Ce cours de limites et continuité 2ème Bac (PC et SVT) explique pas à pas la continuité, le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction réciproque et la racine n-ième, avec des exemples résolus et des exercices corrigés. Retrouve d’autres cours dans 2Bac PC-SVT.
Cours de limites et continuité 2ème Bac
Limites et continuité
Cours complet, expliqué pas à pas, avec des exemples résolus et des exercices corrigés.
à maîtriser
1Limites : les rappels indispensables
Pour étudier la continuité, il faut savoir calculer des limites. Voici l’essentiel.
1.1 Limites usuelles
- limx→+∞ xn = +∞ et limx→+∞ 1xn = 0 (pour n ≥ 1).
- limx→−∞ xn = +∞ si n est pair, et −∞ si n est impair.
- limx→+∞ √x = +∞ et limx→0⁺ √x = 0.
- limx→0⁺ 1x = +∞ et limx→0⁻ 1x = −∞.
- limx→0 1x² = +∞ (le carré est toujours positif).
- limx→0 sin xx = 1 ; limx→0 tan xx = 1 ; limx→0 1 − cos xx² = 12 ; limx→0 1 − cos xx = 0.
1.2 Opérations sur les limites
Si f et g ont des limites, on peut en déduire celle de f + g, f × g, 1/f, f/g, sauf dans les 4 cas appelés formes indéterminées :
« Indéterminée » veut dire : on ne peut pas conclure directement, il faut transformer l’expression (factoriser, multiplier par le conjugué…).
- Numérateur : 3x + 1 → 4 (positif).
- Dénominateur : x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2). Quand x → 1⁺, x − 1 → 0⁺ et x + 2 → 3. Donc le dénominateur → 0⁺.
- Conclusion : 40⁺ = +∞. Donc la limite vaut +∞.
1.3 Comment lever une forme indéterminée
| Situation | Méthode |
|---|---|
| Polynôme ou fraction rationnelle en ±∞ | On ne garde que le terme de plus haut degré (terme dominant). |
| 00 avec des polynômes en un point a | Factoriser par (x − a) puis simplifier. |
| 00 ou ∞ − ∞ avec une racine carrée | Multiplier par la quantité conjuguée. |
| Fonction trigonométrique en 0 | Se ramener aux limites usuelles (sin x / x…). |
2Continuité en un point
Pour vérifier la continuité en x₀, on contrôle 3 choses :
- f(x₀) existe (la fonction est définie en x₀) ;
- la limite de f en x₀ existe et elle est finie ;
- cette limite est égale à f(x₀).
Si une des trois conditions échoue, f est discontinue en x₀.
pas de coupure
un saut : limite à gauche ≠ limite à droite
un trou : la limite existe mais ≠ f(x₀)
- f(1) = −4 existe.
- On factorise : x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5). Pour x ≠ 1, f(x) = x − 5. Donc limx→1 f(x) = 1 − 5 = −4.
- limx→1 f(x) = −4 = f(1).
3Continuité à droite et à gauche
- Continue à droite en x₀ : limx→x₀⁺ f(x) = f(x₀) (on s’approche de x₀ par des valeurs plus grandes).
- Continue à gauche en x₀ : limx→x₀⁻ f(x) = f(x₀) (on s’approche par des valeurs plus petites).
On utilise surtout ce théorème pour les fonctions définies par morceaux.
- À gauche : f(1) = a + 1, et limx→1⁻ f(x) = a + 1.
- À droite : limx→1⁺ f(x) = 1² + 2 = 3.
- Pour la continuité, il faut a + 1 = 3, donc a = 2.
4Continuité sur un intervalle
| f est continue sur… | si… |
|---|---|
| ]a, b[ | f est continue en chaque point de ]a, b[. |
| [a, b[ | continue sur ]a, b[ et à droite en a. |
| ]a, b] | continue sur ]a, b[ et à gauche en b. |
| [a, b] | continue sur ]a, b[, à droite en a et à gauche en b. |
5Opérations, fonctions usuelles et composée
5.1 Fonctions continues à connaître
- Les polynômes sont continus sur ℝ.
- Les fractions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition (là où le dénominateur ≠ 0).
- sin et cos sont continues sur ℝ.
- tan est continue sur chaque intervalle ]−π2 + kπ ; π2 + kπ[ (k ∈ ℤ).
- x ↦ √x est continue sur [0, +∞[.
- x ↦ |x| est continue sur ℝ.
5.2 Opérations
5.3 Composée de fonctions
- Si f est continue en x₀ et g est continue en f(x₀), alors g∘f est continue en x₀.
