Dérivation et étude des fonctions · Série de synthèse 2ème Bac

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Exercice 1

Calculer la fonction dérivée \(f’\) de la fonction \(f\) dans chacun des cas suivants :

1) \(f(x)=5x^3-7x^2+\dfrac75x+9\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est un polynôme : dérivable sur \(\mathbb R\). On dérive terme à terme avec \((x^n)’=nx^{n-1}\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=5\times3x^2-7\times2x+\dfrac75=15x^2-14x+\dfrac75\).

✅ \(f'(x)=15x^2-14x+\dfrac75\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

2) \(f(x)=\dfrac{7x+2}{3-x}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\setminus\{3\}\). On utilise \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\) avec \(u=7x+2\) et \(v=3-x\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{7(3-x)-(7x+2)(-1)}{(3-x)^2}=\dfrac{21-7x+7x+2}{(3-x)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{23}{(3-x)^2}\) pour \(x\neq3\).

3) \(f(x)=(5x+1)^4\)

Correction détaillée

🔢 On utilise \((u^n)’=nu’u^{n-1}\) avec \(u=5x+1\), \(n=4\), \(u’=5\).

✅ \(f'(x)=4\times5\,(5x+1)^3=20(5x+1)^3\).

4) \(f(x)=\sqrt{x^2+x+1}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^2+x+1>0\) pour tout réel (discriminant \(1-4=-3<0\)), donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : On utilise \((\sqrt u)’=\dfrac{u’}{2\sqrt u}\) avec \(u=x^2+x+1\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

5) \(f(x)=x^3\sqrt{4x+1}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est dérivable sur \(\left]-\frac14,+\infty\right[\). On utilise \((uv)’=u’v+uv’\) avec \(u=x^3\), \(v=\sqrt{4x+1}\), \(v’=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=3x^2\sqrt{4x+1}+\dfrac{2x^3}{\sqrt{4x+1}}=\dfrac{3x^2(4x+1)+2x^3}{\sqrt{4x+1}}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{x^2(14x+3)}{\sqrt{4x+1}}\) pour \(x>-\dfrac14\).

6) \(f(x)=\dfrac{x+\sqrt x}{x+2}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\). On pose \(u=x+\sqrt x\) (\(u’=1+\dfrac1{2\sqrt x}\)) et \(v=x+2\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{\left(1+\frac1{2\sqrt x}\right)(x+2)-(x+\sqrt x)}{(x+2)^2}\).

🔢 Étape 3 : Numérateur : \(x+2+\dfrac{x+2}{2\sqrt x}-x-\sqrt x=2-\sqrt x+\dfrac{x+2}{2\sqrt x}=\dfrac{4\sqrt x-2x+x+2}{2\sqrt x}=\dfrac{2+4\sqrt x-x}{2\sqrt x}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{2+4\sqrt x-x}{2\sqrt x\,(x+2)^2}\) pour \(x>0\).

7) \(f(x)=\sqrt{\dfrac{3x-5}{2-x}}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est dérivable là où \(u(x)=\dfrac{3x-5}{2-x}>0\), c’est-à-dire sur \(\left]\frac53,2\right[\).

🔢 Étape 2 : \(u'(x)=\dfrac{3(2-x)-(3x-5)(-1)}{(2-x)^2}=\dfrac{6-3x+3x-5}{(2-x)^2}=\dfrac1{(2-x)^2}\).

🔢 Étape 3 : \(f’=\dfrac{u’}{2\sqrt u}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{1}{2(2-x)^2\sqrt{\dfrac{3x-5}{2-x}}}\) pour \(x\in\left]\frac53,2\right[\).

8) \(f(x)=\dfrac{x+2}{\sqrt{x+7}}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est dérivable sur \(]-7,+\infty[\). On pose \(u=x+2\), \(v=\sqrt{x+7}\), \(v’=\dfrac1{2\sqrt{x+7}}\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{\sqrt{x+7}-\dfrac{x+2}{2\sqrt{x+7}}}{x+7}=\dfrac{2(x+7)-(x+2)}{2(x+7)\sqrt{x+7}}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{x+12}{2(x+7)\sqrt{x+7}}\) pour \(x>-7\).

9) \(f(x)=\left(\dfrac{x^2-2x}{x-1}\right)^4\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On pose \(u(x)=\dfrac{x^2-2x}{x-1}\), dérivable sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\), et \(f=u^4\), donc \(f’=4u’u^3\).

🔢 Étape 2 : \(u'(x)=\dfrac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x)}{(x-1)^2}=\dfrac{2x^2-4x+2-x^2+2x}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}\).

🔢 Étape 3 : \(f'(x)=4\times\dfrac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}\times\dfrac{(x^2-2x)^3}{(x-1)^3}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{4(x^2-2x)^3(x^2-2x+2)}{(x-1)^5}\) pour \(x\neq1\).

10) \(f(x)=\dfrac{x^3-4x}{x^2+1}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) (le dénominateur ne s’annule pas).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{(3x^2-4)(x^2+1)-2x(x^3-4x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{3x^4+3x^2-4x^2-4-2x^4+8x^2}{(x^2+1)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{x^4+7x^2-4}{(x^2+1)^2}\).

11) \(f(x)=\sin(5x+2)\)

Correction détaillée

🔢 On utilise \((\sin u)’=u’\cos u\) avec \(u=5x+2\).

✅ \(f'(x)=5\cos(5x+2)\).

12) \(f(x)=\sin^3x\)

Correction détaillée

🔢 \(f=u^3\) avec \(u=\sin x\) : \(f’=3u’u^2\).

✅ \(f'(x)=3\cos x\,\sin^2x\).

13) \(f(x)=\sin2x\cos3x\)

Correction détaillée

🔢 On utilise \((uv)’=u’v+uv’\) avec \(u=\sin2x\) (\(u’=2\cos2x\)) et \(v=\cos3x\) (\(v’=-3\sin3x\)).

✅ \(f'(x)=2\cos2x\cos3x-3\sin2x\sin3x\).

14) \(f(x)=\tan3x\)

Correction détaillée

🔢 \(f\) est dérivable là où \(\cos3x\neq0\). On utilise \((\tan u)’=u'(1+\tan^2u)=\dfrac{u’}{\cos^2u}\) avec \(u=3x\).

✅ \(f'(x)=3\left(1+\tan^23x\right)=\dfrac{3}{\cos^23x}\).

15) \(f(x)=x^3\cos(x^2-x)\)

Correction détaillée

🔢 \((uv)’=u’v+uv’\) avec \(u=x^3\) et \(v=\cos(x^2-x)\), \(v’=-(2x-1)\sin(x^2-x)\).

✅ \(f'(x)=3x^2\cos(x^2-x)-x^3(2x-1)\sin(x^2-x)\).

16) \(f(x)=\sqrt[3]{x^{11}}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On écrit \(f(x)=x^{\frac{11}{3}}\), dérivable sur \(]0,+\infty[\). On utilise \((x^r)’=rx^{r-1}\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{11}{3}x^{\frac83}=\dfrac{11}{3}x^2\,x^{\frac23}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{11}{3}x^2\sqrt[3]{x^2}\) pour \(x>0\).

17) \(f(x)=\sqrt[5]{x^2-7x+12}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\) est strictement positif sur \(]-\infty,3[\cup]4,+\infty[\) : c’est là que \(f\) est dérivable.

🔢 Étape 2 : On utilise \((\sqrt[n]u)’=\dfrac{u’}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}\) avec \(n=5\), \(u=x^2-7x+12\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{2x-7}{5\sqrt[5]{(x^2-7x+12)^4}}\) pour \(x\in]-\infty,3[\cup]4,+\infty[\).

18) \(f(x)=x^5\sqrt[3]{x^2-3x+5}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^2-3x+5>0\) pour tout \(x\) (discriminant \(9-20<0\)) : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=5x^4\sqrt[3]{u}+x^5\dfrac{2x-3}{3\sqrt[3]{u^2}}\) avec \(u=x^2-3x+5\).

🔢 Étape 3 : On met au même dénominateur : \(\dfrac{x^4\left[15u+x(2x-3)\right]}{3\sqrt[3]{u^2}}=\dfrac{x^4(15x^2-45x+75+2x^2-3x)}{3\sqrt[3]{u^2}}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{x^4(17x^2-48x+75)}{3\sqrt[3]{(x^2-3x+5)^2}}\).

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) en \(x_0\) et interpréter graphiquement le résultat.

1) \(f(x)=\dfrac{x^3-x^2+2}{x+1}\) si \(x\neq-1\) et \(f(-1)=5\) ; \(x_0=-1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On factorise : \(x^3-x^2+2=(x+1)(x^2-2x+2)\). Donc pour \(x\neq-1\) : \(f(x)=x^2-2x+2\).

🔢 Étape 2 : Continuité : \(\lim\limits_{x\to-1}f(x)=1+2+2=5=f(-1)\). \(f\) est continue en \(-1\).

🔢 Étape 3 : Taux d’accroissement pour \(x\neq-1\) : \(\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\dfrac{x^2-2x-3}{x+1}=\dfrac{(x+1)(x-3)}{x+1}=x-3\).

🔢 Étape 4 : Sa limite en \(-1\) vaut \(-4\).

✅ \(f\) est dérivable en \(-1\) et \(f'(-1)=-4\). La courbe admet au point \((-1,5)\) une tangente de pente \(-4\) : \(y=-4x+1\).

2) \(f(x)=\dfrac{1-\cos x}{\tan x}\) pour \(0<x<\dfrac\pi2\) et \(f(0)=0\) ; \(x_0=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) n’est définie qu’à droite de \(0\) : on étudie la dérivabilité à droite.

🔢 Étape 2 : Pour \(0<x<\frac\pi2\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{1-\cos x}{x\tan x}=\dfrac{1-\cos x}{x^2}\times\dfrac{x}{\tan x}\).

🔢 Étape 3 : Or \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12\) et \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\tan x}=1\).

✅ \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et \(f’_d(0)=\dfrac12\) : demi-tangente à droite de pente \(\dfrac12\) (\(y=\frac12x\)).

3) \(f(x)=\dfrac{x^3-3x+2}{x-1}\) si \(x<1\) et \(f(x)=x^2+x-2\) si \(x\geq1\) ; \(x_0=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(1)=1+1-2=0\). Pour \(x<1\) : \(x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\), donc \(f(x)=(x-1)(x+2)\to0\) : \(f\) est continue en \(1\) (à gauche et à droite).

🔢 Étape 2 : À gauche : \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2\to3\).

🔢 Étape 3 : À droite : \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), donc \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=x+2\to3\).

✅ \(f’_g(1)=f’_d(1)=3\) : \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=3\) ; tangente \(y=3x-3\).

4) \(f(x)=\sqrt[3]{4-x^2}\) si \(0\leq x\leq2\) et \(f(x)=\dfrac{x^2-7x+10}{x-2}\) si \(x>2\) ; \(x_0=2\).

Correction détaillée

⚠️ Sur le sujet, \(f(x)=\dfrac{x^2-7x+10}{x-2}\) pour \(x>2\) simplifie en \(x-5\), qui ne tend pas vers \(f(2)=0\) : le cas est volontairement « non dérivable ».

🔢 Étape 1 : \(f(2)=\sqrt[3]{0}=0\). Pour \(x>2\) : \(x^2-7x+10=(x-2)(x-5)\), donc \(f(x)=x-5\).

🔢 Étape 2 : À droite : \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x-5}{x-2}\). Numérateur \(\to-3\), dénominateur \(\to0^+\) : la limite est \(-\infty\). (D’ailleurs \(\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=-3\neq f(2)\) : \(f\) n’est même pas continue à droite en \(2\).)

🔢 Étape 3 : À gauche : \(\dfrac{\sqrt[3]{4-x^2}}{x-2}=\dfrac{\sqrt[3]{(2-x)(2+x)}}{-(2-x)}=-\dfrac{\sqrt[3]{2+x}}{\sqrt[3]{(2-x)^2}}\to-\infty\) car \(\sqrt[3]{2+x}\to\sqrt[3]4\) et \(\sqrt[3]{(2-x)^2}\to0^+\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable en \(2\). À gauche : demi-tangente verticale (descendante) en \((2,0)\) ; à droite \(f\) n’est pas continue en \(2\).

Exercice 3

On considère la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=-\dfrac{x^2}{2}+x+\dfrac92\) si \(x\leq3\) et \(f(x)=\dfrac{x}{x-2}\) si \(x>3\).

1) Calculer \(f'(x)\) pour \(x\in]-\infty,3[\) puis \(f'(2)\).

1.a) Calculer \(f'(x)\) pour \(x\in]-\infty,3[\).

Correction détaillée

🔢 Sur \(]-\infty,3[\), \(f(x)=-\dfrac{x^2}{2}+x+\dfrac92\) est un polynôme.

✅ \(f'(x)=-x+1\) pour \(x<3\).

1.b) Calculer \(f'(2)\).

Correction détaillée

🔢 \(2\in]-\infty,3[\), donc \(f'(2)=-2+1\).

✅ \(f'(2)=-1\).

2) Déterminer l’approximation affine de \(f\) au voisinage de \(2\), puis en déduire une valeur approchée de \(f(1{,}999)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(2)=-2+2+\dfrac92=\dfrac92\) et \(f'(2)=-1\).

🔢 Étape 2 : Pour \(h\) proche de \(0\) : \(f(2+h)\approx f(2)+h\,f'(2)=\dfrac92-h\).

🔢 Étape 3 : \(1{,}999=2+h\) avec \(h=-0{,}001\) : \(f(1{,}999)\approx4{,}5+0{,}001\).

✅ \(f(x)\approx\dfrac92-(x-2)\) près de \(2\) et \(f(1{,}999)\approx4{,}501\).

3) Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche puis à droite en \(3\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(3)=-\dfrac92+3+\dfrac92=3\) et \(\lim\limits_{x\to3^+}\dfrac{x}{x-2}=3\) : \(f\) est continue en \(3\).

🔢 Étape 2 : À gauche : \(f(x)-3=-\dfrac{x^2}2+x+\dfrac32=-\dfrac{(x-3)(x+1)}{2}\), donc \(\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=-\dfrac{x+1}{2}\to-2\).

🔢 Étape 3 : À droite : \(f(x)-3=\dfrac{x-3x+6}{x-2}=\dfrac{-2(x-3)}{x-2}\), donc \(\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=\dfrac{-2}{x-2}\to-2\).

✅ \(f’_g(3)=f’_d(3)=-2\) : \(f\) est dérivable en \(3\) et \(f'(3)=-2\).

