Ce cours sur les transformations du plan pour le Tronc Commun présente les symétries, la translation, l’homothétie et la rotation, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Cours sur les transformations du plan Tronc Commun
Les Transformations du Plan
Symétries, Translation, Homothétie et propriétés de conservation.
à maîtriser
1Symétries Axiale et Centrale
On la note \(S_\Omega\).
2Translation et Homothétie
On la note \(t_{\vec{u}}\).
On la note \(h_{(\Omega, k)}\).
- Si \(k > 0\), \(M’\) est du même côté que \(M\) par rapport à \(\Omega\).
- Si \(k < 0\), \(M’\) est de l’autre côté de \(\Omega\) par rapport à \(M\).
- Si \(|k| > 1\), la figure est agrandie.
- Si \(|k| < 1\), la figure est réduite.
3Propriétés Caractéristiques
- Si \(k \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\}\), \(T\) est l’homothétie de rapport \(k\).
- Si \(k = -1\), \(T\) est une symétrie centrale (car \(\overrightarrow{M’N’} = -\overrightarrow{MN}\)).
- Si \(k = 1\), \(T\) est une translation (car \(\overrightarrow{M’N’} = \overrightarrow{MN}\)).
On en déduit que \(\overrightarrow{A’B’} = 2\overrightarrow{AB}\).
4Propriétés de Conservation et Images
- Symétrie centrale de centre \(I\) : seul \(I\) est invariant.
- Symétrie axiale d’axe \((\Delta)\) : tous les points de \((\Delta)\) sont invariants.
- Translation de vecteur \(\vec{u} \neq \vec{0}\) : aucun point invariant.
| Transformation | Alignement & Milieu | Distances | Angles & Parallélisme |
|---|---|---|---|
| Symétrie axiale | Oui | Oui | Oui |
| Symétrie centrale | Oui | Oui | Oui |
| Translation | Oui | Oui | Oui |
| Homothétie | Oui | Non (sauf si |k|=1) | Oui |
- Translation & Symétrie centrale & Homothétie : L’image d’une droite est une droite qui lui est parallèle. L’image d’un segment est un segment (de même longueur pour la translation/symétrie, de longueur multipliée par \(|k|\) pour l’homothétie). L’image d’un cercle est un cercle.
- Symétrie axiale : L’image d’une droite est une droite (elle n’est parallèle que si la droite est parallèle à l’axe de symétrie). L’image d’un segment est un segment de même longueur. L’image d’un cercle est un cercle de même rayon.
5Exercice corrigé
Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.
Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\). Soit \(I\) un point tel que \(I\) soit le milieu de \([AB]\). Soit \(J\) un point tel que \(IJ = DC\) (en vecteurs).
1) Faire une figure.
2) Montrer que la droite \((BJ)\) est l’image de la droite \((AI)\) par la translation \(t_{\overrightarrow{AB}}\). Que peut-on en déduire pour les droites \((BJ)\) et \((AI)\) ?
3) Soit l’homothétie \(h\) de centre \(I\) qui transforme le point \(B\) en \(C\).
a) Montrer que \(h((AB)) = (CD)\).
b) Montrer que le rapport \(k\) de l’homothétie est \(k = -2\).
4) Soit le point \(K\) tel que \(\overrightarrow{KI} = 2\overrightarrow{AB}\).
a) Montrer que \(h(J) = K\).
b) Montrer que \(AI = \frac{1}{2} CK\).
Voir la solution
2) On a \(ABCD\) parallélogramme donc \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\).
Et on a par hypothèse \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{DC}\), donc \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AB}\). Cela signifie que \(J\) est l’image de \(I\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : \(t_{\overrightarrow{AB}}(I) = J\).
De plus, par définition de la translation, \(t_{\overrightarrow{AB}}(A) = B\).
L’image de la droite \((AI)\) par la translation \(t_{\overrightarrow{AB}}\) est donc la droite \((BJ)\).
Déduction : L’image d’une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle. Donc \((AI) \parallel (BJ)\).
3) a) On a \(h(B) = C\). L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle. L’image de la droite \((AB)\) est donc la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(C\), c’est-à-dire la droite \((CD)\). Donc \(h((AB)) = (CD)\).
b) On a \(h(B) = C\), donc \(\overrightarrow{IC} = k \overrightarrow{IB}\).
Or, \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(ABCD\) est un parallélogramme, donc on peut exprimer \(\overrightarrow{IC}\) en fonction de \(\overrightarrow{IB}\).
On sait que \(\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{AD}\). Mais plus simplement, comme \(I\) est le milieu de \([AB]\), \(\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}\). Le point \(C\) est l’image de \(B\) par l’homothétie de centre \(I\). On a \(\overrightarrow{IC} = -2\overrightarrow{IB}\). Donc \(k = -2\).
4) a) On a \(h(J) = K\) si et seulement si \(\overrightarrow{IK} = k \overrightarrow{IJ} = -2\overrightarrow{IJ}\).
Or, par hypothèse \(\overrightarrow{KI} = 2\overrightarrow{AB}\), ce qui équivaut à \(-\overrightarrow{IK} = 2\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{IK} = -2\overrightarrow{AB}\).
Et comme \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AB}\), on a bien \(\overrightarrow{IK} = -2\overrightarrow{IJ}\). Donc \(h(J) = K\).
b) D’après la propriété caractéristique de l’homothétie, si \(h(J) = K\) et \(h(B) = C\), alors \(\overrightarrow{KC} = -2\overrightarrow{JB}\).
Donc \(CK = 2 BJ\). Or, on a vu que \(ABJI\) est un parallélogramme (car \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AB}\)), donc \(BJ = AI\).
Donc \(CK = 2 AI\), ce qui donne \(AI = \frac{1}{2} CK\).
★Fiche résumé à retenir
- Symétrie centrale : \(\overrightarrow{\Omega M’} = -\overrightarrow{\Omega M}\).
- Translation : \(\overrightarrow{MM’} = \vec{u}\).
- Homothétie : \(\overrightarrow{\Omega M’} = k \overrightarrow{\Omega M}\).
- Conservation : L’homothétie ne conserve pas les distances (sauf si \(|k|=1\)).
- Images : Les translations, symétries centrales et homothéties transforment les droites en droites parallèles.