Calcul Littéral et Identités Remarquables 3ème collège Exercices

Entraînement

Série 1

Exercice 1
Effectuer sans utiliser la calculatrice :
A=10-8,5+2-3,5+3,7
B=125-949-53-17+74-9
C=3×(-5,5)× 10×(-5)×(-0,25)
D=0,7×(-8)×(-6)× 125

Exercice 2
Effectuer les calculs et écrire le résultat sous forme de fraction irréductible :
a= $(\frac{1}{10} - \frac{1}{4}) : \frac{6}{5} - 1$
b= $\frac{3}{8} - 2 \times \frac{(14 + 4)}{(14 - 2)}$
c= $\frac{(2 + 4)^{2} - (4 - 8)^{2}}{17^{2} - 16^{2}}$
d= $\frac{(3 - 8)^{2} - (2 + 6)^{2}}{(7 + 4)^{2}}$

Exercice 3
Développer et réduire les expressions suivantes:
A=3a-(5a-6)+8+(-7-6a)
B=15+3a+(4 a-9)-(6-10a)
C=7 a+(-9a+8)-(-5 a-3)+12
D=3-[8-(4a+5)]+[-9-(-10+8a)]
E=-(3b-4)+3 a-[3a-(5b-5)]-(2a-3)
F=6b- $[\frac{7}{2} + (2 a + \frac{3}{2} b)] + [- \frac{9}{2} - (\frac{5}{2} a + \frac{9 a}{2} - 2)]$

Exercice 4
Développer puis réduire les expressions suivantes :
A = $3 x^{2} - (5 - 3 x + 4 x^{2}) + (7 - 2 x^{2})$
B = $4 x^{2} + (1 - 6 x^{2}) + 3 x^{2} + (2 x^{2} - 5 x^{3})$
C = $8 x + (4 x^{3} - 6 x + 2 x^{2}) + (2 x^{3} - x^{2})$
D = $7 - (3 x^{2} - 4 x - 1) + (x^{2} - 9 x - 11)$

Exercice 5
Développer et réduire :
A= $3 x (x - 2) - 2 x (3 x - 2)$
B= $4 - 2 (5 - x) + 6 x^{2} - 3 x (3 x - 2)$
C= $7 x + x (- 3 x + 2) - 4 x^{2} + 8 x (2 + 3 x)$
D = $x^{2} (x^{2} - x - 1) - x (3 x - 5) + 2 (x^{3} - x - 2) - 9$

Exercice 6
Ecrire chacune des expressions suivantes sous la forme $a x + b$ :
A = $\frac{3}{8} x - \frac{7}{4} - (\frac{5}{2} x + 1) - \frac{1}{2} (3 x - \frac{5}{8})$
B = $\frac{2 x}{9} - 1 - \frac{x + 3}{3} + \frac{x}{6}$
C = $\frac{x + 2}{6} + \frac{2 x + 3}{4} + \frac{3 - 2 x}{2}$
D = $\frac{2 x - 1}{5} - \frac{x - 2}{15} - \frac{x + 1}{3}$

Exercice 7
Développer :
A= $(3 x - 1)^{2}$
B = $(3 + 4 x)^{2}$
C= $(\frac{2}{5} x + 1)^{2}$
D= $(\frac{5}{3} x - \frac{1}{2})^{2}$
E = $(10 - 11 x) (10 + 11 x)$
F = $(\frac{7}{8} + \frac{3}{5} x) (\frac{7}{8} - \frac{3}{5} x)$

Exercice 8
Développer et réduire les expressions suivantes :
A = $(\frac{2}{5} x - 5)^{2} - (\frac{x}{5} - \frac{1}{2}) (\frac{x}{5} + \frac{1}{2})$
B = $\frac{4}{3} x (9 x + 12) - (x + \frac{1}{3})^{2}$
C = $\frac{4}{3} x - 1) (4 x + 1) + (2 x - \frac{1}{4})^{2}$
D = $(\frac{3 x - 2}{6})^{2} - (\frac{2 x + 1}{2})^{2}$
E = $(\frac{2}{5} x + 1)^{2} - \frac{4}{25} (10 + \frac{x}{2})^{2} + \frac{x}{10} (7 + 4 x)$

