Entraînement
Exercice 1
Déterminer le signe de chacun des nombres suivants :
((-4,0304)^{4} ;-(-frac{5}{9})^{4} ; 314^{34} ;(-2016,2017)^{8} ; 27^{-9}).
Exercice 2
Effectuer les calculs suivants:
A=(frac{6^{2}× 4^{2}}{10^{2}})
B=(3^{3}-6× 4+8)
C=(2^{2}+3× 6+6^{2}-(4^{2}-6^{2}))
D=((4^{2}+6)^{-1}× 3×(3^{2}+1))
Exercice 3
Effectuer les calculs suivants:
A=((-6)^{2}+2× 5+9:(-3))
B=(-6^{2}+2×(5+9):(-3))
C=(-6^{2}+(2× 5+9):(-3))
D=(-(6^{2}+2)× 5+[9:(-3)])
E=(-(6^{2}+2)×(5+9):(-3)])
Exercice 4
Effectuer les calculs suivants:
F=(2-3× 4^{2}-(5-7)^{3})
G=((2^{3}+4)^{-1}× 2×(3^{2}-1))
H=(3^{2}-6× 2-7^{0})
I=(2^{3}+3× 4+4^{2}-(2^{2}+5^{2}))
Exercice 5
Simplifier :
J=(6^{2}×(-6)^{5}× frac{(-6)^{4}}{(-6)^{2}}×(6^{-2})^{-2})
K =((frac{5}{3})^{-2}×(frac{-5}{3})^{-3}×(frac{25}{9})^{-1})
L=(2^{5}× 8^{15}× 1,25× 10^{-15}× 10^{170})
Exercice 6
a est un nombre réel négatif non nul.
Déterminer le signe de chacun des réels suivants:
(a^{5}, a^{3}, a^{-4}, a^{-7},-a^{3} text { et }(-a)^{9} text {. })
Exercice 7
a est un nombre réel non nul.
Ecrire sous forme d’une seule puissance:
A=(frac{a^{6}× a^{-6}}{a^{-7}})
B=(frac{a^{-13}}{a^{-4}× a^{-7}})
C=(frac{a^{4}×(a^{-4})^{4}}{a^{-13}× a^{16}})
D=(frac{a^{-8}× a^{-12}}{(a^{-2})^{3}×(a× a^{-3})^{-1}})
Exercice 8
a et b sont deux nombres réels non nuls.
Simplifier:
Q=((3 a )^{2}×(frac{1}{3})^{3}×(frac{ a }{3})^{-2})
R=((frac{3}{ a })^{3}×( ab )^{-3}×(frac{1}{ a ^{-1}})^{-2})
S=((3 a )^{3}×(frac{1}{ a })^{2}×(frac{ a }{3})^{4})
T=((3 a )^{-2}×[(frac{ a }{3})^{-2}]^{3}×[(2 a )^{2}]^{-1})
Exercice 9
(a) et (b) sont deux nombres réels non nuls.
Simplifier:
U=([ a ^{3}×( a ^{-2})^{-1}]^{-2}×( a ^{-3}× a ^{4})^{2})
V=(frac{( a ^{-1}× b )^{-2}× a ^{2}× b ^{-4}}{( a ^{3}× b ^{2})^{-2}×( b ^{-3})^{-4}})
W=(frac{( ab )^{4}}{ a ^{-2} b ^{-1}}: frac{( a ^{4} b ^{-3})^{-1}}{ a ^{2} b ^{-3}})
X=(frac{(2 a ^{-2} b ^{-3})^{-2}}{(3 a ^{3} b )^{2}})
Exercice 10
Calculer:
A=((-frac{1}{3})^{4}+(frac{1}{3})^{-2})
B=([1-(frac{1}{3}+2^{-1})]^{-2})
C=((frac{1}{3})^{-3}+[(frac{1}{2})^{-2}+(frac{1}{3})^{-2}]^{-1})
D=(3^{2}-(frac{-2}{3})^{-2}+(-1)^{2019}×(frac{5}{3})^{-3})
Exercice 11
Simplifier :
E=([frac{3^{6}×(24)^{-2}}{18^{3}×(2^{-3})}]^{-4})
F=([frac{((5^{7})^{2}× 3^{-4})^{-1}}{3^{-5}×(5^{2}× 3^{-1})^{-1}}]^{-2})
G=([frac{4^{-3}× 15^{-4}×(3^{-2})^{-1}}{(3^{-2})^{3}× 12^{4}× 5^{-4}}]^{4})
Exercice 12
(0,007=7× 10^ldots)
(20,16=2016× 10^ldots)
(0,0002017=ldots× 10^{-4})
(195,7=ldots× 10^{-2})
Approfondissement
Série 1
Exercice 1 :
a un nombre réel:
Ecrire chaque produit sous la forme (a^{n}) où (n) est un entier relatif
(M=16× 2^{-3} ; N=81× 3^{6})
(O=(10^{-3})^{-4}× 10000× 10^{5}× 0,001)
(P=135× 15× 45)
Exercice 2:
Montrer que : (64^{20}=32^{24} .)
