Concours d’accès en 1ère année du cycle d'ingénieur ENSA 2018
Durée: 1h 30 mn
Remarques importantes:
– Une seule proposition est correcte par question:
Réponse juste = 1 point;
Réponse frusse =-1 point;
Plus d’une réponse cochée =-1 point;
Pas de réponse =0 point.
Q1:
\((u_{n}\)) une suite réelle.
Si \(\lim _{n ➝+∞}(u_{n+1}-u_{n})=2\),
alors \(\lim _{n ➝+∞} \frac{u_{n}}{n}=\)
A) 0
B) 1
C) +∞
D) 2
Q2:
\(\lim _{n ➝+∞} \frac{\sin ^{2} n-\cos ^{3} n}{n}=\)
A) 0
B) 1
C) -∞
D) +∞
Q3:
\(\lim _{x ➝ 1^{+}} ×\ln x\ln (\ln x)=\)
A) 1
B) 0
C) +∞
D) -∞
Q4:
Soit \((u_{n}\)) la suite définie sur IN* par:
\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\)
A) \(u_{2 n}-u_{n} ≥ \frac{1}{2}\)
B) \(u_{2 n}-u_{n}≤ \frac{1}{4}\)
C) \(u_{2 n}-u_{n}<\frac{1}{3}\)
D) \(u_{2 n}-u_{n}<\frac{1}{2}\)
Q5:
Pour la même suite que Q4.
Soit \((u_{n}\)) la suite définie sur IN* par:
\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\)
On a:
A) \(u_{2^{10}} ≥ 6\)
B) \(u_{2^{10}}<6\)
C) \(u_{2^{10}}=3\)
D) \(u_{2^{10}}<5 .\)
Q6:
\(\cos (Arctan(x))=\)
A) \(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
B) \(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\)
C) \(\frac{-1}{\sqrt{1+x^{2}}}\)
D) \(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
Q7:
Soit \(f: IR ➝ IR \) une fonction continue en 0 telle que:
\(∀x∈IR \quad f(2x)=f(x)\) Alors \(f\) est:
A) Constante
B) Strictement croissante
C) Strictement décroissante
D) périodique de période 2
Q8:
\(f: IR ➝ IR \) une fonction dérivable en \(a∈IR\).
\(\lim _{x ➝ a} \frac{x f(a)-a f(x)}{x-a}=\)
A) f ‘(a)
B) f(a)+af ‘(a)
C) f(a)-f ‘(a)
D) f(a)-af ‘(a)
Q9:
\(\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{2}+1} dx=\)
A) \(\frac{\pi}{4}\)
B) \(\frac{2}{3}\)
C) \(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\)
D) \(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3}\)
Q10:
\(\int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} \ln (x^{2}+1) d x=\)
A) \(\sqrt{3} \ln 2-\frac{\pi}{9}\)
B) \(\sqrt{3} \ln 2+\frac{\pi}{9}\)
C) \(2(\sqrt{3} \ln 2-\frac{\pi}{9})\)
D) \(\sqrt{3} \ln 2\)
Exercice 1:
On considére la cube ABCDEFGH et on note \(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\) un repère orthonormé de l'espace.
Q11:
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{FD}\) sont
A) (1,1,1)
B) (-1,1,1)
C) (-1,1,-1)
D) (1,1,0)
Q12:
Une représentation paramétrique de la droite (FD)
A) \(\left\{\begin{array}{c}x=t \\ y=t+1, \\ z=-t\end{array}\right.\) (t∈R)
B) \(\left\{\begin{array}{c}x=-t \\ y=-t+1, \\ z=-t\end{array}\right.\) (t∈R)
C) \(\left\{\begin{array}{c}x=-t \\ y=t+1, \\ z=-t\end{array}\right.\) (t∈R)
D) \(\left\{\begin{array}{c}x=t \\ y=t+1, \\ z=+t\end{array}\right.\) (t∈R)
Q13:
On note I le milieu du segment [AB], J le milieu du segment [EH] et K le milieu du segment [BC]. La droite (FD)
A) est orthogonale au plan (IJK)
B) n’est pas orthogonale au plan (IJK)
C) appartient au plan (IJK)
D) paralléle au plan (IJK)
Q14:
Une équation cartésienne du plan (IJK) est ax + by + cz +d =0 avec
A) a=-1, b=-1, c=1 et d=-\(\frac{1}{2}\)
B) a=1, b=-1, c=1 et d=-\(\frac{1}{2}\)
C) a=-1, b=-1, c=1 et d=\(\frac{1}{2}\)
D) a=1, b=1, c=-1 et d=-\(\frac{1}{2}\)
Q15:
Les coordonnées du point M; intersection de la droite (FD) et le plan (IJK) sont:
A) (\(\frac{1}{2}\),\(\frac{1}{2}\),\(\frac{1}{2})\)
B) (\(\frac{1}{2}\),0,\(\frac{1}{2})\)
C) (\(\frac{1}{2}\),\(\frac{1}{2}\),0)
D) (1,1,0)
Q16:
Le triangle IJK est
A) Équilatéral
B) Rectangle en J
C) Rectangle en K
D) Rectangle en I
Exercice 12:
Le QCM du concours ENSA comporte 20 questions, pour chacune desquelles 4 réponses sont proposées et une seule est correcte. Un étudiant décide de remplir la grille-réponses en cochant au hasard une réponse pour chacune des 20 questions. Pour n∈IN et \(0≤ n≤ 20\), on note \(A_{n}\) " répondre au hasard exactement n fois correctement " l'évènement \(A_{n}\) est réalisé si n réponses sont correctes et \(20-n\) sont incorrectes. \((\begin{array}{c}n \\ p\end{array})\) désigne le nombre de combinaison de p parmi n.
Q17:
La probabilité de ne donner aucune réponse correcte est \(P(A_{0})=\)
A) \(\frac{3^{20}}{4^{20}}\)
B) \(\frac{24}{4^{20}}\)
C) \(\frac{1}{20^{4}}\)
D) \(\frac{1}{80}\)
Q19:
La probabilité de répondre au hasard au moins 6 fois correctement est
A) \(\sum_{n=6}^{20} \frac{(\begin{array}{c}20 \\ n\end{array}) 3^{20-n}}{4^{20}}\)
B) \(\sum_{n=0}^{6} \frac{(\begin{array}{c}20 \\ n\end{array}) 3^{20-n}}{4^{20}}\)
C)\(\sum_{n=6}^{20} \frac{(\begin{array}{c}20 \\ n\end{array}) 3^{20-n}}{20^{4}}\)
D) \(\sum_{n=0}^{6} \frac{(\begin{array}{c}20 \\ n\end{array}) 3^{20-n}}{20^{4}}\)
Q18:
La probabilité de donner exactement n bonnes réponses correctes est \(P(A_{n})=\)
A) \(\frac{(\begin{array}{c}20 \\ n\end{array}) 3^{n}}{4^{20}}\)
B) \(\frac{(\begin{array}{l}20 \\ n\end{array}) 3^{20-n}}{4^{20}}\)
C) \(\frac{(\begin{array}{c}20 \\ 3\end{array})^{20-n}}{20^{4}}\)
D) \(\frac{(\begin{array}{c}20 \\ 3\end{array}) 3^{n}}{80}\)
Correction Concours ENSA 2018:
