Dérivation et étude des fonctions 2ème Bac : cours complet

Ce cours de dérivation et étude des fonctions 2ème Bac (PC et SVT) explique pas à pas le nombre dérivé, la tangente, les extremums, la dérivée seconde et l’étude complète d’une fonction, avec des exemples résolus et des exercices corrigés. Retrouve d’autres cours dans 2Bac PC-SVT.

Cours de dérivation et étude des fonctions 2ème Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.

Théorème / PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Dérivabilité en un point : le nombre dérivé

L’idée Le nombre dérivé mesure la vitesse à laquelle f varie en un point. Graphiquement, c’est la pente de la courbe à cet endroit.

Définition Soit f définie sur un intervalle ouvert contenant x₀. On dit que f est dérivable en x₀ si la limite

limx→x₀ f(x) − f(x₀)x − x₀ (le « taux d’accroissement »)

existe et est finie. Cette limite est notée f′(x₀) : c’est le nombre dérivé de f en x₀.
Avec h = x − x₀, on peut aussi écrire : f′(x₀) = limh→0 f(x₀ + h) − f(x₀)h.

Exemple 1 Montrer que f(x) = x² est dérivable en 3 et calculer f′(3).

Taux d’accroissement : f(x) − f(3)x − 3 = x² − 9x − 3 (forme 00).
On factorise : x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Donc le taux vaut x + 3.
limx→3 (x + 3) = 6, un nombre fini.

Conclusion : f est dérivable en 3 et f′(3) = 6.

Attention Si la limite du taux d’accroissement n’existe pas, ou si elle vaut ±∞, la fonction n’est pas dérivable en x₀.

2Interprétation géométrique : la tangente

Propriété Si f est dérivable en x₀, la courbe C_f admet au point A(x₀ ; f(x₀)) une tangente de coefficient directeur f′(x₀). Son équation est :

y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀)

Cas particulier Si f′(x₀) = 0, la tangente est horizontale (parallèle à l’axe des abscisses) : y = f(x₀).

Exemple 2 · Équation d’une tangente Donner la tangente à la courbe de f(x) = 2x² au point d’abscisse 1.

f′(x) = 4x, donc f′(1) = 4.
f(1) = 2.
T : y = 4(x − 1) + 2 = 4x − 2.

Pour la tracer : on part de A(1 ; 2), on avance de 1 vers la droite, puis on monte de 4 : on obtient un 2ᵉ point, et on trace la droite.

La tangente T (en rouge) « touche » la courbe en A.

3Dérivabilité à droite et à gauche · Demi-tangentes

Définitions

Dérivable à droite en x₀ : limx→x₀⁺ f(x) − f(x₀)x − x₀ existe et est finie. On la note f′_d(x₀).
Dérivable à gauche en x₀ : limx→x₀⁻ f(x) − f(x₀)x − x₀ existe et est finie. On la note f′_g(x₀).

Propriété f est dérivable en x₀ si et seulement si f′_d(x₀) et f′_g(x₀) existent et sont égales. Cette valeur commune est f′(x₀).

Demi-tangentes

Si f est dérivable à droite en x₀, C_f admet une demi-tangente à droite : y = f′_d(x₀)(x − x₀) + f(x₀), pour x ≥ x₀.
Si f est dérivable à gauche en x₀, C_f admet une demi-tangente à gauche : y = f′_g(x₀)(x − x₀) + f(x₀), pour x ≤ x₀.
Si f′_d(x₀) ≠ f′_g(x₀), f n’est pas dérivable en x₀ et A(x₀ ; f(x₀)) est un point anguleux.
Si le taux d’accroissement tend vers ±∞, f n’est pas dérivable en x₀ mais C_f admet une demi-tangente verticale.

Dérivable
une seule tangente

Point anguleux
deux demi-tangentes de pentes différentes

Demi-tangente verticale
pente infinie

Exemple 3 · Point anguleux Soit f(x) = |x|. Étudier la dérivabilité en 0.