- Si f est continue sur I et g est continue sur f(I), alors g∘f est continue sur I.
- Limite d’une composée : si limx→x₀ u(x) = ℓ et si v est continue en ℓ, alors limx→x₀ v(u(x)) = v(ℓ).
6Image d’un intervalle par une fonction continue
- L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
- L’image d’un segment [a, b] par une fonction continue est un segment [m, M], où m est le minimum et M le maximum de f sur [a, b].
Si f est continue et strictement monotone
On utilise les valeurs de f aux bornes, ou ses limites si la borne est ouverte ou infinie.
| Intervalle I | f strictement croissante : f(I) | f strictement décroissante : f(I) |
|---|---|---|
| [a, b] | [f(a), f(b)] | [f(b), f(a)] |
| [a, b[ | [f(a), limx→b⁻ f[ | ] limx→b⁻ f, f(a)] |
| ]a, b] | ] limx→a⁺ f, f(b)] | [f(b), limx→a⁺ f[ |
| ]a, b[ | ] limx→a⁺ f, limx→b⁻ f[ | ] limx→b⁻ f, limx→a⁺ f[ |
(a et b peuvent être −∞ ou +∞ pour les bornes ouvertes.)
- f′(x) = 2x − 4. f est décroissante sur [0, 2] et croissante sur [2, 3].
- f(0) = 3, f(2) = −1, f(3) = 0.
- f([0, 2]) = [f(2), f(0)] = [−1, 3] et f([2, 3]) = [f(2), f(3)] = [−1, 0].
- On réunit : f([0, 3]) = [−1, 3] ∪ [−1, 0] = [−1, 3].
7Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Plus généralement : si f est continue et strictement monotone sur I, pour tout k ∈ f(I), l’équation f(x) = k a une solution unique dans I.
- Montrer que f est continue sur [a, b].
- Calculer f(a) et f(b) et montrer que f(a) × f(b) < 0.
- Montrer que f est strictement monotone (signe de f′).
- Conclure avec le TVI : existence et unicité.
- f(x) = x³ + x − 1 est un polynôme, donc continue sur [0, 1].
- f(0) = −1 et f(1) = 1, donc f(0) × f(1) = −1 < 0.
- f′(x) = 3x² + 1 > 0, donc f est strictement croissante sur [0, 1].
- D’après le TVI, l’équation f(x) = 0 a une unique solution α dans [0, 1].
8La méthode de dichotomie
Quand on sait qu’une équation f(x) = 0 a une solution dans [a, b], la dichotomie permet de l’encadrer de plus en plus finement, en coupant l’intervalle en deux à chaque étape.
- On calcule le milieu m = a + b2.
- Si f(m) ≤ 0, la solution est dans [m, b]. Sinon, elle est dans [a, m].
- On recommence avec le nouvel intervalle.
| Étape | Intervalle [a, b] | Milieu m | Signe de f(m) | Nouvel intervalle |
|---|
Après 8 étapes : 3,160 ≤ √10 ≤ 3,164, donc √10 ≈ 3,16.
9Fonction réciproque
- J est un intervalle (ses bornes sont données par f aux bornes de I, ou par les limites).
- f est une bijection de I sur J : elle admet une fonction réciproque f⁻¹ définie sur J, avec
y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y) (x ∈ I, y ∈ J)
- f⁻¹ est continue et strictement monotone sur J, avec la même monotonie que f.
- f(f⁻¹(x)) = x pour x ∈ J, et f⁻¹(f(x)) = x pour x ∈ I.
- Les courbes de f et f⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite y = x (la première bissectrice).
- f est continue et strictement croissante sur I (f′(x) = 2x > 0 pour x > 0).
- J = f(I) = [f(0), limx→+∞ f[ = [1, +∞[. Donc f est une bijection de [0, +∞[ sur [1, +∞[.
- On résout y = x² + 1 : x² = y − 1, et comme x ≥ 0, x = √(y − 1).
- Donc f⁻¹(x) = √(x − 1) pour x ∈ [1, +∞[.
- On cherche x₀ tel que f(x₀) = 2 : f(1) = 1 + 1 = 2, donc x₀ = 1.
- f′(1) = 3 + 1 = 4 ≠ 0.
- (f⁻¹)′(2) = 1f′(1) = 14.
10Fonction racine n-ième
- n√0 = 0 et n√1 = 1.
- (n√a)n = a et n√an = a.
- n√ab = n√a × n√b ; n√a/b = n√an√b.
- m√n√a = mn√a.
- n√x est continue et strictement croissante sur [0, +∞[.
- limx→+∞ n√x = +∞.