4) Écrire l’équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal C_f)\) au point \(A(3,f(3))\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(3)=3\) et \(f'(3)=-2\).

🔢 Étape 2 : \(y=f'(3)(x-3)+f(3)=-2(x-3)+3\).

✅ \((T):\ y=-2x+9\).

Exercice 4

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\sqrt[3]{1-x^2}\).

1) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\) voisin de \(0\), \(1-x^2>0\) ; la fonction \(x\mapsto\sqrt[3]x\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et \(x\mapsto1-x^2\) est dérivable, donc \(f\) est dérivable en \(0\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{-2x}{3\sqrt[3]{(1-x^2)^2}}\), donc \(f'(0)=0\).

✅ \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=0\) : tangente horizontale \(y=1\) en \((0,1)\).

2) Déterminer l’approximation affine de \(f\) au voisinage de \(0\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=1\), \(f'(0)=0\), donc \(f(h)\approx f(0)+h\,f'(0)=1\).

✅ \(f(x)\approx1\) au voisinage de \(0\).

3) En déduire une valeur approchée de \(f(0{,}01)\).

Correction détaillée

🔢 Avec \(h=0{,}01\) : \(f(0{,}01)\approx1+0{,}01\times0=1\).

✅ \(f(0{,}01)\approx1\) (valeur exacte \(\sqrt[3]{0{,}9999}\approx0{,}99997\)).

Exercice 5

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,1]\) par \(f(x)=\sqrt{x(1-x)}\).

1) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) et interpréter le résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(0)=0\). Pour \(0<x\leq1\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{\sqrt{x(1-x)}}{x}=\sqrt{\dfrac{1-x}{x}}\).

🔢 Étape 2 : Quand \(x\to0^+\) : \(1-x\to1\) et \(x\to0^+\), donc le quotient tend vers \(+\infty\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : \(\mathcal C_f\) admet en \(O\) une demi-tangente verticale.

2) Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(1\) et interpréter le résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(1)=0\). Pour \(0\leq x<1\) : \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{\sqrt{x(1-x)}}{-(1-x)}=-\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}\).

🔢 Étape 2 : Quand \(x\to1^-\) : \(x\to1\) et \(1-x\to0^+\), donc le quotient tend vers \(-\infty\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à gauche en \(1\) : \(\mathcal C_f\) admet en \((1,0)\) une demi-tangente verticale.

Exercice 6

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=\dfrac{x^3-8}{x-2}\) si \(x\in]-\infty,2[\) et \(f(x)=\sqrt{x+2}+10\) si \(x\in[2,+\infty[\).

1) Calculer \(f(2)\) et \(\lim\limits_{x\to2}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(2)=\sqrt{4}+10=12\).

🔢 Étape 2 : À gauche : \(\dfrac{x^3-8}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=x^2+2x+4\to12\).

🔢 Étape 3 : À droite : \(\sqrt{x+2}+10\to12\).

✅ \(f(2)=12\) et \(\lim\limits_{x\to2}f(x)=12\).

2) Est-ce que \(f\) est continue en \(2\) ?

Correction détaillée

🔢 La limite en \(2\) est égale à \(f(2)\).

✅ Oui, \(f\) est continue en \(2\).

3) Étudier la continuité de \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty,2[\) : \(f\) est rationnelle et son dénominateur ne s’annule pas : continue.

🔢 Étape 2 : Sur \(]2,+\infty[\) : \(x\mapsto\sqrt{x+2}+10\) est continue.

🔢 Étape 3 : En \(2\) : continue d’après la question précédente.

✅ \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

4) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(2\) et interpréter géométriquement les résultats.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : À gauche : \(\dfrac{f(x)-12}{x-2}=\dfrac{x^2+2x-8}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+4)}{x-2}=x+4\to6\).

🔢 Étape 2 : À droite : \(\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=\dfrac{(x+2)-4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+2}\to\dfrac14\).

✅ \(f’_g(2)=6\neq f’_d(2)=\dfrac14\) : \(f\) n’est pas dérivable en \(2\). \(\mathcal C_f\) admet au point \((2,12)\) deux demi-tangentes de pentes \(6\) (à gauche) et \(\dfrac14\) (à droite) : c’est un point anguleux.

Exercice 7

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=3-3x-x^3\) si \(x\in]-\infty,1[\) et \(f(x)=\sqrt{x^2-1}-1\) si \(x\in[1,+\infty[\). On note \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Étudier la continuité de \(f\) à droite et à gauche en \(1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(1)=\sqrt{1-1}-1=-1\).

🔢 Étape 2 : À droite : \(\lim\limits_{x\to1^+}\left(\sqrt{x^2-1}-1\right)=-1=f(1)\).

🔢 Étape 3 : À gauche : \(\lim\limits_{x\to1^-}(3-3x-x^3)=3-3-1=-1=f(1)\).

✅ \(f\) est continue à droite et à gauche en \(1\), donc continue en \(1\).

2) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche en \(1\), puis interpréter graphiquement les résultats.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : À droite (\(x>1\)) : \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}=\dfrac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{x-1}=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\). Quand \(x\to1^+\) : \(\dfrac{x+1}{x-1}\to+\infty\), donc la limite est \(+\infty\).

🔢 Étape 2 : À gauche (\(x<1\)) : \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{4-3x-x^3}{x-1}\). Comme \(4-3x-x^3=-(x-1)(x^2+x+4)\), le quotient vaut \(-(x^2+x+4)\to-6\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(1\) : demi-tangente verticale (vers le haut) en \((1,-1)\). \(f’_g(1)=-6\) : demi-tangente à gauche de pente \(-6\). \(f\) n’est pas dérivable en \(1\).

3) Calculer \(f'(x)\) pour \(x\in]-\infty,1[\).

Correction détaillée

🔢 Sur \(]-\infty,1[\), \(f(x)=3-3x-x^3\) est un polynôme.

✅ \(f'(x)=-3-3x^2=-3(1+x^2)\).

4) Montrer que le point \(I(0;3)\) est un point d’inflexion de \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty,1[\) : \(f »(x)=-6x\).

🔢 Étape 2 : \(f »\) s’annule en \(0\) en changeant de signe (positive pour \(x<0\), négative pour \(0<x<1\)), et \(f(0)=3\).

✅ \(I(0;3)\) est un point d’inflexion de \((\mathcal C_f)\).

5) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty,1[\) : \(f'(x)=-3(1+x^2)<0\), donc \(f\) est strictement décroissante ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(1)=-1\).

🔢 Étape 2 : Sur \(]1,+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}>0\), donc \(f\) est strictement croissante ; \(f(1)=-1\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

✅ \(f\) est décroissante sur \(]-\infty,1]\) (de \(+\infty\) à \(-1\)) puis croissante sur \([1,+\infty[\) (de \(-1\) à \(+\infty\)) ; minimum \(f(1)=-1\).

6) Étudier les branches infinies de \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(-\infty\) : \(\lim f(x)=+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{3}{x}-3-x^2\to-\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(\lim f(x)=+\infty\). On calcule \(f(x)-(x-1)=\sqrt{x^2-1}-x=\dfrac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}\to0^-\).

✅ En \(-\infty\) : branche parabolique de direction \((Oy)\). En \(+\infty\) : la droite \(y=x-1\) est asymptote oblique, la courbe étant en dessous.

7) Écrire une équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal C_f)\) au point \(I\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(0)=3\) et \(f'(0)=-3\).

🔢 Étape 2 : \(y=-3(x-0)+3\).

✅ \((T):\ y=-3x+3\).

8) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]-\infty,1[\) et que \(\alpha\in]0;1[\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(]-\infty,1[\).

🔢 Étape 2 : \(f(0)=3>0\) et \(f(1)=-1<0\).

🔢 Étape 3 : D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique \(\alpha\in]0,1[\) tel que \(f(\alpha)=0\) ; par stricte monotonie, il n’y a pas d’autre solution dans \(]-\infty,1[\).

✅ \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]-\infty,1[\) et \(0<\alpha<1\).

9) Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(]-\infty,1[\). Montrer que \(g\) admet une bijection réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à préciser.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g\) est continue et strictement décroissante sur \(]-\infty,1[\) : c’est une bijection de \(]-\infty,1[\) sur \(g(]-\infty,1[)\).

🔢 Étape 2 : \(J=\left]\lim\limits_{x\to1^-}g(x),\ \lim\limits_{x\to-\infty}g(x)\right[=]-1,+\infty[\).

✅ \(g^{-1}\) est définie sur \(J=]-1,+\infty[\).

Exercice 8

Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\sqrt{x^2-4}\) si \(x\geq2\) et \(f(x)=x^2-6x+8\) si \(x<2\).

1) Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbb R\), puis calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\geq2\) : \(x^2-4\geq0\), donc \(\sqrt{x^2-4}\) existe. Pour \(x<2\) : \(f(x)\) est un polynôme. Donc \(D_f=\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2-6x+8)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x^2-4}=+\infty\).

✅ \(D_f=\mathbb R\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

2) Étudier la continuité de \(f\) en \(2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(2)=\sqrt{0}=0\).

🔢 Étape 2 : À droite : \(\lim\limits_{x\to2^+}\sqrt{x^2-4}=0\). À gauche : \(\lim\limits_{x\to2^-}(x^2-6x+8)=4-12+8=0\).

✅ \(f\) est continue en \(2\).

3) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche en \(2\), puis interpréter graphiquement les résultats.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : À droite : \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{\sqrt{(x-2)(x+2)}}{x-2}=\sqrt{\dfrac{x+2}{x-2}}\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : À gauche : \(\dfrac{x^2-6x+8}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x-4)}{x-2}=x-4\to-2\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(2\) (demi-tangente verticale). \(f’_g(2)=-2\) : demi-tangente à gauche de pente \(-2\). \(f\) n’est pas dérivable en \(2\).

4) Calculer \(f'(x)\) sur \(]2,+\infty[\) et sur \(]-\infty,2[\), puis dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]2,+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}>0\).

🔢 Étape 2 : Sur \(]-\infty,2[\) : \(f'(x)=2x-6=2(x-3)<0\) car \(x<2<3\).

🔢 Étape 3 : Limites : \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(f(2)=0\), puis croît de \(0\) à \(+\infty\).

✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty,2]\) et strictement croissante sur \([2,+\infty[\) ; minimum \(f(2)=0\).

5) Résoudre l’équation \(f(x)=3\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Si \(x<2\) : \(x^2-6x+8=3\iff x^2-6x+5=0\iff x=1\) ou \(x=5\). Seule \(x=1\) convient (\(1<2\)).

🔢 Étape 2 : Si \(x\geq2\) : \(\sqrt{x^2-4}=3\iff x^2=13\iff x=\sqrt{13}\) (car \(x\geq2\)).

✅ \(S=\left\{1,\ \sqrt{13}\right\}\).

6) Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([2,+\infty[\). Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer, puis déterminer \(g^{-1}(x)\) pour \(x\in J\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g\) est continue et strictement croissante sur \([2,+\infty[\), donc bijective de \([2,+\infty[\) sur \(J=[g(2),\lim_{+\infty}g[=[0,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : Pour \(y\in J\) et \(x\geq2\) : \(y=\sqrt{x^2-4}\iff y^2=x^2-4\iff x^2=y^2+4\iff x=\sqrt{y^2+4}\) (car \(x\geq2>0\)).

✅ \(J=[0,+\infty[\) et \(g^{-1}(x)=\sqrt{x^2+4}\).

Exercice 9

On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x)=-x+\sqrt{x^2-x}\).

1) Déterminer \(D_f\), l’ensemble de définition de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)\) existe \(\iff x^2-x\geq0\iff x(x-1)\geq0\).

✅ \(D_f=]-\infty,0]\cup[1,+\infty[\).

2.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(-\infty\) : pour \(x<0\), \(\sqrt{x^2-x}=-x\sqrt{1-\frac1x}\), donc \(f(x)=-x\left(1+\sqrt{1-\frac1x}\right)\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(f(x)=\sqrt{x^2-x}-x=\dfrac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}=\dfrac{-1}{\sqrt{1-\frac1x}+1}\to-\dfrac12\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\dfrac12\) (asymptote horizontale \(y=-\frac12\) en \(+\infty\)).

2.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}\).

Correction détaillée

🔢 Pour \(x<0\) : \(\dfrac{f(x)}{x}=-1+\dfrac{\sqrt{x^2-x}}{x}=-1-\sqrt{1-\dfrac1x}\to-2\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-2\).

2.c) Montrer que la droite \((D):y=-2x+\dfrac12\) est asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).

Correction détaillée

⚠️ Cette question n’est pas dans l’énoncé original (qui ne demande que \(\lim f(x)/x\)) : elle complète l’étude de la branche infinie.

🔢 Étape 1 : \(f(x)+2x=x+\sqrt{x^2-x}=\dfrac{x^2-(x^2-x)}{x-\sqrt{x^2-x}}=\dfrac{x}{x-\sqrt{x^2-x}}\).

🔢 Étape 2 : Pour \(x<0\), \(\sqrt{x^2-x}=-x\sqrt{1-\frac1x}\), d’où \(f(x)+2x=\dfrac{1}{1+\sqrt{1-\frac1x}}\to\dfrac12\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(-2x+\frac12\right)\right]=0\) : \((D)\) est asymptote oblique en \(-\infty\).

3.a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(0\) puis interpréter graphiquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(0)=0\). Pour \(x<0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=-1+\dfrac{\sqrt{x^2-x}}{x}=-1-\sqrt{1-\dfrac1x}\).

🔢 Étape 2 : Quand \(x\to0^-\) : \(-\frac1x\to+\infty\), donc \(\sqrt{1-\frac1x}\to+\infty\) et le quotient tend vers \(-\infty\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à gauche en \(0\) : demi-tangente verticale en \(O\).

3.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\) puis interpréter graphiquement le résultat.

Correction détaillée

⚠️ Sur le sujet, la limite demandée est écrite \(\frac{f(x)}{x-1}\) ; comme \(f(1)=-1\neq0\) c’est certainement le taux d’accroissement \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) qui est visé (pour \(\frac{f(x)}{x-1}\) la limite à droite serait aussi \(-\infty\), mais sans interprétation géométrique).

🔢 Étape 1 : \(f(1)=-1\). Pour \(x>1\) : \(\dfrac{f(x)+1}{x-1}=\dfrac{-x+1+\sqrt{x(x-1)}}{x-1}=-1+\dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x-1}}{x-1}=-1+\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}\).

🔢 Étape 2 : Quand \(x\to1^+\) : \(\dfrac{x}{x-1}\to+\infty\).

✅ La limite est \(+\infty\) : \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(1\) ; demi-tangente verticale en \((1,-1)\).