À droite (x > 0) : f(x) − f(0)x − 0 = xx = 1, donc f′_d(0) = 1.
À gauche (x < 0) : −xx = −1, donc f′_g(0) = −1.
1 ≠ −1 : f n’est pas dérivable en 0. L’origine est un point anguleux.

Exemple 4 · Demi-tangente verticale Soit f(x) = √x. En 0 : f(x) − f(0)x − 0 = √xx = 1√x → +∞ quand x → 0⁺. Donc f n’est pas dérivable en 0, mais la courbe admet une demi-tangente verticale à l’origine.

Exemple 5 · Fonction par morceaux f(x) = x² si x ≤ 1 ; f(x) = 3x − 2 si x > 1. Étudier la dérivabilité en 1.

f(1) = 1. À droite, f(x) = 3x − 2 : 3x − 2 − 1x − 1 = 3(x − 1)x − 1 = 3, donc f′_d(1) = 3.
À gauche, f(x) = x² : x² − 1x − 1 = x + 1 → 2, donc f′_g(1) = 2.
3 ≠ 2 : f n’est pas dérivable en 1. Le point (1 ; 1) est anguleux, avec des demi-tangentes de pentes 3 (à droite) et 2 (à gauche).

4Dérivabilité sur un intervalle · Lien avec la continuité

Définitions

f est dérivable sur un intervalle ouvert I si elle est dérivable en tout point de I.
f est dérivable sur [a, b] si elle est dérivable sur ]a, b[, à droite en a et à gauche en b.
La fonction dérivée f′ associe à chaque x de I le nombre f′(x).
La dérivée seconde est f″ = (f′)′, et plus généralement f⁽ⁿ⁾ = (f⁽ⁿ⁻¹⁾)′.

Théorème Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Donc : dérivable sur I ⇒ continue sur I.

La réciproque est fausse ! Une fonction peut être continue sans être dérivable. Exemple : f(x) = |x| est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0 (point anguleux). Même chose pour √x en 0.

À retenir Pour montrer qu’une fonction n’est pas continue en a, on peut dire « elle n’est pas dérivable ». Mais pour montrer qu’elle n’est pas dérivable, il ne suffit pas de dire qu’elle est continue.

5Dérivées usuelles et opérations

5.1 Tableau des dérivées usuelles

f(x)	f′(x)	f est dérivable sur
a (constante)	0	ℝ
x	1	ℝ
xⁿ (n ∈ ℕ*)	n xⁿ⁻¹	ℝ
1x	−1x²	ℝ* (x ≠ 0)
√x	12√x	]0, +∞[
cos x	−sin x	ℝ
sin x	cos x	ℝ
tan x	1 + tan² x = 1cos² x	ℝ privé de π2 + kπ

Les polynômes sont dérivables sur ℝ. Les fractions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.

5.2 Opérations (u et v dérivables, k réel)

Fonction	Dérivée
u + v	u′ + v′
k · u	k · u′
u × v	u′v + uv′
1u (u ≠ 0)	−u′u²
uv (v ≠ 0)	u′v − uv′v²
uⁿ (n ∈ ℕ*)	n · u′ · uⁿ⁻¹

Exemple 1 · Quotient f(x) = x² + 1x − 1 sur ℝ \ {1}. Ici u = x² + 1 (u′ = 2x) et v = x − 1 (v′ = 1).

f′(x) = 2x(x − 1) − (x² + 1)(x − 1)² = x² − 2x − 1(x − 1)²

Exemple 2 · Produit g(x) = x√x sur ]0, +∞[. g′(x) = 1 × √x + x × 12√x = √x + √x2 = 3√x2.

Exemple 3 · Puissance h(x) = (x² + 3x)⁷. On pose u = x² + 3x, u′ = 2x + 3. Donc h′(x) = 7 (2x + 3)(x² + 3x)⁶.

Astuce Avant de dériver une fraction, regarde si on peut la simplifier ou la décomposer : x² + 1x − 1 = x + 1 + 2x − 1 est plus facile à dériver.

