Entraînement
Série 1
Exercice 1
Calculer :
(sqrt{98^{2}} ;(4 sqrt{3})^{2} ;-5(sqrt{11})^{2} ; sqrt{(-8})^{2} ; sqrt{0,04 a^{4}})
(sqrt{100}-sqrt{16} ; sqrt{(169-25)^{2}} ; sqrt{64+6^{2}} 😉
(frac{sqrt{2017}}{sqrt{2016}})^{2})
(sqrt{3^{2} times 7^{4}} ; sqrt{6^{2}+3^{2}+2^{2}} 😉
(quad sqrt{0,49 times 0,09}0,81 times 0,36)
Exercice 2
a est un nombre réel positif.
Simplifier :
(sqrt{36 mathrm{a}^{2}} ; sqrt{144 mathrm{a}^{2}+25 mathrm{a}^{2}})
(sqrt{frac{mathrm{a}^{2}}{16}}+sqrt{frac{mathrm{a}^{2}}{9}} ; sqrt{225 mathrm{a}^{2}}-)(sqrt{121 mathrm{a}^{2}})
Exercice 3
Sachant que: (567^{2}=321489), calculer mentalement :
(sqrt{321489} ; sqrt{32,1489} ; sqrt{32148900} text {. })
Exercice 4
Ecrire chacun des nombres donnés sans radical.
(sqrt{0,0081} ; sqrt{144} ; sqrt{13^{2}} ; sqrt{(-10)^{8}} 😉
(sqrt{frac{1}{49}} ; sqrt{frac{0,04}{625}} ; sqrt{frac{1,21}{0,64}})
Exercice 5
Recopier et compléter les égalités :
– (sqrt{24}=sqrt{ldots . . . times 6}=sqrt{ldots} times sqrt{6}=ldots sqrt{6})
– (sqrt{32}=sqrt{ldots times 2}=sqrt{ldots . . .} times sqrt{2}=ldots sqrt{2})
– (sqrt{48}=sqrt{16 times ldots}=sqrt{16} times sqrt{ldots}=4 sqrt{ldots})
– (5 sqrt{2}=sqrt{ldots . .} times sqrt{2}=sqrt{ldots . . times 2}=sqrt{ldots .})
– (-3 sqrt{11}=-sqrt{ldots . .} times sqrt{11}=-sqrt{ldots . . . times 11}=-sqrt{ldots .})
Exercice 6
Ecrire chacun des nombres suivants sous la forme (sqrt{mathrm{a}}) où a est un rationnel positif.
(5 sqrt{3} ; 2 sqrt{7} ; 6 sqrt{6} ; frac{3}{4} sqrt{32} ; 13 sqrt{7} ; 7 frac{sqrt{338}}{14} .)
Exercice 7
Calculer les produits suivants :
(sqrt{3} times sqrt{12} ; sqrt{7} times sqrt{28} ; sqrt{19} times sqrt{76} ; sqrt{30} times sqrt{120} ; sqrt{50} times sqrt{frac{1}{2}})
(sqrt{frac{9}{10}} times sqrt{frac{40}{81}} ; sqrt{14} times sqrt{6} times sqrt{21} ; sqrt{55} times sqrt{33} times sqrt{15}).
Exercice 8
a et (b) sont deux nombres réels positifs non nuls.
Simplifier :
(A=sqrt{frac{25 a^{2}}{9}} ; B=frac{1}{sqrt{b}} times sqrt{frac{b}{a}} times sqrt{b a})
(C=sqrt{frac{b}{a}} times sqrt{b^{2} a} times frac{1}{sqrt{b}} ; D=sqrt{b^{3}} times sqrt{a b} times sqrt{b})
(E=frac{sqrt{b a^{3}} times sqrt{a b^{2}} times sqrt{(b a)^{3}}}{sqrt{a b^{4}} times sqrt{b^{6}}} .)
