y=1\) pour \(x>-3\).
6) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de \(x-1-(x+3)\sqrt x=0\), \(x\in[0;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Pour \(x\geq0\), \(x+3>0\) : l’équation équivaut à \(\frac{x-1}{x+3}=\sqrt x\), soit \(f(x)=g(x)\).
🔢 Étape 2 : Sur \([0;1]\) : \(f(x)\leq0\leq g(x)\) ; l’égalité \(f=g\) imposerait \(f(x)=g(x)=0\), or \(f(x)=0\iff x=1\) et \(g(1)=1\neq0\) : donc \(f<g\).
🔢 Étape 3 : Sur \(]1;+\infty[\) : \(f(x)=1-\frac4{x+3}<1<\sqrt x=g(x)\).
✅ \((C_f)\) et \((C_g)\) ne se coupent pas sur \([0;+\infty[\) : l’équation n’a aucune solution.
7) Déterminer graphiquement \(g([0;+\infty[)\).
Correction détaillée
🔢 \(g\) est croissante de \(g(0)=0\) vers \(+\infty\).
✅ \(g([0;+\infty[)=[0;+\infty[\).
8) En déduire la monotonie de \(f\circ g\) sur \([0;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g\nearrow\) et \(g([0;+\infty[)\subset]-3;+\infty[\) où \(f\nearrow\).
✅ \(f\circ g\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\).
9) Tableau de variations de \(f\circ g\).
Correction détaillée
🔢 \((f\circ g)(x)=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+3}\), \((f\circ g)(0)=-\frac13\).
✅ Tableau :
x0+∞
f(x)−⅓↗1⁻
(\(f\circ g<1\) partout, et \(f\circ g\to1\) quand \(x\) devient grand).
Exercice 64
Soient \(f(x)=x^2-6x+9\) et \(g(x)=\sqrt{x+4}\).
1) Tableaux de variations de \(f(x)=x^2-6x+9\) et \(g(x)=\sqrt{x+4}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=(x-3)^2\) : \(f\searrow\) sur \(]-\infty;3]\), \(\nearrow\) sur \([3;+\infty[\), \(f(3)=0\).
🔢 Étape 2 : \(D_g=[-4;+\infty[\), \(g\nearrow\), \(g(-4)=0\).
✅ Tableaux :
x−∞3+∞
f(x)+∞↘0↗+∞
x−4+∞
g(x)0↗+∞
2) Construire \((C_f)\) et \((C_g)\).
Correction détaillée
🔢 \((C_f)\) : parabole de sommet \((3;0)\), passant par \((0;9)\), \((1;4)\), \((2;1)\), \((4;1)\), \((6;9)\) ; \((C_g)\) : \((-4;0)\), \((-3;1)\), \((0;2)\), \((5;3)\).
✅ Courbes tracées par points.
3) Résoudre \(g(x)=3\) sur \([-4;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{x+4}=3\iff x+4=9\).
✅ \(x=5\).
4) Déterminer graphiquement \(g([-4;5])\) et \(g([5;+\infty[)\).
Correction détaillée
🔢 \(g\) est croissante, \(g(-4)=0\), \(g(5)=3\).
✅ \(g([-4;5])=[0;3]\) et \(g([5;+\infty[)=[3;+\infty[\).
5) Déterminer \(D_{f\circ g}\).
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x\in D_g\) (\(f\) est définie sur \(\mathbb R\)).
✅ \(D_{f\circ g}=[-4;+\infty[\).
6) Déterminer \(f\circ g\).
Correction détaillée
🔢 \(f(g(x))=(\sqrt{x+4}-3)^2=x+4-6\sqrt{x+4}+9\).
✅ \((f\circ g)(x)=x+13-6\sqrt{x+4}\).
7.a) Monotonie de \(f\circ g\) sur \([-4;5]\).
Correction détaillée
🔢 \(g\nearrow\) et \(g([-4;5])=[0;3]\subset]-\infty;3]\) où \(f\searrow\).
✅ \(f\circ g\) est décroissante sur \([-4;5]\).
7.b) Monotonie de \(f\circ g\) sur \([5;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g([5;+\infty[)=[3;+\infty[\) où \(f\nearrow\).
✅ \(f\circ g\) est croissante sur \([5;+\infty[\).