6Dérivée d’une fonction composée

Théorème Si u est dérivable en x₀ et v est dérivable en u(x₀), alors v∘u est dérivable en x₀ et

(v∘u)′(x) = u′(x) × v′(u(x))

En mots : « la dérivée de ce qu’il y a dedans » multipliée par « la dérivée de la fonction dehors, calculée en ce qu’il y a dedans ».

Formules à retenir (u dérivable ; a et b réels)

(√u)′ = u′2√u (pour u > 0)
(sin(ax + b))′ = a cos(ax + b)
(cos(ax + b))′ = −a sin(ax + b)
(tan(ax + b))′ = a (1 + tan²(ax + b)) = acos²(ax + b)
(1u)′ = −u′u² ; (uⁿ)′ = n u′ uⁿ⁻¹

Exemples

f(x) = √(x² + 1) : f′(x) = 2x2√(x² + 1) = x√(x² + 1).
g(x) = cos(2x + 1) : g′(x) = −2 sin(2x + 1).
h(x) = tan(3x) : h′(x) = 3 (1 + tan²(3x)).
k(x) = sin(x²) : k′(x) = 2x cos(x²).

7Dérivée de la réciproque · Racines et puissances rationnelles

Théorème Soit f continue et strictement monotone sur I, J = f(I). Si f est dérivable en x₀ avec f′(x₀) ≠ 0, alors f⁻¹ est dérivable en y₀ = f(x₀) et

(f⁻¹)′(y₀) = 1f′(x₀) avec x₀ = f⁻¹(y₀)

Exemple 1 f(x) = x⁵ + x est continue et strictement croissante sur ℝ (f′(x) = 5x⁴ + 1 > 0). Calculer (f⁻¹)′(2).

On cherche x₀ tel que f(x₀) = 2 : f(1) = 2, donc x₀ = 1.
f′(1) = 5 + 1 = 6 ≠ 0.
(f⁻¹)′(2) = 16.

Conséquences : racines n-ièmes et puissances rationnelles

Formules (pour x > 0, n ∈ ℕ*, r ∈ ℚ*, et u dérivable strictement positive)

(ⁿ√x)′ = 1n × ⁿ√xⁿ⁻¹ = 1n x^{1/n − 1}
(ⁿ√u)′ = u′n × ⁿ√uⁿ⁻¹
(x^r)′ = r x^r−1
(u^r)′ = r u′ u^r−1

Astuce La formule (x^r)′ = r x^r−1 est la même que pour les puissances entières. Écris donc les racines sous forme de puissances avant de dériver.

Exemples

(³√x)′ = (x^1/3)′ = 13 x^−2/3 = 13 x^2/3.
(x^7/5)′ = 75 x^2/5.
((x² + 1)^1/3)′ = 13 × 2x × (x² + 1)^−2/3 = 2x3 (x² + 1)^2/3.

8Applications : sens de variation

Propriété (f dérivable sur un intervalle I)

Si f′ ≥ 0 sur I, f est croissante sur I. Si f′ > 0, elle est strictement croissante.
Si f′ ≤ 0 sur I, f est décroissante sur I. Si f′ < 0, elle est strictement décroissante.
Si f′ = 0 sur I, f est constante sur I.

Remarque : si f′ ≥ 0 et ne s’annule qu’en un nombre fini de points, f est quand même strictement croissante.

Méthode : dresser un tableau de variations

Déterminer le domaine de f.
Calculer f′(x) et la factoriser.
Étudier le signe de f′ (racines, tableau de signes).
Remplir le tableau de variations : ↗ si f′ > 0, ↘ si f′ < 0.
Calculer les valeurs aux points importants (et les limites aux bornes).

Exemple f(x) = x³ − 3x sur ℝ.

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
f′(x) = 0 pour x = −1 et x = 1. f′ est positive à l’extérieur des racines et négative entre les racines.
f(−1) = −1 + 3 = 2 et f(1) = 1 − 3 = −2.

x	−∞		−1		1		+∞
f′(x)		+	0	−	0	+
f(x)	−∞	↗	2	↘	−2	↗	+∞

f est strictement croissante sur ]−∞, −1] et sur [1, +∞[, strictement décroissante sur [−1, 1].

