Exercice 1: (5 Pts)
I.
On considère dans \(C\) l’équation d’inconnue \(Z\) définie par:
\(( E ): z ^{2}+8 \sqrt{3} z+64=0\)
1) Résoudre dans \(C\) l’équation \((E)\).
2) En déduire les solutions de l’équation:
\((2 i \bar{z}-4 \sqrt{3})^{2}+8 \sqrt{3}(2 i \bar{z}-4 \sqrt{3})+64=0\)
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
\(( O ; \vec{ u } ; \vec{v})\).
On considère les points \(A;B\) et \(C\) d’affures respectives:
\(z_{A}=-4 \sqrt{3}-4 i ; z_{B}=-4 \sqrt{3}+4 i ; z_{C}=\sqrt{3}+i .\)
1) A) Ecrire les nombres complexes \(z_{A}\) et \(z_{B}\) sous forme exponentielle.
b) Montrer que le triangle \(OAB\) est équilatéral.
2) Soit \(D\) l’image du point \(C\) par homothétie \(h\)
de centre \(Ω (ω =2 \sqrt{3})\) et de rapport \(k = 2\).
a) Montrer que l’affixe du point \(D\) est \(z_{D}=2 i\)
b) Déterminer une mesure de l’angle orienté \(\widehat{(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OD})}\).
3) Soit \(G\) le barycentre du système pondéré \(\{(B;1 ) ;(D;1) ;(O;-1)\}\).
a) Montrer que l’affixe du point \(G\) est \(z _{G}=-4 \sqrt{3}+ 6 i\).
b) Déterminer la nature du quadrilatère \(OBGD\).
4) Déterminer l’ensemble \((\zeta)\) des points \(M( z )\) du plan tels que:
\(\|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MO}\|≤ 2\)
Exercice 2: (4 Pts)
Soit \((U_{n})\) la suite définie par:
\(U_{0}=1\)
∀n∈IN: \(U_{n+1}=\frac{2 U_{n}+3}{v_{n}+2}\)
1) Montrer que ∀n∈IN*: \(0<U_{n}<\sqrt{3}\).
2) Etudier la monotonie de la suite \(( U _{n})\). Que peut -on en déduire?
3) a) Montrer que ∀n∈IN*:
\((|U_{n+1}-\sqrt{3}|<\frac{1}{2}|U_{n}-\sqrt{3}|\).
b) En déduire que ∀n∈IN*:
\(|U_{n}-\sqrt{3}|<(\frac{1}{2})^{n}(\sqrt{3}-1)\).
c) Déterminer la limite de la suite \((U_{n})\).
4) On considère la suite \((V_{n})_{n ≥ 1}\) définie par ∀n∈IN*:
\(V_{n}=\frac{U_{1}+U_{2}+…+U_{n}}{n}\)
a) Montrer que ∀n∈IN*: \(V_{n}<U_{n} .\)
b) Vérifier que ∀n∈IN*:
\(V_{n+1}=\frac{n V_{n}+U_{n}}{n+1}\)
4) Etudier la monotonie de la suite \((V_{n})_{n ≥ 1}\),
puis déduire qu’elle est convergente.
Exercice 3: (11 Pts)
Partie I
On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0;+∞[\) par:
\(g ( x )=2 \ln (x)+\frac{1}{x}- 1\)
1) Calculer les limites: \(\lim _{x➝ 0^{+}} g(x)\)
et \(\lim _{x➝+∞} g(x)\).
2) Etudier les variations de la fonction \(g\) puis dresser son tableau de variation.
3) a) Montrer que:
l’équation \(g(x)=0\) admet une solution unique \(α\) dans l’intervalle \(]0;\frac{1}{2}\)
b) Montrer que: \(\frac{1}{4}<α<\frac{1}{2}\);
puis déterminons un encadrement de \(α\) de longueur \(125×10^{-3}\)
4) Calculer \(g\) (1) ; puis déterminer le signe de \(g ( x )\) sur \(]0;+∞[\).
Partie II
Soit \(f\) la fonction définie sur \(R\) par :
\(f ( 0 )= 0\)
∀ x >0 :\(f (x)=x^{2}(\ln x-1)+x ;\)
et soit \(( C _{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\(( o;\vec{ i};\vec{ j})\) (unité \(2 cm\) )
1) Montrer que la fonction \(f\) est continue à droite en \(0\).
2) Etudier la dérivabilité de la fonction \(f\) a droite de \(0\);
puis interpréter graphiquement le résultat.
3) a) Montrer que: \(\lim _{x➝+∞} f(x)=+∞\)
b) Calculer \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\),
puis déterminer la branche infinie de \(( C _{f})\) au voisinage de \(+∞\).
4) a) Montrer que ∀x∈] 0 ;+∞[): \(f^{\prime}(x)=x g(x)\)
b) Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(]0 ;+∞[\).
c) Déduire que: \(( ∀ x∈] 0;+∞[): f(x) ≥ 0\)
5) Montrer que: \(f ( α )=\frac{α}{2}( 1 – α )\).
6) Construire la courbe \(( C _{ f })\). (On prend \(α \approx 0 ; 3\) ).
7) Soit \(h\) la restriction de \(f\) a l’intervalle \(I=[ 1 ;+∞[\)
a) Montrer que:
\(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) a déterminer.
b) Calculer \((h ^{-1})^{\prime}( e ))\) Remarquer que \(h (e)= e\) ).
c) Construire dans le même repère \(( o;\vec{i};\vec{j})\)
la courbe représentative de la fonction \(h^{-1}\).
8) a) A laide d’une intégration par parties, montrer que:
\(\int_{1}^{e} x^{2} \ln x dx=\frac{2 e^{3}+1}{9}\)
b) Calculer en \(cm^{2}\) l’aire du domaine plan limité par
\((C_{f}) ;\) l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=e\).
By Prof. Youness BABA