4.a) Montrer que pour tout \(x\in]-\infty,0[\) : \(f'(x)=-1+\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}\), puis déterminer son signe sur \(]-\infty,0[\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=-1+\dfrac{(x^2-x)’}{2\sqrt{x^2-x}}=-1+\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}\).

🔢 Étape 2 : Pour \(x<0\) : \(2x-1<0\) et \(\sqrt{x^2-x}>0\), donc \(\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}<0\) et \(f'(x)<-1<0\).

✅ \(f'(x)<0\) sur \(]-\infty,0[\).

4.b) Calculer \(f'(x)\) pour \(x\in]1,+\infty[\) puis déterminer son signe.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\dfrac{2x-1-2\sqrt{x^2-x}}{2\sqrt{x^2-x}}\) ; le dénominateur est positif.

🔢 Étape 2 : \(2x-1>0\) et \((2x-1)^2-\left(2\sqrt{x^2-x}\right)^2=4x^2-4x+1-4x^2+4x=1>0\), donc \(2x-1>2\sqrt{x^2-x}\).

✅ \(f'(x)>0\) sur \(]1,+\infty[\).

4.c) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty,0]\) : \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) à \(f(0)=0\).

🔢 Étape 2 : Sur \([1,+\infty[\) : \(f\) est strictement croissante de \(f(1)=-1\) à \(-\frac12\).

✅ Décroissante sur \(]-\infty,0]\), croissante sur \([1,+\infty[\).

5.a) Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(]-\infty,0]\). Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

🔢 \(g\) est continue et strictement décroissante sur \(]-\infty,0]\), donc bijective de \(]-\infty,0]\) sur \(J=\left[g(0),\lim_{-\infty}g\right[=[0,+\infty[\).

✅ \(J=[0,+\infty[\).

5.b) Déterminer \(g^{-1}(x)\) pour \(x\in J\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(y\geq0\) et \(x\leq0\) tels que \(y=-x+\sqrt{x^2-x}\). Alors \(\sqrt{x^2-x}=y+x\), d’où (en élevant au carré) \(x^2-x=y^2+2xy+x^2\).

🔢 Étape 2 : Donc \(x(2y+1)=-y^2\) soit \(x=-\dfrac{y^2}{2y+1}\) (qui est bien \(\leq0\)).

✅ \(g^{-1}(x)=-\dfrac{x^2}{2x+1}\) pour \(x\geq0\).

5.c) Calculer \(g\left(-\dfrac45\right)\) puis \(\left(g^{-1}\right)'(2)\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé demande « \(g(2)\) et \((g^{-1})'(-2+\sqrt2)\) », ce qui est impossible (\(2\notin]-\infty,0]\) et \(-2+\sqrt2\notin J\)). On traite donc les valeurs cohérentes \(g(-\frac45)=2\) et \((g^{-1})'(2)\).

🔢 Étape 1 : \(g\left(-\frac45\right)=\frac45+\sqrt{\frac{16}{25}+\frac45}=\frac45+\frac65=2\). Donc \(g^{-1}(2)=-\frac45\).

🔢 Étape 2 : \(g’\left(-\frac45\right)=-1+\dfrac{-\frac85-1}{2\times\frac65}=-1-\dfrac{13}{12}=-\dfrac{25}{12}\neq0\), donc \(g^{-1}\) est dérivable en \(2\).

🔢 Étape 3 : \(\left(g^{-1}\right)'(2)=\dfrac{1}{g’\left(g^{-1}(2)\right)}=\dfrac{1}{g’\left(-\frac45\right)}=-\dfrac{12}{25}\).

✅ \(g\left(-\frac45\right)=2\) et \(\left(g^{-1}\right)'(2)=-\dfrac{12}{25}\). (Vérification avec la formule : \(-\dfrac{2x^2+2x}{(2x+1)^2}\) en \(x=2\) donne \(-\dfrac{12}{25}\).)

Exercice 10

On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x)=x+\dfrac{2}{\sqrt{x+1}}\), et soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.a) Déterminer \(D_f\), domaine de définition de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)\) existe \(\iff x+1>0\).

✅ \(D_f=]-1,+\infty[\).

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)\), puis interpréter géométriquement le deuxième résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(\dfrac{2}{\sqrt{x+1}}\to0\), donc \(f(x)\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-1^+\) : \(x+1\to0^+\), donc \(\dfrac2{\sqrt{x+1}}\to+\infty\) et \(f(x)\to+\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=-1\) est asymptote verticale.

1.c) Montrer que la courbe \((\mathcal C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une asymptote oblique \((\Delta)\) dont on déterminera l’équation.

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=\dfrac{2}{\sqrt{x+1}}\to0\) quand \(x\to+\infty\).

✅ \((\Delta):\ y=x\) est asymptote oblique en \(+\infty\).

1.d) Étudier la position relative de \((\mathcal C_f)\) et de \((\Delta)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=\dfrac{2}{\sqrt{x+1}}>0\) pour tout \(x>-1\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-1,+\infty[\).

2.a) Montrer que \(f'(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)\sqrt{x+1}}\) pour tout \(x\in D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=x+2(x+1)^{-\frac12}\), donc \(f'(x)=1+2\times\left(-\dfrac12\right)(x+1)^{-\frac32}=1-\dfrac{1}{(x+1)\sqrt{x+1}}\).

✅ \(f'(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)\sqrt{x+1}}\).

2.b) Montrer que pour tout \(x\in]-1,0]\) on a \(\dfrac1{(x+1)\sqrt{x+1}}\geq1\), puis en déduire le signe de \(f'(x)\) sur \(]-1,0]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\in]-1,0]\) : \(0<x+1\leq1\), donc \(0<\sqrt{x+1}\leq1\) et \(0<(x+1)\sqrt{x+1}\leq1\).

🔢 Étape 2 : En passant à l’inverse : \(\dfrac1{(x+1)\sqrt{x+1}}\geq1\), donc \(f'(x)=1-\dfrac1{(x+1)\sqrt{x+1}}\leq0\).

✅ \(f'(x)\leq0\) sur \(]-1,0]\) (et \(f'(x)=0\) seulement en \(0\)).

2.c) Montrer que pour tout \(x\in[0,+\infty[\) on a \(\dfrac1{(x+1)\sqrt{x+1}}\leq1\), puis en déduire le signe de \(f'(x)\) sur \([0,+\infty[\).

Correction détaillée

⚠️ Sur le sujet l’intervalle écrit est \([1,+\infty[\) ; l’inégalité est vraie sur \([0,+\infty[\), qui le contient, et c’est ce qu’il faut pour le tableau de variations.

🔢 Étape 1 : Pour \(x\geq0\) : \(x+1\geq1\), donc \((x+1)\sqrt{x+1}\geq1\) et \(\dfrac1{(x+1)\sqrt{x+1}}\leq1\).

🔢 Étape 2 : Donc \(f'(x)=1-\dfrac1{(x+1)\sqrt{x+1}}\geq0\).

✅ \(f'(x)\geq0\) sur \([0,+\infty[\).

2.d) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) est décroissante sur \(]-1,0]\) de \(+\infty\) à \(f(0)=2\), puis croissante sur \([0,+\infty[\) de \(2\) à \(+\infty\).

✅ \(f\) admet un minimum \(f(0)=2\).

2.e) Donner l’équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal C_f)\) au point \(x_0=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(0)=2\) et \(f'(0)=1-1=0\).

🔢 Étape 2 : \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\).

✅ \((T):\ y=2\) (tangente horizontale).

Exercice 11

On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x)=\dfrac{3(x+1)}{\sqrt{2x-1}}\), et soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.a) Déterminer \(D_f\), domaine de définition de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)\) existe \(\iff 2x-1>0\).

✅ \(D_f=\left]\dfrac12,+\infty\right[\).

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to\frac12^+}f(x)\), puis interpréter géométriquement le deuxième résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(f(x)=\dfrac{3(x+1)}{\sqrt{2x-1}}\) ; \(\dfrac{f(x)}{\sqrt x}\) tend vers \(\dfrac{3}{\sqrt2}\neq0\) donc \(f(x)\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(\frac12^+\) : numérateur \(\to\dfrac92>0\) et \(\sqrt{2x-1}\to0^+\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to\frac12^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=\frac12\) est asymptote verticale.

1.c) Montrer que \((\mathcal C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique dont on déterminera la direction.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{3(x+1)}{x\sqrt{2x-1}}=\dfrac{3\left(1+\frac1x\right)}{\sqrt{2x-1}}\to0\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=0\) : branche parabolique de direction l’axe des abscisses \((Ox)\).

2.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{3(x-2)}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}\) pour tout \(x\in D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f=\dfrac uv\) avec \(u=3(x+1)\), \(v=\sqrt{2x-1}\), \(v’=\dfrac1{\sqrt{2x-1}}\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{3\sqrt{2x-1}-\dfrac{3(x+1)}{\sqrt{2x-1}}}{2x-1}=\dfrac{3(2x-1)-3(x+1)}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}=\dfrac{3x-6}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{3(x-2)}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}\).

2.b) Montrer que \(f\) est décroissante sur \(\left]\frac12,2\right]\) et croissante sur \([2,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Le dénominateur \((2x-1)\sqrt{2x-1}\) est strictement positif sur \(D_f\) : \(f'(x)\) a le signe de \(x-2\).

✅ \(f’\leq0\) sur \(\left]\frac12,2\right]\) et \(f’\geq0\) sur \([2,+\infty[\).

2.c) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(f(2)=\dfrac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3\) sur \(\left]\frac12,2\right]\), puis croît de \(3\sqrt3\) à \(+\infty\).

✅ Minimum \(f(2)=3\sqrt3\).

3.a) Montrer que \(\forall x\in D_f,\ f »(x)=\dfrac{3(5-x)}{(2x-1)^{\frac52}}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=3(x-2)(2x-1)^{-\frac32}\).

🔢 Étape 2 : \(f »(x)=3(2x-1)^{-\frac32}-9(x-2)(2x-1)^{-\frac52}=\dfrac{3(2x-1)-9(x-2)}{(2x-1)^{\frac52}}=\dfrac{3(5-x)}{(2x-1)^{\frac52}}\).

✅ \(f »(x)=\dfrac{3(5-x)}{(2x-1)^{5/2}}\).

3.b) Étudier le signe de \(f »\) puis déterminer les coordonnées du point d’inflexion \(I\) de \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((2x-1)^{5/2}>0\) : \(f »(x)\) a le signe de \(5-x\) : positive sur \(\left]\frac12,5\right[\), négative sur \(]5,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : \(f »\) s’annule en \(5\) en changeant de signe ; \(f(5)=\dfrac{18}{3}=6\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est convexe sur \(\left]\frac12,5\right]\), concave sur \([5,+\infty[\) ; \(I(5;6)\).

3.c) Donner l’équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal C_f)\) au point \(I\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(5)=\dfrac{3\times3}{9\times3}=\dfrac13\).

🔢 Étape 2 : \(y=\dfrac13(x-5)+6\).

✅ \((T):\ y=\dfrac13x+\dfrac{13}3\).

4.a) On considère \(g\) la restriction de \(f\) à \(I=[2,+\infty[\). Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

🔢 \(g\) est continue et strictement croissante sur \([2,+\infty[\), donc bijective de \([2,+\infty[\) sur \(J=[g(2),+\infty[\).

✅ \(J=[3\sqrt3,+\infty[\).

4.b) Calculer \(g(5)\) puis montrer que \(g^{-1}\) est dérivable en \(6\) et calculer \(\left(g^{-1}\right)'(6)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g(5)=\dfrac{3\times6}{\sqrt9}=6\), donc \(g^{-1}(6)=5\).

🔢 Étape 2 : \(g\) est dérivable en \(5\) et \(g'(5)=\dfrac13\neq0\) : \(g^{-1}\) est dérivable en \(6\).

🔢 Étape 3 : \(\left(g^{-1}\right)'(6)=\dfrac1{g'(5)}=3\).

✅ \(g(5)=6\), \(g^{-1}\) est dérivable en \(6\) et \(\left(g^{-1}\right)'(6)=3\).

Exercice 12

On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}\), et soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.a) Montrer que \(f\) est définie sur \(D_f=\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0\) pour tout réel \(x\).

✅ \(\sqrt{x^2-2x+2}\) existe et ne s’annule jamais : \(D_f=\mathbb R\).

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\), puis interpréter géométriquement les deux résultats.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On écrit \(f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+1}}\) et \(\sqrt{(x-1)^2+1}=|x-1|\sqrt{1+\dfrac1{(x-1)^2}}\).

🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(|x-1|=x-1\), donc \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^2}}}\to1\).

🔢 Étape 3 : En \(-\infty\) : \(|x-1|=-(x-1)\), donc \(f(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^2}}}\to-1\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-1\) : les droites \(y=1\) (en \(+\infty\)) et \(y=-1\) (en \(-\infty\)) sont asymptotes horizontales.

2.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{1}{(x^2-2x+2)\sqrt{x^2-2x+2}}\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On pose \(v(x)=x^2-2x+2\), \(v'(x)=2(x-1)\). \(f'(x)=\dfrac{\sqrt v-(x-1)\dfrac{v’}{2\sqrt v}}{v}=\dfrac{\sqrt v-\dfrac{(x-1)^2}{\sqrt v}}{v}=\dfrac{v-(x-1)^2}{v\sqrt v}\).

🔢 Étape 2 : Or \(v-(x-1)^2=x^2-2x+2-x^2+2x-1=1\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{1}{(x^2-2x+2)\sqrt{x^2-2x+2}}\).

2.b) Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

2.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), avec \(\lim\limits_{-\infty}f=-1\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=1\).

✅ \(f\) croît de \(-1\) à \(1\) ; \(f(\mathbb R)=]-1,1[\).

3.a) Montrer que le point \(I(1;0)\) est un centre de symétrie de la courbe \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\) : pour tout \(x\in\mathbb R\), \(2-x\in\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : \(f(2-x)=\dfrac{(2-x)-1}{\sqrt{(2-x)^2-2(2-x)+2}}=\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2-2x+2}}=-f(x)\), donc \(f(2-x)+f(x)=2\times0\).

✅ \(I(1;0)\) est un centre de symétrie de \((\mathcal C_f)\).

3.b) Donner l’équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal C_f)\) au point \(I\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(1)=0\) et \(f'(1)=\dfrac{1}{1\times1}=1\).

🔢 Étape 2 : \(y=f'(1)(x-1)+f(1)\).

✅ \((T):\ y=x-1\).