9Extremums

Propriété 1 (condition nécessaire) Si f est dérivable en a et admet un extremum (maximum ou minimum) en a, alors f′(a) = 0.

La réciproque est fausse f′(a) = 0 ne suffit pas pour avoir un extremum. Exemple : f(x) = 2x³ a f′(0) = 0, mais f′(x) = 6x² ≥ 0 ne change jamais de signe : f est strictement croissante, donc pas d’extremum en 0 (la tangente horizontale traverse la courbe).

Propriété 2 (condition suffisante) Si f′ s’annule en a en changeant de signe, alors f(a) est un extremum local :

f′ passe de + à − : f(a) est un maximum local.
f′ passe de − à + : f(a) est un minimum local.

Exemple Pour f(x) = x³ − 3x : f′ passe de + à − en −1, donc f(−1) = 2 est un maximum local ; f′ passe de − à + en 1, donc f(1) = −2 est un minimum local.

10Dérivée seconde : concavité et point d’inflexion

Concavité (f deux fois dérivable sur I)

Si f″ ≥ 0 sur I, la courbe est convexe (« en forme de coupe ») : elle est au-dessus de ses tangentes.
Si f″ ≤ 0 sur I, la courbe est concave : elle est au-dessous de ses tangentes.

Convexe (f″ ≥ 0)
courbe au-dessus de la tangente

Concave (f″ ≤ 0)
courbe au-dessous de la tangente

Point d’inflexion
la tangente traverse la courbe

Point d’inflexion Si f″ s’annule en x₀ en changeant de signe, alors A(x₀ ; f(x₀)) est un point d’inflexion : la concavité change et la tangente traverse la courbe.

Attention f″(x₀) = 0 ne suffit pas : il faut que f″ change de signe. Par exemple pour f(x) = x⁴, f″(0) = 0 mais f″(x) = 12x² ≥ 0 : pas d’inflexion en 0.

Exemple f(x) = x³ − 3x : f′(x) = 3x² − 3 et f″(x) = 6x. f″ < 0 sur ]−∞, 0[ (concave) et f″ > 0 sur ]0, +∞[ (convexe). f″ s’annule en changeant de signe en 0 : le point O(0 ; 0) est un point d’inflexion.

11Branches infinies

Définition La courbe C_f admet une branche infinie si au moins une des coordonnées du point M(x ; f(x)) tend vers l’infini.

11.1 Asymptotes

Asymptote	Condition
Verticale : x = a	limx→a⁺ f(x) = ±∞ ou limx→a⁻ f(x) = ±∞
Horizontale : y = b	limx→±∞ f(x) = b
Oblique : y = ax + b (a ≠ 0)	limx→±∞ [f(x) − (ax + b)] = 0

Méthode : trouver une asymptote oblique

Calculer a = limx→±∞ f(x)x. Si a est un réel non nul, on continue.
Calculer b = limx→±∞ (f(x) − ax). Si b est un réel, la droite y = ax + b est asymptote oblique.
Pour la position de la courbe, étudier le signe de f(x) − (ax + b).

Exemple f(x) = x² + 1x − 1 sur ℝ \ {1}.

Asymptote verticale : en 1⁺, le numérateur tend vers 2 et le dénominateur vers 0⁺, donc f → +∞. En 1⁻, f → −∞. La droite x = 1 est asymptote verticale.
Asymptote oblique : f(x)x = x² + 1x² − x → 1, donc a = 1. Puis f(x) − x = x + 1x − 1 → 1, donc b = 1. La droite y = x + 1 est asymptote oblique.
Position : f(x) − (x + 1) = x² + 1 − (x + 1)(x − 1)x − 1 = 2x − 1. Pour x > 1, c’est positif : la courbe est au-dessus. Pour x < 1, c’est négatif : la courbe est au-dessous.

Asymptote horizontale f(x) = 2x + 1x − 1 : limx→±∞ f(x) = 2xx = 2. La droite y = 2 est asymptote horizontale (et x = 1 est asymptote verticale).

