Examen National 2021 math bac 2 science physique Normal

Exercice 1: (2 Pts)

1) a) Résoudre dans R I’équation : $e^{2x}-4e^x+3=0$
b) Résoudre dans R l’inéquation : $e^{2x}-4e^1+3\le 0$
c) Calculer $\underset{x➝0}{lim}\frac{e^{ix}-4e^x+3}{e^{2x}-1}$
2) Montrer que l’équation $e^{2x}+e^x+4x=0$
admet une solution dans l’intervalle [-1,0]

Exercice 2: (4 Pts)

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par :
$u_0=\frac{1}{2}$
et $u_{n+1}=\frac{u_n}{3-2u_n}$ pour tout $n$ de IN
1) Calculer $u_1$
2) Montrer par récurrence que pour tout n de $IN,0<u_n\le \frac{1}{2}$
3) a) Montrer que pour tout n de IN, $\frac{u_{n+1}}{u_n}\le \frac{1}{2}$
b) En déduire la monotonie de la suite $(u_n)$
4) a) Montrer que pour tout n de $\mathbb{N},0<u_n\le (\frac{1}{2}{)}^{n+1}$;
puis calculer la limite de la suite $(u_n)$
b) On pose $v_n=\ln (3-2u_n)$ pour tout n de IN,
calculer $lim{v}_n$
a) Vérifier que pour tout n de IN, $\frac{1}{u_{n+1}}-1=3(\frac{1}{u_n}-1)$
b) En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ de $IN$

Exercice 3: (5 Pts)

1) Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation :
$z^2-\sqrt{3}z+1=0$
2) Soient les nombres complexes $a=e^{\frac{1\pi }{6}}$
et $b=\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$
a) Ecrire a sous forme algébrique.
b) Vérifier que $\overline{a}b=\sqrt{3}$
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$,
on considère les points A,B et C d’affixes respectives a,b et $\overline{a}$.
3) Montrer que le point B est l’image du point A par une homothétie h de centre O
dont on déterminera le rapport.

4) Soient z l’affixe d’un point M du plan et z’ l’affixe du point M’ image de M par
la rotation R de centre A et d’angle $\frac{\pi }{2}$
a) Ecrire z’ en fonction de z et a.
b) Soit d l’affixe du point D image de C par la rotation R,
montrer que $d=a+1$
c) Soit I le point d’affixe le nombre 1,
montrer que ADIO est un losange.
5) a) Verifier que $d-b=\frac{\sqrt{3}-1}{2}(1-i);$
en déduire un argument du nombre d-b
b) Ecrire le nombre 1-b sous forme trigonométrique.c) Déduire une mesure de l’angle $\widehat{(\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BD})}$

Exercice 4: (9 Pts)

Soit la fonction f définie sur $[0,+\infty [$ par:
$f(0)=0$
et $f(x)=2x\ln x-2x$ si $x>0$
et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
$(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ ( unité: 1cm )
1) Montrer que f est continue a droite au point 0 .
2) a) Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$
b) Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{f(x)}{x}$
puis interpréter géométriquement le résultat
3) a) Calculer $\underset{x➝\in ft{y}^{\circ }}{lim}\frac{f(x)}{x}$
et interpréter géométriquement le résultat
b) Calculer f ‘(x) pour tout x de $]0,+\infty [$
e) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur $[0,+\infty [$
4) a) Résoudre dans l’intervalle $]0,+\infty [$ les équations $f(x)=0$ et $f(x)=x$
b) Construire la courbe (C) dans le repère $(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
(on prend $e^{\frac{3}{2}}=4.5$ )

5) a) En utilisant une intégration par parties,
montrer que ${\int }_1^{e}x\ln xdx=\frac{1+e^2}{4}$
b) En déduire : ${\int }_1^{t}f(x)dx$
6)a) Déterminer le minimum de f sur $]0,+\infty [$
b) En déduire que pour tout x de $]0,+\infty [,\ln x\ge \frac{x-1}{x}.$
7) Soit g la restriction de la fonction f à l’intervalle $[1,+\infty [$
a) Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque $g^{-1}$
définie sur un intervalle J qu’on déterminera.
b) Construire dans le même repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ la courbe représentative
de la fonction $g^{-1}$
on considère la fonction h définie sur $IR$ par :
$\{\begin{array}{l}h(x)=x^3+3x;x\le 0\\ h(x)=2x\ln x-2x;x>0\end{array}$
a) Etudier la continuité de h au point 0
b) Etudier la dérivabilité de la fonction h à gauche au point 0
puis interpréter géométriquement le résultat.
c) La fonction h est-elle dérivable au point 0 ? justifier.