Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 17Durée de l’épreuve 3hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3.25 points )
* Nombres complexes (4.5 points )
* Calcule d’Intégrale (3.25 points ) * Etude d’une fonction numérique (10 points ) * Suite Numérique (3.25 points )On considère la suite ((u_{n})_{n ∈IN *}) définie par: ({begin{array}{l}u_{1}=-1 \ u_{n+1}=frac{1+u_{n}}{3-u_{n}} : ∀ n ∈IN* end{array}.)1. a) Vérifier que:∀ n ∈IN* : (1-u_{n+1}=frac{2(1-u_{n})}{2+(1-u_{n})})b) Montrer par récurrence que ∀ n ∈IN* : (1-u_{n}≥ 0)c) Vérifier que:∀ n ∈IN*: (u_{n+1}-u_{n}=frac{(u_{n}-1)^{2}}{2+(1-u_{n})},)puis montrer que la suite ((u_{n})_{n ∈IN*}) est croissante.d) En déduire que la suite ((u_{n})_{n ∈IN*}) est convergente.2. On considère la suite ((v_{n})) définie sur IN*par:(v_{n}=frac{2}{1-u_{n}})a) Montrer que∀ n ∈IN* : (v_{n+1}=frac{3-u_{n}}{1-u_{n}})et en déduire que ((v_{n})_{n ∈IN *}) est arithmétique de raison (r=1)b) Exprimer (v_{n}) en fonction de (n)c) Déduire alors, que pour tout (n ∈IN ^{*}: u_{n}=1-frac{2}{n})d) Déterminer (lim _{n➝+∞} u_{n}) * Nombres complexes (4.5 points )1. Résoudre dans C l’équation: (z^{2}+z+1=0)2. On considère dans le plan complexe ((P) )rapporté à un repère orthonormé direct ((O, vec{u}, vec{v}))les points (A,) et (B) d’affixes respectives (a) et (b)tel que: (b=(-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2} i)a)a) Écrire (-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2} i) sous forme trigonométrique.b) Montrer que:((overrightarrow{OA}, overrightarrow{OB}) equiv frac{2 π}{3}[2 π]) et que (OA=OB)c) En déduire la nature du triangle OAB.3. Soit (R) la rotation de centre (O) et d’angle (frac{2 π}{3})et (C(c)) l’image de (B(b)) par la rotation (R)a) Montrer que: (c=(-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2} i) b)b) En déduire que: (OB^{2}=OA × OC)4. Soit (T) la translation de vecteur (overrightarrow{OA})et (B(b)) l’image de (C(c)) par la translation (T)a) Montrer que: (a=b-c)b) En déduire que: OABCest un losange. * Calcule d’Intégrale (3.25 points )1. Montrer que:la fonction (H x➝ ln (x+1)-x) est une fonction primitive de la fonction: (h x ➝ -frac{x}{x+1}) sur [0,2]2. a) Vérifier que: (frac{x^{2}}{x+1}=x-frac{x}{x+1})b) Calculer (I=int_{0}^{2} frac{x^{2}}{x+1} d x)c) On pose (J=int_{0}^{2} x ln (x+1) d x)En utilisant une intégration par partie montrer que: (J=frac{3}{2} I) * Etude d’une fonction numérique (10 points )Partie I: fonctions auxiliairesOn considère les deux fonctions (g) et (h) définies sur ]0,+∞[ par:(g(x)=x-ln (x)) et ( h(x)=x-x^{2}+xln(x))et soit (C_{h}) la courbe de la fonction (h)dans un repère orthonormé ((o, vec{i}, vec{j}))
1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation (h(x)=0)
2. Montrer que: ∀ x∊] 0,+∞[ ; h(x) ≤ 0)3. Vérifier que: ∀ x∊] 0,+∞[ : h(x)=x(1-g(x)))4. En déduire que: ∀ x∊] 0,+∞[ : g(x)>0) Partie II: Étude d’une fonctionOn considère la fonction (f) définie par:({begin{array}{l}f(x)=frac{x}{x-ln (x)}, x≠0 \f(0)=0end{array}.)et ((C_{f})) sa courbe dans un repère orthonormé ((o,vec{i}, vec{j}))tel que: ((||vec{i} ||=||vec{j}||=2 cm))1. Montrer que: (D_{f}=[0,+∞[)2. Étudier la continuité de (f) à droite au point 0.3. Montrer que (f) est dérivable à droite en 0puis interpréter graphiquement le résultat4. Montrer que: (lim _{x➝+∞} f(x)=1)puis interpréter graphiquement le résultat.5. (a) Montrer que ∀ x∊]0,+∞[ : (f ‘(x)=frac{1-ln (x)}{(g(x))^{2}})b) Montrer que (f) est croissante sur l’intervalle [0, e[et décroissante sur l’intervalle [e,+∞[c) Dresser le tableau de variation de (f) sur ]0,+∞[6. Montrer que la droite ((Δ)) d’équation y=x est tangenteà la courbe ((C_{f})) au point d’abscisse 1.7. a) Montrer que ∀ x∊] 0,+∞[ : (f(x)-x=frac{h(x)}{g(x)})b) Montrer que la droite ((Δ)) coupe la courbe ((C_{f}))aux deux points d’abscisses x=0 et x=1.c) Montrer que ((C_{f})) se situe au dessous de ((Δ)) sur l’intervalle [0,+∞[8. Construire la droite ((Δ)) et la courbe ((C_{f})) dans le repère ((O,vec{i},vec{j}))9. (a) Montrer que la fonction (f) admet sur l’intervalle ([0,e[une fonction réciproque (f) définie sur un intervalle (J) que l’on déterminera.b) Donner le tableau de variation de la fonction (f^{-1}) sur (J)c) Montrer que (f^{-1}) est dérivable en 1 et que: ((f^{-1}) ‘(1)=1).
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