11.2 Branches paraboliques

Si lim f(x) = ±∞ quand x → ±∞, on regarde la limite de f(x)x :

Si…	Alors C_f admet…	Exemple
lim f(x)x = ±∞	une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées	f(x) = x³
lim f(x)x = 0	une branche parabolique de direction l’axe des abscisses	f(x) = √x
lim f(x)x = a ≠ 0 et lim [f(x) − ax] = ±∞	une branche parabolique de direction la droite y = ax	f(x) = x + √x

Vérifions

x³ : x³x = x² → +∞ : direction (Oy).
√x : √xx = 1√x → 0 : direction (Ox).
x + √x : f(x)x = 1 + 1√x → 1 et f(x) − x = √x → +∞ : direction la droite y = x.

12Symétries, parité et périodicité

Axe de symétrie La droite x = a est un axe de symétrie de C_f si, pour tout x ∈ D_f : 2a − x ∈ D_f et f(2a − x) = f(x).

Centre de symétrie Le point I(a ; b) est un centre de symétrie de C_f si, pour tout x ∈ D_f : 2a − x ∈ D_f et f(2a − x) + f(x) = 2b.

Fonction paire / impaire

Paire : pour tout x ∈ D_f, −x ∈ D_f et f(−x) = f(x). La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Impaire : pour tout x ∈ D_f, −x ∈ D_f et f(−x) = −f(x). La courbe est symétrique par rapport à l’origine O.

Fonction périodique f est périodique s’il existe T > 0 tel que, pour tout x ∈ D_f : x + T ∈ D_f et f(x + T) = f(x). T est une période de f (exemple : sin et cos ont pour période 2π).

Pourquoi c’est utile ? Si f est paire ou impaire, on étudie f seulement sur [0, +∞[ et on complète par symétrie. Si f est périodique de période T, on l’étudie sur un intervalle de longueur T.

Exemple 1 · Axe f(x) = x² − 4x + 3 : f(4 − x) = (4 − x)² − 4(4 − x) + 3 = 16 − 8x + x² − 16 + 4x + 3 = x² − 4x + 3 = f(x). La droite x = 2 est donc axe de symétrie.

Exemple 2 · Centre f(x) = 2x + 1x − 1 : f(2 − x) = 2x − 5x − 1. Donc f(x) + f(2 − x) = 4x − 4x − 1 = 4 = 2 × 2. Le point I(1 ; 2) est centre de symétrie.

Exemple 3 · Parité f(x) = xx² + 1 est définie sur ℝ (qui est symétrique par rapport à 0) et f(−x) = −xx² + 1 = −f(x) : f est impaire.

13Position relative d’une courbe et d’une droite

Méthode Pour comparer C_f et la droite (D) : y = ax + b sur un intervalle I, on étudie le signe de f(x) − (ax + b).

f(x) − (ax + b) ≥ 0 sur I : C_f est au-dessus de (D).
f(x) − (ax + b) ≤ 0 sur I : C_f est au-dessous de (D).
Les solutions de f(x) = ax + b sont les abscisses des points d’intersection.

Exemple · Courbe et tangente Soit f(x) = x² et T : y = 2x − 1 la tangente en 1. f(x) − (2x − 1) = x² − 2x + 1 = (x − 1)² ≥ 0 pour tout x. La courbe est au-dessus de sa tangente (elle est convexe) et touche T seulement en x = 1.

14Approximation affine

L’idée Près d’un point a, la courbe ressemble beaucoup à sa tangente. On remplace donc f par la fonction affine de la tangente : c’est plus simple pour faire des calculs approchés.

Définition Si f est dérivable en a, l’approximation affine de f près de a est :

f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a) ou f(a + h) ≈ f(a) + h × f′(a) (h proche de 0)

Approximations usuelles (h proche de 0)

(1 + h)² ≈ 1 + 2h
(1 + h)³ ≈ 1 + 3h
√(1 + h) ≈ 1 + h2
11 + h ≈ 1 − h

Exemple 1 f(x) = x² en a = 1 : f′(1) = 2, donc (1 + h)² ≈ 1 + 2h. Avec h = 0,001 : (1,001)² ≈ 1,002 (la valeur exacte est 1,002001).