- n√x ≥ a ⇔ x ≥ an ; n√x ≤ a ⇔ 0 ≤ x ≤ an.
Résoudre l’équation xn = a
| a ≥ 0 | a < 0 | |
|---|---|---|
| n pair | S = { n√a ; −n√a } | S = ∅ (aucune solution) |
| n impair | S = { n√a } | S = { −n√−a } |
- x⁴ = 16 : n = 4 est pair et 16 ≥ 0, donc S = {2 ; −2}.
- (x − 1)³ = −27 : n = 3 est impair et −27 < 0, donc x − 1 = −3√27 = −3, soit S = {−2}.
- x⁴ = −5 : n pair et a < 0, donc S = ∅.
Expressions conjuguées
- a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) et a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
- a⁴ − b⁴ = (a − b)(a³ + a²b + ab² + b³).
- Posons a = 3√x et b = 1. Alors x − 1 = a³ − b³ = (a − 1)(a² + a + 1).
- Donc 3√x − 1x − 1 = a − 1(a − 1)(a² + a + 1) = 1a² + a + 1.
- Quand x → 1, a → 1 et la limite vaut 11 + 1 + 1 = 13.
11Puissances rationnelles d’un réel positif
- xr + r′ = xr × xr′
- xr × r′ = (xr)r′
- x−r = 1xr ; xr − r′ = xrxr′
- (xy)r = xr × yr ; (xy)r = xryr
- 82/3 = (3√8)² = 2² = 4.
- 52/3 × 6√25 = 52/3 × 52/6 = 52/3 × 51/3 = 51 = 5.
- 3√54 ÷ 3√2 = 3√27 = 3.
12Que faire dans un exercice ?
Voici les types de questions les plus fréquents et le bon réflexe pour chacun.
| La question | Le réflexe |
|---|---|
| « Étudier la continuité de f en x₀ » | Calculer limx→x₀ f(x) et f(x₀), puis comparer. Pour une fonction par morceaux, calculer les limites à gauche et à droite. |
| « Déterminer a pour que f soit continue en x₀ » | Écrire limite à gauche = limite à droite = f(x₀), puis résoudre l’équation en a. |
| « Montrer que f est continue sur I » | Citer : polynôme, fraction rationnelle, racine, sin, cos… et somme / produit / quotient / composée. |
| « Déterminer f(I) » | Tableau de variations, puis le tableau des images (partie 6). Si besoin, découper en morceaux et faire la réunion. |
| « Montrer que f(x) = 0 a une solution » | TVI : f continue + f(a) × f(b) < 0. |
| « …une unique solution » | TVI + f strictement monotone (étudier le signe de f′). |
| « Encadrer la solution » | Dichotomie, ou calculer f en quelques valeurs bien choisies (0,5 ; 0,6 ; 0,7…). |
| « Montrer que f admet une réciproque, la déterminer » | Continue + strictement monotone ⇒ bijection de I sur J = f(I). Puis résoudre y = f(x) pour exprimer x en fonction de y. |
| « Résoudre x^n = a » | Regarder la parité de n et le signe de a (tableau de la partie 10). |
13Erreurs à éviter
14Exercices d’entraînement corrigés
Cherche d’abord seul(e) sur ton cahier, puis ouvre la solution pour vérifier.
Calculer : (a) limx→+∞ 2x² + 3xx² − 1 (b) limx→3 x² − 9x − 3 (c) limx→2⁻ 1x − 2 (d) limx→+∞ (√(x + 1) − √x).
Voir la solution
(a) Terme dominant : 2x²x² = 2. Limite = 2.
(b) Forme 00. x² − 9 = (x − 3)(x + 3), donc le quotient vaut x + 3 → 6. Limite = 6.
(c) Quand x → 2⁻, x − 2 → 0⁻, donc 1x − 2 → −∞.
(d) Forme +∞ − ∞. Conjugué : √(x + 1) − √x = (x + 1) − x√(x + 1) + √x = 1√(x + 1) + √x → 0. Limite = 0.
Soit f(x) = sin xx pour x ≠ 0 et f(0) = 1. Soit g(x) = x² − 1x − 1 pour x ≠ 1 et g(1) = 3. Étudier la continuité de f en 0 et de g en 1.
Voir la solution
f en 0 : limx→0 sin xx = 1 = f(0). Donc f est continue en 0.
g en 1 : pour x ≠ 1, g(x) = x + 1 → 2. Mais g(1) = 3 ≠ 2. Donc g est discontinue en 1. On peut la rendre continue en posant g(1) = 2 (prolongement par continuité).