Série 2
Exercice 9
Simplifier :
(D=3 sqrt{8}-sqrt{32}+sqrt{72}+3 sqrt{128})
(E=2 sqrt{80}-sqrt{45}+sqrt{20} quad ; quad F=-sqrt{54}+4 sqrt{24}+3 sqrt{6})
(G=sqrt{125}-3 sqrt{45}-sqrt{20}-2 sqrt{80})
(H=sqrt{36 a}-sqrt{64 a}+2 sqrt{16 a} quad(text { où } a>0 text { ) })
(I=2 sqrt{25 a b^{2}}+sqrt{16 a b^{2}}-4 sqrt{9 a b^{2}} quad text { (où a }>0 text { et } b>0 text { ) })
(J=sqrt{sqrt{961}-sqrt{729}})
(K=sqrt{2 sqrt{45}-3 sqrt{20}})
Exercice 10
Simplifier :
(L=2(sqrt{2}-1)+sqrt{2}(-sqrt{2}+2))
(M=(sqrt{5}+3)(sqrt{5}-3)+(sqrt{5}+2)^{2})
(N=sqrt{sqrt{49}+2}-3 sqrt{25} 😉
(O=sqrt{7}+2 sqrt{6} times sqrt{7-2 sqrt{6}})
(P=sqrt{20}-8 sqrt{6} times sqrt{45+18 sqrt{6}})
(Q=sqrt{2} sqrt{10}-sqrt{2} times sqrt{10}+sqrt{2} .)
Exercice 11
Développer et réduire :
(R=(1+sqrt{2})(3 sqrt{2}-2))
(S=(3+sqrt{3})^{2}-(2-3 sqrt{3})^{2})
(T=(1-sqrt{2})(2+sqrt{2})-(3-2 sqrt{2})(4+sqrt{2}))
(U=(sqrt{2}-sqrt{3})^{2}-(sqrt{5}-2)(sqrt{5}+2))
(V=(1-sqrt{2}+sqrt{3})(1+sqrt{2}-sqrt{3}))
Exercice 12
Ecrire les nombres donnés sans radical.
(X=sqrt{17+sqrt{60+sqrt{14+sqrt{4}}}})
(Y=sqrt{75+sqrt{41-sqrt{3^{2}+sqrt{16^{2}}}}})
(mathrm{Z}=sqrt{6+sqrt{6+sqrt{6+sqrt{9}}}})
(mathrm{~W}=sqrt{(frac{5}{6})^{2}+(frac{2}{3})^{2}-(frac{1}{3})^{2}-(frac{1}{6})^{2}})
Exercice 13
Rendre rationnel les dénominateurs des nombres suivants :
1) (frac{2}{sqrt{3}} ; frac{-sqrt{5}}{sqrt{2}} ; frac{1+sqrt{7}}{sqrt{7}} ; frac{-1+sqrt{6}}{2 sqrt{6}})
2) (frac{2 sqrt{2}-3}{2 sqrt{2}+3} ; frac{sqrt{3}-sqrt{5}}{2+sqrt{5}} ; frac{sqrt{48}-2 sqrt{75}}{sqrt{27}+sqrt{12}})
3) (frac{2}{1-sqrt{2}+sqrt{3}} ; frac{sqrt{2}-sqrt{3}-sqrt{5}}{sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{5}})
Exercice 14
Rendre rationnel les dénominateurs des nombres suivants puis calculer :
a =(frac{3 sqrt{3}-2}{sqrt{3}-1}+frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}+sqrt{2}}) ;
b =(frac{sqrt{5}-sqrt{6}}{sqrt{5}+sqrt{6}} – frac{sqrt{5}-2}{sqrt{6}-sqrt{5}}) ;
Exercice 15
Recopier et compléter les égalités suivantes :
(sqrt{ldots ldots}=25 ; sqrt{1,96}=ldots .)
(sqrt{(ldots . .)^{2}}=111 ; sqrt{frac{36}{ldots .}}=frac{ldots}{13})
((-sqrt{ldots})^{2}=0,07 ; -sqrt{81}=ldots)
Exercice 16
Ecrire les nombres suivants sous la forme (a sqrt{b}) où a et b sont deax entiers naturels, b étant le plus petit possible.
(sqrt{12} ; sqrt{20} ; sqrt{192} ; sqrt{48} ; sqrt{605} ; sqrt{6 times 2^{2}})
(sqrt{21 times 7} ; sqrt{3 times 6} ; sqrt{147} ; frac{sqrt{98}}{7} ; 3 sqrt{242})
Exercice 17
Calculer les produits suivants :
(sqrt{360} times sqrt{18} times sqrt{605} ; frac{sqrt{2} times sqrt{75}}{sqrt{32 times sqrt{3}}} ; sqrt{frac{8}{45}} times frac{sqrt{25}}{sqrt{10}})
Exercice 18
1) Calculer : (3 sqrt{5} times 4 sqrt{5} ; 3 sqrt{5}+4 sqrt{5}).
