Le produit scalaire Tronc Commun : cours et exercices

Ce cours sur le produit scalaire pour le Tronc Commun explique la définition, la norme, l’orthogonalité et l’expression analytique, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Cours sur le produit scalaire Tronc Commun

DéfinitionÀ connaître par cœur.

PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Définition et Propriétés

Définition géométrique Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de \(\vec{u}\) par \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), le nombre réel défini par :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) si l’un des deux vecteurs est nul.
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u} ; \vec{v})\) dans le cas contraire.

Propriétés Pour tous vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) et tout réel \(k\) :

Symétrie : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
Distributivité : \(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\)
Multiplication par un réel : \(\vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v})\)
Identités remarquables :
- \((\vec{u} + \vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\)
- \((\vec{u} – \vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 – 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\)
- \((\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} – \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 – \|\vec{v}\|^2\)

Attention Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, pas un vecteur. Écrire \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{0}\) est une erreur.

2Produit Scalaire et Norme

Lien avec la norme Pour tout vecteur \(\vec{u}\), on a :

\[ \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \]

Formules de polarisation Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 – \|\vec{u}\|^2 – \|\vec{v}\|^2 \right) \]

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 – \|\vec{u} – \vec{v}\|^2 \right) \]

Application aux points Soient \(A, B, C\) trois points du plan :

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \left( AB^2 + AC^2 – BC^2 \right) \]

Exemple Soit \(CFG\) un triangle tel que \(CF = 7\), \(CG = 6\) et \(FG = 3\). Calculer \(\overrightarrow{CG} \cdot \overrightarrow{CF}\).

\[ \overrightarrow{CG} \cdot \overrightarrow{CF} = \frac{1}{2}(CG^2 + CF^2 – GF^2) = \frac{1}{2}(6^2 + 7^2 – 3^2) = 38 \]

3Produit Scalaire et Orthogonalité

Condition d’orthogonalité Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]

Application Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 7\), \(AC = 5\) et \(BC = 6\). Calculer \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC}\) et en déduire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(BC^2 – AB^2 – AC^2) = \frac{1}{2}(36 – 49 – 25) = -19\).
Donc \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = 19\).

4Applications du Produit Scalaire

4.1 Théorème de Pythagore

Théorème Si \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\), alors :

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

4.2 Théorème d’Al Kashi

Théorème Dans un triangle \(ABC\) :

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{A}) \]

Ce théorème généralise le théorème de Pythagore aux triangles quelconques.

Exemple Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 5\), \(AC = 8\) et \(\widehat{A} = \frac{2\pi}{3}\). Calculer \(BC\).

\[ BC^2 = 5^2 + 8^2 – 2(5)(8)\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 25 + 64 + 40 = 129 \]

Donc \(BC = \sqrt{129}\).

4.3 Théorème de la Médiane

Théorème Soient \(A\) et \(B\) deux points, et \(I\) le milieu de \([AB]\). Pour tout point \(M\) :

\[ MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2} \]

Exemple Soit \(ABC\) un triangle tel que \(BC = 5\), \(AC = 7\) et \(AB = 8\). Soit \(K\) le milieu de \([AB]\). Calculer \(CK\).

\[ CA^2 + CB^2 = 2CK^2 + \frac{AB^2}{2} \implies 7^2 + 5^2 = 2CK^2 + \frac{8^2}{2} \]

\[ 74 = 2CK^2 + 32 \implies CK^2 = 21 \implies CK = \sqrt{21} \]

4.4 Surface d’un triangle et Formule des sinus

Propriétés Dans un triangle \(ABC\) de surface \(S\) :

\[ S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}bc \sin A \]

\[ \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{2S}{abc} \]

5Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★★ Exercice 1 · Al Kashi

Soit \(EFG\) un triangle tel que \(EF = 7\), \(EG = 5\) et \(\widehat{E} = \frac{\pi}{4}\). Calculer \(FG\) et \(\cos(\widehat{EGF})\).

Voir la solution

D’après Al Kashi : \(FG^2 = EF^2 + EG^2 – 2 \times EF \times EG \times \cos E\)

\(FG^2 = 7^2 + 5^2 – 2(7)(5)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 49 + 25 – 70 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 74 – 35\sqrt{2}\).

Donc \(FG = \sqrt{74 – 35\sqrt{2}}\).

Pour \(\cos(\widehat{EGF})\), on utilise Al Kashi au sommet \(G\) :

\(EF^2 = EG^2 + FG^2 – 2 \times EG \times FG \times \cos(\widehat{G})\).

\(49 = 25 + (74 – 35\sqrt{2}) – 2(5)(FG)\cos(\widehat{G})\).

On isole \(\cos(\widehat{G})\) pour trouver la valeur.

★★ Exercice 2 · Calcul avec les normes

Sachant que \(\|\vec{u}\| = 4\), \(\|\vec{v}\| = 2\) et \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -\frac{1}{2}\). Calculer \(A = (2\vec{u} – 3\vec{v}) \cdot (\vec{u} + 2\vec{v})\).

Voir la solution

On développe :

\(A = 2\vec{u}\cdot\vec{u} + 4\vec{u}\cdot\vec{v} – 3\vec{v}\cdot\vec{u} – 6\vec{v}\cdot\vec{v}\)

\(A = 2\|\vec{u}\|^2 + \vec{u}\cdot\vec{v} – 6\|\vec{v}\|^2\)

\(A = 2(4^2) + \left(-\frac{1}{2}\right) – 6(2^2)\)

\(A = 32 – 0,5 – 24 = 7,5 = \frac{15}{2}\).

★Fiche résumé à retenir

Définition : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})\).
Norme : \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2\).
Orthogonalité : \(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
Al Kashi : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2AB \times AC \cos A\).
Médiane : \(MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}\).
Surface : \(S = \frac{1}{2}ab \sin C\).

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