Soit f(x) = x² − 1x − 1 si x > 1, et f(x) = ax + 3 si x ≤ 1. Déterminer a pour que f soit continue en 1.
Voir la solution
À droite : pour x > 1, f(x) = x + 1, donc limx→1⁺ f(x) = 2.
À gauche et en 1 : f(1) = a + 3 et limx→1⁻ f(x) = a + 3.
Continuité ⇔ a + 3 = 2 ⇔ a = −1.
Soit f(x) = x² − 4x + 3. Déterminer f([2, +∞[) et f([0, 3]).
Voir la solution
f′(x) = 2x − 4 : f est décroissante sur ]−∞, 2] et croissante sur [2, +∞[. Le minimum est f(2) = −1.
Sur [2, +∞[, f est continue et strictement croissante, donc f([2, +∞[) = [f(2), limx→+∞ f[ = [−1, +∞[.
Sur [0, 3] : f([0, 2]) = [−1, 3] et f([2, 3]) = [−1, 0]. La réunion donne f([0, 3]) = [−1, 3].
Soit f(x) = x³ + x − 1. (1) Montrer que f(x) = 0 a une unique solution α dans [0, 1]. (2) Par une étape de dichotomie, puis une deuxième, encadrer α.
Voir la solution
(1) f est continue (polynôme), f(0) = −1 < 0, f(1) = 1 > 0 et f′(x) = 3x² + 1 > 0 donc f est strictement croissante. Par le TVI, α existe et est unique dans [0, 1].
(2) Milieu de [0, 1] : f(0,5) = 0,125 + 0,5 − 1 = −0,375 < 0, donc α ∈ ]0,5 ; 1[. Milieu de [0,5 ; 1] : f(0,75) = 0,421875 + 0,75 − 1 ≈ 0,172 > 0, donc α ∈ ]0,5 ; 0,75[. 0,5 < α < 0,75.
Soit f(x) = x² − 2x sur I = [1, +∞[. Montrer que f admet une réciproque sur I, puis déterminer f⁻¹(x).
Voir la solution
f est continue (polynôme) et f′(x) = 2x − 2 ≥ 0 sur [1, +∞[, avec f′(x) > 0 pour x > 1 : f est strictement croissante sur I.
J = f(I) = [f(1), limx→+∞ f[ = [−1, +∞[. f est une bijection de [1, +∞[ sur [−1, +∞[.
Soit y ∈ J et x ∈ I tels que y = x² − 2x. Alors y + 1 = (x − 1)². Comme x − 1 ≥ 0, x − 1 = √(y + 1), donc x = 1 + √(y + 1).
f⁻¹(x) = 1 + √(x + 1) pour x ∈ [−1, +∞[.
(1) Résoudre x⁴ = 81 puis (x + 2)³ = 8. (2) Simplifier 4√16 × 82/3. (3) Comparer 3√5 et 4√20.
Voir la solution
(1) x⁴ = 81 : n pair, a > 0, donc S = {3 ; −3}. (x + 2)³ = 8 : x + 2 = 3√8 = 2, donc S = {0}.
(2) 4√16 = 2 et 82/3 = (3√8)² = 4. Le produit vaut 8.
(3) 3√5 = 6251/12 et 4√20 = 80001/12. Donc 3√5 < 4√20.
Calculer limx→+∞ cos(πx2x + 1) et justifier que h(x) = √(1 − x²) est continue sur [−1, 1].
Voir la solution
πx2x + 1 → π2 quand x → +∞ (termes dominants). cos est continue en π2, donc la limite vaut cos(π2) = 0.
x ↦ 1 − x² est un polynôme (continu sur ℝ) et 1 − x² ≥ 0 sur [−1, 1]. Comme √ est continue sur [0, +∞[, h est continue sur [−1, 1] comme composée.
★Fiche résumé à retenir
- Continuité en x₀ : limx→x₀ f(x) = f(x₀) ⇔ continue à droite et à gauche.
- Fonctions continues : polynômes, fractions rationnelles (sur leur domaine), √, sin, cos, tan (sur son domaine), et somme / produit / quotient / composée de fonctions continues.
- Image d’un intervalle : par une fonction continue, c’est un intervalle ; un segment donne un segment [m, M].
- TVI : f continue sur [a, b] et f(a) × f(b) < 0 ⇒ f(x) = 0 a au moins une solution ; avec f strictement monotone ⇒ solution unique.
- Réciproque : f continue et strictement monotone sur I ⇒ bijection de I sur f(I), f⁻¹ de même monotonie, courbes symétriques par rapport à y = x.
- Racine n-ième : réciproque de x ↦ xn sur [0, +∞[ ; n√x = x1/n.