Les Polynômes · Cours Tronc Commun

Ce cours sur les polynômes pour le Tronc Commun aborde l’égalité, les opérations, le degré, la division euclidienne et les racines, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Cours sur les polynômes Tronc Commun

DéfinitionÀ connaître par cœur.
PropriétéÀ retenir et à citer.
ExempleRésolu étape par étape.
AstucePour mieux comprendre.
AttentionErreur fréquente.

1Égalité de deux polynômes

Propriété fondamentale Deux polynômes \(P\) et \(Q\) sont égaux si et seulement si :
  • Ils ont le même degré.
  • Les coefficients de leurs monômes de même degré sont égaux.
Exemple · Vérifier l’égalité Soient \(P(x) = 2x^3 – 2x^2 + x – 3\) et \(Q(x) = 2x^2(x-2) + (x-1)(2x+3)\).
  1. On développe \(Q(x)\) : \(Q(x) = 2x^3 – 4x^2 + 2x^2 + 3x – 2x – 3\)
  2. \(Q(x) = 2x^3 – 2x^2 + x – 3\)
  3. On constate que \(P(x) = Q(x)\) et que les deux sont de degré 3.
  4. Donc \(P = Q\).
Application · Déterminer des paramètres Soient \(P(x) = x^4 – 2x^3 + x^2 – 1\) et \(Q(x) = ax^5 + (b+c)x^4 + (c+d)x^3 + dx^2 + e\).
Déterminer \(a, b, c, d\) pour que \(P = Q\).
  1. Par identification des coefficients : \(a = 0\) (car \(P\) n’a pas de terme en \(x^5\)).
  2. Pour \(x^4\) : \(b + c = -2\).
  3. Pour \(x^3\) : \(c + d = 1\).
  4. Pour \(x^2\) : \(d = 1\).
  5. Pour la constante : \(e = -1\).
  6. On résout : \(d=1 \implies c = 1 – d = 0 \implies b = -2 – c = -2\).
  7. Donc \(a=0, b=-2, c=0, d=1, e=-1\).

2Opérations et Degré

Propriétés sur le degré Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes non nuls, et \(\alpha \in \mathbb{R}^*\).
  • Somme : \(\deg(P+Q) \le \max(\deg(P), \deg(Q))\).
  • Multiplication par un réel : \(\deg(\alpha P) = \deg(P)\).
  • Produit : \(\deg(P \times Q) = \deg(P) + \deg(Q)\).
  • Carré : \(\deg(P^2) = 2 \times \deg(P)\).
Attention · Degré de la somme Le degré de \(P+Q\) peut être strictement inférieur au maximum des degrés si les termes de plus haut degré s’annulent.
Exemple : \(P(x) = x^2 + 1\) et \(Q(x) = -x^2 + 3\). Alors \(P+Q = 4\) (degré 0).
Exemple · Calculs Soient \(P(x) = x^3 + 2x^2 – 1\) (deg 3) et \(Q(x) = 3x^4 – x^3 + x\) (deg 4).
  • \(P(x) + Q(x) = 3x^4 + 2x^2 + x – 1\) (deg 4).
  • \(P(x) – Q(x) = -3x^4 + 2x^3 + 2x^2 – x – 1\) (deg 4).
  • \(3P(x) – 2Q(x) = -6x^4 + 5x^3 + 6x^2 – 2x – 3\) (deg 4).

3Division par \(x-a\) et Racines

Division euclidienne par \(x-a\) Soit \(P\) un polynôme de degré \(n \ge 1\) et \(a \in \mathbb{R}\). Il existe un unique polynôme \(Q\) de degré \(n-1\) tel que :
\[ P(x) = (x-a)Q(x) + P(a) \]

\(Q(x)\) est le quotient et \(P(a)\) est le reste de la division.

Définition · Racine d’un polynôme On dit que \(a\) est une racine du polynôme \(P\) si \(P(a) = 0\).
Théorème fondamental \(a\) est une racine de \(P\) si et seulement si \(P(x)\) est divisible par \((x-a)\), c’est-à-dire :
\[ P(a) = 0 \iff P(x) = (x-a)Q(x) \]
Exemple · Factorisation complète Soit \(P(x) = x^3 – 3x^2 – 6x + 8\).
  1. On teste \(P(1) = 1 – 3 – 6 + 8 = 0\). Donc 1 est racine et \(P(x)\) est divisible par \((x-1)\).
  2. On effectue la division : \(P(x) = (x-1)(x^2 – 2x – 8)\).
  3. On cherche les racines de \(Q(x) = x^2 – 2x – 8\) : \(Q(-2) = 4 + 4 – 8 = 0\). Donc -2 est racine.
  4. On factorise : \(Q(x) = (x+2)(x-4)\).
  5. Finalement : \(P(x) = (x-1)(x+2)(x-4)\).
  6. Les racines de \(P\) sont \(1, -2\) et \(4\).

4Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Degré et opérations

Soient \(P(x) = x^2 – 1\) et \(Q(x) = x^2 + 2x – 3\). Calculer \(P(x) \times Q(x)\) et vérifier la propriété sur le degré.

Voir la solution

On développe : \(P(x) \times Q(x) = (x^2 – 1)(x^2 + 2x – 3)\)

\(= x^4 + 2x^3 – 3x^2 – x^2 – 2x + 3 = x^4 + 2x^3 – 4x^2 – 2x + 3\).

Le degré de \(P\) est 2, le degré de \(Q\) est 2. Le degré du produit est \(2+2=4\).

La propriété \(\deg(P \times Q) = \deg(P) + \deg(Q)\) est bien vérifiée.

★★ Exercice 2 · Racine et division

Soit \(P(x) = x^3 + 3x^2 – 2x – 6\). Montrer que \(-3\) est une racine de \(P\) et factoriser \(P(x)\).

Voir la solution

On calcule \(P(-3)\) :

\(P(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 – 2(-3) – 6\)

\(P(-3) = -27 + 27 + 6 – 6 = 0\).

Donc \(-3\) est bien une racine. \(P(x)\) est divisible par \((x+3)\).

En effectuant la division euclidienne, on trouve : \(P(x) = (x+3)(x^2 – 2)\).

★★★ Exercice 3 · Paramètres

Déterminer \(a, b, c\) pour que les polynômes \(P(x) = x^3 – 2x^2 + x – 1\) et \(Q(x) = ax^3 + bx^2 + cx – 1\) soient égaux.

Voir la solution

Pour que \(P\) et \(Q\) soient égaux, leurs coefficients doivent être identiques pour chaque degré :

Coefficient de \(x^3\) : \(a = 1\).

Coefficient de \(x^2\) : \(b = -2\).

Coefficient de \(x\) : \(c = 1\).

Constante : \(-1 = -1\) (déjà vérifié).

Donc \(a=1\), \(b=-2\) et \(c=1\).

★Fiche résumé à retenir

  • Égalité : Même degré et coefficients identiques pour chaque monôme.
  • Degré du produit : \(\deg(P \times Q) = \deg(P) + \deg(Q)\).
  • Degré de la somme : \(\deg(P+Q) \le \max(\deg(P), \deg(Q))\).
  • Division euclidienne : \(P(x) = (x-a)Q(x) + P(a)\).
  • Racine : \(a\) est racine de \(P\) \(\iff\) \(P(a) = 0\) \(\iff\) \(P(x)\) est divisible par \((x-a)\).
C’est en forgeant que l’on devient forgeron !
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