4.a) Montrer que la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\) : c’est une bijection de \(\mathbb R\) sur \(f(\mathbb R)=\left]\lim\limits_{-\infty}f,\lim\limits_{+\infty}f\right[\).

✅ \(J=]-1,1[\).

4.b) Calculer \(f(1)\) puis montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(0\) puis calculer \(\left(f^{-1}\right)'(0)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(1)=0\), donc \(f^{-1}(0)=1\).

🔢 Étape 2 : \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=1\neq0\) : \(f^{-1}\) est dérivable en \(0\).

🔢 Étape 3 : \(\left(f^{-1}\right)'(0)=\dfrac{1}{f’\left(f^{-1}(0)\right)}=\dfrac1{f'(1)}\).

✅ \(f(1)=0\) ; \(f^{-1}\) est dérivable en \(0\) et \(\left(f^{-1}\right)'(0)=1\).

Exercice 13

On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x)=\dfrac{x}{x-1}\) si \(x<0\) et \(f(x)=x+\sqrt{x^2+2x}\) si \(x\geq0\). Soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.a) Montrer que \(f\) est définie sur \(D_f=\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Si \(x<0\) : \(x\neq1\), donc \(\dfrac{x}{x-1}\) existe. Si \(x\geq0\) : \(x^2+2x=x(x+2)\geq0\), donc \(\sqrt{x^2+2x}\) existe.

✅ \(D_f=\mathbb R\).

1.b) Étudier la continuité de \(f\) au point \(x_0=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(0)=0+\sqrt0=0\).

🔢 Étape 2 : À droite : \(\lim\limits_{x\to0^+}\left(x+\sqrt{x^2+2x}\right)=0\). À gauche : \(\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x}{x-1}=0\).

✅ \(f\) est continue en \(0\).

2.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\), puis interpréter géométriquement le deuxième résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(x+\sqrt{x^2+2x}\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{1-\frac1x}\to1\).

✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\) ; \(\lim\limits_{-\infty}f=1\) : la droite \(y=1\) est asymptote horizontale en \(-\infty\).

2.b) Vérifier que \(x+\sqrt{x^2+2x}-(2x+1)=\dfrac{-1}{x+1+\sqrt{x^2+2x}}\) pour tout \(x\in[0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x+\sqrt{x^2+2x}-(2x+1)=\sqrt{x^2+2x}-(x+1)\).

🔢 Étape 2 : On multiplie par la quantité conjuguée : \(\dfrac{\left(x^2+2x\right)-(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x}+x+1}=\dfrac{-1}{x+1+\sqrt{x^2+2x}}\).

✅ L’égalité est vérifiée.

2.c) En déduire la position relative de \((\mathcal C_f)\) et de la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=2x+1\) sur l’intervalle \([0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Pour \(x\geq0\) : \(x+1+\sqrt{x^2+2x}>0\), donc \(f(x)-(2x+1)<0\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est strictement au-dessous de \((\Delta)\) sur \([0,+\infty[\).

2.d) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-(2x+1)\right]\), puis interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Le dénominateur \(x+1+\sqrt{x^2+2x}\to+\infty\), donc \(\dfrac{-1}{x+1+\sqrt{x^2+2x}}\to0\).

✅ La limite est \(0\) : \((\Delta):y=2x+1\) est asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).

3.a) Calculer \(\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\), puis interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x>0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=1+\dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{x}=1+\sqrt{\dfrac{x^2+2x}{x^2}}=1+\sqrt{1+\dfrac2x}\).

🔢 Étape 2 : Quand \(x\to0^+\) : \(\dfrac2x\to+\infty\).

✅ La limite est \(+\infty\) : \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; \((\mathcal C_f)\) admet en \(O\) une demi-tangente verticale (vers le haut).

3.b) Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) à gauche au point \(x_0=0\).

Correction détaillée

🔢 Pour \(x<0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{1}{x-1}\to-1\).

✅ \(f\) est dérivable à gauche en \(0\), \(f’_g(0)=-1\) : demi-tangente à gauche de pente \(-1\).

3.c) Est-ce que la fonction \(f\) est dérivable au point \(x_0=0\) ?

Correction détaillée

🔢 \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) (question 3.a).

✅ Non, \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).

4.a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\), puis vérifier que \(f'(x)=1+\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}\) pour tout \(x\in]0,+\infty[\) ; en déduire le signe de \(f'(x)\) sur \(]0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]0,+\infty[\) : \(x^2+2x>0\), donc \(x\mapsto\sqrt{x^2+2x}\) est dérivable ; \(f\) l’est aussi (somme).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=1+\dfrac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x}}=1+\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}\), somme de deux termes strictement positifs.

✅ \(f'(x)>0\) sur \(]0,+\infty[\).

4.b) Vérifier que \(f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}\) pour tout \(x\in]-\infty,0[\), puis en déduire le signe de \(f’\) sur ce même intervalle.

Correction détaillée

⚠️ Le sujet imprime \(\dfrac{-1}{(x+1)^2}\) ; la bonne dérivée de \(\dfrac{x}{x-1}\) est \(\dfrac{-1}{(x-1)^2}\).

🔢 Sur \(]-\infty,0[\) : \(f'(x)=\dfrac{1\times(x-1)-x\times1}{(x-1)^2}=\dfrac{-1}{(x-1)^2}\).

✅ \(f'(x)<0\) sur \(]-\infty,0[\).

4.c) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Sur \(]-\infty,0]\) : \(f\) décroît de \(1\) à \(f(0)=0\). Sur \([0,+\infty[\) : \(f\) croît de \(0\) à \(+\infty\).

✅ Minimum \(f(0)=0\).

5.a) On considère \(g\) la restriction de \(f\) à \([0,+\infty[\). Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

🔢 \(g\) est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\), donc bijective de \([0,+\infty[\) sur \([g(0),+\infty[\).

✅ \(J=[0,+\infty[\).

5.b) Calculer \(g\left(\dfrac14\right)\) puis \(\left(g^{-1}\right)'(1)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g\left(\frac14\right)=\frac14+\sqrt{\frac1{16}+\frac12}=\frac14+\frac34=1\), donc \(g^{-1}(1)=\frac14\).

🔢 Étape 2 : \(g’\left(\frac14\right)=1+\dfrac{\frac54}{\frac34}=\dfrac83\neq0\), donc \(g^{-1}\) est dérivable en \(1\).

🔢 Étape 3 : \(\left(g^{-1}\right)'(1)=\dfrac1{g'(1/4)}\).

✅ \(g\left(\frac14\right)=1\) et \(\left(g^{-1}\right)'(1)=\dfrac38\).

5.c) Déterminer \(g^{-1}(x)\) pour \(x\in J\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(y\geq0\) et \(x\geq0\) : \(y=x+\sqrt{x^2+2x}\iff y-x=\sqrt{x^2+2x}\), d’où \(y^2-2xy+x^2=x^2+2x\), soit \(x=\dfrac{y^2}{2(y+1)}\).

🔢 Étape 2 : Cette valeur convient : \(y-x=\dfrac{y^2+2y}{2(y+1)}\geq0\).

✅ \(g^{-1}(x)=\dfrac{x^2}{2(x+1)}\) pour \(x\geq0\).

5.d) Calculer \(\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\dfrac{g^{-1}(x)}{x}\) puis interpréter géométriquement le résultat (on pourra utiliser le résultat de la question 3.a).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{g^{-1}(x)}{x}=\dfrac{x}{2(x+1)}\to0\).

🔢 Étape 2 : Interprétation : \((\mathcal C_g)\) a une demi-tangente verticale en \(O\) ; sa symétrique \((\mathcal C_{g^{-1}})\) par rapport à \(y=x\) a donc en \(O\) une demi-tangente horizontale.

✅ La limite est \(0\) : \(g^{-1}\) est dérivable à droite en \(0\), \(\left(g^{-1}\right)’_d(0)=0\) ; \((\mathcal C_{g^{-1}})\) admet l’axe des abscisses comme demi-tangente en \(O\).

Exercice 14

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) par : \(f(x)=\dfrac{\sqrt x-1}{x-1}\) si \(x\in[0,1[\cup]1,+\infty[\) et \(f(1)=\dfrac12\). Soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), puis interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Pour \(x\neq1\) : \(f(x)=\dfrac{\sqrt x-1}{(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)}=\dfrac1{\sqrt x+1}\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale en \(+\infty\).

1.b) Étudier la continuité de la fonction \(f\) au point \(x_0=1\).

Correction détaillée

🔢 \(\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{1}{\sqrt x+1}=\dfrac12=f(1)\).

✅ \(f\) est continue en \(1\).

1.c) Étudier la continuité à droite de \(f\) au point \(x_0=0\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=\dfrac{0-1}{0-1}=1\) et \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{\sqrt x+1}=1\).

✅ \(f\) est continue à droite en \(0\).

2.a) Montrer que \(f\) est dérivable au point \(x_0=1\) et que \(f'(1)=-\dfrac18\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x>0\), \(x\neq1\) : \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{\frac1{\sqrt x+1}-\frac12}{x-1}=\dfrac{1-\sqrt x}{2(\sqrt x+1)(x-1)}\).

🔢 Étape 2 : Comme \(x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)\) : le quotient vaut \(\dfrac{-1}{2(\sqrt x+1)^2}\to-\dfrac18\).

✅ \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=-\dfrac18\).

2.b) Donner l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((\mathcal C_f)\) au point \(x_0=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(1)=\frac12\) et \(f'(1)=-\frac18\).

🔢 Étape 2 : \(y=-\frac18(x-1)+\frac12\).

✅ \((T):\ y=-\dfrac18x+\dfrac58\).

2.c) Étudier la dérivabilité à droite de la fonction \(f\) au point \(x_0=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{\frac1{\sqrt x+1}-1}{x}=\dfrac{-\sqrt x}{x(\sqrt x+1)}=\dfrac{-1}{\sqrt x(\sqrt x+1)}\).

🔢 Étape 2 : Quand \(x\to0^+\) : le dénominateur tend vers \(0^+\), donc le quotient tend vers \(-\infty\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale en \((0,1)\).

2.d) Est-ce que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\setminus\{1\}\) ? Vérifier que \(f'(x)=\dfrac{-(\sqrt x-1)^2}{2\sqrt x\,(x-1)^2}\) sur \(]0,+\infty[\setminus\{1\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur cet ensemble, \(f\) est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur \(x-1\) ne s’annule pas : \(f\) est dérivable.

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{\frac{1}{2\sqrt x}(x-1)-(\sqrt x-1)}{(x-1)^2}\). Numérateur : \(\dfrac{x-1-2x+2\sqrt x}{2\sqrt x}=\dfrac{-(x-2\sqrt x+1)}{2\sqrt x}=\dfrac{-(\sqrt x-1)^2}{2\sqrt x}\).

✅ Oui ; \(f'(x)=\dfrac{-(\sqrt x-1)^2}{2\sqrt x\,(x-1)^2}\).

2.e) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \([0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)<0\) sur \(]0,+\infty[\setminus\{1\}\) et \(f'(1)=-\frac18<0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \([0,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : \(f(0)=1\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=0\).

✅ \(f\) décroît de \(1\) vers \(0\) (sans l’atteindre).

3.a) On considère \(g\) la restriction de la fonction \(f\) sur \(I=[0,+\infty[\). Montrer que la fonction \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) dont on déterminera.

Correction détaillée

🔢 \(g\) est continue et strictement décroissante sur \([0,+\infty[\), donc bijective de \([0,+\infty[\) sur \(\left]\lim\limits_{+\infty}g,\ g(0)\right]\).

✅ \(J=]0,1]\).

3.b) Calculer \(g(4)\) puis montrer que la fonction réciproque \(g^{-1}\) est dérivable en \(\dfrac13\) puis calculer \(\left(g^{-1}\right)’\left(\dfrac13\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g(4)=\dfrac1{\sqrt4+1}=\dfrac13\), donc \(g^{-1}\left(\frac13\right)=4\).

🔢 Étape 2 : \(g'(4)=\dfrac{-(2-1)^2}{2\times2\times9}=-\dfrac1{36}\neq0\) : \(g^{-1}\) est dérivable en \(\frac13\).

🔢 Étape 3 : \(\left(g^{-1}\right)’\left(\frac13\right)=\dfrac1{g'(4)}\).

✅ \(g(4)=\dfrac13\) ; \(\left(g^{-1}\right)’\left(\dfrac13\right)=-36\).

Exercice 15

Partie A On considère la fonction numérique \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par : \(g(x)=x^3-3x+2\).

1.a) Calculer \(g(-2)\).

Correction détaillée

🔢 \(g(-2)=-8+6+2\).

✅ \(g(-2)=0\).

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\).

Correction détaillée

🔢 La limite d’un polynôme en \(\pm\infty\) est celle de son terme de plus haut degré : \(x^3\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).

2.a) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\).

✅ \(g'(x)=3(x-1)(x+1)\).

2.b) Étudier le signe de \(g'(x)\) puis dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g'(x)>0\) sur \(]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\) et \(g'(x)<0\) sur \(]-1,1[\).

🔢 Étape 2 : \(g(-1)=-1+3+2=4\) et \(g(1)=1-3+2=0\).

✅ \(g\) croît de \(-\infty\) à \(4\) sur \(]-\infty,-1]\), décroît de \(4\) à \(0\) sur \([-1,1]\), puis croît de \(0\) à \(+\infty\) sur \([1,+\infty[\).

2.c) Déterminer le signe de la fonction \(g\) sur \(\mathbb R\), en précisant les deux valeurs pour lesquelles \(g(x)\) s’annule.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On a \(g(1)=0\) et \(g(-2)=0\). On factorise : \(g(x)=(x-1)^2(x+2)\).

🔢 Étape 2 : \((x-1)^2\geq0\), donc \(g(x)\) a le signe de \(x+2\) (ou est nul en \(x=1\)).

✅ \(g(x)=0\) pour \(x=-2\) et \(x=1\) ; \(g(x)<0\) sur \(]-\infty,-2[\) ; \(g(x)\geq0\) sur \([-2,+\infty[\).

2.d) Montrer que \(g\left([3,+\infty[\right)\subset[3,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(g\) est continue et croissante sur \([1,+\infty[\supset[3,+\infty[\), donc \(g([3,+\infty[)=[g(3),+\infty[=[20,+\infty[\).

✅ \([20,+\infty[\subset[3,+\infty[\), donc \(g([3,+\infty[)\subset[3,+\infty[\).

Partie B Soit la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\setminus\{-1\}\) par : \(f(x)=\dfrac{x^3-1}{x^2-1}\) pour \(x\neq-1\) et \(x\neq1\), et \(f(1)=\dfrac32\). Soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.a) Étudier la continuité de la fonction \(f\) au point \(x_0=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\neq\pm1\) : \(f(x)=\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\).

