Olympiade Math – Débutant – Algèbre 01

Exercice 1:

x,y,z trois nombres strictement positifs.
Montrer que :
$\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{z} + \frac{z^{2}}{x} \geq x + y + z$ .

Réponse:

On a: (x-y)²≥0
d’ où: x²+y²≥2xy
et par suite:
$\frac{x^{2} + y^{2}}{y} \geq \frac{2 x y}{y}$
(car: y>0)
donc:
$\frac{x^{2}}{y} + y \geq 2 x$ ①
de même pour:
$\frac{y^{2}}{z} + z \geq 2 y$ ②
$\frac{z^{2}}{x} + x \geq 2 z$ ③
①+②+③
on conclut que:
$\frac{x^{2}}{y} + y + \frac{y^{2}}{z} + z + \frac{z^{2}}{x} + x \geq 2 x + 2 y + 2 z$
Donc:
$\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{z} + \frac{z^{2}}{x} \geq x + y + z$

Exercice 2:

x,y deux nombres strictement positifs.
Montrez que :
$\frac{x}{x^{4} + y^{2}} + \frac{y}{y^{4} + x^{2}} \leq \frac{1}{x y}$ .

Réponse:

On a:
$(x^{2} - y)^{2} \geq 0$
➝ $x^{4} + y^{2} \geq 2 x^{2} y$
➝ $\frac{1}{x^{4} + y^{2}} \leq \frac{1}{2 x^{2} y}$
➝ $\frac{x}{x^{4} + y^{2}} \leq \frac{x}{2 x^{2} y}$
➝ $\frac{x}{x^{4} + y^{2}} \leq \frac{1}{2 x y}$ ①

de même pour:
$\frac{y}{y^{4} + x^{2}} \leq \frac{1}{2 y x}$ ②

①+② d’où:
$\frac{x}{x^{4} + y^{2}} + \frac{y}{y^{4} + x^{2}} \leq \frac{1}{2 x y} + \frac{1}{2 y x}$
Donc:
$\frac{x}{x^{4} + y^{2}} + \frac{y}{y^{4} + x^{2}} \leq \frac{1}{x y}$ .

Exercice 3:

x,y deux nombres réels tel que : x + y = 1.
Montrez que :
xy ≤1/4.

Réponse:

On a:
x+y=1
⇾ (x+y)²=1
⇾ x²+2xy+y²=1
⇾ x²-2xy+y²=1-4xy
⇾ (x-y)²=1-4xy
⇾ 1-4xy ≥ 0
⇾ xy≤1/4

Exercice 4:

Montrer quex,y,z trois nombres réels positifs
tel que: 2(z²-y²) = 3x².
Trouvez le plus grande de ces trois nombres.

Réponse:

Sur la poseon a:
2(z²-y²) = 3x²
⇾ (z²-y²) = 3/ 2 x²
⇾ (z-y)(z+y) = 3/2 x² ⇾ z-y ≥ 0
⇾ z≥y ①

d’autre part:
2(z²-y²) = 3x²
⇾ 2z²-2y²= 3x²
⇾ 2z²-2x²= x²+2y²
⇾ z²-x²= (x²+2y²) / 2
⇾ (z-x)(z+x)= (x²+2y²) / 2
⇾ z-y ≥ 0
⇾ z≥x ②

Donc:
« Z » est le plus grande de ces trois nombres

Exercice 5:

x,y,z trois nombres réels strictement positifs;
Montrer que :
$(x + y) (y + z) (z + x) \geq 8 x y z$ .

Réponse:

On a:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2} \geq 0$
➝ $(x - 2 \sqrt{x} \sqrt{y} + y \geq 0$
➝ $(x + y \geq 2 \sqrt{x} \sqrt{y}$ ①
de même pour:
$(y + z \geq 2 \sqrt{y} \sqrt{z}$ ②
$(z + x \geq 2 \sqrt{z} \sqrt{x}$ ③

①×②×③
Donc:
$(x + y) (y + z) (z + x) \geq 8 (\sqrt{x})^{2} (\sqrt{y})^{2} (\sqrt{z})^{2}$
➝ $(x + y) (y + z) (z + x) \geq 8 x y z$ .

Exercice 1:

x,y,z trois nombres strictement positifs.Montrer que : x2y+y2z+z2x≥x+y+z.

Exercice 2:

x,y deux nombres strictement positifs.Montrez que :xx4+y2+yy4+x2≤1xy.

Exercice 3:

x,y deux nombres réels tel que : x + y = 1.Montrez que : xy ≤1/4.

Exercice 4:

Montrer quex,y,z trois nombres réels positifs tel que: 2(z²-y²) = 3x².Trouvez le plus grande de ces trois nombres.

Exercice 5:

x,y,z trois nombres réels strictement positifs; Montrer que : (x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz.

x,y,z trois nombres strictement positifs.
Montrer que :
$\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{z} + \frac{z^{2}}{x} \geq x + y + z$ .

x,y deux nombres strictement positifs.
Montrez que :
$\frac{x}{x^{4} + y^{2}} + \frac{y}{y^{4} + x^{2}} \leq \frac{1}{x y}$ .

x,y deux nombres réels tel que : x + y = 1.
Montrez que :
xy ≤1/4.

Montrer quex,y,z trois nombres réels positifs
tel que: 2(z²-y²) = 3x².
Trouvez le plus grande de ces trois nombres.

x,y,z trois nombres réels strictement positifs;
Montrer que :
$(x + y) (y + z) (z + x) \geq 8 x y z$ .