(-2 sqrt{11} times 5 sqrt{11} ; quad-2 sqrt{11}+5 sqrt{11})
(2) Calculer 🙂
(A=3 sqrt{5} times 5 sqrt{2} times 2 sqrt{10})
(B=4 sqrt{3}-2 sqrt{2}+sqrt{3}-sqrt{2})
(C=2(sqrt{6}-sqrt{5})-(sqrt{6}+3 sqrt{5})-3)
Approfondissement
Exercice 1
Soit (x) un nombre réel positif tel que: (x-2 sqrt{frac{3}{x}}=5)
Calculer: (x-sqrt{3 x})
Exercice 2
Résoudre les équations suivantes.
1) (4 x^{2}-3=13)
2) (7 x^{2}-2=3 x^{2}+2)
3) (x^{2}+9=0)
4) (x^{2}=sqrt{3}+1)
Exercice 3
1) Calculer: (quad(7-2 sqrt{2})^{2}).
2) En déduire: (sqrt{57-28 sqrt{2}}).
Exercice 4
Compléter : (11-6 sqrt{2}=(3-ldots)^{2})
(10+4 sqrt{6}=(sqrt{6}+ldots)^{2})
(17-4 sqrt{15}=(ldots-sqrt{5})^{2})
Exercice 5
Simplifier : (quad E=sqrt{10+4 sqrt{6}}-sqrt{15+6 sqrt{6}})
ExerIce 6
Simplifier A et B :
(mathrm{B}=sqrt{2-sqrt{2+sqrt{2}}} times sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2}}} times sqrt{2+sqrt{2}} times sqrt{2})
Exercice 7
On donne :
(mathrm{a}=(sqrt{5}-1)^{2} ; mathrm{b}=(sqrt{2}+1)^{2} ; quad mathrm{c}=(sqrt{5}-1)(sqrt{2}+1))
Calculer (mathrm{A}) : (mathrm{A}=sqrt{mathrm{a}+2 mathrm{c}+mathrm{b}})
Exercice 8
On considère l’expression: (a=sqrt{7+4 sqrt{3}}+sqrt{7-43})
1) Calculer (mathrm{a}^{2}) :
2) En déduire une écriture simplifiée de a.
Exercice 9
a et (b) sont deux nombres réels positifs tels que (a geq b).
Montrer que: (sqrt{sqrt{a}+sqrt{b}}+sqrt{sqrt{a}-sqrt{b}}=sqrt{2} sqrt{sqrt{a}+sqrt{a-b}}).
(sqrt{sqrt{a}+sqrt{b}}-sqrt{sqrt{a}-sqrt{b}}=sqrt{2} sqrt{sqrt{a}-sqrt{a-b}})
Exercice 10
Soit : (quad mathrm{a}=sqrt{5}+3) et (mathrm{b}=sqrt{5}-3).
1) Calculer (a^{2}, b^{2}, a times b).
2) Montrer que (frac{mathrm{a}}{mathrm{b}}+frac{mathrm{b}}{mathrm{a}}) est un entier relatif.
3) Simplifier (sqrt{14+6 sqrt{5}}).
Exercice 11
1) Calculer l’aire du triangle EFG.
2) Calculer l’aire du rectangle FGHI.
Exercice 12
Soit (b) tel que : (b^{2}=sqrt{6}+sqrt{5})
Calculer en fonction de b l’expression :
(sqrt{sqrt{6}+1}+sqrt{sqrt{6}-1})
Exercice 13
a et b sont deux nombres réels positifs.
Montrer que: ((sqrt{a}+sqrt{b})^{2}+(sqrt{a}-sqrt{b})^{2}=2(a+b)).