7.c) Tableau de variations de \(f\circ g\).
Correction détaillée
🔢 \((f\circ g)(-4)=f(0)=9\) ; \((f\circ g)(5)=f(3)=0\).
✅ Tableau :
x−45+∞
f∘g9↘0↗+∞
Minimum \(0\) atteint en \(x=5\).
Exercice 65
Une composée avec minimum.
1) Pour \(f(x)=x^2-x\) et \(g(x)=\sqrt{x+5}\) : tableaux de variations.
Correction détaillée
⚠️ Le scan imprime \(f(x)=x^2-6x+9\) et \(g(x)=\sqrt{x+4}\) (recopiés de l’exercice précédent) ; ces valeurs ne donnent pas \(h(x)=x+5-\sqrt{x+5}\) ni la coupure en \(-\frac{19}4\). Seule la lecture \(f=x^2-x\), \(g=\sqrt{x+5}\) est cohérente.
🔢 Étape 1 : \(f(x)=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14\) : \(f\searrow\) sur \(]-\infty;\frac12]\), \(\nearrow\) sur \([\frac12;+\infty[\), \(f\left(\frac12\right)=-\frac14\).
🔢 Étape 2 : \(D_g=[-5;+\infty[\), \(g\nearrow\), \(g(-5)=0\).
✅ Tableaux :
x−∞½+∞
f(x)+∞↘−¼↗+∞
x−5+∞
g(x)0↗+∞
2) Vérifier que \(h=f\circ g\).
Correction détaillée
🔢 \(f(g(x))=g(x)^2-g(x)=x+5-\sqrt{x+5}=h(x)\).
✅ \(h=f\circ g\) ✓ sur \([-5;+\infty[\).
3) Déterminer \(g([-5;-\frac{19}4])\) et \(g([-\frac{19}4;+\infty[)\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan écrit \(f(\ldots)\) au lieu de \(g(\ldots)\) (cohérence avec la question suivante).
🔢 \(g\left(-\frac{19}4\right)=\sqrt{\frac14}=\frac12\) ; \(g\) croissante.
✅ \(g\left([-5;-\frac{19}4]\right)=\left[0;\frac12\right]\) et \(g\left(\left[-\frac{19}4;+\infty\right[\right)=\left[\frac12;+\infty\right[\).
4) Monotonie de \(h\) sur \([-5;-\frac{19}4]\) puis sur \([-\frac{19}4;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \([-5;-\frac{19}4]\) : \(g\nearrow\), valeurs dans \([0;\frac12]\) où \(f\searrow\) \(\Rightarrow\) \(h\searrow\).
🔢 Étape 2 : Sur \([-\frac{19}4;+\infty[\) : \(g\nearrow\), valeurs dans \([\frac12;+\infty[\) où \(f\nearrow\) \(\Rightarrow\) \(h\nearrow\).
✅ \(h\searrow\) sur \([-5;-\frac{19}4]\), \(h\nearrow\) sur \([-\frac{19}4;+\infty[\) ; minimum \(h\left(-\frac{19}4\right)=-\frac14\).
Exercice 66
Soit \(f(x)=x+1-2\sqrt{x+1}\).
1) Pour \(f(x)=x+1-2\sqrt{x+1}\) : déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x+1\geq0\).
✅ \(D_f=[-1;+\infty[\).
2) Montrer que \(f(x)\geq-1\) et que \(f(0)\) est un extremum de \(f\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan demande de montrer que \(f(0)\) est la valeur « maximale » : c’est faux (\(f(x)\to+\infty\)) ; il s’agit du minimum.
🔢 Étape 1 : Avec \(t=\sqrt{x+1}\) : \(f=t^2-2t=(t-1)^2-1\geq-1\).
🔢 Étape 2 : \(f(0)=1-2=-1\).
✅ \(f\geq-1=f(0)\) : \(f(0)=-1\) est la valeur minimale de \(f\) (elle n’est pas majorée).
3.a) Soient \(g(x)=x^2-2x\) et \(h(x)=\sqrt{x+1}\). Tableau de variations de \(h\).
Correction détaillée
🔢 \(h\nearrow\) sur \([-1;+\infty[\), \(h(-1)=0\).
✅ \(h\) est strictement croissante sur \([-1;+\infty[\).
3.b) Déterminer \(h([-1;0])\) et \(h([0;+\infty[)\).