Exemple 2 f(x) = √x en a = 9 : f′(9) = 12√9 = 16. Donc √(9 + h) ≈ 3 + h6. Avec h = 0,002 : √9,002 ≈ 3 + 0,0026 ≈ 3,000333.

Teste toi-même : √(9 + h) ≈ 3 + h/6

h = 0,50

Approximation 3 + h/6	Valeur exacte √(9 + h)	Erreur
—	—	—

Plus h est proche de 0, plus l’approximation est bonne.

15Étude complète d’une fonction

Plan d’étude à suivre

Domaine de définition, éventuellement parité / périodicité pour réduire l’étude.
Limites aux bornes du domaine et asymptotes (verticale, horizontale, oblique, branches paraboliques).
Dérivée f′ : signe et tableau de variations, extremums.
Dérivée seconde f″ : concavité, points d’inflexion.
Tracé : asymptotes, points particuliers, tangentes, puis la courbe.

Exemple complet : f(x) = x² + 1x − 1

Domaine : D_f = ℝ \ {1} = ]−∞, 1[ ∪ ]1, +∞[. On remarque que f(x) = x + 1 + 2x − 1.
Limites et asymptotes : limx→1⁺ f = +∞, limx→1⁻ f = −∞ (asymptote verticale x = 1). limx→+∞ f = +∞ et limx→−∞ f = −∞. Asymptote oblique y = x + 1 (calculée en partie 11).
Dérivée : f′(x) = 1 − 2(x − 1)² = (x − 1)² − 2(x − 1)² = x² − 2x − 1(x − 1)². Le numérateur s’annule pour x = 1 − √2 et x = 1 + √2.
Valeurs : f(1 − √2) = 2 − 2√2 ≈ −0,83 et f(1 + √2) = 2 + 2√2 ≈ 4,83.

x	−∞		1 − √2		1		1 + √2		+∞
f′(x)		+	0	−	\|\|	−	0	+
f(x)	−∞	↗	2 − 2√2	↘	−∞ \|\| +∞	↘	2 + 2√2	↗	+∞

Dérivée seconde : f″(x) = 4(x − 1)³. Elle est négative sur ]−∞, 1[ (concave) et positive sur ]1, +∞[ (convexe). Elle ne s’annule jamais : pas de point d’inflexion.
Position par rapport à l’asymptote oblique : f(x) − (x + 1) = 2x − 1 : au-dessus pour x > 1, au-dessous pour x < 1.

16Erreurs à éviter

Dérivable ≠ continueDérivable ⇒ continue, mais pas l’inverse (|x|, √x en 0).

Oublier la dérivée du « dedans »(sin(2x))′ = 2 cos(2x), et non cos(2x). Pense à la composée.

Mauvais signe pour 1/u(1/u)′ = −u′/u² : le signe moins est obligatoire.

Domaine de dérivabilité√x n’est dérivable que sur ]0, +∞[ (pas en 0). 1/x seulement sur ℝ*.

f′(a) = 0 ⇒ extremum ?Non : il faut que f′ change de signe (contre-exemple : x³ en 0).

f″(a) = 0 ⇒ inflexion ?Non : il faut que f″ change de signe (contre-exemple : x⁴ en 0).

Tableau de variations sans domaineNe pas oublier les valeurs interdites (comme x = 1) : on les marque par une double barre.

Asymptote obliqueIl faut vérifier que a ≠ 0 et que b est fini. Sinon, c’est une branche parabolique.

17Exercices d’entraînement corrigés

Cherche d’abord seul(e) sur ton cahier, puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Calculs de dérivées

Calculer la dérivée de : (a) f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x − 1 (b) g(x) = 2x + 1x² + 1 (c) h(x) = √(x² + x + 1) (d) k(x) = sin(3x) cos x (e) l(x) = (x² − 1)⁵.

