Généralités sur les Fonctions · Cours Tronc Commun

Ce cours de généralités sur les fonctions pour le Tronc Commun couvre le domaine, la courbe, la parité, les variations et les extremums, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Cours de généralités sur les fonctions Tronc Commun

DéfinitionÀ connaître par cœur.
PropriétéÀ retenir et à citer.
ExempleRésolu étape par étape.
AstucePour mieux comprendre.
AttentionErreur fréquente.

1Définitions et Domaine de définition

Définition d’une fonction Une fonction \(f\) est une relation qui associe à chaque nombre réel \(x\) d’un ensemble \(D\) un unique nombre réel \(y\), noté \(f(x)\).
On dit que \(y\) est l’image de \(x\), et que \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\).
Ensemble de définition L’ensemble de tous les nombres réels qui ont une image par \(f\) s’appelle l’ensemble de définition de \(f\), noté \(D_f\).
Méthode · Trouver le domaine de définition
  • Fonction polynôme : \(D_f = \mathbb{R}\) (toujours défini).
  • Fonction rationnelle (fraction) : Le dénominateur doit être non nul.
  • Fonction racine carrée : L’expression sous la racine doit être positive ou nulle (\(\ge 0\)).
Exemple 1 · Fonction rationnelle \(f(x) = \frac{x^3}{2x – 4}\).
  1. Le dénominateur doit être non nul : \(2x – 4 \neq 0\).
  2. Cela donne \(x \neq 2\).
  3. Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} = ]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[\).
Exemple 2 · Fonction racine carrée \(f(x) = \sqrt{-3x + 6}\).
  1. L’expression sous la racine doit être positive : \(-3x + 6 \ge 0\).
  2. On résout : \(-3x \ge -6 \implies x \le 2\).
  3. Donc \(D_f = ]-\infty ; 2]\).

2Égalité et Représentation graphique

Égalité de deux fonctions Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont égales si et seulement si :
  • Elles ont le même ensemble de définition : \(D_f = D_g\).
  • Pour tout \(x \in D_f\), on a \(f(x) = g(x)\).
Attention Deux fonctions peuvent avoir la même expression algébrique mais des domaines de définition différents. Par exemple, \(f(x) = \frac{x^2 – x}{x}\) et \(g(x) = x – 1\) ne sont pas égales car \(D_f = \mathbb{R}^*\) et \(D_g = \mathbb{R}\).
Courbe représentative La courbe représentative de \(f\) (notée \(C_f\)) est l’ensemble des points \(M(x ; f(x))\) du plan où \(x \in D_f\).
\[ C_f = \{ M(x ; f(x)) \mid x \in D_f \} \]

3Fonctions Paires et Impaires

Ensemble de définition centré Un ensemble \(D\) est centré en 0 si, pour tout \(x \in D\), on a aussi \(-x \in D\).
Fonction paire Une fonction \(f\) est paire si :
  • Son ensemble de définition est centré.
  • Pour tout \(x \in D_f\), \(f(-x) = f(x)\).

Graphiquement, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (\(Oy\)).

Fonction impaire Une fonction \(f\) est impaire si :
  • Son ensemble de définition est centré.
  • Pour tout \(x \in D_f\), \(f(-x) = -f(x)\).

Graphiquement, la courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère \(O\).

Exemple · Étudier la parité Soit \(f(x) = 3x^2 – 5\).
  1. \(D_f = \mathbb{R}\) (centré).
  2. On calcule \(f(-x) = 3(-x)^2 – 5 = 3x^2 – 5\).
  3. On constate que \(f(-x) = f(x)\).
  4. Donc \(f\) est une fonction paire.

4Variations d’une fonction

Sens de variation Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
  • \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\), \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)\).
  • \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\), \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)\).
  • \(f\) est constante sur \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\), \(f(x_1) = f(x_2)\).
Taux d’accroissement Le taux d’accroissement de \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) (avec \(x_1 \neq x_2\)) est :
\[ T(x_1 ; x_2) = \frac{f(x_1) – f(x_2)}{x_1 – x_2} \]
Lien avec les variations
  • Si \(T(x_1 ; x_2) > 0\), alors \(f\) est strictement croissante.
  • Si \(T(x_1 ; x_2) < 0\), alors \(f\) est strictement décroissante.
  • Si \(T(x_1 ; x_2) = 0\), alors \(f\) est constante.
Exemple · Étudier les variations de \(f(x) = 3x^2 + 2\)
  1. Calcul du taux d’accroissement : \(T(x_1 ; x_2) = \frac{3x_1^2 + 2 – (3x_2^2 + 2)}{x_1 – x_2} = \frac{3(x_1^2 – x_2^2)}{x_1 – x_2} = 3(x_1 + x_2)\).
  2. Sur \([0 ; +\infty[\), \(x_1 \ge 0\) et \(x_2 \ge 0\), donc \(x_1 + x_2 \ge 0\). Ainsi \(T \ge 0\), donc \(f\) est croissante.
  3. Sur \(]-\infty ; 0]\), \(x_1 \le 0\) et \(x_2 \le 0\), donc \(x_1 + x_2 \le 0\). Ainsi \(T \le 0\), donc \(f\) est décroissante.