((sqrt{a}+sqrt{b})^{2}-(sqrt{a}-sqrt{b})^{2}=4 sqrt{a b})
Exercice 14
Soit (x) un nombre réel positif tel que : (x+sqrt{x}=1)
Calculer: ((x+frac{1}{x})^{2022})
Exercice 15
a et (mathbf{b}) sont deux nombres reels tels que : (a>1) et (b geq 0)
Montrer que:
(sqrt{b} times frac{sqrt{1+frac{2 a}{1+a^{2}}}+sqrt{1-frac{2 a}{1+a^{2}}}}{sqrt{b+frac{2 a b}{1+a^{2}}}-sqrt{b-frac{2 a b}{1+a^{2}}}}=a)
Exercice 16
a et b sont deux nombres réels tels que (mathrm{a}^{2}>mathbf{b}).
1) Montrer que :
(sqrt{a+sqrt{b}}=sqrt{frac{a+sqrt{a^{2}-b}}{2}}+sqrt{frac{a-sqrt{a^{2}-b}}{2}})
(sqrt{a-sqrt{b}}=sqrt{frac{a+sqrt{a^{2}-b}}{2}}-sqrt{frac{a-sqrt{a^{2}-b}}{2}})
2) En déduire l’écriture simplifíe de chacun des nombres suivants :
(sqrt{5+sqrt{24}} ; sqrt{7-4 sqrt{3}} ; sqrt{19+6 sqrt{2}} 😉
(sqrt{79-24 sqrt{7}} text { et } sqrt{43+30 sqrt{2}})
Devoir
Exercice 1
Simplifier et calculer :
(a=3 sqrt{12}-sqrt{75}+2 sqrt{27})
(b=sqrt{sqrt{5}-1} times sqrt{sqrt{5}+1})
(c=frac{sqrt{7}}{sqrt{7}+1}-frac{sqrt{7}+2}{sqrt{7}-2})
Exercice 2
Simplifier et calculer :
(A=sqrt{36}-sqrt{81})
(B=sqrt{48} times sqrt{3})
(C=4 sqrt{2}+sqrt{162}-2 sqrt{50})
(D=(3-5 sqrt{2})(3+5 sqrt{2})-(3+sqrt{2})^{2})
Exercice 3
1) Simplifier et calculer :
(A=sqrt{24}-sqrt{3} times sqrt{50}-sqrt{216})
(B=sqrt{2}(3-sqrt{2})^{2}-sqrt{2}(5-sqrt{2}))
2) Montrer que : ((1+sqrt{3})^{-1}+(1-sqrt{3})^{-1}=-1)
Exercice 4
1) Simplifier et calculer :
(A=3 sqrt{80}-sqrt{125}+2 sqrt{320})
(B=sqrt{18+8 sqrt{2}} times sqrt{18-8 sqrt{2}})
(C=frac{sqrt{3}+sqrt{2}}{sqrt{3}-sqrt{2}}-frac{sqrt{3}-sqrt{2}}{sqrt{3}+sqrt{2}}-frac{1}{sqrt{6}})
2) Montrer que: (sqrt{2+sqrt{3}} times sqrt{2}(1-sqrt{3})=-2)
Exercice 5
1) Montrer que :
(4 sqrt{20}-sqrt{24}-sqrt{125}+2 sqrt{54}=3 sqrt{5}+4 sqrt{6})
2) Montrer que:
(frac{sqrt{5-sqrt{7}}}{(2-sqrt{3}) sqrt{7+4 sqrt{3}}}=frac{3 sqrt{2}}{sqrt{5+sqrt{7}}})
Exercice 6
1) Calculer et simplifier :
(E=sqrt{frac{80}{3}}-frac{2}{3} sqrt{frac{90}{6}}+frac{4}{5} sqrt{frac{125}{48}})
(B=sqrt{3+2 sqrt{2}} times sqrt{3-2 sqrt{2}} times sqrt{45})
(C=frac{3-sqrt{2}}{sqrt{2}+3}-frac{5}{sqrt{8}})
2) On considère l’expression A :
A=((x sqrt{3}-sqrt{2})(x sqrt{3}+sqrt{2})-(x sqrt{3}-sqrt{2})(x+sqrt{2}))
a. Développer et réduire A.
b. Factoriser A.
c. Calculer A pour : (x=frac{sqrt{6}}{3}).