Série 2

Exercice 9
Développer et réduire les expressions suivantes :
E = $x (y - 2) + y (2 - x) + 2 (x - y)$
F = $(x - y) (y - 2) + (y - 2) (2 - x) + (2 - x) (x - y)$

Exercice 10
Donner la forme réduite de chacune des expressions suivantes:
A = $(2 x - 1) (x - 4) + (3 - x) (2 x + 1)$
B = $(x - 2) (3 x - 2) - (x + 2) (2 x - 3)$
C = $2 (4 - 3 x) (2 - 3 x) - (x - 2) (x - 4)$
D = $5 - [5 - 3 x (x - 3)] + (2 x + 3) (3 x + 2)$
E = $3 x (x - 2) x + 1) - x (5 x - 2)$
F = $(x - 2)^{2} - (3 x - 1) (x - 3)$
G = $(x^{2} + x - 1)^{2}$
H = $(3 x^{2} - x + 2) (3 x^{2} + x - 2)$
I = $(- 2 x + 1)^{3} - (x - 1) (x + 2) (x - 3)$

Exercice 11
Factoriser chacune des expressions suivantes :
A = $(x + 4) (6 x - 1) + (x + 4) (7 x - 2)$
B = $(2 x + 1) (x - 5) - (2 x + 1) (4 x + 7)$
C = $(3 x - 5) (2 x - 1) - (5 - 3 x) (x + 6)$
D = $(x - 2) (- x + 3) + (2 x - 4) (3 x - 7)$
E = $(6 x + 5) (x + 8) - (6 x + 5)^{2}$
F = $(5 x - 2) (x + 3) - (2 - 5 x)^{2}$
G = $(x + 9) (2 x - 1) - 6 x^{2} + 3 x$

Exercice 12
Factoriser les expressions suivantes :
A = $x^{2} - 14 x + 49$
B = $4 x^{2} - 24 x + 36$
C = $45 x^{2} - 120 x + 80$
D = $25 x^{2} + 40 x + 16$
E = $4 + 9 x^{2} - 12 x$
F = $16 x^{2} - 81$

Exercice 13
Factoriser les expressions suivantes :
A = $(x - 3) (6 x - 7) - (x^{2} - 6 x + 9)$
B = $(2 x - 5)^{2} - 9$
C = $(3 x + 1)^{2} - x^{2} - x - \frac{1}{4}$
D = $4 x^{2} + 4 x + 1 - (x + 5)^{2}$
E = $- (3 - 2 x)^{2} + (2 x - 3) (x - 5) + 4 x - 6$
F = $(x + 2)^{2} - 2 (x + 2) (5 x - 1) + (5 x - 1)^{2}$
G = $4 x^{2} - 4 + (5 x + 1) (x - 1) + 2 x^{2} - 4 x + 2$

Exercice 14
Recopier et compléter pour que chaque égalité soit vraie :
$(5 x - 1) (3 x + 2) = \dots x^{2} + \dots x - 2$
$(2 x - \dots .) (x + \dots . .) = \dots \dots - x - 3$
$(x - 4) (\dots x + \dots) = 2 x^{2} - 5 x - 12$
$(x + \dots) (\dots x - 6) = 4 x^{2} + 6 x - 18$

Exercice 15
Recopier et compléter pour que chaque égalité soit vraie :
$(x + \dots)^{2} = \dots + 8 x + \dots$
$(\dots - \dots)^{2} = 9 x^{2} - \dots + 49$
$(5 x - \dots) (\dots + \dots) = \dots - 9$
$(2 x + \dots)^{2} = \dots + \dots + 36$

Exercice 16
Recopier et compléter pour que chaque égalité soit vraie.
$36 x^{2} - \dots = (\dots - 5) (\dots + 5)$
$\dots + 6 x + \dots = (x + \dots)^{2}$
$\dots - 54 x + 81 = (\dots - \dots)^{2}$
$4 x^{2} - \dots + 9 = (\dots - \dots)^{2}$
$\dots - 49 = (\dots - 7) (3 x + \dots)$