🔢 Étape 2 : \(\lim\limits_{x\to1}f(x)=\dfrac32=f(1)\).

✅ \(f\) est continue en \(1\).

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)\), puis interpréter les résultats.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le numérateur \(x^2+x+1\to1>0\).

🔢 Étape 2 : Si \(x\to-1^+\) : \(x+1\to0^+\) donc \(f(x)\to+\infty\). Si \(x\to-1^-\) : \(x+1\to0^-\) donc \(f(x)\to-\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=-\infty\) : la droite \(x=-1\) est asymptote verticale.

2.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-x\right]\), puis interpréter les résultats.

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=x+\dfrac1{x+1}\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-x\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1{x+1}=0\) : la droite \(y=x\) est asymptote oblique en \(+\infty\).

2.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) puis déterminer la branche infinie de \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=x+\dfrac1{x+1}\to-\infty\) quand \(x\to-\infty\), et \(f(x)-x=\dfrac1{x+1}\to0\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) ; la droite \(y=x\) est aussi asymptote oblique en \(-\infty\).

2.c) Déterminer la position relative de la droite \((D)\) d’équation \(y=x\) et de la courbe \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=\dfrac1{x+1}\) a le signe de \(x+1\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est au-dessus de \((D)\) sur \(]-1,+\infty[\) et au-dessous sur \(]-\infty,-1[\).

3.a) Étudier la dérivabilité de \(f\) au point \(x_0=1\) (remarquer que \(2x^3-3x^2+1=(x-1)^2(2x+1)\)).

Correction détaillée

⚠️ Le sujet indique \(2x^3-3x^2+1=(x-1)^2(2x-1)\) ; la factorisation correcte est \((x-1)^2(2x+1)\) (en développant : \((x^2-2x+1)(2x+1)=2x^3-3x^2+1\)).

🔢 Étape 1 : Pour \(x\neq1\) : \(f(x)-f(1)=\dfrac{x^3-1}{x^2-1}-\dfrac32=\dfrac{2x^3-3x^2+1}{2(x^2-1)}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{(x-1)^2(2x+1)}{2(x-1)(x^2-1)}=\dfrac{(x-1)^2(2x+1)}{2(x-1)^2(x+1)}=\dfrac{2x+1}{2(x+1)}\to\dfrac34\).

✅ \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=\dfrac34\).

3.b) Vérifier que \(f'(x)=\dfrac{x\,g(x)}{(x^2-1)^2}\) pour tout \(x\) de \(\mathbb R\setminus\{-1;1\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Avec \(f(x)=\dfrac{x^3-1}{x^2-1}\) : \(f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2-1)-2x(x^3-1)}{(x^2-1)^2}=\dfrac{x^4-3x^2+2x}{(x^2-1)^2}\).

🔢 Étape 2 : Or \(x^4-3x^2+2x=x(x^3-3x+2)=x\,g(x)\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{x\,g(x)}{(x^2-1)^2}\).

3.c) Déterminer le signe de \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb R\setminus\{-1;1\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g(x)=(x-1)^2(x+2)\), donc \(f'(x)=\dfrac{x(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x+1)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}\) pour \(x\neq\pm1\).

🔢 Étape 2 : Le signe de \(f’\) est celui de \(x(x+2)\) : positif pour \(x<-2\) et \(x>0\), négatif pour \(-2<x<0\) (avec \(x\neq-1\)).

✅ \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty,-2[\cup]0,+\infty[\setminus\{1\}\) ; \(f'(x)<0\) sur \(]-2,0[\setminus\{-1\}\).

3.d) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb R\setminus\{-1\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(-2)=\dfrac{4-2+1}{-1}=-3\) et \(f(0)=1\).

🔢 Étape 2 : \(f\) croît de \(-\infty\) à \(-3\) sur \(]-\infty,-2]\), décroît de \(-3\) à \(-\infty\) sur \([-2,-1[\) ; décroît de \(+\infty\) à \(1\) sur \(]-1,0]\), puis croît de \(1\) à \(+\infty\) sur \([0,+\infty[\).

✅ Maximum local \(f(-2)=-3\) ; minimum local \(f(0)=1\).

Partie C Soit \(a\) un réel. On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=a\) et \(u_{n+1}=g(u_n)-u_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1) On prend le cas \(a=2\) : montrer que \(u_n=2\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}=g(u_n)-u_n=u_n^3-4u_n+2\). Si \(u_n=2\) alors \(u_{n+1}=8-8+2=2\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(u_0=2\). Récurrence : si \(u_n=2\), alors \(u_{n+1}=2\).

✅ \(u_n=2\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2) On prend le cas \(a=-2\) : montrer que \(u_n=2\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_1=g(-2)-(-2)=0+2=2\).

🔢 Étape 2 : Ensuite, comme dans le cas \(a=2\), \(u_n=2\) pour tout \(n\geq1\).

✅ \(u_n=2\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

3) On prend le cas \(a=0\) : montrer que \(u_n=2\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_1=g(0)-0=2\).

🔢 Étape 2 : Puis \(u_n=2\) pour tout \(n\geq1\) comme ci-dessus.

✅ \(u_n=2\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

4) On prend le cas \(a=3\) : montrer que \(u_n\geq3\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=3\geq3\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : supposons \(u_n\geq3\). Alors \(u_{n+1}-3=u_n^3-4u_n-1=u_n(u_n^2-4)-1\geq3\times5-1=14>0\) (car \(u_n\geq3\) donne \(u_n^2-4\geq5\)).

🔢 Étape 3 : Donc \(u_{n+1}\geq3\).

✅ \(u_n\geq3\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Exercice 16

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) par : \(f(x)=x-2\sqrt x+2\), et soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=x-2\sqrt x+2=x\left(1-\dfrac{2}{\sqrt x}+\dfrac2x\right)\to+\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-x\right]\), puis interpréter graphiquement les résultats obtenus.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)}{x}=1-\dfrac2{\sqrt x}+\dfrac2x\to1\).

🔢 Étape 2 : \(f(x)-x=2-2\sqrt x\to-\infty\).

✅ \(\lim\dfrac{f(x)}x=1\) et \(\lim\left[f(x)-x\right]=-\infty\) : branche parabolique de direction la droite \(y=x\).

1.c) Étudier la position relative de la courbe \((\mathcal C_f)\) et de la droite \((\Delta):y=x\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=2-2\sqrt x=2(1-\sqrt x)\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \([0,1[\), au-dessous sur \(]1,+\infty[\), et ils se coupent en \((1,1)\).

2.a) Étudier la dérivabilité à droite de la fonction \(f\) au point \(x_0=1\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé écrit « \(x_0=1\) » avec la remarque \(2x^3-3x^2+1=(x-1)^2(2x-1)\), qui n’a aucun rapport avec cette fonction (copie d’un autre exercice) : on ignore la remarque.

🔢 \(f(1)=1-2+2=1\). Pour \(x>1\) : \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x-2\sqrt x+1}{x-1}=\dfrac{(\sqrt x-1)^2}{(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)}=\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt x+1}\to0\).

✅ \(f\) est dérivable à droite en \(1\) et \(f’_d(1)=0\) (tangente horizontale).

2.b) Étudier la dérivabilité à droite de \(f\) au point \(x_0=0\).

Correction détaillée

⚠️ Question ajoutée : c’est en \(0\) (borne du domaine) que l’étude de la dérivabilité à droite est la plus instructive.

🔢 \(f(0)=2\). Pour \(x>0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{x-2\sqrt x}{x}=1-\dfrac2{\sqrt x}\to-\infty\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale en \((0,2)\).

2.c) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\), puis vérifier que \(f'(x)=\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt x}\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=1-\dfrac{2}{2\sqrt x}=1-\dfrac1{\sqrt x}=\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt x}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt x}\).

2.d) Déterminer le signe de \(f'(x)\) pour tout \(x\in]0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt x>0\) : le signe est celui de \(\sqrt x-1\), c’est-à-dire de \(x-1\).

✅ \(f'(x)<0\) sur \(]0,1[\) et \(f'(x)>0\) sur \(]1,+\infty[\).

2.e) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \([0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=2\), \(f(1)=1\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).

✅ \(f\) décroît de \(2\) à \(1\) sur \([0,1]\), puis croît de \(1\) à \(+\infty\) sur \([1,+\infty[\) ; minimum \(f(1)=1\).

3.a) On considère \(g\) la restriction de la fonction \(f\) sur \(I=[1,+\infty[\). Montrer que la fonction \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) dont on déterminera.

Correction détaillée

🔢 \(g\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\), donc bijective de \([1,+\infty[\) sur \([g(1),+\infty[\).

✅ \(J=[1,+\infty[\).

3.b) Déterminer \(g^{-1}(x)\) pour \(x\in J\) (remarquer que \(x-2\sqrt x+2=(\sqrt x-1)^2+1\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(y\geq1\) et \(x\geq1\) : \(y=(\sqrt x-1)^2+1\iff(\sqrt x-1)^2=y-1\).

🔢 Étape 2 : Comme \(x\geq1\), \(\sqrt x-1\geq0\), donc \(\sqrt x-1=\sqrt{y-1}\), soit \(x=\left(1+\sqrt{y-1}\right)^2\).

✅ \(g^{-1}(x)=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^2\) pour \(x\geq1\).

4.a) Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=g(u_n)\). Montrer par récurrence que \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>1\), comme \(g\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\) : \(u_{n+1}=g(u_n)>g(1)=1\).

✅ \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

4.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=g(u_n)-u_n=2-2\sqrt{u_n}\) (d’après 1.c).

🔢 Étape 2 : Comme \(u_n>1\), \(\sqrt{u_n}>1\), donc \(u_{n+1}-u_n<0\).

✅ \((u_n)\) est strictement décroissante.

4.c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

4.d) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(\ell=\lim u_n\). \(\ell\geq1\) et \(g\) est continue sur \([1,+\infty[\), donc \(g(\ell)=\ell\).

🔢 Étape 2 : \(g(\ell)=\ell\iff2-2\sqrt\ell=0\iff\ell=1\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 17

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=x+3-\sqrt{x^2+5}\), et soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.a) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=3\), puis interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)=3+x-\sqrt{x^2+5}=3+\dfrac{x^2-(x^2+5)}{x+\sqrt{x^2+5}}=3-\dfrac{5}{x+\sqrt{x^2+5}}\).

🔢 Étape 2 : Le dénominateur tend vers \(+\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=3\) : la droite \(y=3\) est asymptote horizontale en \(+\infty\).

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Quand \(x\to-\infty\) : \(x+3\to-\infty\) et \(-\sqrt{x^2+5}\to-\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).

1.c) Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=2x+3\) est une asymptote oblique à la courbe \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).

Correction détaillée

⚠️ Le sujet écrit « au voisinage de \(+\infty\) » mais c’est en \(-\infty\) que la droite \(y=2x+3\) est asymptote (en \(+\infty\) la courbe tend vers \(y=3\)).

🔢 Étape 1 : \(f(x)-(2x+3)=-x-\sqrt{x^2+5}=-\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)\).

🔢 Étape 2 : Pour \(x\to-\infty\) : \(x+\sqrt{x^2+5}=\dfrac{(x^2+5)-x^2}{\sqrt{x^2+5}-x}=\dfrac{5}{\sqrt{x^2+5}-x}\to0\) car \(\sqrt{x^2+5}-x\to+\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-(2x+3)\right]=0\) : \((\Delta)\) est asymptote oblique en \(-\infty\).

1.d) Déterminer l’intersection de la courbe \((\mathcal C_f)\) et de l’axe des abscisses.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)=0\iff x+3=\sqrt{x^2+5}\). Il faut \(x+3\geq0\) et \((x+3)^2=x^2+5\), soit \(6x+9=5\), \(x=-\dfrac23\).

🔢 Étape 2 : Vérification : \(-\frac23+3=\frac73\geq0\) et \(\sqrt{\frac49+5}=\sqrt{\frac{49}9}=\frac73\).

✅ \((\mathcal C_f)\) coupe l’axe des abscisses en un seul point : \(\left(-\dfrac23,0\right)\).

2.a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb R\) puis vérifier que \(f'(x)=\dfrac{-x+\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{x^2+5}}\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=1-\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}=1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}=\dfrac{\sqrt{x^2+5}-x}{\sqrt{x^2+5}}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{-x+\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{x^2+5}}\).

2.b) Montrer que \(\sqrt{x^2+5}-x\geq0\), puis en déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Si \(x\leq0\) : \(\sqrt{x^2+5}-x>0\). Si \(x>0\) : \(\sqrt{x^2+5}>\sqrt{x^2}=x\).

🔢 Étape 2 : Donc \(f'(x)>0\) pour tout \(x\).

✅ \(\sqrt{x^2+5}-x>0\) pour tout \(x\) et \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

2.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) croît strictement de \(-\infty\) à \(3\).

✅ \(f(\mathbb R)=]-\infty,3[\).

2.d) Écrire l’équation réduite de la tangente à \((\mathcal C_f)\) au point \(x_0=-\dfrac23\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\left(-\frac23\right)=0\) (question 1.d).

🔢 Étape 2 : \(f’\left(-\frac23\right)=1+\dfrac{2/3}{7/3}=\dfrac97\).

✅ \(y=\dfrac97\left(x+\dfrac23\right)=\dfrac97x+\dfrac67\).

2.e) Déterminer \(f([1,2])\) et \(f([2,3])\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est continue et croissante : \(f([a,b])=[f(a),f(b)]\).

🔢 Étape 2 : \(f(1)=4-\sqrt6\), \(f(2)=5-3=2\), \(f(3)=6-\sqrt{14}\).

✅ \(f([1,2])=[4-\sqrt6,\ 2]\) et \(f([2,3])=[2,\ 6-\sqrt{14}]\).

3.a) Étudier le signe de \(f(x)-x\) (remarquer que \(f(x)-x=\dfrac{4-x^2}{3+\sqrt{x^2+5}}\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)-x=3-\sqrt{x^2+5}=\dfrac{9-(x^2+5)}{3+\sqrt{x^2+5}}=\dfrac{4-x^2}{3+\sqrt{x^2+5}}\).

🔢 Étape 2 : Le dénominateur est positif : le signe est celui de \(4-x^2\).

✅ \(f(x)-x>0\) sur \(]-2,2[\) ; \(=0\) pour \(x=\pm2\) ; \(<0\) sur \(]-\infty,-2[\cup]2,+\infty[\).