(n) est un nombre entier naturel impair.
Calculer (E=2^{3}(-1)^{n+1}-(-3)^{2}(-1)^{n})
Exercice 3:
Déterminer l’entier relatif (n) dans chacun des cas suivants :
1) (9^{2n}=3^{4})
2) (2^{n+1}=frac{1}{8})
3) ((frac{1}{125})^{n}=5^{-2 n}× 125)
Exercice 4 :
a est un nombre réel négatif non nul.
Déterminer le signe de chacun des réels suivants :
(a^{5}, a^{8}, a^{-4}, a^{-7},-a^{3} text { et }(-a)^{9})
Exercice 5:
Recopier et compléter chaque égalité :
((3^{-6}) cdots=3^{18})
(a^{18}× a^{-3}=a^{-3})
((ldots a)^{3}=-27 a^{cdots})
(4^{-x}× 4^{-2}=1 ; frac{a^{-8}}{a^{-m}}=a^{2})
((ldots )^{2}=169 a^{4})
(frac{2^{-4}× 2^{-cdots}}{2^{5}}=2^{-7})
((7^{7})^{-3}× 7^{cdots }=7^{-14})
Exercice 6:
a et b sont deux nombres réels non nuls.
On donne:
(E=frac{(a^{2} b^{-1})^{-2}×(a^{-3} b^{2})^{-3}× a^{4}}{(a×(b^{2})^{-2})^{-1}×(a^{2} b)^{3}})
1) Simplifier E.
2) Calculer E lorsque : (a=10^{3}) et (b=0,0001)
Exercice 7:
a est un nombre réel non nul.
Ecrire sous forme d’une seule puissance:
(A=frac{a^{6}× a^{-8}}{a^{-7}})
(B=frac{a^{-13}}{a^{-4}× a^{-7}})
(C=frac{a^{4}×(a^{-4})^{4}}{a^{-13}× a^{16}})
(D=frac{a^{-8}× a^{-12}}{(a^{-2})^{3}×(a× a^{-3})^{-1}})
Exercice 8 :
a et b sont deux nombres réels non nuls.
Simplifier:
Q=((3 a)^{2}×(frac{1}{3})^{3}×(frac{a}{3})^{-2})
R=((frac{3}{a})^{3}×(a (b)^{-3}×(frac{1}{a^{-1}})^{-2})
S=((3 a)^{3}×(frac{1}{a})^{2}×(frac{a}{3})^{4})
T=((3 a)^{-2}×[(frac{a}{3})^{-2}]^{3}×[(2 a)^{2}]^{-1})
Exercice 9:
a et b sont deux nombres réels non nuls. Simplifier:
(u=[a^{3}×(a^{-2})^{-1}]^{-2}×(a^{-3}× a^{4})^{2} ; v=frac{(a^{-1}× b)^{-2}× a^{2}× b^{-4}}{(a^{3}× b^{2})^{-2}×(b^{-3})^{-4}})
(w=frac{(a b)^{4}}{a^{-2} b^{-1}}: frac{(a^{4} b^{-3})^{-1}}{a^{2} b^{-3}} ; ) (x=frac{(2 a^{-2} b^{-3})^{-2}}{(3 a^{3} b)^{2}})
Exercice 10:
Sachant que:
(a^{3}=13824) et (a^{5}=7962624)
1) Déterminer (a^{2}) et (a^{6}) sans calculer (a).
2) En déduire a .
