Examen Bac 2 Economie Générale et Statistiques 2021 Normale

Exercice 1: (5 Pts)

Soit $(u_n{)}_{n\in IN}$ la suite numérique définie par:
$u_0=-1$
et pour tout n de $IN$ on a:
$u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n-\frac{1}{2}$
1. Calculer $u_1$ et $u_2$
2. Montrer par récurrence que pour tout n de IN : $u_n<-\frac{3}{4}$
3.a. Montrer que pour tout n de IN $u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}(u_n+\frac{3}{4})$
3.b. En déduire que $(u_n{)}_{n\in IN}$ est une suite croissante.
4. Déduire de ce qui précede que la suite $(u_n{)}_{n\in IN}$ est convergente.
5. On pose pour tout n de N : $v_n=u_n+\frac{3}{4}$
5.a. Calculer $v_0$
b. Montrer que ( $v_n$ ) est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$
c. Donner $v_n$ en fonction de n
d. En déduire que pour tout n de $IN$:
$u_n=-\frac{1}{4}[(\frac{1}{3}{)}^n+3]$
6. Calculer $li{m}_{n\to +\infty }{u}_n$

Exercice 2: (5.5 Pts)

On considère la fonction numérique g
de la variable réelle x définie sur $]0;+\infty [$ par:
$g(x)=1-\frac{1}{x^2}+\ln x$
1. Calculer:
$\underset{x➝0+}{lim}g(x)$ et $\underset{x➝+\infty }{lim}g(x)$
2.a. Montrer que ∀$x$>0:
$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}$
2.b. Donner le signe de $g^{\prime }(x)$ sur ]0;+∞[
3.a. Calculer $g(\frac{1}{e})$ et $g(1)$
puis dresser le tableau de variations de $g(x)$.
3.b. A partir du tableau de variations de $g(x)$,
donner le signe de $g(x)$ sur ]0;1[ et sur ]1;+∞[
3.c. A l’aide du tableau de variations ,résoudre l’inéquation :
$1+e^2+\ln x\ge \frac{1}{x^2}$

Exercice 3: (5.5 Pts)

On considère la fonction numérique f de la variable réelle $x$ définie sur ]0;+∞[ par:
$f(x)=(\ln x{)}^2-\ln x$
1. calculer $\underset{k➝0}{lim}f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)$
2.a. Montrer que ∀$x$>0 :
$f‘(x)=\frac{I}{x}(2\ln x-1)$
2.b. Montrer que $f‘(x)\le 0$ sur $]0,\sqrt{e}]$ :
et $f‘(x)\ge 0$ sur $[\sqrt{e},+\infty [$
2.e. Calculer $f(\sqrt{e})$ et f(e)
puis dresser le tableau de variations de f.
3. A partir du tableau de variations de f:
3.a. Donner la valeur minimale de f sur ]0;+∞[.
3.b. Déterminer l’image de l’intervalle $[\sqrt{e};e]$ par f.

Exercice 4: (4 Pts)

Les questions 1,2 et 3 sont indépendantes:
1. Calculer les limites suivantes :
a. $\underset{x➝+\infty }{lim}(\frac{2}{x}+\frac{e^x}{e^x-1})$
b. $\underset{x➝-\infty }{lim}(2x+\frac{e^x}{e^x-1})$
c. $\underset{x➝0+}{lim}(\frac{e^x-1}{x^2})$
2.a. Résoudre dans R. l’équation suivante: $t^2+t-2=0$
2.b. En déduire dans R les solutions de l’équation suivante : $e^2+e^x-2=0$
3. Donner une primitive H de la fonction h définie sur ]0;+∞[ par :
$h(x)=e^x+\frac{2\ln x}{x}$