Correction détaillée
🔢 \(h(-1)=0\), \(h(0)=1\), \(h\) croissante.
✅ \(h([-1;0])=[0;1]\), \(h([0;+\infty[)=[1;+\infty[\).
3.c) Tableau de variations de \(g\).
Correction détaillée
🔢 \(g(x)=(x-1)^2-1\).
✅ \(g\searrow\) sur \(]-\infty;1]\), \(g\nearrow\) sur \([1;+\infty[\), minimum \(g(1)=-1\).
3.d) Vérifier que \(\forall x\in D_f,\ f(x)=g(h(x))\).
Correction détaillée
🔢 \(g(h(x))=(\sqrt{x+1})^2-2\sqrt{x+1}=x+1-2\sqrt{x+1}\).
✅ \(f=g\circ h\) ✓.
3.e) En déduire la monotonie de \(f\) sur \([-1;0]\) et sur \([0;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \([-1;0]\) : \(h\nearrow\), \(h([-1;0])=[0;1]\subset]-\infty;1]\) où \(g\searrow\) \(\Rightarrow\) \(f\searrow\).
🔢 Étape 2 : Sur \([0;+\infty[\) : \(h\nearrow\), valeurs dans \([1;+\infty[\) où \(g\nearrow\) \(\Rightarrow\) \(f\nearrow\).
✅ \(f\searrow\) sur \([-1;0]\), \(\nearrow\) sur \([0;+\infty[\) ; minimum \(f(0)=-1\) (\(f(-1)=-1+1-0=0\)).
Exercice 67
Fonction composée de deux fonctions.
1) Écrire \(f(x)=\sqrt{1-2x}\) sous forme \(u\circ v\) ; puis \(f(x)=(2x+1)^2\) ; puis \(f(x)=\dfrac{|x|-2}{|x|+3}\) ; puis \(f(x)=2\sqrt{x^2+3}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : a) \(v(x)=1-2x\), \(u(t)=\sqrt t\).
🔢 Étape 2 : b) \(v(x)=2x+1\), \(u(t)=t^2\).
🔢 Étape 3 : c) \(v(x)=|x|\), \(u(t)=\frac{t-2}{t+3}\).
🔢 Étape 4 : d) \(v(x)=x^2+3\), \(u(t)=2\sqrt t\) (ou \(v(x)=\sqrt{x^2+3}\), \(u(t)=2t\)).
✅ Les quatre décompositions sont données ci-dessus.
Exercice 68
Soient \(f(x)=\sqrt{x-1}\) et \(g(x)=\dfrac{x}{x+2}\).
1) Pour \(f(x)=\sqrt{x-1}\) et \(g(x)=\dfrac{x}{x+2}\), déterminer \(D_{f\circ g}\) et \(D_{g\circ f}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_{f\circ g}\) : \(x\neq-2\) et \(g(x)\geq1\iff\frac{x}{x+2}-1\geq0\iff\frac{-2}{x+2}\geq0\iff x+2<0\iff x<-2\).
🔢 Étape 2 : \(D_{g\circ f}\) : \(x\geq1\) et \(f(x)\neq-2\) (toujours vrai puisque \(f\geq0\)).
✅ \(D_{f\circ g}=]-\infty;-2[\) et \(D_{g\circ f}=[1;+\infty[\).
2) Donner l’expression de \((f\circ g)(x)\) pour \(x\in D_{f\circ g}\).
Correction détaillée
🔢 \(f(g(x))=\sqrt{\frac{x}{x+2}-1}=\sqrt{\frac{-2}{x+2}}\).
✅ \((f\circ g)(x)=\sqrt{-\dfrac2{x+2}}\).
Exercice 69
Fonctions réciproques sur \(\mathbb R^+\).
1) Pour \(f(x)=x^2+2x\) et \(g(x)=-1+\sqrt{1+x}\) sur \(\mathbb R^+\) : calculer \((f\circ g)(x)\) et \((g\circ f)(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(g(x))=g^2+2g=(g+1)^2-1=(1+x)-1=x\).
🔢 Étape 2 : \(g(f(x))=-1+\sqrt{1+x^2+2x}=-1+|x+1|=-1+x+1=x\) (car \(x\geq0\)).