Voir la solution

(a) f′(x) = 12x³ − 4x + 5.

(b) g′(x) = 2(x² + 1) − (2x + 1)(2x)(x² + 1)² = −2x² − 2x + 2(x² + 1)².

(d) Produit : k′(x) = 3 cos(3x) cos x − sin(3x) sin x.

(e) l′(x) = 5 × 2x × (x² − 1)⁴ = 10x (x² − 1)⁴.

★ Exercice 2 · Tangente

Donner l’équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² − 3x + 1 au point d’abscisse 2.

Voir la solution

f(2) = 4 − 6 + 1 = −1. f′(x) = 2x − 3, donc f′(2) = 1.

T : y = 1 × (x − 2) + (−1) = x − 3.

★★ Exercice 3 · Dérivabilité en un point

(1) Étudier la dérivabilité en 1 de f(x) = |x² − 1|. (2) Étudier la dérivabilité en 0 de g(x) = √x. Interpréter graphiquement.

Voir la solution

(1) f(1) = 0. Pour x > 1, x² − 1 > 0 et f(x) − f(1)x − 1 = x² − 1x − 1 = x + 1 → 2, donc f′_d(1) = 2. Pour x < 1 (proche de 1), x² − 1 < 0 et f(x) = 1 − x², donc 1 − x²x − 1 = −(x + 1) → −2, donc f′_g(1) = −2.

2 ≠ −2 : f n’est pas dérivable en 1. Le point (1 ; 0) est un point anguleux (demi-tangentes de pentes −2 à gauche et 2 à droite).

(2) g(x) − g(0)x − 0 = 1√x → +∞ quand x → 0⁺. g n’est pas dérivable en 0 et la courbe admet une demi-tangente verticale à l’origine.

★★ Exercice 4 · Étude des variations et de la concavité

Soit f(x) = x³ − 3x² sur ℝ. Dresser le tableau de variations, déterminer les extremums, étudier la concavité et trouver le point d’inflexion.

Voir la solution

f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2). f′ > 0 sur ]−∞, 0[ et ]2, +∞[ ; f′ < 0 sur ]0, 2[.

f est strictement croissante sur ]−∞, 0] et [2, +∞[, strictement décroissante sur [0, 2].

f(0) = 0 est un maximum local ; f(2) = 8 − 12 = −4 est un minimum local.

f″(x) = 6x − 6 = 6(x − 1). f″ < 0 sur ]−∞, 1[ (concave) et f″ > 0 sur ]1, +∞[ (convexe). f″ change de signe en 1 : le point (1 ; −2) est un point d’inflexion (f(1) = 1 − 3 = −2).

★★ Exercice 5 · Asymptotes

Soit f(x) = x² + x + 1x + 1 sur ℝ \ {−1}. Montrer que f(x) = x + 1x + 1, puis déterminer les asymptotes de C_f et leur position.

Voir la solution

x(x + 1) + 1 = x² + x + 1, donc x² + x + 1x + 1 = x + 1x + 1.

En −1⁺ : f → +∞ ; en −1⁻ : f → −∞. Donc x = −1 est asymptote verticale.

f(x) − x = 1x + 1 → 0 en ±∞. Donc y = x est asymptote oblique.

Position : f(x) − x = 1x + 1. Positif pour x > −1 (courbe au-dessus de la droite), négatif pour x < −1 (au-dessous).

★★ Exercice 6 · Dérivée de la réciproque

Soit f(x) = x⁵ + x. Montrer que f admet une réciproque sur ℝ et calculer (f⁻¹)′(2).

Voir la solution

f est un polynôme (continu et dérivable sur ℝ) et f′(x) = 5x⁴ + 1 > 0 : f est strictement croissante. Donc f est une bijection de ℝ sur f(ℝ) = ℝ (limites ±∞).

f(1) = 2, donc f⁻¹(2) = 1. f′(1) = 6 ≠ 0.

(f⁻¹)′(2) = 1f′(1) = 16.