5Extremums d’une fonction

Maximum et Minimum Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\).
  • \(f(a)\) est un maximum de \(f\) sur \(I\) si pour tout \(x \in I\), \(f(x) \le f(a)\).
  • \(f(a)\) est un minimum de \(f\) sur \(I\) si pour tout \(x \in I\), \(f(x) \ge f(a)\).
Propriété Si \(f\) est croissante sur \([a ; c]\) et décroissante sur \([c ; b]\), alors \(f(c)\) est un maximum de \(f\) sur \([a ; b]\).
Si \(f\) est décroissante sur \([a ; c]\) et croissante sur \([c ; b]\), alors \(f(c)\) est un minimum de \(f\) sur \([a ; b]\).
Exemple · Trouver un maximum Soit \(f(x) = -4x^2 + 4x + 5\).
  1. On montre que \(f(x) = 6 – (2x – 1)^2\).
  2. Pour tout \(x\), \((2x-1)^2 \ge 0\), donc \(-(2x-1)^2 \le 0\).
  3. Ainsi, \(f(x) \le 6\).
  4. De plus, \(f(1/2) = 6\). Donc \(f(1/2) = 6\) est le maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

6Fonctions de référence

6.1 Fonctions polynômes du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Propriétés
  • La courbe est une parabole.
  • Le sommet a pour coordonnées \((\alpha ; \beta)\) avec \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\).
  • La forme canonique est \(f(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta\).
  • Si \(a > 0\), la parabole est orientée vers le haut (sommet = minimum).
  • Si \(a < 0\), la parabole est orientée vers le bas (sommet = maximum).

6.2 Fonction inverse \(f(x) = \frac{a}{x}\)

Propriétés
  • Domaine : \(D_f = \mathbb{R}^*\).
  • La courbe est une hyperbole.
  • Centre de symétrie : \(O(0 ; 0)\).
  • Asymptotes : les axes du repère (\(Ox\) et \(Oy\)).
  • Si \(a > 0\), \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\).
  • Si \(a < 0\), \(f\) est croissante sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\).

7Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Domaine de définition

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f(x) = \sqrt{x^2 – 3x + 2}\).

Voir la solution

L’expression sous la racine doit être positive : \(x^2 – 3x + 2 \ge 0\).

On résout l’équation \(x^2 – 3x + 2 = 0\).

\(\Delta = (-3)^2 – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1\).

Racines : \(x_1 = \frac{3 – 1}{2} = 1\) et \(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\).

Comme \(a = 1 > 0\), le trinôme est positif à l’extérieur des racines.

Donc \(D_f = ]-\infty ; 1] \cup [2 ; +\infty[\).

★★ Exercice 2 · Parité

Étudier la parité de la fonction \(f(x) = \frac{x^2 – 1}{x}\).

Voir la solution

Domaine de définition : \(x \neq 0\), donc \(D_f = \mathbb{R}^*\) (centré).

On calcule \(f(-x)\) :

\(f(-x) = \frac{(-x)^2 – 1}{-x} = \frac{x^2 – 1}{-x} = -\frac{x^2 – 1}{x}\).

On constate que \(f(-x) = -f(x)\).

Donc \(f\) est une fonction impaire.

★★ Exercice 3 · Variations

Étudier les variations de la fonction \(f(x) = \frac{2}{x}\) sur \(]0 ; +\infty[\).

Voir la solution

Soient \(x_1, x_2 \in ]0 ; +\infty[\) avec \(x_1 \neq x_2\).

\(T(x_1 ; x_2) = \frac{\frac{2}{x_1} – \frac{2}{x_2}}{x_1 – x_2} = \frac{\frac{2x_2 – 2x_1}{x_1 x_2}}{x_1 – x_2}\).

\(T(x_1 ; x_2) = \frac{-2(x_1 – x_2)}{x_1 x_2 (x_1 – x_2)} = \frac{-2}{x_1 x_2}\).

Comme \(x_1 > 0\) et \(x_2 > 0\), on a \(x_1 x_2 > 0\). Donc \(T(x_1 ; x_2) < 0\).

La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(]0 ; +\infty[\).

★★★ Exercice 4 · Position relative

Soient \(f(x) = x^2 – 3x – 4\) et \(g(x) = 3x + 12\). Résoudre l’équation \(f(x) = g(x)\) et en déduire la position relative des courbes.

Voir la solution

\(f(x) = g(x) \iff x^2 – 3x – 4 = 3x + 12\).

\(\iff x^2 – 6x – 16 = 0\).

\(\Delta = (-6)^2 – 4(1)(-16) = 36 + 64 = 100\).

Racines : \(x_1 = \frac{6 – 10}{2} = -2\) et \(x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8\).

Donc les solutions sont \(S = \{-2 ; 8\}\).

Les courbes se coupent aux points d’abscisses -2 et 8.

Pour la position relative, on étudie le signe de \(f(x) – g(x) = x^2 – 6x – 16\).

Ce trinôme est positif à l’extérieur des racines (car \(a=1>0\)).

Donc \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\) sur \(]-\infty ; -2[ \cup ]8 ; +\infty[\).

★Fiche résumé à retenir

  • Domaine : Dénominateur \(\neq 0\), expression sous racine \(\ge 0\).
  • Parité : Paire si \(f(-x) = f(x)\), Impaire si \(f(-x) = -f(x)\).
  • Variations : \(T(x_1; x_2) > 0 \implies\) croissante, \(T < 0 \implies\) décroissante.
  • Extremum : Sommet de la parabole \((\alpha, \beta)\) avec \(\alpha = -b/2a\).
  • Position relative : Étudier le signe de \(f(x) – g(x)\).
C’est en forgeant que l’on devient forgeron !
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