✅ \((f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)=x\) : \(f\) et \(g\) sont réciproques l’une de l’autre sur \(\mathbb R^+\).
2) Représenter \((C_f)\), \((C_g)\) et la droite \(y=x\).
Correction détaillée
🔢 Les points de \((C_f)\) : \((0;0)\), \((1;3)\), \((2;8)\) ; leurs symétriques par rapport à \(y=x\) : \((0;0)\), \((3;1)\), \((8;2)\) sont sur \((C_g)\).
✅ \((C_f)\) et \((C_g)\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\).
Exercice 70
Composée et signe.
1) Soient \(g(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}\), \(h(x)=x^2+2\) et \(f(x)=\dfrac{6x^2+8x+11}{(x-1)^2}\). Variations de \(g\) et de \(h\), puis signe de \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g(x)=2+\frac5{x-1}\) : \(T=-\frac5{(x-1)(y-1)}<0\) : \(g\searrow\) sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(h\searrow\) sur \(]-\infty;0]\), \(\nearrow\) sur \([0;+\infty[\).
🔢 Étape 3 : \(g(x)=0\iff x=-\frac32\) ; \(g>0\) sur \(]-\infty;-\frac32[\cup]1;+\infty[\), \(g<0\) sur \(]-\frac32;1[\).
✅ Résultats ci-dessus.
2) Vérifier que \(f=h\circ g\) sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\).
Correction détaillée
🔢 \(h(g(x))=\frac{(2x+3)^2}{(x-1)^2}+2=\frac{4x^2+12x+9+2x^2-4x+2}{(x-1)^2}\).
✅ \(=\dfrac{6x^2+8x+11}{(x-1)^2}=f(x)\) ✓.
3) Variations de \(f\) sur \(]1;+\infty[\), \([-\frac32;1[\) et \(]-\infty;-\frac32]\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(]1;+\infty[\) : \(g\searrow\), \(g(x)>2>0\) donc dans \([0;+\infty[\) où \(h\nearrow\) \(\Rightarrow f\searrow\).
🔢 Étape 2 : \([-\frac32;1[\) : \(g\searrow\), \(g(x)\leq0\) donc dans \(]-\infty;0]\) où \(h\searrow\) \(\Rightarrow f\nearrow\).
🔢 Étape 3 : \(]-\infty;-\frac32]\) : \(g\searrow\), \(g(x)\in[0;2[\) où \(h\nearrow\) \(\Rightarrow f\searrow\).
✅ \(f\searrow\) sur \(]-\infty;-\frac32]\), \(f\nearrow\) sur \([-\frac32;1[\), \(f\searrow\) sur \(]1;+\infty[\) ; minimum local \(f\left(-\frac32\right)=h(0)=2\).
Partie VIII. Fonctions périodiques
Exercice 71
1) Déterminer une période de \(f(x)=\sin(4x-1)\) et de \(g(x)=\cos(5x)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappel : \(f\) est périodique de période \(T>0\) si \(\forall x\in D_f,\ x\pm T\in D_f\) et \(f(x+T)=f(x)\). Alors \(f(x+kT)=f(x)\) pour tout \(k\in\mathbb Z\) et on peut tracer \((C_f)\) sur un intervalle de longueur \(T\), puis le translater de \(kT\) horizontalement. \(\sin\) et \(\cos\) ont pour période \(2\pi\) ; \(x\mapsto\sin(ax+b)\) et \(\cos(ax+b)\) ont pour période \(\frac{2\pi}{|a|}\).
🔢 Étape 1 : \(\sin(4(x+T)-1)=\sin(4x-1+4T)=\sin(4x-1)\) dès que \(4T=2\pi\).
🔢 Étape 2 : \(\cos(5(x+T))=\cos(5x)\) dès que \(5T=2\pi\).
✅ \(f\) est périodique de période \(\frac\pi2\) ; \(g\) de période \(\frac{2\pi}5\).
2) Donner une fonction de période \(\frac34\).
Correction détaillée
🔢 On cherche \(\cos(ax)\) avec \(\frac{2\pi}a=\frac34\), soit \(a=\frac{8\pi}3\).
✅ \(h(x)=\cos\left(\frac{8\pi}3x\right)\) convient (de même \(\sin\left(\frac{8\pi}3x\right)\)).
