Ce cours d’équations et inéquations pour le Tronc Commun explique la résolution, les systèmes et les méthodes essentielles, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Cours d’équations et inéquations Tronc Commun
Équations & Inéquations
Résolution d’équations, tableaux de signes, inéquations et systèmes à deux inconnues.
à maîtriser
1Équations du 1er degré (1 inconnue)
- Valeur interdite : \(x + 3 = 0 \implies x = -3\). Donc \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\).
- Pour \(x \neq -3\), l’équation équivaut à \(x^2 – 9 = 0\).
- Soit \((x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3\) ou \(x = -3\).
- Comme \(x = -3\) est interdit, la seule solution est \(S = \{3\}\).
- On utilise \(|A| = |B| \iff A = B\) ou \(A = -B\).
- Cas 1 : \(7x – 10 = 6 + 3x \implies 4x = 16 \implies x = 4\).
- Cas 2 : \(7x – 10 = -(6 + 3x) \implies 10x = 4 \implies x = \frac{2}{5}\).
- L’ensemble des solutions est \(S = \{4 ; \frac{2}{5}\}\).
2Le signe du binôme \(ax+b\)
- On cherche la racine : \(-2x + 12 = 0 \implies x = 6\).
- Le coefficient \(a = -2\) est négatif, donc le signe est \(+\) avant 6 et \(-\) après 6.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(6\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(-2x+12\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
3Inéquations du 1er degré (1 inconnue)
- Rassembler tous les termes d’un côté pour avoir \(0\) de l’autre.
- Factoriser (ou réduire au même dénominateur) l’expression.
- Dresser un tableau de signes avec les valeurs qui annulent chaque facteur.
- Conclure en choisissant les intervalles qui respectent l’inégalité (>, <, ≥, ≤).
- On cherche les racines : \(3 – 6x = 0 \implies x = \frac{1}{2}\) et \(x + 2 = 0 \implies x = -2\).
- Tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(3 – 6x\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(x + 2\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | ||
| Produit | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
On veut \(> 0\) (strictement positif), donc on prend la zone où le produit est \(+\).
La solution est \(S = \left]-2 ; \frac{1}{2}\right[\).
- Valeur interdite : \(1 + 3x = 0 \implies x = -\frac{1}{3}\).
- Racine du numérateur : \(5x – 2 = 0 \implies x = \frac{2}{5}\).
- Tableau de signes (attention à la double barre pour la valeur interdite).
- On obtient \(S = \left]-\infty ; -\frac{1}{3}\right[ \cup \left[\frac{2}{5} ; +\infty\right[\).
4Systèmes d’équations et d’inéquations
Les solutions peuvent s’écrire sous la forme \(S = \{(x ; y) \mid y = mx + p\}\).
- On trace la droite frontière.
- On choisit un point test (souvent \(O(0;0)\)) pour savoir quel demi-plan est solution.
- On trace \((D_1) : x + y – 1 = 0\). Le point \(O(0;0)\) donne \(-1 \ge 0\) (faux), donc le demi-plan solution ne contient pas \(O\).
- On trace \((D_2) : -x + 2y + 2 = 0\). Le point \(O(0;0)\) donne \(2 \le 0\) (faux), donc le demi-plan solution ne contient pas \(O\).
- La solution est l’intersection des deux demi-plans (la zone hachurée).
5Exercices corrigés
Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\frac{3x + 5}{x – 1} = 0\).
Voir la solution
Valeur interdite : \(x – 1 = 0 \implies x = 1\).
Pour \(x \neq 1\), l’équation équivaut à \(3x + 5 = 0\).
On trouve \(x = -\frac{5}{3}\).
Comme \(-\frac{5}{3} \neq 1\), la solution est \(S = \left\{-\frac{5}{3}\right\}\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(4x^2 – 9 \ge 0\).
Voir la solution
On factorise : \((2x)^2 – 3^2 = (2x – 3)(2x + 3) \ge 0\).
Racines : \(x = \frac{3}{2}\) et \(x = -\frac{3}{2}\).
Le coefficient de \(x^2\) est positif, donc le trinôme est positif à l’extérieur des racines.
La solution est \(S = \left]-\infty ; -\frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2} ; +\infty\right[\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système :
Voir la solution
On trace les trois droites frontières :
\((D_1) : y = -2x + 3\)
\((D_2) : y = x – 5\)
\((D_3) : x = 4\) (droite verticale)
On détermine le demi-plan solution pour chaque inéquation en testant le point \(O(0;0)\) :
– \(2(0) + 0 – 3 \ge 0\) est faux, donc on prend le demi-plan ne contenant pas \(O\).
– \(-0 + 0 + 5 \le 0\) est faux, donc on prend le demi-plan ne contenant pas \(O\).
– \(0 \le 4\) est vrai, donc on prend le demi-plan contenant \(O\).
La solution est la région du plan qui vérifie les trois conditions simultanément (souvent représentée par une zone triangulaire ou polygonale hachurée).
★Fiche résumé à retenir
- Équation \(ax+b=0\) : Solution unique \(x = -\frac{b}{a}\).
- Signe de \(ax+b\) : Signe de \(a\) après la racine \(-\frac{b}{a}\), signe opposé avant.
- Inéquation produit/quotient : Utiliser un tableau de signes pour chaque facteur.
- Valeurs interdites : Toujours exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.
- Systèmes à 2 inconnues : Représentation graphique par des demi-plans (intersection).