Exercice 1: (2 Pts)
1) a) Résoudre dans R I’équation : \(e^{2 x}-4 e^{x}+3=0\)
b) Résoudre dans R l’inéquation : \(e^{2 x}-4 e^{1}+3≤ 0\)
c) Calculer \(\lim _{x ➝ 0} \frac{e^{i x}-4 e^{x}+3}{e^{2 x}-1}\)
2) Montrer que l’équation \(e^{2x}+e^{x}+4x=0\)
admet une solution dans l’intervalle [-1,0]
Exercice 2: (4 Pts)
Soit \((u_{n})\) la suite numérique définie par :
\(u_{0}=\frac{1}{2}\)
et \(u_{n+1}=\frac{u_{n}}{3-2 u_{n}}\) pour tout \(n\) de IN
1) Calculer \(u_{1}\)
2) Montrer par récurrence que pour tout n de \(IN, 0<u_{n}≤ \frac{1}{2}\)
3) a) Montrer que pour tout n de IN, \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}≤ \frac{1}{2}\)
b) En déduire la monotonie de la suite \((u_{n})\)
4) a) Montrer que pour tout n de \(\mathbb{N}, 0<u_{n}≤ (\frac{1}{2})^{n+1}\);
puis calculer la limite de la suite \((u_{n})\)
b) On pose \(v_{n}=\ln (3-2 u_{n})\) pour tout n de IN,
calculer \(\lim v_{n}\)
a) Vérifier que pour tout n de IN, \(\frac{1}{u_{n+1}}-1=3(\frac{1}{u_{n}}-1)\)
b) En déduire \(u_{n}\) en fonction de \(n\) pour tout \(n\) de \(IN\)
Exercice 3: (5 Pts)
1) Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation :
\(z^{2}-\sqrt{3} z+1=0\)
2) Soient les nombres complexes \(a=e^{\frac{1π}{6}}\)
et \(b=\frac{3}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
a) Ecrire a sous forme algébrique.
b) Vérifier que \(\bar{a} b=\sqrt{3}\)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\),
on considère les points A,B et C d’affixes respectives a,b et \(\bar{a}\).
3) Montrer que le point B est l’image du point A par une homothétie h de centre O
dont on déterminera le rapport.
4) Soient z l’affixe d’un point M du plan et z’ l’affixe du point M’ image de M par
la rotation R de centre A et d’angle \(\frac{\pi}{2}\)
a) Ecrire z’ en fonction de z et a.
b) Soit d l’affixe du point D image de C par la rotation R,
montrer que \(d=a+1\)
c) Soit I le point d’affixe le nombre 1,
montrer que ADIO est un losange.
5) a) Verifier que \(d-b=\frac{\sqrt{3}-1}{2}(1-i) ;\)
en déduire un argument du nombre d-b
b) Ecrire le nombre 1-b sous forme trigonométrique.c) Déduire une mesure de l’angle \(\widehat{(\overrightarrow{BI}, \overrightarrow{BD})}\)
Exercice 4: (9 Pts)
Soit la fonction f définie sur \([0,+∞[\) par:
\(f(0)=0\)
et \(f(x)=2 x \ln x-2 x\) si \(x>0\)
et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\((O, \vec{i}, \vec{j})\) ( unité: 1cm )
1) Montrer que f est continue a droite au point 0 .
2) a) Calculer \(\lim _{x ➝+∞} f(x)\)
b) Calculer \(\lim _{x ➝+∞} \frac{f(x)}{x}\)
puis interpréter géométriquement le résultat
3) a) Calculer \(\lim _{x ➝∈fty^{\circ}} \frac{f(x)}{x}\)
et interpréter géométriquement le résultat
b) Calculer f ‘(x) pour tout x de \(] 0,+∞[\)
e) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur \([0,+∞[\)
4) a) Résoudre dans l’intervalle \(] 0,+∞[\) les équations \(f(x)=0\) et \(f(x)=x\)
b) Construire la courbe (C) dans le repère \((0, \vec{i}, \vec{j})\)
(on prend \(e^{\frac{3}{2}}=4.5\) )
5) a) En utilisant une intégration par parties,
montrer que \(\int_{1}^{e} x \ln x d x=\frac{1+e^{2}}{4}\)
b) En déduire : \(\int_{1}^{t} f(x) d x\)
6)a) Déterminer le minimum de f sur \(] 0,+∞[\)
b) En déduire que pour tout x de \(] 0,+∞[, \ln x \geq \frac{x-1}{x}.\)
7) Soit g la restriction de la fonction f à l’intervalle \([1,+∞[\)
a) Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque \(g^{-1}\)
définie sur un intervalle J qu’on déterminera.
b) Construire dans le même repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) la courbe représentative
de la fonction \(g^{-1}\)
on considère la fonction h définie sur \(IR\) par :
\(\left\{\begin{array}{l}h(x)=x^{3}+3 x \quad ; x \leq 0 \\ h(x)=2 x \ln x-2 x \quad ; x>0\end{array}\right.\)
a) Etudier la continuité de h au point 0
b) Etudier la dérivabilité de la fonction h à gauche au point 0
puis interpréter géométriquement le résultat.
c) La fonction h est-elle dérivable au point 0 ? justifier.