★★ Exercice 7 · Symétries et parité

(1) Montrer que le point I(1 ; 2) est centre de symétrie de la courbe de f(x) = 2x + 1x − 1. (2) Montrer que f(x) = xx² + 1 est impaire. (3) Montrer que x = 2 est axe de symétrie de f(x) = x² − 4x + 3.

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(1) D_f = ℝ \ {1}, et 2 − x ≠ 1 ⇔ x ≠ 1 donc 2 − x ∈ D_f. f(2 − x) = 2(2 − x) + 1(2 − x) − 1 = 5 − 2x1 − x = 2x − 5x − 1. Donc f(x) + f(2 − x) = 4x − 4x − 1 = 4 = 2 × 2. I(1 ; 2) est centre de symétrie.

(2) D_f = ℝ et f(−x) = −xx² + 1 = −f(x) : f est impaire.

(3) f(4 − x) = (4 − x)² − 4(4 − x) + 3 = x² − 4x + 3 = f(x) : la droite x = 2 est axe de symétrie.

★★ Exercice 8 · Approximation affine

Avec l’approximation affine, donner une valeur approchée de : (a) √16,04 (b) (1,002)³ (c) 11,01.

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(a) f(x) = √x en a = 16 : f′(16) = 18. √(16 + 0,04) ≈ 4 + 0,048 = 4,005 (exact : ≈ 4,004997).

(b) (1 + h)³ ≈ 1 + 3h avec h = 0,002 : 1,006 (exact : 1,006012).

★★★ Exercice 9 · Étude complète

Soit f(x) = x²x − 1 sur ℝ \ {1}. (1) Vérifier que f(x) = x + 1 + 1x − 1. (2) Déterminer les asymptotes. (3) Calculer f′ et dresser le tableau de variations. (4) Étudier la concavité.

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(1) (x + 1)(x − 1) + 1 = x² − 1 + 1 = x², donc x²x − 1 = x + 1 + 1x − 1.

(2) En 1⁺ : f → +∞ ; en 1⁻ : f → −∞ : asymptote verticale x = 1. f(x) − (x + 1) = 1x − 1 → 0 : asymptote oblique y = x + 1 (courbe au-dessus pour x > 1, au-dessous pour x < 1).

(3) f′(x) = 1 − 1(x − 1)² = x² − 2x(x − 1)² = x(x − 2)(x − 1)². f′ > 0 sur ]−∞, 0[ et ]2, +∞[ ; f′ < 0 sur ]0, 1[ et ]1, 2[.

f est croissante sur ]−∞, 0], décroissante sur [0, 1[ et sur ]1, 2], croissante sur [2, +∞[. f(0) = 0 est un maximum local et f(2) = 4 est un minimum local.

(4) f″(x) = 2(x − 1)³ : négative sur ]−∞, 1[ (concave), positive sur ]1, +∞[ (convexe). Pas de point d’inflexion.

★Fiche résumé à retenir

Nombre dérivé : f′(x₀) = limx→x₀ f(x) − f(x₀)x − x₀ (fini). Tangente : y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
Dérivable ⇔ dérivable à droite et à gauche avec la même valeur. Sinon : point anguleux (pentes différentes) ou demi-tangente verticale (pente infinie).
Dérivable ⇒ continue (la réciproque est fausse).
Formules : (uv)′ = u′v + uv′ ; (uv)′ = u′v − uv′v² ; (uⁿ)′ = n u′ uⁿ⁻¹ ; (√u)′ = u′2√u ; (v∘u)′ = u′ × v′(u).
Variations : f′ > 0 ⇒ ↗ ; f′ < 0 ⇒ ↘. Extremum : f′ s’annule en changeant de signe.
Concavité : f″ ≥ 0 convexe (au-dessus des tangentes), f″ ≤ 0 concave. Inflexion : f″ s’annule en changeant de signe.
Asymptotes : verticale (limite infinie en a), horizontale (limite b en ±∞), oblique (a = lim f(x)x, b = lim (f(x) − ax)).
Approximation affine : f(a + h) ≈ f(a) + h f′(a).

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