Approfondissement

Exercice 1:
Factoriser chacune des expressions suivantes:
A=(2 x+1)(x-5)-(2 x+1)(4 x+7)
B=(3 x-5)(2 x-1)-(5-3 x)(x+6)
C=(x-2)(-x+3)+(2 x-4)(3 x-7)
D=(6 x+5)(x+8)-(6 x+5)^{2}
E=(5 x-2)(x+3)-(2-5 x)^{2}
F=(x+9)(2 x-1)-6 x^{2}+3 x

Exercice 2 :
On donne: $A = x^{2} - 7 x + 10$
1) Montrer que : $x^{2} - 7 x + 10 = (x - \frac{7}{2})^{2} - \frac{9}{4}$
2) Factoriser $A$ .

Exercice 3 :
Montrer les égalités suivantes:
$(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4 x y$
$(x + y)^{2} + (x - y)^{2} = 2 (x^{2} + y^{2})$
$x^{2} - y^{2} - 2 y - 1 = (x + y + 1) (x - y - 1)$
$(x^{2} + 1) (y^{2} + 1) = (x y + 1)^{2} + (y - x)^{2}$
$(x^{2} - 1) (y^{2} - 1) = (x y + 1)^{2} - (y + x)^{2}$

Exercice 4 :
Développer et réduire les expressions suivantes:
E= $x (y - 2) + y (2 - x) + 2 (x - y)$
F= $(x - y) (y - 2) + (y - 2) (2 - x) + (2 - x) (x - y)$

Exercice 5:
1) Montrer les égalités:
$4^{2} + 4 = 5^{2} - 5; 16^{2} + 16 = 17^{2} - 17$
$119^{2} + 119 = 120^{2} - 120$
2) Enoncer le résultat général et le démontrer.

Exercice 6:
$x$ est un entier naturel.
1) Montrer que: $(x - 1) x (x + 1) + x = x^{3}$
2) En déduire que $102 \times 103 \times 104 + 103$ est un cube

Exercice 7:
A= $(x - 4)^{2} - (x - 2) (x - 8)$
I) Développer et réduire $A$ :
2) En déduire le résultat de $9996^{2} - 9998 \times 9992$ .

Exercice 8:
1) Calculer: $69^{2} - 68^{2} - 67^{2} + 66^{2}$
2) a. $x$ est un entier naturel.
Développer et réduire l’expression $A$ :
A= $(x + 3)^{2} - (x + 2)^{2} - (x + 1)^{2} + x^{2}$
b. En déduire le calcul de :
B= $[(987654321258)^{2} + (987654321255)^{2}] - [(987654321257)^{2} + (987654321256)^{2}]$

Exercice 9:
Soit $x$ un nombre réel.
On donne : $E = (2 x + 1)^{2} - (2 x - 1)^{2}$
1) Développer et réduire $E$ .
2) En déduire la valeur de $2019^{2} - 2017^{2}$

Exercice 10 :
On donne: $E = 1000002000001$
Montrer que E est un carré parfait.

Exercice 11:
1) On a: $13^{2} = 169$ ; donc $14^{2} = 169 + 13 + 14 = 196$ .
Calculer de la même manière $15^{2}, 16^{2}, 17^{2}$ .
2) Enoncer le résultat général et le démontrer.

Devoir

Exercice 1:
Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible:
A= $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} - \frac{5}{4} \times \frac{1}{3}$
B= $\frac{\frac{1}{3} - \frac{3}{4}}{\frac{1}{4} - \frac{4}{3}}$
C= $(\frac{3}{4} - \frac{5}{8}) - [\frac{7}{6} - (\frac{3}{2} - 2)]$

Exercice 2:
Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible la plus simple possible:
A= $(1 - \frac{4}{5}) : \frac{3}{10}$
B= $(\frac{1}{8} - \frac{3}{6}) \times (\frac{5}{12} - \frac{1}{4})$
C= $\frac{9}{3} - \frac{1}{3} \times (\frac{5}{6} - 1)$

Exercice 3:
Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
A = $(\frac{36}{- 14}) \times \frac{70}{24} \times (\frac{- 4}{5})$
B = $\frac{\frac{4}{7} - \frac{3}{14}}{- \frac{4}{3} - \frac{5}{3} \times \frac{1}{2}}$

Exercice 4:
$x$ est un nombre réel.
On donne: $A = (x - 3)^{2} - 1$ et $B = 3 x^{2} + 3 x - 18$
1) Factoriser $A$ .
2) Calculer A – $\frac{1}{3}$ B.
3) En déduire la forme factorisée de $B$ .