Exercice 7
1) On considère les nombres (x) et (y)
tels que:
(x=sqrt{3+sqrt{5}} text { et } mathrm{y}=sqrt{3-sqrt{5}})
a. Calculer : (x^{2}, y^{2}, x y) et ((x-y)^{2}).
b. En déduire l’écriture simplifiée de (x-mathrm{y}).
c. Montrer que (frac{1}{y}-frac{1}{x}=frac{1}{sqrt{2}}).
2) Déterminer les réels a
tels que :
(frac{sqrt{7}-sqrt{2}}{a}=frac{a}{sqrt{7}+sqrt{2}})
3) Montrer que: (sqrt{frac{sqrt{5}-2}{sqrt{5}+2}}-frac{1}{sqrt{5}+2}=0).
Exercice 8
On considère les nombres (mathrm{a}, mathrm{b}) et (mathrm{c})
tels que :
(a=sqrt{9+4 sqrt{5}} ; b=sqrt{9-4 sqrt{5}} text { et } c=sqrt{6+2 sqrt{5}})
1)a. Calculer ((a+b)^{2}).
b. En déduire (a+b).
2)a. Calculer ((1+sqrt{5})^{2}).
b. En déduire la simplification de (mathrm{c}).
c. Montrer que (a-2 c+b=-2).
Exercice 9
On considère les réels positifs (x) et (y)
tels que
(x=sqrt{5+2 sqrt{6}} text { et } y=sqrt{5-2 sqrt{6}})
1) Montrer que (x y=1).
2) On pose : (mathrm{a}=x+y) et (mathrm{b}=x-y).
b- En déduire a et (b).
3)a. Vérifier que
(x=frac{mathrm{a}+mathrm{b}}{2}) et (y=frac{mathrm{a}-mathrm{b}}{2}).
b. En déduire la simplification de a et (b).
Olympiade
Exercices 1
(a, b, c, x, y), et (z) sont des nombres réels strictement positifs
tels que : (frac{a}{x}=frac{b}{y}=frac{c}{z})
Démontrer que :
(sqrt{a x}+sqrt{b y}+sqrt{c z}=sqrt{(a+b+c)(x+y+z)}).
Exercice 2
(x) est nombre reel positif
tel que: (x+frac{1}{x}=5) et (x^{2}+frac{1}{x^{3}}=8)
Calculer (x^{3}+frac{1}{x^{2}}).
Exercice 3
(x) est un nombre réel positif
tel que : (x^{2}+frac{1}{x^{2}}=3)
Calculer (sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}).
Exercice 4
(x) et (y) sont deux nombres réels positifs
tels que :
(sqrt{x+1}-sqrt{y+1}=sqrt{x}-sqrt{y}). Montrer que : (x=y)
Exercice 5
Montrer que le nombre (frac{2(sqrt{2}+sqrt{6})}{3 sqrt{2+sqrt{3}}}) est rationnel.
Exercice 6
a et b sont deux nombres réels positifs
tels que: (a-sqrt{b}=4) et (a^{2}-b=20). Calculer ab.
Exercice 7
a et b sont deux nombres réels tels que :
Exercice 8
Une boîte a la forme d’un parallélépipède rectangle ABCDEFGH
tel que: EABEF est un carré et AD=25cm.
Cette boîte est remplie d’eau au quart.
Sachant que le volume d’eau versce est260 (cm^{3}),
calculer alors DC.
Exercice 9
Montrer que : (sqrt{3+2 sqrt{2}}+sqrt{3-2 sqrt{2}}=sqrt{8})
sqrt{12-6 sqrt{3}}-sqrt{21+12 sqrt{3}}=-3 sqrt{3} text {. }
Situation 1:
(x) est un nombre réel, tel que: (x^{2}-3 x=8)
Calculer: (quad sqrt{frac{x-3}{x}}-sqrt{frac{x}{x-3}})
Situation 2:
a , b et c sont des réels strictement positifs tels que : (a+c=2 b).
Montrer que: (frac{1}{sqrt{a}+sqrt{b}}+frac{1}{sqrt{b}+sqrt{c}}=frac{2}{sqrt{a}+sqrt{c}} .)
Situation 3:
(x) est un nombre strictement positif.
Sachant que : (frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}=x+sqrt{frac{6}{x}}).
Calculer: (x+frac{1}{x}).