Exercice 1: (12 Pts)
Pour tout entier naturel (n), on considère la fonction (f_{n }) définie sur IR par :
(f_{n}(x)=frac{-2 e^{x}}{1+e^{x}}+n x)
Soit ((C_{n})) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
((O, vec{i}, vec{j})).
On prendra (|vec{i}|=|vec{j}|= l cm) )
Partie I :
1-a) Calculer (lim _{x➝+∞}(f_{n}(x)-n x+2))
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Montrer que:
la courbe ((C_{n})) admet, en (-∞), une asymptote ((Δ_{n})) dont on déterminera
une équation caractéristique.
2-a) Montrer que la fonction (f_{n}) est dérivable sur (IR)
et que (∀x∈IR):
(f_{n}^{prime}(x)=frac{-2 e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}+n)
b) Montrer que (∀x∈IR):
(frac{4 e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}≤ 1)
c) En déduire le sens de variation de la fonction (f_{n}) sur (IR)
(On distinguera les deux cas: (n=0) et (n≥1) )
3-a) Déterminer l’équation de la tangente a la courbe ((C_{n}))
au point (I) d’abscisse 0
b) Montrer que le point (I) est le seul point d’inflexion de la courbe ((C_{n}))
4- Représenter graphiquement dans le même repère, les deux courbes ((C_{0})) et ((C_{2})).
5- Pour tout reel (t>0), on pose (A(t)) l’aire du domaine plan limité par:
((C_{n})) et les droites d’équations respectives: (y=n x-2, x=0) et (x=t)
a) Calculer (A(t)) pour tout (t>0)
b) Calculer (lim A(t))
Partie II :
On considère la suite ((u_{n})_{n≥0}) définie par:
(u_{0}=0)
et (∀n∈IN) ; (u_{n+1}=f_{0}(u_{n}))
1-a) Montrer que I’équation (f_{0}(x)=x)
admet une unique solution (α) dans (R)
b) Montrer que (∀x∈IR):
(|f_{0}^{prime}(x)|≤ frac{1}{2})
2-a) Montrer que (∀n∈IN):
(|u_{n+1}-α|≤frac{1}{2}|u_{n}-α|)
b) En déduire que (∀n∈IN):
( |u_{n}-α|≤ (frac{1}{2})^{n}|α|)
c) Montrer que la suite ((u_{n})_{n≥0}) converge vers (α)
Partie III :
a suppose dans cette partie que (n≥2)
1-a) Montrer que pour tout entier (n≥2), il existe un unique réel (x),
solution de l’équation (f_{n}(x)=0)
b) Montrer que pour tout entier (n≥2), (0<x_{n}<1)
(On prendra (frac{2 e}{1+e}<1.47) )
2-a) Montrer que pour tout entier (n≥2):
f_{n+1}(x_{n})>0)
b) En déduire que la suite ((u_{n})_{n≥2}) est strictement décroissante.
c) Montrer que la suite ((u_{n})_{n≥2}) est convergente.
3-a) Montrer que pour tout entier (n≥2)
(frac{1}{n}<x_{n}<frac{1}{n}(frac{2e}{1+e}))
b) En déduire (lim _{x➝+∞} x_{0}),
puis montrer que (lim nx_{n}=1)
4-a) Montrer que pour tout entier (n≥2),
on a:(x_{n}≤ x_{2})
b) En déduire (lim (x_{n})^{n})
Exercice 2: (4 Pts)
Soient (a, b) et (c) trois nombres complexes non nuls
tel que: (a+b≠c)
1-a) Résoudre dans l’ensemble C l’équation d’inconnue (z)
((E): z^{2}-(a+b+c) z+c(a+b)=0)
b) On suppose dans cette question que: (a=i, b=e^{ifrac{π}{3}}) et (c=a-b)
Ecrire les deux solutions de l’équation ((E)) sous forme exponentielle.
2- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ((0, vec{u}, vec{v})).
On considère les trois points (A(a), B(b)) et (C(c)) qu’on suppose non alignes.
Soient (P(p)) le centre de la rotation d’angle (frac{pi}{2}) qui transforme (B) en (A)
et (Q(q)) le centre de la rotation d’angle ((-frac{pi}{2})) qui transforme (C) en (A)
et (D(d)) le milieu du segment ([BC])
a) Montrer que:
(2 p=b+a+(a-b) i) et (2 q=c+a+(c-a) i)
b) Calculer : (frac{p-d}{q-d})
c) En déduire la nature du triangle (PDQ)
3- Soient (E) le symétrique de (B) par rapport à (P)
et (F) le symétrique de (C) par rapport
à (Q) et (K) le milieu du segment ([EF])
a) Montrer que l’affixe de (K) est (k=a+frac{i}{2}(c-b))
b) Montrer que les points (K, P, Q) et (D) sont cocycliques.
Exercice 3: (4 Pts)
Partie I :
On considère dans (Z × Z) l’équation ((E): 47x-43 y=1)
I- Vérifier que le couple ( 11,12 ) est une solution particulière de l’équation ((E))
2- Résoudre dans (Z × Z). l’équation ((E))
Partie II :
On considère dans (Z) I’équation ((F): x^{41}=4) [43]
1-Soit (x∈Z) une solution de l’équation ((F))
a) Montrer que (x) et 43 sont premiers entre eux,
en déduire que: (x^{42}=1) [43]
b) Montrer que: (4 x=1 quad[43]),
en déduire que : (x=11) [43]
2- Donner l’ensemble des solutions dans (Z) de l’équation ( (F) )
Partie III :
On considère dans Z le système à deux équations suivant ((S)):
(left{begin{array}{l}x^{41}=4[43] \ x^{47}=10[47]end{array}right.)
1-Soit (x) une solution du système (S)
a) Montrer que (x) est solution du système ((S^{prime})):
(left{begin{array}{l}x=11[43] \ x=10[47]end{array}right.)
b) En déduire que: (x=527[2021])
(On pourra utiliser la partie I)
2- Donner I’ensemble des solutions dans (Z) du système (S)
Indication Solution:
Ex 2:
1-a:
z²-(a+b+c) z+c(a+b)=
z²-cz-(a+b)z+c(a+b)=
z(z-c)+(a+b)(z-c)=
(z-c)(z-a+b)=0
z=c et z=a+b
Ex 3:
4-b) En déduire (lim (x_{n})^{n})
on a:
((x_{n})^{n}=e^{nln(x_{n})})
et
(0<x_{n}≤ x_{2})
→ (ln(x_{n})≤ ln(x_{2}))
→ (nln(x_{n})≤n ln(x_{2}))
→ (e^{nln(x_{n}})≤e^{n ln(x_{2}}))
→((x_{n})^{n}≤e^{nln(x_{2}}))
d’ aprés 3-a) pour n=2
(frac{1}{2}<x_{2})
→(ln(x_{2})<0)
→(lim e^{nln(x_{2}})=0)
Donc: (lim (x_{n})^{n}=0)