Exercice 72
Soit \(f\) périodique de période \(2\) telle que \(f(x)=2x-x^2\) sur \([0;2[\).
1) Tracer \((C_f)\) sur \([-2;8]\), sachant que \(f\) est périodique de période \(2\) et \(f(x)=2x-x^2\) sur \([0;2[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \([0;2[\) : \(f(x)=-(x-1)^2+1\) : arche de parabole de sommet \((1;1)\), \(f(0)=0\), \(f(2^-)\to0\).
🔢 Étape 2 : On translate cette arche de \(\pm2,\pm4,\pm6\) : mêmes arches sur \([-2;0[\), \([2;4[\), \([4;6[\), \([6;8[\).
✅ La courbe est une suite d’arches identiques de sommets \((1+2k;1)\), \(k\in\mathbb Z\), qui se raccordent aux points \((2k;0)\) (on a \(f(2)=f(0)=0\)).
2) Calculer \(f(4{,}1)\), \(f(-3{,}5)\) et \(f(265{,}11)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Se ramener à l’intervalle de base par un multiple de la période : \(f(x)=f(x-2k)\) avec \(x-2k\in[0;2[\).
🔢 Étape 1 : \(f(4{,}1)=f(4{,}1-4)=f(0{,}1)=0{,}2-0{,}01=0{,}19\).
🔢 Étape 2 : \(f(-3{,}5)=f(-3{,}5+4)=f(0{,}5)=1-0{,}25=0{,}75\).
🔢 Étape 3 : \(f(265{,}11)=f(265{,}11-264)=f(1{,}11)=2{,}22-1{,}2321=0{,}9879\).
✅ \(f(4{,}1)=0{,}19\) ; \(f(-3{,}5)=0{,}75\) ; \(f(265{,}11)=0{,}9879\).
3) Donner l’expression de \(f(x)\) sur \(I_k=[2k;2(k+1)[\), \(k\in\mathbb Z\).
Correction détaillée
🔢 Si \(x\in I_k\) alors \(x-2k\in[0;2[\), donc \(f(x)=f(x-2k)\).
✅ \(f(x)=2(x-2k)-(x-2k)^2\) pour \(x\in[2k;2k+2[\).
Exercice 73
Compléter la courbe de \(f\) périodique de période \(T=2\) dont on connaît la restriction à \([-1;1]\) : un arc de courbe de \((-1;1)\) à \((0;0)\), puis le segment de \((0;0)\) à \((1;1)\).
Correction détaillée
⚠️ Figure non reproductible : forme exacte de l’arc non connue ; seule la construction par translations est décrite.
🔢 Étape 1 : On a \(f(-1)=f(1)=1\) : la courbe se raccorde.
🔢 Étape 2 : On translate le motif de \([-1;1]\) de \(2\), \(4\), \(\ldots\) vers la droite, et de \(-2\), \(-4\), \(\ldots\) vers la gauche.
✅ On obtient sur \([1;3]\) le même motif décalé de \(2\) (arc de \((1;1)\) à \((2;0)\), segment de \((2;0)\) à \((3;1)\)), et ainsi de suite sur \([3;5]\)…
Exercice 74
Soit \(f(x)=2\cos x-x\) sur \(\mathbb R\).
1) Pour \(f(x)=2\cos x-x\) : montrer que pour \(x\in I=[0;\pi]\), \(-\pi-2\leq f(x)\leq2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(-1\leq\cos x\leq1\Rightarrow-2\leq2\cos x\leq2\) ; \(0\leq x\leq\pi\Rightarrow-\pi\leq-x\leq0\).
🔢 Étape 2 : On additionne.
✅ \(-2-\pi\leq f(x)\leq2\) sur \([0;\pi]\).
2) Étudier la monotonie de \(x\mapsto\cos x\) sur \(I\) et en déduire celle de \(f\) sur \(I\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\cos\) est strictement décroissante sur \([0;\pi]\).
🔢 Étape 2 : \(2\cos x\) est décroissante et \(-x\) est décroissante : leur somme est décroissante.
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \([0;\pi]\).
3) Soit \(g(x)=f(4x)\). Étudier la monotonie de \(g\) sur \(\left[0;\frac\pi4\right]\).
Correction détaillée
🔢 \(v(x)=4x\) est croissante et \(v\left(\left[0;\frac\pi4\right]\right)=[0;\pi]\) où \(f\) décroît.