Exercice 11:
Calculer:
a=((frac{9}{4})^{2018}×(frac{16}{36})^{2018})
b=([(frac{5}{3})^{2}+(frac{3}{7})^{-2}]^{-1})
Montrer que :
([frac{(3 sqrt{5})^{2}}{135}]^{-2}=9)
Série 2
Exercice 12:
Calculer :
a=((2^{-2}+frac{3}{4})^{100})
b=(2^{-2}×(2,5)^{5}× 5^{-3}× 4^{5})
c=(frac{7^{-n+1}× 7^{n}}{7^{3 n}}×(343)^{n})
Exercice 13:
On donne: ( E=frac{(a^{3} b^{-3})^{4}}{[(a^{-2})^{-5} b^{3}]^{-2}})
a – Montrer que : (E=frac{a^{32}}{b^{6}}).
b. Calculer E lorsque :
(a=3× 10^{-2}) et (b=27× 10^{3})
c. Donner l’écriture scientifique de (E).
Exercice 14:
1) Calculer:
(a=frac{1-(frac{3}{4})^{-2}}{(frac{sqrt{7}}{3})^{2}})
2) b et c sont deux nombres réels tels que :
(b=38,2× 10^{4}) et (a=0,003× 10^{8})
Donner l’écriture scientifique de (b+c).
Exercice 15:
1) Calculer (x=(frac{3}{5})^{-3}×(frac{2}{5})^{2}× frac{2^{-7}}{5^{-2}})
2) On pose : (alpha=frac{4× 300^{2}×(10^{-4})^{-2}}{(0,01)^{-3}})
(a-) Montrer que (alpha=36× 10^{6})
b. Déterminer l’écriture scientifique de (alpha).
3) Montrer (28× 6^{n}-6^{n+1}) est un multiple de 11 . (ou n est un entier naturel)
Exercice 16:
Déterminer l’entier naturel (n) tel que :
(7(3^{n}+3^{n+1}+3^{n+2})=21^{n}×13)
(15^{3 n+5}=3^{2 n+6}× 5^{4 n+4})
Exercice 17:
(a) et (b) sont deux nombres réels positifs non nuls
(m) et (n). un entier naturel non nul. Simplifier (E) et (F) :
E=((frac{b}{a})^{-n}× b^{n+1}× a^{-n})
F=(frac{b^{n+1}+b a}{b^{n}+a})
Exercice 18:
(a) et (b) sont deux nombres réels non nuls.
(m) et (n) sont deux entiers relatifs.
Simplifier R et S :
R=(frac{a^{n}× b^{m+n}+a^{m+n}× b^{n}}{a× b^{m+1}+a^{m+1} b})
S=(frac{4 a^{n}+4}{2 a^{n}+2+4 a^{n}})
Exercice 19:
Soit a et b deux nombres réels non nuls.
On considère le nombre :
A=(frac{a^{-2} b(a^{2} b^{-1})^{4} a^{-3} b^{2}}{a b^{-2}(a^{-3} b^{2})^{3} a^{2} b^{3}})
1) Simplifier le nombre (A).
2) Calculer A pour: (a=10^{-3}) et (b=-10^{-4}).
Exercice 20:
Donner l’écriture scientifique de chacun des nombres suivants:
(X=5× 10^{-2}+3× 10^{-3})
(Y=frac{132214× 10^{-3}-2140000× 10^{-7}}{3× 10^{10}})
Montrer que : (2^{16}-1=(2^{8}+1)(2^{4}+1)(2^{2}+1)(2+1))
Exercice 21:
Déterminer l’entier (n) sachant que :
(frac{16^{n-4}× 2^{6 n+1}}{128^{n-3}}=4096)
Déterminer un entier naturel a tel que :
(2 a^{2}× a^{3}=6250)
Exercice 22:
ABCD est un carré Calculer l’aire coloriée en fonction de a.
Devoir
Exercice 01:
1) Simplifier :
A=((frac{2}{5})^{-2} ×(-frac{4}{25})^{-3} ×(-frac{5}{2})^{-3})
B=((a^{-4} b^{-1} c^{2})^{-3} ×[(a^{-2})^{3} × b^{-1}]^{-1})
2) Donner l’écriture scientifique de C:
C=(frac{12 × 10^{-46}-0,003 × 10^{-43}}{0,3 × 10^{-12}})
Exercice 02:
Effectuer les calculs suivants:
a=(frac{4}{3}-frac{1}{12} × 4^{3}-6 ×(frac{5}{3})^{2})
b=(frac{15 × 10^{6}(2 × 10^{-3})^{2}}{24 × 10^{3}})
c=(frac{a^{3} × b^{-1} × a^{2}}{(a^{2})^{2} ×(b^{-1})^{-2}})
Exercice 03:
1) Calculer (x=(frac{3}{5})^{-3} ×(frac{2}{5})^{2} × frac{2^{-7}}{5^{-2}})
2) On pose: (alpha=frac{4 × 300^{2} ×(10^{-4})^{-2}}{(0,01)^{-3}})
a- Montrer que (alpha=36 × 10^{6})
b- Déterminer l’écriture scientifique de (alpha).
