Exercice 1: (2 Pts)
1) Résoudre dans (IR) l’équation : (quad t^{2}-2 t-3=0).
2) Déduire dans (IR) la solution de :
* (quad e^{x}-2-frac{3}{e^{x}}=0)
* (ln (x-2)+ln (x)>ln (3)).
3) Résoudre dans (( R ^{+})^{2}) le système suivant:
(left{begin{array}{l}ln left(x^{3}right)+5 ln (y)=-1 \ 2 ln left(x^{2}right)-ln left(y^{3}right)=2end{array}right.)
Exercice 2: (4 Pts)
On considère la suite numérique ((U_{n})_{n ≥ 0}) définie par:
(U_{0}=frac{1}{5})
(U_{n+1}=frac{2 U_{n}}{2 U_{n}+1}) (∀n∈IN )
1) Calculer (U_{1})
et montrer par récurrence que: ((∀n∈IN ) quad 0<U_{n}<frac{1}{2}).
2) Montrer que ((U_{n})) est strictement croissante.
3) Soit ((V_{n})) la suite définie par : ((∀n∈IN )),
(V_{n}=frac{3^{n}U_{n}}{2 U_{n}-1})
a) Démontrer que ((V_{n})) est une suite géométrique de raison (q=6),
puis déterminer son premier terme (V_{0}) :
b) Exprimer (V_{n}) en fonction de (n) et montrer que (U_{n}=frac{2^{n}}{3+2^{n+1}})
4) Montrer que ((U_{n})) est convergente
puis calculer (lim _{n➝+∞} U_{n} .) .
5) On pose (S_{n}=V_{3}+V_{4}+ldots+V_{n}.)
Monter que (S_{n}=frac{72}{5}(1-6^{n-2}))
et déduire (lim _{n➝+∞} S_{n} .)
Exercice 3: (3 Pts)
1) Résoudre dans l’ensemble (C) des nombres complexes l’équation:
(z^{2}-2 z+4=0)
2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ((O, vec{e_{1}}, vec{e_{2}})),
on considère les points (A, B) et (C) d’affixes respectives:
(a=1+i sqrt{3}, b=1-i sqrt{3}) et (c=4).
a) Ecrire (frac{a-c}{b-c}) sous forme trigonométrique,
puis déduire la nature du triangle (ABC)
b) Trouver (e) l’affixe de (E) image du point (O)
par la rotation de centre (A) et d’angle (frac{pi}{2}).
c) Démontrer que: (C) est l’image de (E)
par l’homothétie de centre (A) et de rapport (sqrt{3}).
d) Vérifier que: (arg (frac{c}{c-a}) equiv frac{pi}{6}[2pi]).
e) Soit (D) un point d’affixe (d),
appartenant au cercle circonscrit au triangle (OAC) et différent de (O) et de (A).
Déterminer un argument du nombre complexe (frac{d}{d-a}).
Exercice 4: (1.5 Pts)
1) a) Vérifier que pour tout (x∈IR -{1}):
(frac{x^{3}+2 x-7}{x-1}=x^{2}+x+3-frac{4}{x-1}).
b) Déduire la valeur de l’intégrale :
(int_{-1}^{0} frac{x^{3}+2 x-7}{x-1} d x).
2) En utilisant une intégration par parties, montrer que:
(int_{-1}^{0} ln (x+2) d x=ln (4)-1).
Exercice 5: (9.5 Pts)
I- On considère la fonction (g) définie sur (] 0,+∞[) par:
(quad g(x)=ln ^{3}(x)+ln (x)-2)
1) Démontrer que pour tout (x) de (] 0,+∞[) :
(g^{prime}(x)=frac{3 ln ^{2}(x)+1}{x})
2) Calculer (g(e)), puis dresser le tableau de variation de (g).
3) Déduire que (g(x) leq 0) sur (] 0, e]) et (g(x) ≥ 0) sur ([e,+∞[).
II- Soit (f) la fonction numérique définie par: (quad f(x)=ln (x)-frac{1}{ln (x)}+frac{1}{ln ^{2}(x)})
1) Montrer que (.D_{f}=] 0,1[cup] 1,+∞[)
2) Calculer (lim _{x➝ 0^{+}} f(x)),
puis donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.
3) a) Montrer que ((∀x∈D_{f}) ; quad f(x)=frac{ln ^{3}(x)-ln (x)+1}{ln ^{2}(x)})
b) Déduire que (lim _{x➝ 1^{-}} f(x)=+∞) et (lim _{x➝ 1^{+}} f(x)=+∞) ainsi interpréter géométriquement ces deux résultats.
4) Calculer (lim _{x➝+∞} f(x)) et montrer que ((C_{f})) admet une branche parabolique au voisinage de (+∞) o déterminera sa direction.
5) a) Démontrer que pour tout (x) de (] 0,1[cup] 1,+∞[):
(f^{prime}(x)=frac{1}{x ln ^{2}(x)}.frac{g(x)}{ln (x)})
b) Étudier le signe de (f^{prime}(x)) sur (] 0,1[cup] 1,+∞[).
c) Dresser le tableau de variation de (f).
d) Donner l’équation de la tangente ((T)) au point d’abscisse (e)
6) Montrer que:
((C_{f})) coupe l’axe des abscisses en un unique point (α) tel que (e^{-2}<α<e^{-1})
7) Construire la courbe ((C_{f})) et la tangente ((T)) dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j})).
8) Soit (h) la fonction définie sur ([e,+∞[) par : (h(x)=f(x))
a) Montrer que (h) admet une fonction réciproque (h^{-1}) définie sur (J) à déterminer.
b) Donner le tableau de variation de (h^{-1}).
c) Montrer que (h(e^{2})=frac{7}{4}) puis déduire la valeur de ((h^{-1})^{prime}(frac{7}{4})).
d) Construire la courbe ((C_{h^{-1}})) dans le même repère et avec une autre couleur.