Exercice 1: (4 Pts)
Soit \((u_{n})_{n∈IN }\) la suite numérique définie par:
\(u_{0}=4\)
\((∀n∈IN ) ; u_{n+1}=\frac{5 u_{n}-4}{u_{n}+1}\)
1)- a)- (alculer u \(_{1}\).
6)- Montrer par récurrence que: \((∀n∈IN ) ; u_{n}>2\).
2)- a)- Vérifier que :
\((∀n∈IN ) ; u_{n+1}-u_{n}=\frac{-(u_{n}-2)^{2}}{u_{n}+1}\).
6)- En déduire la monotonie de \((u_{n})_{n∈IN }\),
justifier qu’elle est convergente.
3) On pose pour tout n∈IN: \( a_{n}=\frac{1}{u_{n}-2}\).
a)- Montrer que:
la suite \((a_{n})_{n∈IN }\) est arithmétique de raison \(r=\frac{1}{3}\).
b)- Exprimer \(a_{n}\) en fonction de \(n\).
en déduire que ∀n∈IN:
\(u_{n}=\frac{4 n+12}{2 n+3}\).
c)- Déterminer \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\) en justifiant la réponse.
4)- On pose pour tout n∈IN:
\( S_{n}=a_{0} u_{0}+a_{1} u_{1}+…+a_{n} u_{n}\).
Montrer que ∀n∈IN:
\(S_{n}=\frac{n^{2}+7 n+6}{3}\)
calculer \(\lim _{n➝+∞} \frac{\ln (S_{n})}{\ln n}\).
Exercice 2: (5 Pts)
I- On considère dans [ensemble \(C\) l’équation:
(E): \(z^{2}-2(1-\sqrt{2}) z+2(2-\sqrt{2})=0\)
1)- a)- Montrer que le discriminant de \((E)\) est : \(\Delta=-4\).
6) En déduire les solutions de (E) \(z_{1}\) et \(z_{2}\)
tels que: \(Im(z_{1})<0\).
2)- a)- Calculer \(|z_{1}|\),
puis montrer que : \((1+i)z_{1}=-\sqrt{2}×\bar{z}_{1}\).
6) -Déduire \(z_{1}\) sous forme trigonométrique,
puis calculer \(\cos (\frac{11 \pi}{8})\) et \(\sin (\frac{11 \pi}{8})\).
II- On considère les points \(E\), \(F\) et \(G\) d’affixes respectifs:
\(z_{E}=1+i\), \(z_{F}=1-i\) et \(z_{G}=-i \sqrt{3}\)
1) Soit \(N\) l’image de \(F\) par l’homothétie h de centre \(G\) et de rapport 2 .
V. Montrer que l’affixe de N est: \(z_{N}=2+i(\sqrt{3}-2)\).
2) Soit \(r\) la rotation de centre Oet d’angle \(\frac{\pi}{2} .\)
On pose: \(A=r(G)\) et \(C=r(N)\).
Montrer que: \(z_{A}=\sqrt{3}\) et \(z_{C}=2-\sqrt{3}+2 i .\)
3) Soit \(t\) la translation de vecteur \(\vec{w}(2 i) .\)
On pose: \(B=t(N)\) et \(D=t(G)\).
Montrer que: \(z_{B}=2+i \sqrt{3}\) et \(z_{D}=(2-\sqrt{3}) i .\)
4)-a) Montrer que E est milieu de \([AC]\) et de \([BD]\).
Que peut-on déduire?
6)- Vérifier que : \(\frac{z_{C}-z_{E}}{z_{B}-z_{E}}=i\),
en déduire la nature du triangle \(BCE\).
c) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
Exercice 3: (11 Pts)
I- Soit g la fonction définie sur \(] 0 ;+∞[\) par :
\(∀x∈] 0 ;+∞[\) ; \(g(x)=x-\frac{1}{x}-2\ln x\) .
1) a) Montrer que \(∀x∈] 0 ;+∞[\) :
\(g^{\prime}(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}\).
b) En déduire la monotonie de g sur [intervalle \(]0;+∞[\).
2) Calculer \(g(1)\),
justifier que:
\((∀x∈]0;1]) ; g(x)≤ 0\) et que \(∀x∈[1;+∞[ ; g(x) ≥ 0\)
II- On considère la fonction f définie sur \(]0;+∞[\) par:
\(∀x∈]0;+∞[\) ; \(f(x)=x+\frac{1}{x}-(\ln x)^{2}-2\)
1) a) \(-\) Montrer que \(: \lim _{x ➝+∞} \frac{(\ln x)^{2}}{x}=0\),
puis en déduire que: \(\lim _{x ➝+∞} f(x)=+∞\).
b)- Calculer: \(\lim _{x ➝+∞} \frac{f(x)}{x}\) et \(\lim _{x ➝+∞} f(x)-x\),
puis en déduire que la courbe \((C_{f})\)
admet au voisinage de \(+∞\) une branche parabolique de direction la droite \((\Delta)\)
d’équation: \(y=x\).
2)-a)- Vénfier que: \((∀x∈]0;+∞[); f(x)=\frac{x^{2}+1-4(\sqrt{x} \ln \sqrt{x})^{2}-2}{x}\).
b) En déduire que: \(\lim_{x ➝ 0^{+}} f(x)=+∞\)
et donner une interprétation géométrique de ce résultat.
3) a)Montrer que ∀x∈]0;+∞[: \(f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x}\).
6)- Dresser le tableau de variation complet de \(f\) en justifiant la réponse.
4)- a) Construire la courbe \((C_{f})\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
b) Montrer géométriquement que l’équation
\((E): \frac{1}{x}-(\ln x)^{2}-2=0\) admet une unique solution a dans \(]0;+∞[.\)
5)- Soit \(h\) la restriction de \(f\) a \(l\) intervalle \([1;+∞[.\)
a) Montrer que h admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur \([0 ;+∞[.\)
b) Construire la courbe \((C_{h^{-1}})\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
6) a)Montrer que:
la fonction \(K: x→x \ln x-x\) est une primitive de la fonction \(k: x→\ln x\) sur \(]0;+∞[\)
b)- En déduire que : \(\int_{1}^{e} \ln (x) dx=1\).
c) En utilisant une intégration par parties,
calculer la surface délimitée par a courbe \((C_{f})\),
la droite \((\Delta)\) et les droites d’équations: \(x=1\) et \(x=e\).