3) Montrer (28 × 6^{n}-6^{n+1}) est un multiple de 11 .
(ou (n) est un entier naturel)
Exercice 04:
On donne : E =(frac{( a ^{3} b ^{-3})^{4}}{[( a ^{-2})^{-5} b ^{3}]^{-2}})
a- Montrer que : E =(frac{ a ^{32}}{ b ^{6}}).
b- Calculer (E) lorsque : (a =3 × 10^{-2} et b =27 × 10^{3})
c- Donner l’écriture scientifique de (E).
Exercice 05:
Calculer : a =((frac{9}{4})^{2018} ×(frac{16}{36})^{2018})
b=((sqrt{17})^{8} ×(sqrt{17})^{5})
c=(frac{2^{-5} × 8^{-3}}{a^{-16} × 2^{2}})
Exercice 06:
(a) et (b) sont deux nombres réels non nuls.
Simplifier E:
E=(frac{(a^{3} b)^{-3} ×(a b^{3})^{3} ×(a^{-2} b^{2})^{3}}{(a b^{-1})^{-2} ×(a^{-1} b^{2})^{3} × b^{-4}})
Exercice 07:
1) Calculer: (a=[(frac{5}{3})^{2}+(frac{3}{7})^{-2}]^{-1})
2) Montrer que: ([frac{(3 sqrt{5})^{2}}{135}]^{-2}=9)
Exercice 08:
1) Calculer :
(a=(2^{-2}+frac{3}{4})^{100})
(b=2^{-2} ×(2,5)^{5} × 5^{-3} × 4^{5})
(c=frac{7^{-n+1} × 7^{n}}{7^{3 n}} ×(343)^{n}).
Exercice 09:
1) Calculer :
a=(frac{1-(frac{3}{4})^{-2}}{(frac{sqrt{7}}{3})^{2}})
2) b et c sont deux nombres réels tels que :
b =(38,2 × 10^{4} text { et } c =0,003 × 10^{8})
Donner l’écriture scientifique de b+c.
Exercice 10:
1) Calculer: (a=frac{3^{2} × 2^{-5} × 6^{-1}}{2^{-6} × 6^{2} × 3}).
2) Simplifier
E=(frac{(b^{2})^{-1} × a^{7}}{a^{4} b^{-6} a^{-1} b^{5}})
Olympiade
Exercice 1:
Montrer qu’il n’existe pas d’entier naturel (x)
tel que: (6× 4^{x}-7× 6^{x}+6× 9^{x}=0)
Exercice 2:
Ranger les nombres dans l’ordre croissant : (2^{100} ; 3^{75} ; 5^{50})
Quel est le chiffre des unités de (3^{100}) ?
Exercice 3:
Sachant que:
(x^{2}+y^{2}=10) et (x^{3} y+x^{2} y^{2}+x y^{3}=39).
Calculer (x+y)
Exercice 4:
Montrer que : (5555555^{2}=4444444^{2}+3333333^{2})
Montrer que : (499999^{2}+999999=25× 10^{10})
Exercice 5:
1) Démontrer que pour tout entier (n: 2^{n}=2^{n+1}-2^{n}).
2) En déduire une valeur de (S) :
(S=2^{0}+2^{1}+2^{2}+ldots+2^{49}+2^{50})
Exercice 6:
comparer (x), y et (z). Si : (x^{3}=a^{4}) et (y^{4}=a^{3}) et (z^{6}=a^{7})
Exercice 7:
Déterminer l’entier relatif (x) tel que : (frac{15}{a^{x-2}}+a^{x-2}=16)
Exercice 8:
a et b sont deux nombres réels tels que :
(a^{4036}+b^{4036}=(a^{2}+b^{2})(a b)^{2017})
1) Montrer que : ((frac{a}{b})^{2018}+(frac{b}{a})^{2018}=frac{a}{b}+frac{b}{a}).
2) En déduire que : ([(frac{a}{b})^{2018}-frac{a}{b}][1-(frac{b}{a})^{2019}]=0).
corrigés exercices maths 3ème: Les Puissances
Entraînement
Exercice 1:A=3.7
B=-829
C=-206.25
D=4200