Équations & Inéquations du 2nd Degré · Cours Tronc Commun

Ce cours d’équations et inéquations du 2nd degré pour le Tronc Commun couvre le discriminant, les racines et le signe du trinôme, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Cours d’équations du 2nd degré Tronc Commun

DéfinitionÀ connaître par cœur.
PropriétéÀ retenir et à citer.
ExempleRésolu étape par étape.
AstucePour mieux comprendre.
AttentionErreur fréquente.

1Équation du second degré

Définition Une équation du second degré à une inconnue est de la forme :
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Avec \(a \neq 0\), \(b\) et \(c\) des réels. Une solution de cette équation s’appelle une racine du trinôme \(ax^2 + bx + c\).

Le Discriminant On appelle discriminant du trinôme \(ax^2 + bx + c\) le réel :
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Résolution selon le signe de \(\Delta\)
  • Si \(\Delta < 0\) : L’équation n’a pas de solution réelle (\(S = \emptyset\)).
  • Si \(\Delta = 0\) : L’équation a une seule solution (dite double) :
    \[ x_0 = -\frac{b}{2a} \]
  • Si \(\Delta > 0\) : L’équation a deux solutions distinctes :
    \[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Exemple · Résoudre \(2x^2 – x – 6 = 0\)
  1. On identifie : \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -6\).
  2. On calcule le discriminant : \(\Delta = (-1)^2 – 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49\).
  3. Comme \(\Delta > 0\), il y a deux solutions : \(x_1 = \frac{1 – 7}{4} = -\frac{3}{2}\) et \(x_2 = \frac{1 + 7}{4} = 2\).
  4. Donc \(S = \left\{-\frac{3}{2} ; 2\right\}\).
Exemple · Résoudre \(x^2 + 3x + 10 = 0\)
  1. \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 10\).
  2. \(\Delta = 3^2 – 4(1)(10) = 9 – 40 = -31\).
  3. Comme \(\Delta < 0\), l’équation n’a pas de solution réelle. \(S = \emptyset\).

2Somme et Produit des racines

Propriété Soit le trinôme \(ax^2 + bx + c\) avec \(\Delta > 0\). Si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines, alors :
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \]
Astuce · Trouver une racine évidente Si on sait qu’un nombre est racine (par exemple \(x_1 = 1\)), on peut trouver l’autre racine très rapidement en utilisant le produit : \(x_2 = \frac{c}{a \times x_1}\).
Exemple · Système Résoudre le système \(\begin{cases} x + y = 5 \\ x \times y = 4 \end{cases}\).
  1. \(x\) et \(y\) sont les solutions de l’équation \(t^2 – 5t + 4 = 0\).
  2. \(\Delta = 25 – 16 = 9\).
  3. \(t_1 = \frac{5 – 3}{2} = 1\) et \(t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\).
  4. Donc les couples solutions sont \((1 ; 4)\) et \((4 ; 1)\).

3Le Discriminant réduit

Propriété Si le coefficient \(b\) est pair, on peut poser \(b = 2b’\). On utilise alors le discriminant réduit :
\[ \Delta’ = b’^2 – ac \]
  • Si \(\Delta’ < 0\) : pas de solution réelle.
  • Si \(\Delta’ = 0\) : une solution double \(x_0 = -\frac{b’}{a}\).
  • Si \(\Delta’ > 0\) : deux solutions \(x_1 = \frac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a}\) et \(x_2 = \frac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a}\).
Exemple · Résoudre \(x^2 – 22x – 23 = 0\)
  1. On a \(b = -22\), donc \(b’ = -11\).
  2. \(\Delta’ = (-11)^2 – (1)(-23) = 121 + 23 = 144\).
  3. \(\Delta’ > 0\), donc deux solutions : \(x_1 = \frac{11 – 12}{1} = -1\) et \(x_2 = \frac{11 + 12}{1} = 23\).
  4. \(S = \{-1 ; 23\}\).

4Inéquations du second degré

Règle du signe du trinôme Soit \(P(x) = ax^2 + bx + c\).
  • Si \(\Delta < 0\) : \(P(x)\) est toujours du signe de \(a\).
  • Si \(\Delta = 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) partout sauf pour la racine double où il s’annule.
  • Si \(\Delta > 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines.
Exemple · Résoudre \(2x^2 – 3x + 1 \ge 0\)
  1. \(\Delta = (-3)^2 – 4(2)(1) = 9 – 8 = 1\).
  2. Racines : \(x_1 = \frac{3 – 1}{4} = \frac{1}{2}\) et \(x_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1\).
  3. Comme \(a = 2 > 0\), le trinôme est positif à l’extérieur des racines.
  4. On veut \(\ge 0\), donc on prend l’extérieur (avec les bornes incluses).
  5. \(S = \left]-\infty ; \frac{1}{2}\right] \cup [1 ; +\infty[\).
Exemple · Résoudre \(-2x^2 + 4x – 2 > 0\)
  1. \(\Delta = 16 – 4(-2)(-2) = 16 – 16 = 0\).
  2. Une racine double : \(x_0 = -\frac{4}{2(-2)} = 1\).
  3. Le trinôme est du signe de \(a = -2\) (négatif), sauf en 1 où il vaut 0.
  4. On veut strictement \(> 0\), donc il n’y a pas de solution. \(S = \emptyset\).

5Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Factorisation

Factoriser le trinôme \(4x^2 + 19x – 5\).

Voir la solution

On cherche les racines : \(\Delta = 19^2 – 4(4)(-5) = 361 + 80 = 441\).

\(\sqrt{441} = 21\).

\(x_1 = \frac{-19 – 21}{8} = -5\) et \(x_2 = \frac{-19 + 21}{8} = \frac{1}{4}\).

La forme factorisée est \(a(x – x_1)(x – x_2) = 4(x + 5)(x – \frac{1}{4}) = (x + 5)(4x – 1)\).

★★ Exercice 2 · Équation fractionnaire

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\frac{x – 2}{2x^2 – 3x – 2} – \frac{x^2}{2x^2 + 13x + 6} = 0\).

Voir la solution

On commence par factoriser les dénominateurs.

\(2x^2 – 3x – 2 = (2x + 1)(x – 2)\)

\(2x^2 + 13x + 6 = (2x + 1)(x + 6)\)

Les valeurs interdites sont \(x = -6\), \(x = -\frac{1}{2}\) et \(x = 2\).

L’équation devient : \(\frac{x – 2}{(2x + 1)(x – 2)} – \frac{x^2}{(x + 6)(2x + 1)} = 0\).

On simplifie : \(\frac{1}{2x + 1} – \frac{x^2}{(x + 6)(2x + 1)} = 0\).

Soit \(\frac{x + 6 – x^2}{(2x + 1)(x + 6)} = 0 \implies -x^2 + x + 6 = 0\).

\(\Delta = 1 – 4(-1)(6) = 25\).

Les racines sont \(x_1 = 3\) et \(x_2 = -2\).

Aucune n’est une valeur interdite, donc \(S = \{-2 ; 3\}\).

★★★ Exercice 3 · Inéquation

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(3x^2 + 6x – 9 > 0\).

Voir la solution

On résout \(3x^2 + 6x – 9 = 0\).

\(\Delta = 36 – 4(3)(-9) = 36 + 108 = 144\).

Racines : \(x_1 = \frac{-6 – 12}{6} = -3\) et \(x_2 = \frac{-6 + 12}{6} = 1\).

Comme \(a = 3 > 0\), le trinôme est positif à l’extérieur des racines.

On veut strictement \(> 0\), donc \(S = \left]-\infty ; -3\right[ \cup \left]1 ; +\infty\right[\).

★★★ Exercice 4 · Paramètre

Soit l’équation \(x^2 + (2\sqrt{3} – \sqrt{2})x – 2\sqrt{6} = 0\). Vérifier que le discriminant est \((2\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\) et résoudre l’équation.

Voir la solution

\(\Delta = (2\sqrt{3} – \sqrt{2})^2 – 4(1)(-2\sqrt{6})\)

\(\Delta = (12 – 4\sqrt{6} + 2) + 8\sqrt{6} = 14 + 4\sqrt{6}\).

Or \((2\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 12 + 4\sqrt{6} + 2 = 14 + 4\sqrt{6}\).

Donc \(\Delta = (2\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\).

Les racines sont :

\(x_1 = \frac{-(2\sqrt{3} – \sqrt{2}) – (2\sqrt{3} + \sqrt{2})}{2} = \frac{-4\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3}\).

\(x_2 = \frac{-(2\sqrt{3} – \sqrt{2}) + (2\sqrt{3} + \sqrt{2})}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).

Donc \(S = \{-2\sqrt{3} ; \sqrt{2}\}\).

★Fiche résumé à retenir

  • Discriminant : \(\Delta = b^2 – 4ac\).
  • \(\Delta < 0\) : Pas de solution réelle.
  • \(\Delta = 0\) : Une racine double \(x_0 = -\frac{b}{2a}\).
  • \(\Delta > 0\) : Deux racines \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).
  • Somme et Produit : \(S = -\frac{b}{a}\) et \(P = \frac{c}{a}\).
  • Signe du trinôme : Signe de \(a\) à l’extérieur, signe contraire à l’intérieur.
C’est en forgeant que l’on devient forgeron !
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