3.b) Étudier la position relative de la droite \((\Delta’)\) d’équation \(y=x\) et de la courbe \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 Cela se lit sur le signe de \(f(x)-x\). \(f(2)=2\) et \(f(-2)=-2\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est au-dessus de \((\Delta’)\) sur \(]-2,2[\), au-dessous sur \(]-\infty,-2[\cup]2,+\infty[\), et ils se coupent aux points \((-2,-2)\) et \((2,2)\).

4.a) Montrer que la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur l’intervalle \(J=]-\infty,3[\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\) : bijection de \(\mathbb R\) sur \(f(\mathbb R)=]-\infty,3[\).

✅ \(f^{-1}\) est définie sur \(J=]-\infty,3[\).

4.b) Calculer \(f(2)\), puis montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(2\) et calculer \(\left(f^{-1}\right)'(2)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(2)=5-\sqrt9=2\), donc \(f^{-1}(2)=2\).

🔢 Étape 2 : \(f'(2)=1-\dfrac23=\dfrac13\neq0\) : \(f^{-1}\) est dérivable en \(2\).

🔢 Étape 3 : \(\left(f^{-1}\right)'(2)=\dfrac1{f'(2)}\).

✅ \(f(2)=2\) et \(\left(f^{-1}\right)'(2)=3\).

5) Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

5.a) Montrer par récurrence que \(1\leq u_n\leq2\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1\in[1,2]\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(1\leq u_n\leq2\), alors \(u_{n+1}=f(u_n)\in f([1,2])=[4-\sqrt6,2]\subset[1,2]\) (car \(4-\sqrt6\approx1{,}55\)).

✅ \(1\leq u_n\leq2\) pour tout \(n\).

5.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=\dfrac{4-u_n^2}{3+\sqrt{u_n^2+5}}\geq0\) car \(u_n\in[1,2]\) donc \(u_n^2\leq4\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

5.c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

5.d) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(\ell=\lim u_n\in[1,2]\). Comme \(f\) est continue, \(f(\ell)=\ell\), c’est-à-dire \(\dfrac{4-\ell^2}{3+\sqrt{\ell^2+5}}=0\).

🔢 Étape 2 : Donc \(\ell^2=4\) et \(\ell=2\) (car \(\ell>0\)).

✅ \(\lim u_n=2\).

6) Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_0=3\) et \(v_{n+1}=f(v_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

6.a) Montrer par récurrence que \(2\leq v_n\leq3\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(v_0=3\in[2,3]\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(2\leq v_n\leq3\), alors \(v_{n+1}\in f([2,3])=[2,6-\sqrt{14}]\subset[2,3]\) (car \(6-\sqrt{14}\approx2{,}26\)).

✅ \(2\leq v_n\leq3\) pour tout \(n\).

6.b) Montrer que la suite \((v_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{4-v_n^2}{3+\sqrt{v_n^2+5}}\leq0\) car \(v_n\geq2\) donc \(v_n^2\geq4\).

✅ \((v_n)\) est décroissante.

6.c) En déduire que la suite \((v_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 \((v_n)\) est décroissante et minorée par \(2\).

✅ \((v_n)\) est convergente.

6.d) Calculer la limite de la suite \((v_n)\).

Correction détaillée

🔢 Soit \(\ell=\lim v_n\in[2,3]\) : \(f(\ell)=\ell\), donc \(\ell^2=4\) et \(\ell=2\).

✅ \(\lim v_n=2\).

Exercice 18

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(D_f=]-\infty,-1[\cup]-1,+\infty[\) par : \(f(x)=\dfrac{x^4}{x^3+x^2}\) pour \(x\neq-1\) et \(x\neq0\), et \(f(0)=0\). Soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.a) Calculer \(\lim\limits_{\substack{x\to-1\\x<-1}}f(x)\) et \(\lim\limits_{\substack{x\to-1\\x>-1}}f(x)\), puis interpréter géométriquement les résultats.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\neq0\) et \(x\neq-1\) : \(f(x)=\dfrac{x^4}{x^2(x+1)}=\dfrac{x^2}{x+1}\).

🔢 Étape 2 : En \(-1\) : numérateur \(x^2\to1>0\). Si \(x\to-1^-\), \(x+1\to0^-\) donc \(f(x)\to-\infty\). Si \(x\to-1^+\), \(x+1\to0^+\) donc \(f(x)\to+\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=-1\) est asymptote verticale.

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-(x-1)\right]\), puis interpréter géométriquement les résultats.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On a \(\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac1{x+1}\) (division euclidienne : \(x^2=(x+1)(x-1)+1\)).

🔢 Étape 2 : Donc \(f(x)-(x-1)=\dfrac1{x+1}\to0\) et \(f(x)\to+\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-(x-1)\right]=0\) : la droite \(y=x-1\) est asymptote oblique en \(+\infty\).

1.c) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=x-1+\dfrac1{x+1}\) avec \(\dfrac1{x+1}\to0\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).

1.d) Montrer que \((\mathcal C_f)\) admet au voisinage de \(-\infty\) une asymptote oblique dont on déterminera l’équation.

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(x-1)=\dfrac{1}{x+1}\to0\) quand \(x\to-\infty\).

✅ La droite \((D):y=x-1\) est asymptote oblique en \(-\infty\) (et aussi en \(+\infty\)).

2.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}\), puis interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Pour \(x\neq0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x}{x+1}\to0\).

✅ La limite vaut \(0\) : \(f\) est dérivable en \(0\) avec \(f'(0)=0\) ; \((\mathcal C_f)\) admet en \(O\) une tangente horizontale (l’axe des abscisses).

2.b) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in]-\infty,-1[\cup]-1,0[\cup]0,+\infty[\), puis vérifier que \(f'(x)=\dfrac{x^5(x+2)}{(x^3+x^2)^2}\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac{4x^3(x^3+x^2)-x^4(3x^2+2x)}{(x^3+x^2)^2}=\dfrac{4x^6+4x^5-3x^6-2x^5}{(x^3+x^2)^2}=\dfrac{x^6+2x^5}{(x^3+x^2)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{x^5(x+2)}{(x^3+x^2)^2}\).

2.c) Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(]-\infty,-1[\cup]-1,0[\cup]0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Le dénominateur \((x^3+x^2)^2\) est strictement positif et \(x^5\) a le signe de \(x\). Donc \(f'(x)\) a le signe de \(x(x+2)\).

✅ \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty,-2[\) et sur \(]0,+\infty[\) ; \(f'(x)<0\) sur \(]-2,-1[\cup]-1,0[\).

2.d) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(-2)=\dfrac{4}{-1}=-4\) et \(f(0)=0\).

🔢 Étape 2 : \(f\) croît de \(-\infty\) à \(-4\) sur \(]-\infty,-2]\) ; décroît de \(-4\) à \(-\infty\) sur \([-2,-1[\) ; décroît de \(+\infty\) à \(0\) sur \(]-1,0]\) ; croît de \(0\) à \(+\infty\) sur \([0,+\infty[\).

✅ Maximum local \(f(-2)=-4\), minimum local \(f(0)=0\).

2.e) Écrire l’équation réduite de la tangente à \((\mathcal C_f)\) au point \(x_0=0\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=0\) et \(f'(0)=0\).

✅ La tangente est la droite \(y=0\).

3.a) Vérifier que \(f(x)-(x-1)=\dfrac{x^2}{x^3+x^2}\), puis en déduire la position relative de la courbe \((\mathcal C_f)\) et de la droite \((D)\) d’équation \(y=x-1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)-(x-1)=\dfrac{x^4-(x-1)(x^3+x^2)}{x^3+x^2}=\dfrac{x^4-x^4+x^2}{x^3+x^2}=\dfrac{x^2}{x^3+x^2}=\dfrac1{x+1}\) pour \(x\neq0\).

🔢 Étape 2 : Signe de \(\dfrac1{x+1}\) : celui de \(x+1\). Au point \(x=0\) : \(f(0)-(0-1)=1>0\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est au-dessus de \((D)\) sur \(]-1,+\infty[\) et au-dessous sur \(]-\infty,-1[\).

3.b) Étudier l’intersection de la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\) et de la courbe \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\neq0\) et \(x\neq-1\) : \(f(x)=x\iff\dfrac{x^2}{x+1}=x\iff x^2=x^2+x\iff x=0\), ce qui est exclu.

🔢 Étape 2 : En \(x=0\) : \(f(0)=0\), donc le point \(O\) est commun.

✅ \((\Delta)\) et \((\mathcal C_f)\) se coupent en un seul point : l’origine \(O(0,0)\).

Exercice 19

Partie 1 Soit \(f\) la fonction numérique définie par : \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-4}+x}{x}\).

1.a) Déterminer \(D_f\), l’ensemble de définition de la fonction \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)\) existe \(\iff x^2-4\geq0\) et \(x\neq0\).

✅ \(D_f=]-\infty,-2]\cup[2,+\infty[\).

1.b) Trouver les limites de \(f\) aux bornes des intervalles de l’ensemble de définition \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)=1+\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x}\) et \(\sqrt{x^2-4}=|x|\sqrt{1-\frac4{x^2}}\).

🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x}=\sqrt{1-\frac4{x^2}}\to1\), donc \(f(x)\to2\).

🔢 Étape 3 : En \(-\infty\) : \(\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x}=-\sqrt{1-\frac4{x^2}}\to-1\), donc \(f(x)\to0\).

🔢 Étape 4 : En \(\pm2\) : \(f\) est continue et \(f(2)=\dfrac{0+2}{2}=1\), \(f(-2)=\dfrac{0-2}{-2}=1\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\) ; \(f(2)=f(-2)=1\).

2) Étudier les branches infinies de la courbe \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 D’après les limites en \(\pm\infty\).

✅ La droite \(y=2\) est asymptote horizontale en \(+\infty\) et la droite \(y=0\) (l’axe des abscisses) est asymptote horizontale en \(-\infty\).

3) Montrer que la courbe \((\mathcal C_f)\) admet un centre de symétrie \(\Omega(0,1)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\).

🔢 Étape 2 : \(f(x)-1=\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x}\) est une fonction impaire. Donc \(f(-x)+f(x)=2\times1\).

✅ \(\Omega(0,1)\) est un centre de symétrie de \((\mathcal C_f)\).

4) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(2\) à droite et interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x>2\) : \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x(x-2)}=\dfrac1x\sqrt{\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}}=\dfrac1x\sqrt{\dfrac{x+2}{x-2}}\).

🔢 Étape 2 : Quand \(x\to2^+\) : \(\dfrac{x+2}{x-2}\to+\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=+\infty\) : \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(2\) ; \((\mathcal C_f)\) admet au point \((2,1)\) une demi-tangente verticale.

5) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in]-\infty,-2[\cup]2,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=1+\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x}\), donc \(f'(x)=\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}\times x-\sqrt{x^2-4}}{x^2}=\dfrac{x^2-(x^2-4)}{x^2\sqrt{x^2-4}}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{4}{x^2\sqrt{x^2-4}}>0\).

Partie 2 Soit \(g\) la fonction numérique définie par : \(g(x)=f(x)\) si \(x\in]-\infty,-2]\cup[2,+\infty[\) et \(g(x)=\sqrt{4-x^2}+1\) si \(x\in]-2,2[\).

1.a) Déterminer \(D_g\), l’ensemble de définition de la fonction \(g\).

Correction détaillée

🔢 Sur \(]-\infty,-2]\cup[2,+\infty[\), \(g=f\) est définie ; sur \(]-2,2[\), \(4-x^2>0\).

✅ \(D_g=\mathbb R\).

1.b) Montrer que la restriction de \(g\) à l’intervalle \(]-2,2[\) est une fonction paire.

Correction détaillée

🔢 \(]-2,2[\) est symétrique par rapport à \(0\) et \(g(-x)=\sqrt{4-(-x)^2}+1=\sqrt{4-x^2}+1=g(x)\).

✅ La restriction de \(g\) à \(]-2,2[\) est paire.

2) Montrer que la fonction \(g\) est continue en \(2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g(2)=f(2)=1\).

🔢 Étape 2 : À gauche : \(\lim\limits_{x\to2^-}\left(\sqrt{4-x^2}+1\right)=1\). À droite : \(g=f\) est continue en \(2\) (à droite) avec \(\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=1\).

✅ \(g\) est continue en \(2\).

3) Étudier la dérivabilité de \(g\) en \(2\) à gauche et interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\in]-2,2[\) : \(\dfrac{g(x)-g(2)}{x-2}=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x-2}=-\dfrac{\sqrt{(2-x)(2+x)}}{2-x}=-\sqrt{\dfrac{2+x}{2-x}}\).

🔢 Étape 2 : Quand \(x\to2^-\) : \(\dfrac{2+x}{2-x}\to+\infty\).

✅ \(g\) n’est pas dérivable à gauche en \(2\) : \((\mathcal C_g)\) admet au point \((2,1)\) une demi-tangente verticale à gauche.

4) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in]-2,2[\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}\).

✅ \(g'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\).

5) Dresser le tableau de variations de \(g\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty,-2]\) : \(g=f\) est strictement croissante (\(f’>0\)) de \(0\) à \(g(-2)=1\).

🔢 Étape 2 : Sur \([-2,0]\) : \(g'(x)>0\), \(g\) croît de \(1\) à \(g(0)=3\). Sur \([0,2]\) : \(g'(x)<0\), \(g\) décroît de \(3\) à \(g(2)=1\).

🔢 Étape 3 : Sur \([2,+\infty[\) : \(g=f\) est strictement croissante de \(1\) à \(2\).

✅ Maximum \(g(0)=3\) ; \(g(\pm2)=1\).

Partie 3 Soit \(h\) la restriction de \(g\) à l’intervalle \([2,+\infty[\).

1) Montrer que la fonction \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(h=f\) sur \([2,+\infty[\) est continue et strictement croissante (\(f’>0\) sur \(]2,+\infty[\)).

🔢 Étape 2 : \(J=\left[h(2),\lim\limits_{+\infty}h\right[=[1,2[\).

✅ \(h\) est une bijection de \([2,+\infty[\) sur \(J=[1,2[\).

2) Montrer que la fonction \(h^{-1}\) est dérivable sur \(J\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(h\) est dérivable sur \(]2,+\infty[\) avec \(h’>0\) : donc \(h^{-1}\) est dérivable sur \(h(]2,+\infty[)=]1,2[\).

🔢 Étape 2 : En \(1\) : \(h\) admet une demi-tangente verticale en \((2,1)\) (question 4 de la partie 1). Sa symétrique par rapport à la droite \(y=x\), la courbe de \(h^{-1}\), admet donc en \((1,2)\) une demi-tangente horizontale : \(h^{-1}\) est dérivable (à droite) en \(1\) et \((h^{-1})'(1)=0\). (On le retrouve avec l’expression de la question 4.)