✅ \(g=f\circ v\) est strictement décroissante sur \(\left[0;\frac\pi4\right]\).
4) Soit \(h(x)=(2\cos x-x)^2\). Écrire \(h=u\circ f\) et étudier la monotonie de \(h\) sur \(\left[0;\frac\pi4\right]\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(h=u\circ f\) avec \(u(t)=t^2\).
🔢 Étape 2 : Sur \(\left[0;\frac\pi4\right]\), \(f\) est décroissante de \(f(0)=2\) à \(f\left(\frac\pi4\right)=\sqrt2-\frac\pi4\approx0{,}63>0\), donc \(f\) prend ses valeurs dans \(\mathbb R^+\) où \(u\) est croissante.
✅ \(f\searrow\) et \(u\nearrow\) : \(h\) est strictement décroissante sur \(\left[0;\frac\pi4\right]\).
Partie IX. Résolution graphique et problèmes
Exercice 75
Soit \((C_f)\) la courbe de \(f(x)=x^3-4x^2+3\) et \((D)\) la droite \(y=-x-3\).
1) Résoudre \(f(x)=3\) puis \(f(x)<3\), pour \(f(x)=x^3-4x^2+3\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan indique « \(x^3-4x^2+3\) » ; cette lecture est confirmée par les racines entières de \(f(x)=-x-3\) (\(-1,2,3\)).
📘 Méthode : Lecture : les solutions de \(f(x)=k\) sont les abscisses des points de \((C_f)\) d’ordonnée \(k\) ; \(f(x)>k\) : parties de \((C_f)\) au-dessus de la droite \(y=k\) ; \(f(x)>g(x)\) : \((C_f)\) au-dessus de \((C_g)\) ; \(D_f\) : projection de \((C_f)\) sur \((Ox)\).
🔢 Étape 1 : \(f(x)-3=x^2(x-4)\).
🔢 Étape 2 : \(=0\iff x=0\) ou \(x=4\) ; \(<0\iff x<4\) et \(x\neq0\).
✅ \(f(x)=3\iff x\in\{0;4\}\) ; \(f(x)<3\iff x\in]-\infty;0[\cup]0;4[\).
2) Résoudre \(f(x)=0\) puis \(f(x)\geq0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(1)=0\), donc \(f(x)=(x-1)(x^2-3x-3)\), de racines \(1\) et \(\frac{3\pm\sqrt{21}}2\) (\(\approx-0{,}79\) et \(3{,}79\)).
🔢 Étape 2 : Signe (coefficient dominant positif) : \(f\geq0\) sur \(\left[\frac{3-\sqrt{21}}2;1\right]\) et sur \(\left[\frac{3+\sqrt{21}}2;+\infty\right[\).
✅ \(f(x)=0\iff x\in\left\{\frac{3-\sqrt{21}}2;1;\frac{3+\sqrt{21}}2\right\}\) ; \(f(x)\geq0\iff x\in\left[\frac{3-\sqrt{21}}2;1\right]\cup\left[\frac{3+\sqrt{21}}2;+\infty\right[\).
3) Résoudre \(f(x)=-x-3\) puis \(f(x)\leq-x-3\) (intersections de \((C_f)\) et de la droite \((D)\)).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)+x+3=x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x-2)(x-3)\) (racines évidentes \(-1,2,3\)).
🔢 Étape 2 : \(f(x)\leq-x-3\iff(x+1)(x-2)(x-3)\leq0\) : tableau de signes.
✅ \(f(x)=-x-3\iff x\in\{-1;2;3\}\) ; \(f(x)\leq-x-3\iff x\in]-\infty;-1]\cup[2;3]\).
4) Points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes.
Correction détaillée
🔢 Avec \((Oy)\) : \(f(0)=3\). Avec \((Ox)\) : racines de la question 2.
✅ \((0;3)\), \(\left(\frac{3-\sqrt{21}}2;0\right)\), \((1;0)\), \(\left(\frac{3+\sqrt{21}}2;0\right)\).
Exercice 76
Soient \(f(x)=x^2-3x-4\) et \(g(x)=3x+12\).
1) Pour \(f(x)=x^2-3x-4\) et \(g(x)=3x+12\) : tracer \((C_f)\) et \((C_g)\).