Exercice 5:
On considère l’expression $A : A = 6 x^{2} - 5 x + 1 - (4 x - 2) (x + 1)$
1)a. Développer et réduire $A$ .
b. Calculer A lorsque $x = - \frac{2}{3}$
2) a. Développer $(2 x - 1) (3 x - 1)$
b. Factoriser $A$ .
c. Calculer A lorsque $x = - \frac{1}{3}$ .

Exercice 6:
Soit $x$ un nombre réel.
On donne: $E = (x + 1)^{2} - (x - 1)^{2}$
1) Développer $E$ .
2) En déduire la valeur de $F : F = 10001^{2} - 9999^{2}$

Exercice 7:
On considère les expression suivantes:
A=(3 x-2)(x+2)-(3 x-2)(4 x-1)
B=(x+2)^{2}-9
1)a. Développer et réduire $A$ et $B$ .
b. Calculer A pour $x = \frac{- 4}{3}$
2) a. Factoriser $A$ et $B$ .
$b$ . En déduire que : $A - B = (x - 1) (1 - 10 x)$ .

Exercice 8:
I) Compléter:
$4 \times 5 \times 6 + 5 = (\dots)^{3}$
$7 \times 8 \times 9 + 8 = (\dots)^{3}$
$21 \times 22 \times 23 + 22 = (\dots)^{3}$
2) La somme du produit de trois nombres entiers consécutifs
plus le terme médian est égale à ce nombre. Est – ce toujours vrai?

Olympiade

Exercice 1:
$a, b$ et c sont des nombres réels non nuls
tels que: $a b + b c + c a = a b c$ .
Calculer:
$\frac{a + b}{a b} + \frac{b + c}{b c} + \frac{c + a}{c a}$

Exercice 2:
$x$ et $y$ sont deux nombres recels distincts
tels que: $x^{2} + y^{2} = 3 x y$ .
Déterminer la valeur de l’expression : $A = \frac{x + y}{x - y}$ .

Exercice 3:
Les dimensions d’un rectangle sont $6 m$ et $4 m$ .
On augmente la longueur et la largeur de $x$ mètres.
Calculer, en fonction de $x$ , le périmètre p et l’aire $S$ de la partie Colorée.

Exercice 4:
EFGH est un carre de coté a .
Soit $S$ l’aire de la partie Colorée.
Montrer que : $S = (1 - \frac{π}{4}) a^{2}$

Exercice 5:
Dans la figure ci-contre :
$C_{1} (O; R), C_{2} (E; x)$ et $[A B]$ est un diamètre de 1.
Calculer l’aire $S$ de la partie Colorée en fonction de $π$ , R et $x$

Exercice 6:
(C) est un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ .
(C) est un cercle de centre $O^{'}$ et tangente à $(C)$ (voir la figure).
Calculer l’aire $S$ de la partie Colorée en fonction de $R$ et $x$ .

Exercice 7:
Un agriculteur veut entourer son champ de forme carrée
dont la longueur de son côté est $2 k m$ par une bande de largeur $x$ .
Sachant que l’aire de la bande est égale a l’aire du champ.
Déterminer alors la largeur $x$ de la bande.

Exercice 8:
EFG est un triangle rectangle isocèle en E
tel que : EF = 6cm. On donne : FH = a.
J est un point de la droite (EG) tel que GE[EJ] et JG = a.
Montrer que KIH et KGI ont même aire .

Exercice 9:
EFGH est un carné de côté a.
Calculer l’aire $S$ de la partie Colorée en fonction de a.

corrigés exercices maths 3ème: Calcul littéral et identités remarquables

Entraînement

Exercice 1:

A=3.7
B=-829
C=-206.25
D=4200

Approfondissement

Exercice 1:

Devoir

Exercice 1:

Olympiade

Exercice 1: