Exercice 1: (5 Pts)
Soit \((u_{n})_{n∈IN}\) la suite numérique définie par:
\(u_{0}=-1\)
et pour tout n de \(IN\) on a:
\(u_{n+1}=\frac{1}{3} u_{n}-\frac{1}{2}\)
1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\)
2. Montrer par récurrence que pour tout n de IN : \(u_{n}<-\frac{3}{4}\)
3.a. Montrer que pour tout n de IN \(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{2}{3}(u_{n}+\frac{3}{4})\)
3.b. En déduire que \((u_{n})_{n∈IN}\) est une suite croissante.
4. Déduire de ce qui précede que la suite \((u_{n})_{n∈IN}\) est convergente.
5. On pose pour tout n de N : \(v_{n}=u_{n}+\frac{3}{4}\)
5.a. Calculer \(v_{0}\)
b. Montrer que ( \(v_{n}\) ) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{3}\)
c. Donner \(v_{n}\) en fonction de n
d. En déduire que pour tout n de \(IN\):
\(u_{n}=-\frac{1}{4}[(\frac{1}{3})^{n}+3]\)
6. Calculer \(lim_{n→+∞} u_{n}\)
Exercice 2: (5.5 Pts)
On considère la fonction numérique g
de la variable réelle x définie sur \(]0;+∞[\) par:
\(g(x)=1-\frac{1}{x^{2}}+\ln x\)
1. Calculer:
\(\lim _{x ➝ 0+} g(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} g(x)\)
2.a. Montrer que ∀\(x\)>0:
\( g'(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\)
2.b. Donner le signe de \(g'(x)\) sur ]0;+∞[
3.a. Calculer \(g(\frac{1}{e})\) et \(g(1)\)
puis dresser le tableau de variations de \(g(x)\).
3.b. A partir du tableau de variations de \(g(x)\),
donner le signe de \(g(x)\) sur ]0;1[ et sur ]1;+∞[
3.c. A l’aide du tableau de variations ,résoudre l’inéquation :
\(1+e^{2}+\ln x ≥ \frac{1}{x^{2}}\)
Exercice 3: (5.5 Pts)
On considère la fonction numérique f de la variable réelle \(x\) définie sur ]0;+∞[ par:
\(f(x)=(\ln x)^{2}-\ln x\)
1. calculer \(\lim _{k ➝ 0} f(x)\) et \(\lim_{x→+∞} f(x)\)
2.a. Montrer que ∀\(x\)>0 :
\(f ‘(x)=\frac{I}{x}(2 \ln x-1)\)
2.b. Montrer que \(f ‘(x)≤ 0\) sur \(]0,\sqrt{e}]\) :
et \(f ‘(x) ≥ 0\) sur \([\sqrt{e},+∞[\)
2.e. Calculer \(f(\sqrt{e})\) et f(e)
puis dresser le tableau de variations de f.
3. A partir du tableau de variations de f:
3.a. Donner la valeur minimale de f sur ]0;+∞[.
3.b. Déterminer l’image de l’intervalle \([\sqrt{e};e]\) par f.
Exercice 4: (4 Pts)
Les questions 1,2 et 3 sont indépendantes:
1. Calculer les limites suivantes :
a. \(\lim_{x➝+∞}(\frac{2}{x}+\frac{e^{x}}{e^{x}-1})\)
b. \(\lim_{x➝-∞}(2 x+\frac{e^{x}}{e^{x}-1})\)
c. \(\lim_{x➝0+}(\frac{e^{x}-1}{x^{2}})\)
2.a. Résoudre dans R. l’équation suivante: \(t^{2}+t-2=0\)
2.b. En déduire dans R les solutions de l’équation suivante : \(e^{2}+e^{x}-2=0\)
3. Donner une primitive H de la fonction h définie sur ]0;+∞[ par :
\(h(x)=e^{x}+\frac{2 \ln x}{x}\)