Correction détaillée
🔢 \((C_f)\) : parabole de sommet \(\left(\frac32;-\frac{25}4\right)\) ; points \((-1;0)\), \((0;-4)\), \((3;-4)\), \((4;0)\), \((-2;6)\), \((5;6)\). \((C_g)\) : droite par \((-4;0)\) et \((0;12)\).
✅ Courbes tracées par points.
2) Résoudre graphiquement et algébriquement \(f(x)=g(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-3x-4=3x+12\iff x^2-6x-16=0\) ; \(\Delta=100\), \(x=\frac{6\pm10}2\).
✅ \(S=\{-2;8\}\) : points d’intersection \((-2;6)\) et \((8;36)\).
3) Résoudre graphiquement et algébriquement \(f(x)>g(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-g(x)=(x+2)(x-8)>0\) à l’extérieur des racines.
✅ \(S=]-\infty;-2[\cup]8;+\infty[\) (\((C_f)\) au-dessus de \((C_g)\)).
4) Trouver les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=0\iff(x+1)(x-4)=0\) ; \(f(0)=-4\).
✅ \((-1;0)\), \((4;0)\) et \((0;-4)\).
Exercice 77
Soient \(f(x)=-x^2-2x+3\) et \(g(x)=\dfrac{x-1}{x+2}\).
1) Tableaux de variations de \(f(x)=-x^2-2x+3\) et \(g(x)=\dfrac{x-1}{x+2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=-(x+1)^2+4\) : \(f\nearrow\) sur \(]-\infty;-1]\), \(\searrow\) sur \([-1;+\infty[\), maximum \(4\).
🔢 Étape 2 : \(g(x)=1-\frac3{x+2}\) : \(T=\frac3{(x+2)(y+2)}>0\) : \(g\nearrow\) sur \(]-\infty;-2[\) et sur \(]-2;+\infty[\).
✅ Tableaux :
x−∞−1+∞
f(x)−∞↗4↘−∞
x−∞−2+∞
g(x)1⁻↗|↗1⁺
2) Points d’intersection de \((C_f)\) et de \((C_g)\) avec l’axe des abscisses.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=0\iff x^2+2x-3=0\iff x\in\{-3;1\}\) ; \(g(x)=0\iff x=1\).
✅ \((C_f)\) : \((-3;0)\) et \((1;0)\) ; \((C_g)\) : \((1;0)\).
3) Tracer \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère.
Correction détaillée
🔢 \((C_f)\) : sommet \((-1;4)\), \((0;3)\), \((-2;3)\), \((2;-5)\) ; \((C_g)\) : hyperbole de centre \((-2;1)\), points \((0;-\frac12)\), \((1;0)\), \((-3;4)\), \((-4;\frac52)\).
✅ Courbes tracées par points.
4.a) Résoudre graphiquement \(f(x)=g(x)\).
Correction détaillée
🔢 Les courbes se coupent en \((1;0)\) seulement. Contrôle algébrique : \(f(x)=g(x)\iff-x^3-4x^2-2x+7=0\iff(x-1)(x^2+5x+7)=0\) (pour \(x\neq-2\)) et \(x^2+5x+7>0\) (\(\Delta=-3\)).
✅ \(S=\{1\}\).
4.b) Résoudre graphiquement \(f(x)\geq g(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-g(x)=\frac{-(x-1)(x^2+5x+7)}{x+2}\), du signe de \(\frac{1-x}{x+2}\).
✅ \(f(x)\geq g(x)\iff x\in]-2;1]\).
Exercice 78
Lecture graphique de deux courbes \((C_f)\) et \((C_g)\).
1) Déterminer graphiquement \(D_f\) et \(D_g\).
Correction détaillée
⚠️ Figure non reproductible : réponses numériques impossibles, seule la méthode de lecture est donnée.
📘 Méthode : Lecture : les solutions de \(f(x)=k\) sont les abscisses des points de \((C_f)\) d’ordonnée \(k\) ; \(f(x)>k\) : parties de \((C_f)\) au-dessus de la droite \(y=k\) ; \(f(x)>g(x)\) : \((C_f)\) au-dessus de \((C_g)\) ; \(D_f\) : projection de \((C_f)\) sur \((Ox)\).
🔢 \(D_f\) est l’ensemble des abscisses des points de \((C_f)\) ; de même \(D_g\).
✅ On lit les intervalles couverts par chaque courbe (les asymptotes verticales sont exclues).
2) Résoudre graphiquement \(x\in D_f\,:\,f(x)\geq0\).
Correction détaillée
🔢 On repère les abscisses où \((C_f)\) est sur ou au-dessus de \((Ox)\).
✅ \(S\) = réunion des intervalles de \(D_f\) où \((C_f)\) est au-dessus de l’axe des abscisses.
3) Déterminer \(D_h\) pour \(h(x)=\sqrt{f(x)}\).
Correction détaillée
🔢 \(h\) existe si et seulement si \(x\in D_f\) et \(f(x)\geq0\).
✅ \(D_h\) est l’ensemble trouvé à la question 2.
4) Résoudre graphiquement \(g(x)>f(x)\).
Correction détaillée
🔢 On repère les abscisses où \((C_g)\) est strictement au-dessus de \((C_f)\).
✅ \(S\) = intervalles où \((C_g)\) est au-dessus de \((C_f)\).
Exercice 79
Problème : festival de motocross.
1) Trois motards ont pour trajectoires \(f(x)=-0{,}25x^2+3{,}95x+1\) (Housni), \(h(x)=\dfrac{4{,}4x+2}{x+2}\) (Lamrani) et \(g(x)=\sqrt{x+1}\) (Jabri), départ \(A(0;1)\). Montrer que \(h(x)<4{,}4\) pour \(x\geq0\).
Correction détaillée
🔢 \(h(x)=4{,}4-\frac{6{,}8}{x+2}\), avec \(\frac{6{,}8}{x+2}>0\).
✅ \(h(x)<4{,}4\) pour tout \(x\geq0\) : la trajectoire de Lamrani reste sous \(4{,}4\).
2) Tableaux de variations de \(f\), \(g\) et \(h\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=-0{,}25(x-7{,}9)^2+16{,}6025\) : maximum en \(x=7{,}9\).
🔢 Étape 2 : \(h\) : \(T=\frac{6{,}8}{(x+2)(y+2)}>0\) ; \(g\nearrow\).
✅ \(f\nearrow\) sur \([0;7{,}9]\), \(\searrow\) après (maximum \(\approx16{,}6\) m) ; \(h\) et \(g\) strictement croissantes sur \([0;+\infty[\).
3) Construire les trois courbes dans le même repère.
Correction détaillée
🔢 Valeurs : \(f(0)=1\), \(f(8)\approx16{,}6\), \(f(15)=4\) ; \(h(0)=1\), \(h(15)=4\) ; \(g(0)=1\), \(g(15)=4\).
✅ Les trois courbes partent de \(A(0;1)\) et passent par \((15;4)\).
4.a) Abscisse du point d’atterrissage de Housni (le sol est à \(4\) m).
Correction détaillée
⚠️ Hauteur du « sol » (\(4\) m) lue sur la figure ; elle est cohérente avec \(f(15)=h(15)=g(15)=4\).
🔢 Étape 1 : \(f(x)=4\iff-0{,}25x^2+3{,}95x-3=0\iff x^2-15{,}8x+12=0\).
🔢 Étape 2 : \(\Delta=249{,}64-48=201{,}64=14{,}2^2\) ; \(x=\frac{15{,}8\pm14{,}2}{2}\), soit \(0{,}8\) ou \(15\) : on garde la descente.
✅ Housni atterrit en \(x=15\).
4.b) Lamrani atterrira-t-il sur le sol ?
Correction détaillée
🔢 \(h(x)=4\iff4{,}4x+2=4x+8\iff x=15\).
✅ Oui, en \(x=15\) (et \(h(x)\geq1>0\) : il ne touche jamais le niveau \(0\)).
4.c) Jabri atterrira-t-elle sur le sol ?
Correction détaillée
🔢 \(g(x)=4\iff\sqrt{x+1}=4\iff x=15\).
✅ Oui, en \(x=15\).
4.d) Un choc est-il possible entre les motards ?
Correction détaillée
🔢 Les trois trajectoires passent par \((15;4)\) : \(f(15)=h(15)=g(15)=4\).
✅ Oui : les trois atterrissent au même point \((15;4)\) ; un choc est possible si deux d’entre eux y arrivent au même instant.

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