Exercice 1:
x,y,z trois nombres réels strictement positifs montrer que:
(frac{x y}{z}+frac{y z}{y x}+frac{z x}{y}≥x+y+z).
* ona:
(x+z)² ≥ 0
⇾ x²+z² ≥ 2xz & y>0
⇾x²y+z²y ≥ 2xyz
⇾ x²y / xz + z²y / xz ≥ 2y
⇾ xy / z + zy / x ≥ 2y ①
de même pour
⇾ yz/x + xz/y ≥ 2z ②
⇾ zx/y + yx/z ≥ 2x ③
①+②+③
2xy/z + 2yz/x + 2zx/y ≥ 2x+2y+2z
Donc:
(frac{x y}{z}+frac{y z}{y x}+frac{z x}{y}≥x+y+z)
Exercice 2:
x,y,z trois nombres réels non nul
tel que: (x+y+z)² = x²+y²+z²
Montrer que:
(frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}=0).
Réponse:
on a:
(x+y+z)²=x²+y²+z²
⇾ x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=x²+y²+z²
⇾ 2xy+2yz+2zx=0
⇾ (frac{1}{xyz}× (xy+yz+zx)= 0) (car x,y,z ≠ 0)Donc:
(frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}=0)
Exercice 3:
x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que:
((x+y+z)(frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z})≥9).
On a:
((x+y+z)(frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}))=
(1+frac{x}{y}+frac{x}{z}+frac{y}{x}+1+frac{y}{z}+frac{z}{x}+frac{z}{y}+1)
⇾=3+(frac{x}{y}+frac{x}{z}+frac{y}{x}+frac{y}{z}+frac{z}{x}+frac{z}{y}) ①
d’autre part:
on a
(x-y)²≥ 0
⇾ x²+y²≥2xy
et x,y>0
⇾ (frac{x^{2}}{xy}+frac{y^{2}}{xy})≥2
⇾ (frac{x}{y}+frac{y}{x})≥2
① ⇾ 3+(frac{x}{y}+frac{x}{z}+frac{y}{x}+frac{y}{z}+frac{z}{x}+frac{z}{y}) ≥ 3+2+2+2=9
Donc:
((x+y+z)(frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z})≥9)
Exercice 4:
x,y,z trois nombres réels strictement positifs
1- Montrer que:
(frac{x+y}{z}+frac{y+z}{x}+frac{z+x}{y}≥6).
on a (x-y)²≥ 0
→ x²+y²≥2xy & x,y≥0
→ (frac{x²}{xy}+frac{y²}{xy}≥2)
→ (frac{x}{y}+frac{y}{x}≥2) ①
d’autre part:
on pose
A= (frac{x+y}{z}+frac{y+z}{x}+frac{z+x}{y})
A= (frac{x}{z}+frac{y}{z}+frac{y}{x}+frac{z}{x}+frac{z}{y}+frac{x}{y})
A= ((frac{x}{z}+frac{z}{x})+(frac{y}{z}+frac{z}{y})+(frac{x}{y}+frac{y}{x}))
① →(frac{x}{z}+frac{z}{x}≥2) et (frac{y}{z}+frac{z}{y}≥2) et (frac{x}{y}+frac{y}{x}≥2)
Donc:
(frac{x+y}{z}+frac{y+z}{x}+frac{z+x}{y}≥6)
Exercice 5:
(x,y,z) trois nombres réels strictement positifs et m∊IR
Tel que:
(xyz = 1) et (frac{2mx}{xy+x+1}+frac{2my}{yz+y+1}+frac{2mz}{zx+z+1}=1)
Montrer que:
m= (frac{1}{2}).
on pose:
(A=frac{2mx}{xy+x+1}+frac{2my}{yz+y+1}+frac{2mz}{zx+z+1})
On a: (xyz = 1)
d’ou:
(yz = 1)
On a: (yz+y+1=frac{1+xy+x}{x})
d’ou:
(yz=frac{1}{x})
→ (frac{2my}{yz+y+1}=frac{2my}{frac{1}{x}+y+1})
→ (frac{2my}{yz+y+1}=frac{2mxy}{1+xy+x}) ①
d’autre part
(frac{2mz}{zx+z+1}=frac{2mz}{z(x+1+frac{1}{z})})
(=frac{2m}{(x+1+frac{1}{z}})
(frac{2mz}{zx+z+1}=frac{2m}{x+1+xy})②
(car (xy=frac{1}{z}) )
Alors:
puis que A=1
Alors
(A=frac{2mx}{xy+x+1}+frac{2mxy}{1+xy+x}+frac{2m}{x+1+xy})
(=frac{2mx+2mxy+2m}{xy+x+1})
(=2m frac{x+xy+1}{xy+x+1})
(=2m =1)
Donc:
(m= frac{1}{2})