✅ \(h^{-1}\) est dérivable sur \(J=[1,2[\).

3) Dresser le tableau de variations de \(h^{-1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(h^{-1}\) a le même sens de variation que \(h\) : strictement croissante.

🔢 Étape 2 : \(h^{-1}(1)=2\) et \(\lim\limits_{x\to2^-}h^{-1}(x)=+\infty\).

✅ \(h^{-1}\) croît de \(2\) à \(+\infty\) sur \([1,2[\).

4) Calculer, pour tout \(x\in J\), \(h^{-1}(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(y\in[1,2[\) et \(x\geq2\) : \(y=1+\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x}\iff x(y-1)=\sqrt{x^2-4}\).

🔢 Étape 2 : En élevant au carré : \(x^2(y-1)^2=x^2-4\iff x^2\left[1-(y-1)^2\right]=4\iff x^2\,y(2-y)=4\).

🔢 Étape 3 : Comme \(x>0\) : \(x=\dfrac{2}{\sqrt{y(2-y)}}\).

✅ \(h^{-1}(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x(2-x)}}\) pour \(x\in[1,2[\).

Exercice 20

Soit \(f\) la fonction numérique d’une variable réelle \(x\) définie par : \(f(x)=x\left(\sqrt x-2\right)^2\). Soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.a) Déterminer \(D_f\), l’ensemble de définition de la fonction \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)\) existe \(\iff x\geq0\).

✅ \(D_f=[0,+\infty[\).

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt x-2\to+\infty\), donc \((\sqrt x-2)^2\to+\infty\), et \(x\to+\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

2) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à droite et interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=0\). Pour \(x>0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=(\sqrt x-2)^2\to4\).

✅ \(f\) est dérivable à droite en \(0\), \(f’_d(0)=4\) : \((\mathcal C_f)\) admet en \(O\) une demi-tangente de pente \(4\).

3.a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in D_f\setminus\{0\}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f=u\,v\) avec \(u=x\), \(v=(\sqrt x-2)^2\), \(v’=2(\sqrt x-2)\times\dfrac1{2\sqrt x}\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=(\sqrt x-2)^2+x\times\dfrac{\sqrt x-2}{\sqrt x}=(\sqrt x-2)^2+\sqrt x(\sqrt x-2)=(\sqrt x-2)(2\sqrt x-2)\).

✅ \(f'(x)=2(\sqrt x-2)(\sqrt x-1)=2x-6\sqrt x+4\) pour \(x>0\).

3.b) Étudier les variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)\) a le signe du produit \((\sqrt x-2)(\sqrt x-1)\) : positif si \(\sqrt x<1\) ou \(\sqrt x>2\), négatif si \(1<\sqrt x<2\).

🔢 Étape 2 : \(f(1)=1\times(1-2)^2=1\) et \(f(4)=4\times0=0\).

✅ \(f\) croît sur \([0,1]\) (de \(0\) à \(1\)), décroît sur \([1,4]\) (de \(1\) à \(0\)), puis croît sur \([4,+\infty[\) (de \(0\) à \(+\infty\)).

4.a) Calculer \(f »(x)\) pour tout \(x\in D_f\setminus\{0\}\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=2x-6\sqrt x+4\), donc \(f »(x)=2-\dfrac{6}{2\sqrt x}\).

✅ \(f »(x)=2-\dfrac3{\sqrt x}\).

4.b) Étudier la concavité de la courbe \((\mathcal C_f)\) et déterminer son point d’inflexion.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f »(x)=0\iff\sqrt x=\dfrac32\iff x=\dfrac94\). Pour \(0<x<\frac94\) : \(f »(x)<0\) ; pour \(x>\frac94\) : \(f »(x)>0\).

🔢 Étape 2 : \(f\left(\frac94\right)=\dfrac94\left(\dfrac32-2\right)^2=\dfrac94\times\dfrac14=\dfrac9{16}\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est concave sur \(\left]0,\frac94\right]\), convexe sur \(\left[\frac94,+\infty\right[\) ; point d’inflexion \(I\left(\dfrac94,\dfrac9{16}\right)\).

5) Étudier les branches infinies de la courbe \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{f(x)}{x}=(\sqrt x-2)^2\to+\infty\) quand \(x\to+\infty\).

✅ \(\lim f(x)=+\infty\) et \(\lim\dfrac{f(x)}{x}=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées \((Oy)\).

6.a) Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \([4,+\infty[\). Montrer que la fonction \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

🔢 \(g\) est continue et strictement croissante sur \([4,+\infty[\), donc bijective de \([4,+\infty[\) sur \([g(4),+\infty[\).

✅ \(J=[0,+\infty[\).

6.b) Calculer \(\left(g^{-1}\right)'(9)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g(9)=9\times(3-2)^2=9\), donc \(g^{-1}(9)=9\).

🔢 Étape 2 : \(g'(9)=2(3-2)(3-1)=4\neq0\), donc \(g^{-1}\) est dérivable en \(9\) et \(\left(g^{-1}\right)'(9)=\dfrac1{g'(9)}\).

✅ \(\left(g^{-1}\right)'(9)=\dfrac14\).

6.c) Calculer pour tout \(x\in J\) : \(g^{-1}(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(y\geq0\) et \(x\geq4\) (donc \(\sqrt x\geq2\)) : \(y=x(\sqrt x-2)^2=\left[\sqrt x(\sqrt x-2)\right]^2\). Comme \(\sqrt x(\sqrt x-2)\geq0\) : \(\sqrt y=\sqrt x(\sqrt x-2)\).

🔢 Étape 2 : Avec \(t=\sqrt x\geq2\) : \(t^2-2t-\sqrt y=0\), dont la racine \(\geq2\) est \(t=1+\sqrt{1+\sqrt y}\).

🔢 Étape 3 : Donc \(x=t^2=\left(1+\sqrt{1+\sqrt y}\right)^2\).

✅ \(g^{-1}(x)=\left(1+\sqrt{1+\sqrt x}\right)^2\) pour \(x\geq0\). (Vérification : \(g^{-1}(9)=(1+\sqrt{4})^2=9\).)

Exercice 21

Soit \(f\) la fonction numérique d’une variable réelle \(x\) définie par : \(f(x)=x-1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}\). Soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Déterminer \(D_f\), puis calculer \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\) et interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)\) existe \(\iff\dfrac{x}{x-1}\geq0\) et \(x\neq1\). Tableau de signes : \(\dfrac x{x-1}\geq0\) sur \(]-\infty,0]\cup]1,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : En \(1^+\) : \(\dfrac{x}{x-1}\to+\infty\), donc \(\sqrt{\dfrac x{x-1}}\to+\infty\) et \(f(x)=x-1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}\to-\infty\).

✅ \(D_f=]-\infty,0]\cup]1,+\infty[\) ; \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=-\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale.

2) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{1-\frac1x}\to1\) quand \(x\to\pm\infty\), donc \(\sqrt{\dfrac x{x-1}}\to1\).

🔢 Étape 2 : Donc \(f(x)\sim x\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

3.a) Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x-2\) est une asymptote oblique à la courbe \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(\pm\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(x-2)=1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}\to1-1=0\) quand \(x\to\pm\infty\).

✅ \((\Delta):y=x-2\) est asymptote oblique en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

3.b) Étudier les positions relatives de \((\mathcal C_f)\) et de la droite \((\Delta)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le signe de \(f(x)-(x-2)=1-\sqrt{\dfrac x{x-1}}\) est celui de \(1-\sqrt u\) avec \(u=\dfrac{x}{x-1}\).

🔢 Étape 2 : Si \(x>1\) : \(u>1\) (car \(x>x-1>0\)), donc \(\sqrt u>1\). Si \(x\leq0\) : \(0\leq u<1\) (car \(|x|<|x-1|\)), donc \(\sqrt u<1\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est au-dessous de \((\Delta)\) sur \(]1,+\infty[\) et au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-\infty,0]\).

4) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à gauche et interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(0)=-1\). Pour \(x<0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{x-\sqrt{\frac x{x-1}}}{x}=1-\dfrac1x\sqrt{\dfrac{-x}{1-x}}\).

🔢 Étape 2 : Or \(\dfrac1x\sqrt{-x}=-\dfrac{1}{\sqrt{-x}}\) : le quotient vaut \(1+\dfrac1{\sqrt{-x}\sqrt{1-x}}\), qui tend vers \(+\infty\) quand \(x\to0^-\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à gauche en \(0\) : \((\mathcal C_f)\) admet au point \((0,-1)\) une demi-tangente verticale.

5) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in D_f\) (intérieur de \(D_f\)), puis dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On pose \(u=\dfrac{x}{x-1}\) : \(u’=\dfrac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=\dfrac{-1}{(x-1)^2}\) et \(f’=1-\dfrac{u’}{2\sqrt u}\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=1+\dfrac{1}{2(x-1)^2\sqrt{\frac x{x-1}}}>0\).

🔢 Étape 3 : Variations : sur \(]-\infty,0]\), \(f\) croît de \(-\infty\) à \(f(0)=-1\). Sur \(]1,+\infty[\), \(f\) croît de \(-\infty\) à \(+\infty\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty,0]\) et sur \(]1,+\infty[\).

6) Montrer que la courbe \((\mathcal C_f)\) coupe l’axe des abscisses en un seul point dont l’abscisse \(\alpha\) vérifie \(2<\alpha<\dfrac52\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty,0]\) : \(f(x)\leq f(0)=-1<0\) : pas de solution.

🔢 Étape 2 : Sur \(]1,+\infty[\) : \(f\) est continue, strictement croissante, de limites \(-\infty\) et \(+\infty\) : une unique solution \(\alpha\).

🔢 Étape 3 : \(f(2)=1-\sqrt2<0\) et \(f\left(\frac52\right)=\frac32-\sqrt{\frac53}>0\) car \(\frac53<\frac94\). D’après le TVI et la monotonie : \(2<\alpha<\frac52\).

✅ \((\mathcal C_f)\) coupe l’axe des abscisses en un unique point d’abscisse \(\alpha\in\left]2,\frac52\right[\).

7.a) Soit \(g\) la restriction de la fonction \(f\) à l’intervalle \(I=]1,+\infty[\). Montrer que la fonction \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

🔢 \(g\) est continue et strictement croissante sur \(]1,+\infty[\) avec \(\lim_{1^+}g=-\infty\) et \(\lim_{+\infty}g=+\infty\).

✅ \(g\) réalise une bijection de \(]1,+\infty[\) sur \(J=\mathbb R\).

7.b) Calculer \(g^{-1}(0)\), puis montrer que \(\left(g^{-1}\right)'(0)=\dfrac{2(\alpha-1)^3}{1+2(\alpha-1)^3}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g(\alpha)=0\) avec \(\alpha\in I\), donc \(g^{-1}(0)=\alpha\).

🔢 Étape 2 : \(\left(g^{-1}\right)'(0)=\dfrac1{g'(\alpha)}\) avec \(g'(\alpha)=1+\dfrac{1}{2(\alpha-1)^2\sqrt{\frac\alpha{\alpha-1}}}\).

🔢 Étape 3 : Comme \(g(\alpha)=0\) : \(\alpha-1=\sqrt{\dfrac\alpha{\alpha-1}}\). Donc \(g'(\alpha)=1+\dfrac1{2(\alpha-1)^3}=\dfrac{2(\alpha-1)^3+1}{2(\alpha-1)^3}\).

✅ \(g^{-1}(0)=\alpha\) et \(\left(g^{-1}\right)'(0)=\dfrac{2(\alpha-1)^3}{1+2(\alpha-1)^3}\).

Exercice 22

Soit \(f\) la fonction numérique d’une variable réelle \(x\) définie par : \(f(x)=\sqrt[3]{2x^2-x^3}\). Soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.a) Déterminer \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)\) existe \(\iff2x^2-x^3\geq0\iff x^2(2-x)\geq0\iff x\leq2\).

✅ \(D_f=]-\infty,2]\).

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=\sqrt[3]{x^2(2-x)}\) : \(x^2\to+\infty\) et \(2-x\to+\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\).

2) Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=-x+\dfrac23\) est une asymptote oblique à la courbe \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On utilise \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) avec \(a=f(x)\), \(b=x\) : \(a^3+b^3=2x^2-x^3+x^3=2x^2\).

🔢 Étape 2 : Donc, pour \(x\neq0\) : \(f(x)+x=\dfrac{2x^2}{f(x)^2-xf(x)+x^2}=\dfrac{2}{\left(\frac{f(x)}x\right)^2-\frac{f(x)}x+1}\).

🔢 Étape 3 : Pour \(x<0\) : \(\dfrac{f(x)}{x}=-\sqrt[3]{1-\dfrac2x}\to-1\). Donc \(f(x)+x\to\dfrac{2}{1+1+1}=\dfrac23\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(-x+\frac23\right)\right]=0\) : \((\Delta)\) est asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).

3) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(2\) à gauche et en \(0\), et interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(2\) à gauche : \(f(2)=0\) et pour \(x<2\) : \(\dfrac{f(x)}{x-2}=\dfrac{\sqrt[3]{x^2(2-x)}}{-(2-x)}=-\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{(2-x)^2}}\to-\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(0\) : \(f(0)=0\) et \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\sqrt[3]{x^2(2-x)}}{x}\).

🔢 Étape 3 : Pour \(x>0\) : \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\sqrt[3]{2-x}}{\sqrt[3]{x}}\to+\infty\). Pour \(x<0\) : \(\dfrac{f(x)}{x}=-\dfrac{\sqrt[3]{2-x}}{\sqrt[3]{|x|}}\to-\infty\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à gauche en \(2\) : demi-tangente verticale en \((2,0)\). \(f\) n’est pas dérivable en \(0\) : la tangente est verticale avec des pentes \(-\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite : c’est un point de rebroussement.

4) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in D_f\setminus\{0,2\}\), puis dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)=\left(2x^2-x^3\right)^{1/3}\), donc \(f'(x)=\dfrac{4x-3x^2}{3\sqrt[3]{(2x^2-x^3)^2}}=\dfrac{x(4-3x)}{3\sqrt[3]{(2x^2-x^3)^2}}\).

🔢 Étape 2 : Le dénominateur est strictement positif sur \(D_f\setminus\{0,2\}\) : le signe est celui de \(x(4-3x)\).

