Concours ENSA 2018 Avec Correction

Concours d’accès en 1ère année du cycle d'ingénieur ENSA 2018

Durée: 1h 30 mn

Remarques importantes:
– Une seule proposition est correcte par question:
Réponse juste = 1 point;
Réponse frusse =-1 point;
Plus d’une réponse cochée =-1 point;
Pas de réponse =0 point.

Q1:

$(u_{n}$ ) une suite réelle.
Si $lim_{n ➝ + \infty} (u_{n + 1} - u_{n}) = 2$ ,
alors $lim_{n ➝ + \infty} \frac{u_{n}}{n} =$

A) 0
B) 1
C) +∞
D) 2

Q2:

$lim_{n ➝ + \infty} \frac{\sin^{2} n - \cos^{3} n}{n} =$

A) 0
B) 1
C) -∞
D) +∞

Q3:

$lim_{x ➝ 1^{+}} \times \ln x \ln (\ln x) =$

A) 1
B) 0
C) +∞
D) -∞

Q4:

Soit $(u_{n}$ ) la suite définie sur IN* par:
$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$

A) $u_{2 n} - u_{n} \geq \frac{1}{2}$
B) $u_{2 n} - u_{n} \leq \frac{1}{4}$
C) $u_{2 n} - u_{n} < \frac{1}{3}$
D) $u_{2 n} - u_{n} < \frac{1}{2}$

Q5:

Pour la même suite que Q4.
Soit $(u_{n}$ ) la suite définie sur IN* par:
$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$
On a:

A) $u_{2^{10}} \geq 6$
B) $u_{2^{10}} < 6$
C) $u_{2^{10}} = 3$
D) $u_{2^{10}} < 5 .$

Q6:

$\cos (A r c t a n (x)) =$

A) $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
B) $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
C) $\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
D) $\frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Q7:

Soit $f : I R ➝ I R$ une fonction continue en 0 telle que:
$\forall x \in I R f (2 x) = f (x)$ Alors $f$ est:

A) Constante
B) Strictement croissante
C) Strictement décroissante
D) périodique de période 2

Q8:

$f : I R ➝ I R$ une fonction dérivable en $a \in I R$ .
$lim_{x ➝ a} \frac{x f (a) - a f (x)}{x - a} =$

A) f ‘(a)
B) f(a)+af ‘(a)
C) f(a)-f ‘(a)
D) f(a)-af ‘(a)

Q9:

$\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{2} + 1} d x =$

A) $\frac{π}{4}$
B) $\frac{2}{3}$
C) $\frac{π}{4} - \frac{2}{3}$
D) $\frac{π}{4} + \frac{2}{3}$

Q10:

$\int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} \ln (x^{2} + 1) d x =$

A) $\sqrt{3} \ln 2 - \frac{π}{9}$
B) $\sqrt{3} \ln 2 + \frac{π}{9}$
C) $2 (\sqrt{3} \ln 2 - \frac{π}{9})$
D) $\sqrt{3} \ln 2$

Exercice 1:

On considére la cube ABCDEFGH et on note $A, \vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A E}$ un repère orthonormé de l'espace.

Q11:

Les coordonnées du vecteur $\vec{F D}$ sont

A) (1,1,1)
B) (-1,1,1)
C) (-1,1,-1)
D) (1,1,0)

Q12:

Une représentation paramétrique de la droite (FD)

A) ${\begin{matrix} x = t \\ y = t + 1, \\ z = - t \end{matrix}$ (t∈R)
B) ${\begin{matrix} x = - t \\ y = - t + 1, \\ z = - t \end{matrix}$ (t∈R)
C) ${\begin{matrix} x = - t \\ y = t + 1, \\ z = - t \end{matrix}$ (t∈R)
D) ${\begin{matrix} x = t \\ y = t + 1, \\ z = + t \end{matrix}$ (t∈R)

Q13:

On note I le milieu du segment [AB], J le milieu du segment [EH] et K le milieu du segment [BC]. La droite (FD)

A) est orthogonale au plan (IJK)
B) n’est pas orthogonale au plan (IJK)
C) appartient au plan (IJK)
D) paralléle au plan (IJK)

Q14:

Une équation cartésienne du plan (IJK) est ax + by + cz +d =0 avec

A) a=-1, b=-1, c=1 et d=- $\frac{1}{2}$
B) a=1, b=-1, c=1 et d=- $\frac{1}{2}$
C) a=-1, b=-1, c=1 et d= $\frac{1}{2}$
D) a=1, b=1, c=-1 et d=- $\frac{1}{2}$

Q15:

Les coordonnées du point M; intersection de la droite (FD) et le plan (IJK) sont:

A) ( $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2})$
B) ( $\frac{1}{2}$ ,0, $\frac{1}{2})$
C) ( $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ ,0)
D) (1,1,0)

Q16:

Le triangle IJK est

A) Équilatéral
B) Rectangle en J
C) Rectangle en K
D) Rectangle en I

Exercice 12:

Le QCM du concours ENSA comporte 20 questions, pour chacune desquelles 4 réponses sont proposées et une seule est correcte. Un étudiant décide de remplir la grille-réponses en cochant au hasard une réponse pour chacune des 20 questions. Pour n∈IN et $0 \leq n \leq 20$ , on note $A_{n}$ " répondre au hasard exactement n fois correctement " l'évènement $A_{n}$ est réalisé si n réponses sont correctes et $20 - n$ sont incorrectes. $(\begin{matrix} n \\ p \end{matrix})$ désigne le nombre de combinaison de p parmi n.

Q17:

La probabilité de ne donner aucune réponse correcte est $P (A_{0}) =$

A) $\frac{3^{20}}{4^{20}}$
B) $\frac{24}{4^{20}}$
C) $\frac{1}{20^{4}}$
D) $\frac{1}{80}$

Q19:

La probabilité de répondre au hasard au moins 6 fois correctement est

A) $\sum_{n = 6}^{20} \frac{(\begin{matrix} 20 \\ n \end{matrix}) 3^{20 - n}}{4^{20}}$
B) $\sum_{n = 0}^{6} \frac{(\begin{matrix} 20 \\ n \end{matrix}) 3^{20 - n}}{4^{20}}$
C) $\sum_{n = 6}^{20} \frac{(\begin{matrix} 20 \\ n \end{matrix}) 3^{20 - n}}{20^{4}}$
D) $\sum_{n = 0}^{6} \frac{(\begin{matrix} 20 \\ n \end{matrix}) 3^{20 - n}}{20^{4}}$

Q18:

La probabilité de donner exactement n bonnes réponses correctes est $P (A_{n}) =$

A) $\frac{(\begin{matrix} 20 \\ n \end{matrix}) 3^{n}}{4^{20}}$
B) $\frac{(\begin{array}{l} 20 \\ n \end{array}) 3^{20 - n}}{4^{20}}$
C) $\frac{(\begin{matrix} 20 \\ 3 \end{matrix})^{20 - n}}{20^{4}}$
D) $\frac{(\begin{matrix} 20 \\ 3 \end{matrix}) 3^{n}}{80}$

Correction Concours ENSA 2018: