Examen National Math Bac 2 Science Math 2010 Normale

Exercice 1: (3.5 Pts)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
1) a-Déterminer les deux racines carrées du nombre complexe $3+4i$
b- Résoudre dans l’ensemble $ℂ$ l’équation :
$(E):4z^2-10iz-7-i=0$
2) Soient $a$ et $b$ les solutions de l’équation $(E)$ avec $Re(a)<0$
et soient $A$ et $B$ leurs points images respectifs dans le plan complexe.
a-Vérifier que: $\frac{b}{a}=1-i$
b- En déduire que le triangle $AOB$ est rectangle et isocèle en $A$.

3) Soient $C$ un point du plan différent du point $A$ ayant pour affixe $c$
et $D$ l’image du point $B$ par la rotation de centre $C$ et d’angle $\frac{\pi }{2}$;
et soit $L$ l’image du point $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AO}$.
a-Déterminer en fonction de $c$ le nombre complexe $d$ affixe du point $D$
b-Déterminer en fonction de $c$ le nombre complexe $\ell$ affixe du point $L$
c-Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $\frac{\ell -c}{a-c}$;
en déduire la nature du triangle $ACL$

Exercice 2: (3 Pts)

1)Déterminer tous les nombres entiers naturels $m$
tels que : $m^2+1\equiv 0[5]$
2) Soit $p$ un nombre premier tel que $p=3+4k$
où $k$ est un nombre entier naturel .
Soit $n$ un nombre entier naturel tel que : $n^2+1\equiv 0[p]$
a-Vérifier que : $(n^2{)}^{1+2k}\equiv -1[p]$
b- Montrer que $n$ et $p$ sont premiers entre eux.
c- En déduire que : $(n^2{)}^{1+2k}\equiv 1[p]$
d- Déduire de ce qui précède qu’il n’existe pas d’entier naturel $n$ vérifiant: $n^2+1\equiv 0[p]$

Exercice 3: (3 Pts)

I)
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty [$ par :
$f(x)=4x{e}^{-x^2}$
Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d’un repère orthonormé
$(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$
1) Calculer la limite de $f$ en $+\infty$
2) Etudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty [$
puis donner son tableau de variations.
3) Déterminer l’équation de la demi-tangente à la courbe $(C)$ à l’origine du repère
puis construire la courbe $(C)$
on prend $\Vert i\Vert =\Vert \overrightarrow{j}\Vert =2cm$
et on admet que le point d’abscisse $\sqrt{\frac{3}{2}}$ est un point d’inflexion
de la courbe $(C))$
4) Calculer l’intégrale $a={\int }_0^{1}f(x)dx$
puis en déduire, en centimètre carré , l’aire de la partie plane limitée par la courbe $(C)$,
les deux axes du repère et la droite d’équation $x=1$

II)
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On considère la fonction numérique définie sur l’intervalle $[0;+\infty [$ par :
$f_n(x)=4x^n{e}^{-x^2}$
1) a- Montrer que: $(\forall x>1)e^{-x^2}<e^{-x}$
b- En déduire la limite de $f_n$ quand $x$ tend vers $+\infty$
2) Etudier les variations de la fonction $f_n$ sur l’intervalle $[0;+\infty [$
puis donner son tableau de variations.
3)Montrer qu’il existe un nombre réel unique $u_n$
de l’intervalle $]0,1[$ tel que: $f_n(u_n)=1$
4) a-Montrer que:
$(\forall n\ge 2)f_{n+1}(u_n)=u_n$
b-montrer que:
la suite $(u_n{)}_{n\ge 2}$ est strictement croissante,
en déduire qu’elle est convergente.
4) On pose: $\ell =\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n$
a-Montrer que: $0<\ell \le 1$
b-Montrer que $(\forall n\ge 2)$ :
$-\frac{\ln (4)}{n}<\ln (u_n)<\frac{1}{n}-\frac{\ln (4)}{n}$
c-En déduire que : $\ell =1$

Exercice 4: (3 Pts)

On considère la fonction numérique $F$ définie sur $IR$ par:
$F(x)={\int }_x^{2x}\frac{1}{\ln (1+t^2)}dt$
1)Montrer que $F$ est impaire.
2) Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0,+\infty [.$
on pose: $\phi (x)={\int }_1^x\frac{1}{\ln (1+t^2)}dt$
a-Vérifier que : $(\forall x>0)F(x)=\phi (2x)-\phi (x)$
b-Montrer que $F$ est dérivable sur l’intervalle $]0,+\infty [.$
puis calculer $F^{\prime }(x)$ pour $x>0$.
c-En déduire le sens de variations de la fonction $F$ sur l’intervalle $]0,+\infty [$.
3) a-En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :
$\forall x>0(\exists c\in ]x,2x[$:
$F(x)=\frac{x}{\ln (1+c^2)}$
b- En déduire que :
$(\forall x>0)\frac{x}{\ln (1+4x^2)}<F(x)<\frac{x}{\ln (1+x^2)}$
c-Déterminer les limites suivantes:
$\underset{x➝0^{+}}{lim}F(x)$ et $\underset{x➝+\infty }{lim}F(x)$ et $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{F(x)}{x}$
d-Montrer que :
$F(\sqrt{e-1})<\sqrt{e-1}$ et $F(\frac{\sqrt{e-1}}{2})>\frac{\sqrt{e-1}}{2}$
en déduire que l’équation $F(x)=x$ admet une solution unique dans $]0,+\infty [$.