🔢 Étape 3 : \(f\left(\frac43\right)=\sqrt[3]{\frac{32}{9}-\frac{64}{27}}=\sqrt[3]{\frac{32}{27}}=\dfrac{2\sqrt[3]4}{3}\).

✅ \(f'(x)<0\) sur \(]-\infty,0[\) ; \(f'(x)>0\) sur \(\left]0,\frac43\right[\) ; \(f'(x)<0\) sur \(\left]\frac43,2\right[\). \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(0\) sur \(]-\infty,0]\), croît de \(0\) à \(\frac{2\sqrt[3]4}3\) sur \(\left[0,\frac43\right]\), puis décroît jusqu’à \(f(2)=0\) sur \(\left[\frac43,2\right]\).

5.a) Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(I=\left[0;\dfrac43\right]\). Montrer que \(g\) réalise une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

🔢 \(g\) est continue et strictement croissante sur \(\left[0,\frac43\right]\).

✅ \(J=g(I)=\left[0,\dfrac{2\sqrt[3]4}{3}\right]\).

5.b) Calculer \(\left(g^{-1}\right)'(1)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(1\in J\) car \(\frac{2\sqrt[3]4}3\approx1{,}06\). \(g(1)=\sqrt[3]{2-1}=1\), donc \(g^{-1}(1)=1\).

🔢 Étape 2 : \(g'(1)=\dfrac{1\times1}{3\times1}=\dfrac13\neq0\), donc \(g^{-1}\) est dérivable en \(1\) et \(\left(g^{-1}\right)'(1)=\dfrac1{g'(1)}\).

✅ \(\left(g^{-1}\right)'(1)=3\).

Exercice 23

Soit \(f\) une fonction telle que : \(f(x)=\dfrac{x^3+x^2-x-1}{x^2}\), et \((\mathcal C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.

1) Montrer que \(D_f=]-\infty,0[\cup]0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)\) existe \(\iff x^2\neq0\).

✅ \(D_f=\mathbb R^*\).

2) Calculer \(\lim\limits_{x\to0}f(x)\), puis interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 Numérateur en \(0\) : \(0+0-0-1=-1\). Dénominateur \(x^2\to0^+\).

✅ \(\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty\) : l’axe des ordonnées est asymptote verticale.

3) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 En \(\pm\infty\), \(f(x)\) a la même limite que son terme de plus haut degré au numérateur divisé par \(x^2\) : \(\dfrac{x^3}{x^2}=x\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).

4.a) Montrer que \(\forall x\in D_f,\ f(x)=x+1-\dfrac{x+1}{x^2}\).

Correction détaillée

🔢 \(x+1-\dfrac{x+1}{x^2}=\dfrac{x^2(x+1)-(x+1)}{x^2}=\dfrac{x^3+x^2-x-1}{x^2}\).

✅ L’égalité est vérifiée pour tout \(x\neq0\).

4.b) Montrer que la droite \((\Delta):y=x+1\) est une asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(+\infty\) et \(-\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(x+1)=-\dfrac{x+1}{x^2}\), et \(\dfrac{x+1}{x^2}\to0\) quand \(x\to\pm\infty\).

✅ \((\Delta)\) est asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

5.a) Montrer que \(\forall x\in D_f,\ f'(x)=\dfrac{x(x+1)(x^2-x+2)}{x^4}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)=x+1-(x+1)x^{-2}\), donc \(f'(x)=1-x^{-2}+2(x+1)x^{-3}=1+\dfrac{x+2}{x^3}\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{x^3+x+2}{x^3}\) et \(x^3+x+2=(x+1)(x^2-x+2)\) (en développant : \(x^3-x^2+2x+x^2-x+2\)).

✅ \(f'(x)=\dfrac{(x+1)(x^2-x+2)}{x^3}=\dfrac{x(x+1)(x^2-x+2)}{x^4}\).

5.b) Étudier le signe de \(f'(x)\), puis dresser le tableau de variations.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^2-x+2>0\) (discriminant \(1-8=-7<0\)) et \(x^4>0\) : \(f'(x)\) a le signe de \(x(x+1)\).

🔢 Étape 2 : \(f(-1)=0\).

✅ \(f’>0\) sur \(]-\infty,-1[\) et \(]0,+\infty[\) ; \(f'<0\) sur \(]-1,0[\). \(f\) croît de \(-\infty\) à \(0\) sur \(]-\infty,-1]\), décroît de \(0\) à \(-\infty\) sur \([-1,0[\), puis croît de \(-\infty\) à \(+\infty\) sur \(]0,+\infty[\).

6) Montrer que \(\forall x\in D_f,\ f »(x)=\dfrac{-2(x+3)}{x^4}\) et étudier la concavité de \((\mathcal C_f)\), puis en déduire que \((\mathcal C_f)\) admet un point d’inflexion \(I\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=1+(x+2)x^{-3}\), donc \(f »(x)=x^{-3}-3(x+2)x^{-4}=\dfrac{x-3x-6}{x^4}=\dfrac{-2(x+3)}{x^4}\).

🔢 Étape 2 : Signe : celui de \(-(x+3)\) (car \(x^4>0\)) ; \(f(-3)=\dfrac{(-2)^2\times(-4)}{9}=-\dfrac{16}9\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est convexe sur \(]-\infty,-3]\) et concave sur \([-3,0[\) et sur \(]0,+\infty[\) ; point d’inflexion \(I\left(-3,-\dfrac{16}9\right)\).

7) Étudier la position relative de \((\mathcal C_f)\) et de \((\Delta)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(x+1)=-\dfrac{x+1}{x^2}\) a le signe de \(-(x+1)\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-\infty,-1[\), au-dessous sur \(]-1,0[\cup]0,+\infty[\), et ils se coupent au point \((-1,0)\).

8) Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal C_f)\) au point d’abscisse \(1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(1)=\dfrac{1+1-1-1}{1}=0\) et \(f'(1)=\dfrac{2\times2}{1}=4\).

🔢 Étape 2 : \(y=4(x-1)+0\).

✅ \((T):\ y=4x-4\).

Exercice 24

On considère les fonctions \(g\) et \(f\) suivantes.

Partie 1 Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par : \(g(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).

1) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{|x|\sqrt{1+\frac1{x^2}}}\), qui tend vers \(1\) en \(+\infty\) et vers \(-1\) en \(-\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=2\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=0\).

2) Vérifier que \(g'(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\dfrac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\).

✅ \(g'(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\).

3) En déduire que \(\forall x\in\mathbb R,\ g(x)>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g'(x)>0\) : \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), et \(\lim\limits_{-\infty}g=0\).

🔢 Étape 2 : Une fonction strictement croissante est strictement supérieure à sa limite en \(-\infty\).

✅ \(g(x)>0\) pour tout réel \(x\).

Partie 2 Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=x-1+\sqrt{x^2+1}\).

1) Vérifier que pour tout \(x\) réel on a : \(f'(x)=g(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).

✅ \(f'(x)=g(x)\).

2) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=g(x)>0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\) et \(\lim\limits_{-\infty}f=-1\) (question suivante).

✅ \(f\) croît de \(-1\) à \(+\infty\).

3) Montrer que \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-1\) et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)+1=x+\sqrt{x^2+1}=\dfrac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}-x}=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}-x}\).

🔢 Étape 2 : Quand \(x\to-\infty\) : \(\sqrt{x^2+1}-x\to+\infty\).

✅ \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-1\) : la droite \(y=-1\) est asymptote horizontale à \((\mathcal C_f)\) en \(-\infty\).

4) Montrer que la droite \((D):y=2x-1\) est une asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(2x-1)=\sqrt{x^2+1}-x=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to0\) quand \(x\to+\infty\).

✅ \((D):y=2x-1\) est asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) en \(+\infty\).

Exercice 25

1) On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=4x^3-48x^2+144x\).

1.a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=12x^2-96x+144=12\left(x^2-8x+12\right)\).

🔢 Étape 2 : Le trinôme \(x^2-8x+12\) a pour racines \(2\) et \(6\) (somme \(8\), produit \(12\)).

✅ \(f'(x)=12(x-2)(x-6)\).

1.b) Déterminer son signe sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Un trinôme est du signe du coefficient dominant (positif) à l’extérieur des racines.

✅ \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty,2[\cup]6,+\infty[\) ; \(f'(x)<0\) sur \(]2,6[\) ; \(f'(2)=f'(6)=0\).

1.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(2)=32-192+288=128\) et \(f(6)=864-1728+864=0\).

🔢 Étape 2 : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

✅ \(f\) croît de \(-\infty\) à \(128\) sur \(]-\infty,2]\), décroît de \(128\) à \(0\) sur \([2,6]\), puis croît de \(0\) à \(+\infty\) sur \([6,+\infty[\).

1.d) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \([0,20]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(0)=0\) et \(f(20)=32000-19200+2880=15680\).

🔢 Étape 2 : On restreint le tableau précédent à \([0,20]\).

✅ Sur \([0,20]\) : \(f\) croît de \(0\) à \(128\) sur \([0,2]\), décroît de \(128\) à \(0\) sur \([2,6]\), puis croît de \(0\) à \(15680\) sur \([6,20]\).

2) Un fabricant des boîtes en carton envisage la production de boîtes de pâtisseries de forme parallélépipédique rectangle tel que chaque boîte : sa hauteur est de longueur \(x\) cm (avec \(0<x<6\)) ; sa base est de la forme d’un carré dont la longueur du côté est : \(12-2x\) cm.

2.a) Vérifier que \(V(x)\), le volume de chaque boîte en fonction de \(x\), est : \(V(x)=4x^3-48x^2+144x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Volume = aire de la base \(\times\) hauteur \(=(12-2x)^2\times x\).

🔢 Étape 2 : \((12-2x)^2=144-48x+4x^2\), donc \(V(x)=144x-48x^2+4x^3\).

✅ \(V(x)=4x^3-48x^2+144x\).

2.b) Donner la valeur de \(x\) qui correspond à un volume maximal.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(V=f\) sur \(]0,6[\). D’après le tableau de variations : \(V\) croît sur \(]0,2]\) puis décroît sur \([2,6[\).

🔢 Étape 2 : Le maximum est donc atteint en \(x=2\) : \(V(2)=128\).

✅ Le volume est maximal pour \(x=2\) cm (base carrée de côté \(8\) cm) ; \(V_{\max}=128\ \text{cm}^3\).

Exercice 26

1) On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}\) par : \(f(x)=2x+4+\dfrac8x\).

1.a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb R^*\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=2-\dfrac8{x^2}=\dfrac{2x^2-8}{x^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x^2}\).

1.b) Déterminer son signe sur \(\mathbb R^*\).

Correction détaillée

🔢 \(x^2>0\) : le signe est celui de \((x-2)(x+2)\).

✅ \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty,-2[\cup]2,+\infty[\) ; \(f'(x)<0\) sur \(]-2,0[\cup]0,2[\).

1.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb R^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(-2)=-4+4-4=-4\) et \(f(2)=4+4+4=12\).

🔢 Étape 2 : \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\), \(\lim\limits_{\pm\infty}f=\pm\infty\).

✅ \(f\) croît sur \(]-\infty,-2]\) (jusqu’à \(-4\)), décroît sur \([-2,0[\) et sur \(]0,2]\) (jusqu’à \(12\)), puis croît sur \([2,+\infty[\).

1.d) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \([0{,}5;4]\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0{,}5)=1+4+16=21\), \(f(2)=12\), \(f(4)=8+4+2=14\).

✅ Sur \([0{,}5;4]\) : \(f\) décroît de \(21\) à \(12\) sur \([0{,}5;2]\), puis croît de \(12\) à \(14\) sur \([2;4]\).

1.e) Donner l’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point \(x_0=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(1)=2+4+8=14\) et \(f'(1)=2-8=-6\).

🔢 Étape 2 : \(y=-6(x-1)+14\).

✅ \(y=-6x+20\).

2) On se propose de construire un réservoir en tôle de forme parallélépipédique rectangle dont le volume intérieur soit \(4\ \text{m}^3\). Le nombre \(h\) est la mesure de la hauteur de ce parallélépipède rectangle et sa base a un côté mesure \(x\) m et l’autre pour longueur \(2\) m.

2.a) Déduire des informations données une relation entre \(h\) et \(x\).

Correction détaillée

🔢 Volume \(=\) aire de la base \(\times\) hauteur : \(2x\times h=4\).

✅ \(h=\dfrac2x\).

2.b) Montrer que la somme des aires des faces du parallélépipède rectangle (sans le couvercle) en fonction de \(x\) s’écrit : \(S(x)=2x+4+\dfrac8x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Faces : la base (\(2x\)), deux faces de dimensions \(x\times h\) (aire totale \(2xh\)) et deux faces de dimensions \(2\times h\) (aire totale \(4h\)).

🔢 Étape 2 : \(S=2x+2xh+4h\). Avec \(h=\frac2x\) : \(2xh=4\) et \(4h=\frac8x\).

✅ \(S(x)=2x+4+\dfrac8x\).

2.c) Déterminer les valeurs de \(x\) et de \(h\) qui correspondent à une aire minimale.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x>0\), \(S=f\). D’après le tableau de la question 1 : \(S\) décroît sur \(]0,2]\) puis croît sur \([2,+\infty[\) : minimum en \(x=2\).

🔢 Étape 2 : \(S(2)=12\) et \(h=\dfrac22=1\).

✅ Aire minimale \(12\ \text{m}^2\) pour \(x=2\) m et \(h=1\) m.

Exercice 27

Un cylindre de révolution de rayon \(x\) cm est inscrit dans un cône de révolution de rayon \(10\) cm et de hauteur \(30\) cm. Le volume de ce cylindre, exprimé en \(\text{cm}^3\), est donné par la formule suivante : \(V(x)=30\pi x^2\left(1-\dfrac x{10}\right)\) où \(0\leq x\leq10\).

1) Déterminer \(x\) pour que le volume du cylindre soit maximal.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(V(x)=30\pi x^2\left(1-\dfrac{x}{10}\right)=30\pi x^2-3\pi x^3\) sur \([0,10]\).

🔢 Étape 2 : \(V'(x)=60\pi x-9\pi x^2=3\pi x(20-3x)\) : positive sur \(\left]0,\frac{20}3\right[\), négative sur \(\left]\frac{20}3,10\right[\).

🔢 Étape 3 : \(V(0)=V(10)=0\) et \(V\left(\frac{20}3\right)=30\pi\times\frac{400}9\times\frac13=\frac{4000\pi}{9}\).

✅ Le volume est maximal pour \(x=\dfrac{20}{3}\approx6{,}67\) cm ; \(V_{\max}=\dfrac{4000\pi}{9}\approx1396\ \text{cm}^3\).